Pintar, dobrar, recortar e desenhar o ensino da Simetria

Prévia do material em texto

291
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da
Simetria e Artes Visuais em livros didáticos de
matemática para os anos iniciais do Ensino
Fundamental
Painting, Folding, Cutting and Drawing: teaching
Symmetry and Visual Arts in mathematics textbooks for
the initial Primary School years
Luciana Ferreira dos Santos*
Rosinalda Aurora de Melo Teles**
Resumo
Neste artigo analisamos atividades que articulam Simetria e Artes Visuais em Livros
didáticos de Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental. Identificamos
diversas modalidades artísticas (desenho, dobradura, padrões, gravuras, pintura,
arquitetura), distribuídas de modo desigual no conjunto das 17 coleções; 45% das 200
atividades são de desenho e 55% correspondem ao conjunto das outras modalidades.
Apontamos, no conjunto destas atividades, elementos teóricos referentes às
propriedades da simetria de reflexão e de translação e, observamos que estes são
abordados de forma intuitiva e pragmática, sem uma complexificação ao longo das séries,
como sugere o Guia do Livro Didático. A coleta e a interpretação dos dados foram
* Mestre em Educação Matemática e Tecnológica pela Universidade Federal de Pernambuco (UFPE).
Recife, PE. Professora dos anos iniciais da Rede Municipal da Cidade de Olinda (RMO), Olinda, PE,
Brasil. Endereço para correspondência: Rua oitenta e seis, quadra 64, bloco 11; apto 304. Maranguape
I, CEP: 53441-320. Paulista, PE, Brasil. E-mail: lfsantos20@gmail.com.
** Doutora em Educação pela Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). Professora do
Departamento de Métodos e Técnicas de Ensino (DMTE) e do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática e Tecnológica (EDUMATEC) na Universidade Federal de Pernambuco (UFPE),
Recife, PE, Brasil. Endereço para correspondência: Rua Luis Rodolfo de Araujo, nº 60; Apto 302,
Aflitos, CEP: 52050-052. Recife, PE, Brasil. E-mail:rosinaldateles@yahoo.com.br.
ISSN 0103-636X
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
292 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
calcadas no método da análise do conteúdo de Bardin (2009) e na análise teórica de
Michel Henry (2006).
Palavras-chave: Interdisciplinaridade. Simetria. Artes Visuais. Livro didático.
Abstract
In this article we analyze activities which link symmetry and visual arts in books for
teaching mathematics in the initial years of primary school. We identified a diversity of
artistic modes (drawing, folding, patterns, etchings, painting, architecture) distributed
sporadically throughout 17 sets of textbooks. 45% of 200 activities consist of drawing
and the other 55% are composed of a variety of other media. We point out theoretical
elements linked to the properties of mirror symmetry and translational symmetry in the
range of activities explored. A degree of intuitive and pragmatic engagement was
observed, but not necessarily an increase in the complexity of artistic engagement from
one grade to another, as was originally suggested in the Teaching Guide. The collection
and interpretation of data was based upon the content analysis method described by
Bardin (2000) and theoretical analysis in Michel Henry (2006).
Keywords: Interdisciplinary. Symmetry. Visual Arts. Teaching Texts.
1 Ponto de partida...
Das pinturas rupestres produzidas na pré-história, passando pelas
pirâmides do antigo Egito e pelos mosaicos islâmicos, repletos de simetrias, ao
cubismo de Picasso, que busca na geometrização das formas a liberdade para
compor e recompor a realidade, percebe-se que Arte e Geometria, ao longo da
história, sempre estiveram interconectadas.
Na atualidade, estudos como os de Contador (2007), Fainguelernt e
Nunes (2006), entre outros, apontam aportes mútuos entre Artes Visuais e
Geometria. Na adoção de pressupostos que rompam com a fragmentação do
conhecimento, há possibilidade de organizar situações de ensino e aprendizagem
mais significativas na Matemática. Dentre estes pressupostos situa-se a
interdisciplinaridade, termo recorrente em documentos oficiais brasileiros; entre
eles, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997) e
os Guias do Livro Didático de Matemática – PNLD (BRASIL, 2007, 2008 e
2010). Esses documentos buscam, através da palavra interdisciplinaridade,
promover um diálogo permanente entre a Matemática, a vida cotidiana do
educando e as outras áreas de conhecimento. Por outro lado, os livros didáticos
293
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
são uma fonte de ideias e de aperfeiçoamento para conceitos estudados, podendo
trazer para a sala de aula momentos críticos de construção ou evolução do
saber (GÉRARD; ROGIERS, 1998). Emerge, neste cenário, o seguinte
questionamento: haveria atividades que articulam Geometria e Artes Visuais na
abordagem da Simetria em livros didáticos de Matemática para os anos iniciais
do Ensino Fundamental? Quais seriam os elementos teóricos referentes ao
conteúdo da Simetria e ao ensino das Artes Visuais mobilizados nestas atividades?
Quais seriam os laços de colaboração e reciprocidade entre eles?
