1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA E DA ESFERA

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ATIVIDADE 1: ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA E 
 DA ESFERA. 
 
 
OBJETIVOS: Identificar os elementos da circunferência e da esfera. 
 Analisar propriedades da circunferência e da esfera. 
 
 
PARTE 1: O ARCO E A FLECHA, A CORDA E O SETOR. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-1, régua e compasso. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Proponha aos alunos que desenhem duas circunferências, no seu 
caderno e marquem dois pontos sobre uma delas. Observar que a circunferência fica 
dividida em duas partes, em dois arcos de circunferência. Peça que os cubram com 
duas cores diferentes, ligando os dois pontos com um segmento. Informe que este 
segmento chama-se corda. 
 
 Na outra circunferência sugira que os alunos escolham diferentes 
pares de pontos, traçando as respectivas cordas, e que discutam o que observam nesse 
processo. 
 Faça questões do tipo: 
 Qual é a maior corda possível de ser traçada? 
 O que acontece com os arcos quando a corda é máxima? 
 Ao traçar diâmetros ou raios perpendiculares às cordas o que acontece com os 
respectivos arcos? 
 
 
 
 Coloque na lousa uma 
figura como esta e solicite que a 
reproduzam no caderno. Como 
subdividiram o arco em dois, deverão 
traçar suas medidas. 
 O que acontece? 
 
 Desenhe figuras na lousa como 
 as que estão indicadas ao lado. Nas figuras as 
 circunferências estão divididas em arcos 
iguais ou não e as cordas são lados de 
polígonos regulares ou não. Diga aos alunos 
 que desenhem raios que formem ângulos retos 
 com as cordas ( para isso, usar o esquadro ou 
 um ângulo reto construído com dobraduras) e 
 vejam que novos polígonos podem ser 
desenhados ao traças todas as cordas. O que 
 se pode afirmar sobre seus lados? 
 Se os arcos de circunferência 
não 
 forem iguais o que dá para concluir sobre os 
 novos polígonos? 
 
 
 
 Entregue a cada aluno uma folha-tipo I-1 e dê um tempo pra leitura e 
discussão em grupo. Faça uma síntese do que os grupos podem concluir sobre: arco, 
flecha e setor circular, levando em conta o que foi trabalhado anteriormente nesta 
atividade. 
 Feito isto, proponha as seguintes situações: 
1. Desenhar um círculo destacando nele dois arcos de circunferência iguais e 
verificar se as duas cordas e os dois setores são iguais entre si. 
2. Desenhar um setor e prolongar os raios para fora do mesmo. Desenhar outros 
círculos, de mesmo centro, mas com raios diferentes de modo que o prolongamento 
dos raios determine setores no novos círculos. Esses setores são iguais? O que ocorre 
com as cordas dos diferentes arcos? O que há de comum entre esses setores? 
 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 
 Ao analisar os diferentes elementos do círculo e da circunferência é 
importante que algumas propriedades sejam explicadas: 
 
 Numa circunferência arcos iguais determinam cordas iguais e reciprocamente, 
numa mesma circunferência cordas iguais determinam arcos iguais. Isto também é 
válido para circunferência de mesmo raio. 
 O diâmetro é o dobro do raio. 
 O diâmetro é a maior corda. 
 
 
 O raio perpendicular à corda determina a flecha divide a corda e o arco em duas 
partes iguais. Em conseqüência disso, pode-se duplicar o número de lados de um 
polígono inscrito em uma circunferência. 
 Arcos iguais numa mesma circunferência, ou em circunferências de mesmo raio, 
limitam setores iguais. 
 Em círculos concêntricos, sob um mesmo ângulo, pode-se obter diferentes 
setores. 
 
 
 
PARTE 2: QUAL É A MENOR DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS? 
 
 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Bolas de isopor, fio ou cordão, alfinete de bolinha. 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 Apresente aos seus alunos as seguintes situações, dando um tempo 
para os grupos discutirem: 
Situação 1: ( Observação: Desenvolva a situação que segue, se achar necessário, 
tendo em vista que algo semelhante foi proposto na Atividade 7). 
 Marque dois pontos no piso da sala de aula ou numa folha de papel 
colocada sobre a carteira, imaginando que um deles seja a sala de aula e o outro a 
cantina. Verifique quais diferentes caminhos podem ser percorridos desenhando com 
 
giz ou lápis, supondo que tenha ou não obstáculo no meio do caminho. Entre eles, 
represente aquele caminho que considera mais curto. 
 
