Geometria Plana - Parte 2

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Sumário 
Introdução ................................................................................................................................ 5 
15. PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO .......................................................................................... 6 
15.1. INCENTRO................................................................................................................................... 6 
15.2. CIRCUNCENTRO .......................................................................................................................... 7 
15.3. BARICENTRO............................................................................................................................... 8 
15.4. ORTOCENTRO ........................................................................................................................... 11 
16. TRIÂNGULOS QUAISQUER ...................................................................................................... 13 
16.1. TEOREMA DOS SENOS ............................................................................................................... 13 
16.2. TEOREMA DOS COSSENOS ......................................................................................................... 16 
17. TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................................................................................... 18 
17.1. PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ........................................................................ 18 
18. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS .................................................................................................. 19 
18.1. TRAPÉZIO ................................................................................................................................. 20 
18.1.1. Ângulo Interno ...................................................................................................................... 21 
18.1.2. Base Média .......................................................................................................................... 22 
18.1.3. Base que intercepta o encontro das diagonais .......................................................................... 23 
18.2. PARALELOGRAMO ..................................................................................................................... 24 
18.2.1. Lados opostos congruentes ..................................................................................................... 25 
18.2.2. Ângulos opostos congruentes ................................................................................................. 25 
18.2.3. As diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios ...................................................... 25 
18.3. RETÂNGULO ............................................................................................................................ 26 
18.3.1. Todo retângulo é paralelogramo ............................................................................................. 26 
18.3.2. Diagonais congruentes........................................................................................................... 27 
18.4. LOSANGO ................................................................................................................................. 27 
18.4.1. Todo losango é um paralelogramo. ......................................................................................... 27 
18.4.2. As diagonais são bissetrizes e mediatrizes. ............................................................................... 28 
18.5. QUADRADO .............................................................................................................................. 29 
18.5.1. Todo quadrado é um retângulo e losango. ................................................................................ 29 
19. CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA .................................................................................................. 29 
19.1. Notação ................................................................................................................................. 29 
19.2. Elementos ............................................................................................................................. 30 
19.3. Cálculo da Flecha ................................................................................................................. 31 
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20. Posição entre Retas e Circunferências ........................................................................ 32 
20.1. Reta secante ......................................................................................................................... 32 
20.2. Reta tangente ....................................................................................................................... 33 
20.3. Reta exterior ......................................................................................................................... 33 
20.4. Propriedade da tangente .................................................................................................... 34 
21. Ângulos na Circunferência ............................................................................................ 35 
21.1. Ângulo Central ...................................................................................................................... 35 
21.2. Ângulo Inscrito ..................................................................................................................... 35 
21.3. Ângulo Ex-inscrito ................................................................................................................ 36 
22. Quadrilátero e Circunferência ...................................................................................... 36 
22.1. Quadrilátero Inscritível ........................................................................................................ 36 
22.2. Quadrilátero Circunscritível ................................................................................................ 38 
22.3. Teorema de Pitot.................................................................................................................. 39 
22.4. Teorema de Ptolomeu ......................................................................................................... 40 
23. Potência de Ponto .......................................................................................................... 43 
23.1. Definição ............................................................................................................................... 43 
23.2. Eixo Radical ........................................................................................................................... 44 
24. POLÍGONOS .......................................................................................................................... 46 
24.1. Soma dos Ângulos Internos e Externos ............................................................................. 48 
24.2. POLÍGONOS REGULARES ............................................................................................................ 50 
24.2.1. Ângulos Internos e Externos .................................................................................................... 50 
24.2.2. Todo polígono regular é inscritível. .......................................................................................... 51 
24.2.3. Todo polígono regular é circunscritível. .................................................................................... 52 
24.2.4. Ângulo Central ......................................................................................................................53 
24.2.5. Cálculo do lado e apótema do polígono regular ......................................................................... 53 
24.2.6. Comprimento da Circunferência .............................................................................................. 56 
25. ÁREA DE FIGURAS PLANAS .................................................................................................... 59 
25.1. Retângulo .............................................................................................................................. 60 
25.2. Quadrado .............................................................................................................................. 61 
25.3. Paralelogramo ...................................................................................................................... 61 
25.4. Triângulo ............................................................................................................................... 62 
25.5. Losango ................................................................................................................................. 62 
25.6. Trapézio ................................................................................................................................. 63 
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25.7. Polígono Regular .................................................................................................................. 63 
26. Outras Expressões para Área do Triângulo ................................................................ 64 
26.1. Dados um dos lados e a respectiva altura ........................................................................ 64 
26.2. Dados dois lados e um ângulo compreendido entre eles ............................................... 64 
26.3. Dados os lados e o raio da circunferência inscrita .......................................................... 65 
26.4. Fórmula de Heron ................................................................................................................ 65 
26.5. Relação Métrica entre Áreas .............................................................................................. 66 
27. Área de Círculos .............................................................................................................. 67 
27.1. Dedução da Fórmula ........................................................................................................... 67 
27.2. Partes do Círculo .................................................................................................................. 68 
28. Questões de vestibulares anteriores ........................................................................... 82 
29. Gabarito ........................................................................................................................... 89 
30. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e comentadas .............................. 90 
31. Considerações finais .................................................................................................... 121 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Continuaremos, aqui, nossa conversa sobre Geometria Plana, que foi dividida em duas partes. 
Para evidenciar a continuidade dessas duas partes, excepcionalmente, nosso PDF terá início 
no capítulo 15, portanto, não estranhe. 
Os exercícios de fixação também terão a numeração sequencial. 
Todas as indicações da aula anterior valem para essa, então, nada de querer decorar tudo de 
uma vez, ok? 
Passaremos por mais algumas definições formais. Acompanhe-as, mas dê enfoque ao 
entendimento e, posteriormente, à resolução dos exercícios. 
Eu sei que a linguagem técnica que passamos a utilizar acaba por deixar a leitura menos 
fluida, mas é um preço que temos que pagar para ver um assunto tão extenso quanto a Geometria. 
Entendê-la faz parte do seu desenvolvimento e deixa você em vantagem competitiva na hora da 
prova. 
Força. 
É uma aula delicada, então, faça-a com atenção. 
Dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. Estamos 
aqui para auxiliá-lo. 
Boa aula. 
 
 
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15. PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO 
15.1. INCENTRO 
As bissetrizes internas de um triângulo encontram-se em um único ponto. A este ponto 
denominamos incentro do triângulo. 
 
𝐼 é o incentro e este equidista dos lados do triângulo: 
𝐼𝑇1 = 𝐼𝑇2 = 𝐼𝑇3 
Por esse ponto, podemos desenhar uma circunferência a qual chamamos de circunferência 
inscrita. 
 
Demonstração: 
Seja 𝐼 o ponto onde 𝐵𝐼̅̅ ̅ e 𝐶𝐼̅̅̅ se interceptam no triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
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Traçando-se o segmento que liga o ponto 𝐼 aos lados do triângulo, temos pelo critério de 
congruência 𝐿𝐴𝐴0 que Δ𝑇1𝐵𝐼 ≡ Δ𝑇3𝐵𝐼 (𝐵𝐼 ≡ 𝐵𝐼, 𝐼𝐵𝑇1 ≡ 𝐼𝐵𝑇3, 𝐼𝑇1𝐵 ≡ 𝐼𝑇3𝐵) e Δ𝑇1𝐶𝐼 ≡
𝑇2𝐶𝐼 (𝐶𝐼 ≡ 𝐶𝐼, 𝐼𝐶𝑇1 ≡ 𝐼𝐶𝑇2, 𝐼𝑇1𝐶 ≡ 𝐼𝑇2𝐶). Assim: 
Δ𝑇1𝐵𝐼 ≡ Δ𝑇3𝐵𝐼 ⇒ 𝐼𝑇1 = 𝐼𝑇3 
Δ𝑇1𝐶𝐼 ≡ 𝑇2𝐶𝐼 ⇒ 𝐼𝑇1 = 𝐼𝑇2 
Logo: 
𝐼𝑇2 = 𝐼𝑇3 
Desse modo, podemos afirmar que a bissetriz do vértice 𝐴 também intercepta o ponto 𝐼 do 
triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
15.2. CIRCUNCENTRO 
As mediatrizes de cada um dos lados de um triângulo se encontram em um único ponto 
chamado de circuncentro. Este ponto equidista dos vértices do triângulo. 
 
𝑂 é o circuncentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
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Como o circuncentro equidista dos vértices do triângulo, este ponto é o centro de uma 
circunferência que passa pelos vértices desse triângulo. 
 
Demonstração: 
Como a mediatriz é o segmento perpendicular ao ponto médio de outro segmento, temos 
pelo critério de congruência 𝐿𝐴𝐿: 
𝐵𝑀𝑎 ≡ 𝐶𝑀𝑎 , 𝐵𝑀𝑎𝑂 ≡ 𝐶𝑀𝑎𝑂,𝑀𝑎𝑂 ≡ 𝑀𝑎𝑂 ⇒ Δ𝐵𝑀𝑎𝑂 ≡ Δ𝐶𝑀𝑎𝑂 ⇒ 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 
𝐵𝑀𝑐 ≡ 𝐴𝑀𝑐 , 𝐵𝑀𝑐𝑂 ≡ 𝐴𝑀𝑐𝑂,𝑀𝑐𝑂 ≡ 𝑀𝑐𝑂 ⇒ Δ𝐵𝑀𝑐𝑂 ≡ Δ𝐴𝑀𝑐𝑂 ⇒ 𝑂𝐵 = 𝑂𝐴 
⇒ 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 
Portanto, a mediatriz de 𝐴𝐶 também se encontra no ponto 𝑂. 
15.3. BARICENTRO 
As três medianas de um triângulo interceptam-se num único ponto chamado de baricentro. 
 
𝐺 é o baricentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
Demonstração: 
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Seja 𝑋 o ponto onde 𝐵𝑀2 e 𝐶𝑀3 se interceptam: 
 
Tomando-se os pontos médios 𝐷 e 𝐸 dos segmentos 𝐵𝑋 e 𝐶𝑋, respectivamente, temos: 
 
Do triângulo 𝐴𝐵𝐶: 
𝐴𝑀3
𝐴𝐵
=
𝐴𝑀2
𝐴𝐶
=
1
2
 
Pelo teorema de Tales, podemos afirmar que 𝑀2𝑀3 é paralelo ao segmento 𝐵𝐶 e possui a 
mesma razão de proporção: 
𝑀2𝑀3 =
𝐵𝐶
2
 
Do triângulo 𝑋𝐵𝐶: 
𝑋𝐷
𝑋𝐵
=
𝑋𝐸
𝑋𝐸
=
1
2
 
Assim, pelo teorema de Tales, 𝐷𝐸 também é paralelo ao lado 𝐵𝐶 com razão de proporção 
1/2: 
𝐷𝐸 =
𝐵𝐶
2
 
Como 𝑀2𝑀3 ≡ 𝐷𝐸 e 𝑀2𝑀3//𝐷𝐸, temos que 𝑀2𝑀3𝐷𝐸 é um paralelogramo. 
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 𝐷𝑀2 e 𝐸𝑀3 são as diagonais do paralelogramo e: 
𝑋𝑀3 ≡ 𝑋𝐸 ⇒ 𝐶𝑋 = 2𝑋𝑀3 
𝑋𝐷 ≡ 𝑋𝑀2 ⇒ 𝐵𝑋 = 2𝑋𝑀2 
Tomando-se 𝑌 o ponto de encontro das medianas 𝐴𝑀1 e 𝐵𝑀2 e usando a mesma ideia acima, 
temos: 
 
𝑀1𝑀2𝐹𝐷 é paralelogramo ⇒ 𝐷𝑌 = 𝑌𝑀2 e 𝐹𝑌 = 𝑌𝑀1 
⇒ 𝐴𝑌 = 2𝑌𝑀1 
⇒ 𝐵𝑌 = 2𝑌𝑀2 
Portanto, como 𝐵𝑋 = 2𝑋𝑀2 e 𝐵𝑌 = 2𝑌𝑀2, temos 𝑋 = 𝑌. Logo, as medianas do triângulo 
𝐴𝐵𝐶 se encontram no mesmo ponto. A esse ponto denominamos de baricentro. 
Perceba que uma propriedade do baricentro é que ela divide as medianas na razão de 2/1: 
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𝑨𝑮 = 𝟐𝑮𝑴𝟏
𝑩𝑮 = 𝟐𝑮𝑴𝟐
𝑪𝑮 = 𝟐𝑮𝑴𝟑
 
