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Í NDICE ESA ESCOLA DE SARGENTOS DAS ARMAS Sargentos do Exército Brasileiro (CFS) 090FV-19 EDITAL N° 002/2019 Í NDICE Matemática 1) Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos a) Representação de conjuntos e subconjuntos: união, interseção e diferença de con- juntos. b) Razões e proporções: razão de duas grandezas, proporção e suas propriedades, escala, divisão em partes direta e inver- samente proporcionais, regra de três simples e composta, porcentagem, juros simples e juros compostos. c) Números Naturais e In- teiros: divisibilidade, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, decomposição em fatores primos, operações e propriedades. 56 d) Números Racionais e Reais: operações e propriedades, representação decimal, desigualdades, intervalos reais. . . . . . . . . . 01 2) Funções a) Domínio, contradomínio e imagem. b) Raiz de uma função. c) Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. d) Funções crescentes, decrescentes e constantes. e) Funções compostas e inversas. 3) Função afim e função quadrática a) Gráfico, domínio, im- agem e características. b) Variações de sinal. c) Máximos e mínimos. d) Resolução de equações e inequações. e) Inequação produto e inequação quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4) Função exponencial a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Equações e inequações exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . 36 5) Função logarítmica a) Definição de logaritmo, propriedades operatórias e mudança de base. b) Gráfico, domínio, imagem e carac- terísticas da função logarítmica. c) Equações e inequações logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6) Trigonometria a) Trigonometria no triângulo retângulo. b) Trigonometria num triângulo qualquer. c) Unidades de medidas de arcos e ângulos: graus e radianos. d) Círculo trigonométrico, razões trigonométricas, redução ao 1º quadrante. e) Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente; relações e identidades. f) Fórmulas de adição de arcos e arcos duplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7) Análise combinatória a) Fatorial: definição e operações. b) Princípio Fundamental da Contagem. c) Arranjos, permutações e combi- nações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8) Probabilidade a) Experimento aleatório, espaço amostral, evento. b) Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. c) Proba- bilidade da união e interseção de eventos. d) Probabilidade condicional. e) Eventos independentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9) Noções de estatística a) População e amostra. b) Frequência absoluta e frequência relativa. c) Medidas de tendência central: média aritmética, média aritmética ponderada, mediana e moda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10) Sequências numéricas a) Lei de formação de uma sequência. b) Progressões aritméticas e geométricas: termo geral, soma dos termos e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11) Matrizes, determinantes e sistemas lineares a) Matrizes: conceito, tipos especiais, operações e matriz inversa. b) Determinantes: conceito, resolução e propriedades. c) Sistemas lineares: resolução, classificação e discussão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12) Geometria plana a) Congruência de figuras planas. b) Semelhança de triângulos. c) Relações métricas nos triângulos, polígonos regulares e círculos. d) Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. e) Áreas de polígonos, círculo, coroa e setor circular. . . . 74 13) Geometria espacial a) Retas e planos no espaço: paralelismo e perpendicularismo. b) Prismas, pirâmides, cilindros e cones: con- ceito, elementos, classificação, áreas, volumes e troncos. c) Esfera: elementos, seção da esfera, área e volume. . . . . . . . . . . . . . . 84 14) Geometria analítica a) Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento, condição de alinha- mento de três pontos. b) Estudo da reta: equação geral e reduzida; interseção, paralelismo e perpendicularismo entre retas; distância de um ponto a uma reta; área de um triângulo. c) Estudo da circunferência: equação geral e reduzida; posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; tangência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 15) Números complexos a) O número “i”. b) Conjugado e módulo de um número complexo. c) Representação algébrica e trigonométri- ca de um número complexo. d) Operações nas formas algébrica e trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 16) Polinômios a) Função polinomial; polinômio identicamente nulo; grau de um polinômio; identidade de um polinômio, raiz de um polinômio; operações com polinômios; valor numérico de um polinômio. b) Divisão de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de D’Alembert, dispositivo de Briot-Ruffini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 17) Equações polinomiais a) Definição, raízes e multiplicidade. b) Teorema Fundamental da Álgebra. c) Relações entre coeficientes e raízes. d) Raízes reais e complexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Português 1) Leitura, interpretação e análise de textos Leitura, interpretação e análise dos significados presentes em um texto e o respectivo relacionamento com o universo em que o texto foi produzido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 2) Fonética, ortografia e pontuação Correta escrita das palavras da língua portuguesa, acentuação gráfica, partição silábica e pontu- ação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08 3) Morfologia Estrutura e formação das palavras e classes de palavras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4) Morfossintaxe: Frase, oração e período, termos da oração, orações do período (desenvolvidas e reduzidas), funções sintáticas do pronome relativo, sintaxe de regência (verbal e nominal), sintaxe de concordância (verbal e nominal) e sintaxe de colocação. . . . 31 5) Noções de versificação Estrutura do verso, tipos de verso, rima, estrofação e poemas de forma fixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6) Teoria da linguagem e semântica História da Língua Portuguesa; linguagem, língua, discurso e estilo; níveis de linguagem, funções da linguagem; figuras de linguagem; e significado das palavras. 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Í NDICE 7) Introdução à literatura A arte literária, os gêneros literários e a evolução da arte literária, em Portugal e no Brasil. . . . . . . . . . . 57 8) Literatura brasileira Contexto histórico, características, principais autores e obras do Quinhentismo, Barroco, Arcadismo, Romantis- mo, Realismo, Naturalismo, Impressionismo, Parnasianismo, Simbolismo, Pré-Modernismo e Modernismo. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 59 9) Redação Gênero textual; textualidade e estilo (funções da linguagem; coesão e coerência textual; tipos de discurso; intertextuali- dade; denotação e conotação; figuras de linguagem; mecanismos de coesão; a ambiguidade; a não-contradição; paralelismos sintáti- cos e semânticos; continuidade e progressão textual); texto e contexto; o texto narrativo: o enredo, o tempo e o espaço; a técnica da descrição; o narrador; o texto argumentativo; o tema; a impessoalidade; a carta argumentativa; a crônica argumentativa; a argu- mentação e a persuasão; o texto dissertativo-argumentativo; a consistência dos argumentos; a contra-argumentação; o parágrafo; a informatividade e o senso comum; formas de desenvolvimento do texto dissertativo-argumentativo; a introdução; e a conclusão. 65 10) Alterações introduzidas na ortografia da língua portuguesa pelo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, assinado em Lisboa, em 16 de dezembro de 1990, por Portugal, Brasil, Angola, São Tomé e Príncipe, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique e, posterior- mente, por Timor Leste, aprovado no Brasil pelo Decreto nº 6.583, de 29 de setembro de 2008 e alterado pelo Decreto nº 7.875, de 27 de dezembro de 2012. