Fórmulas de Área e Sequências

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304 Apêndice A. Apêndices
A.6 MÉTODO DA EXAUSTÃO
Uma consequência das propriedades A1-A5, apresentadas na Seção A.5, é a
famosa fórmula da área de um retângulo. Como dois retângulos com lados a
e b são congruentes, pela propriedade A5, eles tem a mesma área, que será
denotada por A (a,b), como ilustrado pela Figura A.10.
Figura A.10: Retângulo de lados a e b.
A densidade de Q em R permite construir sequências de números racio-
nais convergindo para cada número a ∈ R. Esse resultado é uma consequên-
cia imediata do Teorema do Sanduíche.
Corolário A.9: Para todo a ∈ R, exitem sequências (rn) e (sn), onde rn , sn ∈Q
para todo n ∈N, tais que rn ↑ a ↓ sn , ou seja, rn ↑ a e também sn ↓ a.
Prova: Pela densidade de Q em R, para todo n ∈N, existem rn , sn ∈Q tais que
a− 1
n
< rn < a < sn < a+ 1
n
,
como ilustrado pela Figura A.11.
Figura A.11: Sanduíche de sequências de frações.
A.6. Método da exaustão 305
O resultado segue do Teorema do Sanduíche e da regra da soma, uma vez
que
a± 1
n
→ a.
Vamos demonstrar então a famosa fórmula da área de um retângulo.
Proposição A.10: A área de um retângulo é igual ao produto dos seus lados,
ou seja, temos que
A (a,b) = ab
Prova: Como ilustrado pela Figura A.12, utilizando as Propriedades A3 e A5 e
também a definição de soma, obtemos que
A (a+b,c) = A (a,c)+ A (b,c) ,
para todos a,b,c ∈R.
Figura A.12: Retângulos justapostos.
Utilizando o Princípio da Indução, pode-se mostrar que A (na,b) =
n A (a,b), para todos a,b ∈ R e todo n ∈ N, o que é deixado como exercício.
Logo
A
( a
n
,b
)
= 1
n
A (a,b)
pois
n A
( a
n
,b
)
= A (a,b) .
306 Apêndice A. Apêndices
Portanto, obtemos que
A
(m
n
a,b
)
= m
n
A (a,b) .
Se
r = m
n
e s = k
l
,
então
A (r, s)= A
(
m
n
,
k
l
)
= m
n
k
l
A (1,1)= r s,
onde utilizamos que A (a,b) = A (b, a) e, na última igualdade, a Propriedade
A1. Portanto, a fórmula é verdadeira para retângulos de lados racionais.
Agora demonstramos a fórmula para lados a e b quaisquer. Pelo Corolário
A.9, existem sequências de racionais (rn), (sn), (un) e (vn) tais que rn ↑ a ↓ un
e que sn ↑ b ↓ vn .
Figura A.13: Sanduíche de retângulos.
Como mostra a Figura A.13, temos então que
rn sn = A (rn , sn) ≤ A (a,b) ≤ A (un , vn) = un vn .
O resultado segue então da regra do produto e do Teorema do Sanduíche.
Como consequência imediata das Proposições A.10 e A.8, obtemos a
conhecida fórmula para a área de um triângulo.
Corolário A.11: A área do triângulo é metade do produto da base pela altura.
Uma das mais remotas aplicações do conceito de limite de sequências é o
cálculo da área do círculo trigonométrico D através do denominado método