filosofia_das_ciencias_e_da_matematica

Prévia do material em texto

filosofia das
ciências e da
matemática
licenciatura em
matemática
L
IC
E
N
C
IA
T
U
R
A
 E
M
 M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 - F
IL
O
S
O
F
IA
 D
A
S
 C
IÊ
N
C
IA
S
 E
 D
A
 M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
U
A
B
 / IF
C
E
S
E
M
E
S
T
R
E
 6
Ministério da Educação - MEC
Coordenação de Aperfeiçoamento 
de Pessoal de Nível Superior
Universidade Aberta do Brasi l
Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia do Ceará
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Aberta do Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Diretoria de Educação a Distância
Fortaleza, CE
2011
Licenciatura em Matemática
Filosofia das Ciências e da Matemática
Francisco Régis Vieira Alves
Créditos
Presidente
Dilma Vana Rousseff
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Presidentes da CAPES
Joao Carlos Teatine Climaco
Diretor de EaD - CAPES
Carlos Eduardo Bielschowsky
Reitor do IFCE
Cláudio Ricardo Gomes de Lima
Pró-Reitor de Ensino
Gilmar Lopes Ribeiro
Diretora de EAD/IFCE e 
Coordenadora UAB/IFCE
Cassandra Ribeiro Joye
Vice-Coordenadora UAB 
Régia Talina Silva Araújo
Coordenador do Curso de 
Tecnologia em Hotelaria
José Solon Sales e Silva
Coordenador do Curso de 
Licenciatura em Matemática
Priscila Rodrigues de Alcântara
Elaboração do conteúdo
Francisco Régis Vieira Alves
Colaborador
Marília Maia Moreira
Equipe Pedagógica e Design Instrucional
Ana Claúdia Uchôa Araújo
Andréa Maria Rocha Rodrigues
Carla Anaíle Moreira de Oliveira
Cristiane Borges Braga
Eliana Alves Moreira
Gina Maria Porto de Aguiar Vieira
Glória Monteiro Macedo
Iraci Moraes Schmidlin
Irene Moura Silva
Isabel Cristina Pereira da Costa
Jane Fontes Guedes
Karine Nascimento Portela
Lívia Maria de Lima Santiago
Lourdes Losane Rocha de Sousa
Luciana Andrade Rodrigues
Maria Irene Silva de Moura
Marília Maia Moreira
Maria Luiza Maia
Saskia Natália Brígido
Maria Vanda Silvino da Silva
Equipe Arte, Criação e Produção Visual
Ábner Di Cavalcanti Medeiros
Benghson da Silveira Dantas
Germano José Barros Pinheiro
Gilvandenys Leite Sales Júnior
José Albério Beserra 
José Stelio Sampaio Bastos Neto
Lucas de Brito Arruda
Marco Augusto M. Oliveira Júnior 
Navar de Medeiros Mendonça e Nascimento
Roland Gabriel Nogueira Molina
Samuel da Silva Bezerra
Equipe Web
Benghson da Silveira Dantas 
Fabrice Marc Joye
Luiz Bezerra de Andrade FIlho
Lucas do Amaral Saboya
Ricardo Werlang 
Samantha Onofre Lóssio 
Tibério Bezerra Soares
Revisão Textual
Aurea Suely Zavam
Nukácia Meyre Araújo de Almeida
Revisão Web
Antônio Carlos Marques Júnior
Débora Liberato Arruda Hissa
Saulo Garcia
Logística
Francisco Roberto Dias de Aguiar
Virgínia Ferreira Moreira
Secretários
Breno Giovanni Silva Araújo
Francisca Venâncio da Silva
Auxiliar
Ana Paula Gomes Correia
Bernardo Matias de Carvalho
Isabella de Castro Britto
Wagner Souto Fernandes
https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0
Alves, Francisco Régis Vieira.
 Filosofia das Ciências e da Matemática / Francisco Régis Vieira Alves; 
Coordenação Cassandra Ribeiro Joye. - Fortaleza: UAB/IFCE, 2011.
 166p.: il.; 27cm.
ISBN 978-85-475-0008-5
 1. FILOSOFIA DAS CIÊNCIAS 2. FILOSOFIA DA MATEMÁTICA. 3. 
MATEMÁTICA I. Joye, Cassandra Ribeiro (Coord.). II. Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE. III. Universidade Aberta 
do Brasil – UAB. IV. Título.
CDD – 510.1
V657f
Catalogação na Fonte: Islânia Fernandes Araújo (CRB 3 - Nº 917)
SUMÁRIO
AULA 2
AULA 3
AULA 4
Apresentação 7
Referências 164
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Currículo 167
Filosofia das Ciências e da Matemática 8
Relações entre filosofia das ciências e filosofia da
matemática e o ensino de matemática 9
A natureza do conhecimento matemático 18
Os precursores da filosofia 23
AULA 1
Filosofia da Matemática 35
As correntes filosóficas da matemática 36
O construtivismo na matemática e o construtivismo
piagetiano 50
Arquimedes e a Noção de Demonstração 58
Sobre a natureza das definições matemáticas 59
As influências das correntes filosóficas no
ensino atual 68
As características de uma definição matemática e 
o ensino de álgebra 80
As dimensões filosóficas da intuição, seu
papel da atividade do matemático e alguns
paradoxos 84
As dimensões filosóficas da intuição matemática 85
O papel da intuição da atividade do matemático 91
Os paradoxos relacionadosà intuição matemática 98
AULA 6
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
AULA 5 A construção axiomática dos números naturais, inteiros e 
racionais 107
Relações entre filosofia das ciências e filosofia da matemática e o 
ensino de matemática 108
As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática II 116
As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática III 125
A construção dos números reais, complexos e 
considerações finais 134
As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática III 135
As dimensões filosóficas dos fundamentos da matemática IV 149
Uma aplicação de sequência metodológica de ensino por meio de 
sua história 156
7APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO
Caro(a) estudante, apresentamos o material referente à disciplina de Filosofia das Ciências 
e da Matemática. De início, recordamos um ensinamento pertinente, atribuído ao filósofo 
da ciência Karl Popper, e ao matemático Imre Lakatos. O primeiro investigou a Lógica da 
Descoberta Científica – LDC, enquanto o segundo, em sua vida acadêmica, analisou a Lógica 
da Descoberta Matemática – LDM. Sustentamos a “impossibilidade”, do ponto de vista 
filosófico, de compreensão da LDC, por parte do futuro professor, sem um entendimento 
razoável da LDM, embora muitos defendam o contrário. Para tanto, traçamos, nas aulas 
iniciais, o cenário filosófico, epistemológico e político, pelo qual identificamos a evolução e a 
revolução dos paradigmas da Matemática. Nosso objetivo é a busca de um pensamento, de 
um olhar, de um sentimento filosófico do professor com relação à sua disciplina que, aos olhos 
dos incipientes, lhes parece uma “ciência dos números”. Acrescentamos que a Matemática é 
bem mais do que isso, bem mais do que a aplicação tácita de fórmulas. Por fim, trazemos a 
filosofia pessoal de Bertrand Russell, Henri Poincaré e Morris Kline, com a intenção de inspirar 
a pedagogia do futuro docente. 
Francisco Regis Vieira Alves
8 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
AULA 1 Filosofia das Ciências e da Matemática
Nesta parte inicial discutiremos algumas noções introdutórias relacionadas aos 
campos de investigação da Filosofia da Matemática e das Ciências. Vamos nos 
deter inicialmente na demarcação e no interesse de cada uma das áreas e em 
seguida na discussão dos elementos mais interessantes com respeito ao ensino 
de Matemática. Nesta aula inicial apresentaremos algumas noções fundamentais 
no âmbito da Filosofia das Ciências e da Filosofia da Matemática, introduziremos 
também, a partir desta primeira aula e de modo sistemático nas subseqüentes, 
alguns termos particulares e específicos destas áreas de investigação.
Objetivos
• Descrever os pressupostos básicos da Filosofia da Matemática comparando-a 
com Filosofia das Ciências
• Discutir a natureza do saber matemático e alguns exemplos de ordem lógica 
formal
• Conhecer os principais pensadores que estabeleceram o terreno fértil para 
a Filosofia da Matemática
9AULA 1 TÓPICO 1
TÓPICO 1 Relações entre filosofia das ciências e filosofia da matemática e o ensino de matemática
ObjetivO
• Descrever os pressupostos básicos da Filosofia da 
Matemática comparando-a com Filosofia das Ciências
Na perspectiva do professor de matemática em formação, o que podemos tomar como mais significativo a compreensão da evolução do saber científico ou a compreensão do saber matemático 
científico? Neste sentido, é surpreendente encontrarmos pessoas no ambiente 
acadêmico que se apoiam na crença segundo a qual “é possível compreender o 
movimento interno impulsionador e de evolução da Matemáticaa partir da 
compreensão dos movimentos e da evolução que marcaram determinados períodos 
históricos num contexto mais amplo e geral”, como o contexto das Ciências. De 
modo inquestionável, encontramos na literatura vários pensadores e epistemólogos 
(JAPIASSU, 1988) que fornecem um depoimento 
que assegura o papel de modelo deste paradigma 
para várias outras áreas do saber científico.
Neste sentido, para compreendermos 
o pensamento filosófico, necessitamos, 
em grande parte, nos apropriarmos do 
pensamento epistemológico. A respeito da 
epistemologia, Japiassu (1988) faz a seguinte 
distinção:
a. Epistemologia, no sentido bem amplo do termo, pode ser considerada 
o estudo metódico e reflexivo do saber, de sua organização, de sua 
formação, de seu desenvolvimento, de seu funcionamento e de seus 
produtos intelectuais;
s a i b a m a i s !
Epistemologia: Diz respeito ao estudo da 
gênese, da estrutura, da organização/evolução 
dos métodos e a validade/confiabilidade do 
conhecimento científico.
10 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
b. Epistemologia global (geral), quando trata do saber globalmente 
considerado, com a virtualidade e os problemas do conjunto de sua 
organização, quer sejam especulativos, quer científicos;
c. Epistemologia particular, quando trata de levar em consideração um 
campo particular de saber, quer especulativo, quer científico;
d. Epistemologia específica, quando trata de levar em conta uma 
disciplina intelectualmente constituída em unidade bem definida 
do saber, e de estudá-la de modo próximo, detalhado e técnico, 
mostrando sua organização, seu funcionamento e as possíveis relações 
que ela mantém com as demais disciplinas.