15.4. ORTOCENTRO 
As três alturas de um triângulo interceptam-se num único ponto chamado de ortocentro. 
 
𝐻 é o ortocentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
Demonstração: 
Vamos construir os segmentos de retas paralelos aos lados do triângulo: 
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𝑋𝑌//𝐵𝐶 
𝑌𝑍//𝐴𝐵 
𝑋𝑍//𝐴𝐶 
Como 𝑋𝑌//𝐵𝐶 e 𝑋𝑍//𝐴𝐶, temos que 𝐴𝑋𝐵𝐶 é um paralelogramo. Assim, podemos afirmar: 
𝐴𝑋 = 𝐵𝐶 e 𝐵𝑋 = 𝐴𝐶 
𝑋𝑌//𝐵𝐶 e 𝑌𝑍//𝐴𝐵, então 𝐴𝑌𝐶𝐵 é paralelogramo: 
𝐴𝑌 = 𝐵𝐶 e 𝐶𝑌 = 𝐴𝐵 
𝑌𝑍//𝐴𝐵 e 𝑋𝑍//𝐴𝐶, então 𝐴𝐵𝑍𝐶 é paralelogramo: 
𝐶𝑍 = 𝐴𝐵 e 𝐵𝑍 = 𝐴𝐶 
Desse modo, concluímos: 
𝐴𝑋 = 𝐴𝑌, 𝐵𝑋 = 𝐵𝑍, 𝐶𝑍 = 𝐶𝑌 
 
𝑋𝑌//𝐵𝐶 e 𝐴𝐻1 ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐻1 ⊥ 𝑋𝑌 
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𝑋𝑍//𝐴𝐶 e 𝐵𝐻2 ⊥ 𝐴𝐶 ⇒ 𝐵𝐻2 ⊥ 𝑋𝑍 
𝑌𝑍//𝐴𝐵 e 𝐶𝐻3 ⊥ 𝐴𝐵 ⇒ 𝐶𝐻3 ⊥ 𝑌𝑍 
Portanto, os segmentos 𝐴𝐻1, 𝐵𝐻2 e 𝐶𝐻3 são mediatrizes do triângulo 𝑋𝑌𝑍. Logo, eles se 
encontram em um único ponto 𝐻. 
𝐻 é circuncentro do triângulo 𝑋𝑌𝑍 e ortocentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
16. TRIÂNGULOS QUAISQUER 
16.1. TEOREMA DOS SENOS 
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝑪
= 𝟐𝑹 
A lei dos senos afirma que a razão entre cada lado do triângulo e o seno do ângulo oposto é 
igual à 2𝑅, sendo 𝑅 o raio da circunferência que a circunscreve. 
Demonstração: 
Vamos provar para os dois casos possíveis: triângulo acutângulo e triângulo obtusângulo. 
Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo acutângulo representado pela seguinte figura: 
 
Podemos traçar um triângulo 𝐴′𝐵𝐶 tal que 𝐴′ seja a o ponto da intersecção da reta que passa 
pelo centro da circunferência: 
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Perceba que o triângulo 𝐴′𝐵𝐶 é retângulo em 𝐶, essa é uma propriedade do triângulo inscrito 
em uma circunferência. Ainda pela figura, como os ângulos �̂� e 𝐴′̂ enxergam a mesma corda 𝐵𝐶, 
podemos afirmar que elas são iguais, então, �̂� = 𝐴′̂. Aplicando o seno no triângulo 𝐴′𝐵𝐶, 
encontramos: 
𝑠𝑒𝑛𝐴′ =
𝑎
2𝑅
 
𝐴′̂ = �̂� ⇒
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
= 2𝑅 
Usando a mesma ideia, podemos provar para os outros lados. 
Se o triângulo fosse obtusângulo, teríamos: 
 
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O ponto 𝐴 enxerga o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ sob um ângulo 𝛼, sabemos da propriedade do arco capaz 
que o segmento de reta tangente ao ponto 𝐵 também enxergará 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ sob o mesmo ângulo 𝛼. Desse 
modo: 
 
Analisando os ângulos internos do triângulo 𝐴′𝐵𝐶, podemos ver que: 
𝛽 = 90° − 𝛾 
Mas: 
𝛼 = 90° + 𝛽 ⇒ 𝛽 = 𝛼 − 90° 
⇒ 90° − 𝛾 = 𝛼 − 90° 
⇒ 𝛾 = 180° − 𝛼 
 
Analisando o triângulo 𝐴′𝐵𝐶, vemos que o seno do vértice 𝐴′ é dado por: 
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𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛼) =
𝑎
2𝑅
 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑎
2𝑅
 
Como 𝛼 = �̂�, temos: 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
= 2𝑅 
Podemos provar analogamente para os outros vértices do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e concluir: 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
= 2𝑅 
16.2. TEOREMA DOS COSSENOS 
Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo qualquer e 𝑎, 𝑏, 𝑐 são seus lados. A lei dos cossenos afirma que: 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑨
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑩
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝑪
 
Demonstração: 
Devemos dividir em dois casos, um para o triângulo com ângulo agudo e outro para o 
triângulo com ângulo obtuso. 
1) Considere o triângulo 𝐴𝐵𝐶 dado pela figura abaixo: 
 
Podemos ver que o triângulo 𝐴𝐷𝐶 é retângulo, então podemos aplicar o Teorema de 
Pitágoras: 
𝑏2 = ℎ2 + 𝑛2 (𝐼) 
Analogamente para o triângulo 𝐴𝐷𝐵: 
𝑐2 = 𝑚2 + ℎ2 (𝐼𝐼) 
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Também, de acordo com a figura, temos: 
𝑛 = 𝑎 −𝑚 (𝐼𝐼𝐼) 
De (𝐼𝐼), temos ℎ2 = 𝑐2 −𝑚2. Substituindo (𝐼𝐼) e (𝐼𝐼𝐼) em (𝐼), obtemos: 
𝑏2 = 𝑐2 −𝑚2 + (𝑎 − 𝑚)2 
𝑏2 = 𝑐2 −𝑚2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑚 +𝑚2 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑚 (𝐼𝑉) 
Observando o triângulo 𝐴𝐷𝐵, podemos escrever a seguinte relação: 
𝑚 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵 
Substituindo em (𝐼𝑉), obtemos a lei dos cossenos: 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵 
Os outros lados podem ser provados usando a mesma ideia. 
 
2) Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo dado pela figura abaixo: 
 
Os triângulos 𝐵𝐴𝐷 e 𝐵𝐶𝐷 são retângulos, desse modo, podemos escrever: 
𝑐2 = 𝑚2 + ℎ2 ⇒ ℎ2 = 𝑐2 −𝑚2 (𝐼) 
𝑎2 = 𝑛2 + ℎ2 (𝐼𝐼) 
Observando o triângulo 𝐵𝐶𝐷, temos a seguinte relação: 
𝑛 = 𝑚 + 𝑏 (𝐼𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼𝐼𝐼) e (𝐼) em (𝐼𝐼), obtemos: 
𝑎2 = (𝑚 + 𝑏)2 + 𝑐2 −𝑚2 
𝑎2 = 𝑚2 + 2𝑏𝑚 + 𝑏2 + 𝑐2 −𝑚2 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑚 (𝐼𝑉) 
No triângulo 𝐵𝐴𝐷, temos: 
𝑚 = 𝑐 cos(𝜋 − 𝐴) = −𝑐 cos 𝐴 
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Substituindo essa identidade em (𝐼𝑉): 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 
Os outros lados podem ser provados usando a mesma ideia. 
17. TRIÂNGULO RETÂNGULO 
17.1. PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
A hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência possui medida igual 
à diagonal da circunferência. 
 
Demonstração: 
Vimos no tópico de arco capaz que  = 𝐵�̂�/2. Desse modo: 
𝐵�̂� = 2Â 
𝐵�̂� = 180° 
Assim, o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ é a diagonal da circunferência. O centro dessa circunferência é o ponto 
médio da hipotenusa do triângulo retângulo: 
 
⇒ 𝑎 = 2𝑅 
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Para uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo, temos: 
 
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 são os pontos de tangência da circunferência inscrita. Vimos no tópico de incentro 
que esses pontos de tangência possuem a seguinte relação: 
𝐵𝑇1 = 𝐵𝑇3 
𝐴𝑇2 = 𝐴𝑇3 
𝐶𝑇1 = 𝐶𝑇2 
Observando a figura, podemos ver que: 
𝑎 = 𝑐 − 𝑟 + 𝑏 − 𝑟 
𝑎 + 2𝑟 = 𝑏 + 𝑐 
Como o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo com hipotenusa 𝐵𝐶, ele é circunscritível e a sua 
hipotenusa é a diagonal da circunferência que a circunscreve. Seja 𝑅, o raio dessa circunferência. 
Assim, podemos escrever: 
𝑎 = 2𝑅 ⇒ 2𝑅 + 2𝑟 = 𝑏 + 𝑐 
18. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
Um quadrilátero é formado pela união de 4 pontos distintos do plano e três desses pontos 
não podem ser colineares. Vejamos os dois tipos de quadriláteros abaixo: 
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Os segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ são as diagonais dos quadriláteros acima. A soma dos ângulos 
internos do quadrilátero é igual a 360° e a soma dos ângulos externos também é igual a 360°. Basta 
notar que o quadrilátero é formado pela união de dois triângulos, por exemplo, no caso do 
quadrilátero convexo, temos a união dos triângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐶𝐵𝐷. 
Para nossa prova, vamos estudar apenas os quadriláteros convexos. Os principais que podem 
ser cobrados na prova são: trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado. 
18.1. TRAPÉZIO 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se possui dois lados paralelos entre si. 
Chamamos esses lados de base do trapézio. Essa figura geométrica pode receber a seguinte 
classificação dependendo dos lados adjacentes às bases: escaleno, isósceles e retângulo. 
Vejamos cada um desses tipos. 
1) Trapézio Escaleno: os lados adjacentes não são congruentes. 
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2) Trapézio Isósceles: os lados adjacentes são congruentes. 
 
3) Trapézio Retângulo: um dos lados adjacentes forma dois ângulos retos com as bases. 
 
Todos essestrapézios gozam de determinadas características, ou propriedades, listadas a 
seguir. 
18.1.1. Ângulo Interno 
 
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Sendo 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , segmentos transversais às bases paralelas 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , temos: 
�̂� + �̂� = 180° 
�̂� + �̂� = 180° 
𝑨 + 𝑫 = 𝑩 + 𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° 
 
18.1.2. Base Média 
 
A base média de um trapézio de bases 𝑎 e 𝑏 possui a seguinte relação: 
𝑴𝑵 =
𝒂 + 𝒃
𝟐
 
Demonstração: 
 
Traçamos o segmento de reta 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ paralelo à 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . De acordo com a figura, temos: 
Δ𝑀𝑄𝐷~Δ𝐴𝑃𝐷 ⇒
𝑀𝐷
𝐴𝐷
=
𝑀𝑄
𝐴𝑃
⇒
𝑙
2𝑙
=
𝑥
𝑏 − 𝑎
⇒ 𝑥 =
𝑏 − 𝑎
2
 
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𝑀𝑁 = 𝑥 + 𝑎 ⇒ 𝑀𝑁 =
𝑏 − 𝑎
2
+ 𝑎 
∴ 𝑀𝑁 =
𝑎 + 𝑏
2
 
18.1.3. Base que intercepta o encontro das diagonais 
 
Sejam 𝑃, 𝑄, 𝑅 pontos do trapézio tal que 𝑄 é o ponto de encontro das diagonais e 𝑃𝑅 é 
paralelo às bases 𝐴𝐵e 𝐶𝐷, então: 
𝑷𝑸 = 𝑸𝑹 =
𝒂𝒃
𝒂 + 𝒃
 
𝑷𝑹 =
𝟐𝒂𝒃
𝒂 + 𝒃
 
Demonstração: 
 
