ENG 10040 - Aula 6 - Parametros Eletricos de LT - Parte 1 - V10 0 - Mar 2024 (1)

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ENG 10040 
SISTEMAS DE TRANSMISSÃO 
DE ENERGIA ELÉTRICA 
Aula 6
Parâmetros Elétricos de LT
Parte 1 – Resistência e Indutância
Prof. Flávio Antonio Becon Lemos, Dr. Eng.
Março de 2024 – V10.0 
Este material é um resumo da aula para servir de apoio e consulta aos alunos, não possuindo a função de substituir as bibliografias 
recomendadas como fonte de estudo. Estes slides estão em continuo aperfeiçoamento. Favor informar ao autor a existência de erros.
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Estrutura da Aula
• Resistência
• Indutância de uma linha monofásica
• Indutância de uma linha trifásica
• Capacitância de uma linha monofásica
• Capacitância de uma linha trifásica
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Introdução
• Em projetos de LT, os fatores elétricos determinam:
– O tipo de condutor, área e o número de condutores por fase
– A capacidade térmica – condutor não deve exceder o limite de 
temperatura, mesmo sob condição de emergência
– O número de isoladores: manter distância fase-estrutura, fase-fase, 
sustentar condutores, etc. Deve operar sob condições anormais 
(raios, chaveamento, etc.) e em ambientes adversos (umidade, 
maresia, etc.)
– A estrutura da torre: isto é função do número de isoladores (devido 
ao peso), necessidade de tração mecânica e peso do condutor.
• Esses fatores são utilizados para determinar os parâmetros da LT 
(R, L, C) relacionados com o modelo da LT que será construída
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Parâmetros Elétricos de uma LT
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Parâmetros Elétricos de uma LT
• Resistência (R)
– Dissipação de potência ativa devido a passagem de corrente
• Condutância (G)
– Representação de correntes de fuga entre condutores e nos isoladores 
(principal fonte de condutância)
– Depende das condições de operação da linha (umidade relativa do ar, 
nível de poluição, etc.) É muito variável, em função desses fatores.
– Seu efeito é em geral desprezado 
• Indutância (L)
– Deve-se aos campos magnéticos criados pela passagem das correntes
• Capacitância (C)
– Deve-se aos campos elétricos: carga nos condutores por unidade de 
diferença de potencial entre eles
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Parâmetros Elétricos de uma LT
• Com base nessas grandezas que representam fenômenos físicos que 
ocorrem na operação das LTs, pode-se obter um circuito equivalente 
(modelo )
Costuma ser 
desprezada
A condutância (G) representa as perdas nos isoladores e as perdas coronas 
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Resistência
𝑅𝐷𝐶 = 𝜌
l
𝐴
 (Ω)
 - resistividade do material, em  x m
l – comprimento, em m
A – Área da seção reta, em m2
Responsável pela perda de energia no condutor (efeito Joule – P (W)). 
𝑅 =
𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟
𝐼2 𝑜ℎ𝑚
Valores de  para materiais de cabos de LT
• Cobre recozido:  = 1,77 x 10-8 Ω.m
• Alumínio:  = 2,83 x 10-8 Ω.m
 depende da temperatura  R0 varia com a temperatura 
 aumenta → RDC aumenta
Resistência em corrente contínua RDC – Normalmente dada a 200C (catálogo). 
Resistência efetiva
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Resistência
R1 R2
t1
t2
T
R
t
𝑹𝟐
𝑹𝟏
=
𝑻 + 𝒕𝟐
𝑻 + 𝒕𝟏
A constante T depende do material
234,5 cobre recozido com 100% de condutividade
241,0 cobre têmpera dura com 97,3% de condutividade
228,0 alumínio têmpera dura com 61% de condutividade
T
Resistência - Comportamento linear na área de operação de LT aéreas 
Forma Simples de Obter R x t
Interpolação
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Exemplo 1 
Qual a resistência de um cabo ACSR (CAA) Turkey em 60 Hz, a 40⁰C.
