Fundamentos da Física Quântica

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FÍSICA 
APOSTILA DE 
APROFUNDAMENTO 
FUNDAMENTOS DE 
FÍSICA QUÂNTICA I 
 
Física – Fundamentos de Física Quântica I 
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Introdução 
No início do século XX (final do século XIX) tinha-se a impressão de que o conhecimento do homem sobre o 
funcionamento do universo era total e imutável, a mecânica newtoniana abordando o movimento de objetos de 
todos os tamanhos, desde o grão de areia até os movimentos planetários, a termodinâmica com suas máquinas 
térmicas diminuindo as distâncias entre os continentes, a eletricidade e o magnetismo tinham sido unificados 
através das equações de Maxwell e a óptica física devidamente comprovando o caráter ondulatório da luz através 
dos fenômenos da difração, interferência e polarização, com leis bem fundamentadas. Todo esse aparato teórico 
produzia a sensação de que qualquer novo problema proposto pelos avanços surgidos na área das estruturas 
atômicas e da luz emitida ou absorvida pelos átomos, logo estariam resolvidos com base teórica que a ciência da 
época dispunha, grande engano, na realidade esses “novos” problemas levaram a uma verdadeira revolução nas 
ideais da física. 
Na realidade os físicos da época tinham quatro problemas básicos a serem resolvidos, que era inclusive de certa 
forma menosprezados e chamados de “pequenas nuvens”, pois se pensava que com todo o aparato teórico 
desenvolvido até então, as explicações logo seriam apresentadas, eram eles: 
 A experiência de Michelson – Morley; 
 A precessão no periélio da órbita de Mercúrio; 
 A radiação do corpo negro; 
 O efeito fotoelétrico. 
 
Veja que, os dois primeiro deram origem à teoria da relatividade devida a Einstein e Lorentz, que estudamos no 
tópico anterior e os dois últimos formam as bases para a origem da interpretação quântica formulada 
inicialmente por Max Planck, os princípios do que chamamos de física quântica foram firmadas ao longo de um 
intervalo de tempo de 30 anos, começando por volta de 1900. 
Até aquela época, ainda não havia nenhuma teoria que tentasse explicar um fenômeno físico através de uma 
variação descontínua de determinadas propriedades de um sistema, embora já tivéssemos observado que na 
formação de vibrações estacionárias as frequências de formação de harmônicos ocorressem de forma discreta, ou 
seja, em pacotes, em degraus, aos saltos. 
Até então, pensava-se que todas as grandezas físicas deveriam variar continuamente, usava-se a expressão: “A 
natureza não dá saltos”. Porém vários experimentos da época como o da energia irradiada por um corpo negro, a 
produção e o espalhamento de raios X, a emissão termiônica, estavam em contradição com as teorias da física 
clássica. Impunha-se então a necessidade de criação de uma nova teoria que eliminasse as contradições que as 
experiências em laboratório mostravam. 
Todos esses fenômenos acabaram por estabelecer o princípio básico da teoria quântica da radiação, que inclui a 
hipótese de que, apesar da natureza ondulatória de radiação eletromagnética, ela manifesta algumas 
propriedades semelhantes ao comportamento das partículas (aspecto corpuscular), em particular, a energia 
transportada por uma onda eletromagnética que é sempre múltipla inteira de uma unidade proporcional à 
frequência da onda (hipótese de Planck, E = h.f) 
 
“Assim como a relatividade estende o campo de aplicação das leis físicas para a região das grandes velocidades, a 
física quântica estende esse campo à região de pequenas dimensões.” 
(QUANTUM PHYSICS: Eisberg & Resnick) 
A Radiação de corpo negro 
Sabemos, através do estudo da termologia, que todos os corpos emitem continuamente ondas eletromagnéticas 
e que essa emissão se deve ao constante estado de agitação dos elétrons no interior dos corpos. Essa agitação 
está diretamente ligada à temperatura, bem como as frequências emitidas, por exemplo, um pedaço de ferro à 
temperatura ambiente é visto através de seu poder refletor, pois à baixa temperatura, emite ondas (“luz” 
própria) de frequência inferiores à luz visível (as temperaturas usuais, a maioria dos corpos é visível para nós não 
pela luz que emitem, mas pela luz que refletem). 
 
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A radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura (geralmente muito alta) é chamada de radiação 
térmica, todo corpo é capaz de emitir esse tipo de radiação para o meio que o cerca, ou, dele absorver. 
 
Chamamos de corpo negro, um sistema ideal que tem a teórica capacidade de absorver toda a radiação que 
incide sobre ele e, reciprocamente, quando emite, o faz sem perdas. Por essa razão é considerado um radiador 
ideal, ou seja, “corpo negro” é um ente teórico que absorve 100% da radiação que sobre ele incida, refletindo 0%. 
Um corpo negro pode ser representado conveniente por uma cavidade dotada de um pequeno orifício como 
mostra a figura (irradiador de cavidade). Praticamente toda a radiação exterior, que penetra no orifício, 
dificilmente consegue sair, terminando por ser absorvida, 
evidenciando um comportamento próximo do ente teórico que 
estamos estudando. Na realidade as experiências que vamos 
enunciar agora são válidas para todos os corpos, porém, o estudo 
forneceria resultados mais satisfatórios se trabalhássemos com o 
máximo pode de emissão, por isso o uso do radiador ideal. 
 
