ENG 10040 - Aula 8 - Parametros Eletricos de LT - Parte 3 - V10 0 - Mar 2024

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ENG 10040 
SISTEMAS DE TRANSMISSÃO 
DE ENERGIA ELÉTRICA
Aula 8
Parâmetros Elétricos de LT
Parte 3 - Capacitância
Prof. Flávio Antonio Becon Lemos, Dr. Eng.
Março de 2024 – V10.0 
Este material é um resumo da aula para servir de apoio e consulta aos alunos, não possuindo a função de substituir as bibliografias 
recomendadas como fonte de estudo. Estes slides estão em continuo aperfeiçoamento. Favor informar ao autor a existência de erros.
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Estrutura da Aula
• Resistência
• Indutância de uma linha monofásica
• Indutância de uma linha trifásica
• Capacitância de uma linha monofásica
• Capacitância de uma linha trifásica
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Introdução 
relembrando
• Em projetos de LT, os fatores elétricos determinam:
– O tipo de condutor, área e o número de condutores por fase
– A capacidade térmica – condutor não deve exceder o limite de 
temperatura, mesmo sob condição de emergência
– O número de isoladores: manter distância fase-estrutura, fase-fase, 
sustentar condutores, etc. Deve operar sob condições anormais 
(raios, chaveamento, etc.) e em ambientes adversos (umidade, 
maresia, etc.)
– A estrutura da torre: isto é função do número de isoladores (devido 
ao peso), necessidade de tração mecânica e peso do condutor.
• Esses fatores são utilizados para determinar os parâmetros da LT 
(R, L, C) relacionados com o modelo da LT que será construída
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Parâmetros Elétricos de uma LT
relembrando
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Capacitância
• Em um condutor existem cargas em movimento e uma 
diferença de potencial entre os condutores
Capacitância = (carga/diferença de potencial)  C=Q/V
• A linha de transmissão se comporta como se os condutores 
fossem placas de capacitores.
Linhas de 
campo elétrico
Equipotencial
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Campo elétrico em um 
condutor cilíndrico
• Considerar um condutor cilíndrico, com carga uniforme, longo e perfeito 
(resistividade  = 0)
• O campo elétrico é radial
• Os pontos equidistantes do condutor 
(linha tracejada) são equipotenciais 
(apresentam a mesma intensidade de 
campo elétrico).
• A intensidade de campo elétrico no 
interior do condutor pode ser 
considerada nula.
Linhas de 
campo elétrico
Equipotenciais
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Capacitância de uma 
LT Monofásica
r r
D
qa qb
Capacitância
A tensão entre o condutor a e b será:
Considere as seguintes situações
 ra = rb = r e r << D 
qa = -qb= q
Cargas uniformemente distribuídas no condutor → campo uniforme
𝐶 =
𝑞
𝑣
F/m
𝑉𝑎𝑏(𝑞𝑎) =
𝑞𝑎
2𝜋𝜀0
ln
𝐷
𝑟
a b
𝑉𝑏𝑎(𝑞𝑏) =
𝑞𝑏
2𝜋𝜀0
ln
𝐷
𝑟
Desde que 𝑉𝑎𝑏(𝑞𝑎) = −𝑉𝑏𝑎(𝑞𝑏) 𝑉𝑎𝑏(𝑞𝑏) =
𝑞𝑏
2𝜋𝜀0
ln
𝑟
𝐷
A tensão entre o condutor b e a será:
tem-se que
Condutor a (só) tem uma carga 𝑞𝑎
Condutor b (só) tem uma carga 𝑞𝑏
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Capacitância de uma 
LT Monofásica
𝐶𝑎𝑏 =
𝜋𝜀0
𝑙𝑛 Τ𝐷 𝑟
=
𝜋 8,85 × 10−12
𝑙𝑛 Τ𝐷 𝑟
𝐅/𝐦
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜖
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
 𝐕
Pelo Teorema da Superposição, a diferença de potencial devido a presença de ambas 
as cargas será
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑏(𝑞1)+𝑉𝑎𝑏(𝑞2)=
𝑞𝑎
2𝜋𝜀𝑜
ln
𝐷
𝑟
+
𝑞𝑏
2𝜋𝜀𝑜
ln
𝑟
𝐷
Para a LT monofásica
𝑞𝑏 = −𝑞𝑎 = −𝑞
(1)
Então a equação (1) se reduz a
Dessa forma, utilizando a definição 𝐶 = ൗ𝑄
𝑉 define-se a capacitância Cab como
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Capacitância de um 
LT Monofásica
𝑋𝐶 =
1
2𝜋 𝑓 𝐶
𝑋𝐶 =
2,8622
𝑓
109𝑙𝑛
𝐷
𝑟
 𝜴 𝒎
𝑋𝐶 =
1,7789
𝑓
106𝑙𝑛
𝐷
𝑟
 𝜴 𝒎𝒊
A reatância capacitiva fase-terra 
é dada por
𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 2𝐶𝑎𝑏
𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 =
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛 Τ𝐷 𝑟
=
17,7 𝜋10−12
𝑙𝑛 Τ𝐷 𝑟
 𝐅/𝐦
A capacitância entre cada condutor e a 
terra é calculada como
Considere a situação da seguinte LT
Esta LT pode ser representada pelo circuito:
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Exemplo 1
Determine a capacitância, reatância capacitiva e susceptância capacitiva 
por milha de uma linha monofásica que opera a 60 Hz. O condutor é o 
Partridge e o espaçamento entre centros dos condutores é de 20 ft.