Depois dessas caracterizações, torna-se necessário sublinharmos a 
ênfase que daremos ao longo destas aulas à Epistemologia Específica e, de modo 
particular, à Epistemologia da Matemática, que possui de modo intrínseco um 
seu viés filosófico. Assim, defendemos a compreensão do movimento filosófico 
da Matemática na medida em que identificamos mudanças e substituições de 
paradigmas epistemológicos. 
Defendemos, assim, a impossibilidade de compreendermos a Filosofia da 
Matemática, muito menos diversos fenômenos que evoluem no universo didático, 
histórico, lógico e metodológico (Figura 1), recorrendo-se apenas à Filosofia 
das Ciências. Deste modo, daremos ênfase aos elementos apresentados abaixo, 
identificados no item (2):
Figura 1: Aspectos do saber matemático (ALVES; BORGES NETO, 2010, p. 2) 
O diagrama da Figura 2, reproduzida a seguir, nos ajuda a defender que 
determinados fenômenos característicos do âmbito das Ciências não explicam/
caracterizam ou significam determinadas dimensões do saber matemático, apesar 
de possuírem uma região de interface comum, todavia tal interface ou região de 
11AULA 1 TÓPICO 1
interseção é observada graças à necessidade e insuficiência que muitas áreas do 
conhecimento científico apresentam; deste modo, necessitam se apoiar, “importar” 
e se ‘apropriar’ de determinados paradigmas e métodos próprios da Matemática 
para seu próprio interior, como garantia de rigor e cientificidade.
Figura 2: Relações entre Ciências e Matemática (elaboração própria)
Por outro lado, destacamos, também na Figura 2, uma região pertencente ainda 
à Filosofia da Matemática que possui vigor próprio, que indicamos por (?), a qual 
não é encontrada e/ou identificada em mais nenhuma outra área do conhecimento 
científico. Sua importância se explicita na medida em que desenvolvermos nossas 
considerações acerca do ensino de Matemática que não pode desprezar a dimensão 
filosófica do saber matemático.
Para exemplificar, são esclarecedoras as considerações do professor Jairo 
José da Silva, quando, em seu livro intitulado Filosofias da Matemática, destaca:
A matemática entrou na cultura primeiramente como uma técnica, a de fazer 
cálculos aritméticos e geométricos elementares, e suas origens perdem-se 
nos primórdios da história. Dentre os povos antigos, os egípcios foram bons 
matemáticos, como suas realizações técnicas o atestam, mas os babilônios 
foram ainda melhores. Mas, ainda que essas culturas tenham produzido uma 
matemática reconhecível como tal, faltava a ela o caráter sistemático, rigoroso, 
puro – isto é, não empírico – e, em grande medida, a indiferença com respeito 
a aplicações práticas e imediatas que caracterizam o conhecimento matemático, 
tal como entendemos hoje (SILVA, 2007, p. 31). 
Identificamos em suas palavras uma passagem e transição de um saber 
matemático especulativo, empírico e desinteressado, apontado e produzido por 
algumas civilizações mais antigas para um saber matemático de caráter “rigoroso”, 
“sistemático” e “puro”, como o próprio autor acentua. Ora, este movimento de 
12 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
transição, encontrado em determinadas fases históricas mais proeminentes, como 
as fases históricas discutidas por Silva, são objeto de estudo do que Hilton Japiassu 
chamou acima da epistemologia específica da Matemática.
A Filosofia da Matemática que por ora discutimos se interessa por questões 
desta natureza. Além disso, vamos discutir, ainda, outros interesses que podem ser 
identificados apenas nesta área e em mais nenhuma outra área do conhecimento 
científico (Figura 2). 
Destacamos outro trecho de Silva (2007, p.34) com a intenção de ilustrar, em 
nossa discussão filosófica inicial, a significação do termo Filosofia da Matemática.
O gênio de Euclides, porém, estava no modo como ele fez isso. A partir de 
um sistema mínimo e supostamente completo de verdades não-demonstradas 
e indemonstráveis – axiomas e postulados (posteriormente verificou-se 
que faltavam pressupostos substituídos pela intuição espacial) -, Euclides, 
demonstrava racionalmente todos os enunciados de Os elementos. Estava assim 
criado o método axiomático-dedutivo que viria a servir de modelo para toda 
a matemática a partir de então: a redução racional (preferivelmente lógica) de 
todas as verdades de uma teoria e uma base mínima e completa de verdades 
evidentes ou simplesmente pressupostas. Não havia nada de remotamente 
similar na matemática não grega.
Nas palavras do autor, observamos um dos 
elementos peculiares ao pensamento matemático 
que influenciou, séculos mais tarde, várias 
áreas do conhecimento científico. Note-se que a 
dimensão epistêmica é sempre exigida para que 
possamos compreender o caráter filosófico dos 
saberes científicos constituídos até nossos dias. 
De fato, Silva (2007) fez menção explicita ao 
método axiomático-dedutivo, inaugurado pela 
civilização jônica. Sua função naquela época 
assumiu um papel fundamental do ponto de 
vista epistemológico, principalmente quando 
adotamos a seguinte significação:
A epistemologia pode, então ser definida como o ‘estudo da constituição dos 
conhecimentos válidos’. O termo ‘constituição’ recobre ao mesmo tempo as 
‘condições de acesso’, isto é, os processos de aquisição dos conhecimentos, e 
s a i b a m a i s !
O Método axiomático–dedutivo foi sistematizado 
a partir dos gregos evoluiu e se aperfeiçoou, 
alcançando seu apogeu com o grupo Bourbaki. 
A intenção principal consiste em formalizar e 
descrever o conhecimento matemático por meio 
de estruturas gerais e abstratas.
13AULA 1 TÓPICO 1
as ‘condições propriamente constitutivas, quer dizer, as condições formais ou 
experimentais que dizem respeito à validade dos conhecimentos, e as condições 
que dizem respeito, quer às contribuições do sujeito, que às do objeto no 
processo de estruturação do conhecimento. Portanto, para Piaget, só há ciência 
quando estiverem reunidos esse três elementos: (1) elaboração de fatos; (2) 
formalização lógico-matemática; (3) controle experimental (JAPIASSU, 1988, 
p. 44).
Notamos no trecho acima o registro de um grande pensador recordado pelo 
epistemólogo Hilton Japiassu, trata-se do epistemólogo geneticistaJean Willian 
Fritz Piaget (1896-1980) . Destacamos o grande pesquisador Piaget não só por sua 
importância no campo científico, mas, sobretudo pelo valor de seu estudo sobre 
a análise e os processos de reformulação de certos conceitos científicos por meio 
de uma análise lógica (JAPIASSU, 1988, p. 44). A Matemática para Piaget assumiu 
um papel imprescindível para a explicação e previsão de inúmeros fenômenos 
observados no âmago do conhecimento científico moderno.
Antes, porém, de discutirmos um pouco mais a respeito do caráter 
epistemológico do saber matemático e sua função no interior de Filosofia da 
Matemática, sublinhamos a explicação do pesquisador inglês Paul Ernest (1991, 
p. 3):
A filosofia da Matemática é um ramo da filosofia cuja tarefa se reflete ao 
tomar em consideração a natureza da Matemática. Esta é um caso especial 
de epistemologia que leva em consideração o conhecimento humano em 
geral. A filosofia da Matemática se orienta no sentido de responder algumas 
questões: Qual é a base do conhecimento matemático? Qual é a natureza da 
verdade matemática? O que caracteriza a verdade em matemática? O que é 
uma afirmação e sua justificação? Por que as verdades em matemática são 
necessariamente verdades? 
Ernest confirma a presença e necessidade da adoção de vários pressupostos 
epistemológicos, corroborando com o que mencionamos nos parágrafos anteriores, 
quando menciona que, ao adotarmos largamente uma abordagem epistemológica, 
assumimos que conhecimento é qualquer área representada por um conjunto de 
proposições, aliado a um conjunto de procedimentos capazes de realizar verificação 
e assegurar sua confiabilidade (ERNEST, 1991, p. 4).
Na citação anterior, observamos alguns questionamentos intrínsecos ao que 
chamamos de Filosofia da Matemática, que se apresenta como um campo distinto 
14 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
da Filosofia das Ciências. Retomando a Figura 
2, lembramos que a Filosofia da Matemática é 
marcada por elementos particulares que não são 
encontrados nas outras áreas do conhecimento 
científico humano. No início sublinhamos 
uma “crença” equivocada segundo a qual 
muitos ainda acreditam na possibilidade de se 
compreender o particular partindo-se do geral (). 
Assumimos que este ponto de vista encontrado 
no locus acadêmico é completamente equivocado e interpretamos esta atitude 
e posicionamento epistemológico como uma espécie de “miopia acadêmica”. 
Adotamos, por outro lado, o percurso inverso () por acreditarmos que assim 
poderemos proporcionar melhor entendimento.
Figura 3: Relação entre o caráter particular e o geral dos saberes científicos (elaboração própria)
Para exemplificar de que modo os sintomas da “miopia” e mesmo, em 
terminados casos, cegueira acadêmica pode ocorrer, recordamos a seguinte 
caracterização fornecida por Bicudo & Guarnica (2001, p. 19), ao defenderem a 
supremacia da Filosofia da Educação sobre a Filosofia da Matemática:
A Filosofia da Educação, por proceder de modo analítico, crítico e abrangente, 
volta-se para questões que tratam de como fazer educação, de aspectos básicos 
presentes ao ato do educador como é o caso do ensino, da aprendizagem, de 
propostas político-pedagógicas, do local onde a educação se dá e, de maneira 
sistemática e abrangente, as analisa, buscando estender seu significado para o 
mundo e para o próprio homem. 
De modo semelhante, os mesmos autores definem a Filosofia da Matemática 
como uma área em que:
Proceder conforme o pensar filosófico, ou seja, mediante a análise critica, 
reflexiva, sistemática e universal, ao tratar de temas concernentes à região 
s a i b a m a i s !