Em temperatura ambiente, corpos negros emitem na faixa do 
infravermelho, ou seja, em frequências que não podem ser 
captadas por nossa visão, mas à medida que a temperatura 
aumenta algumas centenas de graus Celsius, corpos negros 
começam a emitir radiação (luz própria) em comprimentos de onda visíveis como, aliás, é o comportamento de 
todos os corpos aquecidos, por exemplo, corpos a temperaturas maiores que 5000K (o sol e outras estrelas) 
emitem em toda a faixa de luz visível. 
No gráfico abaixo temos a radiância espectral (uma espécie de intensidade de emissão luminosa) de um corpo 
negro em função do comprimento de onda da radiação. (As faixas verticais representam as cores do espectro 
visível em ordem crescente de comprimento da onda, ou seja, do violeta (1A faixa à esquerda) ao vermelho 
última faixa à esquerda). O olho humano capta principalmente a cor corresponde à emissão mais intensa da 
região visível. 
 
Note que corpos mais frios tendem a emitir fora da frequência visível, na faixa do infravermelho, ou das menores 
frequências do espectro visível e veja também que a emissão de corpos mais frios tem menos intensidade, menos 
potencia por unidade da área. Com o aumento de temperatura, a faixa de emissão tende a entrar com mais 
intensidade nas frequências visíveis e o corpo emite então todas as cores do espectro, porém com um ponto de 
máximo que corresponde à cor principal (veja que à temperatura de 7500K a cor emitida é predominantemente 
violeta, o menor comprimento de onda, no gráfico, à esquerda). Veja também que a intensidade aumenta muito 
rapidamente com a temperatura. 
Através da análise experimental do gráfico, duas conclusões iniciais foram realizadas, a Lei de 
STEFANBOLTZMANN e a LEI DO DESLOCAMENTO DE WIEN, ambas sobre o comportamento da emissão ou 
absorção da radiação por um corpo (especialmente o corpo negra) em função do comprimento de onda e da 
temperatura em que o fenômeno ocorre. 
 
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Lei de Stefan – Boltzmann 
Em 1879, Josef Stefan, usando argumentos empíricos, demonstrados teoricamente mais tarde por Ludwing 
Boltzmann, propõe que a potência de emissão de um corpo negro seja proporcional a temperatura, na forma: 
 
𝑃𝑒 = 𝜎. 𝐴. 𝜀. 𝑇4 
 
 𝜎= 5,67 x 10–8
 w/m²K4 
 A é a área de emissão 
 𝜀 representa a emissividade do corpo (no caso do negro 𝜀 = 1, no caso de um outro corpo qualquer 0 < 𝜀 < 1) 
 T é a temperatura em kelvin (veja que temos a intensidade em proporções direta com T4). 
 
A consideração do corpo negro como ideal em relação aos aspectos de emissão e absorção nos permite admitir 
que ele sempre esteja em equilíbrio com o ambiente portanto T = Tamb. 
Por outro lado, se um corpo está em contato térmico com um ambiente (reservatório de calor) a uma 
temperatura Tamb, este corpo está também absorvendo energia através da radiação térmica gerada pelo ambiente 
com a potência dada por: 
𝑃𝑎 = 𝜎. 𝐴. 𝜀. 𝑇𝑎
4 
Onde 𝜀 representa a taxa de absorvidade do corpo, que funciona com o mesmo valor, em módulo, que a 
emissividade. 
Se o corpo físico não está em equilíbrio termodinâmico com ambiente, então a taxa líquida de troca de energia 
deste corpo com o ambiente é simplesmente: 
𝑃𝐿 = 𝜎. 𝐴. 𝜀. (𝑇𝑎
4 − 𝑇4) ⟶ (𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑇𝑎 > 𝑇) 
Lei do Deslocamento de Wien 
A figura também nos mostra que o espectro se desloca para maiores frequências, ou menores comprimentos de 
onda, à medida que a temperatura absoluta T (Kelvin) aumenta e que existe uma relação importante entre o 
comprimento de onda máximo de emissão, ou seja, a cor efetivamente emitida pelo corpo e a temperatura 
absoluta em que ocorre a emissão, verifica-se que: 𝜆1. 𝑇1 = 𝜆2. 𝑇2 = 𝜆3. 𝑇3 = ⋯ = 2,898 𝑥 10−3(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛). 
Este resultado é conhecido como lei do deslocamento de Wien e foi determinado, na época, de forma empírica 
por: 
 
𝜆𝑚𝑎𝑥 =
𝑏
𝑇
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 2,898 𝑥 10−3(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛) 
 
Exercícios Propostos 
1. (ITA) Qual dos gráficos abaixo melhor representa a taxa P de calor emitido por um corpo aquecido, em 
função de sua temperatura absoluta T? 
 
 
 
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2. Suponha que a superfície do sol se comporte como um corpo negro e que a radiação térmica emitida seja 
principalmente no comprimento de onda 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 5100𝐴.Considerando a constante de Wien igual a 2,898 x 
10–3 (metro Kelvin), calcule a temperatura aproximada da superfície solar. 
 
3. Com relação a questão anterior, determine intensidade irradiada pelo sol em kW/m². (dado: constante de 
Stefan – Boltzmann = 𝜎 = 5,67 x 10–8w/m²K4) 
 
4. Suponha que uma pessoa sem roupas esteja em um quatro com temperatura igual a 27°C. Se a temperatura 
da pele desta pessoa é 37°C assumindo que a emissividade da pele é 0,90 e que uma pessoa possua uma 
área superficial médica de 1,5m². Qual a potência, em watts, de perda de calor desta pessoa por radiação 
térmica? (dado: constante de Stefan-Boltzmann = 𝜎 = 5,67 x 10–8 w/m²K4) 
 
5. A temperatura da pele humana é de aproximadamente 35°C. Em qual comprimento de onda a radiação 
emitida pela pele tem a máxima intensidade espectral? Em que a região do espectro eletromagnético esta 
radiação se encontra? 
 
