Aula 5 e 6 - Pavimento de edifico em concreto

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PROFESSOR: BRUNO BICA, ME.
Estruturas de Concreto
ESTRUTURAS DE CONCRETO
AULA 6: Dimensionamento de vigas sob flexão – Armadura
Dupla
• Para o cálculo de 𝑑𝑚𝑖𝑛 deve-se impor 𝑥/𝑑 = 0,45 no cálculo de 𝑀𝑑;
• Chamando-se 𝜉 =
𝑥
𝑑
, tem-se 𝑥 = 𝜉. 𝑑, que colocado na equação acima:
𝑀𝑑 = 0,68. 𝜉. 𝑑2 − 0,272. 𝜉2. 𝑑2
• Isolando-se d, tem-se:
𝑑 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑓𝑐𝑑. 0,68. 𝜉 − 0,272. 𝜉2
• Como x/d = 0,45 e 𝜉 =
𝑥
𝑑
, então, 𝜉 = 0,45. Substituindo-se na equação 3.14 obtém-se dmín.
𝑑𝑚í𝑛 = 2.
𝑀𝑑
𝑏𝑤. 𝑓𝑐𝑑
Altura útil mínima de uma seção com armadura simples (𝑑𝑚𝑖𝑛)
(Eq.9)𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥 . 𝑑 − 0,272 . 𝑥2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
(Eq.14)
Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
• Sempre que possível, é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois facilitam o emprego de
diversos sistemas de unidades e permitem a utilização de quadros, de modo mais racional;
• Para concretos até C50, as equações ficam:
KMD – obtido a partir da equação de 𝑀𝑑:
𝑀𝑑 = 0,68 . 𝑥. 𝑑 − 0,272 . 𝑥2 . 𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
Dividindo os dois lados por 𝑏𝑤 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑 e chamando 𝑥/𝑑 = 𝐾𝑋:
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑑
2. 𝑓𝑐𝑑
= 0,68 . 𝐾𝑋 − 0,272 . (𝐾𝑋)²
Sendo que KX varia entre 0 e 1 (se 𝑥 = 0 então 𝐾𝑋 = 0; se 𝑥 = 𝑑 então 𝐾𝑋 = 1).
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
Braço de alavanca:
𝑧 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥
Dividindo os dois lados por 𝑑 e substituindo 𝑥/𝑑 = 𝐾𝑋:
𝐾𝑍 =
𝑧
𝑑
= 1 − 0,4 . 𝐾𝑋
Assim, teremos a equação de cálculo da armadura a partir de KZ:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 . 𝜎𝑠𝑑
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 . 𝑑. 𝜎𝑠𝑑
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
Equação que relaciona as deformações com a altura da LN:
𝑥
𝑑
=
ℇ𝑐
ℇ𝑐 + ℇ𝑠
Como 𝑥/𝑑 = 𝐾𝑋:
KX =
ℇ𝑐
ℇ𝑐+ℇ𝑠
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
Como KX só admite valores entre 0 e 1, pode-se construir um quadro em que cada KX corresponde a um
valor de KMD, KZ, 𝜀𝑐 e 𝜀𝑠;
Quadro 3.1 (Livro do CHUST, p. 142 e 143) – Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares para concretos até C50
O quadro contém valores referentes aos domínios 2, 3 e parte do 4, CONTUDO é importante ressaltar que
só tem validade os valores abaixo de 𝑲𝑿 = 𝒙/𝒅 = 𝟎, 𝟒𝟓, correspondente a 𝑲𝑴𝑫 ≈ 𝟎, 𝟐𝟓.
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Para d = 29 cm
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝐾𝑀𝐷 =
12,2 𝑥 1,4 𝑘𝑁.𝑚
0,12 𝑚 𝑥 0,292 𝑚 𝑥 20000/1,4 𝑘𝑁/𝑚²
𝐾𝑀𝐷 = 0,1184 ~ 0,12
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,12
KX = 0,1911
KZ = 0,9236
𝜺𝒄 = 2,3621
𝜺𝒔 = 10
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Cálculo da Armadura (As)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 . 𝑑. 𝜎𝑠𝑑
𝐴𝑠 =
17,08
0,9236 .0,29 .50/1,15
= 1,46 cm²
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Admitindo que não se conheça o valor da altura útil (d) da seção
𝑑𝑚í𝑛 = 2.
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑓𝑐𝑑
𝑑𝑚í𝑛 = 2.
