I_Teorico indd

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial
Limites 1
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profª. Dra. Ana Lúcia Manrique 
Revisão Textual:
Profª. Ms. Selma Aparecida Cesarin 
5
Estamos iniciando nossos estudos sobre Cálculo Diferencial. A proposta desta Unidade é o 
estudo de Limite, seu significado, sua linguagem e suas propriedades. 
Com relação aos conteúdos, dividimos em:
- Velocidade Instantânea;
- Definição de Limite;
- Limites Laterais;
- Leis dos Limites.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de interpretar e determinar um limite 
de uma função em um determinado valor do domínio pela análise do gráfico da função.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as atividades práticas disponíveis e suas resoluções ao final 
do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para sua realização.
· Nesta Unidade, será apresentado o conceito de Limite que é estudado, 
entre outros assuntos, para realizar “medidas” instantâneas da 
variabilidade de uma determinada grandeza. 
· Assim, a proposta é o estudo de Limite, seu significado, sua linguagem e 
suas propriedades. 
Limites 1
· Introdução
· Velocidade Instantânea
· Limite
· Limites Laterais
· Leis dos Limites
· Cálculo de Limites
6
Unidade: Limites 1
Contextualização
Se fosse realizada uma corrida entre um homem e uma tartaruga, quem venceria a corrida? 
Vamos imaginar, ainda, que fosse dada uma vantagem à concorrente tartaruga.
Quem venceria? 
Considerando o Paradoxo de Zenão, o homem nunca alcançaria a tartaruga.
O Paradoxo de Zenão consiste em assumir como certas algumas hipóteses e, partindo dessas 
hipóteses, chega-se a conclusões contraditórias e inaceitáveis. 
Sabemos pouco sobre a vida de Zenão de Eléia, mas alguns de seus pensamentos foram 
conservados nos diálogos platônicos de Parmênides, no livro Vida dos Filósofos, de Diógenes 
Laércio, e nos escritos de Física de Aristóteles. 
Ele é conhecido pelos paradoxos formulados sobre a tese da impossibilidade do movimento, 
que hoje são conhecidos como Paradoxos de Zenão.
 Explore
Noções de Cálculo, Limite de Funções e Paradoxo de Zenão. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=fDNAPkckL3g. Acesso em: 15 maio 2014.
https://www.youtube.com/watch?v=fDNAPkckL3g.
7
Introdução
Nesta Unidade, será apresentado o conceito de Limite que é estudado, entre outros assuntos, 
para realizar “medidas” instantâneas da variabilidade de uma determinada grandeza. 
Nós iremos estimar a rapidez de determinados objetos, ou seja, sua velocidade instantânea. 
Isso porque, se observarmos o velocímetro de um carro em movimento, iremos observar que o 
ponteiro se movimenta na maior parte do tempo em que aceleramos e brecamos o carro.
Velocidade Instantânea
Vamos imaginar que um automóvel move-se em uma estrada retilínea e que a distância 
percorrida (em metros), a partir de um determinado ponto inicial, no instante t (em segundos), 
fosse dada por s(t) = t2 + 2t.
0
v > 0
+
Para determinarmos a velocidade instantânea deste automóvel em um instante t precisamos 
do conceito de velocidade média. A velocidade média é uma grandeza que mede o quão rápido 
um corpo se desloca em um intervalo de tempo.
Se quisermos determinar a velocidade média deste automóvel entre dois instantes t1 e t2, 
utilizamos a seguinte expressão:
S1 = 0
Origem
S2 ∆S = S2 - S1
Fórmula da velocidade média: variação da 
distância dividida pela variação de tempo.
m
s
v
t
D
=
D
2 1
2 1
m
s s
v
t t
-
=
-
8
Unidade: Limites 1
Assim, precisamos determinar as distâncias percorridas nos dois instantes t1 = 1s e t2 = 2s.
s(t) = t2 + 2t, t= 1s
s1 = s(1)= 12 + 2.1 = 3m
s(t) = t2 + 2t, t= 2s
s2 = s(2)= 22 + 2.2 = 8m
Assim, temos que:
2 1
2 1
m
s s
v
t t
-
=
-
8 3
5 /
2 1mv m s
-
= =
-
A velocidade mé dia entre dois instantes de tempo pode ser obtida, também, a partir do 
coeficiente angular da reta secante ao grá fico da distância em funç ã o do tempo.