Os Postulados de Planck 
As interpretações clássicas do problema da radiação do corpo negro não foram bem sucedidas, não conseguiam 
mostrar os resultados experimentais que os laboratórios de física estavam encontrando. Nesse curso inicial de 
física quântica não nos cabe demonstrar interpretações matemáticas de um nível muito além do que o necessário 
ao entendimento do fenômeno, mas podemos citar que a tentativa clássica feita pela famosa teoria de Rayleigh-
Jeans teve um resultado que foi chamado de catastrófico à época. 
 
A radiação do corpo negro 
 O Resultado elástico para o cálculo da radiância espectral 
(Lei de Rayliegh – Jeans) 
 
Radiância espectral (𝝀): Quantidade de energia radiada por unidade de área, por unidade de tempo, por intervalo 
de comprimento de onda. 
 
𝑆(𝜆) =
2𝜋𝑐𝑘𝐵𝑇
𝜆4
 
𝑘𝐵 = 1,38 × 10−23 𝐽/𝐾 
 
(Constante de Boltzmann) 
 
 
 
 
 
 
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Vamos fazer algumas considerações sobre a figura, primeiramente veja, de novo, as curvas de emissão energética 
dos corpos aquecidos no gráfico. Elas são resultados experimentais e mostram um comportamento já conhecido, 
ou seja, quanto maior a temperatura, maior a quantidade de energia irradiada. As maiorias temperaturas estão 
ligadas, no espectro visível, a cor violeta, ou seja, aos menores comprimentos de onda ou maiores frequências. 
Queremos entender como a energia emitida pelo corpo negro se comporta, portanto precisamos de uma função 
que mostra o comportamento experimental explicitado nas curvas de emissão. 
Grosso modo, Rayleigh-Jeans utilizaram a equivalência matemática com as ondas estacionárias na cavidade, como 
se estivéssemos diante de um oscilador harmônico e seus modos de vibração. 
Comparando-se as expressões da densidade de energia numa onda eletromagnética estacionária, (1/2). 𝜀0. E2 
(analogia com (1/2) kx²), com a teoria termodinâmica da equipartição da energia <W> = KbT (BOLTZMANN) e 
distribuindo os modos estacionários de vibração por unidade de volume da cavidade, chega-se a expressão da 
fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiância espectral do corpo negro em função do comprimento de onda emitido 
e da temperatura da amostra usando argumentos clássicos, como mostra a figura acima: 
 
𝑆(𝜆) =
2𝜋𝑐𝑘𝐵𝑇
𝜆4
 
 
 
 
Esse resultado se mostrou inconsistente, veja, por exemplo, o que acontece se 𝜆 tende a zero, ou seja, para 
pequenos comprimentos de onda a energia emitida tende a infinito, ou seja, o corpo negro pode emitir uma 
quantidade infinita de energia. Além de um resultado absurdo está completamente em desacordo com o 
experimento, veja a diferença entre a curva prevista pela expressão de Rayleigh-Jeans e o gráfico do laboratório: 
 
Veja que a teoria clássica até se aproxima graficamente na região de maiores comprimentos de onda, na faixa 
visível, na região do alaranjado ou vermelho. Porém seu crescimento infinito quando o comprimento de onda 
decresce, não condiz em nada com os resultados experimentais e esse fato ficou conhecido como “catástrofe do 
ultravioleta”. 
Vários físicos tentaram sem sucesso, a partir das equações do eletromagnético, obter uma nova solução 
envolvendo a intensidade da radiação, a frequência e a temperatura que se adaptasse aos resultados 
experimentais dos gráficos acima, conhecidos como o problema do corpo negro ou como catástrofe do 
ultravioleta, porque a teoria clássica não conseguia explicar as curvas, obtidas ousada e, segundo ele, dada por 
puro desespero. 
A ideia original de Planck baseava-se no fato de que o processo de emissão ou absorção de energia ocorria 
descontinuamente, de forma discreta, ou ainda, de forma quantizada (sinônimos para um mesmo processo). 
Antes de seguirmos com o raciocínio devemos responder a seguinte pergunta clássica: O que significa uma 
grandeza quantizada? 
Uma grandeza é classificada como quantizada quando não pode ter qualquer valor, mas apenas os múltiplos 
inteiros de um certo valor mínimo chamado de quantum do processo. Lembre, por exemplo, da carga elementar, 
 
In
te
n
si
d
ad
e 
 
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a carga elétrica do próton ou do elétron tem um “quantum” de 1,6 x 10–19C e, a carga total do sistema é múltipla 
inteira de carga elementar. 
Planck teve seu raciocínio desenvolvido por analogia com as ondas ressoantes numa corda vibrante fixa em suas 
extremidades, que só se estabelece com as condições de contorno do tipo L = n . (𝜆/2), ou seja, aos saltos, de 
forma discreta e conseguiu uma equação quese ajustava ao modelo experimental. Essa equação também foge do 
nível de apresentação da nossa teoria, porém vamos apenas apresenta-la em homenagem ao brilhante trabalho 
de Max Planck. 
 
