Aula 1 - Engenharia Civil - Concreto

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PROFESSOR: BRUNO BICA, ME.
Estruturas de 
Concreto
ESTRUTURAS DE CONCRETO
AULA 5: Dimensionamento de vigas sob flexão
• Sistema estrutural constituído de pilar + viga + pilar;
• Alvenaria apoiada sobre a viga;
• A viga vai tender a fletir (sofrer uma flexão!)
UC 019 ESTRUTURAS DE CONCRETO
5,0 m
2,80 m
0,2 m0,2 m
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5,0 m
2,80 m
0,2 m0,2 m
• A viga deve suportar as cargas descarregadas nela;
• O movimento ocorrido na viga resultante dessa flexão pode 
ser admissível até certo ponto...
• Como dimensionar essa viga (definir a armadura e a seção 
transversal) para que ela resista a estes esforços gerando 
deformações admissíveis?
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5,0 m
2,80 m
0,2 m0,2 m
• Pilares são representados como apoios;
• Alvenaria (por exemplo) é representada como carga distribuída;
• Comprimento da viga: de eixo a eixo dos pilares:
𝑙 = 0,1 + 5,0 + 0,1 = 5,2 𝑚
5,2 m
Introdução
• Relembrando a definição de VIGA: elemento linear (uma das dimensões –
comprimento – muito maior que as outras duas dimensões – seção transversal):
• EIXO LONGITUDINAL: A linha que une o centro de gravidade de todas as seções
transversais;
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Introdução
• Submetemos esse elemento linear a cargas perpendiculares ao eixo
longitudinal;
• O elemento linear desenvolve em sua seções transversais solicitações de
momento fletor (M) e esforço cortante (C), sendo M responsável pela flexão e
C responsável pelo cisalhamento da viga;
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Lembrete: o momento fletor pode ser
considerado como a tendência dessa viga
em girar em torno de um eixo.
Tipos de flexão
• Flexão pura: quando o único esforço interno é o momento fletor. Ou seja, 
esforço cortante e esforço normal nulos (𝐶 = 𝑁 = 0 e 𝑀 ≠ 0);
• Flexão simples: quando não há esforço normal atuando na seção. Esforço 
cisalhante e momento fletor são considerados (𝑁 = 0, 𝐶 ≠ 0 e 𝑀 ≠ 0);
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Tipos de flexão
– Flexão normal (reta): quando o plano de carregamento (ou de sua 
resultante) é perpendicular à linha neutra (LN = linha da seção transversal em 
que a tensão é nula);
– Flexão oblíqua: quando o plano de carregamento não é normal à LN (comum 
em pilares);
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Tipos de flexão: viga biapoiada apoiada
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Trecho Cortante Normal Momento fletor Tipo de flexão
AB ≠0 Nula ≠0 Flexão simples
BC Nula Nula ≠0 Flexão pura
CD ≠0 Nula ≠0 Flexão simples
𝑴𝒎á𝒙
Armadura de flexão
• A armadura de flexão (longitudinal) é a armadura que vai resistir aos esforços 
causados pelo momento fletor (tensões normais na seção);
• O cálculo da armadura é feita no ELU (estado limite que leva a ruptura):
– Impõe que, na seção mais solicitada, sejam alcançadas as deformações 
específicas limites dos dois materiais;
–OU SEJA, o ELU pode ocorrer pela ruptura do concreto comprimido e/ou pela 
deformação excessiva da armadura tracionada.
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Relembrando...
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Abordaremos no curso o cálculo para C20 até C50;
• Concreto
𝜀𝑐2= deformação especifica do concreto no limite 
elástico-plástico;
𝜀𝑐𝑢= deformação específica do concreto no 
limite de ruptura;
Relembrando...
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• Aço
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
ε𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝒅
𝑬𝑠
𝑓𝑦𝑘= resistência característica de escoamento;
𝑓𝑦𝑑= resistência de escoamento de cálculo;
𝜀𝑦𝑑= deformação específica que corresponde ao 
início do patamar de escoamento;
AÇO 𝒇𝒚𝒌 (MPa) 𝜺𝒚𝒅 (%)
CA25 250 0,104
CA50 500 0,207
CA60 600 0,248
• Viga de concreto armado biapoiada sujeita a um carregamento crescente = momento
fletor crescente (de zero até o valor que leve a viga ao colapso);
• A seção transversal da viga, submetida ao momento fletor crescente, passa por três
níveis de deformação (ESTÁDIOS);
• Os estádios determinam o comportamento da peça até sua ruptura.
