2__Controle_Estatastico_Do_Processo_Cep (2)

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C O N T R O L E E 
C O N F I A B I L I D A D E D O 
P R O C E S S O
2 – C O N T R O L E E S T AT Í S T I C O 
D O P R O C E S S O ( C E P )
P R O F. M S C . E N G º . WA G N E R C A R D O S O
RESUMO DO CURRÍCULO
• Graduação em Engenharia de Produção pela Universidade de Araraquara (2005);
• Especialização em Docência Universitária pela Universidade de Uberaba (2009);
• Mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade de Araraquara (2017);
• Consultor e Assessor Industrial pela Otimiza Consultoria e Assessoria Industrial (desde 2006);
• Professor do curso de Engenharia de Produção da Universidade de Uberaba (desde 2007);
• 129 TCC’s entre orientações e bancas;
• Autor de 2 livros publicados pela Editora Itacaiúnas: Engenharia de Métodos e Produtividade (ISBN: 978-
8595350588); e Planejamento de Vendas e Operações (S&OP) para Hospitais (ISBN: 978-8595350564). É autor 
também de 1 capítulo de livro e artigos publicados em revistas de renome e congressos da área;
• Tem experiência em Coordenação de PCP, Supervisão Industrial, Gerência Industrial e Gerência de Operações;
• Diretor e fundador do grupo de voluntários Produção Social (desde 2015);
• 21 turmas formadas, 23 homenagens como Paraninfo, Patrono e/ou Nome de Turma. 
• E-mail: wagner.cardoso@uniube.br
• LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/wagnercardosoengproducao/
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BREVE HISTÓRICO
A preocupação com a qualidade existe desde que o homem começou a manufaturar alguma 
coisa
• Pré-história
– O artesão separava os bons e maus vasos.
• 2.150 a.c.
– Código de Hamurabi: “Se um construtor ergue uma casa para alguém e seu trabalho não for 
sólido e a casa desabar e matar o morador, o construtor será imolado”.
• Fenícios
– Inspetores amputavam a mão do fabricante de um produto que não estivesse dentro das 
especificações governamentais.
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BREVE HISTÓRICO
• Egípcios e Astecas
– Uso de barbantes para conferir os blocos de pedras usados em suas construções.
• Até Século XVII
– Produção de bens eram feitas por artesãos;
– Obras refinadas e com riqueza de detalhes;
– Padrão de qualidade elevado;
– Produtividade era limitada;
– O preço da peça de um artesão era elevado.
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BREVE HISTÓRICO
• Meados do Século XVII
– Crescimento do comércio alavanca o aumento de produção;
– Surgimento das primeiras manufaturas;
– Produção em massa é viabilizada;
– Redução de preços por unidade produzida.
• Século XVIII
–Velocidade da maquina impõe o ritmo da produção;
– Produção torna-se padronizada;
– Elevado número de falhas e acidentes de trabalho;
– Implantação da inspeção final do produto e supervisão do trabalho.
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BREVE HISTÓRICO
• Década de 80
– Modelo Japonês: ênfase a formação do homem, a organização, trabalho em equipe e bom 
ambiente de trabalho (estabilidade no emprego, elevado grau de competitividade);
– Modelo Americano (Garantia da qualidade): ênfase na segurança (sistema de qualidade 
consistente e confiável);
– Modelo Europeu: ênfase na certificação dos fornecedores, base para os critérios de 
padronização ISO 9000;
– No Brasil não houve uma tendência predominante:
o Setor automotivo: Modelo Americano
o Setor Siderúrgico: Modelo Japonês
o Eletrônicos/Informática/Serviços: Modelo Europeu.
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O QUE É 
QUALIDADE?
• A maioria das pessoas tem uma 
compreensão conceitual de qualidade 
como de algo relacionado a uma ou mais 
características desejáveis que um produto 
ou serviço deva ter.
• A qualidade é um dos mais importantes 
fatores de decisão dos consumidores na 
seleção de produtos e serviços que 
competem entre si.
• Desta forma, compreender e melhorar a 
qualidade é um fator-chave que conduz ao 
sucesso, crescimento e uma melhor 
posição de competitividade de um 
negócio.
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QUALIDADE – DEFINIÇÃO 
TRADICIONAL
• Qualidade significa adequação para o uso.
Aspectos gerais da adequação ao uso:
• Qualidade de projeto – Todos os bens e serviços são produzidos em vários graus ou níveis de
qualidade. Essas variações são intencionais. Por exemplo, os automóveis diferem em tamanho,
especificações, aparência e desempenho.
• Qualidade de ajustamento – É como o produto corresponde às especificações exigidas pelo
projeto.
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QUALIDADE – DEFINIÇÃO MODERNA
• Qualidade é inversamente proporcional à variabilidade.
• Ou seja, a melhoria da qualidade está associada a redução da variabilidade nos 
processos e produtos.
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VARIABILIDADE
• A variabilidade está sempre presente em qualquer processo produtivo, independente de quão 
bem ele seja projetado e operado. Se compararmos duas unidades quaisquer, produzidas pelo 
mesmo processo, elas jamais serão exatamente idênticas.
• As fontes dessa variabilidade incluem diferenças nos materiais, diferenças no desempenho e 
operação dos equipamentos de manufatura, etc.
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CARACTERÍSTICAS DA QUALIDADE
• Físicas – comprimento, largura, voltagem, viscosidade.
• Sensoriais – gosto, aparência, cor.
• Orientação Temporal – confiabilidade, durabilidade, praticidade.
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ESPECIFICAÇÕES
• Um valor de uma medida que corresponde ao valor desejado para aquela característica de
qualidade chama-se valor nominal ou valor alvo.
• Esses valores alvo são limitados por um intervalo de valores que não causará impacto na
função ou desempenho do produto.
• O maior valor permitido para uma característica de qualidade é chamado limite superior de
especificação (LSE).
• O menor valor permitido para uma característica de qualidade é chamado limite inferior de
especificação (LIE).
• Obs: Algumas características de qualidade têm limite de especificação apenas de um lado do alvo.
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PRODUTOS NÃO CONFORMES
(OU FORA DO PADRÃO)
• É um produto que deixa de corresponder a uma ou mais de suas especificações.
• Um produto não conforme não é, necessariamente, impróprio para uso.
• Um produto não conforme é considerado defeituoso se tem um ou mais defeitos, que são não
conformidades sérias o bastante para afetar significativamente o uso seguro e efetivo do produto.