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Capacitância de um 
LT Monofásica
Da mesma forma que a determinação de indutância através de tabelas, a 
capacitância pode ser calculada utilizando tabelas com valores padronizados.
A reatância capacitiva fase-terra será dada por
𝑋𝑐 =
1,7789
𝑓
106 𝑙𝑛
1
𝑟
 +
1,7789
𝑓
 106𝑙𝑛𝐷
𝑿′𝒂 𝑿′𝒅
𝑿𝒄 = 𝑿′𝒂 + 𝑿′𝒅
Sendo
X’a a reatância capacitiva para um pé de afastamento (ver unidades na tabela)
X’d o fator de espaçamento 
r o raio externo do condutor (se for encordoado, aproximação erro pequeno)
Este tipo de abordagem, por tabela, não costuma mais ser utilizado. 
É apresentado de forma ilustrativa. 
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Exemplo 2
Este exemplo é apresentado somente para mostrar de forma ilustrativa como é 
realizado o estudo de determinação de parâmetros usando Tabelas Padronizadas.
Calcule, utilizando tabelas padronizadas, a capacitância, reatância capacitiva e 
susceptância capacitiva por milha de uma linha monofásica que opera a 60 Hz. O 
condutor é o Partridge e o espaçamento entre centros dos condutores é de 20 ft.
SOLUÇÃO
Inspecionado–se a Tabela A3 (slide 14), tem-se que
𝑋𝑎
′ = 0,1074 𝑀Ω 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎
Da tabela A5 (slide 14), para D = 20 pés obtém-se
𝑋𝑑
′ = 0,0889 𝑀Ω 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎
Logo, a reatância capacitiva fase-terra (por condutor) total é dada por
𝑋𝑐 = 𝑋𝑎
′ + 𝑋𝑑
′ = 0,1074 + 0,0889 = 0,1963 𝑀Ω 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎
A reatância capacitiva da linha monofásica será
𝑋𝑐 = 2(𝑋𝑎
′ + 𝑋𝑑
′ ) = 0,3926 𝑀Ω 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎
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Tabelas
Xa
Xd
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Influência do Solo
na capacitância da LT
Considere a seguinte LT linha 
monofásica isolada, onde as 
linhas de campo elétrico são 
normais as equipotenciais.
Caso a linha esteja suficientemente 
perto do solo, tem-se:
• O solo também é uma superfície 
equipotencial, causando uma distorção 
nas linhas de campo elétrico, que 
serão normais (ortogonais) a ele.
• A proximidade do solo altera o formato 
das linhas de campo elétrico → altera a 
capacitância.
• O efeito é maior quanto mais próxima a 
linha estiver do solo.
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Influência do Solo
na capacitância da LT
Imagine uma continuação das linhas de campo elétrico abaixo do solo e simétrica 
ao plano do solo (como em um espelho), terminando emcargas sob o solo:
As cargas sob o solo são 
denominadas cargas imagem.
A terra é representada através de 
um condutor fictício (imagem) 
carregado com carga igual e 
oposta ao condutor real, a uma 
profundidade igual a altura do 
condutor real.
Pode-se remover a linha do solo e 
calcular a diferença de potencial e 
a capacitância da maneira usual 
(método das imagens)
cargas espelhadas
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Exercício Proposto 1
No exemplo anterior foi determinada a capacitância entre condutores de uma linha monofásica que opera a 
60 Hz com condutores Partridge e espaçamento entre centros dos condutores de 20 ft. Foi obtido o valor 
Cab = 4,2030x10-12 F/m. 
Obtenha a expressão da capacitância levando em conta o efeito do solo e calcule a capacitância da linha, 
supondo que ela esteja a 30 pés (10 metros) e 90 pés (30 metros) acima da terra. A expressão da 
capacitância considerando o efeito do solo será obtida através do método das imagens. 
Considere a superfície do solo como um espelho. Assim, tem-se uma linha idêntica a original, localizada 
abaixo da terra, e com carga oposta a primeira:
Para uma distância de 90’, H = 90’ e M= 181,1077’ Cab =4,2069 x10-12 F/m
Para uma distância de 30’, H = 30’ e M= 63,2456’, Cab =4,2367 x10-12 F/m
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Exercício Proposto 1
A figura a seguir mostra o valor da capacitância em função da altura da linha em
relação ao solo
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Exercício Proposto 2
Uma linha monofásica e composta por dois condutores sólidos com diâmetros 
iguais a 0,229”. Os condutores estão afastados de 10’ entre si e 25’ acima do solo. 