Processo de colapso de vigas sob tensões normais
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ESTÁDIO I: Momento fletor 𝑀𝐼 de pequena intensidade;
• 𝑀𝐼 provoca tensões de tração (𝜎𝑐𝑡 ) que não ultrapassam a resistência à tração do
concreto (𝑓𝑐𝑡);
• O aço não trabalha, pois o concreto sozinho resiste à tensão de tração imposta;
ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
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𝑅𝐶𝐶: resultante das tensões no
concreto comprimido;
𝑹𝒄𝒕 : resultante do concreto
tracionado;
ℎ: altura total da viga;
𝑑: altura útil da viga (até o CG
das barras de aço tracionadas);
𝜎 =
𝑀. 𝑦
𝐼
• Estádio I acaba quando 𝜎𝑐𝑡 = 𝑓𝑐𝑡, ou seja, quando se inicia a fissuração;
• É no Estádio I que é feito o cálculo do momento de fissuração, que separa o estádio
I do estádio II. Conhecido o momento de fissuração, é possível calcular a armadura
mínima, de modo que esta seja capaz de absorver, com adequada segurança, as
tensões causadas por um momento fletor de mesma magnitude.
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ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
𝑅𝐶𝐶: resultante das tensões no
concreto comprimido;
𝑅𝑐𝑡 : resultante do concreto
tracionado;
ℎ: altura total da viga;
𝑑: altura útil da viga (até o CG
das barras de aço tracionadas);
ESTÁDIO II: Estado de fissuração;
• 𝑀𝐼𝐼 provoca tensões de tração (𝜎𝑐𝑡) superiores a resistência à tração do concreto (𝑓𝑐𝑡);
• Não se considera mais a resistência à tração do concreto (está fissurado) e apenas o
aço passa a resistir as tensões de tração;
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ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
𝑅𝐶𝐶: resultante das tensões no
concreto comprimido;
𝑹𝒔: resultante da força no aço
tracionado;
• A parte comprimida da seção ainda mantém um diagrama linear de tensões,
permanecendo válida a lei de Hooke;
• O estádio II termina com o início da plastificação do concreto comprimido.
• O estádio II é utilizado para a verificação da peça em serviço (estado limite de abertura
de fissuras e de deformações excessivas).
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ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
ESTÁDIO III: ELU
• Aumenta-se o momento fletor até o valor próximo ao de ruína do elemento (𝑀𝑢);
• Fibras mais comprimidas do concreto começa a plastificar a partir de 𝜀𝑐2 = 2‰, atingindo, sem
aumento de tensão, a 𝜀𝑐𝑢 = 3,5‰;
• O diagrama de tensões tende a ficar uniforme (vertical) = quase todas as fibras trabalham com
sua tensão máxima de compressão (2‰ e 3,5‰);
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Diagrama parábola-
retângulo
ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
• A peça está bastante fissurada com as fissuras aproximando-se da LN, fazendo com
que sua profundidade diminua e a região comprimida do concreto também;
• É no estádio III que é feito o dimensionamento (“cálculo na ruptura” ou “cálculo do
estádio III”).
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ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
a. As seções transversais permanecem planas após a deformação;
b. Perfeita aderência entre os materiais: a deformação específica de uma barra da
armadura é igual a deformação específica do concreto adjacente;
c. A resistência à tração do concreto deve ser desprezada no ELU;
d. O encurtamento do concreto convencional no ELU é 𝜺𝒄𝟐 = 2,0%o e 𝜺𝒄𝒖 = 3,5%o;
e. O alongamento máximo da armadura de tração é 10%o;
f. A tensão na armadura é obtida a partir do diagrama tensão-deformação;
g. Admite-se que a distribuição de tensões no concreto no ELU seja feita com base no
diagrama tensão deformação simplificado;
Hipóteses de cálculo (NBR 6118 – item 17.2.2)
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• Diagrama parábola-retângulo: parábola de 2º grau com vértice na tensão correspondente a 𝜀 = 𝜀𝑐2
+ trecho reto correspondente a deformações entre 𝜀𝑐2 (0,2%) e 𝜀𝑐𝑢 (0,35%);
• Diagrama retangular equivalente: retângulo com 𝜎𝑐𝑑 = 0,85 𝑓𝑐𝑑 ou 𝜎𝑐𝑑 = 0,80 𝑓𝑐𝑑 e profundidade 𝑦 =
0,8 𝑥
DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO SIMPLIFICADO
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Porque realizar uma nova redução do valor da resistência do concreto??