Temperatura ⁰C 25 50
Resistência /1000ft 0,6553 0,7500
SOLUÇÃO
Para determinar a resistência a 40⁰C, deve-se interpolar os valores conhecidos, 
apresentados na Tabela acima 
Desta forma, a resistência a 40⁰C, será igual a
50 − 25
0,75 − 0,6563
=
40 − 25
𝑹 − 0,6553
1000𝑓𝑡 = 0,3048𝑘𝑚
ou
𝑅 = 2,3364/𝑘𝑚
𝑅 = 0,7121/1000𝑓𝑡
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Resistência a
Corrente Alternada
Tabela retirado do Livro: J. D. GLOVER, T. J. OVERBYE, M. S. SARMA “Power System Analysis & Design. 6 Ed. CENAGE. 2017
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Resistência a
Corrente Alternada
• A seguinte expressão é utilizada para corrigir os valores de resistência (AC), 
na temperatura de 20C, fornecida pelos fabricantes de condutores, para a 
temperatura de projeto 𝑇𝐶.
𝑅𝑇𝐶𝐴𝐶
= 𝑅𝐴𝐶 1 + 𝜶𝑨𝑪 𝑇𝐶 − 20
- Resistência (/m) do condutor em AC 
 para a temperatura de projeto (Tc C)
ACTC
R
AC - Coeficiente de variação da Resistência 
AC por unidade de Grau Celsius
**  depende do tipo de material que constitui o condutor

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Resistência a
Corrente Alternada
• R0 aumenta de 1 a 2% para cabos torcidos 
– fios de alumínio torcidos, (p.ex. cabos ACSR)
– Os condutores são torcidos para uniformizar a seção reta
• Para se ter “x” metros de cabo, necessita-se de 1 a 2 % metros de fios para 
depois agrupá-los e torcê-los.
• Em corrente alternada a distribuição de corrente não é uniforme pela seção 
reta do condutor (avaliar número de camadas/material condutor).
• A área útil para passagem da corrente diminui
RAC > RDC  efeito pelicular (“skin effect")
• A Resistência em Corrente Alternada (RAC), de um condutor, é determinada 
levando em conta 2 efeitos:
– Pelicular (Ys ) - skin
– Proximidade (Yp ) - Não costuma ser considerado
𝑅𝐴𝐶 = 𝑅𝐷𝐶 1 + 𝒀𝑺 + 𝒀𝒑 𝑅𝐴𝐶 = 𝑅𝐷𝐶 1 + 𝒀𝑺
Efeito Skin
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Resistência a
Corrente Alternada
• Efeito Pelicular (skin)
– Causa um aumento da resistência e uma diminuição da indutância interna com 
a diminuição da área efetiva de condução.
– A correção da resistência alternada, na expressão anterior, considerando o efeito 
pelicular é determinado através de funções de Bessel. 
– A expressão abaixo mostra essa correção.
𝒀𝒔 =
𝑋𝑠
4
192 + 0,8𝑋𝑠
4
𝑋𝑠
2 =
8 𝜋 𝑓 𝐾𝑠10−7
𝑅𝐷𝐶
Xs – fator obtido das funções de Bessel
f – frequência em Hz
Ks – fator que depende do tipo de cabo utilizado. 
Para cabos redondos com encordoamento 
normal ou compactado é utilizado o Ks = 1
Superfície
Corrente DC Corrente AC
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Resistência a 
Corrente Alternada
• Os fatores que afetam o efeito skin (pelicular) em uma LT são: 
– Tipo do material
– Diâmetro do fio – o efeito aumenta com o aumento do diâmetro.
– Frequência de operação – aumenta com o aumento da frequência.
– Forma do condutor – menor para condutores torcidos do que para sólido• O fator de efeito skin (ksk) é definido como a razão entre as resistências AC e DC do 
condutor
• O fator de efeito skin é usualmente menor que 1,02 para os principais condutores
comerciais , mas pode alcançar 1,08 para condutores de diâmetros superiores a 45mm.
• Uma abordagem analítica com funções de Bessel [**] pode ser utilizada para determinar 
o fator do Efeito Skin.
• Para aplicações práticas, uma aproximação de condutores torcidos como um 
condutor sólido ou tubo tem se mostrado adequado.
• Para aplicações gerais, uma abordagem gráfica (próximo slide) para diferentes 
valores de diâmetros de condutores leva a valores aproximados satisfatórios.
** CIGRE, Paris, “Alternating current resistance of helically stranded conductors”, TB 345, April 2008.
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Resistência a
Corrente Alternada
𝛿 = Τ𝜌 𝑓 𝜇 𝜋 
f – frequência de operação
𝝆 - resistividade do material
 - permeabilidade do material
𝛿 – Profundidade nominal 
de penetração da corrente
𝑟𝑖𝑛
𝑟𝑜𝑢𝑡
A.W. Ewan, “A set of curves for skin effect in isolated tubular conductors”, General Electric Review, Vol. 33, pp.249-251, 1930.