Compare as capacitâncias ao neutro em farads por metro (F/m) da linha 
considerando e desprezando o efeito do solo.
𝐶𝑎𝑛 = 7,9905 × 10−12 F/m 𝐶𝑎𝑛 = 8,0131 × 10−12 F/mRespostas
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Capacitância de LT Trifásica
• Como foi estudado anteriormente, os condutores de uma LT podem 
estar acoplados capacitivamente da seguinte forma:
– LT trifásica
• com os demais condutores (capacitâncias parciais)
– LT trifásica com efeito solo
• com os demais condutores e o solo (capacitâncias aparentes/fictícias – com 
neutro/solo potencial nulo)
– LT trifásica com para-raios
• com os demais condutores e o para-raios
– LT trifásica com efeito solo e para-raios
• com os demais condutores, o solo e o para-raios
• Uma forma de simplificar a análise, é tratar as LTs equilibradas, e determinar a 
chamada capacitância de sequência positiva (ou de serviço). Esta é a 
capacitância normalmente empregada em modelos de LT para simulações de 
regime permanente.
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Capacitância de LT Trifásica
com Espaçamento Simétrico
Dab Dbc
Dca
Fase a
Fase b
Fase c
Considere a seguinte situação:
𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 = 𝑟𝑐 = 𝑟
𝑞𝑎 + 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 = 0
𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑐 = 𝐷𝑐𝑎 = 𝐷
Condutores iguais (mesmo tipo)
LT equilibrada :
Espaçamento entre fases simétrico
As tensões fase-fase serão dadas por:
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝐷
𝑉𝑏𝑐 =
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑏𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝑟
𝐷
𝑉𝑐𝑎 =
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
𝐷
Cada tensão recebe contribuição das 3 fases
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Capacitância de LT Trifásica
com Espaçamento Simétrico
Relembrando, considere os fasores de tensão:
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉∠0° 𝐕
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉∠ − 120° 𝐕
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉∠120° 𝐕
e
𝑉𝑎𝑏 = 3 𝑉 ∠30° 𝐕
𝑉𝑏𝑐 = 3 𝑉 ∠ − 90°𝐕
𝑉𝑐𝑎 = 3 𝑉 ∠150°𝐕
sendo 𝑉𝑎𝑛 =
1
3
𝑉𝑎𝑏 − 𝑉𝑐𝑎
𝑉𝑎𝑛 =
1
3
 
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑏
−𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
𝐷
− 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝑑𝑒 𝑉𝑐𝑎
Realizando as substituições e manipulando tem-se
Considerando que 𝑞𝑐 = − 𝑞𝑎 + 𝑞𝑏
𝑉𝑎𝑛 =
𝑞𝑎
6𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
3
=
𝑞𝑎
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
 𝐕
Tem-se que
A capacitância fase-neutro vale:
𝐶𝑎𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
=
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛 Τ𝐷 𝑟
 𝐅/𝐦
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Capacitância de LT Trifásica
com Espaçamento Assimétrico
Considere a seguinte linha de transmissão trifásica:
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒂 𝒃
𝒄
𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 = 𝑟𝑐 = 𝑟Condutores iguais (mesmo tipo) 
Considerações
A LT é transposta – utiliza-se a capacitância média
𝐷𝑎𝑏 ≠ 𝐷𝑏𝑐 ≠ 𝐷𝑐𝑎Espaçamento entre fases assimétrico
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Transposição das
Fases
Trecho 2Trecho 1 Trecho 3
a
a
ab
b
bc
c
c
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒂 𝒃
𝒄
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒄 𝒂
𝒃
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒃 𝒄
𝒂
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Capacitância de LT Trifásica
com Espaçamento Assimétrico
Considerando a transposição, a linha pode ser separada em três trechos distintos:
Para o trecho 1 em que a fase a esta na posição 1, b na posição 2 e c na posição 3, tem-se:
𝑉𝑎𝑏𝟐 =
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷23
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷23
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷31
𝐷12
𝑉𝑎𝑏𝟑 =
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷31
