4-DESCRIÇÃO-E-APRESENTAÇÃO-DE-DADOS

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Prof. Herondino
IV - Descrição e Apresentação dos Dados
Dados
A palavra "dados" é um termo relativo, tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partir de uma etapa podem ser considerados os "dados brutos" do próximo. (Wikipédia)
Dados Brutos
Em informática dados brutos (raw data) designam os dados/valores recolhidos e estocados tal qual foram adquiridos, sem terem sofrido o menor tratamento (Wikipédia)
Dados Brutos
Suponhamos o seguintes dados Brutos como sendo a idade de alunos de uma turma de informática 
14	12	13	11	12	13
16	14	14	15	17	14
11	13	14	15	13	12
14	13	14	13	15	16
12	12
Frequência
A frequência de uma observação é o número de repetições dessa observação no conjunto de observações, ou ainda, é o número de vezes que conjuntos de dados aparecem em uma “população”.
Distribuição de Frequência Simples ( )
		
	11	2
	12	5
	13	6
	14	7
	15	3
	16	2
	17	1
Dados ou variável (Idade)
Frequência 
(nº de Alunos)
 Frequências Relativas 
A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido pelo número total de observações.
	Variável (idade)	frequência absoluta
 (Nº de alunos)	frequência relativa
	11	2	2/26 = 0,0769
	12	5	5/26 = 0,1923
	13	6	6/26 = 0,2308
	14	7	7/26 = 0,2692
	15	3	3/26 = 0,1154
	16	2	2/26 = 0,0769
	17	1	1/26 = 0,0385
	TOTAL	= 26	1,0000
Frequência Acumulada
	Variável	freqüência absoluta	freqüência relativa	frequência
absoluta
acumulada	frequência 
relativa acumulada
	11	2	2/26 = 0,0769	2	2/26 = 0,0769
	12	5	5/26 = 0,1923	7	7/26 = 0,2692
	13	6	6/26 = 0,2308	13	13/26 = 0,5000 
	14	7	7/26 = 0,2692	20	20/26 = 0,7692 
	15	3	3/26 = 0,1154	23	23/26 = 0,8846
	16	2	2/26 = 0,0769	25	25/26 = 0,9615
	17	1	1/26 = 0,0385	26	26/26 = 1,0000
	TOTAL	= 26	 =1,0000		
Regras de arredondamento na Numeração Decimal
Norma ABNT NBR 5891
1) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação
Exemplo: 
 1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3
Regras de arredondamento na Numeração Decimal
2) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade
Exemplo
1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7.
4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.
Regras de arredondamento na Numeração Decimal
3) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.
Exemplo:
 4,550 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,6.
Regras de arredondamento na Numeração Decimal
4) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação.
Exemplo:
4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.
Atividade - III
Verificar a altura em centímetro de cada aluno da turma e construir uma sequência de Dados Brutos;
A partir dos Dados Brutos obtidos, construir a distribuição de frequência absoluta simples, a frequência relativa, frequência acumulada e frequência relativa acumulada. Para o arredondamento utilize a regra da ABNT 5891.
Apresentação dos dados
Quando se dispõe de um grande número de observações, torna-se extremamente difícil a leitura de valores colocados em tabela. 
Histograma
Um histograma é uma representação gráfica de uma única variável que representa a frequência de ocorrências (valores dos dados) dentro de categorias de dados.
O histograma tanto pode ser representado para as frequências absolutas como para as frequências relativas.
	Nota	nº de Alunos
	0	1
	1	1
	2	2
	3	4
	4	6
	5	8
	6	12
	7	10
	8	3
	9	2
	10	1
	Total	50
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	1	2	4	6	8	12	10	3	2	1	Polígono de Frequência