Superfície
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Resposta: Letra a
Questão de Revisão
Concurso da CELESC
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Resistência a
Corrente Alternada
𝑌𝑠 =
𝑋𝑝
4
192 + 0,8𝑋𝑝
4
𝑑𝑐
𝑠
2
𝑋𝑝
2 =
8𝜋𝑓𝐾𝑝10−7
𝑅𝐷𝐶
• Efeito de Proximidade
– A correção do efeito de proximidade na expressão do cálculo da 
Resistência em Corrente Alternada (RAC) de um condutor depende da 
configuração da LT.
LT monofásica (2 condutores)
LT Trifásica
𝑌𝑠 =
𝑋𝑝
4
192 + 0,8𝑋𝑝
4
𝑑𝑐
𝑠
2
0,312
𝑑𝑐
𝑠
2
+
1,18
𝑋𝑝
4
192 + 0,8𝑋𝑝
4 + 0,27
𝑋𝑝
2 =
8𝜋𝑓𝐾𝑝10−7
𝑅𝐷𝐶
𝑠 = 𝐷𝑀𝐺 = 3 𝑑𝑎𝑏𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑎
Xp – fator obtido das funções de Bessel
dc – diâmetro do condutor, em “mm”
Kp – fator que depende do tipo de cabo utilizado. Para 
cabos redondos com encordoamento normal ou 
compactado é utilizado o Ks = 1
s – distância entre o eixo dos 2 condutores, em mm
No caso trifásico é igual ao DMG da LT, em mm
Costuma ser 
desprezado na 
correção da RAC
PROVAR 
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Múltiplos Condutores 
por Fase
R
R R
R R
R
R
R
R
𝑅𝑒𝑞 𝐿𝑇 =
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟
𝑁𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
O efeito do distanciamento entre os condutores no feixe não é considerado.
1 Condutor Grosbeak 
por fase
4 Condutores Grosbeak 
por fase (feixe)
Em LTs operando com tensões acima de 230 kV(algumas vezes nesta tensão também) é 
necessário utilizar mais de um condutor por fase, constituindo o que se chama de feixe de 
condutores. 
Os mais comuns, nas tensões utilizadas no Brasil, são os feixes de 2 condutores (345 kV), 3 
condutores (440 kV) e 4 condutores (500 ou 525 kV).
O exemplo abaixo mostra o caso de uma LT de 500kV com um feixe de 4 condutores por fase.
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Exemplo 2
Calcule a resistência equivalente de um LT de 500 kV que possui um feixe de 4 
condutores Grosbeak por fase.
R R
R R
R
A resistência DC do condutor Grosbeak, 
em 20⁰C é igual a 0,0896 /km 
Catálogo NEXANS
𝑅𝑒𝑞 𝐿𝑇(𝐷𝐶) =
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟
𝑁𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
=
0,0896
4
= 0,0224 /km
SOLUÇÃO
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Parâmetros Elétricos 
EPRI Red Book - 2005
Fonte: EPRI AC Transmission Line Reference Book – 220 kV and Above 3rd. Edition.2005
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Exemplo 3
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Exercícios Propostos 1 
• O condutor de alumínio puro, identificado pelo nome código Bluebell, é composto por 
37 fios de 0,16700” de diâmetro cada um. As tabelas de características de condutores 
de alumínio puro apresentam uma área de 1.033.500 CM para esse condutor. 
Verificar se esses valores são compatíveis. Determinar a área em milímetros 
quadrados.
• Determinar a resistência DC em ohms por quilometro para o condutor Bluebell a 200C 
usando a equação de resistência DC. dada em aula. Comparar o resultado com o valor 
tabelado de 0,01678 /1000 pés. Calcular a resistência DC em ohms por quilometro a 
500C e comparar o resultado com a resistência CA a 60 Hz de 0,1024 /milha, 
apresentado nas tabelas. Explicar as eventuais diferenças entre os valores obtidos. 
Considerar 𝜌𝐴𝑙 20 = 2,83 10-8 /milha e T =2280C.
• Um condutor de alumínio puro é composto de 37 fios com diâmetro de 0,333 cm cada 
um. Calcule a resistência DC em ohms/km a 750C. Procure no catálogo qual condutor 
se aproxima desse condutor.
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Indutância de LT Monofásica
• O fato da corrente no condutor 1 ser i 
e a corrente no condutor 2 ser -i faz 
com que o cálculo de H para uma 
distância maior que a distância entre 
os condutores seja nula.