 Você não resistirá em concordar com muita gente que afirma com 
freqüência que a menor distância entre dois pontos é um segmento de reta. 
 Galileu Galilei, físico e astronômo italiano, que no século XVII 
inventou o telescópio e descobriu que Júpiter tem 4 luas, muito contribuiu para 
comprovar que a Terra, assim como outros planetas giram em torno do Sol, mas, não 
tinha os seus pontos de vista muito aceitos na época. Por isso foi perseguido e preso 
pelos poderosos, tendo as vezes que omitir o que pensava. Num dos seus diálogos 
apresentados numa pela de teatro, sobre sua vida, ele afirma que: “ nem sempre o 
menor caminho entre dois pontos é uma reta”. 
 O que ele quis dizer com isso? Você concorda com essa afirmação? 
Imagine uma situação em que a afirmação de Galileu seja verdadeira. Discuta com o 
grupo. 
 
Situação 2: 
 1. Fixe dois alfinetes em dois pontos não muito próximos sobre a 
bola de isopor e fazendo desenhos com a ponta de um lápis ou com um fio observem 
caminhos possíveis de serem percorridos entre os dois pontos. 
 
 O que se pode concluir? Há um menor caminho? Qual é? 
 Compare esse caminho mais curto com o que você determinou na 
situação anterior no chão ou na folha de papel o que é diferente? 
 
2. Estique um fio amarrado no primeiro alfinete e passando pelo segundo, vá 
prolongando o caminho. Você chegou ao primeiro alfinete, sim ou não? Por que isto 
acontece? É possível fazer o mesmo no chão da sala? Por quê? Represente os dois 
caminhos numa folha de papel e veja no que são diferentes. 
 
 
 
 
 Qual é a forma desse caminho feito com o fio? Par examinar melhor 
a situação prenda a outra ponta do fio no primeiro alfinete. Estique o fio e com uma 
régua verifique o comprimento do segmento de fio compreendido entre os dois 
alfinetes. 
 Mude os dois alfinetes de posição várias vezes e observe o que 
ocorre. Faça a medida do comprimento dos fios usados em cada volta e registre o 
resultado em uma tabela. O que acontece com eles? 
 
 
 
 
 
 
Situação 3: 
 
 
 Utilize várias folhas de papel (revistas, jornal, computador ou 
alfinete) desenhe com o compasso em cada uma delas um círculo, variando a medida 
do raio. Recorte os círculos com uma tesoura, organize-os em ordem crescente de 
acordo com a medida do raio. Tente encaixar a bola de isopor ou uma bola de plástico 
nos furos circulares das folhas, marcando com a caneta o contorno de cada furo sobre 
a bola. Repita esse procedimento algumas vezes até que a bola passe livremente por 
um dos furos. Procure obter um furo que se ajuste perfeitamente à bola. 
 
 
 
 
 Discuta com o grupo se é possível determinar quantas 
circunferências poderiam ser desenhadas sobre a bola? O que se pode concluir sobre a 
circunferência que se ajusta perfeitamente a bola? 
COMENTÁRIOS: 
 
 Nesta atividade é necessário destacar que: 
 a menor distância entre dois pontos de uma superfície esférica é um arco de 
circunferência. 
 Há infinitas circunferências que podem ser traçadas sobre a esfera e entre elas há 
infinitas circunferências que têm o maior raio possível. 
 O raio da circunferência máxima é o raio da esfera. 
 
 Parte dessas propriedades pode ser observada a partir do corte de 
uma esfera de isopor, do exame de uma bola ou de um globo terrestre. 
 
 FOLHA TIPO I-1 
O ARCO E A FLECHA, A CORDA E O SETOR. 
 
 
1. CURIOSIDADE: Numa circunfe- 
 rência, o menor dos doissegmentos do 
 diâmetro perpendicular à corda é chamado 
 de flecha, conforme a indicação da figura. 
 2. Você já pode observar o 
ponteiro 
 de segundos varrendo o mostrador do re- 
 lógio entre dois números, um pavão 
fazen- 
 do exibições com a cauda, uma senhorita 
 do século passado ( em gravuras, filmes) 
 ou deste se abanando com um leque, uma 
 mão acenando um adeus, um limpador de 
 pára brisas em ação. Você lembra de mais 
 alguma coisa? 
 Estas, assim como muitas 
outras situações, que você procurará se 
lembrar, estão associadas à região de um 
circulo compreendida entre dois raios: o 
setor circular.