Conversão Eletromecânica de Energia - Material EaD - Capítulo 3

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Conversão Eletromecânica de Energia
Prof. Eduardo Henrique Diniz Fittipaldi, DSc
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Capítulo 3
Princípios de Conversão Eletromecânica de Energia
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Os dispositivos de conversão eletromecânica de energia operam em princípios similares. No entanto, as suas estruturas dependem de suas funções.
Todos os dispositivos podem utilizar o campo magnético ou o campo elétrico como meio de transferência de energia da entrada para a saída do dispositivo. Por agregar uma maior quantidade de energia para um mesmo valor de campo, a grande maioria dos dispositivos utiliza o campo magnético para levar a energia da entrada para a saída do dispositivo e convertê-la de elétrica para mecânica e vice-versa.
Introdução
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Dispositivos de conversão eletromecânica de energia:
Dispositivos produtores de força
	Solenoides, relés e eletroímãs
Dispositivos de medida e controle (transdutores)
	Microfones, cápsulas fonográficas, sensores e alto-falantes
Equipamentos de conversão contínua de energia
	Motores e geradores
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Este item procura apresentar as expressões das forças e conjugados em sistemas de campo magnético.
A Lei de Força de Lorentz mostra que:
Onde é a força (em N) sobre uma carga (em C), na presença de um campo elétrico (em V/m) e um campo magnético (em T). Nesta expressão é a velocidade da partícula com a carga .
Em sistemas em que só há o campo elétrico ():
Neste caso, a força atua na direção do campo elétrico e independe de qualquer movimento da partícula.
3.1 Forças e Conjugados
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Em sistemas em que só há o campo magnético ():
Neste caso, a força é determinada pela carga da partícula, pelo módulo do campo magnético e pelo módulo da sua velocidade. Sua direção é perpendicular às direções de e de , e o seu sentido é dado pela regra da mão direita.
Em situações com grandes quantidades de partículas com carga em movimento, a equação da Lei de Força de Lorentz pode ser modificada para utilizar a densidade de carga (em C/m3):
OBS: é uma densidade de força (N/m3)
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O produto é conhecido como densidade de corrente:
 
Onde é dado em A/m2.
A partir da densidade de corrente, a densidade de força em um sistema magnético será:
 
No caso de correntes fluindo em meios condutores, essa expressão pode ser usada para encontrar a densidade de força que atua sobre o próprio material.
OBS: Na maioria dos dispositivos de conversão, as forças atuam diretamente no material magnético, não podendo ser calculadas pela expressão anterior.
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Resolução
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Apesar da expressão da densidade de energia anterior não poder ser utilizada na maioria dos casos práticos dos dispositivos de conversão, por terem estruturas rígidas e indeformáveis, o desempenho desses dispositivos é determinado normalmente pela força líquida ou conjugado que atua sobre a parte móvel.
O processo é basicamente o seguinte: um campo magnético é produzido na parte fixa do dispositivo de conversão que irá interagir com o campo magnético produzido na parte móvel deste mesmo dispositivo. A força ou conjugado que surgem entre esses campos (atração e repulsão entre polos magnéticos) é a responsável por fazer o dispositivo se mover ou mantê-lo em movimento. 
3.2 Equação do Balanço de Energia
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A primeira expressão que deverá ser considerada nesta análise é o Princípio da Conservação da Energia que afirma que a energia não pode ser criada ou destruída, apenas muda de forma.
Em sistemas isolados, com os seus limites claramente identificáveis, o princípio da conservação da energia pode ser acompanhado de uma maneira simples: o fluxo líquido de energia que entra no sistema através de seus limites é igual à soma das taxas de variação, no tempo, da energia armazenada no sistema.
Esta técnica para calcular forças e conjugados chama-se Método da Energia e se baseia inteiramente no Princípio da Conservação da Energia e na Primeira Lei da Termodinâmica.
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Para um sistema que usa o campo magnético como meio de acoplamento e transferência de energia em um dispositivo de conversão, a equação da conservação da energia apresenta:
A expressão representa um dispositivo que transforma energia elétrica em energia mecânica. Para um dispositivo que transforma energia mecânica em energia elétrica, basta trocar esses dois termos nesta expressão anterior.
As perdas por calor ocorrem nas resistências dos enrolamentos elétricos, no próprio núcleo magnético e no atrito mecânico das partes móveis.
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As perdas por calor, por sua vez, podem ser alocadas para a fonte elétrica (a energia líquida que entra no dispositivo é a energia elétrica total na entrada menos as perdas ôhmicas) e para a fonte mecânica (a energia mecânica total é a energia de saída mais as perdas mecânicas). O campo magnético de acoplamento é o meio pelo qual a energia é armazenada e transferida de um lado para o outro do dispositivo.