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷12
𝐷23
𝑉𝑎𝑏𝟏 =
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷12
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷12
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷23
𝐷31
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒂 𝒃
𝒄
Analogamente, para os outros 2 trechos:
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒄 𝒂
𝒃
𝐷31
𝐷12
𝐷23
𝒃 𝒄
𝒂
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Capacitância de LT Trifásica
com Espaçamento Assimétrico
𝑉𝑎𝑏 =
1
3
𝑉𝑎𝑏
1
+ 𝑉𝑎𝑏
2
+ 𝑉𝑎𝑏
3
=
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑎𝑙𝑛
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝑉𝑐𝑎 =
1
3
𝑉𝑐𝑎
1
+ 𝑉𝑐𝑎
2
+ 𝑉𝑐𝑎
3
=
1
2𝜋𝜀0
𝑞𝑐𝑙𝑛
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
3 𝐷12𝐷23𝐷31
A tensão Vab é a média das tensões nos três trechos:
De forma análogo, tem-se que:
𝑉𝑎𝑛 =
1
3
𝑉𝑎𝑏 − 𝑉𝑐𝑎
Lembrando que:
𝐶𝑎𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
𝑞𝑎 + 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 = 0 𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 𝐶𝑐𝑛=
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛 Τ𝐷𝑒𝑞 𝑟
 𝐅/𝐦
𝐷𝑒𝑞 = 3 𝐷12𝐷23𝐷31
A capacitância fase-neutro vale:
tem-se finalmente 
para carga equilibrada →
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Capacitância 
de LT Trifásica
A capacitância depende:
- da Distância Média Geométrica (DMG) entre os 
cabos (torre)
- do raio (r ) do cabo - catálogo fornece diâmetro (d )
- do meio (0 embutido no termo 8,85x10-12)
𝐶 =
8,85×10−12
ln
𝐷𝑀𝐺
𝑟
 F/m
𝐷𝑀𝐺 = 3 𝐷𝑎𝑏𝐷𝑏𝑐𝐷𝑐𝑎
d
Fase a Fase b Fase c
Dab Dbc
r
Dca
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Exemplo 3
Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha da LT trifásica da figura 
abaixo. O condutor é o Drake (CAA), e o comprimento da LT é 175 milhas. A tensão 
de operação da LT é 220kV a 60 Hz. Determine também a reatância capacitiva total 
da LT e a potência reativa de carregamento.
20’ 20’
38’
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Tabela
de Características de Condutores
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Tabela
de Características de Condutores
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Exercício Proposto 2
Uma LT trifásica de 500kV, transposta, é composta de 1 (um) condutor ACSR 1.272.000 cmil 
45/7 Bittern por fase, em disposição horizontal em uma torre autoportante. A figura abaixo 
mostra a disposição e a distância entre as fases do circuito da LT. Os condutores tem um 
diâmetro de 1,345 polegadas e um RMG de 0,5328 polegadas.
Encontre a indutância e a capacitância por fase por km destaLT
D13 = 70 ft
D12 = 35 ft D23 = 35 ft
a b c
Respostas
Cn= 0,0083  F/km e L = 1,38 mH/km
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Efeito do solo sobre a capacitância 
de LT trifásicas
Superfície
 do solo
𝑫𝒂𝒂′ 𝑫𝒃𝒃′ 𝑫𝒄𝒄′
𝑫𝒃𝒄
𝑫𝒄𝒂
𝑫𝒂𝒃
𝑫𝒄𝒂′𝑫𝒂𝒃′ 𝑫𝒃𝒄′
𝒂
𝒃
𝒄
𝒂′
𝒃′
𝒄′
Imagem das fases
Método das Imagens
Através desse método obtém-se uma expressão para a 
capacitância que: 
• leva em conta as distâncias entre os condutores 
• e as distâncias entre os condutores e as imagens
𝐷𝑒𝑞 = 3 𝐷𝑎𝑏𝐷𝑏𝑐𝐷𝑐𝑎
• As duas expressões são idênticas. (observe a propriedade dos ln)
• Note que o termo 
3 𝐷𝑎𝑏′ 𝐷𝑏𝑐′ 𝐷𝑐𝑎′ (diagonais) sempre é maior que o 
termo 
3 𝐷𝑎𝑎′ 𝐷𝑏𝑏′ 𝐷𝑐𝑐′ (verticais), razão pela qual o segundo termo 
sempre reduz o valor do denominador, ou seja, a consideração do 
efeito da terra aumenta a capacitância com relação à terra .
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀0
ln
𝐷𝑒𝑞
𝑟
− 𝑙𝑛
3 𝐷𝑎𝑏′ 𝐷𝑏𝑐′ 𝐷𝑐𝑎′
3 𝐷𝑎𝑎′ 𝐷𝑏𝑏′ 𝐷𝑐𝑐′
=
2𝜋𝜀0
ln
𝐷𝑒𝑞
𝑟
+ 𝑙𝑛
3 𝐷𝑎𝑎′ 𝐷𝑏𝑏′ 𝐷𝑐𝑐′
3 𝐷𝑎𝑏′ 𝐷𝑏𝑐′ 𝐷𝑐𝑎′
𝐅/𝐦
Fases da LT
Efeito 
Solo
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Exemplo 4
Uma LT trifásica de 138 kV é constituída de 1 condutor Hawk por fase, operando 
em 60Hz. Calcule a capacitância por fase, com e sem o efeito terra, sabendo que 
o cabo mais baixo do arranjo de condutores está a 7,0 m do solo, e o 
espaçamento entre cada fase é de 4,0m.