Para conhecer um pouco mais sobre a Filosofia 
das Ciências, acesse o site:
http://www.lusosofia.net/textos/serra_paulo_
filosofia_e_ciencia.pdf
15AULA 1 TÓPICO 1
de inquérito da matemática, diferencia-se da matemática, pois não se dispõe 
a fazer matemática, construindo o conhecimento desta ciência, mas dedica-
se a entender o seu significado no mundo, o sentido que faz para o homem, 
de uma perspectiva antropológica e psicológica, a lógica da construção do 
seu conhecimento, os modos de expressão pelos quais aparece e materializa-
se, cultural e historicamente, a realidade dos seus objetos, a gênese do seu 
conhecimento (BICUDO; GUARNICA, 2001, p. 27).
Neste ponto registramos que a “miopia” acadêmica acontece quando 
pensamos que, de um ponto de vista prático e utilitarista, seria mais importante 
para o professor de matemática um razoável conhecimento em Filosofia da Educação 
em detrimento da Filosofia da Matemática. Tal patologia intelectual pode ocorrer 
também quando acreditamos de modo ingênuo que, compreendendo a Filosofia da 
Educação, consequentemente, o professor compreenderá a Filosofia da Matemática. 
E, por fim, com vistas finais ao ensino de matemática propriamente dito, qual das 
duas se apresenta de maior relevância para o futuro professor de matemática?
Recordamos um pressuposto simples e recorrentemente descuidado por 
profissionais que desconhecem o real e o concreto efetivo significado da regência 
numa aula de Matemática, que se refere ao fato de que a maior parte do tempo 
despendido pelo professor na escola é dedicada à ação de dar aula de Matemática. 
Assim, a retórica que identificamos na definição fornecida por Bicudo & Guarnica 
(2001) relativa à Filosofia da Educação, em termos práticos, em nada melhorará ou 
aperfeiçoará a ação que mencionamos. Nesse sentido, destacamos a relevância de 
um saber vinculado e determinado pelo saber matemático que poderá proporcionar 
o aperfeiçoamento da ação docente, de acordo com o que exibimos na Figura 1. 
Antes de apresentarmos nosso argumento final, discutiremos outras questões 
levantadas por Bicudo & Guarnica (2001, p. 27) quando afirmam que:
As perguntas básicas da filosofia – “O que existe?”, “O que é o conhecimento?”, 
“O que vale?” -, são trabalhadas pela filosofia da matemática, focalizando-se 
especificamente nos objetos da matemática. Desdobram-se em termos de “Qual 
a realidade dos objetos da matemática?”, “Como são conhecidos os objetos 
matemáticos e quais os critérios que sustentam a veracidade das afirmações 
matemáticas?”, “Os objetos e as leis matemáticas são inventadas (construídas) 
ou descobertas?”.
Mais adiante os autores destacam que o tratamento destas questões é 
relevante para a autocompreensão da Matemática e necessário para a definição de 
16 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
propostas curriculares, por determinar escolhas de conteúdos, atitudes de ensino, 
expectativas de aprendizagem, indicadores de avaliação (BICUDO; GUARNICA, 
2001, p. 27). 
Depois destas ponderações, acreditamos ser insustentável a crença de que a 
formação em Filosofia da Educação deve anteceder qualquer formação e informação 
relativa à Filosofia da Matemática. Além da maior importância da Filosofia da 
Matemática, no que diz respeito à instrumentalização efetiva do futuro mestre, 
assumir este posicionamento implica aceitar o diagrama que propomos (Figura 3), 
ou melhor, significa compreender o particular, para depois compreender o geral. 
Vários epistemólogos nos fornecem esta lição, entre eles podemos citar Karl Popper 
e Thomas Khun.
Como tencionamos nesta primeira parte descrever os pressupostos 
iniciais que adotaremos neste curso, inclusive suas implicações para o ensino 
de Matemática, recordamos ainda que a Filosofia da Matemática interessa-se por 
questões de caráter: (i) ontológico: o que existe em Matemática; (ii) epistemológico: 
como se conhece o que existe em Matemática e o que pode ser considerado 
conhecimento matemático; (iii) axiológico: quando um conhecimento matemático 
pode ser considerado como verdadeiro. Estes questionamentos podem nos fornecer 
elementos para compreender os processos necessários que tornam nossas crenças 
matemáticas em conhecimento matemático válido. 
Figura 4:Relações entre conhecimento e crença matemática
Muitas destas questões serão discutidas e significadas dentro da própria 
Matemática, uma vez que esta é, em tese, a área de maior interesse do futuro 
professor de Matemática. 
Para finalizar, destacamos uma área de investigação, internacionalmente 
firmada e reconhecida, chamada Filosofia da Educação Matemática. Tal área de 
inquérito investigativo é assim caracterizada:
17AULA 1 TÓPICO 1
Por focalizar a matemática no contexto da educação, a Filosofia da Educação 
Matemática também se coloca questões sobre o conteúdo a ser ensinado e a 
ser apreendido e, desse modo, necessita de análises e reflexões da filosofia 
da matemática sobre a natureza dos objetos matemáticos, da veracidade do 
conhecimento matemático, do valor da matemática (BICUDO; GUARNICA, 
2001, p. 30).
Esta área de investigação será retomada por nós no final de nossos estudos. 
Assim, para prosseguir de acordo com o que acreditamos ser o mais compreensível 
para o leitor (Figura 3), detalharemos a partir deste ponto outras questões 
relacionadas ao saber matemático. 
Nesta aula, discutimos e demarcamos alguns elementos essenciais 
relacionados com a Filosofia das Ciências e Filosofia das Matemáticas. No próximo 
tópico introduziremos outros elementos que diferenciam e distinguem a evolução 
do saber matemático no contexto científico de qualquer outro saber acadêmico.
18 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
Como mencionamos sem maiores detalhes na seção anterior, a Matemática, tradicionalmente, foi vista como paradigma para certos conhecimentos, desde que foi erigida há 2500 anos com Euclides, 
como bem atesta Ernest (1991, p. 4). Nos séculos subsequentes, sua influência 
continuou a se mostrar promissora e frutífera 
para inúmeros campos do saber. De fato, Ernest 
(1991, p. 4) recorda que:
Desde a época de Euclides até o final 
do século XIX, seu paradigma foi 
explorado para estabelecer a verdade e a 
certeza. Newton usou alguns elementos 
no seu Principia encontrados ainda nos 
Elementos de Euclides; Spinoza em sua 
estética [...] A matemática desde muito 
tempo tem sido tomada como fonte de 
muitos saberes da raça humana. 
Ernest adverte que conhecimento é a base 
na qual assentamos todas nossas afirmações. 
Explica ainda que conhecimento a priori consiste 
em proposições que são produzidas unicamente 
assentadas ou sustentadas pela razão, sem o 
TÓPICO 2 A natureza do conhecimento matemático
ObjetivO
• Discutir a natureza do saber matemático e alguns 
exemplos de ordem lógica formal
v o c ê s a b i a?
Conhecimento a priori: a priori (do latim, « 
partindo daquilo que vem antes »), expressão 
do âmbito filosófico que designa uma etapa 
para se chegar ao conhecimeto válido, que 
consiste o pensamento dedutivo. Note-se que 
o conhecimento proposicional não pode ser 
adquirido, incorporado por meio da percepção, 
introspecção, memória ou testemunho. É, 
deste modo, uma anterioridade lógica e não 
cronológica que é designada na noção “a 
priori”. Tal conhecimento se complementa com 
o conhecimento a posteriori, que designa aquele 
que adquirimos com a experiência mundana.
19AULA 1 TÓPICO 2
recurso da observação do mundo real (ERNEST, 1991, p.4). Aqui, a razão empregada 
pelo autor consiste no recurso de lógica dedutiva e significados de termos, 
tipicamente encontrados em definições. Em oposição, conhecimento a posteriori ou 
conhecimento empírico consiste em proposições produzidas com respeito a uma base 
de experimentos e observações do mundo real.
Mais adiante, Ernest (1991, p.4) esclarece: 
O conhecimento matemático é classificado como conhecimento a priori, desde 
que consista de proposições e seja fundamentado a partir da razão. Razão que 
inclui lógica dedutiva e definições que são usadas em conjunção de axiomas e 
postulados, como base para a obtenção de inferências. Todavia, a fundação do 
conhecimento matemático consiste em investigar a verdade nas proposições 
matemáticas, consiste no método dedutivo.
Vamos trazer para ilustrar nossa discussão o problema relacionado ao 
princípio de indução matemática abordado pelo matemático Giuseppe Peano (1858-
1932). Para tanto, é importante recordarmos o conjunto ={1,2,3,.....,....,...} , que 
é chamado de conjunto dos números naturais que estão relacionados de modo íntimo 
com a noção de conjunto enumerável (LIMA, 2004). Lima (2004, p. 32) explica que 
os axiomas de Peano exibem os números naturais como “números ordinais”, isto é, 
objetos que ocupam lugares determinados numa sequência ordenada. O axioma de 
Peano é enunciado do seguinte modo:
Existe uma função injetiva ®:s   . A imagem ( )s n de cada número 
natural În  chama-se o sucessor de ‘n’;
Existe um único número natural Î1  tal que ¹1 ( )s n para todo În  ;
Se um conjunto ÌX  é tal que Î1 X e Ì( )s X X , isto é, se Î ® Î( )n X s n X , 
então =X  .
Tais condições podem ser reformuladas do seguinte modo:
(i’) Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; 
números diferentes têm sucessores diferentes;
(ii’) Existe um único número natural ‘1’ que não é sucessor de nenhum outro;
(iii’) Se um conjunto de números naturais contém o número ‘1’ e contém 
também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse número contém 
todos os números naturais. 
Lima (2004, p. 33) principia uma discussão filosófica ao declarar que:
20 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
Do ponto de vista de Peano, os números naturais não são definidos. É 
apresentada uma lista de propriedades gozadas por eles (os axiomas) e tudo 
decorre daí. Não interessa i que os números são; (isto seria mais um problema 
filosófico) o que interessa é como eles se comportam. Embora os axiomas por 
ele adotados já fossem conhecidos por Dedekind, tudo indica que Peano 
trabalhou independentemente. O mais importante não são quais os axiomas 
ele escolheu e sim qual a atitude que ele adotou, a qual veio a prevalecer na 
Matemática atual, sob o nome de método axiomático. 