 Em 1900, Planck postulou uma expressão para a radiação emitida por uma cavidade mantida a temperatura 
T, em função da sua frequência (ou do comprimento de onda 𝜆). Além de descrever as suas observações, 
está fórmula reproduzida também o resultado clássico da radiância espectral: 
 
𝑆𝑃(𝜆) =
2𝜋𝑐2ℎ
𝜆5
(
1
exp (
ℎ𝑐
𝜆𝑘𝐵𝑇
) − 1
) (Lei de radiação de Planck) 
 
Comparando esta expressão com resultados experimentais para várias temperaturas, Planck determinou o valor 
da constante h como: 
ℎ = 6.63 × 10−34𝐽𝑠 (constante de Planck) 
 
Planck fez as propostas enunciadas como segue: 
1. Um oscilador de frequência f só pode alterar sua energia por um múltiplo inteiro de uma quantidade discreta, 
um quantum de energia calculado por: 
Δ𝐸 = ℎ. 𝑓 
 
Onde h é uma constante chamada de constante de Planck, com o valor de 6,63 x 10–34 J.s. 
 
2. A energia de um oscilador é quantizada e está restrita a um dos valores Em = n . h . f, onde o número 
quântico n é um inteiro. 
 
Note que as hipóteses de Planck dizem que a radiação emitida pelo corpo não ocorre de maneira contínua e sim 
aos pacotes de modo que cada pacote (quantum) tenha a energia E = hf. Mais tarde, cada quantum foi chamado 
de fóton e esse conceito foi usado por Einstein para explicar o famoso efeito fotoelétrico em 1905. A física 
quântica é a física do mundo dos fótons. 
 
A Teoria do Fóton e a Relatividade 
 
 
(Estes são fótons fotografados em nanotubos de carbono, usando pulsos de elétrons de altíssima velocidade). As imagens 
mostram os campos evanescentes em dois momentos e em duas polarizações diferentes. (Imagem: Zewail/Caltech). 
 
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Vamos agora estabelecer algumas relações entre a quantização de Planck e a relatividade de Einstein. Veja que o 
fóton pode ser considerado como uma partícula de luz que logicamente não existe em repouso, só existe na 
velocidade da luz, portanto não tem massa de repouso, porém possui energia dada pela expressão h.f. Sendo 
uma partícula com velocidade relativística, sem massa de repouso, essa energia é prevista por Einstein como 
calculável pela expressão E = m.c². Portanto podemos atribuir ao fóton um valor de massa através de: 
 
𝐸 = 𝑚. 𝑐² = ℎ𝑓 ⇒ 𝑚 =
ℎ𝑓
𝑐²
 
 
Note que através da teoria da relatividade especial, um corpo a velocidade da luz deveria manifestar massa 
infinita, porém como a partícula de luz (fóton) não tem massa de repouso e teoricamente não existe a uma 
velocidade menor que a da própria luz, podemos atribuir um valor de massa associada à energia do fóton. 
 
 
 
A quantidade de movimento de uma partícula de massa m que se move como o fóton, com velocidade c, é dada 
por Q = m.c. Portanto temos: 
 
𝑄 = 𝑚. 𝑐 =
ℎ𝑓
𝑐²
. 𝑐 ⇒ 𝑄 =
ℎ𝑓
𝑐
 ou 𝐸 = ℎ𝑓 = 𝑄𝑐 
 
Associando o conceito de massa à radiação luminosa (teoria corpuscular), Einstein previa que a luz seria atraída 
gravitacionalmente pelos outros corpos de massa m, porém esse efeito só seria sensível diante de um grande 
campo, por exemplo, o do sol. 
Essa teoria foi confirmada no Brasil na cidade de Sobral, no Ceará, em 19 de maio de 1919. Nesse dia houve um 
eclipse solar total e foi possível fotografar estelas durante o dia, porém foram fotografadas estrelas que naquele 
momento estavam atrás do sol. A posição aparente das fotos comprovou o desvio provocado na luz ao passar 
pelo campo gravitacional do sol. 
 
 
Einstein declarou na época: “O problema concebido na minha cabeça foi resolvido pelo luminoso céu do Brasil”. 
Outra analogia interessante comprova as teorias de Einstein: 
Seja uma fonte de ondas eletromagnéticas situadas a uma altura H, não muito grande, emitindo na frequência f 
em direção a um detector fixo na terra, por exemplo, uma frequência de comunicação de uma nave com uma 
estação terráquea. Os fótons de massa m = hf/c² sofrem trabalho do campo gravitacional uniforme da Terra, 
assim sendo pode-se associar a eles uma energia potencial que será consumida com sua descida. Temos que à 
energia hf do fóton emitido pela fonte, devemos somar sua energia potencial gravitacional. Na chegada ao 
 
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detector essa energia potencial é nula (o trabalho do campo foi associado a energia do fóton), portanto a energia 
total do fóton deve ser expressa por E’ = hf’. Pela conservação de energia temos: 
 
 
 
 
 
𝐸 = 𝐸′ ⇒ 𝐻𝐹 +
ℎ𝑓
𝑐²
𝑔𝐻 = ℎ𝑓′ ⇒ 𝑓′ = 𝑓 (1 +
𝑔𝐻
𝑐2
) 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a relação prevê um aumento de frequência da onda na chegada ao detector. Essa comprovação foi feita 
de maneira muito interessante e criativa, usando uma torre na universidade de Havard em 1960 e hoje em 1960 
hoje é constantemente observada pelas ondas emitidas por naves espaciais. 
 