*** A estrutura da torre não está em escala e o número de isoladores na cadeia é somente ilustrativo.
7,00 m
4,00 m
4,00 m
2,55 m
SOLO
138 kV
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Exercício Proposto 3
Cortesia Prof. S. Haffner
Faça uma análise com e sem a consideração do efeito solo. Determine a capacitância e a susceptância 
para os dois tipos de configuração. Explique suas conclusões.
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Capacitância de LT trifásicas 
com Múltiplos Condutores/Fase
Para uma LT onde cada fase é composta por n condutores (feixe ou bundle), 
deve-se considerar que a carga em cada um seja de qa/n (para a fase a).
O procedimento para a obtenção da capacitância é semelhante ao que foi 
realizado anteriormente, sendo que o resultado final será: 
Em que
𝐷𝑏
𝑠𝐶 = 𝑟𝑑
𝐷𝑏
𝑠𝐶 =
3
𝑟𝑑2
𝐷𝑏
𝑠𝐶 = 1,09
4
𝑟𝑑3
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛 Τ𝐷𝑒𝑞 𝐷𝑏
𝑠𝐶
para 2 condutores por fase
para 3 condutores por fase
para 4 condutores por fase
ATENÇÃO - Os Db
sC são RMG modificados em relação aos RMG usados no cálculo das indutâncias, pois o 
raio externo substitui o raio efetivo.
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Exemplo 5
d = 45cm
D = 8m
a a’ b b’ c c’
Determine a reatância capacitiva por fase da linha trifásica mostrada na figura abaixo. 
A LT tem 160 km de comprimento e 2 subcondutores do cabo Pheasant (CAA) por fase.
D = 8m
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Exercício Proposto 4
Neste exercício a LT do exercício proposto 1 é agora composta por 2 condutores por fase ACSR 636.000 cmil, 
24/7 Rook, o qual tem a mesma seção transversal total da área de alumínio de um condutor Bittern. O 
espaçamento entre fases, medido do centro do feixe (bundle), é o mesmo do exemplo 2. Os condutores tem 
um diâmetro de 0,977 e um RMG de 0,3924 polegadas. Encontre a indutância e a capacitância por fase por 
km desta configuração de LT e compare com o resultado do exercício proposto 1. 
 
Exercício Proposto 1
1 cond/fase
d = 18 in
D12 = 35 ft
a a’ b b’ c c’
D23 = 35 ft
D12 = 70 ft
D13 = 70 ft
D12 = 35 ft D23 = 35 ft
a b c
Respostas
Cn= 0,0107 F/km e L = 1,0588 mH/km
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Exercício Proposto 5
Uma LT aérea trifásica, 50Hz,132kV tem seus condutores posicionados em um
plano horizontal, conforme a figura. Cada condutor tem um diâmetro de 2 cm,
sendo que a LT possui um comprimento total de 100km e é totalmente transposta.
Para esta condição, determine a corrente capacitiva por fase gerada pela LT.
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Capacitância de LT trifásica 
de Circuito Duplo
𝐶 =
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝑹𝑴𝑮𝑪
F/m 𝐶 =
0,0556
𝑙𝑛
𝐷
𝑒𝑞
𝑹𝑴𝑮
𝑪
 𝜇F/km 
𝑹𝑴𝑮𝑪 = 3 𝒓𝑨 𝒓𝑩 𝒓𝑪
𝑟𝐴 = 𝒓𝒃𝐷𝑎1𝑎2
𝑟𝐵 = 𝒓𝒃𝐷𝑏1𝑏2
𝑟𝐶 = 𝒓𝒃𝐷𝑐1𝑐2
𝑟𝑏 = 𝑟 𝑑
𝑟𝑏 =
3
𝑟 𝑑2
𝑟𝑏 = 1,09
4
𝑟 𝑑3
Considere uma LT trifásica com posição relativa das fases na torre a1 b1 c1 - c2 b2 c2 (como mostra a figura). 
O efeito dos para-raios e o efeito solo são desprezados.
As tensões 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑏𝑐 𝑉𝑐𝑎 𝑉𝑎𝑛 são calculadas da mesma forma da seção anterior.
A capacitância equivalente fase-neutro é calculada como.
ou
A expressão para o cálculo de Deq é a mesma utilizada para o cálculo da indutância
A expressão para o cálculo de RMGc de cada grupo de fase (feixe de condutores) é similar ao utilizado para 
o cálculo da indutância de fase com subcondutores. Entretanto 𝒓𝒃 é usado no lugar de 
b
sD
Desta forma, tem-se as seguintes equações
onde 𝒓𝒃 é o RMG do 
feixe de condutores 
dado por 
O RMGC equivalente para o cálculo 
da capacitância fase-neutro é dado 
por
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Exemplo 6
Determine a susceptância capacitiva por fase da LT trifásica de circuito duplo mostrada na 
figura abaixo, cuja distribuição da posição das fases em cada lado da torre está mostrada no 
desenho. Os 2 circuitos são compostos por cabo CAA Ostrich 300.000 CM. De acordo com o 
catálogo, o diâmetro externo do condutor tipo Ostrich é Ds = 0,680 polegadas. 