Por outro lado, o que destacamos há pouco nada possui ou apresenta de 
filosófico, todavia a descrição que fizemos acima, com destaque para o item (iii), 
que caracteriza o princípio de indução matemática, é pura Filosofia da Matemática. 
Caraça (1951, p. 4) referenda nosso posicionamento quando comenta que:
A ideia de numero natural não é um produto puro do pensamento humano, 
independentemente da experiência; os homens não adquirem primeiro os 
números naturais para depois contarem; pelo contrário, os números naturais 
foram-se formando lentamente pela prática diária de contagens. A imagem 
do homem criando de uma maneira completa a ideia de número, para depois 
aplicar à prática da contagem, é cômoda, mas falsa.
Note-se que, dependendo do 
sistema matemático formal, o conjunto 
={0,1,2,3,.....,.....} ou ={1,2,3,.....,.....} . 
De fato, quando consideramos a teoria aritmética 
dos números, o primeiro conjunto é assumido, e 
quando estudamos os conteúdos de Análise Real, 
o conjunto  é assumido sem o zero ‘0’. Lima 
(2004, p. 150) se manifesta do seguinte modo:
Sim e não. Incluir ou não o número 0 
no conjunto dos números naturais é 
uma questão de preferência pessoal ou, 
mais objetivamente, de conveniência. O 
mesmo professor ou autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever Î0  
ou Ï0  . Como assim? Consultemos um tratado de Álgebra. Praticamente 
em todos eles encontramos ={0,1,2,3,.....,.....} . Vejamos um livro de 
Análise. Lá achamos quase sempre ={1,2,3,.....,.....} . 
s a i b a m a i s !
A criação de um símbolo para representar o 
nada constitui um dos atos mais audazes do 
pensamento, uma das maiores aventuras da razão. 
Essa criação é relativamente recente (talvez pelos 
primeiros séculos da era cristã) e foi devida às 
exigências da numeração escrita. (CARAÇA, 
1951, p. 6).
21AULA 1 TÓPICO 2
Ernest (1991) discute o exemplo da verificaçãoque de fato + =1 1 2 , segundo 
o sistema axiomático de Peano. Para tanto, assumimos os axiomas que garantem 
que podemos escrever que =(0) 1s e =(1) 2s . Também a partir da Aritmética 
de Peano, sabemos que + = = +0 0x x x , para todo Îx  . Temos também que 
+ = +( ) ( )x s y s x y , onde Î,x y  . Na sequência, o fato banal simbolizado por 
+ =1 1 2 , é verificado formalmente por Ernest (1991, p. 5), após executar dez 
passos de inferências lógicas como vemos na Figura 5.
Figura 5: Passos de inferências lógicas (ERNEST, 1991, p. 5)
Alguns dos elementos discutidos anteriormente apontam para a direção de 
considerar o conhecimento matemático dotado de verdades universais, infalível e 
não questionável. Essencialmente construído a partir de verdades estabelecidas a 
priori. Tal perspectiva é o que Ernest (1991, p. 7) chama de visão absolutista da 
matemática. De acordo com tal visão, o conhecimento matemático fornece o único 
modo de alcançarmos a verdade.
O autor explica ainda que parte deste poder e caráter absolutista é fortalecido 
por meio do método dedutivo formal. Tal terreno é construído a partir da lógica e 
pode fornecer absoluta certeza ao conhecimento. Ernest (1991, p. 7- 8) salienta ainda 
que, no primeiro momento, todos os pressupostos básicos são assumidos a partir da 
exploração de suas provas e demonstrações. Ademais, os axiomas matemáticos são 
assumidos como verdade e, a partir da necessidade de considerações anteriores, as 
definições formais matemáticas são construídas assumindo também valores lógicos 
verdadeiros.
No segundo momento, as regras lógicas e modelos de inferência devem 
preservar a verdade e conduzir também à verdade. E, verdade deve ser obtida a 
partir de verdades, por meio do emprego destes modelos lógicos. Ernest (1991, p. 
22 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
8) acrescenta ainda que toda afirmação ou proposição estabelecida num sistema 
dedutivo deverá conter suas conclusões e, uma vez estabelecido um teorema por 
meio do método dedutivo, o conhecimento extraído deste teorema deve ser sempre 
verdadeiro.
A visão absolutista da matemática encontrou e enfrentou vários problemas 
(ERNEST, 1991, p. 8) séculos mais tarde, todavia nos deteremos neste assunto, 
de modo pormenorizado, nas próximas aulas. Para concluir, destacamos algumas 
características do saber matemático, fornecidas por Morris Kline:
Outro uso básico da matemática, sobretudo nestes tempos modernos, tem 
sido fornecer uma organização racional para a natureza dos fenômenos. Os 
conceitos, os métodos e conclusões a respeito de que a matemática constitui o 
substratum das ciências físicas. (KLINE, 1964, p. 5).
Em outro trecho, Kline (1964, p. 6-7) enaltece algumas características da 
beleza do conhecimento matemático ao declarar que: 
Além da beleza da estrutura concluída, o uso indispensável da intuição, 
imaginação árida na criação de provas e conclusões oferece satisfação estética 
de alta para o criador. Se a percepção e a imaginação, simetria e proporção, a 
falta de superfluidade, e adaptação exata entre meios e fins são compreendidas 
em beleza e são características das obras de arte, então a matemática é uma arte 
com uma beleza própria [...] Grandes pensadores cedem às modas intelectuais 
do seu tempo como as mulheres fazem a moda no vestuário. Mesmo os gênios 
criativos para quem a matemática era puramente um hobby prosseguido 
os problemas que agitavam os matemáticos e cientistas profissionais. No 
entanto, esses “amadores” e matemáticos em geral, não têm se preocupado 
principalmente com a utilidade do seu trabalho.
Vários autores discutem a natureza do conhecimento matemático. Neste 
âmbito de reflexão, podemos perceber que determinadas facetas filosóficas 
dificilmente seriam percebidas por um estudante que não apresente uma formação 
em Matemática além da escolar. Este assunto será retomado por nós adiante, por 
ora, apresentamos, na seção seguinte, alguns dos precursores do pensamento 
matemático filosófico ocidental.
23AULA 1 TÓPICO 3
TÓPICO 3 Os precursores da filosofia
ObjetivO
• Conhecer os principais pensadores que estabeleceram o 
terreno fértil para a Filosofia da Matemática
Nesta parte discutiremos alguns dos principais pensadores gregos que mais contribuíram 
para o estabelecimento inicial de algumas 
doutrinas na Matemática, com destaque para 
Platão e Aristóteles. 
A primeira figura ilustre a ser lembrada 
quando falamos de Filosofia da Matemática 
é Platão. No que diz respeito ao período de 
formação de Platão, Barbosa (2009, p. 27) explica:
É muito provável que Platão, em torno de seus vinte 
anos, tenha conhecido Sócrates e freqüentado o seu 
círculo, não com o intuito de se tornar um filósofo, mas 
com o propósito de, mediante o estudo da filosofia, 
aprimorar seus conhecimentos para a vida política. 
Todavia, o destino, sempre caprichoso, mudaria por 
completo os rumos de seus objetivos.
v o c ê s a b i a?
Platão é sempre lembrado pelas ideias e concepções 
que influenciou os românticos da matemática. 
Nasceu em 428/427 a.C. e foi descendente de uma 
família ateniense de classe alta.
s a i b a m a i s !
Platão sustenta que há ideias eternas e 
independentes dos sentidos, como o um, o dois, 
etc., ou seja, as Formas Aritméticas e outras 
como o ponto, a reta, plano, que são as Formas 
Geométricas. Quando enunciamos propriedades 
ou relações entre esses entes, estamos descrevendo 
relações entre as Formas (CURY, 1994, p. 42).
24 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
Platão identifica, nas discussões de sua 
época, a dicotomia instalada entre a retórica 
e a filosofia. Neste contexto, os sofistas que 
tinham como objetivo a formação do espírito e 
a multiplicidade de métodos determinam esta 
discussão. Neste sentido, Barbosa (2009, p. 28) 
declara: 
Enquanto matemática e filosofia se 
animam mutuamente na ampliação dos 
horizontes especulativos da realidade 
circundante, a sofística vem a preencher, 
no contexto do conhecimento, um 
espaço outrora vazio, visto que, ao contrário das duas primeiras, não tem 
como escopo um saber teórico ou científico, mas trata de uma exigência de 
ordem estritamente prática.
O resultado desta discussão foi a primazia do conhecimento enciclopédico 
e intelectualizante que herdamos até nossos dias; assim sendo, esse novo “saber 
enciclopédico” (polimathia) e estruturado passou a representar um fenômeno que veio 
a formular os conceitos ocidentais da educação como difusão do saber (BARBOSA, 
2009, p. 28). No que se refere à contribuição específica de Platão com respeito 
à Filosofia da Matemática, Barbosa (2009, p. 37) 
adverte:
Quando nos referimos ao platonismo na 
esfera da filosofia da matemática, não 
podemos atribuir uma doutrina a Platão 
da mesma forma como associamos, por 
exemplo, o logicismo a Frege e Russell, 
isto é, como um corpo de preceitos, 
um sistema filosófico em sua acepção 
moderna. E isso ocorre justamente 
porque não era essa a intenção de 
Platão. Ele estaria mais preocupado em 
estimular as pessoas a pensar, colocando 
deste modo as almas no caminho certo 
do conhecimento puro e desinteressado, que outrora vislumbraram antes de 
serem condenadas ao devir mundano, a esse doloroso vir-a-ser, e sofrer as 
tribulações do corpo e a ignorância da mente. 
at e n ç ã o !
Platonismo: Corrente filosófica baseada no 
pensamento do seu precursor, Platão, talvez 
a mais conhecida, recordada e de implicações 
ainda hoje discutida por estudos acadêmicos. Sua 
escola, dos séculos IV até I a.C. foi responsável 
pela sistematização e aprofundamento de suas 
concepções.
at e n ç ã o !