Essa reta secante é obtida ligando os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem 
aos instantes de tempo t1 e t2. 
O ponto A é obtido pela abscissa t1=1s e a ordenada s(t1)=3m, ou seja, A(1,3). E o ponto B é 
obtido pela abscissa t2=2s e a ordenada s(t2)=8m, ou seja, B(2,8). Calculemos o coeficiente angular 
desta reta que passa por A e B. Consideremos que a equação desta reta seja y = a.t + b.
E determinemos o valor b. Como a reta passa pelo ponto A(1,3) e sabemos o valor do 
coeficiente angular, então, utilizamos estas informações para determinar o valor de b.
y = a.t + b
3 = 5.1 + b
b = –2 
Velocidade média do 
automóvel no intervalo 
t1 = 1s e t2 = 2s.
Coeficiente angular 
da reta que passa 
pelos pontos A e B.
Utilizamos a expressão dada para 
a distância percorrida em função 
do tempo decorrido.
2 1
2 1
 
8 3 5
2 1
sa
t t
a
s −
=
−
−
= =
−
9
Logo, a equação da reta secante ao gráfico da função s(t) = t2 + 2t passando pelos pontos 
A(1,3) e B(2,8) é dada por y = 5t – 2.
Desenhemos o gráfico da função s(t) = t2 + 2t e da reta y = 5t – 2.
8
d
B
A
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
t
-1
-1-2-3
Vejamos agora o conceito de velocidade instantânea, que está associado a apenas um instante 
de tempo, por exemplo, t1 = 1s.
Considerando a fórmula da velocidade média, vamos determinar esta velocidade média em 
um intervalo menor, com t 1 = 1s e t2 = 1,5s.
s(t) = t2 + 2t, t= 1s
s1 = s(1) 12 + 2.1 = 3m
s(t) = t2 + 2t, t= 1,5s
s2 = s(1,5) = (1,5)2 + 2.(1,5) = 5,25m
2 1
2 1
m
s s
v
t t
-
=
-
5,25 3
4,5 /
1,5 1mv m s
-
= =
-
Para facilitar nossas análises, vamos montar uma tabela com estes valores de velocidade 
média, considerando sempre t1 = 1s.
t2 (segundos) 2 1,5 1,2 1,1 1,05 1,01
velocidade média (m/s) 5 4,5 4,2 4,1 4,05 4,01
Velocidade média do 
automóvel no intervalo 
t1 = 1s e t2 = 1,5s.
10
Unidade: Limites 1
Vejamos, também, algumas dessas retas secantes ao gráfico da distância em função do tempo, 
considerando os instantes estabelecidos na tabela. 
O gráfico da equação s(t) = t2 + 2t está na cor azul.
O gráfico da reta y = 5t – 2, secante ao gráfico de s(t) nos pontos (1,3) e (2,8), está na 
cor vermelha.
O gráfico da reta y = 4,5t – 1,5, secante ao gráfico de s(t) nos pontos (1,3) e (1,5;5,25), 
está na cor verde.
O gráfico da reta y = 4,05t – 1,05, secante ao gráfico de s(t) nos pontos (1,3) e (1,05;3,2025), 
está na cor cinza.
4
s(t)
3
2
1
1 2 3 4
t
-1
-2
-3
-1-2
Podemos perceber que os coeficientes angulares das retas secantes apresentam os mesmos 
valores das velocidades médias.
Então, o que podemos dizer da velocidade no instante t = 1s? Para pensarmos em responder 
essa pergunta, precisamos pensar no limite em que o intervalo de tempo tende a zero, ∆t → 0, 
para termos a velocidade instantânea v(t). 
O que temos?