Exercícios Propostas 
6. Uma importante raia espectral de emissão, em radioastronomia, tem um comprimento de onda de 21 cm. 
Calcule a ordem de grandeza da energia, em Joules, do fóton correspondente a essa emissão. 
 
a) 10–8 
b) 1012 
c) 10–18 
d) 1020 
e) 10–24 
 
7. Um sistema massa – mola, com massa de 1,0 kg e mola de constante elástica k = 20N/m oscila com 
amplitude de 1,0 cm. Supondo que a energia associada a oscilação do sistema seja quantizada de acordo com 
as fórmulas de Planck, qual das opções abaixo mostra a ordem de grandeza do número quântico n associado 
a essa vibração. 
Dado: (h = 6,63 x 10–34 J.s) 
 
a) 10–20 
b) 105 
c) 1010 
d) 1015 
e) 1030 
 
8. Um fóton de luz vermelha tem comprimento de onda igual a 700nm. Calcule a energia desse fóton em 
elétron-volts (1,0 e V = 1,6 . 10–19 J). 
 
9. Um feixe de luz monocromática tem frequência de 5,0 . 1014 Hz. Calcule a massa de um fóton desse feixe. 
 
10. Uma lâmpada emite luz monocromática de frequência igual a 6,0 . 1014 Hz, com potência de 200W. Calcule 
quantos fótons são emitidos por segundo pela lâmpada. 
 
 
 
 
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11. Suponha que uma onda de rádio com frequência de 150MHz seja emitida de uma altura de 6000m e captada 
por um receptor fixo a terra. Calcule a variação de frequência observada na estação na superfície da Terra, 
considerando que o movimento se realiza na região de campo gravitacional uniforme igual a 10 m/s². 
 
12. (ITA) Aplica-se instantaneamente uma força a um corpo de massa m = 3,3 kg preso a uma mola, e verifica-se 
que este passa a oscilar livremente com a frequência angular ω = 10 rad/s. Agora, sobre esse mesmo corpo 
preso à mola, mas em repouso, faz-se incidir um feixe de luz monocromática de frequência f = 500 x 1012 Hz, 
de modo que toda a energia seja absorvida pelo corpo, o que acarreta uma distensão de 1 mm da sua 
posição de equilíbrio. Determine o número de fótons contido no feixe de luz. Considere a constante de 
Planck h = 6,6 x 10-34 J s. 
 
13. Experimentos de absorção de radiação mostram que a relação entre a energia E e a quantidade de 
movimento p de um fóton é E = pc. Considere um sistema isolado formado por dois blocos de massas m1 e 
m2, respectivamente, colocados no vácuo, e separados entre si de uma distância L. No instante t = 0, o bloco 
de massa m1 emite um fóton que é posteriormente absorvido inteiramente por m2, não havendo qualquer 
outro tipo de interação entre os blocos. (Ver figura). Suponha que m1 se torne m1' em razão da emissão do 
fóton e, analogamente, m2 se torne m2’ devidoà absorção desse fóton. Lembrando que esta questão 
também pode ser resolvida com recursos da Mecânica Clássica, assinale a opção que apresenta a relação 
correta entre a energia do fóton e as massas dos blocos. 
 
 
 
a) E = (m2 – m1)c
2. 
b) E = (m1’ – m2’ )c
2. 
c) E = (m2’ – m2)c
2/2. 
d) E = (m2’ – m2)c
2. 
e) E = (m1 + m1’ )c
2. 
 
14. (ITA) Um feixe de laser com energia E incide sobre um espelho de massa m dependurado por um fio. 
Sabendo que o momentum do feixe de luz laser é E/c, em que c é a velocidade da luz, calcule a que altura h o 
espelho subirá. 
 
 
 
 
 
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15. (ITA) No processo de fotossíntese, as moléculas de clorofila do tipo a nas plantas verdes apresentam um pico 
de absorção da radiação eletromagnética no comprimento de onda λ = 6,80 × 10-7 m. Considere que a 
formação de glicose (C6H12O6) por este processo de fotossíntese é descrita, de forma simplificada, pela 
reação: 
 
6 CO2 + 6H2O ⟶ C6H12O6 + 6 O2 
 
Sabendo-se que a energia total necessária para que uma molécula de CO2 reaja é de 2,34 × 10-18 J, o número de 
fótons que deve ser absorvido para formar 1 molécula de glicose é 
 
a) 8. 
b) 24. 
c) 48. 
d) 120. 
e) 240. 
 
OBS – Correção: A banca se enganou ao pedir para formar 1 mol de glicose. Vamos transformar o enunciado em: 
“o número do fótons para formar uma (1) molécula de glicose é:” 
 
 
 
 
16. (ITA) O olho humano é uma câmera com um pequeno diafragma de entrada (pupila), uma lente (cristalino) e 
uma superfície fotossensível (retina). Chegando à retina, os fótons produzem impulsos elétricos que são 
conduzidos pelo nervo ótico até o cérebro, onde são decodificados. Quando devidamente acostumada à 
obscuridade, a pupila se dilata até um raio de 3 mm e o olho pode ser sensibilizado por apenas 400 fótons 
por segundo. Numa noite muito escura, duas fontes monocromáticas, ambas com potência de 6 ×10−5 W, 
emitem, respectivamente, luz azul (λ = 475nm) e vermelha (650 λ = nm) isotropicamente, isto é, em todas as 
direções. Desprezando a absorção de luz pelo ar e considerando a área da pupila circular, qual das duas 
fontes pode ser vista a uma maior distância? Justifique os cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Efeito Fotoelétrico 
Um passo importante no desenvolvimento da teoria quântica foi dado por Einstein que, para explicar o efeito 
fotoelétrico, descoberto por Hertz e por Philipp Lenard, introduziu o conceito de fóton. 
No início do século XX já se sabia, desde as experiências iniciais realizadas por Hertz, que era possível a um feixe 
de luz, sob certas condições, arrancar elétrons de uma superfície metálica. 
 