Sofistas: constituíram de grupos de mestres que 
viajavam pelas cidades realizando aparições 
e eventos públicos para distrair curiosos e 
estudantes. Os mesmos cobravam taxas pelo 
serviço fornecido. Seu foco principal concentrou-
se no logos ou no discurso, com preocupação nasestratégias de argumentação.
25AULA 1 TÓPICO 3
Barbosa (2009), no excerto acima, faz referência a uma corrente filosófica 
absolutista da Matemática conhecida como logicismo. Discutiremos as principais 
características desta corrente nas próximas aulas. De qualquer modo, são 
esclarecedoras suas palavras na medida em que explicam as intenções iniciais 
do antigo filósofo, e é interessante conhecer as consequências que tiveram e as 
implicações desta ideologia ou doutrina do platonismo com relação ao saber 
matemático. Neste contexto, Barbosa (2009, p. 37) acrescenta ainda: 
Uma boa parte do platonismo, assim como nós o conhecemos hoje, é, portanto, 
uma criação posterior a Platão. O platonismo na moderna filosofia matemática é 
descrito como uma teoria que trata das verdades das proposições matemáticas, 
sendo “usualmente tomado como um tipo de realismo, equivalente a crença 
de que os objetos da matemática tais como os números literalmente existem 
independentes de nós e de nossos pensamentos a respeito deles”.
Segundo Silva (2007, p. 37), para Platão, as entidades matemáticas constituem 
um domínio objetivo independente e auto-suficiente, ao qual temos acesso pelo 
entendimento. Para outro importante personagem grego, Aristóteles, os entes 
matemáticos têm uma existência parasitária dos objetos reais – uma vez que os 
objetos matemáticos só existem encarnados em objetos reais – e só nos são revelados 
com o concurso, ao menos em parte, dos sentidos. Silva (2007, p. 37-38) diferencia 
de modo eficiente as duas perspectivas desenvolvidas por estes dois pensadores ao 
declarar que:
Para Platão, o mundo real apenas reflete imperfeitamente um mundo puro 
de entidades perfeitas, imutáveis e eternas – os conceitos matemáticos entre 
elas. Para Aristóteles, o mundo sensível é a realidade fundamental, os entes 
matemáticos são ‘extraídos’ dos objetos sensíveis por meio de operações do 
pensamento, e os conceitos matemáticos são apenas modos de tratar o mundo 
real. [...] De um lado o racionalismo de Platão, que atribui à razão humana o 
poder de penetrar nos domínios supra-sensíveis da matemática, e o seu realismo 
ontológico transcendente, que afirma que a existência independente dos entes 
matemáticos num reino fora deste mundo; de outro, o empirismo de Aristóteles, 
que se recusa a dar morada aos entes matemáticos em qualquer outro reino que 
não o deste mundo, e o seu realismo ontológico imanente, que garante, ele 
também, uma existência dos objetos matemáticos independentemente de um 
sujeito [...].
26 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
Silva (2007, p. 40) sublinha que, para Platão, existe uma pluralidade de 
números matemáticos. Para ele, não existem vários números ‘2’, e sim a ideia de 
dois. Se existisse no mundo ideal apenas um número 2, que sentido teria a identidade 
+ =2 2 4 , na qual comparecem duas instâncias da ideia de ‘2’ (SILVA, 2007, p. 40). 
Essa identidade não pode ser uma relação entre Ideias numéricas – sendo entidades 
singulares elas não admitem cópias de si próprias – mas entre números, que 
precisam então existir em abundância. Platão teve assim que admitir a existência, 
além da perfeita Ideia de 2, das várias instâncias perfeitas desta Ideia (SILVA, 2007, 
p. 40).
Outros conceitos estudados por Platão que merecem atenção são os 
conceitos de números pares e números ímpares. Barbosa (2009, p. 48) acrescenta 
que os conceitos de par e ímpar permeiam toda a 
aritmética platônica, sendo eles capazes de gerar 
todos os outros números. Esta dualidade pode 
indicar certa concordância com o pitagorismo. E 
ainda, Platão teria utilizado os números dois e 
três precisamente por se tratarem dos primeiros 
par e ímpar, respectivamente. Na Antiguidade, 
em geral, não se considerava o um como número 
(BARBOSA, 2009, p. 48).
Não podemos esquecer as preocupações 
de Platão com o ensino e, com respeito a isto, 
Barbosa (2009, p. 49) ilustra: 
Voltando ao método da hipótese, ele é também utilizado no Mênon. Nesse 
diálogo, Platão faz uma brilhante exposição do método socrático como 
instrumento de ensino, quando primeiramente leva o escravo a reconhecer o 
próprio erro, e depois o induz ao conhecimento certo. O problema colocado 
para o escravo é o de calcular a área de um quadrado de lado 2. Feito isso, 
Sócrates questiona o jovem escravo sobre o que aconteceria com cada linha 
deste quadrado se a sua área fosse duplicada [...] Sócrates constrói com o 
escravo um novo quadrado sobre aquele inicialmente dado, o que tem lados 
com medida de 2 pés, prolongando os seus lados até que atinjam a medida 4 
pés. O escravo parece estarrecido ao notar que o quadrado construído com as 
linhas duplicadas do quadrado original tem o quádruplo de sua área.
at e n ç ã o !
A filosofia da Matemática de Aristóteles foi 
desenvolvida, em parte, em oposição a de Platão, 
pois ele critica a Teoria das Formas, dizendo que 
ela não é racional. Para Aristóteles, cada objeto 
empírico, cada ser existente, é uma unidade e não 
existe separado de sua forma ou essência (CURY, 
1994, p. 47).
27AULA 1 TÓPICO 3
O discípulo de Platão, Aristóteles (384 – 322 a. C.), permitia-se discordar 
do mestre. Em primeiro lugar, Aristóteles não admitia a existência de um reino 
transcendente de Ideias e formas matemáticas. As formas geométricas e numéricas 
existem, para Aristóteles, apenas como aspectos de objetos e coleções de objetos reais 
(SILVA, 2007, p. 43). 
Para Aristóteles, os objetos matemáticos são uma abstração apenas ou, na pior 
das hipóteses, uma ficção útil (SILVA, 2007, p. 44). Eles não têm existência separada 
dos objetos empíricos, são apenas aspectos delas, e se por vezes pensamos como 
independentes, isto é, não tem maiores consequências. Um objeto empírico é um 
objeto matemático na medida em que nós podemos considerá-lo do ponto de vista de 
seu aspecto matemático, ou seja, como um objeto matemático (SILVA, 2007, p. 44).
Machado (1994, p. 21) fornece uma distinção interessante quando declara:
Enquanto que para Platão, os enunciados matemáticos eram verdadeiros por 
serem descrições de, ou relações entre, formas matemáticas de existência 
objetiva. Aristóteles reabilita o mundo empírico bem como o trabalho do 
matemático. E recoloca a questão de os objetos matemáticos e os enunciados 
serem verdadeiros ou falsos não em termos absolutos, mas por serem mais ou 
menos adequados à representação do mundo empírico, adequação esta relativa 
a algum fim que se objetiva.
Diferentemente de Platão, Aristóteles se volta à estrutura das teorias 
matemáticas, aos sistemas de proposições. Aristóteles vislumbra a necessidade 
e o método que identificamos até nossos dias que diz respeito à organização 
das proposições nas hipóteses iniciais, logicamente necessárias e nas proposições 
dedutíveis a partir delas, tratando especificamente de estruturar as possíveis deduções 
(MACHADO, 1994, p. 21). Suas concepções podem ser consideradas as precursoras 
do pensamento que motivou os princípios que passaram a regular e caracterizar 
as subdivisões sucessivas da matemática em várias ramificações (no caso das 
geometrias: Geometria Euclidiana, Geometria Diferencia, Geometria Hiperbólica, 
Geometria Riemanniana, etc).
Silva (2007, p. 45) diferencia o pensamento aristotélico do seguinte modo:
Analogamente, para Aristóteles, a matemática estuda objetos sob certos 
aspectos apenas, uma bola como uma esfera, um par de dois livros como dois. 
Ao fazer isso, abstraímos da bola a sua forma geométrica e da coleção de livros 
sua forma aritmética. Visto assim, Aristóteles, é um empirista em ontologia, 
28 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
pois, para ele, apenas os objetos dos sentidos existem realmente, com um 
sentido pleno de existência.
Mas o posicionamento aristotélico produziu respostas inclusive para 
os limites da abstração humana. Neste sentido, Silva (2007, p. 45) questiona: 
poderíamos,porém, perguntar, e os números tão grandes que não podem numerar 
nenhuma coleção real, e as formas geométricas tão esdrúxulas que não podem dar 
forma a nenhum objeto real (como o miriágono, o polígono de dez mil lados)?
O autor acrescenta que a saída vislumbrada por Aristóteles foi admitir que 
entre os objetos matemáticos também encontramos formas fictícias. Essas, no 
entanto, por serem construtíveis a partir de certas formas reais, são possíveis na 
realidade (SILVA, 2007, p. 45). De fato:
Um número muito grande pode ser construído, por adição sucessiva de 
unidades, a partir de qualquer número pequeno dado, e o miriágono pode ser 
construído a partir de figuras geométricas reais, como círculos e segmentos 
de reta. Assim, numa compreensão mais ampla, a matemática, segundo 
Aristóteles, trata não apenas de formas abstratas atuais, mas também de formas 
abstratas possíveis (SILVA, 2007, p. 45).
Para concluir nossas considerações sobre Aristóteles, vale destacar as 
ponderações devidas a Machado (1994, p. 22) quando destaca:
Em resumo, poderíamos dizer que a posição de Aristóteles no que se refere 
à relação da Matemática com a realidade pode ser situada, simultaneamente, 
na origem tanto do realismo como do idealismo modernos, na medida em 
que, por um lado, reabilita o mundo empírico e, por outro lado, o trabalho do 
matemático deixa de ser um mero caçador de borboletas no mundo perfeito 
das Formas, vislumbrando a possibilidade dele mesmo ser um ‘fabricante’ de 
borboletas. 