• Quando o intervalo de tempo tende a zero, ∆t → 0, a velocidade média tende para a 
velocidade instantânea em um determinado instante t.
• Quando o intervalo de tempo tende a zero, ∆t → 0, o coeficiente angular das retas secantes 
tende para um coeficiente angular, que é o da reta tangente à curva no instante t.
• Na linguagem matemática, temos que a velocidade instantânea é dada por:
−∆
= =
∆ → ∆ → −
2 1
1
2 1
( ) ( )lim lim
( )
0 2 1
s t s ts
v t
t t v v t t
Desta forma, ao observarmos a tabela elaborada com as velocidades médias em determinados 
instantes, podemos dizer que a velocidade do automóvel no instante t = 1s será igual a 4m/s e 
esta pode ser chamada de velocidade instantânea no instante t = 1s.
11
Limite
Dizemos que o número real L é o limite de uma função f(x), se x tende ao valor a, quando 
podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x tão próximo do valor 
a (mas não igual ao valor a). 
E escrevemos lim ( )f x L
x a
.
Vejamos um exemplo numérico que ilustra essa situação. 
Digamos que queremos calcular lim ( )f x
x→ 3
, quandof(x) = x2 + 3x + 2. 
Para pesquisarmos uma solução, façamos uma tabela com valores de x, que se aproximam 
de 3, mas são menores que 3, e com valores de f(x). 
X f(x) = x2 + 3x + 2
2,9 19,11
2,99 19,9101
2,999 19,991001
2,9999 19,99910001
2,99999 19,99991
↓ ↓
3 20
Podemos dizer que, quando os valores de x se aproximam de 3 com valores menores que 3, 
f(x) se aproxima de 20, ou que o limite de f(x) é 20, quando x tende a 3 pela esquerda.
Assim, indicamos o limite lateral à esquerda por lim ( )f x
x
=
→ −
20
3
 .
Façamos uma tabela com valores de x, que se aproximam de 3, mas são maiores que 3, e 
com valores de f(x).
X f(x) = x2 + 3x + 2
3,1 20,91
3,01 20,0901
3,001 20,009001
3,0001 20,00090001
3,00001 20,00009
↓ ↓
3 20
Podemos dizer que, quando os valores de x se aproximam de 3 com valores maiores que 3, 
f(x) se aproxima de 20, ou que o limite de f(x) é 20, quando x tende a 3 pela direita.
Assim, indicamos o limite lateral à direita por lim ( )f x
x
=
→ +
20
3
.
12
Unidade: Limites 1
Desta forma, como os limites laterais lim ( )f x
x
=
→ +
20
3
 e lim ( )f x
x
=
→ −
20
3
 são iguais, podemos afirmar 
que lim ( )f x
x
=
→
20
3
.
Vejamos outro exemplo, agora gráfico, para ilustrar também esta situação.
Considere a função:
f(x)= {
x+2,se x≤0
2x+2,se x>0
2 3 4
x
4
y
3
2
1
1
-1
-2
-3
-4
-1-2-3-4 0
Analisando o gráfico desta função, percebemos que quando x se aproxima do valor 0, por 
números menores que 0, f(x) respeita a expressão dada por x + 2. Neste caso, é possível perceber 
que f(x) se aproxima de 2. E escrevemos lim ( )f x
x
=
→ −
2
0
.
E quando x se aproxima do valor 0, por números maiores que 0, f(x) respeita a expressão dada 
por 2x + 2. Neste caso, é possível perceber também que f(x) se aproxima de 2. E escrevemos 
lim ( )f x
x
=
→ +
2
0
.
Assim, como os limites laterais lim ( )f x
x
=
→ −
2
0
 e são iguais, podemos dizer que lim ( )f x
x
=
→
2
0
.
13
Limites Laterais
Quando utilizamos valores menores ou maiores que o valor de x = a, estamos verificando se 
existem os limites laterais. Assim, quando nos aproximamos do valor a, com valores menores 
que a, estamos calculando o limite lateral esquerdo da função e escrevemos: lim ( )f x
x a→ −
.