17,08
0,12 . 20 000/1,4
𝑑𝑚í𝑛 = 0,199 ≈ 0,2 𝑚
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Cálculo do KMD
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑑
2.𝑓𝑐𝑑
𝐾𝑀𝐷 =
12,2 𝑥 1,4 𝑘𝑁.𝑚
0,12 𝑚 𝑥 0,22 𝑚 𝑥 20000/1,4 𝑘𝑁/𝑚²
𝐾𝑀𝐷 = 0,249 ~ 0,25
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Pela Tabela
𝐾𝑀𝐷 = 0,25
KX = 0,4479
KZ = 0,8208
𝜺𝒄 = 3,5
𝜺𝒔 = 4,314
Exemplo 1: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 12 cm e altura útil de 29 cm sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 12,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a
área de aço da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Cálculo da Armadura (As)
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 . 𝑑. 𝜎𝑠𝑑
𝐴𝑠 =
17,08
0,8208 .0,20 .50/1,15
= 2,39 cm²
Exemplo 2: Para uma seção retangular de concreto armado, preparada com concreto C20 e aço CA-50, com
largura de 15 cm e d = 32 cm e sob a ação de um momento fletor 𝑀 = 23,2 𝑘𝑁.𝑚, determinar a área de aço
da armadura longitudinal necessária (𝐴𝑠).
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Cálculo de seções com armadura dupla
• Até agora, aprendemos a dimensionar uma viga em função do momento fletor atuante
(𝑀𝑑) ao qual esta viga será submetida e deve resistir;
• Porém, podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto ou arquitetônicas
(por exemplo), seja necessário utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima
exigida por 𝑀𝑑;
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Cálculo de seções com armadura dupla
• Neste caso:
• Calcula-se 𝑀𝑙𝑖𝑚 que a seção consegue resistir com sua altura permitida e a armadura tracionada
(𝐴𝑠1), trabalhando no limite 𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟓. 𝒅, responsável por resistir a este 𝑀𝑙𝑖𝑚;
• A diferença entre o momento fletor atuante 𝑀𝑑 e o momento 𝑀𝑙𝑖𝑚 será chamada de 𝑀2 (𝑀2 = 𝑀𝑑 −
𝑀𝑙𝑖𝑚);
• 𝑀2 será resistido por uma armadura de compressão (𝐴𝑠
′ ) e, para que seja mantido o equilíbrio, por
uma adicional de tração (𝐴𝑠2);
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Cálculo de seções com armadura dupla
• O momento 𝑀lim pode ser obtido da seguinte maneira:
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 . 𝑏𝑤 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑
• A armadura tracionada (𝐴𝑠1) que resistirá ao momento 𝑀lim pode ser obtida como:
𝐴𝑠1 =
𝑀lim
𝑧𝑙𝑖𝑚. 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 0,4 . 𝑥𝑙𝑖𝑚 . 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠1 =
𝑀lim
(1 − 0,4. 𝐾𝑋)𝑙𝑖𝑚 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
Lembrando que, obrigatoriamente, a armadura 𝐴𝑠1 trabalha no limite 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 . 𝑑 , portanto
x
d
=
𝐾𝑋𝑙𝑖𝑚 = 0,45;
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Cálculo de seções com armadura dupla
• Como apresentado, o momento 𝑀2 é obtido por:
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
• A armadura tracionada (𝐴𝑠2) que resistirá ao momento 𝑀2 pode ser obtida como:
𝐴𝑠2 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ . 𝑓𝑦𝑑
• E a armadura comprimida (𝐴𝑠
′ ) que deve ser incluída para que seja mantido o equilíbrio, é calculada por:
𝐴𝑠
′ =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ . 𝜎𝑠𝑑
′
Assim, é preciso conhecer a deformação específica da armadura comprimida (𝜀𝑠
′) para determinar 𝜎𝑠𝑑
′ ;
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Cálculo de seções com armaduradupla
𝑑′ = 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 +
1
2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙_𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎
𝑑 = ℎ − 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 +
1
2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
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𝑑′
𝑑
Cálculo de seções com armadura dupla
• A partir de uma semelhança de triângulos no diagrama de deformações, pode-se obter a deformação
específica da armadura comprimida (𝜀𝑠
′):
𝜀𝑐
𝑥
=
𝜀𝑠
′
𝑥−𝑑′
Considerando que 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢 = 3,5‰ e que 𝑥 = 𝑥𝑙𝑖𝑚, teremos:
𝜀𝑠
′(%) =
0,35% .(𝑥𝑙𝑖𝑚−𝑑′)
𝑥𝑙𝑖𝑚
• Determinado 𝜀𝑠
′ , podemos determinar 𝜎𝑠𝑑
′ e, por fim, calcular 𝐴𝑠
′ .