Respostas
Cn= 18,58pF/m e Bc = 7nS/m = 11,27S/milha
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Exercício Proposto 6
Repita o exemplo anterior para a configuração de linha mostrada a seguir 
e compare os resultados obtidos.
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Tabela de 
Característica de Condutores
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Tabela de 
Característica de Condutores
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Exercício de Revisão
d = 45 cm
17 m
a a’ c c’
b b’ b b’
c c’ a a’
Fase a1
Fase a2
Fase c2
Fase b1 Fase b2
Fase c1
16 m
24 m
9 m
10 m
Uma torre possui um circuito duplo, composto por 2 LTs, ambas construídas com o 2 condutores Kiwi por fase 
(ACSR 2 167 000 cmil – 72/7), conforme apresentado na figura abaixo. Para esta configuração, determine a 
indutância e a capacitância por fase/km, sem considerar o efeito terra.
CIRCUITO 1 CIRCUITO 2
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Exercício de Revisão
Solução 
𝐷𝑎1𝑏1 = 10,7703 𝐷𝑎1𝑏2 = 22,3607 𝐷𝑎2𝑏1 = 22,3886 𝐷𝑎2𝑏2 = 9,6566
𝐷𝑏1𝑐1 = 9,6566 𝐷𝑏1𝑐2 = 22,3607 𝐷𝑏2𝑐1 = 22,3886 𝐷𝑏2𝑐2 = 10,7703
𝐷𝑎1𝑐1 = 19,0065 𝐷𝑎1𝑐2 = 16,0000 𝐷𝑎2𝑐1 = 17,0000 𝐷𝑎2𝑐2 = 19,0065
𝐷𝑎1𝑎2 = 25,1644 𝐷𝑏1𝑏2 = 24,0000 𝐷𝑐1𝑐2 = 25,1644
𝐷𝐴𝐵 = 4 𝐷𝑎1𝑏1𝐷𝑎1𝑏2𝐷𝑎2𝑏1𝐷𝑎2𝑏2 =
4
10,7703 22,3607 22,3886 9,6566 = 15,1057
𝐷𝐵𝐶 = 4 𝐷𝑏1𝑐1𝐷𝑏1𝑐2𝐷𝑏2𝑐1𝐷𝑏2𝑐2 =
4
9,6566 22,3607 22,3886 10,7703 = 15,1057
𝐷𝐶𝐴 = 4 𝐷𝑎1𝑐1𝐷𝑎1𝑐2𝐷𝑎2𝑐1𝐷𝑎2𝑐2 =
4
19,0065 16,0000 17,0000 19,0065 = 17,7049
𝐷𝑀𝐺 = 𝐷𝑒𝑞 =
3
(15,1057) 15,1057 17,7049 = 15,9267 m
1) Cálculo da distância entre fases
2) Encontrar o DMG para cada grupo de fase identicas
3) Determinar O DMG equivalente (distância média geométrica equivalente)
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Exercício de Revisão
Solução 
𝐷𝑆𝐴 = 0,08842 × 25,1644 = 1,4916
𝐷𝑆𝐶 = 0,08842 × 24,0000 = 1,4567
𝐷𝑆𝐶 = 0,08842 × 25,1644 = 1,4916
𝑟𝐴 = 0,09957 × 25,1644 = 1,5829
4) Cálculo da distância entre fases de cada circuito
5) Encontrar o RMG para cada grupo de fase
𝐷𝑠
𝑏 = 𝐷𝑠 × 𝑑 = 0,017374 × 0,45 = 0,08842
𝑟𝑏 = 𝑟 × 𝑑 =
0,044069
2
× 0,45 = 0,09957
𝑟𝐵 = 0,09957 × 24,0000 = 1,5458
𝑟𝐶 = 0,09957 × 25,1644 = 1,5829
𝑅𝑀𝐺𝐿 =
3
1,4916 × 1,4567 × 1,4916 = 1,4799 𝑅𝑀𝐺𝐶 =
3
1,5829 × 1,5458 × 1,5829 = 1,5705
6) Portanto, a indutância e a capacitância serão
𝐿 = 0,2𝑙𝑛
𝐷𝑀𝐺
𝑅𝑀𝐺𝐿
= 0,2𝑙𝑛
15,9267
1,4799
= 0,4752𝑚𝐻/𝑘𝑚 𝐶 =
0,0556
𝑙𝑛
𝐷𝑀𝐺
𝑅𝑀𝐺𝐿
=
0,0556
𝑙𝑛
15,9267
1,5705
= 0,0240 𝜇𝐹/𝑘𝑚
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Exercícios Propostos
Revisão
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Efeito Capacitivo em 
Cabos Blindados
• Em LT subterrâneas são utilizados cabos blindados. Esse 
tipo de cabo tem as seguintes características:
– distância pequenas entre os condutores (fases) – ( D pequeno)
–  >>1 e  >>0
• Os cabos apresentam uma alta capacitância
• Os cabos geram uma grande quantidade de reativos
• 132 kV → 2.000 kvar/mi
• 220 kV → 5.000 kvar/mi
• 400 kV → 15.000 kvar/mi
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Efeito Capacitivo em 
Cabos Blindados
• restrições nos comprimentos das linhas, devido a 
limitações térmicas (temperatura de operação) dos cabos
• Comprimentos críticos
– 132 kV → 40 mi ( 65 km)
– 200 kV → 25 mi ( 40 km)
– 400 kV → 15 mi ( 25 km)
• circuitos longos de cabos podem requerer a instalação 
de reatores para compensação de reativos.