E se nos aproximamos do valor de x = a, com valores maiores que a, estamos calculando o 
limite lateral direito da função e escrevemos: lim ( ) Lf x
x a
=
→
.
Assim, a definição de limite implica que, quando x tende ao valor a, o limite da função f existe 
e é L se, e somente se, os limites laterais existem e têm o mesmo valor L. 
Ou seja, lim ( ) Lf x
x a
=
→
 se, e somente se, lim ( ) Lf x
x a
=
→ − e lim ( ) Lf x
x a
=
→ +
.
Podemos, agora, propor a definição precisa de limite.
Seja f uma função que está definida em um intervalo aberto I, exceto possivelmente para 
o número a.
Dizemos que o limite de f(x) quando x tende ao valor x = a é L, se para todo ε> 0, existe 
δ> 0 tal que se 0 < |x – a| <δ então |f(x) – L| <ε.
E escrevemos: lim ( ) Lf x
x a
=
→ .
y
L
a
δδ
ε
x
ε
14
Unidade: Limites 1
Leis dos Limites
Suponha que existam os limites lim ( )f x
x a→
 e lim g( )x
x a→
. E sejam a e c números reais e n um 
número natural.
Então, temos que:
1) lim [f(x) + g(x)]= lim f(x) + lim g(x)
 x a→ x a x a→ →
2) lim[f(x) g(x)] lim f(x) lim− = +
→
 g(x)
 x a x x a→ →a
3) lim .f(x) limc c. f(x)
 x a
=
→ →x a
4) lim[f(x).g(x) = lim f(x).lim g(x)
 x a→ x a x a→ →
5) lim
( )
( ) lim ( ) ’
f x
g x g x
= ≠
lim ( )f x
x a→ , se lim g(x) 01
→x a 
 
 
→x a 
→x a 
6) lim[ ( )] [lim ( )]f f
 x a
x xn n
x a
=
→ →
7) lim ( ) lim ( )f x f x
x a x a
n n=
→ →
8) lim c c
x a
=
→
9) lim x a=
→x a
10) lim x an n=
→x a
Cálculo de Limites
Podemos calcular alguns limites utilizando as Leis dos limites, juntamente com outras estratégias.
Vejamos, inicialmente, como utilizar as Leis para determinar um limite de uma função.
) lim5 7+ =
2 x 2→
lim( ) lim( ) lim(3 5 7 33 3
2
x x x x− + = −
→ x 2 x→ →
 
 
→
= − + =3 5 73
2
limx .lim x lim
 x 2 x 2→ → x
 x
= − + =3 2 5 2 7 213. . .
 (Leis 2 e 1)
(Lei 3)
(Leis 10, 9 e 8)
Este foi o caso mais simples!
_
15
Vejamos outro exemplo.
Vamos considerar o seguinte limite: lim 
x x
xx 3
2 5 1
9
+ −
+→
.
Para começarmos a determinar este limite, será necessário verificar se lim( )
x
9 0
3
+ ≠
→
x para 
podermos utilizar a Lei 5.
lim( x) lim limx
x
9 9
3 3
+ = + =
→ → x x 3
= 9+3 =12
→
 (Lei 1)
 (Leis 8 e 9)
Como lim( )9 0
3
+ ≠
→
x
x
, então, podemos utilizar a Lei 5.
lim
lim(x x )
lim( )
x x
x x
x
x
2
2
3
3
5 1
9
5 1
9
+ −
+
=
+ −
+
→
→
x 3→
(Lei 5)
= → →
lim (x ) + lim(5x) - lim1 2
 x x3 3 
 
x
x
x
→
→
+
3
9lim lim
 x 3→3
(Leis 1 e 2)
=
→
lim (x ) + 5. limx - lim12
 x 3 
x+9lim lim
→ x 3 → x 3
 x x→ →3 3
(Lei 3)
�
� �
�
�
3 5 3 1
9 3
23
12
2 . (Leis 10, 9 e 8)
Vamos ver outro exemplo, agora utilizando fatoração de expressões algébricas.