• Neste caso a corrente total enlaçada 
será nula.
itotal = i + (-i) = 0
Considere 2 condutores (sólidos) genéricos
. X
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Indutância de LT Monofásica
• Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1:
– Uma linha de fluxo com raio maior ou igual a D + r2 e com centro no condutor 1 não 
estará concatenada com o circuito, não induzindo portanto nenhuma tensão. 
– Em outras palavras, a corrente enlaçada por esta linha de fluxo é nula, uma vez que 
a corrente no condutor 2 é igual e de sentido oposto à do condutor 1
– Uma linha de fluxo externa ao condutor 1 e com raio menor ou igual a D - r2 envolve 
uma vez a corrente total
– As linhas de fluxo com raios entre D - r2 e D + r2 D cortam o condutor 2
• envolvem uma fração da corrente do condutor 2 que varia entre 0 e 1
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Indutância de LT Monofásica
Para avaliar esta situação, realizamos as seguintes simplificações
Admitir 𝐷 ≫ 𝑟1, 𝑟2 → (𝐷 − 𝑟1) ≈ (𝐷 − 𝑟2) ≈ 𝐷
Considerar o condutor 2 como um ponto, localizado a uma distância D do centro do condutor 1. 
Então
• A indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 2 é dada por
𝐿2,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇0
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟2
𝐿1,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇0
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
Indutância externa entre os condutores, produzida pelo condutor 2 (lembrar a hipótese 
simplificadora r2<< D) e o condutor 1 e representado por um ponto localizado no centro do 
condutor):
• Indutâncias internas: como considera-se que cada condutor “enxerga” o outro como um 
ponto, o fluxo externo de um condutor não afeta o fluxo interno do outro. 
Então:
𝐿2,int =
𝜇𝑟𝜇0
8𝜋
=
1
2
10−7𝐻/𝑚𝐿1,int =
𝜇𝑟𝜇0
8𝜋
=
1
2
10−7𝐻/𝑚
(1)
(4)
(3)
(2)
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Indutância de LT Monofásica
• Indutância total devido ao condutor 1
Considerando que a permeabilidade relativa dos materiais mais comuns das linhas (cobre, alumínio) 
𝝁𝑹 é unitária e que 𝝁𝟎 = 4𝜋 × 10−7H/m
A indutância total do condutor 1 é então determinada como
Manipulando-se a expressão (6), tem-se que
𝐿1 = 2 × 10−7 𝑙𝑛
1
𝑟1𝑒−
1
4
+ 𝑙𝑛
𝐷
1
𝐿1 = 
1
2
× 10−7 + 2 × 10−7𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
 H/m
𝐿1 = 2 × 10−7𝑙𝑛
1
𝑟′1
+ 2 × 10−7𝑙𝑛
𝐷
1
𝐿1 = 𝐿1,int +𝐿1,ext
Fluxo interno Fluxo externo
𝑟1
′ = 𝑟1𝑒−
1
4Fazendo na expressão (8), a indutância do condutor 1 torna-se 
(5)
(8)
(7)
(6)
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Indutância de LT Monofásica
• Indutânciatotal devido ao condutor 2, 
De forma similar, a determinação da indutância do condutor 2 segue o mesmo 
procedimento usado para o condutor 1
𝐿2 = 𝐿2,int + 𝐿2,ext
𝐿1 = 2 × 10−7𝑙𝑛
1
𝑟′2
+ 2 × 10−7𝑙𝑛
𝐷
1
Se os 2 condutores são idênticos, então 𝑟1
′ = 𝑟2
′ = 𝑟′ , portanto 𝐿1 = 𝐿2 = 𝐿, e a indutância por fase/metro 
é dada por
𝐿 = 2 × 10−7𝑙𝑛
1
𝑟′
+ 2 × 10−7𝑙𝑛
𝐷
1
 H/m
Função do raio 
do condutor
Função do espaçamento 
dos condutores
𝑟′ = 𝑟 𝑒−
1
4 = 0,7788 𝑟 é chamado de 
Raio Efetivo
GMR (Geometric Mean Radius) 
RMG (Raio Médio Geométrico)
Fornecido em 
catálogos de condutores
Pode ser calculado (trabalhoso) !!!