𝜎𝑐𝑑 = 0,85 𝑜𝑢 0,80 . 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑑=
𝑓𝑐𝑘
1,4
Principalmente: Efeito Rusch
• O concreto tem resistência maior para cargas aplicadas rapidamente (ensaios de determinação de
fck);
• Na prática: peças estruturais submetidas a cargas permanentes que atuam durante toda a vida da
estrutura;
• Quando o carregamento é feito de forma lenta (com carga mantida), atinge-se a ruptura com
valor abaixo de fc;
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• d - altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada e a fibra mais
comprimida do concreto;
• d’ – distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima da
seção transversal (fibra mais tracionada do concreto);
• MSd ou 𝑴𝒅– Momento solicitante de cálculo na seção (gerado pelas combinações últimas das ações);
• MRd – Momento resistente de cálculo (calculado com fcd e fyd): máximo momento que a seção pode resistir
(deve-se ter sempre 𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑);
• bw – Largura da seção transversal de vigas;
• h – Altura total da seção transversal da peça;
• z – Braço de alavanca: distância entre o ponto de aplicação da resultante das tensões normais de
compressão no concreto e da resultante das tensões normais de tração no aço;
• x – Profundidade ou altura da LN:;
• y – Altura da LN convencional: do diagrama retangular.
Definições e nomenclatura
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z
d’
• Situações de ruína!
• A ruína é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto
e do aço que atingem (uma delas ou ambas) os valores máximos desses
materiais;
• SEIS domínios de deformação: conjuntos de 𝜀 do concreto e do aço ao longo
de uma seção transversal retangular.
O encurtamento do máximo do concreto convencional é 3,5%o;
O alongamento máximo da armadura de tração é 10%o;
Domínios de deformação no ELU
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Domínios de deformação no ELU
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Domínios de deformação no ELU
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Seção transversal indeformada
= 2%o = 3,5%o
Armadura
Topo da viga = encurtando
Armadura = alongando 
(tracionada), 𝜀𝑠 = 1%
Ponto de deformação nula
Domínios de deformação no ELU
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Reta a:
• Tração uniforme: linha correspondente ao
alongamento constante e igual a 10%o;
• Admite-se que LN fica no infinito, pois não
há ponto de deformação nula (x=-∞);
Domínio 1:
INÍCIO FIM
𝜀𝑐 10%o 0
𝜀𝑠 10%o 10%o
𝑥 -∞ 0
• Ruptura se dá por um alongamento excessivo da armadura;
• Não tem compressão no concreto (só o aço trabalha) = situação não econômica!
Domínios de deformação no ELU
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Domínio 2:
𝑥
3,5
=
(𝑑 − 𝑥)
10
𝑥l𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑜𝑚2 = 0,259. 𝑑
INÍCIO FIM
𝜀𝑐 0 3,5%o
𝜀𝑠 10%o 10%o
𝑥 0 0,259.d
• Aço ainda na deformação limite;
• Concreto com deformação entre 0 e 𝜀𝑐𝑢;
x
Domínios de deformação no ELU
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Domínio 3:
INÍCIO FIM
𝜀𝑐 3,5%o 3,5%o
𝜀𝑠 10%o 𝜀𝑦𝑑 = 2,07%o 
(CA-50)
𝑥 0,259.d 0,628.d 
(CA-50)
• Situação IDEAL = os dois materiais são aproveitados em seus limites;
• Ruína ocorre com aviso prévio = aço escoando, antes de romper apresenta grandes 
deformações;
𝑥
3,5
=
(𝑑 − 𝑥)
2,07
𝑥l𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑜𝑚3 = 0,628. 𝑑
Domínios de deformação no ELU
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Domínio 4:
INÍCIO FIM
𝜀𝑐 3,5%o 3,5%o
𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 = 2,07%o 
(CA-50)
0
𝑥 0,628.d 
(CA-50)
d
• Ruína frágil = aço não escoou;
• Só o concreto está trabalhando;
• Peças que trabalham neste domínio são chamadas superarmadas e antieconômicas, pois o aço 
não é utilizado com toda sua capacidade resistente; 
Domínios de deformação no ELU
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Domínio 4a:
INÍCIO FIM
𝜀𝑐 3,5%o 3,5%o
𝜀𝑠 0 comprimida
𝑥 d h
• O concreto alcança a ruptura e o aço trabalha sob compressão;
• Ruptura frágil.