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PRINCIPAIS MÉTODOS ESTATÍSTICOS PARA 
O CONTROLE E A MELHORIA DA QUALIDADE
• Controle Estatístico de Processo (CEP) – monitora características importantes 
envolvidas no processo produtivo
• Planejamento de Experimentos – é importante na descoberta de variáveis que afetam 
características de qualidade de interesse no processo
• Amostragem de Aceitação – é importante na inspeção e classificação de uma amostra de 
unidades selecionadas aleatoriamente de um conjunto maior.
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ENGENHARIA DA 
QUALIDADE -
OBJETIVO
• O objetivo principal dos 
esforços da engenharia da 
qualidade é a redução 
sistemática da 
variabilidade nas 
características chave da 
qualidade do produto.
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PADRÕES E REGISTRO DA QUALIDADE
• A International Standards Organization (ISO) desenvolveu uma série de padrões 
internacionalmente utilizados. A ISO é uma organização não governamental presente em cerca 
de 111 países.
• Esta organização foi fundada em 1946 em Genebra, e sua função é promover a normalização 
de produtos e serviços, utilizando determinadas normas, para que a qualidade dos produtos 
seja sempre melhorada.
• No Brasil, o órgão que representa a ISO chama-se ABNT (Associação Brasileira de Normas 
Técnicas). A ISO 9000 é um modelo de padronização. O selo que as empresas recebem se 
iniciam a partir da ISO 9001 em diante.
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CONTROLE ESTATÍSTICO DA 
QUALIDADE
Introdução
– A II Guerra Mundial trouxe a necessidade de se produzir grande quantidade de produtos 
militares com qualidadee prazos pequenos;
– Nesta época, financiado pelo Depto de Defesa dos EUA, têm grande difusão o controle 
estatístico de qualidade (CEQ), tendo como base os estudos de:
• Shewhart – Cartas de Controle;
• Dodge e Romig – Técnicas de Amostragem.
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CONTROLE ESTATÍSTICO DA 
QUALIDADE (CEQ)
Introdução
– O uso de técnicas de amostragem tornou a inspeção mais eficiente, eliminando a “amostragem 
100%”; A amostragem 100% normalmente representava:
• Elevado Custo
• Excesso de Tempo
– O CEQ se preocupava apenas em detectar defeitos. No entanto, não havia uma preocupação 
em investigar as causas que levam a tais defeitos nem com a prevenção dos mesmos.
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CONTROLE ESTATÍSTICO DO 
PROCESSO (CEP)
Introdução
– O Controle Estatístico do Processo (CEP) representa uma evolução do CEQ;
– O CEP preocupa-se com a monitoração de um processo, verificando, se o mesmo está dentro 
de limites determinados.
– O CEP procura:
• A estabilização de processos através da redução de sua variabilidade, visando a 
melhoria e manutenção da qualidade.
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O PAPEL DO CEP
– O Controle Estatístico de Processo (CEP) é uma poderosa coleção de ferramentas úteis 
na obtenção da estabilidade do processo e na melhoria da capacidade através da redução da 
variabilidade;
– Um processo estará sob controle (estável) se os resultados estão em conformidade com os 
limites impostos, caso contrário o processo deve ser investigado para que sejam detectadas as 
causas do desvio;
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O PAPEL DO CEP
– As ferramentas que permitem monitorar um processo e dizer se ele estar ou não sob controle 
são chamadas “Sete Ferramentas da Qualidade”.
1. Gráfico de Histograma ou Ramo-e-Folhas
2. Folha de Controle
3. Gráfico de Pareto
4. Diagrama de Causa-e-Efeito
5. Diagrama de Concentração de Defeitos
6. Diagrama de Dispersão
7. Gráficos de Controle
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CAUSAS DA VARIABILIDADE DO 
PROCESSO
– Todo processo possui variabilidade, que tem a ver com pequenas diferenças nas características 
dos produtos produzidos;
– Tal variabilidade é decorrente de:
• Causas Aleatórias ou comuns;
• Causas Atribuíveis ou especiais.
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CAUSAS DA VARIABILIDADE DO 
PROCESSO
– Causas Aleatórias (comuns):
• Pequenas perturbações no processo;
• Sempre existirá sendo, essencialmente, inevitável;
• Ex.: Temperatura, Umidade, Dilatação dos Equipamentos
– Um processo que apresenta variabilidade apenas devido a causas aleatórias é um 
processo sob controle estatístico.
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CAUSAS DA VARIABILIDADE DO 
PROCESSO
– Causas Atribuíveis (especiais):
• Produzem variações nas características dos produtos em níveis inaceitáveis;
• Provocam deslocamento na média da característica monitorada ou aumento em sua dispersão;
• Ocorrem devido a máquinas mal ajustadas ou controladas de forma inadequada; erros do 
operador ou matéria prima fora das especificações;
– Uma das principais finalidades do CEP é detectar mudanças no processo devido a 
causas atribuíveis, tomando rapidamente ações corretivas, de modo a minimizar a 
produção de itens não conformes.
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CAUSAS DA VARIABILIDADE DO 
PROCESSO
– O gráfico de controle é a ferramenta mais utilizada para monitoramento do processo, 
objetivando detectar a presença de causas atribuíveis.
– Os gráficos de controle também podem ser utilizados para determinar a capacidade do 
processo (estimação do número de itens não-conformes de um processo).
– O gráfico de controle pode ainda fornecer informações úteis para a melhoria do processo.
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BASE ESTATÍSTICA DO GRÁFICO DE 
CONTROLE
– O gráfico de controle é uma representação gráfica de uma característica da qualidade que 
foi medida ou calculada a partir de uma amostra.
– Baseando-se na distribuição normal, os gráficos de controle constituem um instrumento de
diagnóstico da existência ou não de variabilidade devido a causas atribuíveis.
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BASE ESTATÍSTICA DO GRÁFICO DE 
CONTROLE
– Elementos de um gráfico de controle:
• Abscissa (X): ordem cronológica da amostra ou a sequência das extrações. Deste modo, a 
escala horizontal é uniforme e associada ao tempo;
• Ordenada (Y): representa os valores observados da característica da qualidade, que pode ser 
uma variável ou um atributo;
• Linha média ou central (LM): representa o valor médio da característica da qualidade 
quando em estado sob controle, ou seja, quando apenas causas aleatórias estão presentes;
• Limites de Controle: duas linhas horizontais denominadas limite inferior de controle (LIC) e 
limite superior de controle (LSC). São escolhidos de forma que, se o processo estiver sob 
controle, os pontos amostrais estarão entre eles;
• Suposição: os pontos amostrais devem ser independentes.
