Cinemtica do Movimento em Duas e tres dimensões, Lançamento de Projetos

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Movimento Em Duas e Três Dimensões 
Nesta aula será abordado os conceitos do movimento em 
duas e três dimensões, sobretudo no movimento de 
projeteis na superfície terrestre (importante nos 
esportes) e do movimento circular uniforme muito 
importante na engenharia de trânsito e em centrífugas 
usadas na separação e concentração de substâncias na 
indústria de alimentos e laboratório. 
Movimento em Três Dimensões 
A melhor maneira de se aprender sobre o movimente em três dimensões é aplicando 
 álgebra vetorial. Assim, define-se o vetor posição que localiza um ponto no espaço 
tridimensional e em seguida definir a velocidade e a aceleração usando das operações de 
derivadas. 
VETOR POSIÇÃO EM TRÊS DIMENSÕES: 
 
.cos;cos;cos
,,ˆˆˆ
222
 rzryrx
zyxr
zyxzzyyxxr






Velocidade e Aceleração Instantânea 
A velocidade instantânea é definida como a derivada primeira do vetor posição r. e a 
aceleração é definida como a derivada primeira do vetor velocidade. 
 
 
 
222
222
222
,,ˆˆˆ
,,ˆˆˆˆˆˆ
,,ˆˆˆ
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
aaaa
aaaz
dt
dv
y
dt
dv
x
dt
dv
dt
vd
a
vvvv
vvvzvyvxvz
dt
dz
y
dt
dy
x
dt
dx
dt
rd
v
zyxrzyxzzyyxxr












Movimento em Duas Dimensões 
A velocidade instantânea é definida como a derivada primeira do vetor posição r. e a 
aceleração é definida como a derivada primeira do vetor velocidade. 
 
 
  22
22
22
,ˆˆ
,ˆˆˆˆ
,ˆˆ
yxyx
yx
yxyxyx
aaaaay
dt
dv
x
dt
dv
dt
vd
a
vvvvvyvxvy
dt
dy
x
dt
dx
dt
rd
v
yxryxyyxxr










x̂
ŷ
r

x
y


 senryrx  coscos,cos
Exemplo 3.1 
Continuação do Exemplo 3.1 
Exemplo 3.2 
Continuação do Exemplo 3.2 
Movimento de Projéteis 
Estudar o movimento de um projétil teve muita importância na idade antiga e média, 
principalmente na confecção de catapultas como arma de guerra. Felizmente, hoje o 
estudo de movimento de projeteis está relacionado aos esportes em geral. O movimento 
de um projétil mais simples é aquele onde se despreza a resistência do ar e a curvatura da 
Terra. Assim a única força que atua sobre o projétil é a força da gravidade e o movimento 
está contido em um plano; onde o movimento horizontal é uniforme (M.U) e na vertical é 
uniformemente acelerado (M.U.V) de queda livre onda a aceleração é a da gravidade e é 
considerada constante. A Figura 3.15 abaixo mostra a idealização de movimento de uma 
projétil. 
Movimento de Projéteis: 
 Modelo Físico-Matemático 
As Figuras 3.17 serve como modelo para o movimento de projétil. Nesse modelo o 
movimento efetivo do projétil é uma superposição de M.U na horizontal com a0x=0 e 
M.U.V na vertical com a0y=-g. 
Movimento de Projéteis: 
 Equações de Movimento 
As equações para o movimento de um projétil são: 
tvxtx
vv
tvxtx
a
MUxeixonoMovimento
x
x
x
)cos()(
)cos(
)(
0
:0
000
000
00
0






2
000
00
000
2
00
0
0
2
)()(
)()(
)(
2
)(
)(
:0
t
g
tsenvyty
gtsenvtv
senvv
t
g
tvyty
gtvtv
ga
MUVyeixonoMovimento
y
y
y
yy
x









 
 
.:
)cos(2
)(
)cos(
:
22
2
00
0
00
2222
parâbolaumadeequaçãobxaxx
v
g
xtgy
v
x
t
vvveyxr
combinadoMovimento
yx







Exemplo 3.6 
Exemplo 3.7 
Continuação do Exemplo 3.7 
Movimento de Projéteis: 
 Altura Máxima (Ymáx) e Alcance Máximo (Xmáx) 
 2000
2
0000
00
000
0
)(
2
1)(
2
)(
)(
!:;
)(
0
0)(
:



senv
g
yy
g
senvg
g
senv
vytty
subidadetempot
g
senv
g
v
tgtv
tv
atingidamáximaAlturaparaCondição
máxysmáx
s
y
sy
y















)2()(
)(2
2
2
0)(
)(!:
:
0
2
0
000
0002
00
0


sen
g
v
xxtvxttx
g
senv
g
v
tt
g
tvyty
ytyvooudetotaltempott
atingidomáximoAlcanceparaCondição
máxvxv
y
vvvy
v