(9)
(11)
(10)
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Indutância de LT Monofásica 
• Indutância total : é a soma das indutâncias dos condutores 1 e 2
• a indutância depende:
- da distância entre os fios,
- dos raios dos condutores 
- do meio (R e 0 estão 
embutidos no termo 4 x10-7)
• a indutância 
independe da corrente
Se os condutores tiverem o mesmo raio
A indutância total será
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2
𝐿 = 2 × 10−7 𝑙𝑛
𝐷
𝑟′1
+ 2 × 10−7 𝑙𝑛
𝐷
𝑟′2
= 2 × 10−7 𝑙𝑛
𝐷2
𝑟′1𝑟′2
= 4 × 10−7 𝑙𝑛
𝐷
𝑟′1𝑟′2
 H/m

(13)
(12)
(14)
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Exemplo 4
Determine a indutância de uma linha monofásica cuja distância entre condutores é 
de 1,5 m e o raio dos condutores é igual a 0,5 cm
r r
d
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Exercício Proposto 2
Dois condutores sólidos de seção circular com diâmetro de 0,412 estão afastados 
de 3m e constituem uma LT monofásica de 60Hz. 
• Determine a indutância da LT em mH/milha. 
• Que parcela dessa indutância é devida ao fluxo interno? 
Considere desprezível o efeito pelicular.
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Exercício Proposto 3
𝜆 = −1.1218 × 10−8 × 𝑖 𝐖𝐛/𝐦 
Tensão induzida por unid. de comp.
𝑣 𝑡 = −5,075 × 10−4 2 cos 2𝜋𝑓𝑡 𝐕/𝐦
RESPOSTAS
𝑉𝑒𝑓 = 0,5075 𝐕/𝐤𝐦
A revisão da 
teoria 
eletromagnética 
ajudará vc na 
solução deste 
exercício
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Indutância de LT com 
condutores compostos (condutor com múltiplos fios)
Considere a seguinte 
linha monofásica:
Características da linha:
Condutor composto: condutores encordoados, cabos.
• A fase X (condutor X) é composta por n fios idênticos em paralelo e conduz uma 
corrente I uniformemente distribuída pelos fios. A corrente em cada fio é I/n.
• A fase Y (condutor Y) é composta por m os idênticos em paralelo e conduz uma 
corrente -I uniformemente distribuída pelos fios. A corrente em cada fio é -I/m.
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Indutância de LT com 
condutores compostos
Obtenção do fluxo concatenado com o fio a da fase X: deve-se levar em consideração o 
efeito de todas as correntes por todos os fios, inclusive o próprio fio a.
De acordo com os resultados anteriores:
A indutância do fio “a” é:
Em geral considera-se: 
Esta expressão resulta em
𝐷𝑎𝑎 = 𝑟′𝑎 = 𝑟𝑒−1/4 = 0,7788 𝑟𝑎
𝐿𝑎 =
𝜆𝑎
Τ𝐼 𝑛
= 2 × 𝑛 × 10−7 ln
𝑚 𝐷𝑎𝑎′𝐷𝑎𝑏′⋯𝐷𝑎𝑚
𝑛 𝑟′𝑎𝐷𝑎𝑏⋯𝐷𝑎𝑛
 H/m
𝜆𝑎 = 2 × 10−7 × 𝐼 × ln
𝑚 𝐷𝑎𝑎′𝐷𝑎𝑏′⋯𝐷𝑎𝑚
𝑛 𝑟′𝑎𝐷𝑎𝑏⋯𝐷𝑎𝑛
 Wb/m
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Indutância de LT com 
condutores compostos
Para o fio b
Para os outros fios da fase X o 
processo é semelhante.
Utiliza-se também uma forma aproximada, que fornece bons resultados e simplifica 
bastante as deduções. Primeiro, calcula-se a indutância media da fase X:
Assume-se agora que a fase X e composta por n fios de indutância Lav em paralelo. 