Para determinar o 
2
3
9
lim
3x
x
x®
-
-
, não podemos utilizar a Lei 5, pois lim( )x
x
−
→
3
3
=0. E temos 
também que )lim(x
x
2
3
9−
→
= 0.
Assim, verificamos que a função f(x) =
2 9
3
x
x
-
-
 não está definida para x = 3, ou seja, o 
domínio da função é Df = IR – {3}.
Temos de utilizar outra estratégia, fazendo uso de algumas operações algébricas. Podemos 
fazer uma fatoração no numerador, a diferença de quadrados x2 – 9 = (x – 3).(x + 3), e verificar 
que o numerador e o denominador possuem um fator comum, x - 3.
( )
( ) ( )2 3 . 39
3 3
x xx
f x
x x
- +-
= =
- -
Como a função não está definida para x = 3, podemos simplificar a expressão, pois 3 não 
pertence ao domínio da função f.
( )
( ) ( )2 3 . 39
3
3 3
x xx
f x x
x x
- +-
= = = +
- -
16
Unidade: Limites 1
Então, podemos determinar o limite.
lim lim( ) lim lim
x
x
x x
x
2
3
9
3
3 3
−
−
− + − + −
→ x x x→ → →
= + =
3 3 3
3 3 6
 (Lei 1)
 (Leis 9 e 8)
Vejamos outro exemplo que utiliza um produto notável.
lim
4
24
−
−→
x
xx
Não podemos utilizar a Lei 5, pois o limite da expressão do denominador é igual a zero.
lim(2 4−
→
x x= lim2 - lim =2 - = 2-2=0
x 4 x 4 x 4→ →
E temos também que lim( )4 4 4 0
4
− = − =
→
x
x .
Desta forma, o domínio da função g(x) = 4
2
x
x
-
-
 é Df = IR – {4}.
Então, vamos utilizar uma estratégia que consiste em multiplicar pelo conjugado, pois iremos 
utilizar um produto notável (a – b).(a + b) = a2 – b2. 
Neste caso, multiplicaremos tanto o numerador quanto o denominador pela expressão 2+.
E como o valor 4 não pertence ao domínio da função, podemos simplificar a expressão, 
cancelando o termo em comum ao denominador e ao numerador (4 – x), e a expressão ficará: 
4
2
x
x
-
-
= 2+ x
Vamos, agora, calcular o limite.
lim lim
( ).( )
( )
lim( )
4
2
4 2
4
2 2 4 2 2 4
4
−
−
− +
−
= + = + = + =
→
x
x
x x
x
x
x x→4 x→ 4
Exemplos
1) Considere que:
limf(x)= 4.lim g(x)= -2 e lim h(x)=0
 x a x a → → x a →
Calcule, se existir, o limite.
a) lim[f(x) + g(x)]
x a →
b) ]lim[ ( ) ( )h x g x
x a
−
→
lim 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 .2 4 . 24 4 2 . 