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Sejam ℎ e 𝐻 as alturas dos triângulos 𝑃𝑄𝐷 e 𝐴𝐵𝐷, respectivamente. Então, aplicando a 
semelhança de triângulos, temos: 
Δ𝑃𝑄𝐷~Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒
𝑥
𝑏
=
ℎ
ℎ + 𝐻
 (𝐼) 
Δ𝑃𝑄𝐴~Δ𝐷𝐶𝐴 ⇒
𝑥
𝑎
=
𝐻
ℎ + 𝐻
 (𝐼𝐼) 
Dividindo (𝐼) por (𝐼𝐼): 
𝑎
𝑏
=
ℎ
𝐻
 (𝐼𝐼𝐼) 
Isolando ℎ/𝐻 em (𝐼): 
𝑥ℎ + 𝑥𝐻 = 𝑏ℎ ⇒ 𝑥𝐻 = ℎ(𝑏 − 𝑥) ⇒
ℎ
𝐻
=
𝑥
𝑏 − 𝑥
 (𝐼𝑉) 
Igualando (𝐼𝐼𝐼) e (𝐼𝑉): 
𝑎
𝑏
=
𝑥
𝑏 − 𝑥
⇒ 𝑎𝑏 − 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 ⇒ 𝑥 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
Analogamente, para os triângulos 𝐵𝑄𝑅 e 𝐵𝐷𝐶: 
Δ𝐵𝑄𝑅~Δ𝐵𝐷𝐶 ⇒
𝑦
𝑎
=
𝐻
ℎ + 𝐻
⇒ 𝑦ℎ + 𝑦𝐻 = 𝑎𝐻 ⇒ 𝑦ℎ = 𝐻(𝑦 − 𝑎) ⇒
ℎ
𝐻
=
𝑦 − 𝑎
𝑦
 
Usando a relação (𝐼𝐼𝐼): 
𝑎
𝑏
=
𝑦 − 𝑎
𝑦
⇒ 𝑎𝑦 = 𝑏𝑦 − 𝑎𝑏 ⇒ 𝑦 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
∴ 𝑃𝑄 = 𝑄𝑅 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
∴ 𝑃𝑅 =
2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
18.2. PARALELOGRAMO 
Um quadrilátero plano convexo é classificado como paralelogramo quando seus lados 
opostos são paralelos. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ //𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ //𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
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18.2.1. Lados opostos congruentes 
Traçando-se a diagonal 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , temos pela propriedade das retas paralelas: 
 
Pelo critério de congruência ALA, temos Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐶𝐷𝐵, então: 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
18.2.2. Ângulos opostos congruentes 
 
Note que �̂� = 𝛼 + 𝛽 e �̂� = 𝛼 + 𝛽, logo: 
�̂� ≡ �̂� 
Analogamente para �̂� e �̂�: 
�̂� ≡ �̂� 
18.2.3. As diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios 
 
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Se 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um paralelogramo, então: 
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 
𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐵�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐷�̂�𝐴 
Pelo critério de congruência ALA, temos: 
Δ𝐴𝑀𝐵 ≡ Δ𝐶𝑀𝐷 
Logo: 
𝑀𝐷 = 𝑀𝐵 e 𝐴𝑀 = 𝐶𝑀 
Portanto, 𝑀 é ponto médio das diagonais. 
 
18.3. RETÂNGULO 
Se um quadrilátero plano convexo é equiângulo, então, ele é um retângulo. 
 
18.3.1. Todo retângulo é paralelogramo 
Pela definição de ângulos opostos congruentes do paralelogramo, como todos os ângulos 
internos do retângulo são congruentes, temos que todo retângulo é paralelogramo. Logo, todas as 
propriedades do paralelogramo são válidas para o retângulo. 
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18.3.2. Diagonais congruentes 
 
Sabendo que todo retângulo é um paralelogramo, então, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 e 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. Usando o 
critério de congruência LAL: 
𝐴𝐷 = 𝐵𝐶, �̂� ≡ �̂� e 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 ⇒ Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐵𝐴𝐶 ⇒ 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 
Uma consequência dessa propriedade é que se 𝑀 é o ponto de cruzamento das diagonais do 
retângulo, temos: 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑀𝐵 
 
18.4. LOSANGO 
Um quadrilátero plano convexo é equilátero, então, ele é um losango. 
 
18.4.1. Todo losango é um paralelogramo. 
Todas as propriedades do paralelogramo são válidas para o losango. 
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28 
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18.4.2. As diagonais são bissetrizes e mediatrizes. 
Como o losango é equilátero, temos: 
 
Os triângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐴𝐶𝐵 são isósceles, então, como 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é um 
segmento em comum: 
𝐷�̂�𝐶 ≡ 𝐷�̂�𝐴 ≡ 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐴 
Logo, a diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é bissetriz do losango. Analogamente, podemos provar que 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ também 
é bissetriz. 
Assim, os ângulos opostos são congruentes, portanto, um losango também é um 
paralelogramo. 
Seja 𝑀 o ponto de intersecção das diagonais: 
 
Como 𝐴𝐵𝐶𝐷 também é um paralelogramo, temos que 𝑀 divide as diagonais ao meio. Então: 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 e 𝐷𝑀 = 𝑀𝐵 
Usando o critério de congruência LLL, temos: 
Δ𝑀𝐴𝐷 ≡ Δ𝑀𝐴𝐵 ≡ Δ𝑀𝐶𝐵 ≡ Δ𝑀𝐶𝐷 ⇒ 𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐴�̂�𝐵 ≡ 𝐶�̂�𝐵 ≡ 𝐶�̂�𝐷 = 𝜃 
𝜃 + 𝜃 + 𝜃 + 𝜃 = 360° ⇒ 𝜃 = 90° 
Desse modo, as diagonais são perpendiculares entre si e 𝑀 é o ponto médio deles, portanto, 
as diagonais também são mediatrizes. 
 
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18.5. QUADRADO 
Um quadrilátero convexo plano é um quadrado quando é equilátero e equiângulo. 
 
 
18.5.1. Todo quadrado é um retângulo e losango. 
Todas as propriedades do retângulo e losango são válidas para o quadrado. 
 
19. CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 
19.1. NOTAÇÃO 
É comum confundir os termos círculo e circunferência. A diferença entre eles é que o primeiro 
pode ser considerado um disco enquanto o segundo é apenas um anel. Em termos matemáticos, se 
𝜆1 é uma circunferência e 𝜆2 é um círculo, então para um ponto 𝑃 pertencente a um plano 𝛼: 
𝜆1 = {𝑃 ∈ 𝛼|𝑑𝑃,𝑂 = 𝑟} 
𝜆2 = {𝑃 ∈ 𝛼|𝑑𝑃,𝑂 ≤ 𝑟} 
𝑟 é uma distância fixa do plano e é chamado de raio. 
𝑑𝑃,𝑂 é a distância do ponto 𝑃 a um ponto 𝑂 fixo do plano, este ponto é chamado de centro 
da circunferência ou do círculo. 
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Chamamos de exterior o conjunto de pontos que distam 𝑥 > 𝑟 em relação ao centro 𝑂. Todos 
os pontos que distam 𝑥 < 𝑟 em relação ao centro 𝑂 são chamados de pontos do interior. 
Podemos usar a seguinte notação para definir uma circunferência ou círculo de raio 𝑟 e centro 
𝑂: 
𝜆(𝑂, 𝑟) 
Também podemos definir uma circunferência usando 3 pontos distintos no plano, seja 𝐴, 𝐵, 𝐶 
pontos distintos: 
𝜆(𝐴; 𝐵; 𝐶) 
19.2. ELEMENTOS 
Os elementos presentes em uma circunferência são: centro, raio, diâmetro, arco, corda e 
flecha. 
Vejamos a definição de cada um deles: 
Centro: ponto interno que equidista de todos os pontos da circunferência. 
Raio: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência. 
Diâmetro: é o comprimento do segmento de reta que passa pelo centro e toca dois pontos 
da circunferência. Também podemos dizer que ele é igual a 2 raios. 
Arco: é o conjunto de pontos entre dois pontos distintos da circunferência. Esses dois pontos 
dividem a circunferência em arco maior e arco menor. Normalmente, usamos o arco menor. 
Corda: é o segmento de reta que une as extremidades de um arco. 
Flecha: é o segmento de reta compreendido entre a corda e o arco e pertence à mediatriz 
dessa corda. 
Observe a figura abaixo os elementos da circunferência: 
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31 
121 
 
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Flecha: 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ 
Arco: 𝐴�̂� 
Diâmetro: 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
Corda: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
Note que a maior corda é o diâmetro. Veja: 
 
Se aplicarmos a desigualdade triangular no Δ𝐴𝑂𝐵, encontramos: 
𝑅 − 𝑅 < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 𝑅 + 𝑅 ⇒ 0 < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 2𝑅 
∴ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 2𝑅 
2𝑅 é a medidada diagonal de uma circunferência, logo, a maior corda é o diâmetro. 
19.3. CÁLCULO DA FLECHA 
Podemos calcular a medida da flecha em função da medida do raio e da corda dada. Seja 𝑎 a 
medida da corda 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑅 o raio da circunferência, assim, temos: 
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32 
121 
 
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Perceba que Δ𝐴𝑀𝐶~Δ𝑁𝑀𝐴, desse modo: 
𝑀𝐶
𝐴𝑀
=
𝐴𝑀
𝑁𝑀
⇒
2𝑅 − 𝑥
𝑎
2
=
𝑎
2
𝑥
⇒ 2𝑅𝑥 − 𝑥2 =
𝑎2
4
⇒ 4𝑥2 − 8𝑅𝑥 + 𝑎2 = 0 
Encontrando as raízes: 
𝑥 =
4𝑅 ± √16𝑅2 − 4𝑎2
4
= 𝑅 ±
√4𝑅2 − 𝑎2
2
 
𝒙𝟏 = 𝑹−
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒂𝟐
𝟐
 𝐞 𝒙𝟐 = 𝑹+
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒂𝟐
𝟐
 
20. POSIÇÃO ENTRE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 
Podemos classificar as retas de acordo com sua posição em relação à circunferência. Temos 
três classificações: 
20.1. RETA SECANTE 
Uma reta é secante quando cruza a circunferência em dois pontos distintos, seja 𝑠 uma reta 
secante à circunferência 𝜆 de raio 𝑅 e 𝑑 a distância da reta em relação ao centro 𝑂, então: 
𝑠 ∩ 𝜆 = {𝐴, 𝐵} 
𝑑 < 𝑅 
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20.2. RETA TANGENTE 
Uma reta é tangente quando intercepta a circunferência em um único ponto. Seja 𝑡 uma reta 
tangente à circunferência 𝜆 de raio 𝑅 e 𝑑 a distância da reta em relação ao centro 𝑂: 
𝑡 ∩ 𝜆 = {𝑇} 
𝑑 = 𝑅 
 
20.3. RETA EXTERIOR 
Uma reta é exterior à circunferência quando não intercepta a circunferência. Seja 𝑒 a reta 
exterior à circunferência 𝜆 de raio 𝑅 e 𝑑 a distância da reta em relação ao centro 𝑂: 
𝑒 ∩ 𝜆 = ∅ 
𝑑 > 𝑅 
 
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ENEM 
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121 
 
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20.4. PROPRIEDADE DA TANGENTE 
Sejam 𝑡1 e 𝑡2 as retas tangentes à circunferência 𝜆 e que passam pelo mesmo ponto 𝑃: 
 
Note que os triângulos 𝑂𝑇1𝑃 e 𝑂𝑇2𝑃 são retângulos, então, podemos aplicar o teorema de 
Pitágoras: 
Δ𝑂𝑇1𝑃 ⇒ 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑇1
2 + 𝑃𝑇1
2 ⇒ 𝑃𝑇1 = √𝑂𝑃
2 − 𝑅2 
Δ𝑂𝑇2𝑃 ⇒ 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑇2
2 + 𝑃𝑇2
2 ⇒ 𝑃𝑇2 = √𝑂𝑃
2 − 𝑅2 
⇒ 𝑷𝑻𝟏 = 𝑷𝑻𝟐 
Pelo critério de congruência LLL, temos Δ𝑂𝑇1𝑃 ≡ Δ𝑂𝑇2𝑃, então: 
𝑂�̂�𝑇1 ≡ 𝑂�̂�𝑇2 ⇒ 𝑶𝑷̅̅ ̅̅ é bissetriz 
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ENEM 
35 
121 
 
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21. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
Já estudamos alguns conceitos de ângulos na circunferência. Vamos relembrá-los. 
21.1. ÂNGULO CENTRAL 
Chamamos de ângulo central o ângulo que possui seu vértice no centro da circunferência: 
 
A medida do ângulo central 𝛼 é dada por: 
𝜶 = 𝑨�̂� 
21.2. ÂNGULO INSCRITO 
Um ângulo é inscrito a uma circunferência quando possui seu vértice na circunferência: 
 
A medida do ângulo inscrito é dada por: 
𝜶 =
𝑨�̂�
𝟐
 
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ENEM 
36 
121 
 
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21.3. ÂNGULO EX-INSCRITO 
Ângulo ex-inscrito é o menor ângulo entre a reta tangente e a reta secante que passa pelo 
ponto de tangência: 
 
A medida do ângulo ex-inscrito é igual à medida do ângulo inscrito que enxerga o segmento 
𝐴𝑇: 
𝜶 =
𝑨�̂�
𝟐
 
