1 UNIDADE - Introdução aos estudos das funções - modelo linear

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INTRODUÇÃO AOS ESTUDOS DAS FUNÇÕES – MODELO LINEAR
Introdução aos estudos de funções – aula 1
O que é uma: função relacionar o comportamento de duas ou mais variáveis, pode ser utilizada para representar o comportamento de grandezas
Custo=f(p)=10.p
Tipos de funções
· Função 1º grau (1ºodem ou linear) 
y = f(x) = a.x + b
· Função 2º grau (3º ordem ou quadrática)
y = f(x) = a.x2 + b.x + c
· Função polinomial (nº ordem)
y = f(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ⋯ + a3.x3 + a2.x2 + a1.x1 + a0
· Função racional (razão entre polinômios) 
y = f(x) = a.x2 + b.x + c
          (d.x + e)
· Função potência 
y = f(x) = a.xn
· Função exponencial 
y = f(x) = y0.(1+k)x
· Função trigonométrica
y = f(x) = cos(x)
Função 2º grau: otimização de resultados em economia, movimento de corpos em campos gravitacionais etc.
Função racional: São usadas em análise numérica para funções de interpolação e aproximação, em computação.
Função exponencial: Pode representar o comportamento dos juros compostos em finanças, também usada na química e física.
Função trigonométrica: Pode representar a energia elétrica que temos nas tomadas de nossas residências (corrente alternada).
Representação gráfica de uma função 
“Sistemas de coordenadas cartesiano” ou “sistema cartesiano” (Cartesius).
Dois eixos graduados linearmente e orientados, que são dispostos de forma perpendicular, criando um plano, o plano cartesiano.
Assim, é possível a marcação (localização exata) de pontos que possuam um par de coordenadas (chamados de pares ordenados), ou seja, uma informação da posição do ponto ao longo do eixo “x”, e, desse modo, teremos uma posição ao longo do eixo “y”.
Os interceptos: quase sempre terão um significado representado uma fronteira entre dois estados distintos. Determinar os interceptos de uma função será uma prática muito comum. 
Funções Crescentes e Decrescentes
Matematicamente: se x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2)
Função crescente: no intervalor de 0 a 5,5, observa-se que, à medida que aumentamos o valor de x, o valor de y aumenta.
Função decrescente: no intervalor de 0 a 3,0, observa-se que, à medida que aumentamos o valor de x, o valor de y diminui 
Mesma função pode apresentar intervalos crescentes e outros intervalos decrescentes.
Pontos de Máximo e Mínimo 
os pontos de máximo e mínimo de uma função, que comumente representam aspectos de destaque, como o máximo lucro de um negócio ou o seu mínimo custo.
Atividade
Com o tabela de registro, geramos um gráfico e tiramos a media dos valores dados na tabela de registros. 
Com o valor médio conseguimos a função, (Excel) 
Q = f(t) = 160.t-3200
T = tempo F = função
Para t = 31 Q=f(31)=160.t-3200=160 x 31-3200=1.760 sorvetes no sábado
Para t = 37 Q=f(37)=160.t-3200=160 x 37-3200=2.720 sorvetes no domingo
A função do 1º grau – modelo linear – aula 2
Função do 1º 
- Função polinomial (que possui vários monômios). Ela é do tipo:
y = f(x) = an.xn+an-1.xn-1 + ⋯ + a2.x2 + a1.x1 + a0.x0
E dizemos que possui grau (ou ordem) “n”.
A ordem de um polinômio é dada pelo expoente de maior grau; assim, dizemos que a equação abaixo é do 3º grau:
y = f(x) = a3.x³ + a2.x² + a1.x² + a0.x0
x0 = 1 - Qualquer base elevada a zero é sempre 1.
x1 = x - Qualquer base elevado a um é sempre ela mesma.
Para que tenhamos uma equação do 1º grau, não podemos deixar de ter o coeficiente a1 ≠ 0 e nenhum termo superior a a1, uma vez que isso caracterizaria uma equação de ordem superior.
*nunca por porcentagem em conta, dividir sempre por 100 antes*
y = f(x) = a.x + b
Ex: y (variável dependente) = f(X) =0,05 (valor variável).x (variável independente) + 880 (valor fixo) 
Y = f(x) =
Equação (função) do 1º grau
Representação gráfica da Função do 1º grau
A representação gráfica auxílio à interpretação mais rápida e clara do comportamento das variáveis de um problema. 
Coeficientes Angular e Linear
· coeficiente angular da reta, uma vez que a sua variação altera a inclinação da reta.
· Coeficiente angular negativo (a < 0): a função é dita decrescente, a medida que a variável independente ("x") aumenta, o valor da função ("y") diminui.
· Coeficiente angular nulo (a = 0): a função é dita constante, ainda que a variável independente ("x") aumente, o valor da função ("y") não se altera, permanecendo constante.
· coeficiente linear da reta, uma vez que a sua variação altera o ponto de interceptação ao longo da linha do eixo vertical.
1. Angular = a (gráfico x); linear= b (gráfico y) 
Coeficiente angular positivo, função crescente e quando negativo função descrente. 
y = f(x) = a.x + b
a = Y2 – Y1 =
 X2 – X1 
Pode usar quais quer pontos 
Modelo Linear
O conceito de linearidade remete à condição do que segue uma lógica que se pode prever, uma lei de formação; dizemos, então, que segue em linha, e isso se relaciona com a proporcionalidade entre as variáveis.