 
No efeito fotoelétrico, um material emite elétrons (fotoelétrons) quando a luz incide sobre a sua superfície. 
Vamos agora explicar que é o efeito fotoelétrico: Nas figuras temos um feixe luminoso monocromático incidindo 
sobre uma placa metálica k (catodo), o feixe cede energia para a liberação de elétrons da placa que são emitidos 
com certa energia cinética. Esses elétrons ao ser atraídos no anodo A podem ser detectados sob a forma de 
corrente elétrica (ou fotoelétrica) medida pelo galvanômetro G. 
 
Problemas para a Física Clássica 
1 – A teoria ondulatória pede que a amplitude do campo elétrico E oscilante da radiação luminosa incidente 
cresça se a intensidade da luz incidente for aumentada. Já que a força aplicada aos elétrons é q. E, isso sugeriria 
que a energia cinética de emissão dos fotoelétrons deveria crescer ao se aumentar a intensidade do feixe 
luminoso incidente e tal fato não ocorre. 
 
2 – De acordo com a teria ondulatória, o efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência de luz 
incidente, desde que essa fosse intensa o bastante para dar a energia necessária à liberação dos elétrons, no 
entanto, surpreendentemente, a emissão de elétrons não depende de intensidade de luz emitida na placa e sim 
da frequência da onda incidente. O aumento na intensidade da luz incidente pode apenas aumentar a intensidade 
de corrente fotoelétrica medida no galvanômetro como frequência de corte. Para frequências inferiores a esse 
valor o efeito não ocorre, qualquer que seja a intensidade de emissão. 
 
3 – Deveria haver um intervalo de tempo relevante entre o instante em que a luz começa a incidir sobre a 
superfície e o instante de ejeção dos fotoelétrons, durante esse intervalo, o elétron deveria estar acumulando 
energia do feixe até poder vencer as forças de ligação, no entanto não é detectado nenhum retardamento nesse 
caso. 
 
Teoria Quântica de Einstein para o efeito 
Segundo essa teoria, a luz comporta-se como um feixe de partículas (fótons), cada um com um quantum de 
radiação, ou seja, possuindo uma energia dada pela relação E = hf. Quando um fóton colide com um elétron na 
superfície do metal, ou bem próximo dela, ela pode transferir sua energia ao elétron, essa transferência é um 
processo de tudo ou nada, característico do modelo quântico, em que o elétron obtém toda ou nenhuma energia 
do fóton. Se a energia do fóton incidente não for o bastante para liberar o elétron (função trabalho), ela será 
totalmente refletida, ou seja, nada será absorvido e acontece uma colisão teoricamente elástica do fóton contra a 
placa. 
 
 
 
 
 
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Características Importantes 
 Pela teoria corpuscular proposta por Einstein o feixe de luz incidente na placa (fotocélula) é composto de um 
fluxo de partículas, os fótons, cada um com velocidade C e um quantum de energia. (E = h f). 
 Para escapar da superfície da placa, um elétron deve receber pelo menos uma quantidade mínima de 
energia que possa liberá-lo da energia potencial de ligação à placa, essa quantidade, E0, é chamada de função 
trabalho da superfície metálica. Assim se a energia absorvida do fóton E (h f) for menor do que E0 (hf0), o 
elétron não será emitido e o fóton será refletido. 
 Portanto há uma frequência mínima necessária à luz incidente para que ocorre a liberação dos fotoelétrons 
(frequência de corte f0), dada pela expressão h f0, que representa a função trabalho E0. 
 No efeito foto elétrico o elétron recebe uma quantidade de energia hf (>hf0) ao absorver um fóton, perde h 
f0 para se libertar da superfície da placa (função trabalho), portanto deve resta-lhe uma sobra de energia 
cinético na emissão (Emax). 
 Note que aumentar a intensidade de um feixe luminoso incidente que tem frequência inferior a de corte (f0), 
só aumenta a intensidade da reflexão, mas não libera a emissão de fotoelétrons da superfície iluminada. 
 Pela conservação da energia temos que a energia cinética máxima adquirida pelo elétron na emissão (Emax) é 
igual à energia absorvida do fóton (h f) menos a energia mínima necessária para escapar da superfície, 
conhecida como função trabalho, E0 = h f0, portanto temos: 
 
 
𝐸𝑀𝐴𝑋 = ℎ. 𝑓 − ℎ. 𝑓0 
 
 
A equação acima é conhecida como equação fotoelétrica de Einstein. (PRÊMIO NOBEL – 1921) 
Para se estabelecer o valor máximo da energia cinética de emissão dos elétrons da placa pode-se fazer uma 
simples experiência, basta que se inverta a polaridade das placas A e C que o campo gerado funciona provocando 
repulsão nos elétrons emitidos. Haverá um certo valor V0 (potencial de corte) para qual cessa completamente a 
corrente fotoelétrica, assim sendo, a energia cinética máxima de emissão é totalmente convertida em energia 
potencial elétrica no campo. Portanto esta diferença de potencial V0 (potencial de corte) para o qual cessa 
completamente a corrente fotoelétrica, assim sendo, a energiacinética máxima de emissão é totalmente 
convertida em energia correspondente à energia cinética EMÁX do mais rápido elétron ejetado, ou seja: 
 
𝐸𝑀𝐴𝑋 =
1
2
. 𝑚. 𝑣𝑀𝐴𝑋
2 = 𝑒. 𝑉0 
 
OBS1: Uma das unidades importantes para o cálculo da energia é o eV, 1eV = 1,6 x 10–19J, a energia necessária 
para o transporte de uma carga elementar ao longo da d.d.p. de 1 volt. Então a equação de Einstein do efeito 
fotoelétrico pode ser escrita, em termos do potencial de corte, nas formas: 
 