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BASE ESTATÍSTICA DO GRÁFICO DE 
CONTROLE
– Elementos de um gráfico de controle
• Processo sob Controle
– Pontos amostrais entre os limites de controle ou sem apresentar um comportamento sistemático 
ou não-aleatório
– Nenhuma ação precisa ser tomada
• Processo fora de Controle
– Presença de pontos fora dos limites de controle ou presença de padrões não-aleatórios no gráfico
– Realizar investigação para descobrir a possível causa
– Geralmente, faz-se necessária uma ação corretiva para que tal fato não se repita.
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BASE ESTATÍSTICA DO GRÁFICO DE 
CONTROLE
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BASE ESTATÍSTICA DO GRÁFICO DE 
CONTROLE
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
Relembrando
– Dois objetivos do CEP:
• Manter o processo operando em condição estável durante maior parte do tempo;
• Reduzir a sua variabilidade.
– As Cartas de Controle (introduzidas por Shewhart na década de 20) são ferramentas para 
alcançar tais objetivos.
– Além disso, o uso de cartas de controle facilita:
• Reconhecer desvios em relação ao comportamento normal;
• Identificação de oportunidades de melhoria;
• Verificação da eficácia das ações tomadas com o intuito de corrigir esses desvios.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Introdução
– No contexto do Controle de Qualidade, uma característica da qualidade que é medida em uma 
escala numérica é chamada variável.
• Ex: Tamanho, Largura, Temperatura, Volume, etc;
– Os gráficos � e R foram desenvolvidos por Shewhart para monitorar a média e a variabilidade 
de variáveis numéricas.
– Posteriormente, serão introduzidas algumas variações destes gráficos.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Base Estatística dos Gráficos � e R
– Suponha que a característica de interesse, X, é normalmente distribuída com média μ e desvio 
padrão � conhecidos;
– Seja x1, ..., xn uma amostra de tamanho n, então a média amostral é dada por
– Também sabemos que � é normalmente distribuído com média μ e desvio padrão �/√�
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Base Estatística dos Gráficos � e R
– Além disso, há uma probabilidade de 1-	 de qualquer média amostral cair entre
– Assim, se μ e � são conhecidos, podemos usar a expressão acima para obter os LIC e LSC em 
um gráfico de controle para média amostral.
–Vimos também que é comum utilizar Z	/2 = 3.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Base Estatística dos Gráficos � e R
– Se uma média amostral cair fora desses limites, isso é uma indicação que a média do processo 
não é mais igual a μ.
–Vale ressaltar que os resultados acima ainda continuam aproximadamente corretos, mesmona
hipótese de não-normalidade da variável X, devido ao Teorema Central do Limite.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Base Estatística dos Gráficos � e R
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Base Estatística dos Gráficos � e R
– No entanto, na prática μ e � são desconhecidos e precisam ser estimados a partir de 
amostras ou subgrupos, coletados quando o processo estava sob controle.
– Shewhart sugere a coleta de m subgrupos (20 a 25) de tamanho n pequeno (4, 5, ou 6 cada), 
objetivando a construção de subgrupos racionais com baixo custo de amostragem.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráfico �
– Sejam 
�, 
2, ..., 
� as médias de cada uma das amostras, em m subgrupos. Então, o melhor 
estimador para média do processo (μ) é dado por
– onde 

 é a média amostral do i-ésimo subgrupo.
– Logo, �̿ deverá ser usado como a linha central do gráfico �.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráfico �
– Para construir os limites de controle, precisamos de um estimador para �
• � pode ser estimado pelos desvios-padrões ou pelas amplitudes das m amostras;
– No momento, vamos optar pelas amplitudes. Defina a amplitude de uma amostra por
R = xmax - xmin
– Seja R1, R2, ..., Rm as amplitudes das m amostras, temos que a amplitude média é dada por
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráfico �
– Apresentamos a seguir as expressões para construção dos limites de controle para o 
gráfico �
A constante A2 encontra-se no Apêndice VI do livro: Introd. ao Controle de Qualidade -
Montgomery (4ª Ed.).
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráfico R
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Limites de Controle Tentativos
– Quando amostras preliminares são usadas para a construção dos gráficos, é comum tratar 
os limites de controles obtidos como limites de controle tentativos.
– Se todos os pontos caem dentro dos limites de controle e não se observa nenhum 
comportamento sistemático, conclui-se que o processo estava sob controle no passado e que os 
limites tentativos são apropriados.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Limites de Controle Tentativos
– Caso algum ponto se configure fora de controle quando comparado com os limites 
tentativos, torna-se necessária uma revisão de tais limites.
– Revisão
1. Identificar uma causa atribuível;
2. Se não for encontrada uma causa, eliminar o ponto supondo que o mesmo provém de um 
processo fora de controle ou;
3. Não eliminar o ponto, caso ele não altere significativamente os valores dos limites de 
controle.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Revisão dos Limites Tentativos e Linhas Centrais
– Em geral, todos os gráficos de controle necessitam uma revisão periódica dos limites 
tentativos e linhas centrais:
• A cada: semana, mês, 25, 50 ou 100 amostras.
– Na revisão lembre-se de usar pelo menos 25 amostras ou subgrupos.
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DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
– Na construção dos gráficos � e R é aconselhável iniciar com o gráfico R.
– Como os limites de controle do gráfico � dependem da variabilidade do processo, tais limites não 
serão significativos no caso da variabilidade do processo não estar sob controle.
– Dicas:
• O gráfico � monitora a média da característica da qualidade de um processo;
• O gráfico R monitora a variabilidade dessa característica;
• Nunca tente interpretar o gráfico � quando o gráfico R indicar alguma condição fora de controle.
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DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Exemplo
– Anéis de pistão para motores de automóveis são fabricados por um processo. Deseja-se 
estabelecer um controle estatístico para o diâmetro interno dos anéis.
– 25 amostras (m), cada uma de tamanho 5 (n), foram extraídas quando o mesmo estava sob 
controle.