42 2 2 2 . 2
x x x xx x x
xx x x x x
− + − +− − +
= = =
−− − + − +
4,
17
c) lim[ ( ). ( )]f x g x
x a→
d) 
lim
( )
1
h xx a→
e) 
lim
( )
( )
f x
g xx a→
f) lim
( )
( )
h x
g xx a→
g) lim
. ( )
( )
2 g x
f xx a→
h) lim
( ) ( )
( ) . ( )
f x h x
g x f xx a
−
+→ 2
i) lim[ ( )]f x
x a
3
→
j) lim ( )f x
x a
2
→
Resolução
a) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim 4 – 2 2 
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
+ = + = =  
b) 
c) lim[ ( ). ( )] lim f(x).lim g(x) .( )
x a
f x g x = = − = −
→
 
 
4 2 8
 x a x a→ →
d) não existe lim
( )
1
h xx a→
, pois lim ( )h x
x a
=
→
0
e) lim
( )
( ) lim
f x
g x g
x a
= =
−
= −
lim ( )
x a
f x
→
→
4
2
2
f) 
( )
( )
( )
( )
lim 0
lim 0
lim 2
x a
x a
x a
h xh x
g x g x
®
®
®
= = =
-
g) 1lim
. ( )
( ) lim ( )
.( )2 2 2
4
g x
f x f x
x a
x a
= =
−
= −
.lim ( )
x a
2 g x
→
→
→
h) 
i) lim[ ( )] [limf(x)]f x 3 3 34 64= = =
→ x a →x a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim – lim 0 – –2 2
x a x a x a
h x g x h x g x
→ → →
− = = =  
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
lim ] lim lim 4 0 4 2lim 
2. lim 2. ] lim 2.lim 2 2.4 6
[
[ 3
x a x a x a
x a
x a x a x a
f x h x f x h xf x h x
g x f x g x f x g x f x
→ → →
→
→ → →
− −− −
= = = = =
+ + + − +
18
Unidade: Limites 1
j) 
lim ( ) lim ( )f x f x
x a x a
2 2 2 4 2= = =
→ → 
2) São fornecidos os gráficos das funções f e g. Determine o limite solicitado, caso exista.
a) lim[ ( ) ( )]f x g x
x
+
→1
b) lim
( )
( )
f x
g xx→2
c) 
lim ( )f x
x
2
1→
d) lim ( )g x
x
2
2→
e) lim
( )
( )
g x
f xx→2
10 2 3 4-1-2-3-4 x
f
3
2
1
-1
-2
-3
2,82,41,6-1,6-2 1,2-1,2 0,8-0,8 0,4-0,4 0 2
x
y
g
2,5
2
1,5
0,5
1
1
Resolução
a) Não existe lim[ ( ) ( )]f x g x
x
+
→1
, pois não existe )lim (g x
x→1
.
b) Não existe lim ( )
( )
f x
g xx→2
, pois lim ( )g x
x
=
→
0
2
=0.
c) lim ( )f x
x
2
1→
não existe pois f(1) = -1.
d) ( ) ( ) 22 2
2 2
lim lim 0 0
x x
g x g x
® ®
= = =
e) lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )
lim
g x
f x
g x
f x
x
x
x
= = =
→
→
→
2
2
2
0
2
0
 x 2→
19
3) Considere a função definida por intervalos:
g x( ) =
 -2-x2, se x < -2
- x , se -2 < x < 2
 x2- 2, se x > 
24
22 





a) Esboce o gráfico da função g.
b) Determine, caso existirem, os seguintes limites.
I. lim ( )g x
x→ +2
II. lim ( )g x
x→2
III. lim ( )g x
x→− +2
IV. lim ( )g x
x→− −2
V. lim ( )g x
x→0
Resolução
a) Segue o gráfico da função g.
1 2 3 4
x
y
-1-2-3-4
4
3
2
1
-1
b) Observando o gráfico, determinamos os limites:
I. lim ( )g x
x
=
→ +
0
2
II. lim ( )g x
x
=
→ −
0
2
III. lim ( )g x
x
=
→− +
0
2
IV. 
lim ( )g x
x
=
→ − −
0
2
V. lim ( )g x
x
=
→
4
0
-2+x2
20
Unidade: Limites 1
4) Considere a função definida por intervalos:
h x( ) =





 -1-x,se x <-1
 -x ,se -1< x < 1
 x-1,se x > 1 
21
Determine, caso existirem, os seguintes limites.
I. lim ( )h x
x→+
II. lim ( )h x
x→ −1
III. lim ( )h x
x→1
IV. lim ( )h x
x→− +1
V. )lim (h x
x→− −1
VI. lim ( )h x
x→−1
VII. lim ( )h x
x→0
Resolução
I. Para determinarmos o lim ( )h x
x→ +1
 necessitamos verificar qual das três expressões dadas 
para h(x) será utilizada. Como queremos determinar o limite para x → 1+, então, 
queremos os valores de x se aproximando de 1, com x > 1, logo queremos a 
expressão (x – 1).