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 História do Brasil 1) História do Brasil a) A expansão Ultramarina Européia dos séculos XV e XVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 b) O Sistema Colonial Português na América Estrutura político-administrativa, estrutura socioeconômica, invasões estrangeiras, ex- pansão territorial, interiorização e formação das fronteiras, as reformas pombalinas, rebeliões coloniais; e movimentos e tentativas emancipacionistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02 c) O Período Joanino e a Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03 (1) A presença britânica no Brasil, a transferência da Corte, os tratados, as principais medidas de D. João VI no Brasil, a política joanina, os partidos políticos, as revoltas, conspirações e revoluções e a emancipação e os conflitos sociais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03 (2) O processo de independência do Brasil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 d) Brasil Imperial Primeiro Reinado e Período Regencial: aspectos administrativos, militares, culturais, econômicos, sociais e territori- ais; Segundo Reinado: aspectos administrativos, militares, econômicos, sociais e territoriais; e Crise da Monarquia e Proclamação da República. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 e) Brasil República Aspectos administrativos, culturais, econômicos, sociais e territoriais, revoltas, crises e conflitos e a participação brasileira na II Guerra Mundial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Geografia do Brasil 2) Geografia do Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 a) O território nacional: a construção do Estado e da Nação, a obra de fronteiras, fusoshorários e a federação brasileira. . . . . . . . 01 b) O espaço brasileiro: relevo, climas, vegetação, hidrografia e solos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02 c) Políticas territoriais: meio ambiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03 d) Modelo econômico brasileiro: o processo de industrialização, o espaço industrial, a energia e o meio ambiente, os complexos agroindustriais e os eixos de circulação e os custos de deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 e) A população brasileira: a sociedade nacional, a nova dinâmica demográfica, os trabalhadores e o mercado de trabalho, a questão agrária, pobreza e exclusão social e o espaço das cidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 f) Políticas territoriais e regionais: a Amazônia, o Nordeste, o Mercosul e a América do Sul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Inglês 1) Competências e Habilidades a) Compreender a utilização de mecanismos de coesão e coerência na produção escrita; b) Com- preender de que forma determinada expressão pode ser interpretada em razão de aspectos sociais e/ou culturais; c) Analisar os recursos expressivos da linguagem verbal, relacionando textos e contextos mediante a natureza, função, organização, estrutura, de acordo com as condições de produção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 2) Conteúdos linguístico-textuais: a) Denotação e Conotação; b) Sinonímia e Antonímia; c) Correlação morfológica, sintática e/ou semântica; d) Pronomes e suas referências; e) Artigos (definidos e indefinidos); f) Singular e Plural; g) Verbos no Presente, para expres- sar hábitos e rotinas, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; h) Verbos no Presente Contínuo, para expressar atividades momentâneas e futuro, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; i) Comparativo e Superlativo; j) Adjetivos e Advérbios e suas posições nas frases; k) Quantificadores (many, much, few, little, a lot of). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 DICA Como passar em um concurso público? Todos nós sabemos que é um grande desafio ser aprovado em concurso público, dessa maneira é muito importante o concurseiro estar focado e determinado em seus estudos e na sua preparação. É verdade que não existe uma fórmula mágica ou uma regra de como estudar para concursos públicos, é importante cada pessoa encontrar a melhor maneira para estar otimizando sua preparação. Algumas dicas podem sempre ajudar a elevar o nível dos estudos, criando uma motivação para estudar. Pensando nisso, a Solução preparou esse artigo com algumas dicas que irá fazer toda diferença na sua preparação. Então mãos à obra! Separamos algumas dicas para lhe ajudar a passar em concurso público! - Esteja focado em seu objetivo: É de extrema importância você estar focado em seu objetivo, a aprovação no concurso. Você vai ter que colocar em sua mente que sua prioridade é dedicar-se para a realização de seu sonho. - Não saia atirando para todos os lados: Procure dar atenção em um concurso de cada vez, a dificuldade é muito maior quando você tenta focar em vários certames, devido as matérias das diversas áreas serem diferentes. Desta forma, é importante que você defina uma área se especializando nela. Se for possível realize todos os concursos que saírem que englobe a mesma área. - Defina um local, dias e horários para estudar: Uma maneira de organizar seus estudos é transformando isso em um hábito, de- terminado um local, os horários e dias específicos para estar estudando cada disciplina que irá compor o concurso. O local de estudo não pode ter uma distração com interrupçõesconstantes, é preciso ter concentração total. - Organização: Como dissemos anteriormente, é preciso evitar qualquer distração, suas horas de estudos são inegociáveis, preci- sa de dedicação. É praticamente impossível passar em um concurso público se você não for uma pessoa organizada, é importante ter uma planilha contendo sua rotina diária de atividades definindo o melhor horário de estudo. - Método de estudo: Um grande aliado para facilitar seus estudos, são os resumos. Isso irá te ajudar na hora da revisão sobre o assunto estudado, é fundamental que você inicie seus estudos antes mesmo de sair o edital, caso o mesmo ainda não esteja publica- do, busque editais de concursos anteriores. Busque refazer a provas dos concursos anteriores, isso irá te ajudar na preparação. - Invista nos materiais: É essencial que você tenha um bom material voltado para concursos públicos, completo e atualizado. Esses materiais devem trazer toda a teoria do edital de uma forma didática e esquematizada, contendo muito exercícios. Quando mais exercícios você realizar, melhor será sua preparação para realizar a prova do certame. - Cuide de sua preparação: Não é só os estudos que é importante na sua preparação, evite perder sono, isso te deixará com uma menor energia e um cérebro cansado. É preciso que você tenha uma boa noite de sono. Outro fator importante na sua preparação, é tirar ao menos 1 (um) dia na semana para descanso e lazer, renovando as energias e evitando o estresse. Se prepare para o concurso público! O concurseiro preparado não é aquele que passa o dia todo estudando, mas está com a cabeça nas nuvens, e sim aquele que se planeja pesquisando sobre o concurso de interesse, conferindo editais e provas anteriores, participando de grupos com enquetes so- bre o mesmo, conversando com pessoas que já foram aprovadas absorvendo as dicas e experiências, analisando a banca examinadora do certame. O Plano de Estudos é essencial na otimização dos estudos, ele deve ser simples, com fácil compreensão e personalizado com sua rotina, vai ser seu triunfo para aprovação, sendo responsável pelo seu crescimento contínuo. Além do plano de estudos, é importante ter um Plano de Revisão, será ele que irá te ajudar na memorização dos conteúdos estu- dados até o dia da realização da prova, evitando a correria para fazer uma revisão de última hora próximo ao dia da prova. Está em dúvida por qual matéria começar a estudar?! Uma dica, comece pela Língua Portuguesa, é a matéria com maior requisi- ção nos concursos, a base para uma boa interpretação, no qual abrange todas as outras matérias. DICA Vida Social! Sabemos que faz parte algumas abdicações na vida de quem estuda para concursos públicos, sempre que possível é importante conciliar os estudos com os momentos de lazer e bem-estar. A vida de concurseiro é temporária, quem determina o tempo é você, através da sua dedicação e empenho. Você terá que fazer um esforço para deixar de lado um pouco a vida social intensa, é importante compreender que quando for aprovado, verá que todo o esforço valeu a pena para realização do seu sonho. Uma boa dica, é fazer exercícios físicos, uma simples corrida por exemplo é capaz de melhorar o funcionamento do Sistema Ner- voso Central, um dos fatores que são chaves para produção de neurônios nas regiões associadas à aprendizagem e memória. Motivação! A motivação é a chave do sucesso na vida dos concurseiros. Compreendemos que nem sempre é fácil, e as vezes bate aquele desânimo com vários fatores ao nosso redor. Porém a maior garra será focar na sua aprovação no concurso público dos seus sonhos. É absolutamente normal caso você não seja aprovado de primeira, é primordial que você PERSISTA, com o tempo você irá adquirir conhecimento e experiência. Então é preciso se motivar diariamente para seguir a busca da aprovação, algumas orientações importantes