Exemplo 3.8 
Exemplo 3.9 
Exemplo 3.10 
Movimento Curvilínea no plano 
Antes de tratar do movimento circular 
uniforme, eu farei um resumo útil do 
movimento curvilínea no plano. Usarei das 
operações de derivação para chegar nas 
equações finais. Portando não se assustem 
com os cálculos. 
Movimento Curvilínea no plano 
Para uma partícula que descreve um movimento em uma curva contida em um plano, o movimento é 
bidimensional. Tomando um sistema de coordenas adequado (Figura), pode-se escrever o vetor 
posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração por meio do cálculo diferencial e integral como 
descrito abaixo. 
   
   
)(ˆˆ
ˆˆ0)ˆˆ(
!:)cosˆˆ(ˆ
!:)ˆcosˆ(ˆ
cosˆˆˆcosˆˆˆ
ˆcosˆcosˆˆ
!:
!:
!:
cos
)(
cos
)(cos
coscos
ˆˆˆˆ 22
rvvv
dt
rd
v
TANGENCIALunitáriovetorysenx
RADIALunitáriovetorsenyx
ysenxvsenyxvyvxv
dt
rd
v
yvsenvxsenvvyvxv
dt
rd
v
TANGENCIALvelocidadedamódulor
dt
d
rv
ANGULARvelocidadedamódulo
dt
d
RADIALvelocidadedamódulo
dt
dr
v
dt
d
rsen
dt
dr
dt
send
rsen
dt
dr
dt
dy
rseny
sen
dt
d
r
dt
dr
dt
d
r
dt
dr
dt
dx
rx
vvvvyvxvy
dt
dy
x
dt
dx
dt
rd
v
r
ryx
rryx
r
yxyx





























































































RADIALunitáriovetorsenyx
rsenyxrr
x
y
tgeyxrr
rsenyerxyyxxr
:)ˆcosˆ(ˆ
ˆ)ˆcosˆ(
cosˆˆ
22











Movimento Curvilínea no plano 
Do mesmo modo em que se calcula o vetor velocidade, calcula-se o vetor aceleração 
derivando o vetor velocidade no tempo, como segue. 
   
   
 
2222 )2()(ˆ)2(ˆ)(
!:
!:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
rvraarvra
dt
vd
a
ANGULARaceleraçãovetordomódulo
dt
d
RADIALaceleraçãovetordomóduloa
dt
dv
dt
d
r
dt
dr
r
dt
d
dt
dv
dt
d
e
dt
d
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
e
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
v
dt
d
v
dt
d
dt
vd
a
vvyvxvy
dt
dy
x
dt
dx
dt
rd
v
rrrr
r
r
r
r
r
r
ryx






































































































Movimento Circular 
No movimento circular a partícula fica vinculada a mover-se em uma circunferência que 
limita um círculo de raio r. Neste caso não há movimento radial e assim a componente do 
vetor velocidade na direção radial e do vetor aceleração na direção radial são nulos. Desse 
modo calcula-se as equações do movimento com base nos vetores velocidade e aceleração 
como mostrados abaixo. A Figura ao lodo mostra os vetores posição. Velocidade e 
aceleração: 

 
ˆ
0ˆˆ
rv
rvevvvv rr












ˆˆ
ˆˆ
!:
!:
00ˆ)2(ˆ)(
2
22
2
rra
aaaaaaa
TANGENCIALaceleraçãovetordomódulora
CENTRÍPETAaceleraçãovetordomódulora
aevavaaa
cc
c
rrrcr








a

Movimento Circular Uniforme 
No movimento circular uniforme (M.C.U) a partícula também fica vinculada a mover-se em 
uma circunferência que limita um círculo de raio r, não há movimento radial e assim a 
componente do vetor velocidade na direção radial e do vetor aceleração na direção radial 
são nulos. No entanto a partícula circula com velocidade tangencial constante. O 
movimento da Terra em volta ao Sol e o da Lua em volta à Terra são aproximadamente 
M.C.U. Máquinas de lavar roupas e centrífugas de laboratórios executam M.C.U. As 
equações do movimento circular uniforme são dadas abaixo. A Figura ao lado mostra os 
vetores posição. Velocidade e aceleração: 
r
T
ra
T
r
T
r
T
C
v
circulaçãodetotaltempoperíodoT
nciacircunferêdaocomprimentC
T
C
v
raaraeaaaa
rvvrvevvvv
c
ccc
rr
2
2
22
2
22
.)(:
;:
ˆ0ˆˆ
ˆ0ˆˆ





























Exemplo 3.11 
Movimento Em Duas e Três Dimensões 
 Resumo