A figura a seguir mostra a equação de energia, considerando a alocação das perdas no sistema elétrico e no sistema mecânico.
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A figura a seguir mostra um dispositivo de produção de força em que o sistema elétrico é representado por uma única bobina e o sistema mecânico é mostrado como um êmbolo móvel.
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Para um sistema de armazenamento de energia sem perdas, a equação do balanço de energia pode ser dada como:
Onde:		 é a potência elétrica na entrada
		 é a potência mecânica na saída
		 é a taxa de variação da energia magnética armazenada
No sistema da figura anterior, o terminal elétrico tem duas variáveis, tensão e corrente . O terminal mecânico também apresenta duas variáveis, a força e a posição .
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A entrada de potência elétrica no dispositivo pode ser escrita como:
A potência mecânica de saída, por sua vez, pode ser escrita como:
Com essas expressões, a equação do balanço de energia anterior pode ser escrita como:
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Para um sistema de armazenamento de energia magnética, o terminal elétrico é representado normalmente por um enrolamento (bobina). Em um enrolamento, como visto anteriormente, a tensão nos seus terminais pode ser dada como a derivada do fluxo magnético total concatenado em relação ao tempo:
Fazendo com que a equação do balanço de energia se torne:
Multiplicando essa expressão por , tem-se:
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A última equação permite determinar a força como função do fluxo concatenado e da posição do terminal mecânico. Vale salientar que esse resultado foi obtido a partir da suposição de que é possível separar as perdas elétricas e mecânicas, resultando em um sistema de armazenamento de energia como o apresentado anteriormente.
As equações anteriores mostram o fundamento do método da energia utilizado na determinação das forças e conjugados nos sistemas de conversão eletromecânica de energia.
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Nos capítulos anteriores foram estudados os transformadores, que apresentavam um núcleo magnético fixo e a energia era levada do primário para o secundário através de um campo magnético. Energia era armazenada nos campos de dispersão e no próprio núcleo.
A partir de agora, serão estudados os dispositivos de conversão eletromecânica de energia. Logo, os núcleos magnéticos possuem entreferros, para separar a parte fixa da parte móvel. Nesses dispositivos, grande parte da energia é armazenada no campo magnético no entreferro, fazendo com que o campo atue como meio de conversão da energia, sendo o reservatório entre os sistemas elétricos e mecânicos.
A figura a seguir mostra o esquema de um relé eletromagnético.
3.3 Energia em Sistemas de Excitação Única
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Na figura anterior, a resistência da bobina de excitação é mostrada como uma resistência externa, . As variáveisdo terminal mecânico estão mostradas como a força , produzida pelo campo magnético, dirigida do relé para o sistema mecânico externo, e o deslocamento . As perdas mecânicas podem ser incluídas como elementos externos conectados ao terminal mecânico. A parte móvel aparece com massa nula, pois essa massa representa energia mecânica armazenada e pode ser incluída como uma massa externa conectada ao terminal mecânico.
Com essas considerações, o sistema anterior pode ser descrito como um sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas, como apresentado anteriormente.
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O dispositivo mostrado pode ser representado como um circuito magnético, tal qual o mostrado no primeiro capítulo do curso, com uma indutância , função da geometria da estrutura magnética e das permeabilidades dos componentes do sistema. Além disso, existem também as relutâncias do núcleo e do entreferro, sendo que a do entreferro é bem maior do que a do núcleo, fazendo com que o armazenamento predominante da energia ocorra no entreferro, e as propriedades do circuito magnético são determinadas pelo entreferro.
A fim de simplificar a análise, não serão consideradas a não linearidade do material magnético do núcleo e nem as suas perdas (isso é realizado na maioria dos dispositivos práticos). Assim, as análises são realizadas considerando que o fluxo e a são diretamente proporcionais ao longo de todo o circuito magnético. 
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O fluxo total concatenado e a corrente relacionam-se através da indutância que, por sua vez, é função da geometria do circuito e, portanto, da posição da sua parte móvel. Assim, pode-se escrever:
onde pode ser observada a dependência de com a posição .
Pelas considerações de que as perdas foram colocadas externamente aos terminais elétricos e mecânicos (o sistema não tem perdas), tem-se um sistema conservativo, com o valor de determinado unicamente pelos valores de e . Essas duas variáveis, consequentemente, passam a ser chamadas de variáveis de estado do sistema, uma vez que os seus valores irão determinar, de forma única, o estado do sistema.