Domínios de deformação no ELU
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Domínio 5:
• Início: fim do domínio 4a;
Fim: reta b;
(Giro no ponto C)
• Na reta B, o concreto rompe com 𝜀𝑐 =
2,5%o;
• LN está fora da seção:;
• Ponto C:
𝑎
1,5
=
𝑎 − ℎ
2
𝑎 =
3
7
ℎ
• Seção transversal está toda
comprimida.
Reta b:
• Tem-se deformação uniforme de
compressão, com encurtamento igual a
2‰;
• Neste caso, x tende para + ∞.
a
• A dedução das equações será realizada considerando vigas com seção transversal
retangular;
• Conhecidos: fck do concreto, largura da seção (bw), altura útil (d) e o tipo de aço (fyd e
𝜀𝑦𝑑), o cálculo da quantidade de armadura longitudinal é feito de maneira simples a partir
do equilíbrio das forças atuantes na seção transversal;
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Dimensionamento a flexão
• Para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição
da LN no ELU deve obedecer ao limite (imposto pelo item 14.6.4.3 NBR
6118:2014) de:
𝒙/𝒅 ≤ 𝟎, 𝟒𝟓 para concretos até C50
• Assim, o dimensionamento fica limitado ao domínio 2 e apenas parte do domínio 3;
Lembrando:
limite domínios 2-3: x/d = 0,259
limite domínios 3-4: depende do tipo de aço, para CA-50 vale x/d = 0,628
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Dimensionamento a flexão
• A seção transversal da viga de concreto armado necessita apenas de armadura
longitudinal tracionada;
• Pode haver armadura longitudinal na região comprimida, porém apenas por questões
construtivas (armadura de montagem para amarração dos estribos);
• OU SEJA, na seção com armadura simples as tensões de compressão são resistidas
unicamente pelo concreto e as de flexão/tração, pelo aço na região tracionada;
• Para o equacionamento, parte-se das equações fundamentais do equilíbrio de um corpo
qualquer:
∑𝐹 = 0 e ∑𝑀 = 0
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Armadura simples
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𝑏𝑤
Seção transversal de uma viga retangular de base 𝒃𝒘 e altura 𝒉, sob flexão simples (solicitada pelo momento 𝑴), com
armadura de área 𝑨𝒔;
A área de concreto comprimido 𝑨𝒄
′ é delimitada pela LN, que é demarcada pela distância 𝒙;
A altura útil 𝒅 é a distância da fibra mais comprimida de concreto até o CG da armadura tracionada.