Portanto, a indutância da fase X vale:
A indutância da fase X é calculada verificando-se que os fios a, b, c, ...,n estão 
em paralelo:
1
𝐿𝑋
= ෍
𝑖=1
𝑛
1
𝐿𝑖
𝐿𝑏 = 2 × 𝑛 × 10−7𝑙𝑛
𝑚 𝐷𝑏𝑎´ 𝐷𝑏𝑏´⋯𝐷𝑏𝑚
𝑛 𝐷𝑏𝑎𝐷𝑏𝑏⋯𝐷𝑏𝑛
 H/m
𝐿𝑎𝑣 =
𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 + ⋯ +𝐿𝑛
𝑛
𝐿𝑋 =
𝐿𝑎𝑣
𝑛
=
𝐿𝑎+𝐿𝑏+⋯+𝐿𝑛
𝑛2 H/m
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Indutância de LT com 
condutores compostos
A expressão anterior é mais conveniente pois, substituindo os valores de La, Lb,... obtém-se:
Então 𝐿𝑋 = 2 × 10−7 ln
𝐷𝑚
𝐷𝑠𝑋
 H/m
𝐿𝑋 = 2 × 10−7 ln
𝑚𝑛
𝐷𝑎𝑎´𝐷𝑎𝑏´⋯𝐷𝑎𝑚 𝐷𝑏𝑎´𝐷𝑏𝑏´⋯𝐷𝑏𝑚 ⋯ 𝐷𝑛𝑎´𝐷𝑛𝑏´⋯𝐷𝑛𝑚
𝑛2
𝐷𝑎𝑎𝐷𝑎𝑏⋯𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎𝐷𝑏𝑏⋯𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎𝐷𝑛𝑏⋯𝐷𝑛𝑛
 H/m
𝑫𝒎 =
𝑚𝑛
𝐷𝑎𝑎´𝐷𝑎𝑏´ ⋯ 𝐷𝑎𝑚 𝐷𝑏𝑎´𝐷𝑏𝑏´ ⋯ 𝐷𝑏𝑚 ⋯ 𝐷𝑛𝑎´𝐷𝑛𝑏´ ⋯ 𝐷𝑛𝑚
Numerador: produto das distâncias dos fios da fase X e da fase Y
Dm é a Distância Média Geométrica – DMG ou Geometric Mean Distance – GMD, ou DMG mútua
𝑫𝒔𝑿 =
𝑛2
𝐷𝑎𝑎𝐷𝑎𝑏 ⋯ 𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎𝐷𝑏𝑏 ⋯ 𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎𝐷𝑛𝑏 ⋯ 𝐷𝑛𝑛
Denominador: produto das distâncias dos fios da fase X
DsX é o Raio Médio Geométrico – RMG ou Geometric Mean Radius – GMR, ou DMG própria da fase X
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Indutância de LT com 
condutores compostos
A indutância da Fase Y é obtida de maneira idêntica à da Fase X e resulta em LY
A indutância da linha é dada por
Caso as fases X e Y sejam idênticas, 𝐷𝑆 = 𝐷𝑠𝑋 = 𝐷𝑠𝑌 , tem-se que:
𝐿𝑌 = 2 × 10−7 ln
𝐷𝑚
𝐷𝑠𝑌
 H/m
𝐿 = 𝐿𝑋 + 𝐿𝑌
𝐿 = 4 × 10−7 ln
𝐷𝑚
𝐷𝑠
 H/m
Dm é a Distância Média Geométrica
Ds é o Raio Médio Geométrico – RMG
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Exemplo 5
Encontre o RMG de um condutor em termos do raio r de um tento (strand) 
individual para
• 3 tentos-fios (strands) iguais 
• 4 tentos-fios (strands) iguais
𝑅𝑀𝐺 = 𝑟𝑒−1/4
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Exercício Proposto 4
Encontre o RMG de um cabo de alumínio, com diâmetro nominal de 9,36mm, que 
composto de 7 fios idênticos de alumínio com diâmetro de 3,12mm dispostos em 2 
camadas, como mostra a figura abaixo.
7
4
3
2
5
1
6
𝐷𝐼𝐶𝐴 − 𝑅𝑀𝐺 = 𝑟𝑒−1/4
RESPOSTA
RMG = 1120,6721 r
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Exercício Proposto 5
Um cabo é composto por 7 fios de raios idênticos, cada um com raio r. 
Determine o RMG deste cabo em termos de r. 
RESPOSTA
RMG = 2,1767 r
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Exercício Proposto 6
Determinar a distância média geométrica própria para cada um dos cabos não 
convencionais mostrados nas figuras, supondo que cada um dos subcondutores 
tem diâmetro 2r = 2.3 mm e a mesma densidade de corrente.
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Exemplo 6
Calcule a indutância da linha monofásica mostrada a seguir.
RESPOSTAS
𝐷𝑚 = 10,743 𝐦
𝐷𝑠𝑋 = 0,481 𝐦
𝐷𝑠𝑌 = 0,153 𝐦
𝐿 = 14,715 × 10−7 𝐇/𝐦
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Exercício Proposto 7
A distância entre uma LT monofásica é de 10 pés. Cada condutor é constituído de 
7 fios (tentos) idênticos. O diâmetro de cada fio é de 0,1 polegadas. 