– As medidas são exibidas a seguir
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DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Exemplo – Anéis de Pistão
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0,581
0,02324
0,02324.(0) = 0
0,02324.(2,115) = 0,04915
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Nenhum ponto fora dos limites de 
controle
Nenhum padrão não aleatório foi 
identificado
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252321191715131197531
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
Sample
S
a
m
p
le
 R
a
n
g
e
_
R=0,02324
UCL=0,04914
LCL=0
R Chart of x1; ...; x5
DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Exemplo – Anéis de Pistão
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1850,0294
74,0012
74,0012 – 0,577.(0,02324) = 73,9878
74,0012 + 0,577.(0,02324) = 74,0146
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Nenhum ponto fora dos limites de 
controle
Nenhum padrão não aleatório foi 
identificado
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252321191715131197531
74,015
74,010
74,005
74,000
73,995
73,990
Sample
S
a
m
p
le
 M
e
a
n
__
X=74,00118
UCL=74,01466
LCL=73,98769
Xbar Chart of x1; ...; x5
DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Exemplo – Anéis de Pistão
– Conclusão
• Como ambos os gráficos exibem controle, podemos concluir que o processo está sob 
controle nos níveis estabelecidos e adotar os limites tentativos para um controle estatístico 
on-line do processo.
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ESTIMANDO A CAPACIDADE DO 
PROCESSO
Os gráficos de controle fornecem informação sobre o desempenho do processo. Uma forma de 
expressar a capacidade do processo é em termos da razão (ou índice) da capacidade do 
processo (RCP) Cp, definida para uma característica da qualidade com limites superior e inferior 
de especificação LSE e LIE como: 
em que
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ESTIMANDO A CAPACIDADE DO 
PROCESSO
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• Os gráficos de controle podem ser usados para descrever a capacidade do processo de produzir peças 
relativas as especificações. No exemplo dos pistões temos que 
� = 74,00126 mm. O desvio padrão 
pode ser estimado por:
• Os limites de especificação para os anéis de pistão são 74 ± 0,05 mm. Supondo que o diâmetro dos 
anéis de pistão seja uma variável aleatória normalmente distribuída (onde Φ pode ser retirado da tabela 
normal de distribuição acumulada z ou do Excel com a fórmula DIST.NORMP.N), com média 
74,00126 e desvio padrão 0,009819, podemos estimar a fração de anéis não-conformes como:
• Isto é, cerca de 0,000043% [0,43 partes por milhão (ppm)] dos anéis produzidos estará fora das 
especificações.
0,02284
0,009819
73,95-74,00126
0,009819 0,009819
74,05-74,00126
Φ(-5,22049)+1- Φ(4,96385)=0,00000009 
+1-0,99999965=0,00000043=0,000043%
fi
ESTIMANDO A CAPACIDADE DO 
PROCESSO
A RCP Cp pode ser interpretado de uma outra forma. A quantidade
é simplesmente a percentagem da faixa de especificação usada pelo sistema.
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ESTIMANDO A CAPACIDADE DO 
PROCESSO
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• Os limites de especificação para os anéis de pistão são 74 ± 0,05 mm. Para o exemplo dos 
anéis, temos:
• Isto significa que os limites de tolerância “naturais” (três-sigma acima e abaixo da média)estão 
dentro dos limites inferior e superior de especificação. Consequentemente, um número baixo 
de anéis de pistão não-conformes será produzido (0,43 ppm). A seguir especifica-se a 
percentagem da faixa de especificação usada pelo sistema:
• Isto é, o processo usa aproximadamente 58,92% da faixa de especificação.
0,009819
1,6973
1,6973
58,92%
ESTIMANDO A CAPACIDADE DO 
PROCESSO
- Na figura (a) a RCP Cp é maior que 1, onde o processo usa menos de 100% da faixa de 
tolerância;
- Na figura (b) a RCP Cp é igual a 1, onde o processo usatoda a faixa de tolerância;
- Na figura (c) a RCP Cp é menor que 1, onde o processo usa mais de 100% da faixa de 
tolerância, o que pode dizer que um grande número de peças não-conformes podem ser 
produzidas.
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Limite 
inferior 
especificado Limite inferior 
natural de 
controle
Limite superior 
natural de 
controle
Limite 
superior 
especificado
DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Limites de Controle e Limites de Especificação
– Não existe nenhuma relação entre os limites de controle e os limites de 
especificação do processo
– Limites de Controle (ou limites naturais de tolerância): são guiados pela 
variabilidade natural do processo (medido pelo desvio padrão).
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DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Limites de Controle e Limites de Especificação
– Limites de Especificação: são determinados externamente, ou seja, podem ser 
especificados pela gerência, engenheiros, clientes, etc.
– Não há relação matemática ou estatística entre limites de controle e 
especificação.
– O objetivo do CEP é manter os limites de controle dentro dos limites de 
especificação.
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DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Limites Naturais de Tolerância
– São determinados pela variabilidade natural do processo.
– É definido como os limites 3� acima (LSNT) e abaixo (LINT) da média do 
processo.
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L I M I T E S D E 
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N A T U R A I S D E 
T O L E R Â N C I A
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 65
DESENVOLVIMENTO E USO DOS
GRÁFICOS E R
Efeito da Não-Normalidade nos Gráficos
– A suposição de normalidade é fundamental no desenvolvimento dos gráficos de controle.
– Uma saída, caso se conheça que a distribuição amostral da média e da amplitude não é 
normal, é utilizar limites probabilísticos para os gráficos de controle.
– No entanto, mesmo para populações não-normais, vários autores atestam que a utilização de 
amostras de tamanho (n>3) já são suficientes para garantir robustez em relação a hipótese de 
normalidade para o gráfico � (Teorema Central do Limite).
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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA 
OPERAÇÃO
– A habilidade dos gráficos � e R em detectar mudanças na qualidade do processo é descrita 
pelas curvas característica de operação (CO).
– Considere o gráfico � com � conhecido e constante. Suponha que a média μ0 desloca-se para 
outro valor μ1 = μ0 + k� 
– A probabilidade (ou risco) de NÃO se detectar esse deslocamento na 1ª amostra 
subsequente é:
� � ����� � �̅ � ��� I μ = μ1 = μ0 + k� �
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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA 
OPERAÇÃO
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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA 
OPERAÇÃO
Logo,
Onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão, e pode ser encontrado no Excel 
com a fórmula DIST.NORMP.N
Exemplo
– Suponha que estamos usando um gráfico � com L=3 (limites usuais), tamanho de amostra n=5 
e queremos determinar a probabilidade de detectar um deslocamento para μ1 = μ0 + 2� na 
primeira amostra.
– Logo, temos L=3, n=5 e k=2
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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA DA 
OPERAÇÃO
Logo,
– Essa é a probabilidade (ou risco) de NÃO detectar tal deslocamento.