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𝑏𝑤
Diagrama de deformação ao longo da altura da seção;
Mostra as deformações de compressão no concreto até a máxima deformação de encurtamento do concreto comprimido (𝜺𝒄𝒅)
e a deformação correspondente na armadura tracionada (𝜺𝒔𝒅)
Diagrama retangular simplificado com distribuição de tensões de compressão, com altura 𝑦 = 0,8 . 𝑥 e largura 𝜎𝑐𝑑 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑;
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Equilíbrio das FORÇAS
• Na flexão simples não existem forças solicitantes externas, assim, a resultante da
força atuante no concreto (𝑅𝑐𝑐) deve ser igual à força atuante na armadura (𝑅𝑠𝑡):
∑𝐹 = 0
𝑅𝑐𝑐 − 𝑅𝑠𝑡 = 0
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑠𝑡
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Equacionamento
(Eq.1)
• Sabendo que 𝜎 = 𝐹/𝐴, consequentemente 𝐹 = 𝜎 . 𝐴. Temos:
𝑅𝑐𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 . 𝐴𝑐
′
𝑅𝑠𝑡 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠
E do diagrama retangular simplificado:
𝐴𝑐
′ = 𝑏𝑤 . 𝑦 𝑦 = 0,8 . 𝑥 𝜎𝑐𝑑 = 0,85 . 𝑓𝑐𝑑
• Substituindo na Eq. 2, obtemos:
𝑅𝑐𝑐 = 0,85 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 0,8 𝑥
𝑅𝑐𝑐 = 0,68 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑥
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Equacionamento
(Eq.4)
(Eq.2)
(Eq.3)
Equilíbrio dos MOMENTOS
• O momento das forças internas em relação a qualquer ponto (no caso, em relação ao CG da
armadura) (𝑀𝑟) deve ser igual ao momento externo de cálculo (𝑀𝑠):
∑𝑀 = 0
𝑀𝑟 −𝑀𝑠 = 0
𝑀𝑟 = 𝑀𝑠 = 𝑀𝑑
• Assim, temos:
Momento resistente interno proporcionado pelo concreto comprimido: 𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 . 𝑧
Momento resistente interno proporcionado pela armadura tracionada: 𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 . 𝑧
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Equacionamento
Momento fletor de dimensionamento (ou projeto) 
𝑴𝒅 = 𝟏, 𝟒 .𝑴
(Eq.5)
(Eq.6)
• Do diagrama retangular simplificado temos que
𝑧 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥
• Portanto, substituindo nas Eq. 5 e 6:
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 . (𝑑 − 0,4. 𝑥)
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 . (𝑑 − 0,4. 𝑥)
• Substituindo Eq. 4 em Eq. 7:
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤 . 𝑥 (𝑑 − 0,4. 𝑥)
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥 . 𝑑 − 0,272 . 𝑥2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
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Equacionamento
(Eq.7)
(Eq.8)
(Eq.9)
Equação para calcular o momento resistente da viga!
Braço de alavanca
• Resolvendo a Eq.9, obtém-se 𝑥, o qual define a posição da LN:
𝑥 =
0,68 . 𝑑 ± 0,68. 𝑑 2 − 4 . 0,272 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
0,544
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Posição da LN
(Eq.10)
Equação para calcular LN!
• A verificação do domínio de deformação em que a peça atingirá o ELU depende da determinação da
posição da LN, conforme Eq.10;
• Calculado o valor de 𝒙 , compara-se com os valores de 𝒙 limites de cada domínio de
deformação:
limite domínios 2-3: 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗 . 𝒅
limite domínios 3-4 depende do tipo de aço, para CA-50: 𝒙 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟖. 𝒅
• Lembrando: a NBR 6118 limita a profundidade da LN (𝑥/𝑑 ≤ 0,45 para concretos até C50), de modo a
garantir o comportamento dúctil da peça;
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Verificação do domínio
𝜀𝑐
𝜀𝑠
𝑥
𝑑
𝑥
𝜀𝑐
=
𝑑
𝜀𝑐+𝜀𝑠
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐+𝜀𝑠
• A verificação do domínio de deformação em que a peça atingirá o ELU depende da
determinação da posição da LN, conforme Eq.10;
• Calculado o valor de 𝒙, compara-se com os valores de 𝒙 limites de cada domínio de
deformação!
