Mafalda AULA 2 - Ângulos em polígonos e na circunferência

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MATEMÁTICA B
GEOMETRIA
Profa Sarita Thalenberg
Apostila do Anglo:
Alfa Semestral - Caderno de Estudos
Matemática
AULA 2
Geometria Plana
Ângulos em Polígonos 
e 
Ângulos na Circunferência 
caderno 1 - págs. 56 a 71
20
icoságono
Número de Lados 
Nome 
3 
triângulo 
4 
quadrilátero 
5 
pentágono 
6 
hexágono 
7 
heptágono 
8 
octógono 
10 
decágono 
12 
dodecágono 
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
POLÍGONOS são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta unidos em pontos chamados vértices.
Os polígonos CONVEXOS possuem sempre o mesmo número de lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos.
Quando todos os seus lados têm mesma medida, seus ângulos são congruentes, e então esse polígono é dito REGULAR.
CONVEXOS 
NÃO CONVEXOS 
A
B
C
D
E
F
Polígonos
definição
Ângulos em polígonos
SOMA das medidas dos ÂNGULOS INTERNOS de um polígono convexo de n lados:
SOMA das medidas dos ÂNGULOS EXTERNOS de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2). 180° 
Se = 360° 
Medida do ÂNGULO INTERNO de um polígono convexo regular de n lados:
 Si (n - 2). 180° 
n 
= 
n 
ai = 
Medida do ÂNGULO EXTERNO de um polígono convexo regular de n lados:
 Se 360° 
n 
= 
n 
ae = 
PENTÁGONO REGULAR
n=5
Si = (5-2).180 = 540°
ai = 540/5 = 108°
Se = 360°
ae= 360/5 = 72°
HEXÁGONO REGULAR
n=6
Si = (6-2).180 = 720°
ai = 720/6 = 120°
Se = 360°
ae= 360/6 = 60°
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
n=3
Si = (3-2).180 = 180°
ai = 180/3 = 60°
Se = 360°
ae= 360/3 = 120°
O: centro
OA: raio (R)
BC: diâmetro (=2R)
DE: corda
AC, CED: arcos
. O
A
B
C
D
E
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA (r) E UMA CIRCUNFERÊNCIA (𝜆):
. O
r
r é exterior a 𝜆 
𝜆
. O
A
r
r é secante a 𝜆 e define a corda AB e os arcos AB e BA 
x
x
B
𝜆
Dado um ponto O de um plano, a CIRCUNFERÊNCIA de centro O é o conjunto de pontos do plano que equidistam de O.
. O
𝜆
r
r é tangente a 𝜆 
e T é o ponto de tangência, r⟂OT
T
x
R
Circunferência
definição
ÂNGULO CENTRAL
É todo ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.
A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele “enxerga”.
Ângulos na circunferência
ÂNGULO INSCRITO
É todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contém, cada um deles, uma corda dessa circunferência.
1- A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele enxerga.
. O
A
B
α 
Ângulo com vértice na circunferência e formado por uma tangente e uma secante:
AB
 2
α = 
Propriedades dos ângulos inscritos
2- Dois ou mais ângulos inscritos num mesmo arco são congruentes.
3- Todo ângulo inscrito numa semi- circunferência é reto (ou seja, o triângulo formado é retângulo).
Ângulos excêntricos internos e externos
α 
D
C
E
A
B
. O
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO:
ângulo externo formado por duas secantes 
α 
D
B
A = C
E
. O
ângulo externo formado por uma secante e uma tangente
α 
E
A = C
B = D
. O
ângulo externo formado por duas tangentes
AB - CD
   2
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO:
α 
A
B
C
D
. O
α 
E
AB + CD
   2
α = 
α = 
AB - CD
   2
As circunferências e os polígonos
Todo POLÍGONO REGULAR é inscritível e circunscritível (em uma circunferência).
O polígono está inscrito na circunferência vermelha (dentro) e circunscrito à circunferência verde (fora).
Todo TRIÂNGULO é inscritível e circunscritível (em uma circunferência).
O triângulo está inscrito na circunferência vermelha (dentro) e circunscrito à circunferência verde (fora).
1
Resolução:
. como o ΔIGH é equilátero, os seus três ângulos internos medem 60°.
. FGH é ângulo interno do octógono (n=8) e portanto
FGH = (n-2).180/n = 6.180/8 = 135°
. FGH = FGI + IGH ⇒ 135 = FGI + 60 ⇒
 ⇒ FGI = 75°
. FG = GH = GI, pois o octógono é regular e o triângulo é equilátero
 ⇒ ΔFGI é isósceles e os ângulos da base, GFI e GIF, são congruentes e iguais a x
. assim, no ΔFGI, GFI + GIF + FGI = 180 ⇒
 ⇒ x + x + 75 = 180 ⇒ 2x = 105 ⇒ x = 52,5°
Portanto, GIF = 52,5° (e)
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Exercícios
ENEM
2.
Resolução: 
1 - Vamos descobrir o ângulo AED (ou z) por ser interno de um pentágono regular: (n - 2) . 180° = (5 - 2) . 180° = 540° → 540°/n = 540°/5 = 108° = z
2 - Para os outros dois sabemos que, por ser um pentágono regular, os lados DE e EA são iguais e o triângulo ADE é isósceles. Portanto, pela soma dos ângulos internos do triângulo: x + y + z = 180° → como x = y, x + x + 108° = 180° → 2x = 72° → x = y = 36°
x
y
z
^
Exercícios
ENEM
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.60)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.60)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.60)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.60)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.67)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.67)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.67)
Triângulos
Exercícios resolvidos
Exercícios
da apostila do Anglo (pág.67)
LIÇÃO DE CASA!!!
Exercícios aqui dessa apresentação.
Apostila do Anglo:
Alfa Semestral - Caderno de Estudos - Matemática
Modelagem Geométrica de Problemas (a partir da pág.56)
Cap. 3 - Ângulos em polígonos
Fazer os seguintes exercícios das páginas 60 e 61: 1 a 8.
Exercícios desafio: 11, 12 e 13.
Cap. 4 - Ângulos e circunferências (não estudamos todo o capítulo ainda)
Fazer os seguintes exercícios das páginas 67 a 71: 1 a 5, 7, 8, 23, 24, 25.
Exercícios desafio: 9 e 11.
ATENÇÃO: 
PRATIQUEM!!! FAÇAM OS EXERCÍCIOS, E, SE HOUVER DÚVIDAS, ME PROCUREM!!
(Não precisa me entregar, mas se quiser, pode! :)
Todas as apresentações das aulas serão disponibilizada no nosso grupo:
Matemática 205 - 206 Mafalda (Sarita).
Estarei no PLANTÃO DE DÚVIDAS após as aulas para recebê-los. Venham!!
OBRIGADA! 
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