• Mostre que o valor de Ds para o condutor é de 2,177 vezes o raio de cada fio. 
• Determine a indutância dessa LT em mH/milha.
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Exercícios de Revisão
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Exercícios de Revisão 1
1) Um cabo de uma LT é constituído de 12 fios (strands) de alumínio, cada um com 
3mm de diâmetro. Encontre a resistência em corrente alternada (Rac) do cabo 
em Ω/km. Assumaum fator de correção de efeito skin de 1,02 em 60Hz.
2) Um condutor sólido de alumínio tem 25 km de comprimento, com uma área de 
336.400 CM. Obtenha a resistência do condutor para 20 ⁰ C e 50⁰C
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Exercícios de Revisão 2
3) Um circuito de uma LT monofásica é composto de 3 condutores sólidos (fios) de 
0,5 cm de raio (condutor x). O circuito de retorno é composto de 2 condutores 
sólidos (fios) de 2,5 cm de raio (condutor y). O arranjo dos condutores é 
mostrado na figura. Aplicando c conceito de RMG e DMG determine a 
indutância completa da LT em mH/km. 
Condutor x Condutor y
5m5m 5m10m
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Exercícios de Revisão 4
4) Calcule a indutância e a reatância por unidade de comprimento a 60 Hz 
da linha monofásica mostrada na figura abaixo. Verifique que a DMG é 
praticamente igual a distância entre os centros das fases quando esta e 
muito maior que as distâncias entre os condutores de uma mesma fase.
Respostas: 1,9413 H/m, 0;732 m/m
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Questões dobre a Aula
• Qual a temperatura padrão de cálculo de resistência (normalmente 
apresentada em todos os catálogos). Para que tipo de corrente?
• Quais os dois principais fatores que afetam a resistência dos cabos de 
LT operando em corrente alternada? Qual desses fatores pode ser 
desprezado.
• Quais os fatores que afetam o efeito skin (pelicular) presentes em uma 
LT.
• Do que depende o cálculo da indutância em uma LT monofásica.
• O que é o RMG (ou GMR) de um cabo de linha de transmissão.
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REVISÃO TEÓRICA
Indutância
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Indutância
Revisão
A bobina tem 3 espiras. Logo, o fluxo 
concatenado “enxerga” 3 vezes a
corrente i.
Relação entre tensão e corrente no indutor
𝑒 = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝑖
Realizando a divisão de uma equação pela 
outra tem-se que a indutância vale
𝐿 =
𝑑
𝑑𝑡
𝜆
𝑒 = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝜆
Lei de Faraday
Se o circuito magnético possui 
permeabilidade magnética constante
𝐿 =
𝜆 
𝑖
H PROVE !
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Indutância
Revisão
A indutância está relacionada com os campos magnéticos produzidos pela 
passagem de corrente ao longo de um condutor.
න
0
2𝜋𝑥
𝐻𝑥𝑑𝑙 = 𝐼𝑥 𝐻𝑥 =
𝐼𝑥
2𝜋𝑥
A intensidade de campo magnético, Hx, em 
torno do círculo de raio x, é constante e 
tangente ao círculo. Então,
ou
A indutância do condutor pode ser 
definida como a soma das 
contribuições dos fluxos de enlace 
internos e externos do condutor.
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Indutância de um Condutor
Revisão
• Em um condutor deve-se calcular:
– a indutância devido ao fluxo interno, 
– a indutância devido ao fluxo externo
– a indutância total
• Consideração: 
– o condutor está isolado, isto é, outros condutores estão muito afastados e 
os seus campos magnéticos não o afetam.
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Indutância de um condutor 
devido ao fluxo interno
Revisão
Considerar um condutor sólido pelo qual circula uma corrente i
Lei de Ampère:
A intensidade de campo magnético (A/m) ao longo de 
qualquer contorno é igual a corrente que atravessa a 
área delimitada por este contorno.