𝒙 limite domínios 2-3 = 0,259.d
𝒙 limite domínios 3-4 = depende do tipo de aço, para CA-50 vale 0,628.d
• CASO a profundidade de LN exceda o limite, será necessário aumentar a altura útil da seção
(ou utilizar armadura de compressão, como será visto adiante);
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Verificação do domínio
• CASO a profundidade de LN exceda o limite de ductilidade imposto, alguma alteração deve ser proposta;
• Vamos observar a equação 10, de determinação da profundidade da LN:
• Assim, remetem-se as possíveis formas de reduzir o valor de x:
– Reduzindo o valor do momento fletor solicitante (𝑀𝑑);
– Aumentando a altura útil 𝑑 e, consequentemente, toda a altura da viga;
– Aumentando a largura da viga (𝑏𝑤)
– Aumentando a resistência do concreto (𝑓𝑐𝑑);
• Na prática e pela maior eficiência na equação: aumento da altura da viga;
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Verificação do domínio
𝑥 =
0,68 . 𝑑 ± 0,68. 𝑑 2 − 4 . 0,272 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
0,544
→ Vem da concepção estrutural
→ Quase sempre implica em aumento significativo de custos
• Substituindo a Eq.3 na Eq.8:
𝑀𝑑 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 . 𝑑 − 0,4. 𝑥
Isolando 𝐴𝑠:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠𝑑(𝑑 − 0,4. 𝑥)
Admitindo domínio 2 e parte do 3 (limitado a x = 0,45.d). Em qualquer destes domínios o
aço já escoou e, portanto, 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑. Assim,
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 . 𝑧
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Área necessária de armadura
(Eq.12)
(Eq.11)
Equação para calcular a área de aço da viga!
Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com 𝑏𝑤 =
0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚 sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a área de aço da armadura
longitudinal necessária (𝐴𝑠).
RESOLUÇÃO:
o Determinação do momento de cálculo:
𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀
𝑀𝑑 = 1,4 . 12,2 𝑘𝑁.𝑚
𝑴𝒅 = 𝟏𝟕, 𝟎𝟖 𝒌𝑵.𝒎
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Exercício 1
o Determinação da posição da LN (utilizo Eq 10):
Do enunciado: 𝑑 = 0,29 𝑚 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 = 20000 kN/m² (concreto C20)
𝑥 =
0,68 . 0,29 𝑚 ± 0,68.0,29 𝑚 2 − 4 . 0,272 .
17,08 𝑘𝑁.𝑚
0,12 𝑚 .
20000 𝑘𝑁/𝑚²
1,4
0,544
𝑥 =
0,1972 ± 0,028048
0,544
𝑥1 =
0,1972 + 0,028048
0,544
= 0,67 𝑚 = 67 𝑐𝑚
𝑥2 =
0,1972 − 0,028048
0,544
= 0,0546 𝑚 = 5,46 𝑐𝑚
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Exercício 1
⟶ Fora da seção transversal
⟶ Posição da LN
o Verificação do domínio:
Posição da LN no problema: 𝑥 = 0,0546 𝑚
Dos domínios de deformação: 𝒙𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞𝟐−𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟗 . 𝒅
Como 𝑑 = 0,29 𝑚, temos
𝑥
𝑑
=
0,0546
0,29
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟖 < 𝟎, 𝟐𝟓𝟗
Como o 𝒙/𝒅 do problema é menor que o 𝒙/𝒅 limite do domínio 2, temos que a seção
transversal analisada está no domínio 2.
Lembrando: no domínio 2 o aço já escoou, portanto 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
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Exercício 1
o Cálculo de As (Eq.12)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 . 𝑧
Dados:
𝑀𝑑 = 17,08 𝑘𝑁.𝑚 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 (𝐶𝐴 − 50) 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
Braço de alavanca: 𝑧 = 𝑑 − 0,4. 𝑥 𝑑 = 0,29 𝑚 𝑥 = 0,0546 𝑚
𝐴𝑠 =
17,08 𝑘𝑁.𝑚
50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
1,15
. (0,29 𝑚 − 0,4 . 0,0546 𝑚)
𝑨𝒔 = 𝟏, 𝟒𝟔 𝒄𝒎²
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Exercício 1
𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 = 50 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C30 e aço CA-50, com 𝑏𝑤 =