0lim ( ) lim( ) lim limh x x x
x x
= − = − = − =
→ + → +
1 1 1 1
1 1 x x→ + → +1 1
II. Para determinar o lim (x)
x
h
→ −1 , verificamos que queremos nos aproximar de 1, mas com 
x < 1, logo, queremos a expressão (1 – x2).
lim ( ) lim( ) lim lim( )h x x x
x
= − = − = − =
→ −
1 1 1 1 02 2 2
1 x 1 x 1 x 1→ → →- - -
III. lim ( )h x
x
=
→
0
1
, pois os limites laterais existem e são iguais a 0.
IV. Para determinarmos o lim ( )h x
x
=
→− +
0
1
, necessitamos verificar qual das três expressões 
dadas para h(x) será utilizada. Como queremos determinar o limite para x → −1+, 
então queremos os valores de x se aproximando de -1, com x > -1, logo, queremos 
a expressão (1 – x2).
lim ( ) lim( ) lim lim( ) ( )h x x x
x
= − = − = − − =
→− +
1 1 1 1 02 2 2
1 x x x→− + →− + →− +1 1 1
V. Para determinar o )lim (h x
x→− −1
, verificamos que queremos nos aproximar de -1, mas 
com x < -1, logo, queremos a expressão (– 1 – x).
lim ( ) lim( ) lim( ) limh x x x
x
= − − = − − = − + =
→− −
1 1 1 1 0
1 xx x x→− →− →−− − −1 1 1
VI. lim ( )h x
x→−1
 = 0, pois os limites laterais existem e são iguais a 0.
21
VII. Como queremos valores de x próximos a zero, então, queremos a expressão (1 – x2).
1lim ( ) lim( ) lim lim( )h x x x
x
= − = − = − =
→
1 1 1 02 2
0 xx x x→ → →0 0 0 
5) Determine os limites:
a) lim h
hh
2
20
4 2+ −
→
b) lim h h
hh
2
2
6
2
+ −
−→
Resolução
a) limh
h
2
0
0=
→
, g h h( ) = 2 está no denominador e 
h
lim( h2
0
4 2 0+ − =
→
, logo temos uma 
indeterminação, então necessitamos utilizar uma estratégia para resolver este limite.
Vamos utilizar a multiplicação pelo conjugado.
lim lim lim
h h h
h
h
h
h
h
h
h
h→ → →
+ −
−
+ − + +
+ +
=
+ −
0
2
2 0
2
2
2
2 0
24 2 4 2 4 2
4 2
4 4
.
22 2 0 2 2
0 2
4 2 4 2
1
4 2
1
0 4 2
1
2 2
. .h h h
h
h
h
+ +( )
=
+ +( )
=
=
+ +
=
+ +
=
+
→
→
lim
lim ==
1
4
2h
b) lim
h
h
�
�� � �
2
2 0 , ( )h − 2 está no denominador e lim
h
h h
�
� �� � �
2
2 6 0 , logo temos uma 
indeterminação, então necessitamos utilizar uma estratégia para resolver este limite.
Vamos utilizar a fatoração do numerador, considerando que Dh=R-{2}.
lim lim lim
h h h
h h
h
h h
h
h
→ → →
+ −
−
=
−( ) +( )
−
= + = + =
2
2
2 2
6
2
2 3
2
3 2 3 5
.
( )
h2 + h – 6
22
Unidade: Limites 1
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Limites consulte o site e as referências a seguir.
Sites
 Explore
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites.php
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/Limites/limites.html
Referências Bibliográficas
 Explore Explore
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000;
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009;
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites.php
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/limits_topic
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/Limites/limites.html
23
Referências
Referências Básicas
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2002.
LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. v. 1. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
STEWART, J. Cálculo. v. I. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001.
Referências Complementares
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5.ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001/2002.
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 1995.
https://4.ed/
https://5.ed/
https://2.ed/
https://2.ed/
24
Unidade: Limites 1
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo - SP - Brasil
Tel: (55 11) 3385-3000
https://www.cruzeirodosulvirtual.com.br/