para conseguir mo- tivação: - Procure ler frases motivacionais, são ótimas para lembrar dos seus propósitos; - Leia sempre os depoimentos dos candidatos aprovados nos concursos públicos; - Procure estar sempre entrando em contato com os aprovados; - Escreve o porque que você deseja ser aprovado no concurso, quando você sabe seus motivos, isso te da um ânimo maior para seguir focado, tornando o processo mais prazeroso; - Saiba o que realmente te impulsiona, o que te motiva. Dessa maneira será mais fácil vencer as adversidades que irá aparecer. - Procure imaginar você exercendo a função da vaga pleiteada, sentir a emoção da aprovação e ver as pessoas que você gosta, felizes com seu sucesso. Como dissemos no começo, não existe uma fórmula mágica, um método infalível. O que realmente existe é a sua garra, sua dedicação e motivação para estar realizando o seu grande sonho, de ser aprovado no concurso público. Acredite em você e no seu potencial. A Solução tem ajudado há mais de 35 anos quem quer vencer a batalha do concurso público. Se você quer aumentar as suas chances de passar, conheça os nossos materiais, acessando o nosso site: www.apostilasolucao.com.br M A TEM ÁTICA 1) Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos a) Representação de conjuntos e subconjuntos: união, interseção e diferença de conjuntos. b) Razões e proporções: razão de duas grandezas, proporção e suas propriedades, escala, divisão em partes direta e inversamente propor- cionais, regra de três simples e composta, porcentagem, juros simples e juros compostos. c) Números Naturais e Inteiros: divisibilidade, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, decomposição em fatores primos, operações e propriedades. 56 d) Números Racionais e Reais: operações e propriedades, representação decimal, desigualdades, intervalos reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 2) Funções a) Domínio, contradomínio e imagem. b) Raiz de uma função. c) Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. d) Funções cres- centes, decrescentes e constantes. e) Funções compostas e inversas. 3) Função afim e função quadrática a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Variações de sinal. c) Máximos e mínimos. d) Resolução de equações e inequações. e) Inequação produto e inequação quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4) Função exponencial a) Gráfico, domínio, imagem e características. b) Equações e inequações exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5) Função logarítmica a) Definição de logaritmo, propriedades operatórias e mudança de base. b) Gráfico, domínio, imagem e característi- cas da função logarítmica. c) Equações e inequações logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6) Trigonometria a) Trigonometria no triângulo retângulo. b) Trigonometria num triângulo qualquer. c) Unidades de medidas de arcos e ângulos: graus e radianos. d) Círculo trigonométrico, razões trigonométricas, redução ao 1º quadrante. e) Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente; relações e identidades. f) Fórmulas de adição de arcos e arcos duplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7) Análise combinatória a) Fatorial: definição e operações. b) Princípio Fundamental da Contagem. c) Arranjos, permutações e combi- nações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8) Probabilidade a) Experimento aleatório, espaço amostral, evento. b) Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. c) Probabili- dade da união e interseção de eventos. d) Probabilidade condicional. e) Eventos independentes. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9) Noções de estatística a) População e amostra. b) Frequência absoluta e frequência relativa. c) Medidas de tendência central: média aritmética, média aritmética ponderada, mediana e moda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10) Sequências numéricas a) Lei de formação de uma sequência. b) Progressões aritméticas e geométricas: termo geral, soma dos termos e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11) Matrizes, determinantes e sistemas lineares a) Matrizes: conceito, tipos especiais, operações e matriz inversa. b) Determinantes: con- ceito, resolução e propriedades. c) Sistemas lineares: resolução, classificação e discussão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12) Geometria plana a) Congruência de figuras planas. b) Semelhança de triângulos. c) Relações métricas nos triângulos, polígonos regu- lares e círculos. d) Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. e) Áreas de polígonos, círculo, coroa e setor circular. . . . . . . . . . . . . 74 13) Geometria espacial a) Retas e planos no espaço: paralelismo e perpendicularismo. b) Prismas, pirâmides, cilindros e cones: conceito, elementos, classificação, áreas, volumes e troncos. c) Esfera: elementos, seção da esfera, área e volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 14) Geometria analítica a) Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento, condição de alinhamento de três pontos. b) Estudo da reta: equação geral e reduzida; interseção, paralelismo e perpendicularismo entre retas; distância de um pon- to a uma reta; área de um triângulo. c) Estudo da circunferência: equação geral e reduzida; posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; tangência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 15) Números complexos a) O número “i”. b) Conjugado e módulo de um número complexo. c) Representação algébrica e trigonométrica de um número complexo. d) Operações nas formas algébrica e trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 16) Polinômios a) Função polinomial; polinômio identicamente nulo; grau de um polinômio; identidade de um polinômio, raiz de um polinômio; operações com polinômios; valor numérico de um polinômio. b) Divisão de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de D’Alem- bert, dispositivo de Briot-Ruffini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 17) Equações polinomiais a) Definição, raízes e multiplicidade. b) Teorema Fundamental da Álgebra. c) Relações entre coeficientes e raízes. d) Raízes reais e complexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 MATEMÁTICA 1 ϭΉ dEOZI� DO^ CON:hNdO^ E CON:hNdO^ NhM�ͳ ZICO^ �Ή ZEWZE^ENd���O DE CON:hNdO^ E ^h�CONͳ :hNdO^: hNI�O, INdEZ^E��O E DI&EZEN�� DE CONͳ :hNdO^͘ �Ή Z�OE^ E WZOWOZ�OE^: Z��O DE Dh�^ 'Z�NDE�^, WZOWOZ��O E ^h�^ WZOWZIED�DE^, E^C�>�, DIsI^�O EM W�ZdE^ DIZEd� E INsEZ^�MENdE WZOWOZCION�I^, ZE'Z� DE dZ�^ ^IMW>E^ E COMWO^ͳ d�, WOZCENd�'EM, :hZO^ ^IMW>E^ E :hZO^ COMWO^ͳ dO^͘ CΉ NjMEZO^ N�dhZ�I^ E INdEIZO^: DIsI^I�I>Iͳ D�DE, M1NIMO Mj>dIW>O COMhM, M�yIMO DIsI^OZ COMhM, DECOMWO^I��O EM &�dOZE^ WZIMO^, OWEͳ Z��OE^ E WZOWZIED�DE^͘ ϱϲ DΉ NjMEZO^ Z�CION�I^ E ZE�I^: OWEZ��OE^ E WZOWZIED�DE^, ZEWZE^ENd�ͳ ��O DECIM�>, DE^I'h�>D�DE^, INdEZs�>O^ ZE�I^͘ NƷmeros Naturais Os números naturais são o modelo matemáti co necessário para efetuar uma contagem. Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o conjunto infi nito dos números naturais - Todo número natural dado tem um sucessor a) O sucessor de 0 é 1. b) O sucessor de 1000 é 1001. c) O sucessor de 19 é 20. Usamos o Ύ para indicar o conjunto sem o zero. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um ante- cessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural fi nito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. EdžpressƁes Numéricas Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, multi plicações e divisões. Todas as operações podem acontecer em uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas uti lizamos alguns procedimentos: Se em uma expressão numérica aparecer as quatro opera- ções, devemos resolver a multi plicação ou a divisão primeiramen- te, na ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a subtração, também na ordem em que aparecerem e os parên- teses são resolvidos primeiro. Exemplo 1 10 н 12 ʹ 6 н 7 22 ʹ 6 н 7 16 н 7 23 Exemplo 2 40 ʹ 9 x 4 н 23 40 ʹ 36 н 23 4 + 23 27 Exemplo 3 25-(50-30)н4x5 25-20н20с25 NƷmeros Inteiros Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por: с...-3, -2, -1, 0, 1, 2,... Subconjuntos do conjunto : 1)Conjunto dos números inteiros excluindo o zero Ύс...-2, -1, 1, 2, ... 2) Conjuntos dos números inteiros não negati vos Z + с0, 1, 2, ... 3) Conjunto dos números inteiros não positi vos Z -с...