22. QUADRILÁTERO E CIRCUNFERÊNCIA 
22.1. QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL 
Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, seus quatro vértices pertencem à 
circunferência. 
Exemplo: 
 
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37 
121 
 
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Teorema: Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, seus ângulos opostos são 
suplementares. 
Demonstração: 
Vamos provar a primeira parte: 
𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscritível ⇒ {�̂� + �̂� = 180°
�̂� + �̂� = 180°
 
 
Como �̂� e �̂� são ângulos inscritos à circunferência, temos: 
�̂� =
𝐴𝐷�̂�
2
 
�̂� =
𝐴𝐵�̂�
2
 
Sabendo que 𝐴𝐷�̂� + 𝐴𝐵�̂� = 360°: 
�̂� + �̂� =
𝐴𝐷�̂� + 𝐴𝐵�̂�
2
=
360°
2
= 180° 
Como a soma dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 360°: 
�̂� + �̂� + �̂� + �̂�⏟ 
180°
= 360° ⇒ �̂� + �̂� = 180° 
Para a segunda parte: 
{�̂� + �̂� = 180°
�̂� + �̂� = 180°
⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscritível 
Supondo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 seja um quadrilátero convexo não inscritível à circunferência 𝜆 com 𝐷 ∉
𝜆, então, existe um ponto 𝐸 pertencente à 𝜆 tal que 𝐴𝐵𝐶𝐸 é inscritível: 
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ENEM 
38 
121 
 
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𝐴𝐵𝐶𝐸 é inscritível por construção, logo, �̂� + �̂� = 180°. Como 𝐸 é um ângulo externo ao 
triângulo 𝐷𝐸𝐶, temos pelo teorema do ângulo externo que �̂� > �̂�. Pela hipótese temos �̂� + �̂� =
180°, então, �̂� ≡ �̂�. O que é um absurdo! Portanto, se os ângulos opostos são suplementares, o 
quadrilátero é inscritível. 
22.2. QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL 
Um quadrilátero convexo é circunscritível se, e somente se, seus quatro lados são tangentes 
à circunferência. 
Exemplo: 
 
Com base nesses conceitos, temos dois teoremas que são bastante úteis para resolver 
questões de geometria plana envolvendo quadriláteros. Vamos estudá-los. 
 
Professor Marçal 
ENEM 
39 
121 
 
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22.3. TEOREMA DE PITOT 
Um quadrilátero é circunscritível se, e somente se, a soma dos lados opostos for iguais. 
 
𝑨𝑩 + 𝑪𝑫 = 𝑨𝑫 + 𝑩𝑪 
Demonstração: 
Para a primeira parte: 
𝐴𝐵𝐶𝐷 é circunscritível ⇒ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 o quadrilátero circunscritível representado abaixo, usando a propriedade das 
retas tangentes à circunferência, temos: 
 
Analisando a figura, podemos escrever: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = (𝑥 + 𝑦) + (𝑧 + 𝑤) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 
𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 = (𝑥 + 𝑤) + (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 
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ENEM 
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121 
 
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∴ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
Para a segunda parte: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é circunscritível 
Supondo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 seja não circunscritível à circunferência 𝜆 com 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ∩ 𝜆 = ∅, então, 
podemos construir o quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐸 tal que 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ tangencia a circunferência 𝜆: 
 
Como 𝐴𝐵𝐶𝐸 é circunscritível, podemos escrever: 
𝐴𝐸 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐸 (𝐼) 
Pela hipótese: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 (𝐼𝐼) 
Somando as expressões (𝐼) e (𝐼𝐼): 
𝐴𝐸 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐸 + 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
𝐴𝐸 + 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 + 𝐴𝐷 ⇒ 𝐴𝐸 + 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 + 𝐴𝐸 + 𝐸𝐷 
⇒ 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 + 𝐸𝐷 
Como 𝐶𝐸𝐷 é um triângulo, temos pela desigualdade triangular: 
𝐶𝐷 < 𝐶𝐸 + 𝐸𝐷 
Logo, chegamos a um absurdo! Portanto: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é circunscritível 
22.4. TEOREMA DE PTOLOMEU 
Se o quadrilátero convexo 𝑨𝑩𝑪𝑫 é inscritível, então, o produto de suas diagonais é igual à 
soma dos produtos dos lados opostos. 
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ENEM 
41 
121 
 
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𝑨𝑪 ⋅ 𝑩𝑫 = 𝑨𝑩 ⋅ 𝑪𝑫 + 𝑨𝑫 ⋅ 𝑩𝑪 
Demonstração: 
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um quadrilátero convexo inscritível. Podemos prolongar o lado 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ tal que 𝐵�̂�𝐸 ≡
𝐷�̂�𝐴 e 𝐸 é o prolongamento do lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : 
 
Como 𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscritível, temos 𝛽 + 𝛾 = 180°. Perceba que no vértice 𝐵, 𝐶�̂�𝐸 é 
suplementar de 𝐴�̂�𝐶, então, 𝐶�̂�𝐸 = 𝛽. 
Professor Marçal 
ENEM 
42 
121 
 
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Assim, podemos ver que Δ𝐴𝐷𝐶~Δ𝐸𝐵𝐶, então, temos: 
𝐶𝐷
𝐵𝐶
=
𝐴𝐷
𝐵𝐸
⇒ 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐵𝐸 (𝐼) 
Os ângulos inscritos 𝐵�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐶 enxergam o mesmo arco 𝐵�̂�, então, 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐶. Note que 
𝐷�̂�𝐵 ≡ 𝐴�̂�𝐸, pois 𝐴�̂�𝐵 é um ângulo em comum entre eles. Desse modo: 
 
Δ𝐷𝐶𝐵~Δ𝐴𝐶𝐸 ⇒
𝐶𝐷
𝐴𝐶
=
𝐵𝐷
𝐴𝐸
⇒ 𝐴𝐸 ⋅ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 (𝐼𝐼) 
Podemos ver pela figura que 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸, substituindo essa relação em (𝐼𝐼): 
(𝐴𝐵 + 𝐵𝐸) ⋅ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 + 𝐵𝐸 ⋅ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐷 
Usando a relação (𝐼), encontramos: 
𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 ⋅ 𝐵𝐶 
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ENEM43 
121 
 
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23. POTÊNCIA DE PONTO 
23.1. DEFINIÇÃO 
Para finalizar o capítulo de circunferência, vamos estudar o que é a potência de um ponto 𝑃 
em relação a uma circunferência 𝜆. Podemos ter dois casos possíveis: 
1) 𝑃 está no interior da circunferência. 
 
2) 𝑃 está no exterior da circunferência. 
 
Para qualquer um desses casos, temos pela definição de potência de ponto: 
𝑃𝑜𝑡𝜆
𝑃 = 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 
Lê-se potência do ponto 𝑃 em relação à circunferência 𝜆. 
Vamos ver sua aplicação. Passando por 𝑃 duas retas concorrentes tal que essas retas 
interceptam a circunferência nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, temos: 
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ENEM 
44 
121 
 
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Analisando as figuras, podemos ver que: 
Caso 1) 
Δ𝑃𝐵𝐷~Δ𝑃𝐶𝐴 ⇒
𝑃𝐵
𝑃𝐶
=
𝑃𝐷
𝑃𝐴
⇒ 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 
Caso 2) 
Δ𝑃𝐵𝐶~Δ𝑃𝐷𝐴 ⇒
𝑃𝐵
𝑃𝐷
=
𝑃𝐶
𝑃𝐴
⇒ 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 
𝑷𝒐𝒕𝝀
𝑷 = 𝑷𝑨 ⋅ 𝑷𝑩 = 𝑷𝑪 ⋅ 𝑷𝑫 
23.2. EIXO RADICAL 
Eixo radical é o lugar geométrico dos pontos do plano que possuem a mesma potência em 
relação a duas circunferências dadas. 
Teorema 
Uma propriedade do eixo radical é que o conjunto dos pontos do eixo radical é uma reta 
perpendicular à reta que liga os centros das duas circunferências. 
Demonstração: 
Sejam 𝜆1 e 𝜆2 duas circunferências localizadas no mesmo plano de raios 𝑅 e 𝑟, 
respectivamente. Seja 𝑃 o ponto que possui a mesma potência com relação as duas circunferências, 
desse modo, temos: 
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ENEM 
45 
121 
 
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𝑃𝑜𝑡𝜆1
𝑃 = 𝑃𝑜𝑡𝜆2
𝑃 
𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 
(𝑃𝑂1 − 𝑅)(𝑃𝑂1 + 𝑅) = (𝑃𝑂2 − 𝑟)(𝑃𝑂2 + 𝑟) 
𝑃𝑂1
2 − 𝑅2 = 𝑃𝑂2
2 − 𝑟2 
𝑃𝑂1
2 − 𝑃𝑂2
2 = 𝑅2 − 𝑟2 (𝐼) 
Se 𝑃𝑂1 > 𝑃𝑂2, temos 𝑂1𝑁 > 𝑂2𝑁. Seja 𝑀 o ponto médio do segmento 𝑂1𝑂2, assim, temos: 
Δ𝑂1𝑃𝑁 ⇒ 𝑃𝑂1
2 = 𝑃𝑁2 + 𝑂1𝑁
2 (𝐼𝐼) 
Δ𝑂2𝑃𝑁 ⇒ 𝑃𝑂2
2 = 𝑃𝑁2 + 𝑂2𝑁
2 (𝐼𝐼𝐼) 
Fazendo (𝐼𝐼) − (𝐼𝐼𝐼): 
𝑃𝑂1
2 − 𝑃𝑂2
2 = 𝑂1𝑁
2⏟ 
(
𝑑
2
+𝑥)
2
− 𝑂2𝑁
2⏟ 
(
𝑑
2
−𝑥)
2
 
𝑃𝑂1
2 − 𝑃𝑂2
2 =
𝑑2
4
+ 𝑑𝑥 + 𝑥2 −
𝑑2
4
+ 𝑑𝑥 − 𝑥2 
𝑃𝑂1
2 − 𝑃𝑂2
2 = 2𝑑𝑥 ⇒ 𝑥 =
𝑃𝑂1
2 − 𝑃𝑂2
2
2𝑑
 
Substituindo (𝐼) na expressão de 𝑥: 
𝑥 =
𝑅2 − 𝑟2
2𝑑
= 𝑐𝑡𝑒 
Como 𝑥 é um valor constante, temos que 𝑁 é um ponto fixo sobre o segmentro 𝑂1𝑂2. Logo, 
o lugar geométrico de 𝑃 é a reta perpendicular a 𝑂1𝑂2 que passa pelo ponto 𝑁. Portanto, o eixo 
radical é perpendicular a 𝑂1𝑂2. 
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Se as circunferências forem secantes, o eixo radical será a reta que passa pelos pontos de 
intersecção. Se as circunferências forem tangentes, o eixo radical conterá o ponto de tangência. 
Exemplos: 
 
24. POLÍGONOS 
Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas que são formadas por segmentos de 
retas chamados de lados. A condição de um polígono é 𝑛 ≥ 3, sendo 𝑛 seu número de lados. 
Podemos ter polígonos simples ou complexos. Os polígonos são simples quando seus lados 
não se cruzam, caso contrário, eles são complexos. Veja: 
 
Polígonos também podem ser convexos ou côncavos. 
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Um polígono recebe as seguintes denominações dependendo do seu número de lados: 
Número de Lados Nome do Polígono Número de Lados Nome do Polígono 
3 Triângulo 9 Eneágono 
4 Quadrado 10 Decágono 
5 Pentágono 11 Undecágono 
6 Hexágono 12 Dodecágono 
7 Heptágono 15 Pentadecágono 
8 Octógono 20 Icoságono 
 
Além disso, o número de diagonais de um polígono convexo também é fator de interesse. 
Diagonal é o segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes, veja: 
 
 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ são as diagonais do polígono acima. Note que para o vértice 𝐴, os vértices 𝐵 e 𝐹 
são adjacentes. 
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Podemos calcular o número de diagonais de um polígono de 𝑛 lados. Seja 𝑑 esse número, 
então, sua fórmula é dada por: 
𝒅 =
𝒏(𝒏 − 𝟑)
𝟐
 
Demonstração: 
Em um polígono de 𝑛 lados, temos 𝑛 vértices. Então, o número de diagonais que partem de 
um vértice é igual a 𝑛 − 3, pois devemos descontar os vértices adjacentes e o próprio vértice, veja 
o exemplo: 
 