1.1 Interdisciplinaridade: laços de colaboração e reciprocidade
A divisão do conhecimento em disciplinas, no século XIX, separou a
ciência das significações históricas e contextuais, distanciando-a da realidade
complexa. Dessa fragmentação do conhecimento surge o especialista, incapaz
de dialogar, globalizar e contextualizar os saberes. Barbosa (2006, p. 14), no
entanto, considera que o “olhar especializado não está errado, simplesmente.
Mas a lógica formal que o fundamenta não permite que o movimento dialético,
do interdisciplinar para o disciplinar e do disciplinar para o interdisciplinar, seja
percebido concretamente”. Esta separação do conhecimento gerou incômodo
entre estudantes e professores que, a partir da década de 60, passaram a
reivindicar, dentre outras coisas, um ensino mais integrado às questões sociais.
Naquela década, acontecera a primeira discussão sistematizada sobre o tema,
no Congresso de Nice, na França.
No Brasil, começou-se a discutir a interdisciplinaridade no final da década
de 1960. Segundo Fazenda (1995), existem três momentos referentes aos
pensares sobre a interdisciplinaridade em nosso país. No primeiro momento, em
1970, buscou-se a construção epistemológica, ou seja, a explicitação filosófica
da interdisciplinaridade. Na década de 1980, houve a explicitação das incoerências
presentes na interdisciplinaridade, esse momento caracterizou-se como de
constatação da existência da interdisciplinaridade nas ciências humanas e na
educação. Em 1990, houve a tentativa de construção de uma nova epistemologia
oriunda da própria interdisciplinaridade (projeto antropológico).
Na atualidade, a interdisciplinaridade é apontada pelos pesquisadores
como moda, pois não há uma assimilação crítica do conceito elaborado no
Congresso de Nice. Segundo Jantsch (2008, p. 145),
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
294 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
na medida em que a interdisciplinaridade foi se afirmando
como moda, difícil se tornou a atividade de interlocução
crítica universal entre os diferentes profissionais da
educação. Uma vez sendo moda, a tônica passou a ser não
o trabalho do conceito e a apropriação crítica do trabalho
do conceito, mas o consumo o mais extensivo possível de
uma concepção hegemônica desde o Congresso de Nice,
tanto mais hegemônica quanto mais a vulgata da
conceituação desse congresso foi socializada nos diversos
âmbitos escolares.
Apesar de não haver uma definição estanque, a interdisciplinaridade
precisa ser compreendida, para evitar desvios na sua prática. Por outro lado,
acreditamos que a multiplicidade de conceitos não significa uma fragilidade
epistemológica, mas o indício de que a temática gera inúmeras reflexões e
possibilidades. Assim, compreendemos interdisciplinaridade como “a inter-relação
entre duas ou mais disciplinas,sem que nenhuma se sobressaia sobre as outras,
mas que se estabeleça uma relação de reciprocidade e colaboração, com o
desaparecimento de fronteiras entre as áreas do conhecimento” (RICHETER,
2008, p. 85).
Ao pensarmos nos laços de colaboração e reciprocidade entre Geometria
e Artes Visuais, entendemos que a interdisciplinaridade entre essas áreas de
conhecimento, nos livros didáticos, não significa apenas a junção de disciplinas,
mas uma atitude política, uma ruptura com a abordagem tradicional de ensino e
aprendizagem da matemática. Conforme Fazenda (1995, p.15-18),
o pensar interdisciplinar parte da premissa de que nenhuma
forma de conhecimento é em si mesma exaustiva. Tenta,
pois, o diálogo com outras fontes do saber, deixando-se
irrigar por ela. (...) a interdisciplinaridade é uma atitude, uma
ousadia à busca de uma outra forma de pensar e construir
conhecimento.
Para essa autora, ao substituirmos a concepção do conhecimento
fragmentado pela perspectiva unitária promovemos uma integração horizontal
entre áreas de conhecimentos que, quando associadas, possibilitam a produção
de novos conhecimentos que fazem sentido para o educando e podem ser
utilizados no seu dia-a-dia.
295
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
1.2 Interfaces da Geometria com as Artes Visuais
Do ponto de vista do cognitivo, a Geometria é o campo da Matemática
que favorece aos aprendizes o desenvolvimento de um tipo especial de
pensamento, pois permite “compreender, descrever e representar, de forma
organizada, o mundo em que vive” (BRASIL, 1997). Para Broitman e Itzcovich
(2006), a Geometria é um modelo de raciocínio e dedução muito importante
para a formação cultural dos sujeitos.
Do ponto de vista do ensino, os Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1997) têm um eixo específico, denominado Espaço e Forma, que
aborda questões referentes à Geometria no Ensino Fundamental. O Guia do
livro didático de Matemática (BRASIL, 2010) tem promovido um resgate deste
campo nos livros didáticos dos anos iniciais e finais do ensino fundamental, porém,
aponta lacunas conceituais e metodológicas na sistematização do conhecimento
geométrico, na identificação de propriedades, classificação, conceituação precisa,
comprovação, entre outros aspectos. Pais (2006) observa que ainda existe uma
ênfase na fixação da nomenclatura das figuras geométricas e de seus elementos
constitutivos.