O Polígono de frequências é obtido ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	1	2	4	6	8	12	10	3	2	1	Sobrepondo 
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	1	2	4	6	8	12	10	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	1	2	4	6	8	12	10	3	2	1	Histograma de frequência acumulada (ou ogiva)
histograma de frequência acumulada (ou ogiva) é a representação gráfica do comportamento da frequência acumulada. 
Distribuição por Frequência Acumulada
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	2	4	8	14	22	34	44	47	49	50	Frequência Acumulada
Gráfico de Setores
É designado por um círculo, onde cada classe é representada por um setor circular, cujo ângulo é proporcional ao tamanho da amostra.
Gráfico de Setores
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	1	2	4	6	8	12	10	3	2	1	
Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
Para a determinação de classes não existe uma regra pré estabelecida, sendo necessário um pouco de tentativa e erro para a solução mais adequada.
1. Definir o número de classes
Se n representa o número de observações (na amostra ou na população, conforme for o caso) o número aproximado de classes pode ser calculado por Número de Classes = arredondando os resultados. 
Quando tratamos de variáveis quantitativas contínuas os valores observados devem ser tabulados em intervalos de classes. 
19
Exemplo
Nº de Classes = 
Fonte: Marques, 2013
Fazendo arredondamento para 6 
Altura em cm da Turma CA 2013
2. Calcular a amplitude das classes
 Essa será obtida conhecendo-se o número de classes e amplitude total dos dados. 
A amplitude total dos dados é o resultado da subtração valor máximo - valor mínimo da série de dados
Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
Exemplo
Rol
Fonte: Vaz,2013
3. Distribui a frequência dos dados agrupados por classe
O limite superior de cada classe é aberto (e consequentemente, o limite inferior de cada classe é fechado), ou seja, cada intervalo de classe não inclui o valor de seu limite superior, com exceção da última classe.
	(Nº de Ordem)	(Altura em cm)	( Nº de alunos)
	01	152 158	
	02	158 164	
	03	164 170	
	04	170 176	
	05	176 182	
	06	182 188	
	Total		
Limite Inferior
Limite Superior
Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
Distribuição de Frequência agrupadas em Classe
	(Nº de Ordem)	(Altura em cm)	( Nº de alunos)
	01	152 158	9
	02	158 164	8
	03	164 170	5
	04	170 176	4
	05	176 182	3
	06	182 188	1
	Total		
Fonte: Tillmann, 2013
Medidas de posição ou tendência central
1. Média Aritmética
Exemplo: 
A nota final (NF) do curso será dada pela fórmula:
Em que: 
AP – Avaliação Parcial
AF – Avaliação Final
Sendo AP (Avaliação Parcial) a média aritmética das atividades propostas (AT1, AT2,...,ATn)
 A cada AT será atribuído valores de 1 a 5.
Exemplo:
Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética 
A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:
2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.
A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras,
						é um mínimo. 
Exemplo
2. Média Ponderada
Medidas de posição ou tendência central
Onde é o peso da observação i
A universidade definiu que as avaliações parciais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadroabaixo e calcule a média do aluno.
Exemplo
8,0
0,30
0,30
Ap 2
9,0
9,6
Ap
nota
peso
Ap 1
Final
0,40
Média aritmética Ponderada em dados agrupados 
	(Nº de Ordem)	(Altura em cm)	( Nº de alunos)
	01	152 158	9
	02	158 164	8
	03	164 170	5
	04	170 176	4
	05	176 182	3
	06	182 188	1
	Total		
	( Ponto médio)	
		