0,15 𝑚 e 𝑑 = 0,35 𝑚 sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 14,5 𝑘𝑁.𝑚, determinar a área de aço da armadura
longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Exercício 2
• Agora deseja-se calcular o momento resistente máximo (𝑀𝑑 máx) sendo conhecida a
armadura longitudinal;
• Ao ser fixada a área de aço, a posição da LN fica automaticamente determinada e
o valor encontrado não pode ser maior que 𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟓 . 𝒅;
𝑥 =
𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑑
0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
• O procedimento consiste em determinar 𝑥 (através da Eq. 13) e verificar a condição
imposta (𝑥 deve ser menor que 0,45 . 𝑑);
• EM CASO AFIRMATIVO, segue para o calculo de 𝑀𝑑 em função da área de aço (Eq. 11) e
considerando 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 → dado o domínio, o aço já escoou;
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Momento máximo resistente (𝑀𝑑 𝑚á𝑥) conhecendo 𝐴𝑠
(Eq.13)
𝑀𝑑 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 . 𝑑 − 0,4. 𝑥 (Eq.11)
Lembrando: 𝑀𝑑 = 1,4 .𝑀
Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de CA, com largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 e 𝑑 =
17,65 𝑐𝑚 para uma armadura As = 0,5 cm². Dados: CA 50 e fck 20 MPA (20.000 kN/m²)
RESOLUÇÃO:
o Profundidade da LN:
o Considerando-se inicialmente que a seção trabalhe nos domínios 2 e 3 (𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑)
𝑥 =
𝐴𝑠 .𝑓𝑦𝑑
0,68 .𝑏𝑤 .𝑓𝑐𝑑
= 𝑥 =
0,5 .(
50
1,15
)
0,68 .0,12.(
20000
1,4
)
= 0,0186 m
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Exercício 3
Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de CA, com largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 e 𝑑 =
17,65 𝑐𝑚 para uma armadura As = 0,5 cm². Dados: CA 50 e fck 20 MPA (20.000 kN/m²)
RESOLUÇÃO:
o Verificação da posição da linha neutra (domínio) em que a viga trabalha:
o Com os limites entre os domínios 2 e 3 e entre 3 e o limite de x = 0,45 d, verificamos a posição da LN
para o valor encontrado (x = 0,0186 m)
𝑋2−3 = 0,259 . d
𝑋2−3 = 0,259 . 0,1765 m = 0,0457 m
𝑋0,45 = 0,45 . d 
𝑋0,45 = 0,45 . 0,1765 = 0,0794 m
0,0186 m < 0,0457 m Estamos no domínio 2
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Exercício 3
Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de CA, com largura 𝑏𝑤 = 12 𝑐𝑚 e 𝑑 =
17,65 𝑐𝑚 para uma armadura As = 0,5 cm². Dados: CA 50 e fck 20 MPA (20.000 kN/m²)
RESOLUÇÃO:
o Cálculo do momento resistente:
𝑀𝑑 = 50 kN/cm²/1,15 . 0,5 cm² .(0,1765 m – 0,4 . 0,0186 m)
Md = 3,675 kN.m (Momento resistente da viga)
Md = M . 1,4 ~~isolando M~~ M = Md / 1,4 
M = 3,675 / 1,4 = 2,625 kN.m (Máximo momento que pode atuar na viga; 1,4 = coeficiente que 
minora as cargas)
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Exercício 3
𝑀𝑑 = 𝜎𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 . 𝑑 − 0,4. 𝑥
Determinar o domínio e o momento resistente de uma viga de seção retangular de CA, com largura 𝑏𝑤 =
12 𝑐𝑚 e 𝑑 = 17,65 𝑐𝑚 para uma armadura As = 2 cm². Dados: CA 50 e fck 20 MPA (20.000 kN/m²)
Resp.:
Md = 12,753 kN. M
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Exercício 4
• Para o cálculo de 𝑑𝑚𝑖𝑛 deve-se impor 𝑥/𝑑 = 0,45 no cálculo de 𝑀𝑑;
• Chamando-se 𝜉 =
𝑥
𝑑
, tem-se 𝑥 = 𝜉. 𝑑, que colocado na equação acima:
𝑀𝑑 = 0,68. 𝜉. 𝑑2 − 0,272. 𝜉2. 𝑑2
• Isolando-se d, tem-se:
𝑑 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑 . 0,68. 𝜉 − 0,272. 𝜉2
• Como x/d = 0,45 e 𝜉 =
𝑥
𝑑
, então, 𝜉 = 0,45. Substituindo-se na equação 3.14 obtém-se dmín.
𝑑𝑚í𝑛 = 2.
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
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Altura útil mínima de uma seção com armadura simples 
(𝑑𝑚𝑖𝑛)
(Eq.9)𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥 . 𝑑 − 0,272 . 𝑥2. 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
(Eq.14)