Dentre os conteúdos recomendados no Guia do livro didático (BRASIL,
2007, 2008) destacamos a Simetria, devido à inegável importância do conceito
para o campo científico e demais atividades humanas. Segundo o documento “a
simetria é, sem dúvida, um dos princípios básicos para a formulação de modelos
matemáticos para os fenômenos naturais” (BRASIL, 2007, p. 47). As isometrias
do plano são transformações do mesmo que preservam as distâncias. Por essa
razão, elas mantêm a congruência das figuras, podendo variar a direção. São
conhecidas, também, como movimentos rígidos. Os ângulos mantêm sua medida.
No plano, as isometrias produzem quatro tipos básicos de movimento: reflexão,
translação, rotação e reflexão com deslizamento. Uma figura é dita simétrica,
em relação a uma dada isometria, se é globalmente invariante quando a isometria
é aplicada sobre essa figura.
No caso da Simetria de Reflexão em relação a um eixo, a definição
adotada implica duas propriedades básicas: o segmento de reta, ligando um ponto
ao seu simétrico, é perpendicular ao eixo e esses pontos são equidistantes do
eixo.
Os PCN de matemática (BRASIL, 1997) propõem o ensino da Simetria
nos anos iniciais do Ensino Fundamental. No primeiro ciclo (segundo e terceiro
anos), propõe-se que sejam abordadas formas geométricas presentes em
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
296 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
elementos naturais e nos objetos criados pelo homem, e as características delas:
arredondadas ou não, simétricas ou não etc. (BRASIL, 1997, p. 73). Nessa fase
da escolaridade, a simetria auxilia no trabalho das formas geométricas, pois
enfoca questões referentes às propriedades da figura (algo presente ou não na
figura/configuração). No segundo ciclo (quarto e quinto anos), o ensino da Simetria
contribui para identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos.
Com relação ao aprendizado das Isometrias, pesquisa realizada por Jaime
e Guitérrez (1996) identifica desacertos (conhecimentos não adequados)
cometidos pelos alunos em situações de aprendizagem do conteúdo em questão.
Na Simetria de Reflexão, os autores supracitados pontuam que, ao desenharem
a imagem de uma figura, os aprendizes desconsideram propriedades: equidistância
e perpendicularidade em relação ao eixo. Eles também relatam que os estudantes
apresentaram uma interpretação deformada do eixo de simetria (por desenharem
a imagem sempre paralelamente à figura original, mesmo que o eixo não seja
paralelo a ela). Segundo os pesquisadores, este erro é decorrente da utilização
de exemplos de figura com eixo apenas na posição vertical.
Quanto à Simetria de Translação, Jaime e Gutiérrez (1996) apontam
como dificuldade a compreensão do vetor livre. Frequentemente, os alunos fazem
o desenho do vetor ligando um ponto da figura original a um ponto mais próximo
da imagem, sem que este seja o ponto correspondente da figura original. Quanto
à Simetria de Rotação, os estudantes têm dificuldade em estimar corretamente
o ângulo, reconhecer a equivalência dos ângulos e reconhecer a equidistância
entre centro de rotação e os pontos correspondentes da figura de imagem, assim
como constatar a congruência da figura.
Sabemos que não há um caminho único para o ensino das Simetrias ou
para qualquer outro conteúdo matemático, contudo percebemos no
estabelecimento de laços de colaboração e reciprocidade entre Simetria e Artes
Visuais inúmeras possibilidades de ensino que podem despertar o interesse e a
participação dos alunos, pois quando estabelecidos de forma adequada possibilitam
a construção de sentido e aprendizagem de novos saberes. Além disso, não faz
sentido desvencilhar a geometria da arte, visto que Arte e Geometria “nunca
estiveram em campos antagônicos, pois sempre caminharam juntas, aliando razão
e sensibilidade” (FAINGUELERNT; NUNES, 2006, p. 18).
Neste artigo analisamos elementos teóricos referentes às propriedades
da Simetria de Reflexão e Translação nas modalidades artísticas identificadas
em atividades que articulam simetria e Artes Visuais em Livros didáticos de
matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental.
297
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
2 Procedimentos metodológicos
Foram analisadas dezessete coleções de livros didáticos de matemática
aprovadas pelo Programa de Livros Didáticos - PNLD de 2010 com circulação
até 2012. Para isso, tomamos por base os três pólos cronológicos indicados no
estudo de Bardin (2009) sobre análise de conteúdo1: pré-análise; exploração do
material e tratamento dos resultados; a inferência e a interpretação.
• Pré-análise: em nossa pesquisa, consistiu na organização, na coleta e
na escolha dos livros didáticos a serem submetidos à análise; também,
na formulação de hipóteses e objetivos, na elaboração de indicadores
e edição de material.
• Exploração do material: nesta etapa realizamos a codificação e a
enumeração das atividades, bem como a categorização por coleção,
volume e modalidades artísticas.