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Uma vez que a força magnética foi definida atuando a partir do núcleo para o sistema mecânico externo, então pode ser definida como a saída de energia mecânica do relé. A equação da energia do campo magnético de acoplamento, deduzida anteriormente, mostrou que:
onde se apresenta explicitamente a dependência dessa energia com uma variável elétrica, , e uma variável mecânica, . Por ser um sistema conservativo, a energia do campo, , é a mesma, independentemente de como as variáveis e são levadas até os seus valores finais.
Deseja-se determinar o montante de energia armazenada no campo magnético de acoplamento ao se variar as variáveis e , de zero, até os valores e . Para isso, é necessário integrar da posição inicial até a posição final.
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A figura a seguir mostra dois caminhos de como o sistema pode ir do ponto () para o ponto (). A integração pode seguir o caminho mais difícil (1) ou o mais simples para se integrar (2). O resultado da integral é essencialmente o mesmo.
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Da equação anterior, integrando pelos caminhos 2a e 2b, tem-se:
No caminho 2a, e , fazendo com que a primeira integral da expressão anterior seja nula. Para o caminho 2b, e a primeira integral se reduz a integral de neste caminho (para o qual ).
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caminho 2a
caminho 2b
Uma vez que o ponto () é arbitrário, a expressão de vale para qualquer ponto (). A expressão da energia do campo de acoplamento pode então ser escrita como:
Pode-se mostrar que a energia magnética armazenada também pode ser expressa em termos da densidade de energia do campo magnético integrada no seu volume . E assim:
Para um material com constante:
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Resolução
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O sistema anterior mostrou a expressão da energia do campo magnético de acoplamento em função do fluxo concatenado e do deslocamento linear. Se um sistema possuir um terminal mecânico rotativo ao invés de um com deslocamento linear, os resultados seriam os mesmos, exceto que a força e o deslocamento linear seriam substituídos pelo conjugado e o deslocamento angular.
A força e o conjugado podem ser determinados, por sua vez, a partir da expressão da energia armazenada no campo magnético. Em função da variável elétrica mais fácil de utilizar, pode ser uma usada uma “variante” da energia, chamada coenergia. Ambas, energia e coenergia, dão o mesmo valor para a força ou o conjugado em um sistema de conversão eletromecânica de energia.
3.4 Determinação da Força e do Conjugado
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Força e Conjugado em Função da Energia:
Em um sistema de armazenamento sem perdas, a energia magnética armazenada era uma função de estado, determinada pelas variáveis de estado e . A expressão era a seguinte:
A partir dessa expressão, vê-se claramente que a variável energia armazenada no campo magnético de acoplamento é função da variável elétrica , fluxo magnético, e da variável mecânica , deslocamento linear.
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Para uma Função de Estado qualquer de duas variáveis independentes, por exemplo, , a diferencial total de em relação às variáveis de estado e , pode ser escrita como:
 
Sendo que as derivadas parciais são determinadas para cada uma das variáveis de estado, mantendo constante a outra variável.
Para a energia apresentada anteriormente, a diferencial total será:
As expressões do devem ser iguais, assim:
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E igualando termo a termo:
Ou seja, uma vez conhecida em função de e , pode-se usar as expressões anteriores para determinar os valores de e de .
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(para constante) 
(para constante) 
Em um sistema com um terminal mecânico rotativo, as variáveis mecânicas passam a ser o deslocamento angular e o conjugado . Assim, tem-se:
Por analogia com a expressão que foi desenvolvida para se determinar, pode ser determinada a expressão para se calcular o conjugado :
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(para constante) 
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Resolução
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As vezes a corrente é uma variável elétrica mais fácil de se conhecer do que o fluxo . Uma manipulação matemática pode ser usada para definir uma nova função de estado, conhecida como coenergia, que permite obter a força e o conjugado diretamente a partir da corrente. A escolha da energia ou da coenergia é apenas uma questão de conveniência, pois ambas fornecem os mesmos resultados, mas uma ou outra pode ser analiticamente mais simples, dependendo do resultado e das características do sistema analisado.
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Força e Conjugado em Função da Coenergia:
A coenergia é definida como uma função de e , tal que:
A coenergia, estritamente falando, não seria uma nova variável, mas seria a própria energia calculada a partir de outras variáveis. Em breve será mostrado que a energia e a coenergia são numericamente iguais, considerando o sistema operando na sua região linear.
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A dedução desejada é obtida a partir do diferencial de :
Aplicando diferenciais na expressão anterior da coenergia:
A expressão anterior mostra explicitamente que a coenergia é uma função de estado das variáveis e . A diferencial da coenergia será:
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Igualando as duas diferenciais tem-se:
Ou seja, uma vez conhecida em função de e , pode-se usar as expressões anteriores para determinar os valores de e de .