Esta expressão é válida para CC ou CA (utilizar fasores)
Resolvendo a equação de Ampère:
Densidade de fluxo:
Permeabilidade do vácuo
Permeabilidade relativa do material
𝜇0 = 4𝜋 × 10−7H/m
𝜇
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Indutância de um condutor 
devido ao fluxo interno
Revisão
Considerar o elemento tubular de espessura dx e comprimento l
O fluxo magnético é igual a densidade de 
fluxo B vezes a área da seção
transversal que o campo atravessa
𝑑∅ = 𝐵 𝑑𝑠 Wb
Da figura tem-se
𝑑𝑆 = 𝑙 𝑑𝑥
O fluxo por unidade de comprimento do condutor é (dividindo por l)
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Indutância de um condutor 
devido ao fluxo interno
Revisão
O fluxo concatenado com a corrente é proporcional a área de raio x:
Integrando
Independe do raio do condutor, dependendo 
somente do material e da intensidade da corrente
A indutância devido ao fluxo interno será:
𝐿𝑖𝑛𝑡 =
1
2
× 10−7H/m
Para materiais como o alumínio, cobre, ar, 
água, tem-se que 𝜇𝑟 = 1, logo
Permeabilidade do vácuo 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7H/m
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Desafio !!!
• Outra maneira de obter a indutância devido ao 
fluxo interno é através da energia armazenada no 
campo magnético. Demonstre.
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Indutância de um condutor 
devido ao fluxo externo
Revisão
Considere a seguinte situação em que se deseja obter o fluxo concatenado externo 
ao condutor:
A corrente total i é enlaçada. Aplicando a Lei de Ampère:
Densidade de campo magnético:
Fluxo magnético (tubo de comprimento l e espessura dx):
Fluxo por unidade de comprimento
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Indutância de um condutor 
devido ao fluxo externo
Revisão
O fluxo concatenado é igual ao fluxo, pois o mesmo enlaça toda a corrente uma vez.
O fluxo concatenado externo deve ser calculado entre 
dois pontos externos ao condutor.
O fluxo entre dois pontos P1 e P2 quaisquer externos ao 
condutor e obtido pela integração d:
em que D1 e D2 são as distâncias dos pontos ao condutor 
(considera-se que r << x). Logo:
Indutância devido ao fluxo 
externo entre os dois pontos:
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Dúvidas ????
Lembre de complementar seus estudos com a leitura das 
bibliografias recomendadas.
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Cronograma
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	Slide 2: Antes de Iniciarmos a Aula
	Slide 3: Estrutura da Aula
	Slide 4: Introdução
	Slide 5: Parâmetros Elétricos de uma LT
	Slide 6: Parâmetros Elétricos de uma LT
	Slide 7: Parâmetros Elétricos de uma LT
	Slide 8: Resistência
	Slide 9: Resistência
	Slide 10: Exemplo 1 
	Slide 11: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 12: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 13: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 14: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 15: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 16: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 17: Questão de Revisão Concurso da CELESC
	Slide 18: Resistência a Corrente Alternada
	Slide 19: Múltiplos Condutores por Fase
	Slide 20: Exemplo 2
	Slide 21: Parâmetros Elétricos EPRI Red Book - 2005
	Slide 22: Exemplo 3
	Slide 23: Exercícios Propostos 1 
	Slide 24: Indutância de LT Monofásica
	Slide 25: Indutância de LT Monofásica
	Slide 26: Indutância de LT Monofásica
	Slide 27: Indutância de LT Monofásica
	Slide 28: Indutância de LT Monofásica
	Slide 29: Indutância de LT Monofásica 
	Slide 30: Exemplo 4
	Slide 31: Exercício Proposto 2
	Slide 32: Exercício Proposto 3
	Slide 33: Indutância de LT com condutores compostos (condutor com múltiplos fios)
	Slide 34: Indutância de LT com condutores compostosSlide 35: Indutância de LT com condutores compostos
	Slide 36: Indutância de LT com condutores compostos
	Slide 37: Indutância de LT com condutores compostos
	Slide 38: Exemplo 5
	Slide 39: Exercício Proposto 4
	Slide 40: Exercício Proposto 5
	Slide 41: Exercício Proposto 6
	Slide 42: Exemplo 6
	Slide 43: Exercício Proposto 7
	Slide 44: Exercícios de Revisão
	Slide 45: Exercícios de Revisão 1
	Slide 46: Exercícios de Revisão 2
	Slide 47: Exercícios de Revisão 4
	Slide 48: Questões dobre a Aula
	Slide 49: REVISÃO TEÓRICA Indutância
	Slide 50: Indutância Revisão
	Slide 51: Indutância Revisão
	Slide 52: Indutância de um Condutor Revisão
	Slide 53: Indutância de um condutor devido ao fluxo interno Revisão
	Slide 54: Indutância de um condutor devido ao fluxo interno Revisão
	Slide 55: Indutância de um condutor devido ao fluxo interno Revisão
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