– A probabilidade desse deslocamento ser detectado na primeira amostra é:
1 - � = 1 – 0,0708 = 0,9292
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CURVAS CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO 
PARA O GRÁFICO COM LIMITES 3
�
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Probabilidade 
de NÃO 
detectar um 
deslocamento 
na média “k�” 
na 1ª amostra
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Base Estatística dos Gráficos � e S
– Os gráficos � e S são preferidos, ao invés dos � e R, quando:
• Tamanho de Amostra n > 10 (moderadamente grande)
• Tamanho de Amostra n é variável
– A construção de tais gráficos seguem a mesma sequência usada na construção dos 
anteriores.
– Na prática μ e � são desconhecidos e precisam ser estimados a partir de amostras ou 
subgrupos, coletados quando o processo estava sob controle.
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Dedução dos Limites no Gráfico �
– Portanto, para μT e �T desconhecidos, temos os limites do gráfico de controle dados por:
– Fazendo na expressão acima, obtemos:
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Dedução dos Limites no Gráfico �
– A média dos desvios padrões nas m amostras é definida por:
– onde:
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráfico S
– Assim, os parâmetros do gráfico S são obtidos por:
Onde: 
As constantes B3 e B4 encontram-se no Apêndice VI do livro: Introd. ao Controle de Qualidade -
Montgomery (4ª Ed.)
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráfico �
– Consequentemente, obtemos os novos limites de controle necessários para construção do 
gráfico �
• – Lembrando que o estimador não viesado para � é dado por:
As constantes A3 e c4 encontram-se no Apêndice VI do livro: Introd. ao Controle de Qualidade -
Montgomery (4ª Ed.)
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EXEMPLO: ANÉIS DE PISTÃO
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�̅� � ��1 � �2 � … � ���/n
Si =
- 1 
E X E M P LO : A N É I S D E 
P I S TÃ O
252321191715131197531
74,01
74,00
73,99
Sample
S
a
m
p
le
 M
e
a
n
__
X=74,00126
UCL=74,01450
LCL=73,98801
252321191715131197531
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
Sample
S
a
m
p
le
 S
tD
e
v
_
S=0,00928
UCL=0,01938
LCL=0
Xbar-S Chart of x1; ...; x5
Nenhum ponto fora dos limites de 
controle
Nenhum padrão não aleatório foi 
identificado
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GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráficos � e S com tamanho de amostra variável
– São relativamente simples de usar
– A linha central dos gráficos será uma média ponderada em função do tamanho ni de cada 
amostra.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 79
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
VARIÁVEIS
• Gráficos � e S com tamanho de amostra variável
– Os limites de controle continuam sendo calculados através das expressões:
– No entanto, as constantes A3, B3 e B4 vão depender do tamanho de amostra usado em cada 
subgrupo individual.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 80
E X E M P L O
O S D A D O S A S E G U I R S Ã O 
U M A M O D I F I C A Ç Ã O D O S 
D A D O S S O B R E A N É I S D E 
P I S T Ã O U S A D O S 
A N T E R I O R M E N T E .
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 81
EXEMPLO: ANÉIS DE PISTÃO 
MODIFICADO
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 82
EXEMPLO: ANÉIS DE PISTÃO 
MODIFICADO
– Para ilustrar, considere a primeira amostra onde n1 = 5. Logo:
– Os limites para segunda amostra devem ser calculados levando em conta que n2 = 3, e assim 
sucessivamente.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 83
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 84
B4B3
G R Á F I C O S 
D E 
C O N T R O L E 
P A R A 
V A R I Á V E I S
252321191715131197531
74,02
74,01
74,00
73,99
73,98
Sample
S
a
m
p
le
 M
e
a
n
__
X=74,00084
UCL=74,01447
LCL=73,98722
252321191715131197531
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
Sample
S
a
m
p
le
 S
tD
e
v
_
S=0,00955
UCL=0,01994
LCL=0
Xbar-S Chart of x1; ...; x5
Tests performed with unequal sample sizes
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 85
GRÁFICOS DE CONTROLE SHEWHART
PARA AMOSTRAS INDIVIDUAIS
– Existem situações onde o tamanho da amostra para monitoramento do processo é n=1.
– Por exemplo:
• Utilização de inspeção e medição automática de modo que toda unidade fabricada é 
inspecionada;
• Taxa de produção muito lenta torna inconveniente acumular tamanhos de amostras n > 1;
• Medidas sobre algum parâmetro diferem muito pouco e produzem um desvio padrão muito 
pequeno.
• Entre outros
– Em tais situações o gráfico de controle para unidades individuais é útil.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 86
GRÁFICOS DE CONTROLE 
SHEWHART PARA AMOSTRASINDIVIDUAIS
– A variabilidade do processo é estimada através da 
amplitude móvel, definida por:
MRi = | xi – xi-1 |
– No exemplo a seguir ilustramos o procedimento para 
construção dos gráficos de controle para a amplitude 
móvel e para medidas individuais
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 87
GRÁFICOS DE CONTROLE SHEWHART
PARA AMOSTRAS INDIVIDUAIS
– Os limites de controle são adaptações dos utilizados nos gráficos R e �, sendo calculados 
através das expressões:
– As constantes d2, D3 e D4 são obtidas no Apêndice VI, e usualmente utiliza-se n=2.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 88
GRÁFICOS DE CONTROLE SHEWHART
PARA AMOSTRAS INDIVIDUAIS
– Note que no exemplo usamos uma amplitude móvel de tamanho 2, logo n será igual 2 no 
Apêndice VI.
– Os limites de controle para o gráfico da amplitude móvel serão:
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 89
GRÁFICOS DE CONTROLE SHEWHART
PARA AMOSTRAS INDIVIDUAIS
– Os limites para o gráfico de controle das medidas individuais serão:
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 90
GRÁFICOS DE 
CONTROLE 
SHEWHART
PARA 
AMOSTRAS 
INDIVIDUAIS
151413121110987654321
34,5
34,0
33,5
33,0
32,5
Observation
In
d
iv
id
u
a
l V
a
lu
e
_
X=33,523
UCL=34,802
LCL=32,245
151413121110987654321
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
Observation
M
o
v
in
g
 R
a
n
g
e
__
MR=0,481
UCL=1,571
LCL=0
I-MR Chart of Viscosidade
• Nenhum ponto fora dos 
limites de controle
• Nenhum padrão não 
aleatório foi identificado
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 91
GRÁFICOS DE CONTROLE SHEWHART
PARA AMOSTRAS INDIVIDUAIS
• Continuando os dados... 