 
 
𝑉0 =
ℎ
𝑒
(𝑓 − 𝑓0) 
𝑜𝑢 
𝑉0 =
ℎ
𝑒
. 𝑓 −
𝐸0
𝑒
 
 
 
 
 
Note que o potencial de corte dos elétrons emitido depende linearmente da frequência da luz incidente e que o 
coeficiente angular é h/e, portanto independente do material analisado e comprova experimentalmente o valor 
constante de Planck. 
OBS1: Outro trabalho importante na área do efeito fotoelétrico foi realizado por R. A. Millikan veja o gráfico que 
mostra a corrente fotoelétrica em função da diferença de potencial aplicada, V. 
 
 
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 Sendo V positivo, com os elétrons sendo acelerados pelo campo no experimento básico desse efeito, se V é 
suficientemente grande, a corrente fotoelétrica atinge um valor limite, no qual todos os elétrons expulsos da 
placa emissora são coletados pela placa coletora. 
 Invertendo-se a polaridade do gerador a corrente fotoelétrica não se anula imediatamente, o que comprova 
que os elétrons são emitidos pela placa emissora com velocidade diferente de zero (se hf > hf0). 
 Se aumentarmos, em módulo, a d.d.p. veremos que para um certo valor V0 (potencial de corte), cessa 
completamente a corrente fotoelétrica, ou seja, como já foi dito, multiplicando-se essa d.d.p. pela carga do 
elétron temos a energia cinética máxima correspondente aos fotoelétrons ejetados: 
 
𝐸𝑀𝐴𝑋 =
1
2
. 𝑚. 𝑣𝑀𝐴𝑋² = 𝑒. 𝑉0 
 
 A energia cinética máxima e o potencial de corte, não dependem da intensidade da luz incidente, veja o 
comportamento da curva b cuja intensidade luminosa incidente corresponde à metade da usada na 
experiência A. 
 
OBS2: Quando a luz incide em certos materiais, especiais, elétrons de última camada absorvem energia suficiente 
apenas para quebrar suas ligações e funcionarem como se fossem elétrons livres de metais, ou seja, a resistência 
desses materiais cai, tornando-os mais condutores. Esse fenômeno é chamado de efeito fotoelétrico interno e 
esses materiais de fotorresistores ou LDR (light dependent resistor). 
 
Nas figuras abaixo temos os símbolos de um LDR em um circuito bem uma foto desse elemento: 
 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra o funcionamento de um relé fotoelétrico daqueles que acendem ao cair da tarde (escuro) 
e apagam quando o dia nasce. 
 
 
 
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Quando o LDR está no escuro a sua resistência elétrica é muito elevada, portanto ele funciona como isolante e 
impede o funcionamento de trecho do circuito que se encontra em série com ele (gerador, bobina e fios). Nesse 
caso a mola mantém a haste 1 em contato com a haste 2, o circuito fechado e a lâmpada acesa. 
Quando a luz invade o ambiente, o LDR torna-se um condutor de baixa resistência, dando passagem a corrente 
para que a bobina que. Por sua vez, através do campo magnético gerado, atrai a barra de ferro. Note que a barra 
de ferro atraída pela bobina, gira em torno do eixo indicado, fazendo a haste 1 desencostar da haste 2 e 
consequentemente a luz se apaga. 
 
17. Luz de comprimento de onda igual a 7000 A (vermelha) incide sobre uma placa de potássio. Sabe-se que a 
função trabalho do potássio vale E0 = 1,89 eV. Podemos afirmar que: 
 
a) Não ocorre efeito fotoelétrico 
b) Apenas existe energia para romper o vínculo com a placa 
c) Depende da intensidade da luz vermelha incidente na placa 
d) Elétrons são emitidos da placa com energia cinética de 1,768 eV 
e) Depende da área iluminada na placa 
 
18. No efeito fotoelétrico, determine a razão entre função trabalho e a frequência de corte do fenômeno. 
 
a) 1,6 x 10–19 J.s 
b) 6,67 x 10–11 J.s 
c) 9 x 109 J.s 
d) 6,63 x 10–34 J.s 
e) 3 x 108 J.s 
 
19. Uma superfície fotoelétrica tem a função trabalho de 4,0 eV. Qual a velocidade máxima de emissão de 
fotoelétrons por uma luz de frequência igual a 3,0 x 1015 Hz? 
Dados: 1 eV = 1,6 x 10–19 J, me = 9,1 x 10–31 kg, h = 6,6 x 10–34 J.s 
 
a) 2,4 x 105 m/s 
b) 1,7 x 106 m/s 
c) 2,1 x 107 m/s 
d) 1,5 x 108 m/s 
e) 4,0 x 108 m/s 
 
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20. Uma luz monocromática de comprimento de onda igual a 450 nm incide sobre uma superfície de Na com 
função trabalho de 3,7 x 10–19 J = 2,3 eV. Calcule: 
 
a) A energia de fóton dessa luz? 
b) A energia cinética máxima dos elétrons emitidos? 
c) A frequência de corte para o Na? 
 
21. (ITA) Incide-se luz num material fotoelétrico e não se observa a emissão de elétrons. Para que ocorra a 
emissão de elétrons do mesmo material basta que se aumente (m): 
 
a) A intensidade da luz 
b) A frequência da luz 
c) O comprimento de onda da luz 
d) A intensidade e a frequência da luz 
e) A intensidade e o comprimento de onda da luz 
 
Um trecho da música “Quanta”, de Gilberto Gil, é reproduzido no destaque ao lado. 
 
