Mafalda AULA 3 - Semelhança de triângulos

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MATEMÁTICA B
GEOMETRIA
Profa Sarita Thalenberg
Apostila do Anglo:
Alfa Semestral - Caderno de Estudos
Matemática
AULA 3
Geometria Plana
Semelhança 
de 
Triângulos 
caderno 1 - págs. 72 a 80
Intuitivamente, podemos dizer que dois triângulos são semelhantes quando um deles é ampliação ou redução do outro.
Formalmente, dois triângulos são semelhantes se, e somente se:
seus ângulos correspondentes são congruentes
seus lados correspondentes são proporcionais
C
A
B
a
b
c
A’
B’
C’
a’
b’
c’
~
e lê-se: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo A’B’C’
constante de proporcionalidade
Semelhança de triângulos
definição
A constante k de proporcionalidade entre os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes é chamada razão de semelhança.
C
A
B
a
b
c
A’
B’
C’
a’
b’
c’
a b c
a’ b’ c’
=
=
= k
Em dois triângulos semelhantes, a razão entre dois elementos lineares homólogos quaisquer - lados, alturas, perímetro - é igual à razão de semelhança. Ou seja, 
 	
Se ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, então
a h m a + b + c
a’ h’ m’ a’ + b’ + c’
=
=
= … = k 
=
h
m
h’
m’
Obs: nem sempre os triângulos estão na mesma posição, então é necessário encontrar os ângulos e lados correspondentes
C
A
B
a
b
c
C’
A’
B’
a’
b’
c’
Semelhança de triângulos
razão de semelhança
1º Critério: AA (ângulo, ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.
Critérios de semelhança de triângulos
Obs: Note que, dado um triângulo, ao traçar uma reta paralela a um dos lados, obtemos um triângulo semelhante ao inicial, pelo critério AA: 
B
A
C
D
E
∆ABC ∼ ∆ADE pois
B = D e C = E
e então
AD AE DE
AB AC BC
=
=
= k
^ 
^ 
^ 
^ 
2º Critério: LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos internos determinados por esses lados são congruentes, então eles são semelhantes.
6
3
4
8
3
6
4
8
=
B = B’
^ 
^ 
⇒ ∆ABC ∼ ∆A’B’C’
3º Critério: LLL (lado, lado, lado)
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes.
6
3
4
8
5
10
3 4 5
6 8 10
⇒ ∆ABC ∼ ∆A’B’C’
=
=
✱
Uma aplicação da semelhança de triângulos
base média
Base Média
O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e sua medida é a metade da medida do terceiro lado. Esse segmento é chamado base média.
M e N são pontos médios
MN BC 
MN é BASE MÉDIA e 
 
 MN = 
BC
 2
A
B
C
M
N
Note que ∆ABC ∼ ∆AMN, pelo critério AA, já que B e M são congruentes e C e N também; então, 
^ 
^ 
^ 
^ 
AM AN MN 1 
AB AC BC 2
= = =
Outra aplicação da semelhança de triângulos
na circunferência
Considere uma circunferência e duas cordas AB e CD que se interceptam no ponto P. Traçando os segmentos AD e CB, obtemos os triângulos APD e CPB.
C
D
B
A
P
Quando P é externo à circunferência, o mesmo resultado se verifica: 
A
B
P
C
D
 PA · PB = PC · PD
os ângulos APD e CPB são congruentes (opostos pelo vértice), e
os ângulos ADP e PBC são congruentes (enxergam o mesmo arco AC).
Portanto, pelo critério AA, ∆APD ∼ ∆CPB.
E, então, 
^ ^ 
^ ^ 
PA PD
PC PB
= ⇒ 
 PA · PB = PC · PD
1.
10/x = 8/y = 12/6 = 2
⇒ 10/x = 2 ⇒ x = 5
⇒ 8/y = 2 ⇒ y = 4
x/8 = 6/y = 9/6 = 3/2
⇒ x/8 = 3/2 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 12
⇒ 6/y = 3/2 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 4
12/x = y/8 = 8/6 = 4/3
⇒ 12/x = 4/3 ⇒ 4x = 36 ⇒ x = 9
⇒ y/8 = 4/3 ⇒ 3y = 32 ⇒ y = 32/3
∆ grande ∼ ∆ pequeno
(x+8)/y = (y+2)/8 = 6/4 = 3/2
⇒ (y+2)/8 = 3/2 ⇒ 2y+4 = 24 ⇒ 2y = 20 ⇒ y = 10
⇒ (x+8)/y = 3/2 ⇒ 3y = 2x+16 ⇒ 30 = 2x+16 ⇒ 2x = 14 ⇒ x = 7
Exercícios
1.
2,2 m
A
B
C
D
E
0,8 m
3,2 m
F
x
Resolução: 
O paciente encontra-se no ponto D após caminhar 3,2 m sobre a rampa.
Como FD BC, sabemos que os ângulos A e D (marcados) são congruentes, e além disso, C é ângulo comum aos dois triângulos; portanto, 
∆ABC ∼ ∆DEC, pelo critério AA.
Assim, temos que seus lados correspondentes são proporcionais, ou seja,
 
⇒ 7,04 = 2,56 + 0,8x ⇒ 0,8x = 4,48 ⇒ 
⇒ x = 4,48 / 0,8 ⇒ x = 5,6 (d)
AB AC 2,2 3,2 + x 
DE DC 0,8 3,2
= ⇒ = ⇒ 
^ 
^ 
^ 
Exercícios
ENEM
2
Exercícios
ENEM
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.76)
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.76)
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.76)
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.76)
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.76)
D
d
H
3L/8
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.76)
LIÇÃO DE CASA!!!
Exercícios aqui dessa apresentação.
Apostila do Anglo:
Alfa Semestral - Caderno de Estudos - Matemática
Modelagem Geométrica de Problemas (a partir da pág.76)
Cap. 5 - Semelhança de triângulos
Fazer os seguintes exercícios das páginas 76 a 80: 1 a 8, 12, 13, 14, 16.
Exercícios-desafio: 11 e 17.
ATENÇÃO: 
PRATIQUEM!!! FAÇAM OS EXERCÍCIOS, E, SE HOUVER DÚVIDAS, ME PROCUREM!!
(Não precisa me entregar, mas se quiser, pode! :)
Todas as apresentações das aulas serão disponibilizada no nosso grupo:
Matemática 205 - 206 Mafalda (Sarita).
Estarei no PLANTÃO DE DÚVIDAS após as aulas para recebê-los. Venham!!
OBRIGADA! 
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