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 92
GRÁFICOS DE 
CONTROLE 
SHEWHART
PARA 
AMOSTRAS 
INDIVIDUAIS
28252219161310741
35,0
34,5
34,0
33,5
33,0
Observation
In
d
iv
id
u
a
l V
a
lu
e
_
X=33,921
UCL=35,015
LCL=32,828
28252219161310741
1,5
1,0
0,5
0,0
Observation
M
o
v
in
g
 R
a
n
g
e
__
MR=0,411
UCL=1,343
LCL=0
1
1
I-MR Chart of Viscosidade
• Banco de Dados Completo –
Processo fora de Controle.
• Lembrando que na prática 
utiliza-se mais o gráfico de 
valores individuais de controle 
(1) e não o de amplitude 
móvel (2).
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EXERCÍCIOS
1-) Um provedor de energia de alta voltagem 
deve ter uma voltagem nominal de saída de 
350V. Uma amostra de 4 unidades é 
selecionada todo dia e testada com o 
propósito de controle do processo. Os 
dados mostram a diferença, multiplicada por 
10, entre a leitura observada em cada 
unidade e a voltagem nominal; isto é: xi = 
(voltagem observada na unidade i - 350)*10
a-) Construa gráficos R e � para esse 
processo. O processo parece estar sob 
controle estatístico?
b-) Se as especificações são 350V ± 5V, o que 
você pode dizer sobre a capacidade do 
processo?
Nº da amostra x1 x2 x3 x4
1 6 9 10 15
2 10 4 6 11
3 7 8 10 5
4 8 9 6 13
5 9 10 7 13
6 12 11 10 10
7 16 10 8 9
8 7 5 10 4
9 9 7 8 12
10 15 16 10 13
11 8 12 14 16
12 6 13 9 11
13 16 9 13 15
14 7 13 10 12
15 11 7 10 16
16 15 10 11 14
17 9 8 12 10
18 15 7 10 11
19 8 6 9 12
20 14 15 12 16
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 94
EXERCÍCIOS
2-) A espessura de uma placa de circuito 
impresso é um parâmetro importante da 
qualidade. Dados sobre a espessura (em 
polegadas, in) são dados aqui para 25 
amostras de três placas cada. 
a-) Construa gráficos de controle � e R para 
esse processo. O processo está sob controle 
estatístico?
b-) Estime o desvio padrão do processo.
c-) Quais são os limites que você esperaria 
que contivessem aproximadamente todas as 
medidas do processo?
d-) Se as especificações são 0,0630in ±
0,0015in, qual é o valor da RCP Cp?
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 95
Nº da amostra x1 x2 x3
1 0,0629 0,0636 0,0640
2 0,0630 0,0631 0,0622
3 0,0628 0,0631 0,0633
4 0,0634 0,0630 0,0631
5 0,0619 0,0628 0,0630
6 0,0613 0,0629 0,0634
7 0,0630 0,0639 0,0625
8 0,0628 0,0627 0,0622
9 0,0623 0,0626 0,0633
10 0,0631 0,0631 0,0633
11 0,0635 0,0630 0,0638
12 0,0623 0,0630 0,0630
13 0,0635 0,0631 0,0630
14 0,0645 0,0640 0,0631
15 0,0619 0,0644 0,0632
16 0,0631 0,0627 0,0630
17 0,0616 0,0623 0,0631
18 0,0630 0,0630 0,0626
19 0,0636 0,0631 0,0629
20 0,0640 0,0635 0,0629
21 0,0628 0,0625 0,0616
22 0,0615 0,0625 0,0619
23 0,0630 0,0632 0,0630
24 0,0635 0,0629 0,0635
25 0,0623 0,0629 0,0630
EXERCÍCIOS
3-) Peças manufaturadas por um 
processo de moldagem por injeção são 
submetidas a um teste de força de 
compressão. 20 amostras de 5 peças 
cada são coletadas e as forças de 
compressão (em psi) são mostradas na 
tabela a seguir. 
a-) Construa o gráfico de controle � e S 
para a força de compressão usando 
estes dados. O processo está sob 
controle?
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 96
Nº da amostra x1 x2 x3 x4 x5
1 83,0 81,2 78,7 75,7 77,0
2 88,6 78,3 78,8 71,0 84,2
3 85,7 75,8 84,3 75,2 81,0
4 80,8 74,4 82,5 74,1 75,7
5 83,4 78,4 82,6 78,2 78,9
6 75,3 79,9 87,3 89,7 81,8
7 74,5 78,0 80,8 73,4 79,7
8 79,2 84,4 81,5 86,0 74,5
9 80,5 86,2 76,2 64,1 80,2
10 75,7 75,2 71,1 82,1 74,3
11 80,0 81,5 78,4 73,8 78,1
12 80,6 81,8 79,3 73,8 81,7
13 82,7 81,3 79,1 82,0 79,5
14 79,2 74,9 78,6 77,7 75,3
15 85,5 82,1 82,8 73,4 71,7
16 78,8 79,6 80,2 79,1 80,8
17 82,1 78,2 75,5 78,2 82,1
18 84,5 76,9 83,5 81,2 79,2
19 79,0 77,8 81,2 84,4 81,6
20 84,5 73,1 78,6 78,7 80,6
G R Á F I C O S D E 
C O N T R O L E PA R A 
AT R I B U T O S
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
ATRIBUTOS
• Introdução
– Muitas características da qualidade não podem ser representadas numericamente.
– Nestes casos, classificamos cada item inspecionado como conforme ou não-conforme.
– Tais características são chamadas de atributos
– Exemplos: Haste empenada, Chips que não funcionam, Embalagens com defeitos.
– Os gráficos de atributos não são tão informativos quanto o de variáveis
– Uma medida numérica retém mais informação do que uma classificação: conforme ou não-conforme.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 98
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA 
ATRIBUTOS
• Introdução
– Por outro lado, esses gráficos tem aplicações importantes:
– Na indústria de serviços ou na melhoria da qualidade fora da indústria muitas características não são 
mensuradas em escala numérica. Por exemplo: Satisfação com um serviço.
– Iremos estudas 3 gráficos para atributos:
– Gráfico p: analisa a fração de itens não-conformes
– Gráfico c: analisa o número de defeitos ou não-conformes
– Gráfico u: analisa o número de defeitos por unidade produzida
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 99
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Estimando a fração não conforme (p)
– Seleção de m amostras preliminares (20 a 25), cada uma de tamanho n.
– Se há Di unidades não conformes na amostra i, calculamos a fração não conforme na i-ésima
amostra como:
– e a média dessas frações como:
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 100
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Estimando a fração não conforme (p)
– A estatística !̅ estima a fração não conforme desconhecida p:
– O desvio padrão do processo é dado por:
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 101
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Escolher n grande o bastante para que LIC seja positivo (maior que zero).