Nesse caso, temos 6 lados e 6 vértices. O número de diagonais que partem do vértice 𝐴 é 
igual a 6 − 3 = 3 (nessa contagem, desconsideramos os vértices 𝐴, 𝐵 e 𝐹). 
Então, se queremos calcular o número total de diagonais de um polígono de 𝑛 lados, devemos 
contar o número de diagonais que podem ser formados em cada vértice. Sabemos que cada vértice 
possui 𝑛 − 3 diagonais, assim, considerando todos os vértices do polígono, temos 𝑛(𝑛 − 3) 
diagonais. Mas, nesse número, estamos contando duas vezes as diagonais, no exemplo acima, temos 
a diagonal que parte do vértice 𝐴 e termina no vértice 𝐸 e a diagonal que parte de 𝐸 e termina em 
𝐴. Portanto, devemos dividir 𝑛(𝑛 − 3) por 2: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
24.1. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS 
Seja 𝑃𝑛 um polígono convexo de 𝑛 lados, então, se 𝑆𝑖 é a soma dos seus ângulos internos e 𝑆𝑒 
é a soma dos seus ângulos externos, temos: 
𝑺𝒊 = (𝒏 − 𝟐) ∙ 𝟏𝟖𝟎°
𝑺𝒆 = 𝟑𝟔𝟎°
 
Demonstração: 
Vamos demonstrar a soma dos ângulos internos. Seja 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑁 um polígono convexo de 
𝑛 lados, tomando 𝑂 o ponto no interior do polígono e ligando esse ponto a cada vértice: 
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Perceba que temos 𝑛 triângulos: Δ𝐴1𝐴2𝑂, Δ𝐴2𝐴3𝑂, Δ𝐴3𝐴4𝑂, Δ𝐴5𝐴5𝑂,… , Δ𝐴𝑛𝐴1𝑂. 
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então, a soma dos 
ângulos internos do polígono é dada pela soma dos ângulos internos dos 𝑛 triângulos subtraído do 
ângulo central: 
𝛼1 + 𝛼2 +⋯+ 𝛼𝑛⏟ 
𝑆𝑖
+ 𝛽1 + 𝛽2 +⋯+ 𝛽𝑛⏟ 
360°
= 𝑛 ∙ 180° 
𝑆𝑖 = 180° ∙ 𝑛 − 180° ∙ 2 ⇒ 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° 
Para provar a fórmula da soma dos ângulos externos, podemos usar a propriedade de ângulos 
suplementares. Então, para cada vértice, temos: 
 
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𝛼1 + 𝜃1 = 180° 
𝛼2 + 𝜃2 = 180° 
⋮ 
𝛼𝑛 + 𝜃𝑛 = 180° 
Somando-se cada expressão acima: 
𝛼1 + 𝛼2 +⋯+ 𝛼𝑛⏟ 
𝑆𝑖
+ 𝜃1 + 𝜃2 +⋯+ 𝜃𝑛⏟ 
𝑆𝑒
= 𝑛 ∙ 180° 
𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 ∙ 180° 
Substituindo 𝑆𝑖: 
(𝑛 − 2) ∙ 180° + 𝑆𝑒 = 𝑛 ∙ 180° ⇒ 𝑆𝑒 = 360° 
24.2. POLÍGONOS REGULARES 
Um polígono é considerado regular se ele for equilátero e equiângulo. Por exemplo, um 
triângulo equilátero possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos 
congruentes, logo, ele é um polígono regular. 
24.2.1. Ângulos Internos e Externos 
Podemos deduzir a fórmula dos ângulos internos e externos do polígono regular usando a 
fórmula de 𝑆𝑖 e 𝑆𝑒. Seja 𝛼𝑖 o ângulo interno do polígono regular, então: 
𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 𝛼 ⇒ 𝑛 ∙ 𝛼⏟
𝑆𝑖
= (𝑛 − 2) ∙ 180° 
∴ 𝜶 =
𝒏 − 𝟐
𝒏
∙ 𝟏𝟖𝟎° 
Analogamente para o ângulo externo 𝜃𝑖: 
𝜃1 = 𝜃2 = ⋯ = 𝜃𝑛 = 𝜃 ⇒ 𝑛 ∙ 𝜃⏟
𝑆𝑒
= 360° 
∴ 𝜽 =
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
 
Para os polígonos regulares, temos algumas propriedades importantes que devem estar na 
memória ao resolver exercícios sobre geometria plana: 
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Vamos analisar cada uma dessas afirmações separadamente. 
24.2.2. Todo polígono regular é inscritível. 
Seja 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑛 um polígono convexo regular, então, tomando os pontos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 
podemos desenhar uma circunferência 𝜆 que passa por esses pontos, vamos provar que 𝐴4 ∈ 𝜆: 
 
Como 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3∈ 𝜆, temos 𝑂𝐴1 = 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴3. O polígono é regular, então, 𝐴1𝐴2 =
𝐴2𝐴3 = 𝐴3𝐴4. 
Sabemos que os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, assim, analisando 
os triângulos isósceles 𝐴1𝑂𝐴2 e 𝐴2𝑂𝐴3, temos: 
Polígonos regulares
Todo polígono regular é inscritível
Todo polígono regular é circunscritível
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
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Como os ângulos internos do polígono são congruentes, temos 𝛼 = 𝛽. Observe os triângulos 
𝐴2𝑂𝐴3 e 𝐴3𝑂𝐴4, note que 𝐴2𝐴3 = 𝐴3𝐴4, 𝑂𝐴3 é um lado comum e 𝛼 = 𝛽, logo, podemos aplicar o 
critério de congruência LAL: 
Δ𝐴2𝑂𝐴3 ≡ Δ𝐴3𝑂𝐴4 
Dessa forma, temos 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴4. Logo, 𝐴4 ∈ 𝜆. De modo análogo, podemos provar para os 
outros vértices do polígono regular. Portanto, qualquer polígono convexo regular é inscritível. 
24.2.3. Todo polígono regular é circunscritível. 
Sem perda de generalidade, vamos usar o pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Sendo regular, ele é 
inscritível, logo: 
 
Os triângulos isósceles 𝑂𝐴𝐵,𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐷, 𝑂𝐷𝐸, 𝑂𝐸𝐴 são congruentes, então, as alturas desses 
triângulos são congruentes: 
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Como a medida dos segmentos são congruentes, temos 𝑂𝐻1 = 𝑂𝐻2 = 𝑂𝐻3 = 𝑂𝐻4 = 𝑂𝐻5, 
então, 𝑂 é o centro de uma outra circunferência. Vamos chamá-la de 𝜆′. 
Sabendo que esses segmentos são perpendiculares às suas respectivas bases, temos que os 
lados do polígono tangenciam a circunferência 𝜆′, logo, ele é circunscritível. 
24.2.4. Ângulo Central 
Vimos que qualquer polígono regular é inscritível e cirscunscritível. Um polígono regular de 
𝑛 lados possui 𝑛 triângulos isósceles e seus vértices são o centro 𝑂 das circunferências e os vértices 
consecutivos do polígono regular. Chamamos de ângulo central o ângulo do vértice 𝑂 de cada 
triângulo isósceles e seu valor é igual a: 
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
 
24.2.5. Cálculo do lado e apótema do polígono regular 
Apótema de um polígono regular é a altura de cada um dos triângulos isósceles que vimos no 
tópico anterior. 
 
 
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Vamos deduzir a fórmula geral do lado e apótema do polígono regular em função do raio da 
circunferência circunscrita e do ângulo central. 
Para um polígono regular de 𝑛 lados, inscrito em uma circunferência de raio 𝑅, sendo 𝑎𝑛 o 
apótema e 𝑙𝑛 o lado do polígono, temos: 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é um dos lados do polígono regular de 𝑛 lados. 
Sabemos que o ângulo central é dado por: 
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
 
 Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo 𝑂𝐴𝐻, temos: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑎𝑐
2
) =
𝑙𝑛
2
𝑅
⇒ 𝒍𝒏 = 𝟐𝑹𝒔𝒆𝒏 (
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
) 
cos (
𝑎𝑐
2
) =
𝑎𝑛
𝑅
⇒ 𝒂𝒏 = 𝑹𝐜𝐨𝐬 (
𝟏𝟖𝟎°
𝟐
) 
 Podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo 𝑂𝐴𝐻 e encontrar 𝑎𝑛 em função 
de 𝑙𝑛 e 𝑅: 
𝑅2 = 𝑎𝑛
2 + (
𝑙𝑛
2
)
2
⇒ 𝒂𝒏 =
𝟏
𝟐
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒍𝒏
𝟐 
 Também é possível deduzir a fórmula do lado de um polígono regular de 2𝑛 lados em 
função do raio 𝑅 e do lado 𝑙𝑛 do polígono regular de 𝑛 lados. Veja a figura: 
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 𝑙𝑛 e 𝑎𝑛 é o lado e o apótema do polígono regular de 𝑛 lados, respectivamente. Note 
que Δ𝐶𝐸𝐵~Δ𝐴𝐶𝐵: 
Δ𝐶𝐸𝐵~Δ𝐴𝐶𝐵 ⇒
𝐶𝐵
𝐸𝐵
=
𝐴𝐵
𝐶𝐵
⇒
𝑙2𝑛
𝑅 − 𝑎𝑛
=
2𝑅
𝑙2𝑛
⇒ (𝑙2𝑛)
2 = 2𝑅(𝑅 − 𝑎𝑛) (𝐼) 
 Escrevendo 𝑎𝑛 em função de 𝑙𝑛 e 𝑅, temos: 
𝑎𝑛 =
1
2
√4𝑅2 − 𝑙𝑛
2 
 Substituindo em (𝐼): 
(𝑙2𝑛)
2 = 2𝑅 (𝑅 −
1
2
√4𝑅2 − 𝑙𝑛
2) 
∴ 𝒍𝟐𝒏 = √𝑹(𝟐𝑹 − √𝟒𝑹
𝟐 − 𝒍𝒏
𝟐) 
 
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24.2.6. Comprimento da Circunferência 
Vimos que o lado de um polígono regular de 𝑛 lados é dado por: 
 
𝑙𝑛 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
) 
O perímetro desse polígono é igual a: 
𝑝𝑛 = 𝑛 ⋅ 2𝑅 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
) 
Se tomarmos 𝑛 um número que tende ao infinito, o perímetro desse polígono se aproxima 
ao comprimento da circunferência circunscrita a ele. Então, aplicando o limite, temos: 
𝐶 = lim
n→∞
(2𝑅 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
)) ⇒ 𝐶 = 2𝑅 lim
n→∞
(𝑛 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
))
⏟ 
𝜋
⇒ 𝐶 = 2𝜋𝑅 
Como limite não é uma matéria que é cobrada no vestibular, não veremos a explicação para 
o limite resultar em 𝜋. Apenas saiba que o comprimento de uma circunferência é dado por: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝑹 
 
27) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ são 4 lados consecutivos de um icoságono regular. Os 
prolongamentos dos lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ cortam-se em 𝐼. Calcule o ângulo 𝐵Î𝐷. 
Comentários: 
 O ângulo central do icoságono regular é dado por: 
𝑎𝑐 =
360°
20
= 18° 
 Assim, os ângulos das bases dos triângulos isósceles do icoságono regular são iguais a: 
18° + 2𝜃 = 180° ⇒ 𝜃 = 81° 
 Vamos desenhar a situação do problema: 
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 Sendo regular, temos que 𝐼 é o prolongamento do segmento 𝑂𝐶. Como 𝐼 também é o 
prolongamento do lado 𝐸𝐷, temos que �̂� é um ângulo raso: 
𝛽 + 81° + 81° = 180° ⇒ 𝛽 = 18° 
 𝑂𝐶𝐷 é ângulo externo do triângulo 𝐼𝐶𝐷, logo: 
81° = 𝛼 + 𝛽 ⇒ 𝛼 = 63° 
 O ângulo 𝐵Î𝐷 é dado por: 
𝐵Î𝐷 = 2𝛼 = 126° 
Gabarito: 𝟏𝟐𝟔° 
 
287) 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 é um pentágono regular e 𝐸𝐷𝐶𝑀 é um paralelogramo interno ao pentágono. 
Calcular os ângulos do triângulo 𝐴𝑀𝐸. 
Comentários: 
 Sabendo que 𝐸𝐷𝐶𝑀 é um paralelogramo e 𝐷𝐸 = 𝐶𝐷 (lados do pentágono regular), temos 
que 𝐸𝑀 = 𝐶𝐷 e 𝐷𝐸 = 𝐶𝑀, logo, 𝐸𝐷𝐶𝑀 é um losango. Vamos desenhar a figura: 
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 Sendo 𝐸 o vértice do pentágono, temos 𝐴Ê𝑀 = 36°. Como 𝐴𝐸 = 𝑀𝐸, o triângulo 𝐴𝑀𝐸 é 
isósceles, logo: 
𝐸Â𝑀 = 𝐸�̂�𝐴 = 72° 
 Portanto, os ângulos internos do Δ𝐴𝑀𝐸 são: 
36°, 72° e 72° 
Gabarito: 𝟑𝟔°, 𝟕𝟐° 𝐞 𝟕𝟐° 
 