• Tratamento dos resultados e interpretação: nesta etapa fizemos a síntese
e a seleção dos resultados e a interpretação dos dados a partir da
fundamentação teórica.
Além da análise do conteúdo, utilizamos alguns elementos da análise
teórica de Michel Henry (2006) para construirmos categorias que subsidiaram a
identificação de elementos teóricos do campo da Geometria e das Artes Visuais
nas atividades, tais como: propriedades da simetria de reflexão e translação2,
figura simétrica, eixo e plano de simetria. Relacionadasàs Artes Visuais: leitura
de obras de artes, contextualização e fazer artístico.
3 Discussão dos resultados
Foram catalogadas, nos cinco volumes das 17 coleções indicadas pelo
PNLD 2010, 200 atividades nas quais o tema Simetria aparece abordado com
Artes Visuais. Abaixo, apresentamos a distribuição destas atividades no conjunto
das obras:
1 Um conjunto de instrumentos metodológicos cada vez mais subtis em constante aperfeiçoamento,
que se aplicam a ‘discursos’ (conteúdos e continentes) extremamente diversificados (BARDIN,
2009, p. 11).
2 Não abordamos rotação, porque não encontramos atividades com esse tipo de simetria.
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
298 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
Tabela 01 - Frequência do conteúdo da Simetria Articulada às Artes visuais
nos Livros Didáticos de Matemática.
Os dados revelam que, assim como propõe o PCN de Matemática
(BRASIL, 1997), o conteúdo Simetria é abordado em todos os volumes dos
anos iniciais, concentrando-se nos volumes 3 e 5, como conteúdo geométrico,
aproximando-se do que propõe o Guia do livro didático (BRASIL, 2010). Além
desse aspecto, observamos, no conjunto das atividades analisadas, diferentes
modalidades artísticas: desenho (completar figura ou desenhar a figura simétrica),
atividades que envolvem produção de dobraduras (como kirigami e origami),
os padrões (artesanato, mosaicos e tapeçaria), pinturas (com borrão de tinta e
pinturas de artistas conhecidos). As imagens de obras arquitetônicas e gravuras
possuem mais de uma modalidade artística. O gráfico, abaixo, apresenta como
as modalidades artísticas estão distribuídas nas coleções analisadas.
Gráfico 01- Frequência das modalidades artísticas nas coleções.
Como é possível verificar no gráfico, há uma desigualdade na distribuição
das modalidades artísticas nos livros didáticos analisados. A modalidade desenho
corresponde a 45%, quase metade do total das atividades, enquanto 55%
correspondem ao conjunto de todas as outras modalidades.
299
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
No universo das 200 atividades analisadas, 178 abordavam a Simetria
de Reflexão, nas modalidades desenho (91), dobradura (34), arquitetura (11),
gravura (6), pintura (17) e modalidades mistas (7). As outras 22 atividades que
tratavam da Simetria de Translação abordavam as modalidades artísticas padrão
(20) e dobradura (2).
Também, identificamos os tipos de figuras simétricas abordadas nos
livros didáticos. As figuras conexas, que são formadas por uma só figura, estão
presentes em 166 atividades, o que corresponde a 82% das figuras apresentadas
na simetria de reflexão e translação. Já as figuras desconexas, que são formadas
por figuras separadas, estão presentes em 21 atividades, o que corresponde a
11%, e 13 atividades, o que corresponde a 7%, em que não foi possível determinar
o tipo de figura, visto que se tratava de produções livres de desenhos ou padrões.
3.1 Os laços de colaboração e reciprocidade entre conteúdo da Simetria
e Artes Visuais: tipos e propriedades das simetrias
Apesar de as propriedades da simetria ser essenciais para a construção
formal do conceito, não temos a intenção de defender a formalização precoce
do conceito de simetria; ao contrário, assim como o Guia do livro didático
(BRASIL, 2010), acreditamos que este conteúdo deve partir de noções intuitivas
e lúdicas. Nesse sentido, as Artes Visuais podem contribuir de forma significativa
e a formalização deverá acontecer ao longo dos anos iniciais.
3.1.1 Propriedades da Simetria de Reflexão
a) Equidistância em relação ao eixo - nas modalidades artísticas
identificadas neste estudo - desenho, dobradura, arquitetura, gravura
e pintura -, observamos que não se faz menção à equidistância, embora
algumas atividades pudessem oportunizar a explicitação dessa
propriedade. No exemplo a seguir, implicitamente, propõe-se que o
aluno complete a imagem estabelecendo pontos na malha quadriculada
com a mesma distância em relação ao eixo da parte conhecida da
Figura 01:
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
300 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
Figura 01 – Equidistância em relação ao eixo
Fonte: Souza et al. (2008, p. 144)
Em atividades com dobradura e borrão de tinta, observamos que o aluno
é conduzido a pensar sobre a equidistância de forma muito intuitiva, pois não são
utilizados recursos para medir concretamente (cordão, régua, fita métrica, dentre
outros), que serviriam para verificar se a distância está sendo conservada, como
nos exemplos a seguir:
Figura 02 – Equidistância em dobradura
Fonte: Tossato et al. (2007, p. 192)
301
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
Figura 03 – Eixo de simetria
Fonte: Sanchez et al. (2008, p.177)
Nas atividades com arquitetura há possibilidade de tratar a simetria de
maneira mais informal, considerando-se que as fotografias das obras
arquitetônicas não possuem a exatidão necessária para que os alunos verifiquem
a equidistância em relação ao eixo. Isso corrobora com o aspecto intuitivo,
característico das atividades artísticas, apontado por Mega (2001), como no
exemplo abaixo:
Figura 04 – Simetria no espelho d’água
Fonte: Reame et al. (2008, p. 169)
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
302 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
Na modalidade gravura e nas modalidades mistas, devido ao número
menor de atividades, identificamos poucos indícios dessa propriedade. De modo
geral, as atividades exploram a leitura de imagens e solicitam que os alunos
comparem os dois lados da figura em relação ao eixo, a fim de identificarem a
igualdade entre eles, mas não há referência à equidistância.