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(para constante) 
(para constante) 
Semelhante ao que foi feito para a energia, a coenergia também pode ser calculada a partir da integral de :
Pode-se mostrar que a energia magnética armazenada também pode ser expressa em termos da densidade da coenergia do campo magnético integrada no seu volume . E assim:
Paraum material com constante:
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Em um sistema com deslocamento mecânico rotacional, a coenergia pode ser expressa em termos da corrente e do deslocamento angular através da expressão:
E o conjugado é dado como:
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(para constante) 
Em um sistema magnético linear, a energia e a coenergia são numericamente iguais, ou seja:
O mesmo se aplicando para as densidades de energia e coenergia:
Para um sistema não linear, no entanto, a energia e a coenergia não são iguais. 
Uma interpretação gráfica dessas duas variáveis pode ser observada na figura a seguir.
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Na figura anterior a área entre a curva e o eixo vertical, igual à integral de , é a energia e a área entre a curva e o eixo horizontal, dada pela integral , é a coenergia.
Nesse sistema de excitação única tem-se, pela definição de coenergia:
A força ou conjugado produzido por um campo magnético não pode, naturalmente, depender do fato de ser calculada pela energia ou pela coenergia.
Uma ilustração gráfica mostra que as duas funções fornecerão o mesmo resultado sempre.
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Os dispositivos anteriores apresentavam apenas um terminal elétrico, não sendo possível controlar a quantidade de energia elétrica que seria convertida em energia mecânica e vice-versa. Nos relés, por exemplo, um sinal elétrico que seja capaz de sensibilizar o dispositivo irá produzir o mesmo movimento mecânico de abrir ou de fechar o relé, independente do valor deste sinal.
Já nos dispositivos de medição, por sua vez, é necessário haver o controle da quantidade de energia que é convertida de uma forma para outra. Nesses dispositivos, é desejável obter conjugados proporcionais a dois sinais elétricos, sendo então necessária a utilização de um segundo terminal elétrico. Do mesmo modo, a maioria dos dispositivos de conversão eletromecânica contínua de energia consiste em sistemas de campo magnético com múltiplas excitações elétricas. 
3.4 Energia em Sistemas de Múltiplas Excitações
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Seja um dispositivo com dois terminais elétricos e um terminal mecânico com um sistema rotacional:
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Nesse sistema, o terminal mecânico é representado pelas variáveis e . Os terminais elétricos são representados pelas variáveis e para o terminal 1 e e para o terminal 2. Como existem três terminais, o sistema precisa ser descrito por três variáveis, que podem ser , e ou , e , ou ainda um conjunto híbrido, incluindo uma corrente e um fluxo.
Utilizando os fluxos como variáveis de estado elétricas, a função diferencial de energia pode ser dada como:
Fazendo uma analogia direta com o que foi feito anteriormente para o sistema com uma excitação elétrica e um terminal mecânico, pode-se escrever:
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e
Observa-se que em cada uma dessas equações a derivada parcial em relação a cada variável independente deve ser tomada mantendo constantes as outras duas variáveis independentes.
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A energia pode ser calculada a partir da integral da sua diferencial, de uma posição inicial até uma determinada posição final. Salienta-se que o caminho para ir do ponto inicial para o ponto final não é relevante e deve-se escolher o caminho mais fácil para se fazer essa integração.
Em um sistema magnético linear, pode-se relacionar o fluxo e a corrente que o criou através da indutância. Para um sistema com dois terminais elétricos, pode-se escrever:
Nessas equações 
Além disso, as indutâncias são funções da posição angular .
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Das expressões anteriores, podem ser obtidas expressões de e , em função de e . Assim, tem-se:
Onde:				 
A partir dessas expressões, a energia pode ser calculada utilizando-se o melhor caminho para a integração.
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Para um sistema linear, a energia determinada a partir da integração de um ponto para outro ponto será:
Onde as indutâncias são funções do ângulo .
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Para os sistemas com dois enrolamentos, a coenergia pode ser definida como:
A coenergia é uma função de estado que depende das correntes nos dois terminais elétricos, além do deslocamento angular do sistema mecânico.
Sua diferencial pode ser dada como:
E a partir da comparação dessa expressão diferencial com a diferencial total da função , podem ser obtidas as seguintes expressões:
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e
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Como a energia, a coenergia também pode ser calculada utilizando-se convenientemente o melhor caminho de integração. Para o sistema linear com dois terminais elétricos e um terminal mecânico, a coenergia armazenada de uma posição para a posição , será:
Onde as indutâncias são funções do ângulo .
A figura a seguir mostra um sistema com dois terminais elétricos que pode ser um dispositivo de medição, por exemplo.
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Fim do Capítulo 3
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