		
		
		
		
		
		
Média aritmética Ponderada em dados agrupados 
	(Nº de Ordem)	(Altura em cm)	( Nº de alunos)
	01	152 158	9
	02	158 164	8
	03	164 170	5
	04	170 176	4
	05	176 182	3
	06	182 188	1
	Total		
	( Ponto médio)	
	155	1395
	161	1288
	167	835
	173	692
	179	537
	185	185
		4932
Mediana (Md)
A mediana é o valor do item central da série quando estes são arranjados em ordem de magnitude
Exemplo: 
2, 4, 5, 7, 8 		Md=5
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 	Md=9
3, 5 ,8 ,10, 15 ,21	Md=9
Para o calculo da mediana, têm-se:
Se a série for ímpar sua posição será dada por ou se for 
Par a sua posição é dada por
Mediana (Md)
Cálculo da mediana
Se série ímpar 
 Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
 
	
Md=2 
	1ª 	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	8ª	9ª
	0	0	1	1	2	2	3	4	5
Mediana (Md)
Cálculo da mediana
Se a sequência for par 
 
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }
 
	
	1ª 	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	8ª	9ª	10ª
	0	0	1	1	2	3	3	4	5	6
Mediana (Md) para valores agrupados
A partir da distribuição de frequência acumulada ou ogiva, inicialmente determina-se a classe que contem a mediana.
	(Nº de Ordem)	(Altura em cm)	
	01	152 158	9
	02	158 164	8
	03	164 170	5
	04	170 176	4
	05	176 182	3
	06	182 188	1
	Total		
		
	9	30
	17	57
	22	73
	26	87
	29	97
	30	100
		
Mediana (Md) para valores agrupados
mmm
17
9
158
164
Md
= limite de classe inferior da classe da mediana;
 = frequência acumulada da classe imediatamente anterior à classe da mediana;
= frequência absoluta simples da classe da mediana,
 
 = amplitude (tamanho) da classe da mediana.
Mediana (Md) para valores agrupados
Exemplo:
Moda (Mo)
É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
Exemplos: 
	a){ 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.
	b){ 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.
	c){ 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.
Moda (Mo) – Dados agrupados
Sem intervalo de classe: é o valor da variável de maior frequência.
Exemplo:
	Nota	nº de Alunos
	0	1
	1	1
	2	2
	3	4
	4	6
	5	8
	6	12
	7	10
	8	3
	9	2
	10	1
	Total	50
Moda (Mo) – Dados agrupados
Com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Nesta, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal (Moda Bruta).
	(Nº de Ordem)	(Altura em cm)	
	01	152 158	9
	02	158 164	8
	03	164 170	5
	04	170 176	4
	05	176 182	3
	06	182 188	1
	Total		
Método pela fórmula de CZUBER:
 : limite inferior da classe modal
 : frequência anterior a classe modal
 : frequência posterior a classe moda
 : frequência da classe modal
 : amplitude da classe modal
Moda (Mo) – Classes agrupada
		
	54 58	9
	58 62	11
	62 66	8
	66 70	5
Interpretação Geométrica
Atividade IV
Referência
BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002. 
MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
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i
x
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i
f
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N
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n
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,
5
30
@
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de
 
Total
 
Amplitude
 
=
 
classe
 
de
 
Amplitude
número
image16.wmf
Min
Valor 
-
Max
Valor 
 
=
 
Total
 
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6
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152
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Total
 
Amplitude
=
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x
x
x
X
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+
+
+
=
1
2
1
...
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AF
AP
NF
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image26.wmf
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ATn
AT
AT
AP
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+
+
=
...
2
1
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164
163,833...
30
188
...
156
155
154
154
152
152
@
=
+
+
+
+
+
+
+
=
X
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164
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=
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=
n
x
X
n
i
i
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-
0
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X
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i
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=
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X
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p
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p
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.
...
.
.
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P
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L
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_
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50
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_
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17
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164
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8
=
Md
f
image72.wmf
6
=
c
image73.wmf
6
8
9
2
/
)
1
30
(
158
×
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
=
Md
image74.wmf
6
8
9
5
,
15
158
×
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
=
Md
image75.wmf
6
8
5
,
6
158
×
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
Md
image76.wmf
87
,
4
158
+
=
Md
oleObject97.bin
oleObject98.bin
oleObject99.bin
oleObject90.bin
oleObject91.bin
oleObject92.bin
oleObject93.bin
oleObject94.bin
oleObject95.bin
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image78.wmf
155
2
158
152
2
)
(
sup
inf
=
+
=
Þ
+
=
Mo
L
L
Mo
oleObject100.bin
oleObject101.bin
oleObject102.bin
oleObject103.bin
image79.wmf
h
d
d
d
L
Mo
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
2
1
1
inf
image86.wmf
4
5
2
58
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
Mo
image87.wmf
6
,
59
6
,
1
58
=
+
=
Mo
image88.wmf
ant
f
f
d
Mo
-
=
1
image89.wmf
post
f
f
d
Mo
-
=
2
image90.wmf
post
f
image80.wmf
inf
L
image81.wmf
ant
f
image82.wmf
Mo
f
image83.wmf
h
image84.wmf
4
)
8
11
(
)
9
11
(
9
11
58
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
-
+
=
Mo
image85.wmf
4
3
2
2
58
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
Mo
oleObject111.bin
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oleObject113.bin
oleObject114.bin
oleObject115.bin
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oleObject106.bin
oleObject107.bin
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oleObject109.bin
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image91.wmf
Mo
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oleObject119.bin
oleObject120.bin