No exemplo a seguir, apresenta-se uma solicitação para que o aluno
compare duas partes da figura. Segundo os autores do livro didático, espera-se
que os alunos percebam os elementos simétricos como se estivessem num
espelho. No entanto, não explicitam que, apesar de possuírem inúmeros elementos
simétricos, as figuras representadas no espelho são diferentes. Deste modo, a
obra torna-se assimétrica por não manter a congruência das figuras. Embora
não seja uma obra simétrica, a atividade explora a noção simetria aproximada.
Figura 05 – Simetria em gravuras
Fonte: Barroso et al. (2008, p. 208)
b) Perpendicularidade - a perpendicularidade é uma propriedade que
aparece de forma implícita nas modalidades artísticas. Os desenhos
apresentados na malha quadriculada, embora não haja menção do
termo perpendicular, possibilitam traçar retas perpendiculares com
precisão, como na figura abaixo:
303
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
Figura 06- desenhando figuras simétricas
Fonte: Sanchez et al. (2008, p. 179)
Embora o Guia do Livro Didático de matemática (BRASIL, 2010, 2008,
2007) e os PCN (BRASIL, 1997) defendam um ensino aberto para as inter-
relações entre conteúdos matemáticos, assim como entre outras áreas do saber
científico, as coleções analisadas abordam o perpendicularismo como um
conteúdo à parte. Não fazem referência à importância desta propriedade para
Simetria de Reflexão, contrapondo-se aos documentos.
Nas atividades que envolvem dobradura, não há referência ao
perpendicularismo nas ilustrações ou nas dobraduras produzidas pelos alunos.
Nas produções, acreditamos que o vinco estabelecido possibilitaria evidenciar
tal aspecto.
Nas modalidades Pintura, Gravura e Arquitetura também não há
referência a essa propriedade. Obras arquitetônicas, como a Casa de Vidro, do
Jardim Botânico na cidade de Curitiba, apresentam retas perpendiculares. Mas,
de modo geral, esse aspecto não é ressaltado nas imagens ou nos enunciados
das atividades.
Figura 07 – Simetria na arquitetura
Fonte: Souza et al. (2008, p. 161)
Pintar, Dobrar,Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
304 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
c) Congruência das figuras, preservação das distâncias entre pontos
e do alinhamento de pontos - de modo geral, no conjunto das 200
atividades analisadas, as coleções não explicitam que, para construir
uma figura exatamente igual à figura original, bem como para sobrepô-
las, é imperativo conservar os comprimentos dos segmentos, ou seja,
preservar as distâncias e o alinhamento entre pontos. Também não
destacam que a congruência entre as figuras conserva os ângulos,
embora a formalização destes conceitos não seja o foco dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, perde-se a oportunidade de ampliar os
conhecimentos geométricos dos alunos.
Na modalidade desenho, por exemplo, há em algumas atividades a
solicitação de desenhar a figura imagem exatamente igual à original. Esse
comando deixa subentendido que a produção preservará as distâncias e o
alinhamento entre os pontos. Nas dobraduras e nas pinturas, através da
enunciação das palavras, identificamos que as atividades abordam essa
propriedade a partir da sobreposição de uma figura à outra, aspecto já sinalizado
por Silva e Lima (2008). No entanto, percebemos que isso acontece sem que
sejam ressaltados aspectos relacionados à congruência das figuras e a
conservação dos ângulos, como nos exemplos a seguir:
Figura 08 – Completar figura simétrica
Fonte: Gastaldi et al. (2007, p. 117)
305
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
Figura 09- bandeirinhas simétricas
Fonte: Bordeaux et al. (2008, p. 71)
Entendemos que a enunciação as duas partes coincidem sugere a
ideia da congruência das figuras. Contudo, explicitar tal aspecto pode facilitar a
compreensão do aluno sobre simetria, bem como sobre congruência e semelhança
de figuras, temas fundamentais para o ensino da Geometria.