29) Determinar o lado do dodecágono regular circunscrito a um círculo de raio 𝑅. 
Comentários: 
 Sabendo que o apótema de um dodecágono regular circunscrito é igual a 𝑅 e seu ângulo 
central é 30°, para encontrar o seu lado, podemos usar o seguinte triângulo isósceles: 
 
𝑡𝑔(15°) =
𝑙12
2
𝑅
⇒ 𝑙12 = 2𝑅𝑡𝑔(15°) 
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 Lembrando que: 
𝑡𝑔 (
𝐴
2
) =
1−cos𝐴
sen𝐴
 
𝑡𝑔(15°) =
1−𝑐𝑜𝑠30°
𝑠𝑒𝑛30°
⇒ 𝑡𝑔(15°) =
1−
√3
2
1
2
⇒ 𝑡𝑔(15°) = 2 − √3 
 Substituindo o valor da tangente na equação, encontramos: 
𝑙12 = 2𝑅(2 − √3) 
Gabarito: 𝒍𝟏𝟐 = 𝟐𝑹(𝟐 − √𝟑) 
25. ÁREA DE FIGURAS PLANAS 
 
Vamos estudar um dos temas mais explorados em geometria plana pelos vestibulares, o 
cálculo de áreas de figuras planas. Estudamos até agora as formas geométricas, as medidas dos 
ângulos e os comprimentos dos segmentos das figuras planas. O estudo da área dessas figuras 
envolve o conceito de extensão. Compare as figuras abaixo e diga qual possui maior extensão. 
 
Supondo que as duas figuras possuem as mesmas unidades de medida, podemos dizer que o 
quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 possui maior extensão que o triângulo 𝑋𝑌𝑍. Quando fazemos esse tipo de 
comparação, estamos comparando as áreas dessas figuras. 
Duas figuras são ditas equivalentes quando possuem a mesma extensão, 
independentemente de suas formas. Se juntarmos dois quadriláteros de áreas 𝐴1 e 𝐴2 para formar 
uma outra figura de área 𝐴3, podemos afirmar que esta possui área igual à soma das duas primeiras: 
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Usualmente, usamos as letras maiúsculas 𝑆 ou 𝐴 para simbolizar a áreadas figuras. Nos 
exemplos acima, perceba que 𝑆3 = 𝑆1 + 𝑆2 e 𝑆4 = 𝑆1 + 𝑆2, logo, podemos afirmar que as figuras de 
áreas 𝑆3 e 𝑆4 são equivalentes. 
Dizemos que área é um número real positivo associado a uma superfície limitada. A unidade 
de medida usual da área é o 𝑚2 (metro quadrado). 
Vamos estudar dois teoremas importantes para formar nossa base no estudo da área de 
figuras planas. Esses teoremas serão usados para deduzir todas as fórmulas das áreas que podem 
ser cobradas na prova. 
25.1. RETÂNGULO 
Calcular a área de uma figura plana é o mesmo que comparar quantas vezes a área da figura 
plana é maior que uma certa área de referência, ou área unitária. 
Para calcular a área do retângulo, vamos adotar como área unitária um quadrado de lado 1. 
Seja 𝐴𝑢 a área desse quadrado e 𝐴𝑅 a área do retângulo de base 𝑏 e altura ℎ, sabendo que 𝐴𝑢 = 1, 
temos: 
 
𝐴𝑅
𝐴𝑢
=
𝑏 ⋅ ℎ
1 ⋅ 1
⇒
𝐴𝑅
1
= 𝑏 ⋅ ℎ 
𝑨𝑹 = 𝒃 ⋅ 𝒉 
Portanto, a área de um retângulo é dada pelo produto entre sua base e sua altura. 
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 Ao calcular área de figuras planas, precisamos nos atentar a um detalhe. Veja a questão 
abaixo: 
 Calcule a área de um retângulo de base e altura medindo 5 𝑐𝑚 e 10 𝑐𝑚, respectivamente. 
 Essa questão nos fornece a unidade de medida em centímetros. Quando calculamos a área 
dessa figura, precisamos também incluir a unidade de medida: 
𝐴𝑅 = 𝑏 ⋅ ℎ ⇒ 𝐴𝑅 = (5 𝑐𝑚) ⋅ (10 𝑐𝑚) ⇒ 𝐴𝑅 = 50 𝑐𝑚
2 
 Caso a questão forneça os dados em diferentes unidades de medida, temos que convertê-los 
na mesma unidade. Veja: 
 Calcule a área do retângulo de base e altura medindo 5 𝑐𝑚 e 10 𝑘𝑚, respectivamente. 
 Nessa questão, não podemos multiplicar diretamente a base a altura, pois ambas estão em 
diferentes unidades de medida (cm e km). Antes, devemos igualar as unidades. Vamos converter o 
quilômetro em centímetro: 
10 𝑘𝑚 = 10 ⋅ 103 𝑚 = 10 ⋅ 103 ⋅ 102 𝑐𝑚 = 106 𝑐𝑚 
 Agora, podemos calcular a área: 
𝐴𝑅 = (5 𝑐𝑚) ⋅ (10
6 𝑐𝑚) ⇒ 𝐴𝑅 = 5 ⋅ 10
6 𝑐𝑚2 
 Esse detalhe pode tirar alguns pontos da sua prova, então, atenção na hora de ler a questão! 
25.2. QUADRADO 
Esse é um caso particular de retângulo. Como o quadrado possui lados congruentes, a sua 
altura e base possuem as mesmas medidas. Para um quadrado de lado 𝑙: 
 
𝑨𝑸 = 𝒍
𝟐 
25.3. PARALELOGRAMO 
O paralelogramo pode ser visto como um retângulo inclinado, veja: 
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A área do paralelogramo de altura ℎ e base 𝑏 é equivalente à área de um retângulo de altura 
ℎ e base 𝑏, logo: 
𝑨𝑷 = 𝒃 ⋅ 𝒉 
25.4. TRIÂNGULO 
A área de um triângulo é igual à metade da área de um paralelogramo de altura ℎ e base 𝑏. 
Seja 𝐴𝑇 a área de um triângulo de base 𝑏 e altura ℎ: 
 
Analisando a figura, podemos ver que: 
2𝐴𝑇 = 𝑏 ⋅ ℎ 
𝑨𝑻 =
𝒃 ⋅ 𝒉
𝟐
 
25.5. LOSANGO 
A área de um losango de diagonal maior 𝐷 e diagonal menor 𝑑 é igual à 2 vezes a área de um 
triângulo de base 𝑑 e altura 𝐷/2: 
 
𝐴𝐿 = 2𝐴𝑇 ⇒ 𝐴𝐿 = 2 ⋅
𝑑 ⋅
𝐷
2
2
 
𝑨𝑳 =
𝒅 ⋅ 𝑫
𝟐
 
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25.6. TRAPÉZIO 
Para calcular a área de um trapézio de base menor 𝑏 e base maior 𝐵 e altura ℎ, podemos 
dividi-lo em 2 triângulos de altura ℎ e bases 𝑏 e 𝐵: 
 
𝐴𝑇𝑟 = 𝐴1 + 𝐴2 ⇒ 𝐴𝑇𝑟 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
+
𝐵 ⋅ ℎ
2
 
𝑨𝑻𝒓 =
(𝒃 + 𝑩) ⋅ 𝒉
𝟐
 
25.7. POLÍGONO REGULAR 
Dado um polígono regular de 𝑛 lados, sendo: 
𝑎 − medida do apótema 
𝑙 − medida do lado 
𝑛 − número de lados 
𝑝 − semiperímetro do polígono 
Esse polígono pode ser dividido em 𝑛 triângulos congruentes de base 𝑙 e altura 𝑎: 
 
A área desse polígono é dada por: 
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𝐴𝑃𝑜𝑙 =
𝑛 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝑎
2
 
O perímetro desse polígono é igual a: 
2𝑝 = 𝑛 ⋅ 𝑙 
Assim, substituindo a identidade acima na expressão da área do polígono, encontramos: 
𝐴𝑃𝑜𝑙 =
2𝑝 ⋅ 𝑎
2
 
𝑨𝑷𝒐𝒍 = 𝒑 ⋅ 𝒂 
26. OUTRAS EXPRESSÕES PARA ÁREA DO TRIÂNGULO 
Dependendo dos dados da questão, podemos calcular a área do triângulo de outras formas. 
Vamos explorar as possibilidades: 
26.1. DADOS UM DOS LADOS E A RESPECTIVA ALTURA 
 
Seja 𝑆 a área do triângulo, como vimos anteriormente, a área do triângulo em função do lado 
e da respectiva altura é dada por: 
𝑺 =
𝒂 ⋅ 𝒉𝒂
𝟐
=
𝒃 ⋅ 𝒉𝒃
𝟐
=
𝒄 ⋅ 𝒉𝒄
𝟐
 
26.2. DADOS DOIS LADOS E UM ÂNGULO COMPREENDIDO ENTRE ELES 
 
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Temos a base do triângulo, precisamos calcular a altura 𝐶𝐻: 
𝐶𝐻 = 𝑏 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼 
A área é dada por: 
𝑺 =
𝒃 ⋅ 𝒄 ⋅ 𝒔𝒆𝒏𝜶
𝟐
 
26.3. DADOS OS LADOS E O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA 
 
 No triângulo acima, temos três triângulos cujas bases são os lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e a altura 
é 𝑟: 
𝑆 = 𝑆𝐴𝐵𝐼 + 𝑆𝐴𝐶𝐼 + 𝑆𝐵𝐶𝐼 ⇒ 𝑆 =
𝑐 ⋅ 𝑟
2
+
𝑏 ⋅ 𝑟
2
+
𝑎 ⋅ 𝑟
2
⇒ 𝑆 =
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
2⏟ 
𝑝
⋅ 𝑟 
𝑺 = 𝒑 ⋅ 𝒓 
26.4. FÓRMULA DE HERON 
A fórmula de Heron é útil quando a questão nos dá apenas os lados do triângulo. 
 
Sabemos que a área do triângulo pode ser dada por: 
𝑆 =
𝑎 ⋅ ℎ𝑎
2
 
Vimos no capítulo de cálculo de cevianas do triângulo que ℎ𝑎 pode ser escrita em função dos 
lados e do semiperímetro do triângulo: 
ℎ𝑎 =
2
𝑎
√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 
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Substituindo essa identidade na expressão da área, encontramos: 
𝑆 =
𝑎 ⋅
2
𝑎
√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
2
 
𝑺 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 
Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron. 
26.5. RELAÇÃO MÉTRICA ENTRE ÁREAS 
Para figuras geométricas semelhantes, podemos encontrar uma relação para suas áreas. 
Considere os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹 semelhantes abaixo: 
 
Como Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐷𝐸𝐹, temos: 
ℎ1
ℎ2
=
𝑏1
𝑏2
= 𝐾 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜) 
A área de cada triângulo é dada por: 
𝑆1 =
𝑏1 ⋅ ℎ1
2
 
𝑆2 =
𝑏2 ⋅ ℎ2
2
 
Dividindo as áreas, encontramos: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1 ⋅ ℎ1
2
𝑏2 ⋅ ℎ2
2
⇒
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1
𝑏2
⋅
ℎ1
ℎ2
⇒
𝑆1
𝑆2
= 𝐾 ⋅ 𝐾 
𝑺𝟏
𝑺𝟐
= 𝑲𝟐 
Portanto, a razão entre as áreas de figuras semelhantes é o valor da razão de proporção 
elevado ao quadrado. 
Vimos para o caso de triângulos semelhantes. Saiba que essa razão é válida para quaisquer 
figuras planas semelhantes. 
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67 
121 
 
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27. ÁREA DE CÍRCULOS 
27.1. DEDUÇÃO DA FÓRMULA 
Há, na literatura, muitas deduções da área do círculo, muitas utilizando ferramentas do 
cálculo diferencial e integral. 
Veremos uma delas aqui, sem pesar muito na parte matemática do ensino superior. 
Utilizaremos, nela, a ferramenta limite, que já vimos ser utilizada quando estudamos soma de 
infinitos termos de uma PG, está lembrado? 
Vamos lá. 
Para calcular a área do círculo, podemos usar a área do polígono regular de 𝑛 lados: 
 