O posicionamento assumido por Aristóteles em relação à Matemática pode 
ser compreendido também nas palavras de Silva (2007, p. 46), quando explica: 
Como a entendo, a abstração aristotélica, a operação pela qual consideramos 
objetos e coleções de objetos empíricos como objetos matemáticos, comporta 
também um elemento de idealização. Tratar uma bola como uma esfera é uma 
operação complexa: abstrair-se da bola a sua forma mais ou menos esférica e, 
simultaneamente, idealiza-se essa forma, isto é, desconsideram-se as diferenças 
29AULA 1 TÓPICO 3
entre ela e a esfera matemática perfeita (determinada pela sua definição como o 
lugar geométrico dos pontos espaciais eqüidistantes de um centro). Uma esfera 
matemática é, assim, a idealização de um aspecto da bola, e só assim ela existe.
A Matemática como a conhecemos hoje é o exemplo mais puro e clássico de 
ciência dedutiva, e várias outras áreas do conhecimento buscaram e adaptaram, 
na medida do possível, alguns de seus pressupostos e paradigmas de rigor. De 
fato, é relevante a influencia do pensamento aristotélico no desenvolvimento da ciência 
em geral (SILVA, 2007, p. 50). Aristóteles entendia a Matemática como um edifício 
logicamente estruturado de verdades encadeadas em relações de conseqüência lógica a 
partir de pressupostos fundamentais não demonstrados (2007, p. 50).
Aristóteles contribuiu também com relação às noções metamatemáticas 
(propriedades elementares da metodologia das ciências dedutivas) fundamentais, 
como as de axioma, definição, hipótese e demonstração. Aristóteles critica o modelo 
de demonstrações em Matemática que conhecemos por redução ao absurdo. O mesmo 
considera-as não explicativas, isto é, sabe-se que algo é verdadeiro sem saber por que é 
verdadeiro (SILVA, 2007, p. 52). A este respeito, Silva (2007, p. 52) comenta:
Demonstrações por redução ao absurdo (para se demonstrar que uma asserção 
qualquer A, supõe-se a falsidade de A e obtêm-
se como conseqüência uma falsidade qualquer ou, 
equivalentemente uma contradição. O que mostra que 
A não pode ser falsa, sendo, portanto, verdadeira) 
ocorrem com freqüência na matemática grega, em 
particular no método da exaustão de Arquimedes, que 
envolve uma dupla redução ao absurdo. A introdução 
de métodos infinitarios na matemática do século 
XVII, em especial por Cavalieri, visava em grande 
medida substituir demonstrações por exaustão por 
demonstrações diretas, causais, respondendo assim às 
demandas aristotélicas.
Em vários aspectos podemos dizer que os 
germes da ideia da importância de uma ciência 
dedutiva e o poder da lógica puramente formal 
encontram-se nas concepções aristotélicas. Nesta 
perspectiva, à matemática formal não importa o 
significado nem a veracidade das asserções, mas 
v o c ê s a b i a?
Zenão de Eléia foi um filósofo pré-socrático 
e foi discípulo de Parmênides. Das suas 
descobertas, destacamos a dialética clássica, o 
modo de argumentar que consiste em derivar 
contradições das teses do opositor ao seu 
discurso. Zenão utilizou o método na defesa das 
ideias de Parmênides acerca da unidade do ente 
e da impossibilidade do movimento, propondo 
algumas contradições ou aporias, que desafiaram 
os seus contemporâneos e intrigam até nossos 
dias. Ver sua descrição no curso de História da 
Matemática.
30 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
apenas as relações formais entre elas (SILVA, 2007, p. 51). Mas isto quer dizer que 
podemos tomá-la apenas como um jogo formal sem nenhuma intenção cognitiva? 
Este questionamento, fruto de intensas querelas e embates políticos entre os 
matemáticos, será retomado nas próximas aulas, uma vez que não se tem uma 
resposta de argumentação satisfatória.
Outro aspecto que merece ser destacado diz respeito às contribuições de 
Aristóteles com relação a algumas noções que funcionam até nossos dias como 
pedras angulares para o saber matemático. Um destes exemplos e que foi objeto de 
reflexão para Aristóteles diz respeito à noção de infinito.
Em virtude das ponderações aristotélicas, desenvolveram-se as noções de 
infinito atual e infinito potencial, entretanto, 
no que diz respeito ao aspecto matemático 
desta noção, Georg Cantor (1845-1918) 
forneceu o acabamento final, acrescentando 
alguns elementos descuidados por Aristóteles. 
Com relação a tais noções, Silva (2007, p. 51) 
acrescenta:
Devemo-lhes a distinção fundamental 
entre o infinito atual e o infinito 
potencial, ou seja, entre a noção de 
uma totalidade finita em que sempre 
cabe mais um indefinidamente – o 
infinito potencial – e uma totalidade infinita acabada. Segundo Aristóteles, 
aos matemáticos bastava a noção de infinito potencial. Se bem que esta ideia 
não corresponde à realidade da prática matemática, uma vez que a noção de 
infinito atual é essencial a muitas teorias matemáticas, uma vez que a noção de 
infinito atual é essencial a muitas teorias matemáticas, ela foi, e ainda é, aceita 
por muitos matemáticos, que não vêem na matemática do infinito senão uma 
fonte de absurdos e contradições.
Nas próximas aulas, nos deteremos um pouco mais nestas duas noções 
importantes para a Matemática. Para concluir esta seção, discutiremos ainda parte 
das contribuições devidas à Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) e Immanuel 
Kant (1724-1804) . Machado (1994) explica que cerca de dois mil anos se passaram 
para que a obra aristotélica, enquanto Lógica, fosse retomada e desenvolvida.
Segundo Machado (1994, p. 22), Leibniz fornece uma intensa contribuição 
ao aceitar a pressuposição aristotélica da forma sujeito-predicado de todas as 
at e n ç ã o !
Acreditamos que a radical mudança na abordagem 
sobre o infinito promovida por Cantor no final do 
século XIX pode ser melhor destacada com uma 
análise sob três ângulos, que interpretamos como 
três pontos de vista sobre o infinito: o histórico, o 
filosófico e o matemático.
31AULA 1 TÓPICO 3
proposições. E vai além, ao afirmar que o predicado de uma proposição sempre está 
contido, em algum sentido, no sujeito. Machado (1994, p. 22) esclarece que:
Para Leibniz há duas classes de verdades: as verdades da razão e as verdades 
dos fatos. As verdades da razão são necessárias e sua negação não faz sentido. 
A necessidade se exprime através da análise e da conseqüente decomposição 
em proposições mais simples até que se chegue a um ponto em que a 
necessidade lógica seja transparente.O princípio que regula a análise é o da 
não-contradição, que engloba o da não identidade e o do terceiro excluído.
Acrescenta ainda que não só as tautologias como também os axiomas, os 
postulados e os teoremas são verdades da razão, ou seja, são verdades cuja negação é 
impossível de sustentar sem incorrer em contradições (MACHADO, 1994, p. 23). As 
verdades da razão enunciam que uma coisa é necessária e universal, não podendo 
de modo algum ser diferente do que é e de como é. 
Um exemplo evidente das verdades da razão são as ideias matemáticas. É 
inquestionável que o triângulo não possua três lados e que a soma dos seus ângulos 
seja diferente de dois ângulos retos. Outro exemplo interessante de verdade da 
razão é que um circulo não tenha todos os pontos eqüidistantes do centro. Outra 
verdade da razão é que não se pode contradizer o que 2+2 seja diferente de 4; é 
impossível questionar que o todo é maior do que suas partes constituintes. 
As verdades de fato, por outro lado, são as que dependem de nossa experiência 
captada no mundo em que vivemos. De fato, elas são obtidas através da sensação, 
da percepção e da memória. Elas são empíricas e se referem a coisas que poderiam 
ser diferentes do que são, mas podemos identificar causas que sejam assim. Quando 
dizemos que uma rosa é branca, nada impede que ela possa ser vermelha ou amarela, 
mas se ela é branca é porque alguma causa a fez deste modo e aparência. Mas não 
é acidental ou contingente que ela tenha cor e é a “cor” que possui e envolve uma 
causa necessária. 
As verdades de fato são verdades porque para elas funciona e empregamos 
o principio da razão suficiente, segundo o qual tudo o que existe, tudo o que 
percebemos e identificamos, e tudo aquilo que temos experiência possui uma causa 
determinada e identificável e conhecida. Pelo princípio da razão suficiente – isto 
é, pelo conhecimento das causas – toda a verdade de fato pode tornar-se verdades 
necessárias e serem consideradas verdades da razão, ainda que para conhecê-las 
dependamos da experiência mundana. 
32 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
Machado (1994, p. 23) explica ainda que as verdades dos fatos são proposições 
empíricas cuja negação não encontra óbices do ponto de vista lógico. É uma verdade 
da razão que minha caneta é uma caneta ou que + =2 2 23 4 5 . É uma verdade de fato 
que minha caneta é preta ou que um corpo, abandonado em uma certa altura da Torre 
de Pisa, cairá até o solo. Machado (1994, p. 23) fornece uma importante distinção: 
Diferentemente de Platão, para quem diagramas, figuras, cálculo simbólico, 
foram elementos auxiliares ocasionais, Leibniz acreditava que a representação 
concreta do pensamento em símbolos adequados era, segundo suas próprias 
palavras, o “fio de Ariadne” que conduz a mente. E o desenvolvimento que ele 
imprime à Lógica decorre do seu propósito de criar um método de representar 
o pensamento através de signos, de características relacionadas com o que se 
está pensando.
Para concluir este tópico, destacamos 
a figura emblemática da Imanuel Kant. Sua 
proposta inicial consiste na distinção de duas 
classes de proposições. As proposições sintéticas: 
as que são empíricas, ou as sintéticas a posteriori 
e as que não são empíricas, ou sintéticas a priori. 
As proposições sintéticas a posteriori dependem, 
segundo Kant, da experiência sensível, para 
sua verificação, para sua validação e aceitação. 
Ou ainda de modo indireto, uma vez que são 
consequências de inferências proposicionais 
passíveis de alguma verificação experimental.