-3, -2, -1 NƷmeros Zacionais Chama-se de número racional a todo número que pode ser expresso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com bт0 São exemplos de números racionais: -12/51 -3 -(-3) -2,333... As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, portanto são consideradas números racionais. Como representar esses números? Zepresentação Decimal das &raçƁes Temos 2 possíveis casos para transformar frações em deci- mais 1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o número decimal terá um número fi nito de algarismos após a vírgula. MATEMÁTICA 2 2º) Terá um número infi nito de algarismos após a vírgula, mas lembrando que a dízima deve ser periódica para ser número ra- cional OBS: período da dízima são os números que se repetem, se não repeti r não é dízima periódica e assim números irracionais, que trataremos mais a frente. Zepresentação &racionária dos NƷmeros Decimais 1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o denominador seguido de zeros. O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, um zero (10) para duas casas, dois zeros(100) e assim por diante. 2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, então como podemos transformar em fração? Edžemplo ϭ Transforme a dízima 0, 333... .em fração Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízima dada de x, ou seja Xс0,333... Se o período da dízima é de um algarismo, multi plicamos por 10. 10xс3,333... E então subtraímos: 10x-xс3,333...-0,333... 9xс3 Xс3/9 Xс1/3 Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de perío- do. Edžemplo Ϯ Seja a dízima 1,1212... Façamos x с 1,1212... 100x с 112,1212... . Subtraindo: 100x-xс112,1212...-1,1212... 99xс111 Xс111/99 NƷmeros Irracionais Identi fi cação de nƷmeros irracionais - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais.- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um nú- mero racional. -Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e bт0. Edžemplo: - с 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um nú- mero racional. Edžemplo: : с с 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um núme- ro racional. Edžemplo: . с с 7 é um número racional. Exemplo:radicais( a raiz quadrada de um número na- tural, se não inteira, é irracional. NƷmeros Zeais Fonte: w w w .estudok ids.com.br M A TEM ÁTICA 3 Representação na reta INdEZs�>O^ >IMId�DO^ Intervalo fechado ʹ Números reais maiores do que a ou iguais a e menores do que b ou iguais a b. Intervalo:[ a,b] Conjunto: x∈Rͮaчxчb Intervalo aberto ʹ números reais maiores que a e menores que b. Intervalo:] a,b[ Conjunto:x∈Rͮaфxфb Intervalo fechado à esquerda ʹ números reais maiores que a ou iguais a a e menores do que b. Intervalo:a,b Conjunto x∈Rͮaчxфb Intervalo fechado à direita ʹ números reais maiores que a e menores ou iguais a b. Intervalo:] a,b] Conjunto:x∈Rͮaфxчb INdEZs�>O^ IIMId�DO^ Semirreta esquerda, fechada de origem b- números reais me- nores ou iguais a b. Intervalo:-ь,b Conjunto:x∈Rͮxчb Semirreta esquerda, aberta de origem b ʹ números reais me- nores que b. Intervalo:-ь,b Conjunto:x∈Rͮxфb Semirreta direita, fechada de origem a ʹ números reais maio- res ou iguais a a. Intervalo:a,н ь Conjunto:x∈Rͮxшa Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais maio- res que a. Intervalo:a,н ь Conjunto:x∈Rͮxхa Wotenciação Multiplicação de fatores iguais 2Ϲс2.2.2с8 C asos 1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1. 2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio núme- ro. 3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resul- ta em um número positivo. 4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, re- sulta em um número negativo. 5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o sinal para positivo e inverter o número que está na base. 6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do expoente, o resultado será igual a zero. M A TEM ÁTICA 4 Propriedades 1) (am . an с am+ n) Em uma multiplicação de potências de mes- ma base, repete-se a base e soma os expoentes. Exemplos: 24 . 23 с 24+ 3с 27 (2.2.2.2) .( 2.2.2)с 2.2.2. 2.2.2.2с 27 2) (am: an с am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. Conserva-se a base e subtraem os expoentes. Exemplos: 96 : 92 с 96-2 с 94 3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica- -se os expoentes. Exemplos: (52)3 с 52.3 с 56 4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um expoente, podemos elevar cada um a esse mesmo expoente. (4.3)ϸс4ϸ.3ϸ 5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, pode- mos elevar separados. Zadiciação Radiciação é a operação inversa a potenciação décnica de Cálculo A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. Veja: 64с2.2.2.2.2.2с26 Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um e multiplica. Observe: ( ) 5.35.35.35.3 2 1 2 1 2 1 === De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então: nnn baba .. = O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando. Raiz quadrada de frações ordinárias Observe: 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 == = De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈ ++ M A TEM ÁTICA 5 então: n n n b a b a = O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indica- do é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do radicando. Raiz quadrada números decimais Operações OperaçƁes Multiplicação Exemplo Divisão Exemplo A dição e subtração Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20. Caso tenha: Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo. Zacionalização de Denominadores Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denomina- dor. 1º Caso:Denominador composto por uma só parcela 2º Caso: Denominador composto por duas parcelas. Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de quadrados no denominador: YhE^dOE^ Ϭϭ͘ ;Wrefeitura de ^alvador ͬ�� Ͳ décnico de Nşvel ^uperior II Ͳ Direito ʹ &'sͬϮϬϭϳͿ Em um concurso, há 150 candidatos em apenas duas categorias: nível superior e nível médio. Sabe-se que: ͻ dentre os candidatos, 82 são homens; ͻ o número de candidatos homens de nível superior é igual ao de mulheres de nível médio; ͻ dentre os candidatos de nível superior, 31 são mulheres. O número de candidatos homens de nível médio é (A ) 42. (B) 45. (C) 48. (D) 50. (E) 52. ϬϮ͘ ;^�Wͬ^W Ͳ �gente de ^egurança Wenitenciária Ͳ M^CONͲ ChZ^O^ͬϮϬϭϳͿ Raoni, Ingrid, Maria Eduarda, Isabella e José fo- ram a uma prova de hipismo, na qual ganharia o competidor que obtivesse o menor tempo final. A cada 1 falta seriam incrementa- dos 6 segundos em seu tempo final. Ingrid fez 1’10” com 1 falta, Maria Eduarda fez 1’12” sem faltas, Isabella fez 1’07” com 2 faltas, Raoni fez 1’10” sem faltas e José fez 1’05” com 1 falta. Verificando a colocação, é correto afirmar que o vencedor foi: (A) José (B) Isabella (C) Maria Eduarda (D) Raoni Ϭϯ͘ ;^�Wͬ^W Ͳ �gente de ^egurança Wenitenciária Ͳ M^CONͲ ChZ^O^ͬϮϬϭϳͿ O valor de я0,444... é: M A TEM ÁTICA 6 (A ) 0,2222... (B) 0,6666... (C) 0,1616... (D) 0,8888... Ϭϰ͘ ;C�M�Z� DE ^hM�Z� ʹ Escriturário Ͳ shNE^WͬϮϬϭϳͿ Se, numa divisão, o divisor e o quociente são iguais, e o resto é 10, sendo esse resto o maior possível, então o dividendo é (A ) 131. (B) 121. (C) 120. (D) 110. (E) 101. Ϭϱ͘ ;d^d ʹ décnico :udiciário ʹ &CCͬϮϬϭϳͿ As expressões nu- méricas abaixo apresentam resultados que seguem um padrão específico: 1ǐ expressão: 1 x 9 н 2 2ǐ expressão: 12 x 9 н 3 3ǐ expressão: 123 x 9 н 4 ... 7ǐ expressão: � x 9 н � Seguindo esse padrão e colocando os números adequados no lugar dos símbolos � e �, o resultado da 7ǐ expressão será (A ) 1 111 111. (B) 11 111. (C) 1 111. (D) 111 111. (E) 11 111 111. Ϭϲ͘ ;d^d ʹ décnico :udiciário ʹ &CCͬϮϬϭϳͿ Durante um trei- namento, o chefe da brigada de incêndio de um prédio comercial informou que, nos cinquenta anos de existência do prédio, nunca houve um incêndio, mas existiram muitas situações de risco, feliz- mente controladas a tempo. Segundo ele, 1/ 13 dessas situações deveu-se a ações criminosas, enquanto as demais situações ha- viam sido geradas por diferentes tipos de displicência. Dentre as situações de risco geradas por displicência, о 1/5 deveu-se a pontas de cigarro descartadas inadequada- mente; о 1/4 deveu-se a instalações elétricas inadequadas; о 1/3 deveu-se a vazamentos de gás e о as demais foram geradas por descuidos ao cozinhar. De acordo com esses dados, ao longo da existência desse pré- dio comercial, a fração do total de situações de risco de incêndio geradas por descuidos ao cozinhar corresponde à (A ) 3/ 20. (B) 1/4. (C) 13/60. (D) 1/5. (E) 1/60. Ϭϳ͘ ;Id�IWh �IN�CION�> Ͳ Wrofissional Nşvel décnico I Ͳ décͲ nico em Eletrƀnica ʹ NCh&WZͬϮϬϭϳͿ Assinale a alternativa que apresenta o valor da expressão (A ) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 8. (E) 16. Ϭϴ͘ ;hNIZsͬ'O ʹ �udžiliar de >aboratſrio ʹ hNIZs'OͬϮϬϭϳͿ Q ual o resultadode ? (A ) 3 (B) 3/2 (C) 5 (D) 5/2 Ϭϵ͘ ;I�'E ʹ �gente Censitário Municipal e ^upervisor ʹ &'sͬϮϬϭϳͿ Suponha que a η b signifique a - 2b . Se 2η(1ηN)с12 , então N é igual a: (A ) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 6. ϭϬ͘ ;I�'E ʹ �gente Censitário Municipal e ^upervisor ʹ &'sͬϮϬϭϳͿ Uma equipe de trabalhadores de determinada empre- sa tem o mesmo número de mulheres e de homens. Certa manhã, 3/4 das mulheres e 2/3 dos homens dessa equipe saíram para um atendimento externo. Desses que foram para o atendimento externo, a fração de mulheres é (A ) 3/ 4; (B) 8/9; (C) 5/7; (D) 8/ 13; (E) 9/17. ZE^WO^d�^ Ϭϭ͘Zesposta: �͘ 150-82с68 mulheres Como 31 mulheres são candidatas de nível superior, 37 são de nível médio. Portanto, há 37 homens de nível superior. 