𝑙𝑛 é o lado do polígono de 𝑛 lados e 𝑎𝑛 é seu apótema. A área do polígono é dada por: 
𝑆𝑛 =
𝑛 ⋅ 𝑎𝑛 ⋅ 𝑙𝑛
2
 
Podemos escrever 𝑙𝑛/2 em função do ângulo central: 
𝑡𝑔 (
𝜋
𝑛
) =
𝑙𝑛
2
𝑎𝑛
⇒
𝑙𝑛
2
= 𝑎𝑛 ⋅ 𝑡𝑔 (
𝜋
𝑛
) 
Substituindo na fórmula de 𝑆𝑛: 
𝑆𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
2 ⋅ 𝑡𝑔 (
𝜋
𝑛
) 
Note que se 𝑛 tender ao infinito, a área do polígono de 𝑛 lados se aproxima da área da 
circunferência circunscrita a ele e o apótema se aproxima do raio dessa circunferência. Se 𝑆𝐶 é a 
área da circunferência de raio 𝑅, podemos escrever: 
𝑆𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛
2 ⋅ 𝑡𝑔 (
𝜋
𝑛
) ⇒ 𝑆𝐶 = lim
𝑛→∞
𝑛 ⋅ 𝑅2 ⋅ 𝑡𝑔 (
𝜋
𝑛
) ⇒ 𝑆𝐶 = 𝑅
2 ⋅ lim
𝑛→∞
𝑛 ⋅ 𝑡𝑔 (
𝜋
𝑛
)
⏟ 
𝜋
 
𝑺𝑪 = 𝝅 ⋅ 𝑹
𝟐 
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27.2. PARTES DO CÍRCULO 
Para finalizar o assunto de áreas de círculos, vamos aprender alguns termos que podem ser 
cobrados na prova a respeito das áreas das partes dos círculos: 
1) Setor circular 
 
Setor circular é uma “fatia” do círculo. Sua área é dada pela proporção: 
𝑆 =
𝜃
2𝜋⏟
𝑓𝑎𝑡𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
⋅ 𝜋𝑅2 ⇒ 𝑆 = 𝜃𝜋𝑅2 
 
2) Segmento circular 
 
Segmento circular é a região delimitada pelo círculo e pelo triângulo isósceles cujo vértice é 
o centro do círculo e seu ângulo é 𝜃. Dessa forma, a área é dada pela diferença entre a área do setor 
circular e a área do triângulo isósceles. 
Pense que uma reta secante (ou até uma corda), quando não passa pelo centro da 
circunferência, divide o círculo em duas partes. A menor delas é o segmento circular. 
 
 
 
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ENEM 
69 
121 
 
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3) Lúnula 
 
Lúnula é a região do círculo menor localizada na parte externa do círculo maior. 
4) Triângulo Curvilíneo 
 
Triângulo curvilíneo é o triângulo 𝐴𝐵𝐶 cujos lados são todos curvos. 
 
 
 
 
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70 
121 
 
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5) Triângulo Mistilíneo 
 
Um triângulo é mistilíneo quando possui um ou dois lados curvos. Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐶𝐷𝐸 
representados acima são mistilíneos. 
30) Calcular a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 em função de 𝑆1, 𝑆2 e 𝑆3 sabendo-se que as retas 𝑟, 𝑠 e 
𝑡 são paralelas aos lados do triângulo. 
 
Comentários: 
O caminho para essa questão é usar razão de proporção. Note que como as retas 𝑟,𝑠, 𝑡 são 
paralelas aos lados do triângulo, temos que todos os triângulos são semelhantes. Então, seja 𝑆 a 
área do triângulo maior e 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 as razões de proporção entre os triângulos de áreas 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 
respectivamente. Então, podemos escrever: 
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𝑏1
𝑏
= 𝑘1 ⇒ 𝑏1 = 𝑏𝑘1 ⇒
𝑆1
𝑆
= 𝑘1
2 ⇒ 𝑘1 = √
𝑆1
𝑆
 
𝑏2
𝑏
= 𝑘2 ⇒ 𝑏2 = 𝑏𝑘2 ⇒
𝑆2
𝑆
= 𝑘2
2 ⇒ 𝑘2 = √
𝑆2
𝑆
 
𝑏3
𝑏
= 𝑘3 ⇒ 𝑏3 = 𝑏𝑘3 ⇒
𝑆3
𝑆
= 𝑘3
2 ⇒ 𝑘3 = √
𝑆3
𝑆
 
Podemos ver pela figura que: 
𝑏 = 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 
Vamos escrever tudo em função de 𝑏: 
𝑏 = 𝑏𝑘1 + 𝑏𝑘2 + 𝑏𝑘3 ⇒ 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = 1 
Substituindo os valores das razões, temos: 
√
𝑆1
𝑆
+ √
𝑆2
𝑆
+ √
𝑆3
𝑆
= 1 ⇒ √𝑆 = √𝑆1 + √𝑆2 + √𝑆3 
∴ 𝑆 = (√𝑆1 + √𝑆2 + √𝑆3)
2
 
Gabarito: (√𝑺𝟏 + √𝑺𝟐 + √𝑺𝟑)
𝟐
 
 
 
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31) Calcular a área de um trapézio isósceles, se a sua altura é igual a ℎ e o seu lado lateral se 
vê desde o centro da circunferência circunscrita sob ângulo 𝛼. 
Comentários: 
Para ilustrar o problema, vamos desenhar o trapézio isósceles inscritível: 
 
Sabemos que a área de um trapézio é dada por: 
𝑆 = (𝑎 + 𝑏) ⋅
ℎ
2
 
Precisamos encontra 𝑎 e 𝑏 em função de ℎ e 𝛼 dados. Podemos usar a propriedade do arco 
capaz, traçando as diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷, temos: 
 
Note que Δ𝐴𝐸𝐹 ≡ Δ𝐵𝐸𝐹 e Δ𝐸𝐷𝐺 ≡ Δ𝐸𝐶𝐺, pois as alturas de cada par desses triângulos são 
congruentes e temos dois ângulos internos congruentes. Assim, 𝐹 e 𝐺 são os pontos médios das 
respectivas bases. Vamos definir 𝐸𝐹 = ℎ1 e 𝐸𝐺 = ℎ2: 
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73 
121 
 
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Assim, podemos escrever: 
𝑡𝑔 (
𝛼
2
) =
ℎ1
𝑎
2
⇒ ℎ1 =
𝑎
2
⋅ 𝑡𝑔 (
𝛼
2
) 
ℎ2 =
𝑏
2
⋅ 𝑡𝑔 (
𝛼
2
) 
⇒ ℎ = ℎ1 + ℎ2 ⇒ ℎ =
𝑎 + 𝑏
2
⋅ 𝑡𝑔 (
𝛼
2
) ⇒ 𝑎 + 𝑏 =
2ℎ
𝑡𝑔 (
𝛼
2
)
 
Substituindo as variáveis na equação da área, encontramos: 
𝑆 =
𝑎 + 𝑏
2
⋅ ℎ ⇒ 𝑆 =
ℎ
2
⋅
2ℎ
𝑡𝑔 (
𝛼
2
)
⇒ 𝑆 = ℎ2 ⋅ 𝑐𝑜𝑡𝑔 (
𝛼
2
) 
Gabarito: 𝑺 = 𝒉𝟐 ⋅ 𝒄𝒐𝒕𝒈 (
𝜶
𝟐
) 
 
32) (OBM/2005) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio 𝑟 e os centros 
das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam 𝑎 e 𝑏 as 
áreas hachuradas. Calcule 𝑎/𝑏. 
 
 
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121 
 
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Comentários: 
Vamos inserir as variáveis do problema: 
 
Seja 𝑆 a área do círculo maior, assim, temos: 
𝑆 = 5𝑎 + 4𝑏 
Mas, 𝑆 = 𝜋(3𝑟)2: 
9𝜋𝑟2 = 5𝑎 + 4𝑏 
Podemos escrever 𝑎 e 𝑏 em função de 𝑟: 
𝑎 = 𝜋𝑟2 
9𝜋𝑟2 = 5𝑎 + 4𝑏 ⇒ 𝑏 =
9𝜋𝑟2 − 5𝜋𝑟2
4
= 𝜋𝑟2 
A razão é dada por: 
𝑎
𝑏
=
𝜋𝑟2
𝜋𝑟2
= 1 
Gabarito: 
𝒂
𝒃
 = 𝟏 
 
 
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33) Determine a razão da área do círculo maior para a área do círculo menor. 
 
Comentários: 
Sendo os ângulos inscritos nos círculos, temos: 
 
Seja 𝑆1 a área do círculo maior e 𝑆2 a área do círculo menor, desse modo, podemos escrever: 
𝑆1 = 𝜋𝑅
2 
𝑆2 = 𝜋𝑟
2 
⇒
𝑆1
𝑆2
=
𝜋𝑅2
𝜋𝑟2
= (
𝑅
𝑟
)
2
 
Vamos encontrar uma relação entre 𝑅 e 𝑟. Note que o triângulo 𝑂1𝐵𝐶 é equilátero (triângulo 
isósceles cujo vértice possui ângulo de 60°) e o triângulo 𝑂2𝐵𝐶 é retângulo isósceles. Assim, temos: 
𝑅 = 𝑥 ⇒ 𝑅2 = 𝑥2 
𝑟 =
𝑥√2
2
⇒ 𝑟2 =
𝑥2
2
 
Substituindo essas variáveis na razão das áreas: 
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76 
121 
 
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𝑆1
𝑆2
=
𝑅2
𝑟2
=
𝑥2
𝑥2
2
= 2 
Gabarito: 𝟐 
 
34) 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado cujo lado é 𝑎. De cada um dos vértices desse quadrado como 
centro e com raio 𝑎 descreve-se internamente um arco. Calcular a área do quadrilátero curvilíneo 
cujos vértices são os pontos de intersecção desses arcos. 
Comentários: 
Devemos notar que os vértices do quadrilátero curvilíneo formam um quadrado, veja: 
 
Os segmentos 𝐷𝑋̅̅ ̅̅ e 𝐴𝑋̅̅ ̅̅ são raios de circunferências e medem 𝑎. Desse modo, 𝐴𝑋𝐷 é um 
triângulo equilátero, logo, 𝑋�̂�𝐵 = 𝐶�̂�𝑋 = 30°. Dessa forma, podemos ver que a figura fica da 
seguinte maneira: 
 
Como os arcos 𝑋𝑌, 𝑌𝑍, 𝑍𝑊,𝑊𝑋 possuem mesma medida e o quadrilátero é equilátero, 
temos que o quadrilátero é um quadrado. Assim, temos: 
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121 
 
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𝑆1 é a área do quadrado e 𝑆2 é a área do segmento circular: 
𝑆1 = 𝑥
2 
Vamos calcular o valor de 𝑥 e a área 𝑆1, aplicando a lei dos cossenos: 
𝑥2 = 𝑎2 + 𝑎2 − 2𝑎2 cos 30° ⇒ 𝑥 = 𝑎√2 − √3 
⇒ 𝑆1 = 𝑎
2(2 − √3) 
Agora, vamos calcular a área 𝑆2, ela é a diferença da área do setor circular e a área do 
triângulo 𝐴𝑋𝑌: 
𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
30°
360°
⋅ 𝜋𝑎2 =
𝜋𝑎2
12
 
𝑆𝐴𝑋𝑌 =
1
2
⋅ (𝑎 𝑠𝑒𝑛 30°) ⋅ 𝑎 =
𝑎2
4
 
𝑆2 =
𝜋𝑎2
12
−
𝑎2
4
 
A área do quadrilátero curvilíneo é dada por: 
𝑆 = 𝑆1 + 4𝑆2 ⇒ 𝑆 = 𝑎2(2 − √3) + 4(
𝜋𝑎2
12
−
𝑎2
4
) ⇒ 𝑆 =
𝜋𝑎2
3
+ 𝑎2 − 𝑎2√3 
∴ 𝑆 = 𝑎2 (
𝜋
3
+ 1 − √3) 
Gabarito: 𝑺 = 𝒂𝟐 (
𝝅
𝟑
+ 𝟏 − √𝟑) 
 
 
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35) Calcular a área do triângulo cujas alturas medem 5, 7 e 8 cm. 
Comentários: 
 
Para calcular a área do triângulo, precisamos encontrar o valor de um dos seus lados. Para 
isso, podemos encontrar uma relação entre os lados. Usando a definição de área, temos: 
𝑆 =
5𝑎
2
=
8𝑏
2
=
7𝑐
2
 