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Cálculo de seções com armadura dupla
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da altura mínima da seção para um M = 45 kN.m
𝑑𝑚í𝑛 = 2.
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑓𝑐𝑑
𝑑𝑚í𝑛 = 2.
45 . 1,4
0,12 . 20 000/1,4
𝑑𝑚í𝑛 = 0,383 𝑚
Como d = 0,29 < 0,383 m →→ Armadura Dupla!
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo do momento Limite (𝑀𝑙𝑖𝑚)
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 . 𝑏𝑤 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 . 0,12 . 0,292.
20000
1,4
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 36,19 𝑘𝑁.𝑚
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da armadura 𝐴𝑠1
d’ = 2,5 + 0,6 + ½
d’ = 3,6 cm (distância da armadura comprimida até a borda 
comprimida, em que 0,6 cm é o diâmetro dos estribos e 1 cm 
é o diâmetro da armadura longitudinal)
𝑑 = 0,29 𝑚
𝑑′ = 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 +
1
2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙_𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎
𝑑 = ℎ − 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 +
1
2
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da armadura 𝐴𝑠1
𝐴𝑠1 =
𝑀lim
(1 − 0,4. 𝐾𝑋)𝑙𝑖𝑚 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠1 =
36,19
1 − 0,4 . 0,45 . 0,29 . 50/1,15
𝐴𝑠1 = 3,5 cm²
𝐾𝑋𝑙𝑖𝑚 = 𝑋𝑙𝑖𝑚/𝑑 = 0,45
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da armadura 𝐴𝑠2
𝐴𝑠2 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ . 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑠2 =
63 − 36,19
0,29 − 0,035 . 50/1,15
𝐴𝑠2 = 2,42 𝑐𝑚²
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da armadura 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2
𝐴𝑠 = 3,50 + 2,42
𝐴𝑠 = 5,92 𝑐𝑚²
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da armadura As’ (é necessário conhecer antes 𝜎𝑠𝑑
′ e, por fim, calcular 𝐴𝑠
′ . 
𝜀𝑠
′(%) =
0,35% . (𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′)
𝑥𝑙𝑖𝑚
𝜀𝑠
′(%) =
0,0035 . (0,45 . 0,29 − 0,035)
0,45 . 0,29
𝜀𝑠
′(%) = 2,56 x 10-³
𝜀𝑠
′(%) = 0,0025 > 0,00207 (fyd para CA50)
Pode-se adotar que 𝜎𝑠𝑑
′ = fyd
𝐾𝑋𝑙𝑖𝑚 = 𝑋𝑙𝑖𝑚/𝑑 = 0,45
𝑋𝑙𝑖𝑚/𝑑 = 0,45
𝑋𝑙𝑖𝑚 = 0,45 . d
Exemplo 3: Para um momento 𝑀 = 45 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,12 𝑚 e 𝑑 = 0,29 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙10 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Cálculo da armadura As’ (é necessário conhecer antes 𝜎𝑠𝑑
′ e, por fim, calcular 𝐴𝑠
′ . 
𝐴𝑠
′ =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ . 𝜎𝑠𝑑
′
𝐴𝑠
′ =
63 − 36,19
0,29 − 0,035 . 50/1,15
𝐴𝑠
′ = 2,41 cm²
Exemplo 4: Para um momento 𝑀 = 40 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,14 𝑚 e 𝑑 = 0,30 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙6𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙12 𝑚𝑚 e cobrimento de 2,5 cm.
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Exemplo 5: Para um momento 𝑀 = 55 𝑘𝑁.𝑚, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com
largura 𝑏𝑤 = 0,16 𝑚 e 𝑑 = 0,35 𝑚, com aço CA-50 e concreto C20. Considere estribos 𝜙8𝑚𝑚 e barras
longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de 𝜙16 𝑚𝑚 e cobrimento de 3 cm.
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Vigas de seção transversal “T”
• As vigas de seções T podem ser pré-moldadas ou originadas “naturalmente” do trabalho conjunto entre vigas
retangulares e partes das lajes adjacentes a esta viga;
• Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou nos dois lados) também se
deforma, comportando-se como se fosse parte da viga e colaborando com sua resistência;
• Dessa forma, a viga incorpora parte da laje e sua seção deixa de ser retangular, passando a ter a forma de um T;
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