A lei de formação é dada pela equação que nos permite prever um valor à frente, e a linha se refere à reta que representa a equação. 
Aplicações do modelo linear – aula 3
 variadas aplicações para o modelo linear em algumas rotinas de análise e planejamento das empresas, tais como:
1. Custo: representa o valor que deve ser pago para que haja a produção de bens ou de um serviço.
Bens - sempre algo, como mercadorias.
Serviços - é algo intangível, conjunto de atividades que são desenvolvidas pelos profissionais.
O custo é necessário e um dos maiores objetos de estudo das empresas, uma vez que custos elevados de produção podem comprometer os resultados da empresa (lucro) ou até mesmo inviabilizar a operação.
Quanto ao volume de produção, por exemplo, o custo é subdividido na soma do custo fixo (Cf) e do custo variável (Cv), e, assim, passamos a chamá-lo de custo total (Ct).
Em uma fábrica existe os custos fixos que são de nível de atividade da empresa, como limpeza, equipamentos, computadores e outros; e tem os custos variável são de nível a produção como matéria prima, embalagem e energia. 
Cv, custo variável = custo necessário para produzir de forma unitária, então multiplicando pela quantidade produzida 
Cv =Cu*
Para encontrar o custo total, soma custo fixo ao custo variável
Ct=Cf +Cu*
Essa equação estabelece relação entre a quantidade produzida e o custo necessário para produção. 
Semelhante a função do 1º 
Ct é a variável dependente, e q (quantidade produzida) a variável independente, sendo o coeficiente linear da reta o Cf, e o coeficiente angular da reta, o Cu.
C(q)= Cf + Cv Cu*Q
C(q) = função custo por quantidade produzida
Cf = custo fixo
Cv = custo variável 
Cu = custo unitário 
Q = quantidade produzida 
2. Receita: “O total das somas de dinheiro que uma pessoa natural ou jurídica recebe dentro de certo espaço de tempo, relativamente aos seus negócios, proventos ou rendas.”
Multiplicarmos a quantidade vendida pelo preço de venda (Pv), teremos a receita (bruta) ou faturamento do negócio em um determinado período ou em uma negociação específica.
Não podemos deixar de identificar a forte semelhança, mais uma vez, com o nosso modelo linear, dessa vez tendo a ausência do coeficiente linear (b = 0).
Essa função de função afim, tem representação gráfica é uma reta (linear) se não vendermos nada, também não teremos nenhuma receita, colaborando com o modelo matemático.
A receita referida acima é também chamada de receita bruta, justamente por ainda não ter sido feito nenhum abatimento, como os custos totais. Após abatermos os custos operacionais do faturamento, obtém-se, um valor que ainda terá de ser suficiente para abater as despesas e os impostos, para finalmente chegarmos ao resultado operacional líquido.
3. Lucro: é o saldo resultante entre receita total e custo total. “Ganho que se obtém de qualquer especulação, depois de descontadas as despesas; ganho líquido.”
com isso pode-se gastar a diferença entre receita total (Rt) e custo total (Ct).
Então, lucro total = (preço de venda - custo unitário) X quantidade vendida – custo fixo. Denominada função lucro. 
Lt é a variável dependente e "q" é a variável independente, a diferença Pv - Cu é a margem de contribuição(no modelo linear é o coeficiente linear da reta), e Cf é o custo fixo (no modelo linear, é o coeficiente angular da reta).	
4. Depreciação: Perda periódica do valor de um bem em função da sua utilização, obsolescência ou desgaste natural. O estudo da depreciação de um bem (ativo) de uma empresa é muito importante
A depreciação ocorre ao longo do tempo a um certo ritmo (taxa de depreciação), que pode ser linear ou não. Admitindo uma taxa de depreciação constante ao longo do tempo, poderemos mais uma vez aplicar o modelo linear para podermos estudar o comportamento dessa variável.
Vt - valor do bem em um determinado tempo t.
V0 - valor inicial do bem.
k - taxa de depreciação, ou seja, o ritmo ao mês ou ao ano em que o bem se deprecia.
 t - Período considerado (que deve estar na mesma unidade da taxa de depreciação).
Encontramos o a taxa de depreciação por: 
K= V0 (valor inicial)
 Vida útil 
5. Demanda: está relacionada à procura, por parte dos consumidores, por um bem ou serviço, existe demanda é porque existe procura. 
Razões que influenciam a demanda de um bem ou serviço:
· Preço (menor preço faz a demanda aumentar e vice-versa).
· Sazonalidade (relacionado a épocas do ano para o setor de vestuário e alimentos).
· Poder de compra do consumidor.
· Gosto do consumidor.
· Influências do comportamento social.
· Preços de bens ou serviços substitutos.
Função demanda de mercado 
D: representa a demanda de mercado por um determinado bem ou serviço.
p: representa o preço desse bem ou serviço.
6. Oferta quantidade de bens ou serviços que os seus produtores (ou serviços) esperam vender ao mercado em um determinado período.
Função oferta de mercado (ou curva de oferta): 
S: representa a oferta de mercado por um determinado bem ou serviço.
p: representa o preço desse bem ou serviço.
Existe um ponto entre lucro, receita e custo no qual é determinado que a partir desse ponto é favorável e anterior a ele é negativo ou prejuízo. 
Lei da Oferta e Procura
O conceito de oferta guarda relação natural com a demanda ou serviço; essa relação é chamada de lei da oferta e procura (demanda).
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