82-37с45 homens de nível médio. ϬϮ͘ Zesposta: D͘ M A TEM ÁTICA 7 Como o tempo de Raoni foi 1Dz10” sem faltas, ele foi o ven- cedor. Ϭϯ͘ Zesposta: �͘ Primeiramente, vamos transformar a dízima em fração Xс0,4444.... 10xс4,444... 9xс4 Ϭϰ͘ Zesposta: �͘ Como o maior resto possível é 10, o divisor é o número 11 que é igua o quociente. 11x11с121н10с131 Ϭϱ͘ Zesposta: E͘ A 7ǐ expressão será: 1234567x9н8с11111111 Ϭϲ͘ Zesposta: D͘ Gerado por descuidos ao cozinhar: Mas, que foram gerados por displicência é 12/13(1-1/13) Ϭϳ͘Zesposta: C͘ Ϭϴ͘ Zesposta: D͘ Ϭϵ͘ Zesposta: C͘ 2-2(1-2N)с12 2-2н4Nс12 4Nс12 Nс3 ϭϬ͘ Zesposta: E͘ Como tem o mesmo número de homens e mulheres: Dos homens que saíram: Saíram no total MƷltiplos Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o pri- meiro pelo segundo, o resto é zero. Exemplo O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números naturais. M(3)с0,3,6,9,12,... Divisores Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15. D(12)с1,2,3,4,6,12 D(15)с1,3,5,15 Observações: - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múl- tiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. Mádžimo Divisor Comum O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos se- guir as etapas: • Decompor o número em fatores primos • Tomar o fatores comuns com o menor expoente • Multiplicar os fatores entre si. M A TEM ÁTICA 8 Exemplo: O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente. m.d.c Mşnimo MƷltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero. Para calcular devemos seguir as etapas: • Decompor os números em fatores primos • Multiplicar os fatores entre si Exemplo: Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos. Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é necessário que os dois sejam divi- síveis ao mesmo tempo. Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo. A ssim, o mmc Exemplo O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m п 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimen- são possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir (A ) mais de 30 cm. (B) menos de 15 cm. (C) mais de 15 cm e menos de 20 cm. (D) mais de 20 cm e menos de 25 cm. (E) mais de 25 cm e menos de 30 cm. Resposta: A . Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível E são os fatores que temos iguais:25с32 E x e m p lo2 ;MWEͬ^W ʹ Oficial de Wromotora I ʹ shNE^WͬϮϬϭϲͿ No aero- porto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às (A) 16h 30min. (B) 17h 30min. (C) 18h 30min. (D) 17 horas. (E) 18 horas. Resposta: E. Mmc(20,30,44)с2ϸ.3.5.11с660 1h---60minutos x-----660 xс660/60с11 Então será depois de 11horas que se encontrarão 7н11с18h YhE^dOE^ 01. ;C�M�Z� DE ^hM�Z� ʹ Escriturário Ͳ shNE^WͬϮϬϭϳͿ No depósito de uma loja de doces, há uma caixa contendo n bombons. Para serem vendidos, devem ser repartidos em paco- tes iguais, todos com a mesma quantidade de bombons. Com os bombons dessa caixa, podem ser feitos pacotes com 5, ou com 6, ou com 7 unidades cada um, e, nesses casos, não faltará nem sobrará nenhum bombom. Nessas condições, o menor valor que pode ser atribuído a n é (A ) 280. (B) 265. (C) 245. (D) 230. (E) 210. M A TEM ÁTICA 9 ϬϮ͘ ;EM��^� ʹ �gente �dministrativo ʹ I�&CͬϮϬϭϳͿ Conside- rando A o MDC (maior divisor comum) entre os números 24 e 60 e B o MMC (menor múltiplo comum) entre os números 12 e 20, então o valor de 2A н 3B é igual a: (A ) 72 (B) 156 (C) 144 (D) 204 Ϭϯ͘ ;MWEͬ'O ʹ Oficial de Wromotoria ʹ MWE'O ͬϮϬϭϳͿ Em um determinado zoológico, a girafa deve comer a cada 4 horas, o leão a cada 5 horas e o macaco a cada 3 horas. Considerando que todos foram alimentados às 8 horas da manhã de domingo, é correto afirmar que o funcionário encarregado deverá servir a alimentação a todos concomitantemente às: (A) 8 horas de segunda-feira. (B) 14 horas de segunda-feira. (C) 10 horas de terça-feira. (D) 20 horas de terça-feira. (E) 9 horas de quarta-feira. Ϭϰ͘ ;EM��^� ʹ �ssistente de >aboratſrio ʹ I�&CͬϮϬϭϳͿ Um marceneiro possui duas barras de ferro, uma com 1,40 metros de comprimento e outra com 2,45 metros de comprimento. Ele pre- tende cortá-las em barras de tamanhos iguais, de modo que cada pedaço tenha a maior medida possível. Nessas circunstâncias, o total de pedaços que o marceneiro irá cortar, utilizando as duas de ferro, é: (A ) 9 (B) 11 (C) 12 (D) 13 Ϭϱ͘ ;d:Mͬ^W Ͳ Escrevente décnico :udiciário ʹ shNE^WͬϮϬϭϳͿ Em um pequeno mercado, o dono resolveu fazer uma promoção. Para tanto, cada uma das 3 caixas registradoras foi programada para acender uma luz, em intervalos de tempo regulares: na caixa 1, a luz acendia a cada 15 minutos; na caixa 2, a cada 30 minu- tos; e na caixa 3, a luz acendia a cada 45 minutos. Toda vez que a luz de uma caixa acendia, o cliente que estava nela era premiado com um desconto de 3й sobre o valor da compra e, quando as 3 luzes acendiam, ao mesmo tempo, esse desconto era de 5й. Se, exatamente às 9 horas de um determinado dia, as luzes das 3 cai- xas acenderam ao mesmo tempo, então é verdade que o núme- ro máximo de premiações de 5й de desconto que esse mercado poderia ter dado aos seus clientes, das 9 horas às 21 horas e 30 minutos daquele dia, seria igual a (A ) 8. (B) 10. (C) 21. (D) 27. (E) 33. Ϭϲ͘ ;WZE&͘ DE WIZ�j��ͬM' ʹ �gente �dministrativo ʹ M^Ͳ CONChZ^O^ͬϮϬϭϳͿ Sabendo que a sigla M.M.C. na matemática significa Mínimo Múltiplo Comum e que M.D.C. significa Máximo Divisor Comum, pergunta-se: qual o valor do M.M.C. de 6 e 8 divi- dido pelo M.D.C. de 30, 36 e 72? (A ) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 Ϭϳ͘ ;CE>E^C ʹ �ssistente �dministrativo ʹ &EWE^EͬϮϬϭϲͿ Em uma excursão participam 120 homens e 160 mulheres. Em de- terminado momento é preciso dividir os participantes em grupos formados somente por homens ou somente por mulheres, de maneira que os grupos tenham o mesmo número de integrantes. Neste caso, o número máximo de integrantes em um grupo é: (A ) 10. (B) 15. (C) 20. (D) 30. (E) 40. Ϭϴ͘ ;WZE&͘ DE 'h�Zh>,O^ͬ^W ʹ �ssistente de 'estão EsͲ colar ʹ shNE^WͬϮϬϭϲͿ Para iniciar uma visita monitorada a um museu, 96 alunos do8º ano e 84 alunos do 9º ano de certa es- cola foram divididos em grupos, todos com o mesmo número de alunos, sendo esse número o maior possível, de modo que cada grupo tivesse somente alunos de um único ano e que não restas- se nenhum aluno fora de um grupo. Nessas condições, é correto afirmar que o número total de grupos formados foi (A ) 8. (B) 12. (C) 13. (D) 15. (E) 18. Ϭϵ͘ ;WZE&͘ DE :�M�EIZO ʹ �gente �dministrativo ʹ :Od� CON^h>dOZI�ͬϮϬϭϲͿ O MMC(120, 125, 130) é: (A ) 39000 (B) 38000 (C) 37000 (D) 36000 (E) 35000 ϭϬ͘ ;MWEͬ^W ʹ �nalista décnico Cienơfico ʹ shNE^WͬϮϬϭϲͿ Pretende-se dividir um grupo de 216 pessoas, sendo 126 com for- mação na área de exatas e 90 com formação na área de humanas, em grupos menores contendo, obrigatoriamente, elementos de cada uma dessas áreas, de modo que: (1) o número de grupos seja o maior possível; (2) cada grupo tenha o mesmo número x de pessoas com formação na área de exatas e o mesmo número y de pessoas com formação na área de humanas; e (3) cada uma das 216 pessoas participe de um único grupo. Nessas condições, e sa- bendo-se que no grupo não há pessoa com ambas as formações, é correto afirmar que, em cada novo grupo, a diferença entre os números de pessoas com formação em exatas e em humanas, nessa ordem, será igual a (A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 M A TEM ÁTICA 10 ZE^WO^d�^ Ϭϭ͘ Zesposta: E͘ Mmc(5,6,7)с2⋅3⋅5⋅7с210 ϬϮ͘ Zesposta: E͘ Para o cálculo do mdc, devemos multiplicar os comuns: MDC(24,60)с2ϸ⋅3с12 Mmc(12,20)с2ϸ⋅3⋅5с60 2Aн3Bс24н180с204 Ϭϯ͘ Zesposta: D͘ Mmc(3, 4, 5)с60 60/24с2 dias e 12horas Como foi no domingo às 8h d amanhã, a próxima alimentação será na terça às 20h. Ϭϰ͘ Zesposta: �͘ Mdcс5⋅7с35 140/35с4 245/35с7 Portanto, serão 11 pedaços. Ϭϱ͘ Zesposta: D͘ Mmc(15, 30, 45)с90 minutos Ou seja, a cada 1h30 minutos tem premiações. Das 9 ate as 21h30minс12h30 minutos 9 vezes no total, pois as 9 horas acendeu. Como são 3 premiações: 9x3с27 Ϭϲ͘ Zesposta: C͘ Mmc(6,8)с24 Mdc(30, 36, 72) с2x3с6 Portanto: 24/6с4 Ϭϳ͘ Zesposta: E͘ MDC(120,160)с8x5с40 Ϭϴ͘ Zesposta: D͘ M A TEM ÁTICA 11 MDC(84,96)с2ϸx3с12 84/12с7 96/12с8 E 7н8с15 Ϭϵ͘ Zesposta: �͘ Mmc(120, 125, 130)с2Ϲ.3.5Ϲ.13с39000 ϭϬ͘ Zesposta: �͘ O cálculo utilizado aqui será o MDC (Máximo Divisor Comum) Mdc(90, 125)с2.3ϸс18 Então teremos 126/18 с 7 grupos de exatas 90/18 с 5 grupos de humanas A diferença é de 7-5с2 - eles são múltiplos de 2, pois terminam com números pares. E são múltiplos de 3, lembrando que para ser múltiplo de 3, basta somar os números e ser múltiplo de 3. 