– Isso garante que iremos investigar um número mínimo de itens não conformes.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 102
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Exemplo: suponha p = 0,05 e L = 3.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 103
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Considerações
– O Gráfico p não é válido quando, por exemplo, a probabilidade de uma unidade não conforme 
depende da unidade anterior ter sido não conforme (ou não).
– Deve-se ter cautela ao analisar pontos que se localizam abaixo do limite inferior de controle. 
Tais pontos podem não representar melhoria real na qualidade do processo. Isso pode ocorrer 
devido:
– Erros no processo de inspeção;– Inspetores inadequadamente treinados ou inexperientes;
– Equipamentos de inspeção inadequadamente calibrados;
– Omissão de unidades não conformes por inspetores.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 104
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Exemplo
– Suco de Laranja é embalado em caixas de papelão. O vazamento do suco devido a uma falha de 
vedação na caixa caracteriza-se como uma característica da qualidade.
– Deseja-se estabelecer um gráfico de controle para melhorar a fração de embalagens não-
conforme produzidas por uma máquina.
– Considere que foram selecionadas 30 amostras, com n=50 embalagens cada.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 105
G R Á F I C O S D E 
C O N T R O L E 
P A R A 
F R A Ç Ã O
D E N Ã O -
C O N F O R M E S 
( G R Á F I C O P )
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 106
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA FRAÇÃO
DE NÃO-CONFORMES (GRÁFICO P)
• Exemplo
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 107
G R Á F I C O S D E C O N T R O L E 
PA R A F R A Ç Ã O
D E N Ã O - C O N F O R M E S 
( G R Á F I C O P )
28252219161310741
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Sample
P
ro
p
o
rt
io
n
_
P=0,2313
UCL=0,4102
LCL=0,0524
1
1
P Chart of Nº Não-Conforme
• Exemplo
• - No minitab clique em stat –
control charts – atributes 
charts – p... – na caixa variables
coloque a coluna de números 
inteiros – no subgrupo coloque 
o tamanho de cada amostra 
(neste caso 50). Done!
• - Revisão dos Limites Tentativos 
Retirando os Pontos Fora de 
Controle.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 108
G R Á F I C O S D E C O N T R O L E 
PA R A F R A Ç Ã O
D E N Ã O - C O N F O R M E S 
( G R Á F I C O P )
28252219161310741
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Sample
P
ro
p
o
rt
io
n
_
P=0,215
UCL=0,3893
LCL=0,0407
1
P Chart of Nº Não-Conforme
• Exemplo
• - Na amostra 21 não foi 
identificada causa atribuível. 
Assim, o ponto será conservado 
e esses limites serão usados 
para monitorar o processo.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 109
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
• Introdução
– Dependendo de sua natureza e gravidade, é possível que um item contenha vários defeitos de 
fabricação (não conformidades).
– Há várias situações práticas onde é preferível trabalhar com o número de defeitos ao invés da fração 
não conforme:
– Exemplo: nº de soldas com defeitos em 100m de oleoduto, nº de defeitos em um equipamento eletrônico, etc.
– É possível construir gráficos de controle tanto para o número total de defeitos em uma unidade, 
quanto para o número médio de defeitos por unidade.
– Uma unidade de inspeção pode ser um subgrupo (de tamanho constante) de itens:
– 5 rádios
– 1 TV
– Uma área de 4m2
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 110
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
Desenvolvimento e Operação
– O desvio padrão do processo é dado por:
- Seja "̅ o número médio de defeitos observado em uma amostra preliminar de unidades de 
inspeção, temos que:
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 111
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
• Exemplo
– Considere o número de defeitos observados em 
26 amostras sucessivas de 100 placas de circuito 
impresso. (1 amostra = 1 unidade de inspeção)
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 112
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
– Assim, os limites de controles tentativos são dados por:
– O desvio padrão do processo pode ser estimado por:
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 113
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
• Amostra 6 e 20 encontram-se fora dos limites de controle. Revisar os Limites Tentativos
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 114
252219161310741
40
30
20
10
0
Sample
S
a
m
p
le
 C
o
u
n
t
_
C=19,85
UCL=33,21
LCL=6,48
1
1
C Chart of Nº Não-Conf.
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
• Novos Limites Tentativos. Nenhum padrão não aleatório foi identificado.
Prof. MSc. Eng.º Wagner Cardoso 115
2321191715131197531
35
30
25
20
15
10
5
Sample
S
a
m
p
le
 C
o
u
n
t
_
C=19,67
UCL=32,97
LCL=6,36
C Chart of Nº Não-Conf. (without samples 6 and 20) Para excluir valores no 
minitab é só dentro de 
control charts –
attributes chart – C... 
– clicar em Data 
Options – Specify
which rows exclude –
Row numbers – e 
colocar as amostras 
que quer 
desconsiderar 
separadas por virgulas.
GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O
NÚMERO DE DEFEITOS (GRÁFICO C)
• Análise Adicional
– Dados sobre defeitos são mais informativos que a fração não conforme.
– É possível identificar os diferentes tipos de defeitos.
– Através de um Gráfico de Pareto ou Diagrama de Causa-Efeito pode-se identificar a causa mais 
frequente.
– Tal informação é de grande utilidade no desenvolvimento de planos de ação que devem 
acompanhar os gráficos de controle.
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EXERCÍCIOS
1-) Uma empresa produz cortinas 
padronizadas que são vendidas prontas 
para instalação em tamanho único. Ela 
recebeu uma encomenda de exportação 
e o cliente aceita um número máximo 
de 11 pequenos defeitos por peça. A 
empresa deseja montar um controle 
estatístico para verificar se tem 
capacidade de atender tal especificação. 
Assim sendo tomou-se 20 amostras de 
cortinas cuja análise é apresentada 
abaixo. Construa o gráfico C e analise se 
todas as amostras estão dentro dos 
limites especificados.
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Elemento Defeitos
1 2
2 3
3 8
4 15
5 6
6 16
7 7
8 3
9 4
10 6
11 2
12 4
13 5
14 3
15 3
16 3
17 4
18 2
19 0
20 1
EXERCÍCIOS
2-) Em um processo de serigrafia em 
peças plásticas foram retiradas 15 
amostras de 20 elementos cada amostra 
com o propósito de se estabelecer um 
gráfico P de controle. Os números de 
peças não conformes encontradas em 
cada amostra são mostrados na tabela a 
seguir. Elaborar o gráfico P de controle. 