3.1.2 Propriedades da Simetria de Translação
a) Conservação da orientação da figura - não identificamos, no
conjunto das atividades analisadas, indícios que ajudem o aluno a
perceber que as figuras devem manter a mesma orientação (a mesma
direção) ao serem deslocadas. Como na atividade a seguir, que explora
a produção de figuras desconexas, não há menção da direção que
deve ser mantida, apenas se solicita que o aluno crie um mosaico.
Figura 10 – Mosaico simétrico
Fonte: Souza et al. (2008, p. 145)
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
306 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
b) Conservação (da distância entre pontos e dos ângulos) - com
relação à conservação da distância entre pontos, em atividades com
padrões, a exemplos das dobraduras, não identificamos explicitações
em relação à conservação da distância entre pontos e dos ângulos
das figuras, como também em relação à conservação da orientação
das figuras.
Figura 11 – Translação em recortes
Fonte: Milani et al. (2008, p. 121)
Na atividade acima, não observamos qualquer questionamento que leve
o aluno a pensar sobre a regularidade ou a congruência das figuras, se foram
conservadas ao realizar o deslocamento. Tais indagações poderiam estimular o
aluno a pensar sobre conceitos matemáticos na figura.
Nosso estudo confirma a não explicitação de conceitos de simetria, já
verificada em diversos estudos sobre as transformações geométricas, como
Mega (2001) e Rippliger (2006), e em outros que constataram o enfoque intuitivo
na abordagem da Simetria no ensino fundamental.
4 Em síntese...
A presença de duzentas atividades que articulam Simetria e Artes Visuais,
em 17 coleções de livros didáticos de Matemática, evidencia que as coleções
têm buscado, através das conexões entre Artes Visuais e Geometria, trilhar um
caminho no qual a aprendizagem da Matemática seja mais prazerosa e
significativa. Ao mesmo tempo, sinaliza para laços de colaboração e reciprocidade
entre estas áreas de conhecimento, visto que os livros didáticos, um dos poucos
307
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
materiais impressos disponíveis em todas as salas de aula e lares do Brasil,
podem oportunizar o acesso a obras de artistas como Escher, Odetto Guersoni e
outros.
Do ponto de vista da formalização do conhecimento matemático, há
muito a trilhar, pois as propriedades das simetrias, embora sejam essenciais para
que os alunos construam um conhecimento formal sobre o tema, não são
exploradas nas atividades, predominando o caráter intuitivo e pragmático da
simetria, sem que ocorra uma complexificação ao longo dos volumes. Na Simetria
de Reflexão, destacamos que a equidistância em relação ao eixo, na modalidade
artística desenho, é implicitamente explorada na ação de completar a figura na
malha quadriculada, o mesmo observa-se nas gravuras, nas quais a leitura de
imagem estimula a comparação de dois lados da figura em relação ao eixo.
Com relação à perpendicularidade, não há referência textual e o tema é abordado
separado da simetria, embora exista a possibilidade, nos desenhos, de traçar
retas perpendiculares com o auxílio da malha quadriculada; quanto às dobraduras,
o vinco marcado, ao dobrarmos o papel, possibilita evidenciar o perpendicularismo,
mas não há referência explícita a esta propriedade. A conservação é explorada
implicitamente na modalidade desenho, na solicitação de desenhar uma figura
imagem exatamente igual à figura original, e na dobradura a partir da
sobreposição de uma figura a outra, porém não há esclarecimento da necessidade
de congruência entre as figuras. Com relação às propriedades da Simetria de
Translação nas atividades com padrões, não há indícios que levem o aluno à
reflexão sobre a necessidade da manutenção, bem como a necessidade de
conservar a distância.
Enfim, compreendemos que a interface entre Geometria e Artes visuais,
nos livros didáticos, pode oportunizar aos estudantes o acesso a conceitos da
linguagem visual, assim como noções intuitivas sobre conteúdo. Contudo,
percebemos a necessidade da formalização da simetria ao longo dos anos iniciais
para que, de fato, a aprendizagem deste conteúdo aconteça.
Referências
BARBOSA, S. C. interdisciplinaridade na escola: conceituação e exercício a partir de
oficinas. Goiana: Editora UFG, 2006.
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
308 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
BARDIN, L. Análise de Conteúdo. 5. ed. Lisboa: Edições 70, 2009.
BARROSO, J. M.(org). Projeto Pitanguá matemática. 2ª Ed. São Paulo: Editora
Moderna, 2008. v. 2.
BORDEAUX, A.L. et al. Bem – me- quer. São Paulo:Editora Brasil, 2008. v. 3.
BRASIL. Guia do Livro Didático – Matemática: Séries/ anos iniciais do Ensino
Fundamental. PNLD. Brasília: MEC, 2007.
BRASIL. Guia do Livro Didático – Matemática: Séries/ anos iniciais do Ensino
Fundamental. PNLD. Brasília: MEC, 2008.
BRASIL. Guia do Livro Didático – Matemática: Séries/ anos iniciais do Ensino
Fundamental. PNLD. Brasília: MEC, 2010.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais - v.3 - Matemática. Brasília: MEC, 1997.