36с3н6с9 90с9н0с9 162с1н6н2с9 OWEZ��OE^ COM CON:hNdO Zepresentação -Enumerando todos os elementos do conjunto: Sс1, 2, 3, 4, 5 -Simbolicamente: Bсx∈ Nͮ2фxф8, enumerando esses ele- mentos temos: Bс3,4,5,6,7 - por meio de diagrama: Quando um conjunto não possuir elementos chama-se de conjunto vazio: Sс∅ ou Sс . Igualdade Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exata- mente os mesmos elementos. Em símbolo: Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos sa- ber apenas quais são os elementos. Não importa ordem: Aс1,2,3 e Bс2,1,3 Não importa se há repetição: Aс1,2,2,3 e Bс1,2,3 Zelação de Wertinġncia Relacionam um elemento com conjunto. E a indicação que o elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) Exemplo: Dado o conjunto Aс-3, 0, 1, 5 0∈A 2∉A ZelaçƁes de Inclusão Relacionam um conjunto com outro conjunto. Simbologia: ⊂(está contido), ⊄(não está contido), ⊃(con- tém), (não contém) A Relação de inclusão possui 3 propriedades: Exemplo: 1, 3,5⊂0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5⊃1, 3,5 Aqui vale a famosa regrinha que o professor ensina, boca aberta para o maior conjunto. ^ubconjunto O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. Exemplo: 2,4 é subconjunto de x∈Nͮx é par M A TEM ÁTICA 12 OperaçƁes hnião Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro forma- do pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A∪B. Formalmente temos: A ∪Bсxͮx∈A ou x B Exemplo: Aс1,2,3,4 e Bс5,6 A ∪Bс1,2,3,4,5,6 Interseção A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é represen- tada por : A൘B. Simbolicamente: A൘Bсxͮx∈A e x∈B Exemplo: Aсa,b,c,d,e e Bсd,e,f,g A൘Bсd,e Diferença Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A ʹ B ou AͰB que se diz a diferença entre A e B ou o comple- mentar de B em relação a A. A este conjunto pertencem os elementos de A que não per- tencem a B. AͰB с x : x∈A e x∉B. B-A с x : x∈B e x∉A. Exemplo: A с 0, 1, 2, 3, 4, 5 e B с 5, 6, 7 Então os elementos de A ʹ B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A ʹ B с 0, 1, 2, 3, 4. Complementar O complementar do conjunto A( ) é o conjunto formado pe- los elementos do conjunto universo que não pertencem a A. &ſrmulas da união n(A ∪B)сn(A)нn(B)-n(A൘B) n(A ∪B∪C)сn(A)нn(B)нn(C)нn(A൘B൘C)-n(A൘B)-n(A൘C)-n(B C) Essas fórmulas muitas vezes nos ajudam, pois ao invés de fa- zer todo o diagrama, se colocarmos nessa fórmula, o resultado é mais rápido, o que na prova de concurso é interessante devido ao tempo. Mas, faremos exercícios dos dois modos para você entender melhor e perceber que, dependendo do exercício é melhor fazer de uma forma ou outra. ;M�N�h^WZEs ʹ �nalista Wrevidenciário ʹ &CCͬϮϬϭϱͿ Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 são barbados e 16 são carecas. Homens altos e barbados que não são carecas são seis. Todos homens altos que são carecas, são também barbados. Sa- be-se que existem 5 homens que são altos e não são barbados nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são carecas e não são altos e nem barbados. Dentre todos esses homens, o número de barbados que não são altos, mas são care- cas é igual a (A ) 4. (B) 7. (C) 13. (D) 5. (E) 8. Primeiro, quando temos 3 diagramas, sempre começamos pela interseção dos 3, depois interseção a cada 2 e por fim, cada um M A TEM ÁTICA 13 Se todo homem careca é barbado, não teremos apenas ho- mens carecas e altos. Homens altos e barbados são 6 Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são care- cas e não são altos e nem barbados Sabemos que 18 são altos Quando somarmos 5нxн6с18 Xс18-11с7 Carecas são 16 7нyн5с16 zс16-12 zс4 Então o número de barbados que não são altos, mas são ca- recas são 4. Nesse exercício ficará difícil se pensarmos na fórmula, ficou grande devido as explicações, mas se você fizer tudo no mesmo diagrama, mas seguindo os passos, o resultado sairá fácil. ;^E'W>�Nͬ'O ʹ Werito Criminal ʹ &hNIsEZ^�ͬϮϬϭϱͿ Supo- nha que, dos 250 candidatos selecionados ao cargo de perito cri- minal: 1) 80 sejam formados em Física; 2) 90 sejam formados em Biologia; 3) 55 sejam formados em Química; 4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 5) 23 sejam formados em Química e Física; 6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Biologia. M A TEM ÁTICA 14 Considerando essa situação, assinale a alternativa correta. (A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são físicos nem biólogos nem químicos. (B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física. (C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física e em Biologia. (D) Mais de 30 dos candidatos selecionadossão formados apenas em Q uímica. (E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecionados, a probabilidade de ele ter apenas as duas formações, Física e Q uí- mica, é inferior a 0,05. Zesolução A nossa primeira conta, deve ser achar o número de candida- tos que não são físicos, biólogos e nem químicos. n(F ∪B∪Q)сn(F)нn(B)нn(Q)нn(F൘B൘Q)-n(F൘B)-n(F൘Q)- -n(B൘Q) n(F ∪B∪Q)с80н90н55н8-32-23-16с162 Temos um total de 250 candidatos 250-162с88 Resposta: A . YhE^dOE^ Ϭϭ͘ ;CZ&ͬMd Ͳ �gente �dministrativo ʹ Yh�DZIyͬϮϬϭϳͿ Num grupo de 150 jovens, 32 gostam de música, esporte e leitu- ra; 48 gostam de música e esporte; 60 gostam de música e leitura; 44 gostam de esporte e leitura; 12 gostam somente de música; 18 gostam somente de esporte; e 10 gostam somente de leitura. A o escolher ao acaso um desses jovens, qual é a probabilidade de ele não gostar de nenhuma dessas atividades? (A) 1/75 (B) 39/75 (C) 11/75 (D) 40/75 (E) 76/75 ϬϮ͘ ;CZMsͬ^C ʹ Zecepcionista ʹ IE^E^ͬϮϬϭϳͿ Sabe-se que 17% dos moradores de um condomínio tem gatos, 22% tem ca- chorros e 8й tem ambos (gatos e cachorros). Qual é o percentual de condôminos que não tem nem gatos e nem cachorros? (A) 53 (B) 69 (C) 72 (D) 47 Ϭϯ͘ ;MWEͬ'O ʹ ^ecretário �udžiliar ʹ MWE'OͬϮϬϭϳͿ Em uma pesquisa sobre a preferência entre dois candidatos, 48 pessoas votariam no candidato A, 63 votariam no candidato B, 24 pessoas votariam nos dois; e, 30 pessoas não votariam nesses dois candi- datos. Se todas as pessoas responderam uma única vez, então o total de pessoas entrevistadas foi: (A ) 141. (B) 117. (C) 87. (D) 105. (E) 112. Ϭϰ͘ ;DE^EN��,I� ʹ décnico Escriturário ʹ IN^dIdhdO �OCWͬϮϬϭϳͿ Para realização de uma pesquisa sobre a preferência de algumas pessoas entre dois canais de TV, canal A e Canal B, os entrevistadores colheram as seguintes informações: 17 pessoas preferem o canal A, 13 pessoas assistem o canal B e 10 pessoas gostam dos canais A e B. Assinale a alternativa que apresenta o total de pessoas entrevistadas. (A ) 20 (B) 23 (C) 27 (D) 30 (E) 40 Ϭϱ͘ ;^�Wͬ^W ʹ �gente de ^egurança Wenitenciária ʹ M^CONͲ ChZ^O^ͬϮϬϭϳͿ Numa sala de 45 alunos, foi feita uma votação para escolher a cor da camiseta de formatura. Dentre eles, 30 votaram na cor preta, 21 votaram na cor cinza e 8 não votaram em nenhuma delas, uma vez que não farão as camisetas. Quantos alunos votaram nas duas cores? (A) 6 (B) 10 (C) 14 (D) 18 Ϭϲ͘ ;I�'E ʹ �gente Censitário Municipal e ^upervisor ʹ &'sͬϮϬϭϳͿ Na assembleia de um condomínio, duas questões in- dependentes foram colocadas em votação para aprovação. Dos 200 condôminos presentes, 125 votaram a favor da primeira questão, 110 votaram a favor da segunda questão e 45 votaram contra as duas questões. Não houve votos em branco ou anulados. O número de condôminos que votaram a favor das duas questões foi: (A ) 80; (B) 75; (C) 70; (D) 65; (E) 60. Ϭϳ͘ ;I&��I�NO ʹ �ssistente em �dministração ʹ &CMͬϮϬϭϳͿ Em meio a uma crescente evolução da taxa de obesidade infantil, um estudioso fez uma pesquisa com um grupo de 1000 crianças para entender o comportamento das mesmas em relação à práti- ca de atividades físicas e aos hábitos alimentares. Ao final desse estudo, concluiu-se que apenas 200 crianças praticavam alguma atividade física de forma regular, como na- tação, futebol, entre outras, e apenas 400 crianças tinham uma alimentação adequada. Além disso, apenas 100 delas praticavam atividade física e tinham uma alimentação adequada ao mesmo tempo. M A TEM ÁTICA 15 