Fragmento infinitésimo, Quase que apenas mental, Quantum granulado no mel, Quantum ondulado no sal, Mel 
de urânio, sal de rádio Qualquer coisa quase ideal. Um trecho da música "Quanta", de Gilberto Gil, é reproduzido 
no destaque ao lado. 
 
22. (ITA) As frases "Quantum granulado no mel" e "Quantum ondulado no sal" relacionam-se, na Física, com 
 
a) Conservação de Energia. 
b) Conservação de Quantidade de Movimento. 
c) Dualidade Partícula-onda. 
d) Principio da Causalidade. 
e) Conservação do Movimento Angular. 
 
23. (ITA) Num experimento que usa o efeito fotoelétrico, ilumina-se sucessivamente a superfície de um metal 
com luz de dois comprimentos de onda diferentes, 𝜆1 e 𝜆2, respectivamente. Sabe-se que as velocidades 
máximas dos fotoelétrons emitidos são, respectivamente, v1 e v2, em que v1 = 2v2. Designando C a velocidade 
da luz no vácuo e h constante de Planck, pode-se então, afirmar que a função trabalho 𝜙 do metal é dada 
por: 
 
a) ( ) 2𝜆1 − 𝜆2)ℎ𝐶/(𝜆1𝜆2) 
b) ( ) (𝜆2 − 2𝜆1)ℎ𝐶/(𝜆1𝜆2) 
c) ( ) (𝜆2 − 4𝜆1)ℎ𝐶/(3𝜆1𝜆2) 
d) ( ) (4𝜆1 − 𝜆2)ℎ𝐶/(3𝜆1𝜆2) 
e) ( ) (2𝜆1 − 𝜆2)ℎ𝐶/(3𝜆1𝜆2) 
 
24. (ITA) constante de Plank e f é a frequência da luz, num referencial na qual a fonte está em repouso. Explicou, 
assim, a existência de uma frequência mínima fo para arrancar elétrons de um material, no chamado efeito 
fotoelétrico. Suponha que a fonte emissora de luz está em movimento em relação ao material. Assinale a 
alternativa correta. 
 
a) Se f = fo , é possível que haja emissão de elétrons desde que a fonte esteja se afastando do material. 
b) Se f < fo , é possível que elétrons sejam emitidos, desde que a fonte esteja se afastdo do material. 
c) Se f < fo , não há emissão de elétrons qualquer que seja a velocidade da fonte. 
d) Se f > fo , é sempre possível que elétrons sejam emitidos pelo material, desde que a fonte esteja se afastando 
do material. 
e) Se f< fo , é possível que elétrons sejam emitidos, desde que a fonte esteja se aproximando do material. 
 
 
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25. Analise as afirmativas abaixo, relativas à explicação do efeito fotoelétrico, tendo como base o modelo 
corpuscular da luz. 
 
I. A energia dos fótons da luz incidenteé transferida para os elétrons no metal de forma quantizada. 
II. A energia cinética máxima dos elétrons emitidos de uma superfície metálica depende apenas da frequência 
da luz incidente e da função trabalho do metal. 
III. Em uma superfície metálica, elétrons devem ser ejetados independentemente da frequência da luz incidente, 
desde que a intensidade seja alta o suficiente, pois está sendo transferida energia ao metal. 
 
Assinale a alternativa correta: 
 
a) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
26. Foi determinado experimentalmente que, quando se incide luz sobre uma superfície metálica, essa superfície 
emite elétrons. Esse fenômeno é conhecido como efeito fotoelétrico e foi explicado em 1905 por Albert 
Einstein, que ganhou em 1921 o Prêmio Nobel de Física, em decorrência desse trabalho. Durante a realização 
dos experimentos desenvolvidos para compreender esse efeito, foi observado que: 
 
1. Os elétrons eram emitidos imediatamente. Não havia atraso de tempo entre a incidência da luz e a emissão 
dos elétrons. 
 
2. Quando se aumentava a intensidade da luz incidente, o número de elétrons emitidos aumentava, mas não 
sua energia cinética. 
 
3. A energia cinética do elétron emitido é dada pela equação Ec = 1/2 mv² = hf – W, em que o tempo hf é a 
energia cedida ao elétron pela luz, sendo h a constante de Planck e f a frequência da luz incidente. O termo 
W é a energia que o elétron tem que adquirir para poder sair do material, e é chamado função trabalho do 
metal. 
 
Considere as seguintes afirmativas: 
 
I. Os elétrons com energia cinética zero adquiram energia suficiente para serem arrancados do metal. 
II. Assim com a intensidade da luz incidente não influencia a energia dos elétrons emitidos, a frequência da luz 
incidente também não modifica a energia dos elétrons. 
III. O metal precisa ser aquecido por um tempo, para que ocorra o efeito fotoelétrico. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
b) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
e) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
1. E 10. 5 x 1020 19. B 
2. 5700 11. 1,0 x 10–4 Hz 20. a) 2,76 eV ; b) 0,46eV; c) 5,6 x 1014 Hz 
3. 5,9 x 104 kW/m² 12. 5 x 1014 21. B 
4. 92W 13. D 22. C 
5. 9,4 x 10–6 m/ infravermelho 14. 2E²/m²c²g 23. D 
6. E 15. C 24. E 
7. E 16. Vermelha 25. C 
8. 1,8 eV 17. A 26. E 
9. 3,7 x 10–36 18. D