BROITMAN, C.; ITZCOVICH, H. Geometria nas séries iniciais do ensino fundamental:
problemas de seu ensino, problemas para seu ensino. In: PANIZZA, M. (Org.).
Ensinar matemática na educação infantil e nas séries iniciais: análise e propostas.
Porto Alegre: Artmed, 2006. p.169 - 187.
CONTADOR, P. R. M. A matemática na vida e na arte. São Paulo: Editora livraria da
física, 2007.
FAINGUELERNT, E. K.; NUNES, K. R. A. Fazendo Arte com Matemática. Porto
Alegre: Artmed, 2006.
FAZENDA, I. C. A. Interdisciplinaridade: história, teoria e pesquisa. 2. ed. Campinas:
Papirus, 1995.
GASTALDI; Mª.V. et al. Projeto Buriti - matemática. São Paulo: Editora Moderna,
2007, v. 1.
GÉRARD, F.; ROEGIERS, X. Conceber e avaliar manuais escolares. Porto: Porto,
1998.
HENRY, M. Analyse Theorique de Situations Didactiques. In: SIMPÓSIO
INTERNACIONALDE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA-SIPEMAT, 1., 2006, Recife,
Anais... Recife: Programa de Pós-Graduação em Educação,Centro de Educação,
Universidade Federal de Pernambuco, 2006, p.1-15. CD ROM.
309
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
JAIME, A. P.; GUTIÉRREZ, A. R. El grupo de las Isometria: Del Plano. Madri: editorial
Sintesis, 1996.
JANTSCH, A. P. O conceito de interdisciplinaridade e a cultura universitária. In:
ENCONTRO NACIONAL DE DIDÁTICA E PRÁTICA DE ENSINO – ENDIPE, 14.,
2008, Porto Alegre. Anais... Porto Alegre, 2008. p. 1-15. CD ROM.
MEGA, É. Ensino/Aprendizagem da rotação na 5ª série: um estudo comparativo em
relação ao material utilizado. 2001, 193f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Faculdade de Educação, Pontificada Universidade Católica de São
Paulo, São Paulo, 2001. Disponível em: <www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/
elio_mega.pdf>. Acesso em: 30 jun. 2008.
MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. São Paulo: Editora Moderna, 2008, v.
3.
PAIS, L. C.; Estratégias de ensino de geometria em livros didáticos de matemática em
nível de 5ª a 8ª série do ensino fundamental. In: 29ª Reunião Anual da Anped, 2006,
Caxambu. Anais da 29ª Reunião Anual da Anped. Rio de Janeiro : Anped, 2006. v. 01.
p. 1 - 15. Disponível em: <http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/
docs_29/estrategias.pdf>. Acesso em: 30 mar. 2009.
REAME, E. et al. Linguagem Matemática. São Paulo: Editora Saraiva, 2008. v. 5.
RICHTER, I. M. Multiculturalidade e interdisciplinaridade. In: BARBOSA, A. M.
(Org.). Inquietações e Mudanças no Ensino da Arte. 5. ed. São Paulo: Cortez, 2008.
RIPPLINGER, H. M. G. Simetria nas práticas escolares. 2006, 101f. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Federal
do Paraná, Curitiba, 2006. Disponível em: <http://dspace.c3sl.ufpr.br/dspace/
bitstream/1884/3951/1/Grzybowski%20Ripplinger,H.M..pdf>. Acesso em: 10 abr. 2008.
SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo matemática. 4.ed. reformulada, São
Paulo:Editora Saraiva, 2008. v. 3.
SILVA, E. O. ; LIMA, I. . Análise de livros didáticos do Ensino Fundamental: o caso da
simetria de reflexão. In: CONIC - CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA
UFPE, 16., 2008, Recife. Anais... Recife : UFPE, 2008. p. 1 - 4 . CD - Rom.
SOUZA, M. H. et al. Asas para voar matemática. São Paulo: Editora Ática, 2008, v. 3-4.
Pintar, Dobrar, Recortar e Desenhar: o ensino da Simetria e Artes Visuais em livros...
Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p. 291-310, abr. 2012
310 SANTOS, L. F.; TELES, R. A. M.
TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Curitiba: Editora Positivo, 2007. v. 1.
Submetido em Setembro de 2010.
Aprovado em Novembro de 2010.