Considerando essas informações, a probabilidade de encon- trar nesse grupo uma criança que não tenha alimentação adequa- da nem pratique atividade física de forma regular é de: (A ) 30% . (B) 40й. (C) 50й. (D) 60й. (E) 70й. Ϭϴ͘ ;dZ& Ϯǐ ZE'I�O ʹ �nalista :udiciário ʹ CON^h>Ͳ W>�NͬϮϬϭϳͿ Uma papelaria fez uma pesquisa de mercado entre 500 de seus clientes. Nessa pesquisa encontrou os seguintes re- sultados: ͻ 160 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Médio; ͻ 180 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Fundamental II; ͻ 190 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Fundamental I; ͻ 20 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Médio e Fundamental I; ͻ 40 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Médio e Fundamental II; ͻ 30 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Fundamental I e II; e, ͻ 10 clientes compraram materiais para seus filhos que cur- sam o Ensino Médio, Fundamental I e II. Q uantos clientes da papelaria compraram materiais, mas os filhos N�O cursam nem o Ensino Médio e nem o Ensino Funda- mental I e II? (A) 50. (B) 55. (C) 60. (D) 65. Ϭϵ͘ ;�N^ Ͳ décnico em Zegulação de ^aƷde ^uplementar ʹ &hNC��ͬϮϬϭϲͿ Foram visitadas algumas residências de uma rua e em todas foram encontrados pelo menos um criadouro com lar- vas do mosquito Aedes aegypti. Os criadouros encontrados foram listados na tabela a seguir: P. pratinhos com água embaixo de vasos de planta. R. ralos entupidos com água acumulada. <. caixas de água destampadas Número de criadouros P 103 R 124 K 98 P e R 47 P e K 43 R e K 60 P, R e K 25 De acordo com a tabela, o número de residências visitadas foi: (A ) 200. (B) 150. (C) 325. (D) 500. (E) 455. ϭϬ͘ ;DWh ʹ �gente �dministrativo ʹ CE^WEͬϮϬϭϲͿ Na zona rural de um município, 50й dos agricultores cultivam soja; 30й, arroz; 40й, milho; e 10й não cultivam nenhum desses grãos. Os agricultores que produzem milho não cultivam arroz e 15й deles cultivam milho e soja. Considerando essa situação, julgue o item que se segue. Em exatamente 30й das propriedades, cultiva-se apenas mi- lho. ( )Certo ( )Errado Respostas Ϭϭ͘ Zesposta: C͘ 32н10н12н18н16н28н12нxс150 Xс22 que não gostam de nenhuma dessas atividades Pс22/150с11/75 ϬϮ͘ Zesposta: �͘ 9н8н14нxс100 Xс100-31 Xс69й Ϭϯ͘ Zesposta: �͘ M A TEM ÁTICA 16 24н24н39н30с117 Ϭϰ͘ Zesposta: �͘ N(A ∪B)сn(A)нn(B)-n(A൘B) N(A ∪B)с17н13-10с20 Ϭϱ͘ Zesposta: C͘ Como 8 não votaram, tiramos do total: 45-8с37 N(A ∪B)сn(A)нn(B)-n(A൘B) 37с30н21- n(A൘B) n(A൘B)с14 Ϭϲ͘ Zesposta: �͘ N(A ∪B)сс200-45с155 N(A ∪B)сn(A)нn(B)-n(A൘B) 155с125н110- n(A൘B) n(A൘B)с80 Ϭϳ͘ Zesposta: C͘ Sendo x o número de crianças que não praticam atividade física e tem uma alimentação adequada N(A ∪B)сn(A)нn(B)-n(A൘B) 1000-xс200н400-100 Xс500 Pс500/1000с0,5с50й Ϭϴ͘ Zesposta:�͘ Sendo Aсensino médio B fundamental I Cсfundamental II Xсquem comprou material e os filhos não cursam ensino mé- dio e nem ensino fundamental n(A ∪B∪C) сn(A)нn(B)нn(C)нn(A൘B൘C)-n(A൘B)-n(A൘C)- -n(B൘C) 500-xс160н190н180н10-20-40-30 Xс50 Ϭϵ͘ Zesposta: �͘ 38н20н42н18н25н22н35с200 residências Ou fazer direto pela tabela: PнRн<н(P൘R൘<)-( P൘R)- (R൘<)-(P൘<) 103н124н98н25-60-43-47с200 ϭϬ͘ Zesposta: errado O número de pacientes que apresentaram pelo menos dois desses sintomas é: Pois pode ter 2 sintomas ou três. 6н14н26н32с78 Zazão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/ b ou a : b. Exemplo: Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de mo- ças. (lembrando que razão é divisão) M A TEM ÁTICA 17 Wroporção Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção en- tre A/B e C/D é a igualdade: Wropriedade fundamental das proporçƁes Numa proporção: Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A x D с B x C Exemplo: A fração 3/4 está em proporçãocom 6/8, pois: Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma: . ^egunda propriedade das proporçƁes Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos: ou Ou ou derceira propriedade das proporçƁes Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo conse- quente. Temos então: ou Ou ou 'randezas Diretamente Wroporcionais Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente pro- porcionais quando a razão entre os valores da 1ǐ grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª , ou de uma manei- ra mais informal, se eu pergunto: Q uanto mais.....mais.... Exemplo Distância percorrida e combustível gasto Distąncia;ŬmͿ Combusơvel;litrosͿ 13 1 26 2 39 3 52 4 Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível? Diretamente proporcionais Se eu dobro a distância, dobra o combustível 'randezas Inversamente Wroporcionais Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente pro- porcionais quando a razão entre os valores da 1ǐ grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª . Q uanto mais....menos... M A TEM ÁTICA 18 Exemplo velocidadextempo a tabela abaixo: selocidade ;mͬsͿ dempo ;sͿ ϱ 200 8 125 1 0 100 ϭϲ 62,5 ϮϬ 50 Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo?? Inversamente proporcional Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela metade. Diretamente Proporcionais Para decompor um número M em partes X1, X 2, ..., X n direta- mente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+ X 2+ ...+ X nсM e p1+ p2+ ...+ pnсP. A solução segue das propriedades das proporções: Exemplo Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos entrou com RΨ 10,00 e João com RΨ 15,00. Caso ganhem o prêmio de RΨ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de dividirem o prêmio de forma diretamente pro- porcional? Carlos ganhará RΨ210000,00 e Carlos RΨ315000,00. Inversamente Wroporcionais Para decompor um número M em n partes X1, X 2, ..., X n in- versamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X 2, ..., X n diretamente proporcionais a 1/ p1, 1/ p2, ..., 1/ pn. A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assu- me que X1+ X 2+ ...+ X nсM e além disso cuja solução segue das propriedades das proporções: YhE^dOE^ Ϭϭ͘ ;DE^EN��,I� ʹ décnico Escriturário Ͳ IN^dIdhdO �OCWͬϮϬϭϳͿ João e Marcos resolveram iniciar uma sociedade para fabricação e venda de cachorro quente. João iniciou com um capital de RΨ 30,00 e Marcos colaborou com RΨ 70,00. No primei- ro final de semana de trabalho, a arrecadação foi de RΨ 240,00 bruto e ambos reinvestiram RΨ 100,00 do bruto na sociedade, restando a eles RΨ 140,00 de lucro. De acordo com o que cada um investiu inicialmente, qual é o valor que João e Marcos devem receber desse lucro, respectivamente? (A ) 30 e 110 reais. (B) 40 e 100 reais. (C) 42 e 98 reais. (D) 50 e 90 reais. (E) 70 e 70 reais. ϬϮ͘ ;d^d ʹ décnico :udiciário ʹ &CCͬϮϬϭϳͿ Em uma empresa, trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha 24 horas semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais e, por fim, dois deles trabalham 12 horas semanais. No final do ano, a empresa distribuirá um bônus total de RΨ 74.000,00 entre esses oito funcionários, de forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional à sua carga ho- rária semanal. Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o menor bônus individual será, em RΨ, de (A ) 10.000,00. (B) 8.000,00. (C) 20.000,00. (D) 12.000,00. (E) 6.000,00. Ϭϯ͘ ;C�M�Z� DE ^hM�Z� ʹ Escriturário ʹ shNE^WͬϮϬϭϳͿ Para uma pesquisa, foram realizadas entrevistas nos estados da Região Sudeste do Brasil. A amostra foi composta da seguinte ma- neira: ʹ 2500 entrevistas realizadas no estado de São Paulo; ʹ 1500 entrevistas realizadas nos outros três estados da Re- gião Sudeste. Desse modo, é correto afirmar que a razão entre o número de entrevistas realizadas em São Paulo e o número total de entrevis- tas realizadas nos quatro estados é de (A) 8 para 5. (B) 5 para 8. (C) 5 para 7. (D) 3 para 5. (E) 3 para 8. M A TEM ÁTICA 19 Ϭϰ͘ ;hNIZsͬϲϬ ʹ �udžiliar de >aboratſrio ʹ hNIZs'OͬϮϬϭϳͿ Em relação à prova de matemática de um concurso, Paula acertou 32 das 48 questões da prova. A razão entre o número de questões que ela errou para o total de questões da prova é de (A ) 2/ 3 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 3/ 2 Ϭϱ͘ ;MWEͬ'O ʹ Oficial de Wromotoria ʹ MWE'OͬϮϬϭϳͿ José, pai de Alfredo, Bernardo e Caetano, de 2, 5 e 8 anos, respectiva- mente, pretende dividir entre os filhos a quantia de RΨ 240,00, em partes diretamente proporcionais às suas idades. Considerando o intento do genitor, é possível afirmar que cada filho vai receber, em ordem crescente de idades, os seguintes valores: (A) RΨ 30,00, RΨ 60,00 e RΨ150,00. (B) RΨ 42,00, RΨ 58,00 e RΨ 140,00. (C) RΨ 27,00, RΨ 31,00 e RΨ 190,00. (D) R$ 28,00, R$ 84,00 e R$ 128,00. (E) RΨ 32,00, RΨ 80,00 e RΨ 128,00. Ϭϲ͘ ;d:ͬ^W ʹ Escrevente décnico :udiciário ʹ shNE^WͬϮϬϭϳͿ ^abe-se que 16 caixas <, todas iguais, ou 40 caixas Q, todas tam- bém iguais, preenchem totalmente certo compartimento, ini- cialmente vazio. Também é possível preencher totalmente esse mesmo compartimento completamente vazio utilizando 4 caixas < mais certa quantidade de caixas Q. Nessas condições, é correto afirmar que o número de caixas Q utilizadas será igual a (A ) 10. (B) 28. (C) 18. (D) 22. (E) 30. Ϭϳ͘ ;IWZE^�ͬ^W ʹ �gente Wrevidenciário ʹ shNE^WͬϮϬϭϳͿ A tabela, onde alguns valores estão substituídos por letras, mostra os valores, em milhares de reais, que eram devidos por uma em- presa a cada um dos três fornecedores relacionados, e os respec- tivos valores que foram pagos a cada um deles. Fornecedor A B C Valor pago 22,5 X 37,5 Valor devido Y 40 z Sabe-se que os valores pagos foram diretamente proporcio- nais a cada valor devido, na razão de 3 para 4. Nessas condições, é correto afirmar que o valor total devido a esses três fornecedores era, antes dos pagamentos efetuados, igual a (A ) R$ 90.000,00. (B) RΨ 96.500,00. (C) RΨ 108.000,00. (D) RΨ 112.500,00. (E) RΨ 120.000,00. Ϭϴ͘ ;DWEͬZ^ Ͳ �nalista Ͳ &CCͬϮϬϭϳͿ A razão entre as alturas de dois irmãos era 3/ 4 e, nessa ocasião, a altura do irmão mais alto era 1,40 m. Hoje, esse irmão mais alto cresceu 10 cm. Para que a razão entre a altura do irmão mais baixo e a altura do mais alto seja hoje, igual a 4/5 , é necessário que o irmão mais baixo tenha crescido, nesse tempo, o equivalente a (A) 13,5 cm. (B) 10,0 cm. (C) 12,5 cm. (D) 14,8 cm. (E) 15,0 cm. Ϭϵ͘ ;CZ�IO ʹ �udžiliar �dministrativo ʹ shNE^WͬϮϬϭϳͿ O transporte de 1980 caixas iguais foi totalmente repartido entre dois veículos, A e B, na razão direta das suas respectivas capacida- des de carga, em toneladas. Sabe-se que A tem capacidade para transportar 2,2 t, enquanto B tem capacidade para transportar so- mente 1,8 t. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença entre o número de caixas carregadas em A e o número de caixas carregadas em B foi igual a (A ) 304. (B) 286. (C) 224. (D) 216. (E) 198. ϭϬ͘ ;EMDEC ʹ �ssistente �dministrativo ʹ I�&CͬϮϬϭϲͿWaulo vai dividir RΨ 4.500,00 em partes diretamente proporcionais às idades de seus três filhos com idades de 4, 6 e 8 anos respectiva- mente. Desse modo, o total distribuído aos dois filhos com maior idade é igual a: (A) RΨ2.500,00 (B) RΨ3.500,00 (C) RΨ 1.000,00 (D) R$ 3.200,00 ZE^WO^d�^ Ϭϭ͘ Zesposta: C͘ 30kн70kс140 100kс140 <с1,4 30⋅1,4с42 70⋅1,4с98 ϬϮ͘ Zesposta: �͘ Vamos dividir o prêmio pelas horas somadas 32+ 24+ 20+ 3⋅16н2⋅12с148 74000/148с500 O maior prêmio foi para quem fez 32 horas semanais 32⋅500с16000 12⋅500с6000 A diferença é: 16000-6000с10000 Ϭϯ͘ Zesposta:�͘ 2500н1500с4000 entrevistas M A TEM ÁTICA 20 Ϭϰ͘ Zesposta: C͘ Se Paula acertou 32, errou 16. Ϭϱ͘ Zesposta: E͘ 2kн5kн8kс240 15kс240 <с16 A lfredo: 2⋅16с32 Bernardo: 5⋅16с80 Caetano: 8⋅16с128 Ϭϲ͘ Zesposta: E͘ Se, com 16 caixas <, fica cheio e já foram colocadas 4 caixa, faltam 12 caixas <, mas queremos colocar as caixas Q, então va- mos ver o equivalente de 12 caixas < Qс30 caixas Ϭϳ͘ Zesposta: E͘ zс90/3с30 Xс120/4с30 с150/3с50 Portanto o total devido é de: 30н40н50с120000 Ϭϴ͘ Zesposta: E͘ Xс1,05 Se o irmão mais alto cresceu 10cm, está com 1,50 Xс1,20 Ele cresceu: 1,20-1,05с0,15mс15cm Ϭϵ͘ Zesposta: E͘ 2,2kн1,8kс1980 4kс1980 <с495 2,2x495с1089 1980-1089с891 1089-891с198 ϭϬ͘ Zesposta: �͘ AнBнCс4500 4pн6pн8pс4500 18pс4500 Pс250 Bс6pс6x250с1500 Cс8pс8x250с2000 1500н2000с3500 Zegra de trġs simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversa- mente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400<m/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: 1) Velocidade (<m/h) Tempo (h) 400-----------------3 480---------------- x 2) Identificação do tipo de relação: Velocidade----------tempo 400љ-----------------3ј 480љ---------------- xј Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda co- luna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna vai para cima Velocidade----------tempo 400љ-----------------Xљ 480љ---------------- 3љ M A TEM ÁTICA 21 480xс1200 Xс25 Zegra de trġs composta Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160mϹ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descar- regar 125mϹ? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas --------caminhões-----------volume 8ј----------------20љ----------------------160ј 5ј------------------xљ----------------------125ј A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos dimi- nuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). A umentando o volume de areia, devemos aumentar o núme- ro de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ǐ coluna). Devemos igualar a razão que con- tém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Horas --------caminhões-----------volume 8ј----------------20љ----------------------160љ 5ј------------------xљ----------------------125љ Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando: Horas --------caminhões-----------volume 5----------------20----------------------160 8------------------x----------------------125 Logo, serão necessários 25 caminhões YhE^dOE^ Ϭϭ͘ ;IWZE^�ͬ^W Ͳ �nalista de Wrocessos WrevidenciáriosͲ shͲ NE^WͬϮϬϭϳͿ Para imprimir 300 apostilas destinadas a um curso, uma máquina de fotocópias precisa trabalhar 5 horas por dia du- rante 4 dias. Por motivos administrativos, será necessário impri- mir 360 apostilas em apenas 3 dias. O número de horas diárias que essa máquina terá que trabalhar para realizar a tarefa é (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10. ϬϮ͘ ;^EWO' ʹ �nalista em decnologia da Informação e CoͲ municação ʹ &'sͬϮϬϭϳͿ Uma máquina copiadora A faz 20й mais cópias do que uma outra máquina B, no mesmo tempo. A máquina B faz 100 cópias em uma hora. A máquina A faz 100 cópias em (A ) 44 minutos. (B) 46 minutos. (C) 48 minutos. (D) 50 minutos. (E) 52 minutos. 03. ;^�Wͬ^W Ͳ �gente de ^egurança Wenitenciária Ͳ M^CONͲ ChZ^O^ͬϮϬϭϳͿ Para a construção de uma rodovia, 12 operários trabalham 8 horas por dia durante 14 dias e completam exata- mente a metade da obra. Porém, a rodovia precisa ser terminada daqui a exatamente 8 dias, e então a empresa contrata mais 6 operários de mesma capacidade dos primeiros. Juntos, eles deve- rão trabalhar quantas horas por dia para terminar o trabalho no tempo correto? (A) 6h 8 min (B) 6h 50min (C) 9h 20 min (D) 9h 33min Ϭϰ͘ ;C�M�Z� DE ^hM�Z� ʹ Escriturário ʹ shNE^WͬϮϬϭϳ Ϳ Um restaurante “por quilo” apresenta seus preços de acordo com a tabela: Rodolfo almoçou nesse restaurante na última sexta-feira. Se a quantidade de alimentos que consumiu nesse almoço custou RΨ 21,00, então está correto afirmar que essa quantidade é, em gramas, igual a (A) 375. (B) 380. (C) 420. (D) 425. (E) 450. Ϭϱ͘ ;C�M�Z� DE ^hM�Z� ʹ Escriturário ʹ shNE^WͬϮϬϭϳ Ϳ Um carregamento de areia foi totalmente embalado em 240 sa- cos, com 40 k g em cada saco. Se fossem colocados apenas 30 k g em cada saco, o número de sacos necessários para embalar todo o carregamento seria igual a (A ) 420. (B) 375. (C) 370. (D) 345. (E) 320. M A TEM ÁTICA 22 Ϭϲ͘ ;hNIZsͬ'O ʹ �udžiliar de >aboratſrio ʹ hNIZs'OͬϮϬϭϳͿ Quarenta e oito funcionários de uma certa empresa, trabalhando 12 horas por dia, produzem 480 bolsas por semana. Quantos fun- cionários a mais, trabalhando 15 horas por dia, podem assegurar uma produção de 1200 bolsas por semana? (A ) 48 (B) 96 (C) 102 (D) 144 Ϭϳ͘ ;MWEͬ'O ʹ Oficial de Wromotoria ʹ MWE'OͬϮϬϭϳͿ Du- rante 90 dias, 12 operários constroem uma loja. Qual o número mínimo de operários necessários para fazer outra loja igual em 60 dias? (A) 8 operários. (B) 18 operários. (C) 14 operários. (D) 22 operários. (E) 25 operários Ϭϴ͘ ;&CEW ʹ décnico �rơstico ʹ �M�hCͬϮϬϭϳͿ A vazão de uma torneira é de 50 litros a cada 3 minutos. O tempo necessário para essa torneira encher completamente um reservatório retan- gular, cujas medidas internas são 1,5 metros de comprimento, 1,2 metros de largura e 70 centímetros de profundidade é de: (A) 1h 16min 00s (B) 1h 15min 36s (C) 1h 45min 16s (D) 1h 50min 05s (E) 1h55min 42s Ϭϵ͘ ;CZMsͬ^C ʹ �ssistente �dministrativo ʹ IE^E^ͬϮϬϭϳͿ Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 600 peças. De- termine quantas peças serão produzidas por sete operários traba- lhando por 8 dias: (A ) 1120 peças (B) 952 peças (C) 875 peças (D) 1250 peças ϭϬ͘ ;MWEͬ^W ʹ Oficial de Wromotoria I ʹ shNE^WͬϮϬϭϲͿ Para organizar as cadeiras em um auditório, 6 funcionários, todos com a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3 horas. Para fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo rendimento dos iniciais,
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