Por outro lado, Machado (1994, p. 24) 
explica que: 
Já as proposições sintéticas a priori 
não dependem da percepção sensorial 
para sua validação, nem são analíticas, 
isto é, nem a sua negação conduz 
a contradições. São proposições 
necessárias por constituírem a base, a 
condição de possibilidade da ciência, da 
experiência objetiva. 
s a i b a m a i s !
Experiência sensível: Este termo possui dupla 
raiz etimológica. A palavra latina experientia de 
onde deriva a palavra experiência, é originária 
da expressão grega. Deriva-se também de um uso 
específico da palavra empírico. 
s a i b a m a i s !
Validação: Este termo aqui é empregado no 
sentido restrito ao âmbito da investigação em 
Matemática Pura, assim, diz respeito à aplicação 
de paradigmas de testagem e verificação da 
confiabilidade dos conteúdos matemáticos 
obtidos.
33AULA 1 TÓPICO 3
Para Kant, todas as proposições da 
Matemática são sintéticas a priori. Machado 
(1994, p. 25) explica este posicionamento ao 
mencionar que:
Os objetos do mundo empírico situam-se no espaço 
e no tempo. Não é possível estudá-los, conhecê-los, 
investigá-los, percebê-los sensorialmente, sem uma 
concepção inicial do espaço e do tempo. A estrutura 
conceitual do par espaço-tempo é que determina 
o modo como o mundo empírico é apreendido. Esta 
estruturação é, a uma só vez, sintética e a priori. 
Ao descrever o tempo e o espaço, descrevemos não 
impressões sensíveis de algo situado fora de nós, do 
mundo empírico, mas sim as matrizes permanentes, 
invariantes, de tais conceitos, que existem em nós, 
independentemente das impressões sensíveis e que 
são a condição de possibilidade de atuar no mundo 
empírico. E a matemática, enquanto se refere ao 
espaço e ao tempo, é constituída de proposições 
sintéticas a priori e não analíticas, como anteriormente 
era considerada.
Para concluir, ressaltamos que Kant destacou que os
matemáticos são os indivíduos “eleitos” para desvendar os segredos do 
harmônico universo platônico preexistente, de perquiridores de tal mundo 
perfeito universo, ou de criadores de abstrações, de conceitos gerais para 
explicar o mundo, a partir do imperfeito material empírico (MACHADO, 1994, 
p. 25). 
O principal mecanismo de acesso a tais entes não se dá mais por meios dos 
órgãos sensoriais, e sim, por meio da razão introspectiva. 
As ideias repercutidas por estes personagens emblemáticos receberam 
séculos mais tarde uma enorme atenção de matemáticos e filósofos modernos. O 
interessante será reservado a uma análise da forma como tais ideologias ainda se 
manifestam e condicionam as formas de veiculação e ensino do saber matemático. 
Na próxima aula, discutiremos as implicações deste pensamento filosófico antigo.
s a i b a m a i s !
Para a Geometria, o espaço puro é um dos 
primeiros pressupostos. A Geometria supõe o 
espaço sob os seus conceitos de polígonos. Por 
exemplo, a linha reta é a distância mais curta entre 
dois pontos (qualquer linha reta = universalidade, 
em quaisquer condições = necessidade). Embora 
não tenha em si o princípio de não contradição, 
e dependa da intuição de espaço e, portanto é 
sintética, essa afirmação é conhecimento puro ou 
a priori porque a intuição do espaço está em nossa 
mente. E uma vez concebida, não depende mais 
da experiência sensível captada por nossos órgãos 
sensórios.
34 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
AT I V I D A D E S D E A P R O F U N D A M E N T O
1. Pesquisar exemplos de infinito atual e infinito potencial dentro da Matemática.
2. Pesquisar exemplos de verdades da razão e de verdades dos fatos. 
3. Pesquisar exemplos de conhecimentos que não derivam da experiência empírica.
35AULA 2
AULA 2 Filosofia da Matemática
Nos próximos tópicos, nos deteremos em alguns dos pressupostos fundamentais 
assumidos pelas principais correntes filosóficas da Matemática. Uma das 
implicações mais importantes diz respeito à identificação de distorções e 
incongruências relacionadas ao ensino de Matemática. Tais distorções se referem 
à interpretação dos fenômenos relacionados a este ensino sob o viés de teorias 
pedagógicas de campos de saberes não aplicáveis e insuficientes ao saber 
matemático. Assim, o conhecimento das correntes filosóficas da Matemática 
poderá instrumentalizar o futuro professor no sentido de proporcionaruma leitura 
filosófica de sua própria prática docente. 
Objetivos
• Conhecer as principais correntes absolutistas da Matemática
• Conhecer aspectos do “construtivismo” matemático e os fundamentos da 
teorização de Piaget e suas implicações para o ensino
36 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
Nesta aula discutiremos as principais correntes filosóficas da Matemática. Alguns dos autores escolhidos e consultados ao longo do texto as denominam de correntes absolutistas, pelo fato 
de não conceber o caráter falível do saber matemático. Um comentário introdutório 
sobre tais correntes podem ser encontradas em Machado (1994, p. 26) quando 
esclarece que: 
As principais concepções a respeito da natureza da Matemática, de sua relação 
com a realidade, a despeito de suas várias raízes e dos inúmeros filósofos 
envolvidos, convergiram a partir da segunda metade do século XIX, para três 
grandes troncos. Estas três grandes correntes do pensamento matemático, 
cada uma das quais pretendendo fundamentar a Matemática, sua produção, 
seu ensino, são o Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo. 
Certamente que a classificação fornecida por Machado (1994) é de caráter 
esquemático e pedagógico, uma vez que é impossível enquadrar de modo indiscutível 
todas as concepções nesta camisa-de-força (MACHADO, 1994, p. 26). No contexto 
histórico, identificamos que, no final do século passado, a Matemática havia-se 
desenvolvido enormemente, com os trabalhos de Leonhard Euler, Johann Carl 
Friedrich Gauss (no século XVIII) e as contribuições, principalmente os resultados 
obtidos por Georg Cantor (no século XIX). 
TÓPICO 1 As correntes filosóficas da matemática
ObjetivO
• Conhecer as principais correntes absolutistas da 
Matemática
37AULA 2 TÓPICO 1
Cury (1994, p. 53) destaca que alguns filósofos matemáticos, no entanto, 
estavam preocupados com o surgimento de paradoxos e contradições na Lógica e na 
Teoria dos Conjuntos. Assim, com a intenção de identificar critérios mais rigorosos 
e confiáveis no sentido de fundamentar a Matemática, desenvolveram-se três escolas 
de filosofia, cuja influência se faz sentir até os dias atuais: o Logicismo, o Intuicionismo 
e o Formalismo (CURY, 1994, p. 53).
Ao declarar que seus efeitos ainda podem ser identificados nos dias de 
hoje, Cury faz um parêntese importante que nos auxiliará no aprofundamento 
com respeito à atividade avaliativa em Matemática. Muitos tentam compreender 
e descrever este fenômeno específico por meio de teorias “importadas” de outros 
campos do saber, o que resulta em uma leitura 
e significação de caráter retórico, pouco 
operacional no que diz respeito à sua aplicação 
no ensino efetivo de Matemática.
Iniciamos nossa discussão com uma 
reflexão de Russell (1920, p. 18) quando alerta 
que:
Matemática e lógica, historicamente, têm sidoestudos inteiramente distintos 
[...] Mas ambos têm se desenvolvido em tempos modernos; a lógica tornou-se 
mais matemática e matemática tornou-se mais lógica. A conseqüência é que 
agora se tornou completamente impossível traçar uma linha entre os dois, na 
verdade os dois são um só [..] A prova da sua identidade é, naturalmente, uma 
questão de detalhe.
No excerto acima identificamos a dificuldade de traçarmos uma linha 
divisória entre Matemática e Lógica. De fato, até mesmo mentes brilhantes, 
como a de Bertrand Russell (1872-1970), destacavam tal empecilho. Mas já que 
introduzimos a polêmica em torno da Lógica, discutiremos inicialmente alguns 
aspectos relacionados ao Logicismo. Para falar do Logicismo, é necessário falar de 
Gottlob Frege (1848-1925). 
Silva (2007, p. 127) acentua que a estratégia logicista de Frege começa com uma 
releitura das distinções kantianas. Frege nos alerta de saída para nunca confundirmos 
o lógico com o psicológico. Em sua concepção:
A razão é simples, representações são “cópias” das coisas em nossa mente, elas 
são objetos mentais, e qualquer tentativa de definir analiticidade em termos 
v o c ê s a b i a?
Bertrand Russell foi um matemático, filósofo, 
lógico e historiador matemático inglês.
38 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
de representações mentais corre o risco de ser contaminada pelo psicologismo. 
Para Frege, essa distinção entre o a priori e o posteriori, é puramente lógica 
[...] (SILVA, 2007, p. 127).
No trecho acima, Silva expõe a crítica de Frege ao Psicologismo que manifesta 
preocupação com a interpretação que possamos dar às nossas representações 
mentais que construímos no decorrer de nossa existência finita no mundo. 
Seu posicionamento do valor da Lógica é identificado por Silva (2007, p. 
126-127) quando menciona:
Apesar de concordar com Kant quanto à Geometria, Frege acreditava que a 
aritmética é analítica, porém em um sentido de analiticidade diferente de Kant. 
Mais precisamente, para Frege, a aritmética é redutível à lógica, ela nada mais 
é do que pura lógica. Para fazer prevalecer esse ponto de vista, Frege engajou-
se numa luta sem quartel contra as filosofias que, segundo ele, comprometiam 
o caráter da verdade aritmética em particular os empiristas, para os quais a 
verdade aritmética é uma generalização da experiência, fundada em sólida 
base indutiva; e os psicologistas, para os quais os números são entidades 
mentais e as verdades aritméticas dependem de leis empíricas que regulam 
nossos processos mentais; isto é, leis da psicologia.