Escrevendo 𝑏 e 𝑐 em função de 𝑎: 
𝑏 =
5𝑎
8
 e 𝑐 =
5𝑎
7
 
Vamos usar a fórmula de Heron para encontrar a medida de 𝑎: 
𝑆 =
5𝑎
2
= √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 
25𝑎2
4
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
⋅
−𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
⋅
𝑎 − 𝑏 + 𝑐
2
⋅
𝑎 + 𝑏 − 𝑐
2
 
Substituindo 𝑏 e 𝑐: 
25𝑎2
4
= (
1
16
) ⋅ (𝑎 +
5𝑎
8
+
5𝑎
7
) ⋅ (−𝑎 +
5𝑎
8
+
5𝑎
7
) ⋅ (𝑎 −
5𝑎
8
+
5𝑎
7
) ⋅ (𝑎 +
5𝑎
8
−
5𝑎
7
) 
100𝑎2 = 𝑎4 ⋅
(56 + 35 + 40)
56
⋅
(−56 + 35 + 40)
56
⋅
(56 − 35 + 40)
56⋅
(56 + 35 − 40)
56
 
100 ⋅ 564 = 𝑎2 ⋅ 131 ⋅ 19 ⋅ 61 ⋅ 51 
𝑎 =
10 ⋅ 562
√131 ⋅ 19 ⋅ 61 ⋅ 51
 𝑐𝑚 
Assim, a área do triângulo é dada por: 
𝑆 =
5𝑎
2
=
5
2
⋅
10 ⋅ 562
√131 ⋅ 19 ⋅ 61 ⋅ 51
≅ 28,17 𝑐𝑚2 
Gabarito: 𝑺 = 𝟐𝟖, 𝟏𝟕 𝒄𝒎𝟐 
 
 
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121 
 
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36) Encontre a área do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 na figura abaixo tal que 𝑃𝐴 = 3, 𝑃𝐵 = 7 e 𝑃𝐷 = 5. 
 
Comentários: 
Seja 𝑙 o lado do quadrado e 𝐴 sua área, então: 
𝐴 = 𝑙2 
Vamos inserir as variáveis na figura: 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos da figura, temos: 
9 = 𝑥2 + 𝑦2 (𝐼) 
25 = 𝑥2 + (𝑙 − 𝑦)2 ⇒ 25 = 𝑥2 + 𝑦2⏟ 
9
− 2𝑙𝑦 + 𝑙2 ⇒ 𝑦 =
𝑙2 − 16
2𝑙
 (𝐼𝐼) 
49 = 𝑦2 + (𝑙 − 𝑥)2 ⇒ 49 = 𝑦2 + 𝑥2⏟ 
9
− 2𝑙𝑥 + 𝑙2 ⇒ 𝑥 =
𝑙2 − 40
2𝑙
 (𝐼𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼𝐼) e (𝐼𝐼𝐼) em (𝐼): 
(
𝑙2 − 40
2𝑙
)
2
+ (
𝑙2 − 16
2𝑙
)
2
= 9 
𝑙4 − 80𝑙2 + 1600 + 𝑙4 − 32𝑙2 + 256 = 36𝑙2 
2𝑙4 − 148𝑙2 + 1856 = 0 ⇒ 𝑙4 − 74𝑙2 + 928 = 0 
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80 
121 
 
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Vamos substituir a variável 𝑙2 = 𝐴: 
𝐴2 − 74𝐴 + 928 = 0 
Encontrando a raiz: 
𝐴 = 37 ± √372 − 928 ⇒ 𝐴 = 37 ± 21 
∴ 𝐴 = 58 
Gabarito: 𝑨 = 𝟓𝟖 
 
37) Calcular a área de um triângulo retângulo conhecendo o seu perímetro 2𝑝 e a altura ℎ 
relativa à hipotenusa. 
Comentários: 
Temos o perímetro e a altura do triângulo retângulo, vamos encontrar sua área em função 
dessas variáveis: 
 
A área do triângulo retângulo é dada por: 
𝑆 =
𝑏𝑐
2
=
𝑎ℎ
2
 
Usando o teorema de Pitágoras, temos: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⇒ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐 − 2𝑏𝑐 ⇒ 𝑎2 = (𝑏 + 𝑐)2 − 2𝑏𝑐 
⇒ (𝑏 + 𝑐)2 − 𝑎2 = 2𝑏𝑐 ⇒ (𝑏 + 𝑐 − 𝑎)⏟ 
2𝑝−2𝑎
(𝑏 + 𝑐 + 𝑎)⏟ 
2𝑝
= 2𝑏𝑐⏟
4𝑆
 
(2𝑝 − 2𝑎) ⋅ 2𝑝 = 4𝑆 ⇒ 2𝑝 − 2𝑎 =
2𝑆
𝑝
⇒ 𝑎 = 𝑝 −
𝑆
𝑝
 
Substituindo o valor de 𝑎 na equação da área: 
𝑆 =
𝑎ℎ
2
⇒ 𝑆 =
(𝑝 −
𝑆
𝑝
) ℎ
2
⇒ 2𝑆𝑝 = 𝑝2ℎ − 𝑆ℎ ⇒ 𝑆(2𝑝 + ℎ) = 𝑝2ℎ 
𝑆 =
𝑝2ℎ
2𝑝 + ℎ
 
Gabarito: 𝑺 =
𝒑𝟐𝒉
𝟐𝒑+𝒉
 
Professor Marçal 
ENEM 
81 
121 
 
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38) Determinar a área do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷, cujas bases são 𝐴𝐷 = 𝑎 e 𝐵𝐶 = 𝑏 (𝑎 > 𝑏), e no 
qual �̂� = 45° e �̂� = 30°. 
Comentários: 
Vamos desenhar a figura da questão e inserir as variáveis: 
 
Usando a razão tangente, temos: 
𝑡𝑔45° =
ℎ
𝑥
⇒ 𝑥 = ℎ 
𝑡𝑔30° =
ℎ
𝑦
⇒ 𝑦 = ℎ√3 
De acordo com a figura, podemos inferir: 
𝑥 + 𝑏 + 𝑦 = 𝑎 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 − 𝑏 ⇒ ℎ + ℎ√3 = 𝑎 − 𝑏 ⇒ ℎ =
𝑎 − 𝑏
√3 + 1
 
⇒ ℎ =
(𝑎 − 𝑏)(√3 − 1)
2
 
A área do trapézio é dada por: 
𝑆 = (𝑎 + 𝑏) ⋅
ℎ
2
⇒ 𝑆 =
(𝑎 + 𝑏)
2
⋅
(𝑎 − 𝑏)(√3 − 1)
2
⇒ 𝑆 =
1
4
(√3 − 1)(𝑎2 − 𝑏2) 
Gabarito: 𝑨 =
𝟏
𝟒
(√𝟑 − 𝟏)(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐) 
 
 
 
 
 
 
Professor Marçal 
ENEM 
82 
121 
 
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28. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 
1. (Fatec/2019-1) 
Um formato de papel usado para impressões e fotocópias, no Brasil, é o A4, que faz 
parte de uma série conhecida como série A, regulamentada internacionalmente pelo padrão 
ISO 216. 
Essa série criou um padrão de folha retangular que, quando seu lado maior é dobrado 
ao meio, gera um retângulo semelhante ao original, conforme ilustrado. 
 
Considerando uma folha da série A, com as dimensões indicadas na figura, pode-se 
afirmar que 
a) 𝑥 = 2𝑦 b) 𝑥 = 𝑦√2 c) 𝑥 = 𝑦 d) 𝑦 = 𝑥√2 e) 𝑦 = 2𝑥 
2. (Fatec/2019-1) 
Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos baseados em figuras geométricas. Ela 
desenvolve um padrão retangular de 20 𝑐𝑚 por 40 𝑐𝑚. No padrão, serão bordados dois 
triângulos pretos e quatro triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã branca, 
conforme a figura. 
 
Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com hipotenusa 12√2 𝑐𝑚. Cada triângulo 
cinza é semelhante a um triângulo preto e possui dois lados de medida 10 𝑐𝑚. 
Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, em 𝑐𝑚2, 
a) 344. b) 456. c) 582. d) 628. e) 780. 
3. (Unicamp/2019) 
No triângulo 𝐴𝐵𝐶 exibido na figura a seguir, 𝐴𝐷 é a bissetriz do ângulo interno em 𝐴, e 
𝐴𝐷 = 𝐷𝐵. 
Professor Marçal 
ENEM 
83 
121 
 
Geometria Plana – Parte 2 
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O ângulo interno em A é igual a 
a) 60°. b) 70°. c) 80°. d) 90°. 
4. (Unicamp/2019) 
No triângulo 𝐴𝐵𝐶 exibido na figura a seguir, 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐴𝐵, e 𝑁 é o 
ponto médio do lado 𝐴𝐶. 
 
Se a área do triângulo 𝑀𝐵𝑁 é igual a 𝑡, então a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a 
a) 3𝑡. b) 2√3𝑡. c) 4𝑡. d) 3√2𝑡. 
5. (Inédito/2019) 
O segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ representa o diâmetro da circunferência de raio unitário e 
centro 𝑂 no diagrama a seguir. 
 
Professor Marçal 
ENEM 
84 
121 
 
Geometria Plana – Parte 2 
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Sendo 𝐶 um ponto qualquer da circunferência, a área da região destacada, em função 
de 𝛼, é igual a: 
𝑎) 𝜋 − 2𝛼 − sen(2𝛼) 
𝑏) 
𝜋
2
− 2𝛼 + sen(2𝛼) 
𝑐) 𝜋 +
𝜋
sen2(𝛼)
− sen(𝛼) 
𝑑) 𝜋 + 2 − sen2(𝛼) 
𝑒) 
𝜋 − 2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)
2
 
6. (Fuvest/2018) 
Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono 
estrelado, conforme a figura. 
 
A soma 𝛼1 +⋯+ 𝛼8 vale 
a) 180° b) 360° c) 540° d) 720° e) 900° 
7. (Fuvest/2018) 
O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal 
desenhada é um diâmetro dessa circunferência. 
 
Professor Marçal 
ENEM 
85 
121 
 
Geometria Plana – Parte 2 
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Sendo 𝑥 e 𝑦 as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em 
função de 𝑥 e 𝑦, é: 
𝑎) 𝜋 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑦) 
𝑏) 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑦) 
𝑐) 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(2𝑦) 
𝑑) 𝜋 −
cos(2𝑥) + cos (2𝑦)
2
 
𝑒) 𝜋 −
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑦)
2
 
8. (Unesp/2018) 
A figura indica um trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 no plano cartesiano. 
 
A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a 
a) 160 b) 185 c) 180 d) 170 e) 155 
9. (Fuvest/2017) 
Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento 𝐴𝐵 = 4 e 𝐵𝐶 = 2. Sejam 𝑀 o 
ponto médio do lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝑁 o ponto médio do lado 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Os segmentos 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ interceptam 
o segmento 𝐵𝑁̅̅ ̅̅ nos pontos 𝐸 e 𝐹, respectivamente. 
Professor Marçal 
ENEM 
86 
121 
 
Geometria Plana – Parte 2 
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A área do triângulo 𝐴𝐸𝐹 é igual a 
𝑎) 
24
25
 𝑏) 
29
30
 𝑐) 
61
60
 𝑑) 
16
15
 𝑒) 
23
20
 
10. (Fuvest/2017) 
O retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura, tem lados de comprimento 𝐴𝐵 = 3 e 𝐵𝐶 =
4. O ponto 𝑃 pertence ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝑃 = 1. Os pontos 𝑅, 𝑆 e 𝑇 pertencem aos lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , respectivamente. O segmento 𝑅𝑆̅̅̅̅ é paralelo a 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e intercepta 𝐷𝑃̅̅ ̅̅ no ponto 𝑄. O 
segmento 𝑇𝑄̅̅ ̅̅ é paralelo a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
 
Sendo 𝑥 o comprimento de 𝐴𝑅̅̅ ̅̅ , o maior valor da soma das áreas do retângulo 𝐴𝑅𝑄𝑇, 
do triângulo 𝐶𝑄𝑃 e do triângulo 𝐷𝑄𝑆, para 𝑥 variando no intervalo aberto ]0,3[, é 
𝑎) 
61
8
 𝑏) 
33
4
 𝑐) 
17
2
 𝑑) 
35
4
 𝑒) 
73
8
 
11. (Unesp/2017) 
Na figura, o losango 𝐹𝐺𝐶𝐸 possui dois lados sobrepostos