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Cabos Blindados
Custos
• Quanto maior o nível de tensão do circuito maior é o custo por km ou por MVA do cabo 
subterrâneo comparado com uma linha aérea equivalente.
• As relações de custo de investimento entre cabos subterrâneos e linhas aéreas são as 
seguintes (referência TB 110 – Brochure 110 Comparison of High Voltage OHL and UGC do 
CIGRE, 1996):
– Faixa de tensão 110 – 219 kV → 5 a 10 vezes
– Faixa de tensão 220 – 362 kV → 9 a 16 vezes
– Faixa de tensão 363 – 764 kV → 15 a 25 vezes
• Estas relações de custos são baseadas na mesma extensão de rota. Elas podem variar 
significativamente devido aos diferentes requisitos de rota, planejamento, aspectos 
legais/regulatórios e aspectos ambientais para cada projeto. 
• Quando se inclui os custos das perdas nestas relações de custos elas sofrem uma ligeira 
redução, porém a diferença de custos entre cabos subterrâneos de alta tensão e linhas aéreas 
permanece muito significativa.
• Os custos de manutenção para cabos geralmente são menores do que os de linhas aéreas. 
• Os defeitos em cabos são raros mas os custos de reparo são consideráveis (maiores) .
• Linhas aéreas e cabos subterrâneos tem vida útil similares e duração estimada 
conservativamente de 30 anos.
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Algumas Questões
• Como se comporta o campo elétrico no interior de um 
condutor de uma LT
• Do que depende a diferença de potencial entre 2 pontos
• Como pode obter-se a diferença de potencial entre 2 
condutores de uma LT
• Quando a superfície da terra (solo) é levada em 
consideração, como se comportam as linhas de campo 
elétrico em relação ao solo
• Descreva o efeito do solo sobre o cálculo da capacitância 
da LT. 
• Explique uma condição para que o efeito capacitivo possa 
ser desprezado
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Questão de Revisão
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REVISÃO
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Diferença de Potencial 
entre 2 Condutores
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞𝑎
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟𝑎
+
𝑞𝑏
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑟𝑏
𝐷
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝜀
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟𝑎
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟𝑏
𝐷
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑎 + 𝑉𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑏
A ddp entre os dois condutores é obtida usando-se o princípio da superposição:
Superposição
• o campo interno ao condutor seja desprezível
• a diferença de potencial total deve-se as contribuições 
de qa e qb
• 𝐷 ≫ 𝑟𝑎, 𝑟𝑏, ou seja, um observador em um condutor 
enxerga o outro condutor como um ponto
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Diferença de Potencial 
entre 2 Condutores
• ddp devido a qa →referência no centro do condutor a → caminho de 
integração a para b (ra para D)
• ddp devido a qb →referência no centro do condutor b → caminho de 
integração a para b (D pararb)
Algumas observações em relação as equações apresentadas no slide anterior
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
a referência está em q, ou seja
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Campo elétrico em um 
condutor cilíndrico
Considere a lei de Ohm (eletrostática):
𝐸int = 𝜌 𝑱
em que J e a densidade de corrente. Considerando  = 0 (condutor perfeito), tem-se 
Eint = 0
Os elétrons no interior do condutor tenderiam a se repelir até a superfície do condutor, onde 
encontrariam um meio isolante.
O calculo da intensidade de campo elétrico a uma certa distância “x” do condutor é realizado 
utilizando a lei de Gauss:
 permissividade do meio 
𝜀 = 𝜀𝑟 𝜀0
0 – permissividade do vácuo e vale 8,85 x 10-12 F/m
r – permissividade relativa do meio, sendo que para o 
ar seco vale 1,00054. Costuma-se aproximar para 1
E – Intensidade do campo elétrico
S – Superfície gaussiana
Q – carga total contida em S.