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Amostra Peças com defeitos
1 3
2 2
3 0
4 0
5 1
6 0
7 3
8 2
9 0
10 1
11 1
12 0
13 2
14 1
15 0
C A PA C I D A D E D O 
P R O C E S S O
CAPACIDADE DO PROCESSO
• Introdução
– Cartas de Controle:
– Instrumento de monitoramento e detecção de desvios na estabilidade do processo.
– Considerando que através das cartas de controle tenhamos um processo estável durante 
longos períodos de tempo, a seguinte questão precisa ser respondida:
– O processo atende de forma eficiente os requisitos impostos ao produto?
– No contexto do CEP, os estudos de capacidade do processo destinam-se a responder esta 
questão.
– É importante ressaltar que eficiência deve ser entendido como baixo nível de não-
conformidades.
– Os índices de capacidade do processo são parâmetros adimensionais que indiretamente 
medem o quanto o processo consegue atender às especificações.
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CAPACIDADE DO PROCESSO
• Considerações Importantes
– O uso dos índices de capacidade não tem sentido se os dados analisados forem provenientes 
de um processo fora de controle
– Motivo: os índices são parâmetros da distribuição estacionária da característica da qualidade em 
estudo. Se o processo estiver fora de controle essa distribuição não será sempre a mesma, logo não 
saberemos o que estaremos estimando a partir dos dados.
– Assim, devemos primeiro examinar o comportamento das cartas de controle. Uma vez 
evidenciada a condição de controle, o estudo de capacidade pode ser conduzido.
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CAPACIDADE DO PROCESSO
• Considerações Importantes
– É costume tomar como medida de capacidade de um processo a dispersão 6-sigma na 
distribuição da característica da qualidade
– Se os dados são provenientes de uma distribuição normal, os LNT incluem 99,73% da variável.
– Os LNT expressam os Limites Naturais do Processo.
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CAPACIDADE DO PROCESSO
• Razões da Capacidade do Processo
– No entanto, convém termos uma forma simples e quantitativa de expressar a capacidade de 
um processo.
– Tal forma foi introduzidapor Juran (1974), chamando-a de razão da capacidade de um processo 
(RCP) Cp
onde LIE/LSE são os limites de especificação inferior e superior.
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CAPACIDADE DO PROCESSO
• Razões da Capacidade do Processo
– Em aplicações práticas, � precisa ser estimado. Isso resulta em uma estimativa para Cp dada por
– Note que o índice Cp relaciona a tolerância especificada com a tolerância natural do processo. 
Assim,
• Cp < 1, TN é maior que TE (preocupante)
• Cp = 1, TN é igual TE (precisa melhorar)
• Cp > 1, TN é menor que TE (desejável)
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CAPACIDADE DO PROCESSO
• Exemplo – Anel de Pistão
– Limites de Especificação: 74.00mm ± 0.05mm
– Do gráfico R, estimamos: 
– Logo,
– Cp > 1 (desejável).
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CAPACIDADE DO PROCESSO
–Vimos que a razão da capacidade do processo mede a habilidade do processo de produzir 
produtos que atendam as especificações.
– A seguir, apresentaremos diversos valores de Cp juntamente com o número de peças 
defeituosas ou unidades não-conformes do produto por milhão (ppm).
– Tais quantidades foram obtidas com base nas seguintes suposições importantíssimas:
– A característica da qualidade tem distribuição normal;
– O processo está sob controle estatístico;
– A média do processo está centrada entre os limites de especificação superior e inferior.
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CAPACIDADE DO PROCESSO
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– Para ilustrar a tabela ao lado, temos que:
• Cp = 1, implica em 2.700 ppm
• Cp = 1,50 implica em uma taxa de apenas 7 ppm
• No exemplo do anel de pistão, Cp = 1,68 ≅
 1,70. Isso implica em 0,34 ppm, ou seja, o 
processo encontra-se bem calibrado.
Fi
O ÍNDICE CPK
• Razão de Capacidade para um Processo Descentrado
– Note que o índice Cp não leva em conta a localização da média do processo com relação aos 
limites de especificação.
– Kane (1986) propõe uma medida (Cpk) que penaliza desvios da média do processo em relação 
a posição central (“ótima”), sendo definido por:
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O ÍNDICE CPK
• Razão de Capacidade para um Processo Descentrado
– Se Cp = Cpk o processo está centrado no ponto médio das especificações.
– Quando Cpk < Cp o processo está descentrado.
– A diferença entre Cp e Cpk é uma medida direta de quão fora do centro o processo está 
operando.
– Além disso, através da tabela apresentada anteriormente, pode-se obter uma estimativa rápida 
da melhoria potencial caso o processo estivesse centralizado.
– Por isso, costuma-se dizer que Cp mede a capacidade potencial no processo, enquanto 
Cpk mede a capacidade efetiva.
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EXERCÍCIOS
1-) Consideremos um processo que esteja sob controle, cujos dados seguem distribuição normal. 
Para este processo temos as seguintes especificações: LSE = 10,9 e LIE = 10,5. 
Vamos supor que a média amostral do processo seja 10,662 e desvio padrão seja 0,118. Calcule 
e avalie os indicadores CP e CPk, bem como a capacidade geral do processo.
2-) As especificações para uma peça em particular são 10”± 0,015”. O processo associado 
produz peças com média de 10” e desvio padrão de 0,002. Determine a capacidade do processo 
pelos indicadores CP e CPK, e o nº de ppm não-conformes. 
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EXERCÍCIOS
3-) Um Gerente de Qualidade quer 
descobrir os índices de capacidade do 
processo Cp e Cpk de fabricação de 
refrigerantes, mais especificamente na 
etapa de envase. A tabela traz os 
volumes de cada amostra de garrafa 
envasada coletada na linha, em litros. O 
limite de especificação é 2,00 ± 0,03. 
Encontre o Cp e o Cpk, o número de 
não-conformidades e construa o gráfico 
da capabilidade do processo.
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Amostra V1 V2 V3
1 2,01 2,00 1,99
2 2,00 1,98 1,98
3 2,02 1,97 1,99
4 1,99 1,95 2,02
5 1,98 1,99 1,96
6 2,00 2,01 2,03
7 2,08 2,02 2,02
8 2,00 2,00 2,01
9 2,02 2,04 2,00
10 1,99 1,98 2,00
11 1,97 1,99 1,99
12 1,97 2,06 1,98
13 1,96 2,05 1,97
14 1,99 2,00 2,01
15 2,06 2,03 2,02