Para Frege, uma proposição matemática pode apresentar duas naturezas 
distintas. De fato, temos uma proposição analítica quando a demonstração desta 
proposição envolve apenas leis lógicas gerais e definições formais. Se, pelo 
contrário, qualquer demonstração de uma 
proposição recorre ao emprego de verdades de 
escopo limitado (como os axiomas da geometria), 
ela será uma proposição sintética. Ademais, 
quando a mesma proposição utiliza verdades 
particulares, embora não demonstráveis (como as 
asserções que expressam os dados imediatos dos 
sentidos), ela será uma proposição a posteriori. E 
quando em tal proposição observamos que sua 
demonstração se fundamenta em fatos e verdades 
gerais, ela será a priori (SILVA, 2007, p. 127). De 
modo resumido, temos o quadro sistemático de 
classificação segundo as concepções de Frege.
s a i b a m a i s !
O Empirismo é descrito e caracterizado pelo 
conhecimento científico, a sabedoria é adquirida 
por intermédio da apreensão perceptual, pela 
origem das ideias por onde captamos e percebemos 
as coisas, de modo independe de seus objetivos 
e significados. E pela relação de causa-efeito por 
onde fixamos nossa mente, o que é percebido/
identificado atribui à percepção causas e efeitos.
39AULA 2 TÓPICO 1
Proposições Características Quanto à demonstração
Proposição 
sintética
Emprega verdades de escopo 
limitado para assegurar sua 
validade
Quando recorre apenas a 
verdades gerais (a priori)
Proposição 
analítica
Sua verificação envolve o 
recurso de leis gerais da 
lógica e definições formais
Quando se fundamenta em 
verdades particulares, não 
demonstráveis (a posteriori)
Quadro 1: Propriedades das proposições (SILVA, 2007, p. 133)
Dando continuidade ao pensamento da corrente Logicista, encontramos o 
matemático e filósofo Bertrand Russell. Silva (2007, p. 134) diz que Russell não foi 
tão pessimista quanto Frege sobre o destino do programa logicista. Seu pensamento 
pode ser contemplado no seguinte trecho:
A matemática é um estudo que, quando iniciado de suas partes mais 
familiares, pode ser levado a efeito em duas direções opostas. A mais comum 
é construtivista, no sentido da complexidade gradativamente crescente: dos 
inteiros para as frações, os números reais, os números complexos, da adição 
e multiplicação para a diferenciação e integração e daí para a matemática 
superior. A outra direção, que é menos familiar, avança, pela análise, para a 
abstração e a simplicidade lógica sempre maiores; em vez de indagar o quepode ser definido e deduzido daquilo que se admita para começar, indaga-se 
que mais ideias e princípios gerais podem ser encontrados, em função dos 
quais o que fora o ponto de partida possa ser definido ou deduzido. É o fato 
de seguir essa direção oposta é que caracteriza a Filosofia da Matemática, em 
contraste comum com a matemática (RUSSELL, 1981, p. 9, apud SILVA, 2007, 
p. 135).
Note-se que, no trecho acima, apesar de extenso, há espaço para a inspiração 
adequada para nossa discussão. Observamos a distinção do termo construtivismo 
em Matemática. Russell faz indicações concretas a respeito da necessidade de 
construção progressiva dos conceitos matemáticos, passo a passo. Neste sentido, 
destaca o papel da abstração humana como a capacidade ontológica do indivíduo 
que proporciona determinados saltos, avanços e retrocessos qualitativos do 
indivíduo. 
Nesse sentido, Russell (1981, p. 9) salienta que os antigos geômetras gregos 
ao passarem das regras de agrimensura empíricas egípcias e proposições gerais pelas 
40 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
quais se constatou estarem aquelas regras justificadas, e daí para os axiomas e 
postulados de Euclides, estavam praticando a Filosofia da Matemática. Por outro 
lado, uma vez atingido os axiomas e postulados, o seu emprego dedutivo, como 
testemunhamos em Euclides, pertencia à matemática no sentido comum. A 
distinção entre matemática e filosofia da matemática depende do interesse que inspire 
a pesquisa e da etapa por esta atingida e não das proposições às quais a investigação 
esteja afetada (RUSSELL, 1981, p. 9).
Russell, considerado um filósofo logicista, ressaltava alguns aspectos que 
deveriam ser tomados com vigilância pelos próprios logicistas. Em suas palavras, 
percebemos alguma destas ressalvas:
Uma vez toda a matemática pura e tradicional reduzida à teoria dos números 
naturais, o passo seguinte na análise lógica, foi reduzir essa própria teoria ao 
menor conjunto de premissas e termos não definidos dos quais se pudesse 
ser derivada. Esse trabalho foi realizado por Peano. Ele mostrou que toda a 
teoria dos números naturais podia ser derivada de três ideias primitivas e 
cinco proposições primitivas, além daquelas da Lógica pura. Essas três ideias 
e cinco proposições tornaram-se, desse modo, por assim dizer, as garantias de 
toda a matemática pura. Seu “peso” lógico, caso se possa usar tal expressão, é 
igual ao de toda a série de ciências deduzidas da teoria dos números naturais; a 
verdade das cinco proposições primitivas, desde que, naturalmente, nada haja 
de errôneo no aparato lógico também envolvido (1981, p. 12). 
A principal tese logicista foi defendida por Russell, Whitehead, na 
fundamental obra Principia Mathematica. O autor pretendia derivar as leias da 
Aritmética e, de resto, toda a Matemática, das leis da Lógica normativa elementar. 
Muito cedo, porém, a Lógica aristotélica, mesmo incorporando os desenvolvimentos 
de Leibniz, bem como os que seguiram, mostrou-se pequena demais para tal tarefa 
(MACHADO, 1994, p. 27). Neste sentido, Machado (1994) aponta os seguintes 
objetivos propostos pelos logicistas:
a) todas as proposições matemáticas podem ser expressas na terminologia 
lógica;
b) todas as proposições matemáticas verdadeiras são expressões de verdades 
lógicas.
Cury (1994, p. 54) menciona que alguns dos logicistas mereceram destaque, 
como Russell e Whitehead. Cury chama atenção para o coroamento das pesquisas 
de vários matemáticos que antecederam os logicistas. Neste sentido, destacamos 
41AULA 2 TÓPICO 1
o simbolismo exagerado e a formalização presentes na obra escrita por Russell 
intitulada Principia Mathematica mostram que, para os seus autores, a matemática 
existe em um “céu platônico”, desligada dos problemas humanos.
Cury (1994, p. 54) destaca, no entanto que:
[...] a tentativa de Russell e Whitehead de mostrar que a matemática clássica 
pode ser reduzida à Lógica não estava completa. Para evitar os paradoxos e as 
críticas que surgiam à sua obra, Russell teve que edificar a teoria dos tipos e 
assumir o axioma do infinito, que não tem caráter lógico estrito, pois é uma 
hipótese sobre o mundo real. Assim, o programa logicista não teve êxito em 
sua tentativa de assegurar a visão absolutista da matemática.
No final de sua vida, Russell abandonou a visão platônica em que se apoiara 
nos seus trabalhos iniciais, talvez pelo desencanto em relação às possibilidades de 
fundamentar a matemática (CURY, 1994, p. 54). Machado (1994, p. 27) salienta que:
A Lógica elementar contém regras de quantificação que provêem a matemática 
de instrumental eficiente quando se trata de frases onde esteja bem-estabelecida 
a caracterização do indivíduo e do atributo, distinção essa que sabemos de 
raízes aristotélicas. Entretanto, ela não admite, sem enfrentar dificuldades, 
regras de quantificação para expressões bem-formadas onde atributos são 
tratados como indivíduos. Assim, frases do tipo “todos os indivíduos i têm 
o atributo A” ou “existe um indivíduo i que tem o atributo A” não oferecem 
problemas; mas frases como “todos os atributos A têm o atributo B” ou “existe 
um atributo A que tem o atributo B” conduziriam a dificuldades lógicas.
Machado (1994) discute o Paradoxo de Russell, que consiste em uma situação 
contraditória descoberta por Bertrand Russell em 1901 e que prova que a teoria 
de conjuntos de Cantor e Frege é contraditória. Consideramos então o conjunto M 
como definido “conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprio como 
membro. Empregando a notação matemática, escrevemos A é elemento pertencente 
de M se, e somente se, A não é elemento de A, ou seja, : { ; A A}M A= Ï . 
No sistema concebido por George Cantor, M é um conjunto bem definido. A 
questão que se apresenta diz respeito da possibilidade de M conter-se a si mesmo? 
Ora, se as resposta é sim, não é membro de M, de acordo com a definição 
estabelecida há pouco. Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, 
tem de ser membro de M, de acordo mais uma vez com a definição de M. Deste modo, 
as afirmações “M é membro de M” e “M não é membro de M” conduzem ambas 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
http://pt.wikipedia.org/wiki/1901
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_conjuntos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_conjuntos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege
42 F i loso f ia das C iênc ias e da Matemát ica
a inconsistências e contradições. Já no sistema devido a Frege, M corresponde ao 
conceito e não recai no conceito de sua definição. O sistema de Frege conduz ainda 
a outras contradições. 
Para concluir, vamos recordar o Paradoxo do Barbeiro de Sevilha. Tal 
paradoxo é explicado a partir da Lógica e da Teoria dos Conjuntos. O paradoxo 
envolve uma aldeia onde, todos os dias um barbeiro faz a barba de todos os homens 
que não se barbeiam a si próprios e a mais ninguém. Ora, tal aldeia pode existir? 
O raciocínio nos conduz a duas possibilidades: i) se o barbeiro não se barbeia a si 
mesmo, então terá de fazer a barba de si mesmo; (ii) se o barbeiro se barbear a si 
mesmo, de acordo com a regra estabelecida, ele não pode se barbear a si mesmo.
A regra anterior caracteriza uma situação indecidível. O paradoxo costuma 
ser atribuído a Bertrand Russell, um matemático britânico que no ano de 
1901 elaborou este paradoxo para demonstrar a natureza auto-contraditória e 
inconsistente da teoria dos conjuntos estruturada por Cantor. Não nos deteremos 
de modo aprofundado nestas questões que exigem um conhecimento aprofundado 
de lógica e noções e programação. 
Machado (1994, p. 27) discute outro paradoxo: 
Consideremos o conjunto cujos elementos são os catálogos de livros 
(indivíduos). Diremos que um catálogo é normal (atributo) se ele não se incluir 
entre os livros que cita; se ele se incluir, será anormal. Consideremos, agora, o