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Campo elétrico em um 
Condutor Cilíndrico
Para a solução da equação de Gauss, deve-se imaginar uma superfície 
gaussiana, cilíndrica, concêntrica ao condutor e de raio igual a “x”:
linhas
de campo elétrico
equipotencial
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Campo elétrico em um 
condutor cilíndrico
Tomando uma faixa da superfície gaussiana de comprimento diferencial dl, a expressão será:
𝜀 න
𝑙
𝐸 2𝜋 𝑥 𝑑𝑙 = 𝑄
Pois a faixa tem área de 2𝜋 𝑥 𝑑𝑙
Integrando
Considerando a carga por unidade de comprimento
𝜀 𝐸 2𝜋 𝑥 𝑙 = 𝑄
𝐸 =
𝑄
2𝜋 𝑥 𝑙 𝜀
 V/m
𝐸 =
𝑄
2𝜋 𝑥 𝜀
 V/m
𝑞 =
𝑄
𝑙
com
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Diferença de potencial
entre 2 pontos
𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2 = න
𝐷1
𝐷2
𝐸 𝑑𝑥
𝑉12 = න
𝐷1
𝐷2 𝑞
2𝜋𝑥𝜀
 𝑑𝑥
𝑉12 =
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
 𝐕
Considere a situação descrita pela figura abaixo, onde existem 2 pontos, um em cada 
superfície equipotencial
Analogia mecânica:
Campo elétrico  força
ddp trabalho
Logo, a diferença de potencial representa o trabalho para 
mover uma carga unitária (1 C) entre 2 pontos
De acordo com a figura, a ddp entre os pontos P1 e P2 será :
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Diferença de potencial
entre 2 pontos
Para auxiliar no entendimento da ddp entre 2 pontos (linha monofásica), 
considere um caso particular mostrado na figura abaixo
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
 𝐕
Considerando o “ponto a” na superfície do condutor e que D >> r tem-se:
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Dúvidas
Lembre de complementar seus estudos com a leitura das 
bibliografias recomendadas.
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	Slide 4: Introdução relembrando
	Slide 5: Parâmetros Elétricos de uma LT relembrando
	Slide 6: Capacitância
	Slide 7: Campo elétrico em um condutor cilíndrico
	Slide 8: Capacitância de uma LT Monofásica
	Slide 9: Capacitância de uma LT Monofásica
	Slide 10: Capacitância de um LT Monofásica
	Slide 11: Exemplo 1
	Slide 12: Capacitância de um LT Monofásica
	Slide 13: Exemplo 2
	Slide 14: Tabelas
	Slide 15: Influência do Solo na capacitância da LT
	Slide 16: Influência do Solo na capacitância da LT
	Slide 17: Exercício Proposto 1
	Slide 18: Exercício Proposto 1
	Slide 19: Exercício Proposto 2
	Slide 20: Capacitância de LT Trifásica
	Slide 21: Capacitância de LT Trifásica com Espaçamento Simétrico
	Slide 22: Capacitância de LT Trifásica com Espaçamento Simétrico
	Slide 23: Capacitância de LT Trifásica com Espaçamento Assimétrico
	Slide 24: Transposição das Fases
	Slide 25: Capacitância de LT Trifásica com Espaçamento Assimétrico
	Slide 26: Capacitância de LT Trifásica com Espaçamento Assimétrico
	Slide 27: Capacitância de LT Trifásica
	Slide 28: Exemplo 3
	Slide 29: Tabela de Características de Condutores
	Slide 30: Tabela de Características de Condutores
	Slide 31: Exercício Proposto 2
	Slide 32: Efeito do solo sobre a capacitância de LT trifásicas
	Slide 33: Exemplo 4
	Slide 34: Exercício Proposto 3
	Slide 35: Capacitância de LT trifásicas com Múltiplos Condutores/Fase
	Slide 36: Exemplo 5
	Slide 37: Exercício Proposto 4
	Slide 38: Exercício Proposto 5
	Slide 39: Capacitância de LT trifásica de Circuito Duplo
	Slide 40: Exemplo 6
	Slide 41: Exercício Proposto 6
	Slide 42: Tabela de Característica de Condutores
	Slide 43: Tabela de Característica de Condutores
	Slide 44: Exercício de Revisão
	Slide 45: Exercício de Revisão Solução 
	Slide 46: Exercício de Revisão Solução 
	Slide 47: Exercícios Propostos Revisão
	Slide 48: Efeito Capacitivo em Cabos Blindados
	Slide 49: Efeito Capacitivo em Cabos Blindados
	Slide 50: Cabos Blindados Custos
	Slide 51: Algumas Questões
	Slide 52: Questão de Revisão
	Slide 53: REVISÃO
	Slide 54: Diferença de Potencial entre 2 Condutores
	Slide 55: Diferença de Potencial entre 2 Condutores
	Slide 56: Campo elétrico em um condutor cilíndrico
	Slide 57: Campo elétrico em um Condutor Cilíndrico
	Slide 58: Campo elétrico em um condutor cilíndrico
	Slide 59: Diferença de potencial entre 2 pontos
	Slide 60: Diferença de potencial entre 2 pontos
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