<<
 /ASCII85EncodePages false
 /AllowTransparency false
 /AutoPositionEPSFiles true
 /AutoRotatePages /All
 /Binding /Left
 /CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
 /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
 /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
 /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
 /CannotEmbedFontPolicy /Warning
 /CompatibilityLevel 1.4
 /CompressObjects /Tags
 /CompressPages true
 /ConvertImagesToIndexed true
 /PassThroughJPEGImages true
 /CreateJDFFile false
 /CreateJobTicket false
 /DefaultRenderingIntent /Default
 /DetectBlends true
 /DetectCurves 0.0000
 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
 /DoThumbnails false
 /EmbedAllFonts true
 /EmbedOpenType false
 /ParseICCProfilesInComments true
 /EmbedJobOptions true
 /DSCReportingLevel 0
 /EmitDSCWarnings false
 /EndPage -1
 /ImageMemory 1048576
 /LockDistillerParams false
 /MaxSubsetPct 100
 /Optimize true
 /OPM 1
 /ParseDSCComments true
 /ParseDSCCommentsForDocInfo true
 /PreserveCopyPage true
 /PreserveDICMYKValues true
 /PreserveEPSInfo true
 /PreserveFlatness true
 /PreserveHalftoneInfo false
 /PreserveOPIComments false
 /PreserveOverprintSettings true
 /StartPage 1
 /SubsetFonts true
 /TransferFunctionInfo /Apply
 /UCRandBGInfo /Preserve
 /UsePrologue false
 /ColorSettingsFile ()
 /AlwaysEmbed [ true
 ]
 /NeverEmbed [ true
 ]
 /AntiAliasColorImages false
 /CropColorImages true
 /ColorImageMinResolution 300
 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleColorImages true
 /ColorImageDownsampleType /Bicubic
 /ColorImageResolution 300
 /ColorImageDepth -1
 /ColorImageMinDownsampleDepth 1
 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
 /EncodeColorImages true
 /ColorImageFilter /DCTEncode
 /AutoFilterColorImages true
 /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
 /ColorACSImageDict <<
 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /ColorImageDict <<
 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /JPEG2000ColorACSImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /JPEG2000ColorImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /AntiAliasGrayImages false
 /CropGrayImages true
 /GrayImageMinResolution 300
 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleGrayImages true
 /GrayImageDownsampleType /Bicubic
 /GrayImageResolution 300
 /GrayImageDepth -1
 /GrayImageMinDownsampleDepth 2
 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
 /EncodeGrayImages true
 /GrayImageFilter /DCTEncode
 /AutoFilterGrayImages true
 /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
 /GrayACSImageDict <<
 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /GrayImageDict <<
 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /JPEG2000GrayACSImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /JPEG2000GrayImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /AntiAliasMonoImages false
 /CropMonoImages true
 /MonoImageMinResolution 1200
 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleMonoImages true
 /MonoImageDownsampleType /Bicubic
 /MonoImageResolution 1200
 /MonoImageDepth -1
 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
 /EncodeMonoImages true
 /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
 /MonoImageDict <<
 /K -1
 >>
 /AllowPSXObjects false
 /CheckCompliance [
 /None
 ]
 /PDFX1aCheck false
 /PDFX3Check false
 /PDFXCompliantPDFOnly false
 /PDFXNoTrimBoxError true
 /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
 /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
 /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
 /PDFXOutputIntentProfile ()
 /PDFXOutputConditionIdentifier ()
 /PDFXOutputCondition ()
 /PDFXRegistryName ()
 /PDFXTrapped /False
 /Description <<
 /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
 /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
 /DAN <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>/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200076006f006e002000640065006e0065006e002000530069006500200068006f00630068007700650072007400690067006500200044007200750063006b006500200061007500660020004400650073006b0074006f0070002d0044007200750063006b00650072006e00200075006e0064002000500072006f006f0066002d00470065007200e400740065006e002000650072007a0065007500670065006e0020006d00f60063006800740065006e002e002000450072007300740065006c006c007400650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0064006500720020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
 /ESP <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>
 /FRA <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>
 /ITA <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>
 /JPN <FEFF9ad854c18cea51fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e30593002537052376642306e753b8cea3092670059279650306b4fdd306430533068304c3067304d307e3059300230c730b930af30c830c330d730d730ea30f330bf3067306e53705237307e305f306f30d730eb30fc30d57528306b9069305730663044307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e30593002>
 /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
 /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
 /NOR <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>
 /PTB <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>
 /SUO <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>
 /SVE <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>/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
 ]
 /OtherNamespaces [
 <<
 /AsReaderSpreads false
 /CropImagesToFrames true
 /ErrorControl /WarnAndContinue
 /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
 /IncludeGuidesGrids false
 /IncludeNonPrinting false
 /IncludeSlug false
 /Namespace [
 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
 ]
 /OmitPlacedBitmaps false
 /OmitPlacedEPS false
 /OmitPlacedPDF false
 /SimulateOverprint /Legacy
 >>
 <<
 /AddBleedMarks false
 /AddColorBars false
 /AddCropMarks false
 /AddPageInfo false
 /AddRegMarks false
 /ConvertColors /NoConversion
 /DestinationProfileName ()
 /DestinationProfileSelector /NA
 /Downsample16BitImages true
 /FlattenerPreset <<
 /PresetSelector /MediumResolution
 >>
 /FormElements false
 /GenerateStructure true
 /IncludeBookmarks false
 /IncludeHyperlinks false
 /IncludeInteractive false
 /IncludeLayers false
 /IncludeProfiles true
 /MultimediaHandling /UseObjectSettings
 /Namespace [
 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
 ]
 /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
 /PreserveEditing true
 /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
 /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
 /UseDocumentBleed false
 >>
 ]
>> setdistillerparams
<<
 /HWResolution [2400 2400]
 /PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice