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citada a fonte. 
 
Adicionalmente, qualquer problema com sua turma/curso deve ser resolvido, em primeira 
instância, pela secretaria de sua unidade. Caso você não tenha obtido, junto a sua 
secretaria, as orientações e os esclarecimentos necessários, utilize o canal institucional da 
Ouvidoria. 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ........................................................................... 1 
1.1 EMENTA ............................................................................................................ 1 
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL .......................................................................................... 1 
1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................ 1 
1.4 METODOLOGIA .................................................................................................... 1 
1.5 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ....................................................................................... 2 
1.6 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA .................................................................................. 2 
CURRICULUM VITAE DO PROFESSOR ................................................................................. 3 
2. FUNDAMENTOS FINANCEIROS ........................................................................ 4 
2.1 FLUXO DE CAIXA E FLUXO DE ATIVOS ......................................................................... 4 
2.2 NOMENCLATURA, TAXA DE JURO E CAPITALIZAÇÃO ........................................................... 7 
2.3 O JURO ...........................................................................................................11 
2.4 APÊNDICE .........................................................................................................13 
2.5 RESUMO E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: .........................................................................16 
3. PLANOS DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................... 18 
3.1 PRINCÍPIOS .......................................................................................................18 
3.2 PAGAMENTO PERIÓDICO DE JUROS (SISTEMA AMERICANO) ...............................................20 
3.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES - SAC ..........................................................21 
3.4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO .................................................................................22 
4. PAGAMENTO NO FINAL DO PRAZO ................................................................ 24 
4.1 PLANO DE AMORTIZAÇÃO .......................................................................................24 
4.2 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO (JUROS COMPOSTOS) ...........................................25 
4.3 PRAZO , PERÍODO E N ........................................................................................30 
4.4 PLANOS EQUIVALENTES .........................................................................................35 
4.5 APÊNDICE .........................................................................................................36 
5. SÉRIES UNIFORMES ...................................................................................... 41 
5.1 PAGAMENTOS IGUAIS - SISTEMA FRANCÊS ..................................................................41 
5.2 PLANOS DE CAPITALIZAÇÃO ....................................................................................46 
5.3 APÊNDICE .........................................................................................................47 
6. TAXAS DE JUROS .......................................................................................... 50 
6.1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................50 
6.2 TAXA EFETIVA ....................................................................................................50 
6.3 TAXAS EQUIVALENTES ..........................................................................................50 
6.4 TAXA NOMINAL ...................................................................................................54 
6.5 RESUMO E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: .........................................................................56 
6.6 + A RESPEITO DE TAXAS DE JUROS E A TIR ..................................................................58 
7. DESCONTO BANCÁRIO .................................................................................. 62 
7.1 DUPLICATA .......................................................................................................62 
7.2 DESCONTO BANCÁRIO X MATEMÁTICA FINANCEIRA ......................................................63 
7.3 NOTA PROMISSÓRIA ............................................................................................65 
8. VALOR PRESENTE LÍQUIDO .......................................................................... 66 
8.1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................66 
8.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) ............................................................................66 
8.3 AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTO DE CAPITAL ATRAVÉS DO VPL E DA TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE ( 
TMA ) ..................................................................................................................72 
 
 
 1 
 
Matemática Financeira 
1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 
1.1 Ementa 
Conceitos financeiros fundamentais. Juros Simples e Juros Compostos. Tipos de Taxas de 
Juros. Operações de Desconto. Equivalência de taxas e capitais. Cálculo do valor presente 
e valor futuro. Séries de Pagamentos - Séries Uniformes Antecipadas, Postecipadas e 
Diferidas. Sistemas de amortização: tabela price e sistema de amortização constante. 
Método de análise de fluxos de caixa. Desconto racional composto e desconto comercial. 
1.2 Carga horária total 
24 horas/aula 
1.3 Objetivos 
apresentar a linguagem própria do mercado financeiro; 
desenvolver a lógica e as técnicas de cálculo financeiro que proporcionarão a tomada 
de decisões na área de Administração Financeira; 
tratar os conceitos básicos do mercado financeiro com a finalidade de desenvolver no 
aluno uma postura ética em suas relações com o capital. 
1.4 Metodologia 
Aulas: 
Todo conteúdo necessário à compreensão dos tópicos de Matemática Financeira será 
desenvolvido em sala de aula através de procedimentos multimídia: exposições, 
demonstrações e simulações por parte do professor com auxílio de lousa, 
apresentações projetadas em Power Point e Planilha Eletrônica Excel e material 
impresso de apoio; 
Para fixação dos tópicos essências, serão desenvolvidos exercícios utilizando-se de 
calculadora eletrônica financeira (HP12c) com o auxílio do professor. 
 
Estudo complementar: 
Será fornecido material complementar na forma de arquivos Excel e Word para estudos 
de planilhas eletrônicas e tópicos de revisão e avançados na área de matemática e 
matemática financeira; 
Será cobrado resoluções de listas de exercícios com o objetivo de sedimentar os 
conceitos trabalhados em sala de aula; após a entrega destas listas, será enviada 
ao aluno a solução dos exercícios via Excel. 
 
 2 
 
Matemática Financeira 
1.5 Critérios de avaliação 
INSTRUMENTO DESCRIÇÃOVALOR (ptos) 
Exercícios em 
aula e/ou Listas 
de Exercícios 
Temas: 
Capitalização; 
Planos de Amortização; 
Taxas/Descontos; 
VPL/TMA e TIR. 
3,0 
através de conceitos 
A, B, C ou zero. 
 
Prova 
Escrita, a ser aplicada em data estabelecida 
pela coordenação ao final do módulo. 
O conteúdo corresponde a todos os capítulos 
estudados. 
É permitido (necessário) o uso de 
calculadora eletrônica financeira. Por 
determinação da FGV, não é permitido o uso 
de equipamentos que apresentem planilhas 
de cálculo (ex: Excel). 
7,0 
 
DATAS de entrega: 
Listas 1ª parte* na 2ª semana de encontro; entregar ao 
professor 
Listas 2ª parte * 7 dias após o último encontro; entregar na 
secretaria da escola 
* Um dia após a data de entrega, será enviado ao representante dos alunos, através de 
correio eletrônico, um arquivo com a resolução dos respectivos exercícios. 
1.6 Bibliografia recomendada 
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática financeira – aplicações à análise de investimento. 
São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Harmut. Análise de investimentos.-
.matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia 
empresarial. São Paulo: Atlas, 1994. 
WEATHERFORD, Jack. A história do dinheiro. São Paulo: Negócio, 1999. 
 3 
 
Matemática Financeira 
Curriculum vitae do professor 
Franz August Müller é especialista em Física Nuclear pelo Instituto de Física Teórica IFT-
Unesp e bacharel em Física pelo Instituto de Física – USP. Especialista em Administração 
de Empresas com ênfase em Logística pela Unip. Atua como Gestor da Incorporadora e 
Construtora Tera, gestor da Müller Chips Industria de Alimentos, assessora e presta 
treinamento a empresas na área financeira. Foi diretor presidente da Cooperativa 
Habitacional Fernão Dias – Cohafer. Premiado pelo MEC por desenvolvimento na área de 
hipertextos. Atuou em pesquisas na área de lógica e avaliação pedagógica, além de ter 
integrado o Grupo de Estudos e Pesquisas em Indicadores de Desempenho – GEPID – 
UNICAMP. Autor do livro Matemática aplicada a negócios, publicado pela editora Saraiva. 
É professor do Programa de Cursos Conveniados da FGV Management na área Financeira 
desde 2001. 
 
 4 
 
Matemática Financeira 
2. FUNDAMENTOS FINANCEIROS 
2.1 Fluxo de Caixa e Fluxo de Ativos 
Rita está com 25 anos, é uma moça inspiradora, boa de assunto, fã de Noel Rosa e devota 
de São Francisco. Dotada de memória recorrente, mostra-se vingativa e malevolente em 
determinadas situações. Trabalhava no setor administrativo de uma indústria de autopeças, 
com salário garantido todo 5º dia útil, 13º e férias. Optou por abandonar o emprego para 
dedicar seu tempo e suas habilidades a um negócio próprio. Investiu todo capital que havia 
acumulado abrindo uma empresa denominada “Rita”, comprando o ponto e equipando um 
box em uma galeria na Av. Paulista, em São Paulo, para vender roupas íntimas femininas. 
Nas vendas que efetua, Rita propõe a suas clientes pagamentos “a prazo, sem juros”. 
Costuma cobrar 50% do valor da etiqueta como entrada mais 50% para 30 dias, no cheque 
pré-datado. Contudo, uma placa, fixada ao lado do caixa, informa que há 10% de desconto 
sobre o valor anunciado na etiqueta para pagamentos à vista. 
Hoje, segunda-feira, Rita tomou $90 emprestados com seu namorado Chico, que acaba de 
receber o Fundo de Garantia (FGTS) por ter sido demitido. 
Amanhã, terça-feira, Rita pagará $170, pela compra de peças na confecção de seu Salim, 
seu fornecedor. Ele exige sempre pagamento à vista. 
Daqui há 2 dias, Rita receberá por uma encomenda de peças amarelas etiquetadas a $80. 
O pagamento será à vista. 
Dia 3 receberá $55 referente a uma parcela de peças pretas cuja venda foi efetuada no 
mês passado. Tem também, programada, uma venda de peças vermelhas a $40 na 
etiqueta: receberá $20 de entrada e $20 para 30 dias. A compradora é Ana, que revende 
as peças em Bragança Paulista com remarcação de 50%. 
Rita, no dia 4, pagará $85 ao Mané, proprietário do box da galeria e receberá a 1ª parcela 
referente à venda a prazo de peças brancas cujo valor na etiqueta é $250. Foi uma médica, 
amiga sua, que encomendou. 
Dia 5, sábado, será pago o empréstimo do começo da semana ao Chico, no valor de $92 
na sequência Rita faz uma oração a São Francisco e cai no samba. 
Para nos concentrarmos e enxergarmos melhor nas entradas e saídas de caixa nestes seis 
dias, podemos montar uma tabela, indicando com sinal (-) as saídas de dinheiro: 
dia valor $ 
0 
 
 
1 
 
 
2 
 
3 
 
4 
 
 
5 
 
 
 5 
 
Matemática Financeira 
A tabela que montamos chama-se fluxo de caixa. Outro modo de indicar o fluxo de caixa 
é na forma de diagramas, onde a flecha vertical com sentido para cima indica entrada de 
dinheiro e com sentido para baixo indica saída. A flecha horizontal indica o tempo, que 
avança para direita com respectiva a unidade adotada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere que: 
 
 “PAGAMENTO À VISTA” é aquele feito pelo cliente ao fornecedor em contrapartida à 
entrega do produto ou serviço. 
 
O PAGAMENTO À VISTA representa o PREÇO do produto. PREÇO é o valor 
acordado por ambas as partes, na forma de dinheiro. 
 
“PAGAMENTO A PRAZO” é aquele feito pelo cliente num prazo, estabelecido entre as 
partes, após a entrega do produto. 
 
NESTE CASO, O VENDEDOR ENTREGA MAIS QUE RECEBE DE ENTRADA DO CLIENTE. ESTE 
VALOR A MAIS É O EMPRÉSTIMO QUE SERÁ COBRADO FUTURAMENTE, COM JURO. 
 
O PAGAMENTO A PRAZO representa além do empréstimo, o juro pelo empréstimo 
de capital. 
 
Caso você vá à loja da Rita e se interesse por uma peça etiquetada a R$40,00 interpretará 
que seu preço é de ________. 
 
Observação: 
 
PREÇO = GASTOS + LUCRO 
 
Os GASTOS referem-se aos custos diretamente relacionados à obtenção do produto, aos 
custos indiretamente relacionados e às despesas necessárias para sua comercialização. 
Assim, o PREÇO deve ser suficiente para repor os GASTOS. 
 
E o LUCRO, por que o PREÇO deve embuti-lo? O que justifica o LUCRO? 
 
 
dia 
 6 
 
Matemática Financeira 
No fluxo de caixa anterior verificamos as entradas e saídas de dinheiro que, de fato, 
ocorreram no caixa da Rita. Contudo, há outras formas de enxergarmos acontecimentos 
com o caixa da Rita, gerando informações específicas. 
 
Exemplo 1 
Represente, através de um diagrama de Fluxo de Caixa, o empréstimo que a Rita, 
devedora, tomou com o Chico, credor (tendo como referência a devedora): 
 
 
 
 
 
 
 
Pensando no Chico, como seria o Fluxo de Caixa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proponho que a partir de agora, você represente no fluxo todas as entradas ou saídas de 
ativos1, faremos fluxos de ativos. 
 
Exemplo 2 
Vamos enxergar financeiramente (ativos) a venda com pagamento a prazo que a Rita fez 
no dia 3, das peças vermelhas, tendo como referência a credora e como unidade de tempo 
o mês: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 O que é ativo? 
FLUXO DE ATIVOS: 
� O valor do ativo é sempre representado no final do período correspondente. 
� Saídas de ativo são representadas por flechas com sentido para baixo ↓; 
� Entradas de ativo são representadas por flechas com sentido para cima ↑. 
 7 
 
Matemática Financeira 
2.2 Nomenclatura, taxa de juro e capitalização 
Chamaremos de PRINCIPAL o capital (ou outro ativo qualquer) que é transferido da 
posse do credor à posse do devedor no início da operação de empréstimo. Considerando 
que o PRINCIPAL é a primeira movimentação do fluxo de empréstimo, ele torna-se o 
SALDO do primeiro período. 
SALDO é o valor, que pertence ao credor e está na posse do devedor. 
SALDO é o valor que ESTÁ emprestado. 
A quantidade do JURO é criada tendo como referência o SALDO durante um tempo 
determinado, que chamaremos de PERÍODO. Contudo, não é a quantidade de JURO que 
determina se o empréstimo é mais caro ou barato e sim a relação entre o JURO criado 
num PERÍODO e o SALDO (veja o exercício de fixação 6, do Ana e do Bel). 
 
Relativizando: 
 
����
�������� �
 ���� �� �
����2 
 
Para iniciarmos os cálculos referentes ao JURO, consideraremos empréstimos que durarão 
um único PERÍODO. Neste caso o SALDO do credor pode ser representado pelo módulo do 
PRINCIPAL. Assim, inicialmente, daremos mais ênfase ao conceito de PINCIPAL, em 
detrimento do SALDO: 
 
����
���������
	 
��� �
 ���� �� �
���� 
 
 
Exemplo 3 
Considere o exemplo 2, cujo fluxo de ativos da Rita é: 
 
 
 
Calcule a taxa de juro no período de um mês: 
 
 
 
2 Faça uma revisão a respeito de TAXAS no apêndice A1. 
16 20 
0 1 
mês 
 8 
 
Matemática Financeira 
Período – o tempo da taxa de juro 
 
A taxa de juro atua no tempo. Período é a medida de tempo necessário para taxa 
completar um ciclo de capitalização. 
Assim, a taxa de juro de: 
5,00% a.a. precisa de um ano para gerar 5% de juro sobre o Principal, isto é, seu 
período é de um ano; 
1,00% a.m. em um mês gera juro igual a 1% do Principal, período de um mês; 
0,35% a.d. tem período de um dia pois necessita de um dia para criar 0,35% de juro 
do principal. 
 
Mais siglas: 
a.b. ao bimestre 
a.t. ao trimestre 
a.q. ao quadrimestre 
a.s. ao semestre 
a15d. a 15 dias 
a32d. a 32 dias 
 
A taxa de juro capitaliza quando se completa o período. 
 
Dando nomes: 
valor Nomenclatura símbolo 
$16 
 
 
 
$4 
 
 
 
$20 
 
 
 
0,2500am 
 
 
 
25,00%am 
 
 
 
 
 
 9 
 
Matemática Financeira 
CAPITALIZAÇÃO ocorre quando há empréstimo de um ativo a juros. 
 
CAPITALIZAÇÃO é a incidência da TAXA DE JURO sobre o PRINCIPAL (ou SALDO) ao 
PERÍODO estabelecido. Consequentemente, capitalizar é gerar juro. 
 
PRINCIPAL é o ativo emprestado: P = $16 
 
TAXA DE JURO: r = 0,25 am (a cada mês) 
 
PRAZO é o tempo que o ativo permanece emprestado: um mês 
 
CAPITALIZAÇÃO (ação): 0,25 · 16 = r · P = J 
 
MONTANTE: 16 + 0,25 · 16 = 16·(1+0,25) = 16 · 1,25 = 20 
 
P + r · P = P·(1+r) = F 
 
PROCESSO: P · (1+r) = F 1º padrão 
 
 
VALOR e TEMPO 
Exemplo 4 
i=10%am 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
( )



=
data
quantia
V
$
$ ALOR
0 0 1 
0 1 0 
 10 
 
Matemática Financeira 
Lembrando o exemplo 2, concluímos que a quantia da etiqueta, de $40 (etiqueta), não 
tem significado de valor. Não há como enxergar a quantia de $40 no fluxo de ativos. 
Numa compra a prazo, o princípio do juro é inerente à troca intertemporal. Representa para 
o credor, o prêmio pelo risco e pela espera (perda da liquidez); para o devedor, o preço pela 
impaciência ou o preço pela oportunidade. O credor abstém-se no presente com a expectativa 
de usufruir no futuro, o devedor usufrui agora, gerando a obrigação de pagar no futuro. 
Com facilidade, aprendemos no nosso dia a dia que o capital, que acumulamos, jamais 
deve ficar parado, ou seja, deve ser emprestado a alguém (você torna-se um credor, seja 
de pessoa física ou jurídica) ou a algum negócio (você torna-se um investidor). Concluímos 
então que o Principal emprestado sofre o efeito do tempo, ou seja, o Montante deve 
aumentar ao longo do tempo através da Capitalização. 
 
EXPECTATIVA da CAPITALIZAÇÃO: 
i>0 
Sendo assim, dizemos matematicamente que o capital ($) é uma função do tempo e 
representamos da seguinte forma: 
$ = f ( t ) onde: $ ≡ capital, t ≡ tempo. 
 
É por isso que quantias iguais de capital terão valores diferentes se apresentarem 
diferentes datas de pagamento (ou recebimento). Reforçando este princípio importante: 
o valor do capital está vinculado ao tempo; 
$100 pagos (ou recebidos) hoje, valem menos que $100 ontem; 
$100 pagos (ou recebidos) hoje valem mais que $100 numa data futura. 
 
Consequentemente quantias em datas diferentes não podem ser somadas ou comparadas 
diretamente. 
É imprescindível que, ao mencionarmos um evento relacionado ao capital, forneçamos as 
três informações de um FLUXO: 
( )





−+
=
)(ou )(
 $
$
saídaentrada
data
quantia
 
Somente através das três informações poderemos valorar o capital e tomar decisões 
financeiras. 
Ao montar um Fluxo de Ativos lembre-se: o valor do ativo é traduzido monetariamente 
pelo preço; preço é a quantia da etiqueta subtraída do desconto (preço = etiqueta – 
desconto) 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
É a Matemática Financeira que estuda esta relação tempo ↔ capital 
com o objetivo de obter parâmetros que indiquem a melhor forma de emprestar ou tomar 
emprestado o capital. 
Assim, fazemos uso da matemática financeira para: 
EMPRESTAR (ceder por tempo determinado) → maior ganho. 
TOMAR EMPRESTADO → menor perda. 
 11 
 
Matemática Financeira 
2.3 O Juro 
Os dois lados da MOEDA 
Historicamente, observamos que o dinheiro, assim como o conhecemos hoje, é uma 
evolução do produto padrão. Utilizado como medida e reserva de valor e como salário o 
dinheiro assume a função de intermediador de trocas de bens e serviços. 
 
Porém, alguém resolveu enxergar o dinheiro de uma forma diferente, como se fosse um 
bem material, que tem o valor nele mesmo. Sob este ponto de vista, o dinheiro, como se 
fosse um bem, passa a ser demandado por empréstimo e consequentemente, haverá quem 
o oferte. 
 
 DINHEIRO (MOEDA) 
finalidade utilização capitalização 
um lado 
representação 
quantitativa do valor de 
um bem 
MEIO facilitador de trocas 
atemporais de bens e 
serviços - INTERMEDIADOR 
i = 0 
outro lado 
Valor em si. 
Emprestado3, 
objetivando o ganho do 
JURO 
ATIVO: BEM, algo que tem 
valor próprio e potencial de 
gerar, no futuro, caixa 
positivo 
nome: CAPITAL 
i > 0 
 
 
3 Emprestar:confiar a alguém certa soma em dinheiro, gratuitamente ou não, para que faça uso dela durante 
certo tempo, restituindo-a depois ao dono. 
 12 
 
Matemática Financeira 
Operação do Empréstimo de Capital ($) 
 
 
 
O JURO (J) é o aluguel4 a ser pago pelo empréstimo do CAPITAL. 
 
JUSTIFICATIVA para cobrar o JURO 
Como o credor fica incapacitado de dispor de seu capital (dinheiro), o juro é um 
ressarcimento pela perda da liberdade ou possibilidade de aquisição que o dinheiro 
proporciona. Esta perda da liberdade ou da possibilidade do credor dispor do seu capital, 
denominamos perda de LIQUIDEZ. 
 
Além disto, há incertezas na trajetória do capital durante o prazo do empréstimo. Não 
podemos prever todas as causas e os seus respectivos efeitos que afetarão a capacidade 
do devedor em honrar seu compromisso. Estas incertezas podem frustrar a expectativa 
do credor em receber de volta o capital emprestado. A esta possibilidade de frustração 
de expectativa damos o nome de RISCO. Assim, o RISCO que o credor sofre sobre suas 
expectativas, torna-o merecedor de um prêmio como forma de. Compensação. 
 
O ressarcimento pela perda da liquidez e o prêmio como compensação pelo risco são os 
componentes do juro. 
 
A idéia das religiões de que o dinheiro, por si só, não poderia gerar riquezas como podem 
as plantações, as criações, as confecções ou a terra* é contraposta por aqueles que 
entendiam que o dinheiro, no mercado, também tem potencial de gerar valor (CAPITAL = 
ATIVO). Assim o que para os religiosos é usura, para os capitalistas é mais uma forma 
lícita de interagir com o mercado. 
O princípio do juro deve ser aceito tanto nas relações entre pessoas jurídicas como físicas? 
 
 
4 Aluguel: remuneração paga ao locador em razão da locação. 
* Veja em DEUTERONÔMIO; cap 23, vers. 20 e 21. 
CREDOR 
(empresta) 
DEVEDOR 
(toma emprestado) 
$ + 
PRAZO: 
tempo que dura 
o empréstimo 
DEVEDOR 
CREDOR 
 $ 
 13 
 
Matemática Financeira 
2.4 Apêndice 
A.1 Inflação ≠ Capitalização 
INFLAÇÃO 
Enxergue a moeda como um meio, um intermediador para que se estabeleçam as 
trocas dos bens e serviços num mercado! 
Quando dizemos que compramos ou vendemos algo, estamos efetuando esta troca. Tais 
trocas, por terem a moeda como intermediador, tornam-se indiretas e atemporais. Por 
esta razão, não percebemos, muitas das vezes, que estamostrocando nosso trabalho, que 
resultou num salário, por comida ou por vestimentas. 
Para que compremos ou vendamos algo, estabelecemos um preço, que é uma 
quantificação de moedas com o objetivo de representar o valor do bem ou do serviço. 
Se ocorrer um desequilíbrio na oferta ou demanda de um determinado bem ou serviço e 
alguém entender que o valor deste bem ou serviço não está sendo mais representado pela 
quantidade de moedas definida anteriormente; esse alguém estabelece então que a partir 
daí, para representar o valor deste bem ou serviço são necessárias mais moedas. 
Dizemos que há uma inflação quando este fenômeno ocorre de forma generalizada no 
mercado, ocasionando a necessidades de mais moedas para as compras ou vendas, ou 
seja, quando os preços aumentam. 
 
Exemplo 6 
Na venda das peças vermelhas, com pagamento a prazo, há $20 que devem ser pagos um 
mês após à entrega da peça. Com a intenção de defender-se das perdas inflacionárias, 
Rita propôs à sua cliente que os $20 a serem pagos futuramente fossem corrigidos devido 
às perdas geradas pela inflação. Desta forma o valor não seria mais de $20 fixos e sim 
pós-fixado, em função da taxa de inflação apurada no mês anterior. Combinou com a 
cliente que a taxa de inflação seria obtida através do IGP (Índice Geral de Preços) da FGV 
no portalibre.fgv.br (site). 
Um mês após a venda, na data do pagamento, foi verificada a taxa de inflação do mês 
anterior de 10,00% (taxa de mentirinha: esta taxa de inflação de 10%am é somente para 
exemplificar, não ocorre no Brasil há anos). Com o objetivo de preservar o valor do 
pagamento do empréstimo, calcule o pagamento corrigido. 
CORREÇÃO MONETÁRIA 
 
 
 
 
 
CAPITALIZAR e CORRIGIR 
 
 14 
 
Matemática Financeira 
TAXA APARENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moeda Forte 
O princípio da CAPITALIZAÇÃO, que faz uso da TAXA DE JURO, é diferente do processo de 
INFLAÇÃO, cuja reparação, com o objetivo de repor as perdas sofridas pelo dinheiro, gera 
a CORREÇÃO através da TAXA DE INFLAÇÃO. 
 
Considerando que: 
Os estudo financeiros têm o objetivo de gerar indicadores que apresentem os efeitos 
do princípio da CAPITALIZAÇÃO. 
 
E considerando que: 
A taxa aparente mascara o resultado da taxa de juro. 
As tomadas de decisão financeira, num mercado equilibrado, em geral, independem do 
processo inflacionário. 
 
Optaremos, na maioria dos casos, por trabalhar num cenário sem inflação. Neste caso, 
costumamos dizer que estamos trabalhando com MOEDA FORTE, ou seja, um dinheiro que 
não sofre inflação. 
 15 
 
Matemática Financeira 
A.2 PROVOCAÇÕES 
Economia Monetária - o estudo da moeda 
Para os nossos fins, podemos interpretar o mercado através das relações (causas e 
efeitos*) entre a demanda (procura) e oferta de bens materiais. 
Uma das causas básicas de demanda e da oferta é o preço de um bem. Por exemplo, se o 
preço de um par de sapatos for pequeno, possibilitando sua compra por um grande número 
de pessoas, então a procura, demanda, será grande. Se o preço for grande a demanda 
será pequena.** O inverso acontece com a oferta. 
Note que o agente da demanda é aquele que compra e o agente da oferta é aquele que 
vende. 
 
 
 
PREÇO OU VALOR 
O preço, ou seja, a quantidade de dinheiro que deve ser paga por um bem, é uma 
consequência da relação de demanda e oferta , ou seja, do mercado. Portanto está 
diretamente ligado à moeda. 
O valor de um bem está diretamente ligado à serventia que ele lhe oferece ou que você 
enxerga que ele lhe oferece (percepção). 
Portanto o preço nem sempre expressa o valor de um bem. É a desproporção entre preço 
e valor que gera os conceitos de caro e barato. 
 
* observe que binômio causa/efeito é dialético, a causa foi o efeito de uma causa anterior e o efeito será a 
causa de outro efeito. 
** observe que os outros fatores além do preço geram demanda, como, por exemplo: qualidade, existência de 
similares, propaganda. Contudo, você há de concordar que o preço tem um grande peso. 
preço 
x 
(quantidade) 
oferta 
demanda 
 16 
 
Matemática Financeira 
2.5 Resumo e Exercícios de fixação: 
Chamamos de fluxo de ativos as entradas e saídas efetivas de ativos, representados 
através de seus valores monetários ao longo do tempo. Apresentamos os fluxos de ativos 
através de tabelas ou diagramas. 
A matemática Financeira é o instrumento para o manuseio e transformação de fluxos de 
ativos, visando sua otimização sob um determinado referencial. 
Ao montar um fluxo de ativos, represente as entradas ou saídas no período correto. Nunca 
junte (some) ou compare diretamente quantias/unidades monetárias que entrarem ou 
saírem do “caixa” (posse) em períodos distintos. 
PREÇO é a quantidade de capital que deve ser paga à vista (em contrapartida ao 
recebimento), por aquele que adquire um bem ou um serviço. O preço é responsável por 
cobrir todos os gastos ocorridos para o fornecimento do produto e gerar o lucro esperado 
pelo investidor. Não é conveniente falar “preço a prazo”. 
ATIVO (asset) é qualquer bem ou direito, tangível ou intangível, real ou financeiro (ações, 
debêntures, duplicatas, etc) que: pertence à pessoa física ou jurídica e pode ser avaliado, 
hoje ou no futuro, como um valor monetário. 
CAPITAL é o dinheiro tratado como um ATIVO. 
VALOR do ativo: é a quantia de dinheiro em uma determinada data ($ & tempo) 
CREDOR é o proprietário do Capital, que o empresta/arrenda ao devedor. 
DEVEDOR é quem toma o Capital emprestado e permanece com o mesmo durante um 
prazo; tem a posse do Capital que pertence ao Credor. 
JURO é o aluguel cobrado pelo Credor, devido ao empréstimo do PRINCIPAL. 
CAPITALIZAÇÃO é a geração do JURO. 
PRINCIPAL é o Capital/ativo que, ao início da operação de empréstimo, é transferido do 
caixa/posse do credor ao caixa/posse do devedor. 
MONTANTE é o Principal acrescido de Juro, que, ao final da operação de empréstimo, é 
transferido do caixa/posse do devedor ao caixa/posse do credor. 
TAXA DE JURO é a relação entre o Juro a ser pago e o respectivo Capital devido pelo 
devedor num determinado Período. O Período estabelecido para o pagamento do juro, não 
precisa coincidir com o Prazo do empréstimo. 
1- Fui às Casas Cariocas, uma grande rede de venda de eletrodomésticos com o objetivo 
de comprar uma geladeira. No encarte do jornal, esta geladeira era anunciada por R$1.100, 
em duas parcelas, entrada mais uma mensal de R$550, “sem juros”. Ao chegar à loja, o 
vendedor informou que a geladeira poderia ser comprada à vista por R$950. 
a) Analisando a situação, devo concluir que o PREÇO da geladeira é de ; 
b) Se eu comprar a prazo, qual será o PRINCIPAL? 
c) De quanto é a taxa de JURO mensal que as Casas Cariocas estão me cobrando? 
 
2 -Ao Anacleto foram emprestados $1.000 por um mês e cobrado juros de $50; ao 
Belarmindo foram emprestados $500 por um mês e cobrado juros de $50. 
a) Quem pagou mais juros? 
b) Calcule as taxas de juros mensal para ambos os casos. 
c) Qual foi o empréstimo mais caro? 
 17 
 
Matemática Financeira 
Exercícios com taxa de inflação e taxa aparente 
 
3- Uma velhinha dispõe de $4000 e pretende aplicar este capital num CDB (certificado de 
depósito bancário) de 30 dias. Sabendo que seu rendimento será de 2,50% no mês, 
responda: 
a) Quanto ganhará a velhinha? 
b) Quanto resgatará a velhinha? 
c) Monte um Fluxo de Caixa tendo a velhinha como referência. 
d) Monte um Fluxo de Ativos tendo o banco como referência. 
e) Para tornar o problema mais real (menos ingênuo), calcule a taxa de juro mensal 
considerando o imposto de renda de 22,5% sobre o ganho da velhinha. O Imposto Sobre 
Operações Financeiras - IOF sobre os rendimentos das aplicações de Curto Prazo que 
incide, de forma decrescente, em operações com prazo inferior a 30 dias, não é cobrado 
neste caso. 
f) depois disso, calcule a taxa de juro (real), considerando a inflação de 0,60% no mês. 
 
4- Em 5 de janeiro de 2007 o preço do liquidificadorera de $148 e em 5 de fevereiro de 
2007 o preço era de $151. Calcule o índice de preço e a taxa de variação do preço do 
liquidificador neste período de um mês. 
 
5- Ao longo de um semestre o preço de um produto sofreu as seguintes variações: 4%, 
3%, 8%, 6%, 5% e 2%. Qual a taxa de variação acumulada no semestre? 
 
6- Um CDB prefixado oferece um rendimento aparente de 4,00% no período. Considerando 
que a inflação foi de 2,50% no período, calcule a taxa de juros real. 
 
7– Você sabe o que é a taxa Selic? Ela é uma taxa de juro, de inflação ou aparente? 
Projetando uma taxa de inflação de 4,00% aa, conclui-se que a taxa anual básica de juro 
real do Brasil é quanto? 
 
 
 18 
 
Matemática Financeira 
3. PLANOS DE AMORTIZAÇÃO 
3.1 Princípios 
Reflita sobre este caso: 
 
No almoço mensal em família, Denilson pediu a seu cunhado Cremilson um empréstimo de 
Principal igual a $1000. Cremilson, prontamente atendeu ao pedido dizendo: 
- Dê, você é casado com minha irmã, é como se fosse meu irmão. Então, pague como 
puder, Só que tem o seguinte: 10% de taxa de juro ao mês. 
- Combinado Crê! – respondeu Dê, o bem intencionado cunhado. 
No almoço seguinte, um mês depois do Principal, o Dê entregou $300 ao Crê; no próximo 
almoço, dois meses depois do Principal, entregou $680. Três meses após o empréstimo Dê 
chegou valente: 
- Crê, hoje vou quitar minha dívida com você! 
Quanto deverá ser pago por Dê ao Crê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os personagens do empréstimo são: CREDOR e DEVEDOR. 
SALDO (S) é o capital que PERTENCE ao credor e está na POSSE do devedor. 
SALDO devedor (saldo a pagar: S<0), no referencial do devedor ou SALDO credor 
(saldo a receber: S>0) no referencial do credor; é a dívida existente/remanescente. 
 
A quantia entregue pelo credor ao devedor no início de uma operação de empréstimo é 
denominada PRINCIPAL (P). Assim, o PRINCIPAL é o fluxo que torna-se o SALDO do 
início da operação. 
 19 
 
Matemática Financeira 
O pagamento ou fluxo de um empréstimo consiste em: 
 
pgto = JURO + AMORTIZAÇÃO 
 
JURO (J) é o valor do aluguel do SALDO. O JURO é gerado pela incidência da TAXA 
DE JURO (r), a cada PERÍODO, sobre o SALDO (S): 
 
J=r·S 
 
O JURO PERTENCE ao CREDOR no PERÍODO de sua geração!5 
 
AMORTIZAÇÃO (A) é a variação do SALDO que ocorre entre início e o fim de um 
PERÍODO de capitalização: -A = ∆S =Sf - Si 
É a parte do pagamento que altera o SALDO: 
 
Si – A = Sf . 
 
 
TABELA DE AMORTIZAÇÃO 
 
Apresenta tudo que acontece com o empréstimo: 
 
n 
Si 
Saldo no início 
do período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amortização = Fluxo 
Sf 
Saldo final, após o 
fluxo 
0 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
5 Esta condição, resulta no Regime de Capitalização Composto. 
 20 
 
Matemática Financeira 
Estudaremos duas formas de pagamento para quitar o saldo, são dois Planos de 
Amortização. 
 
SAIBA QUE: 
A operação de empréstimo inicia-se quando o Principal é entregue e se encerra quando o 
saldo é quitado; este intervalo de tempo será denominado PRAZO. 
PRAZO é o tempo que dura o empréstimo. PRAZO ≠ PERÍODO 
3.2 Pagamento Periódico de Juros (Sistema Americano) 
Condições para o empréstimo: 
P = -1.000 (referencial: CREDOR), i = 10,00%a.m. , prazo de 4 meses 
 
FORMA DE PAGAMENTO: 
Juro pago ao final de cada período; 
Amortização ocorre após o último período de capitalização, no final do prazo. 
 
 
 
 
 
n 
Si 
Saldo no início 
do período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amort = Fluxo 
Sf 
Saldo final, após o 
fluxo 
0 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Casos em que se aplica esta forma de pagamento: 
 
0 1 2 3 4 
mês 
1.000 
 21 
 
Matemática Financeira 
3.3 Sistema de Amortizações Constantes - SAC 
Condições para o empréstimo: 
P = -1.000 (referencial: CREDOR), i = 10,00%a.m. , prazo de 4 meses 
 
FORMA DE PAGAMENTO: 
Juro pago ao final de cada período; 
Amortização paga uniformemente (amort=-P/n) ao final de cada período. 
 
 
 
 
 
n 
Si 
Saldo no início 
do período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amort = Fluxo 
Sf 
Saldo final, após o 
fluxo 
0 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
Obs.: o Juro pago decresce a cada período pois o saldo devedor diminui já que são feitas 
amortizações periódicas. 
 
Casos em que se aplica esta forma de pagamento: 
 
Também é chamado de sistema Alemão ou sistema Hamburguês. 
 
 
0 1 2 3 4 
mês 
1.000 
 22 
 
Matemática Financeira 
3.4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1 – SÉRIE PERPÉTUA - Uma empresa, com a intenção de valorizar seus funcionários, 
instituirá um concurso que premiará o melhor funcionário com $1.500,00 em cada mês. O 
diretor de RH pretende que este concurso dure para sempre; considerando uma taxa para 
aplicações bancárias de 3,00%a.m., o que deve ser feito para garantir o valor da premiação? 
Dica: Pense no Pgto Periódico de Juros sem amortização no final do prazo – Série Perpétua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Supondo um financiamento de $5000 em quatro meses à taxa de juros de 2,5%a.m., 
complete a tabela abaixo na sequência dos planos estudados anteriormente, no referencial 
do devedor. 
 
plano n 
Saldo no 
Início do 
período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amort = Fluxo 
Saldo Final, 
Após o 
pagamento 
A 
0 
1 
2 
3 
4 
B 
0 
1 
 
2 
3 
4 
 
 23 
 
Matemática Financeira 
3 – A partir dos dois plano básicos estudados neste capítulo, podemos criar planos mistos. 
Tome como referência o exercício anterior e construa um plano misto para um empréstimo 
de $10.000, à taxa de 2,50%a.m., considerando que: 
a) $5.000 devem ser pagos na forma do plano A e $5.000 devem ser pagos na forma 
do plano B, para isto, some os planos A e B do exercício anterior; 
b) $7.500 devem ser pagos na forma do plano A e $2.500 na forma do B. 
c) No mês 1 e 2 a forma de amortização seguirá o plano A e no mês 3 e 4 o plano B, 
com quitação no mês 4. 
 
plano n 
Saldo no 
Início do 
período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amort = Fluxo 
Saldo Após o 
pagamento 
a 
0 
1 
2 
3 
4 
b 
0 
1 
2 
3 
4 
c 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
 24 
 
Matemática Financeira 
4. PAGAMENTO NO FINAL DO PRAZO 
4.1 Plano de Amortização 
Daremos prosseguimento ao estudo dos Planos de Amortizações. Seguiremos a mesma 
regra da seção 2.0. O juro continuará pertencendo ao credor quando ele for gerado. Porém, 
apesar de pertencer ao credor ele não será pago pelo devedor na data de sua geração 
(excetuando-se o último período, que é o final do prazo). 
 
Condições para o empréstimo: 
P = -1.000 (referencial: CREDOR), i = 10,00%a.m. , prazo de 4 meses 
 
FORMA DE PAGAMENTO: um único pgto no final do prazo. 
 
 
 
 
 
 
n 
Si 
Saldo no início 
do período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amort = Fluxo 
Sf 
Saldo final, após o 
fluxo 
0 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Casos em que se aplica esta forma de pagamento: 
Reflete o processo permanente de Capitalização. 
 
A forma como juro foi tratado corresponde ao regime Simples ou Composto? 
0 1 2 3 4 
mês 
1.000 
 25 
 
Matemática Financeira 
4.2 Regime de Capitalização Composto (Juros Compostos) 
Na proposta de Amortização que acabamos de montar, foi feito um único pagamento, ao 
final do prazo, denominado MONTANTE. Neste plano o JURO, não pago, pelo devedor ao 
credor, no final de cada período, passa a fazer parte do saldo. 
 
O MONTANTE é o fluxo do FINAL DO PRAZO do empréstimo, que quitará a dívida, pagando 
o SALDO e o JURO. 
 
Observemos um padrão: 
Para o empréstimo de $1.000, à taxa de 10%a.m., calculeo MONTANTE ( F ) ao final do 
PRAZO de: 
a) 1 mês: =1F 
 
b) 2 meses: =2F 
 
c) 3 meses: 00,331.1210.110,0210.13 =⋅+=F 
 
d) 4 meses: 10,464.1331.110,0331.14 =⋅+=F 
 
Generalizando temos: 
=1F 
 
=+= 112 rFFF 
 
( ) =+=+= rFrFFF 12223 
 
=+=+= )1(3334 rFrFFF 
 
Padrão para o cálculo do MONTANTE 
 
 
 
 
 
 
 26 
 
Matemática Financeira 
Juros Compostos 
n juro por período F COMENTÁRIOS 
0 0 1.000,00 
o juro cresce a cada período; 
o montante cresce mais do que no 
período anterior. 
crescimento exponencial 
1 0,10 ∙ 1000 = 100 1.100,00 
2 0,10 ∙ 1100 = 110 1.210,00 
3 0,10 ∙ 1210 = 121 1.331,00 
4 0,10 ∙ 1331 = 133,1 1.464,10 
5 0,10 ∙ 1464,1 = 146,41 1.610,51 
6 0,10 ∙ 1610,51= 161,05 1.771,56 
 
 
 
REFORÇANDO: 
No regime de Capitalização Composta o JURO gerado ao final do Período pertence 
imediatamente ao credor. 
Caso o JURO não seja pago ao final do Período em que foi gerado, este JURO será 
agregado ao SALDO (o PRINCIPAL torna-se o SALDO do primeiro PERÍODO); o 
novo SALDO (resultante da agregação do JURO) sofrerá capitalização a partir do 
início do período seguinte. 
 
 
 -
 1.000,00
 2.000,00
 3.000,00
 4.000,00
 5.000,00
 6.000,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
F ($)
períodos de capitalização - n
 27 
 
Matemática Financeira 
Exemplos 
1- Calcule o montante para um principal de $1.470,00 a uma taxa de 2,00%a.m. num 
prazo de 5 meses. 
algebricamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
na calculadora financeira 
 
 
 
 
As três informações P (PV), n e i entram nas memórias financeiras da calculadora 
em qualquer ordem. 
O sinal negativo do F é a expressão do conceito de fluxo de caixa, já que P foi 
informado como positivo (referencial do devedor). 
 
 
2- Calcule o principal que gerou um montante de $1.623,00 a uma taxa de 2,00%a.m. 
num prazo de 5 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ 
⇒ 
 28 
 
Matemática Financeira 
CHS 
3- Calcule a taxa mensal para um principal de $1.470,00 que gerou um montante de 
$1.623,00 num prazo de 5 meses. (neste caso, P e F são informações. Num fluxo de 
ativos, P e F têm sinais opostos.) 
 
 
 
 
 troca o sinal do número no visor 
 
 
 
 
4- Calcule o número de períodos de capitalização para um principal de $1.470,00 , 
montante de $1.623,00 à taxa de 2,00%a.m. 
 
 
 
 
Então, o primeiro exemplo deste capítulo, na HP 12c fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ 
⇒ 
0 1 2 3 4 
mês 
1.000 
 29 
 
Matemática Financeira 
Observe que : 
Sempre são necessárias três informações para se obter a quarta; não há como obter 
conclusões com apenas uma ou duas informações. 
 
3 informações → 1 incógnita 
 
3 informações⇒ 1 incógnita 
 
 P , r , n ⇒ ( ) FrP
n =+1 
 
 F , r , n ⇒ ( )n
r
F
P
+
=
1
 
 
 P , F , n ⇒ 1−= n
P
F
r 
 P , F , r ⇒ ( )r
P
F
n
+
=
1ln
ln
 
 
As quatro grandezas poderosas P, r, n e F fecham as relações algébricas acima; não 
são necessárias outras informações para uma eventual tomada de decisão. 
O juro, J, não faz parte das quatro informações poderosas, ele é um coadjuvante. 
 
O fluxo de Caixa para os quatro exercícios anteriores é um só (abaixo, no referencial do 
credor): 
 
 
 
Uma definição complementar: 
 
O fluxo acima, receberá o nome de Fluxo de Capitalização, pois denota uma situação 
em que os valores representados estão vinculados entre si por um processo de 
capitalização. O fluxo que não estabelece uma relação de capitalização será chamado 
Fluxo de Caixa de Movimentação; um exemplo é o primeiro fluxo do Capítulo 1. 
Na seção 1.1 os exemplos 1 e 2 correspondem a Fluxos de Capitalização e o exemplo 3 é 
um Fluxo de Caixa de Movimentação. 
Na seção 1.2 todos os Fluxos são de Capitalização. 
0 5 
1.470 1.623 
mês 
 30 
 
Matemática Financeira 
4.3 Prazo , Período e n 
n é uma informação imprescindível para o cálculo financeiro; vamos conceituá-lo agora, 
pois ainda não o fizemos: 
 
Todo processo da Matemática Financeira é trabalhado sobre o ato do empréstimo (ou 
investimento) de capital durante um determinado intervalo/pedaço de TEMPO , assim 
definiremos 
 
prazo ≠ período 
 
 prazo : tempo total do empréstimo. 
período: tempo determinado/necessário para uma taxa de juro agir sobre o 
Principal6, ou seja, para capitalizar. 
 
A liquidez7 de um produto financeiro pode ser descrita pelo prazo, que estabelecerá o 
tempo para que tal ativo se converta em caixa (líquido). 
 
Então, 
n , número de ocorrências períodos de capitalização, ou simplesmente, número de 
capitalizações, mostra a quantidade de capitalizações de uma determinada taxa em um 
prazo estabelecido. 
Assim: 
 
período
prazo
n = 
 
n é uma grandeza adimensional. 
 
Exemplo : 
Para um empréstimo com o prazo de um ano, calculemos o n para as seguintes taxas: 
a) para uma taxa de 3,00% a.m. (então o período é 1 mês), 
 
12
30
*360 ==
dias
dias
n 
ou 
12
1
*12 ==
mês
meses
n 
 
*IMPORTANTE: a unidade de tempo adotada no prazo deve 
também ser adotada no período. 
 
temos portanto 12 períodos de capitalização mensal em um ano. 
 
6 Mais adiante, para o Regime Composto, trocaremos o termo Principal por Saldo Devedor. 
7 Liquidez: velocidade e facilidade com a qual um ativo pode ser convertido em caixa sem perda significativa de 
valor. 
 31 
 
Matemática Financeira 
b) se a taxa for 1,00% a.b. (então o período é bimestral), 
 
6
 60
 360 ==
dias
dias
n 
ou 
6
 2
 12 ==
meses
meses
n 
ou 
6
 1
 6 ==
bimestre
bimestres
n 
 
temos por tanto 6 períodos de capitalização bimestral em um ano. 
 
c) se a taxa for 2,00% a.t. (período trimestral), 
 
4
ri 1
 4
 3
 12
 90
 360 ====
mestret
trimestres
meses
meses
dias
dias
n 
 
temos por tanto 4 períodos de capitalização trimestral em um ano. 
 
d) se a taxa for 3,00% a.s., 
 
2
e 1
e 2
 6
 12
 180
 360 ====
mestres
mestress
meses
meses
dias
dias
n 
 
e) se a taxa for 10,00% a.a., 
 
1
no 1
no 1
 21
 12
 360
 360 ====
a
a
meses
meses
dias
dias
n 
 
Exercício: empréstimo com prazo de um ano e meio 
 
taxa a.m. → n = 
 
taxa a.b. → n = 
 
taxa a.t. → n = 
 
taxa a.s → n = 
 
taxa a.a → n = 
 
Há casos em que o(s) período(s) de capitalização da taxa não se encaixa(m) exatamente 
no prazo, formando um n fracionário; este n fracionário pode ser adotado sem ressalvas 
nos cálculos financeiros, desobrigando você a transformar a taxa fornecida em uma outra 
taxa equivalente que se encaixe exatamente no prazo. 
 32 
 
Matemática Financeira 
Exercícios de Fixação - Juros Compostos 
 
Principal - P, montante - F, taxa de juro – i e número de períodos de capitalização – n : 
são necessárias três destas informações para se chegar à quarta. Nestas situações, como 
saber qual o regime de capitalização adotado? Não há como saber! O regime deve ser 
previamente estabelecido. 
 
1 - Calcule o montante de uma aplicação de $3.500 à taxa de 4,00%a.m. considerando 
um prazo de 12 meses. 
 
2 - Ritinha aplicou durante dois anos e meio a quantia de R$5.000,00 à taxa de 0,50%a.m. 
Determine o montante ao final do prazo , o juro e monte o fluxo de caixa sob o ponto de 
vista da Ritinha. 
 
3- Aplique hoje $4.000,00 e receba após 10 meses $6.515,58. Qual a taxa mensal auferida 
nessa aplicação? 
 
4- Um capital aplicado durante 6 meses duplicou. Qual a taxa de juro mensal dessa 
aplicação? 
 
5- João tomou emprestado uma certa quantia durante 4 anos à taxa de 1%a.b. devolvendo 
ao final deste prazo a quantia de $101,58. Quanto João captou? Monte seu fluxo de caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
6- Preencha a tabela abaixo(considere o referencial do credor): 
 Principal $ taxa prazo n Montante $ 
a) -15.000 3,00%a.m. 1 ano 
 
 
 
 
b) -15.000 3,00%a.a. 1 ano 
 
 
 
c) 0,50%a.d. 2 meses 
 
 
13.488,50 
d) -1.500 %a.m. 1 ano 
 
 
2.138,64 
e) -10.000 3,00%a.a. 
1 ano e 
meio* 
 
 
 
 
*Quando o n é fracionário, na calculadora financeira HP12c: 
 
devemos usar:⇒ c 
 
 
 33 
 
Matemática Financeira 
7- Um principal de $100,00 gera um montante de $109,00. Considere o prazo de um 
ano, os n (números de períodos de capitalização) abaixo e calcule as respectivas taxas de 
juros: 
n i (taxa ao período) 
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
6 
 
 
12 
 
 
 
 
 34 
 
Matemática Financeira 
8- 
a) Um principal de $400 foi emprestado durante um trimestre à taxa de 5,00%as, 
calcule o montante do devedor ao final deste prazo. 
b) Calcule o problema acima para um prazo de 35 dias a uma taxa de 18,00%aa. 
c) Idem para o prazo de 165 dias à taxa de 1,50%am. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- Quanto tempo é necessário para duplicar $1.000,00 à uma taxa de: 
a) 9,05%a.m.; b) 10,00%a.m.?* 
 
10 - Um liquidificador é vendido à vista por $150 ou então em 2 parcelas de $85: 1a entrada 
+ 2a em 60 dias. Faça um fluxo de ativos sob o ponto de vista do vendedor e calcule a taxa 
mensal desta operação. 
 35 
 
Matemática Financeira 
4.4 Planos equivalentes 
1º Comentário 
As mesmas condições para os três planos (Americanos, SAC e pgto no final do Prazo): 
Principal igual P=1.000,00; 
Taxa de juro igual, portanto todo capital que permaneceu com o devedor foi 
remunerado da mesma forma, ou seja, com taxa de 10,00%a.m.; 
 
Dizemos então que os três planos são EQUIVALENTES , isto significa que, sob o ponto 
de vista financeiro, tendo como cenário a taxa de juro de 10%am, nenhum leva vantagem 
em relação ao outro. 
 
Demonstração : 
as diferenças entre as somas pagas nos três planos são compensadas pelos rendimentos 
de reaplicações das parcelas recebidas antes do fim do 4º mês. 
 
 plano Pgto Periódico de Juros 
mês 1 2 3 4 
saldo 100,00 110,00 121,00 133,10 1ª reaplicação 
 100,00 110,00 121,00 2ª reaplicação 
 100,00 110,00 3ª reaplicação 
 1.100,00 
 1.464,10 total 
 
 saldo total no 4º mês 1.464,10 ⇔ plano Pgto no Final do Prazo 
 
 
2º Comentário 
Grandezas monetárias somente podem ser comparadas ou somadas se estiverem 
na mesma data ou após terem sido convertidas para mesma data. Somar parcelas de 
períodos diferentes sem a devida capitalização ou descapitalização para a mesma data não 
faz sentido financeiro e portanto não é passível de interpretação. 
$100,00 hoje valem mais que $100,00 daqui a 1 mês, pois os $100 de hoje têm um mês 
a mais de potencial de capitalização. 
 
 
EXERCÍCIO 
Repita o procedimento anterior, reaplicando os pgtos até o 4º mês, para o plano SAC da 
seção 2.2. 
 
 
 
 36 
 
Matemática Financeira 
4.5 Apêndice 
Regime de Capitalização Simples (Juros Simples) 
No Regime Simples, os JUROS que são gerados pertencerão ao credor apenas ao final 
do PRAZO do empréstimo, quando serão somados ao PRINCIPAL para formar o 
MONTANTE. 
Assim, no Regime de Capitalização Simples somente o PRINCIPAL, valor inicialmente 
emprestado, servirá de referência para a geração dos JUROS, pois somente o 
PRINCIPAL é considerado SALDO. 
 
Exemplo: 
Considere uma um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de 10,00% a.m. 
Calcule o MONTANTE a ser pago no final do PRAZO. 
 
 PADRÃO 
 
para um número 
n de capitalizações: 
 
 
P = $ 1.000, i = 10,00% a.m. (r = 0,1000 a.m.) 
Juros Simples 
n juro por período F COMENTÁRIOS 
0 0 1.000,00 
o juro é o mesmo a cada período 
o montante então, cresce sempre na 
mesma proporção 
esse regime também é chamado de 
regime linear 
 
1 0,10∙1000 = 100 1.100,00 
2 0,10∙1000 = 100 1.200,00 
3 0,10∙1000 = 100 1.300,00 
4 0,10∙1000 = 100 1.400,00 
5 0,10∙1000 = 100 1.500,00 
6 0,10∙1000 = 100 1.600,00 
 
 
 -
 500,00
 1.000,00
 1.500,00
 2.000,00
 2.500,00
 3.000,00
0 5 10 15 20
F ($)
períodos de capitalização - n
 37 
 
Matemática Financeira 
Exemplos: 
1 - Calcule o montante para um principal de $ 1.470,00 aplicado a uma taxa de 2,00% 
a.m. num prazo de 5 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Calcule o principal que gerou um montante de $1.617,00 a uma taxa de 2,00% a.m. 
num prazo de 5 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Calcule a taxa mensal para um principal de $1.470,000 que gerou um montante de 
$1.617,00 num prazo de 5 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Calcule o número de períodos de capitalização para um principal de $1.470,00, 
montante de $1.617,00 a uma taxa de 2,00% a.m. 
 
 
 
 
 38 
 
Matemática Financeira 
Sempre são necessárias três informações para se obter a quarta; não há como obter 
conclusões com apenas uma ou duas informações. 
 
3 informações → 1 incógnita 
 
 P, r, n → ( ) FrnP =+1 
 
 F, r, n → ( )rn
F
P
+
=
1
 
 
 P, F, n → 
n
P
F
r





 −
=
1
 
 
 P, F, r → 
r
P
F
n





 −
=
1
 
 
 
Exercícios de Fixação - Juros Simples 
 
1 - Rita aplicou durante dois anos e meio a quantia de R$5.000,00 à taxa de juros de 
0,50% a.m. Determine o montante ao final do prazo, o juro e monte o fluxo de caixa sob 
o ponto de vista da Rita. 
 
2 - João tomou emprestada uma certa quantia durante 4 anos à taxa de 1,00% a.b. ao 
final deste prazo, retornou R$ 99,20. Quanto João captou? Monte o fluxo de caixa do João. 
 
3 - Uma velhinha tomou emprestado de seu neto a quantia de $500,00 para saldar dívidas 
de aluguel. Após um semestre, seu netinho lhe cobrou $740,00 referente ao empréstimo. 
Qual a taxa mensal cobrada ? 
 
4 - Durante quanto tempo R$1.000,00 devem ficar aplicados a uma taxa de 10,00% a.m. 
para que duplique. 
 
5 - Um liquidificador é vendido à vista por $150 ou então em 2 parcelas de $85: 1a entrada 
+ 2a em 60 dias. Faça um fluxo de ativos sob o ponto de vista do vendedor e calcule a taxa 
mensal desta operação. 
 39 
 
Matemática Financeira 
6 - Um principal de $100,00 gera um montante de $109,00. Considere o prazo de um 
ano, os n (números de períodos de capitalização) abaixo e calcule as respectivas taxas 
de juros: 
 
n r (taxa ao período) n.r 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
6 
 
 
 
12 
 
 
 
 
7 - Um principal de $3.798,67 foi aplicado à 3,00%am durante 53 dias num produto com 
liquidez diária. Calcule o valor resgatado (sugestão: mantenha a forma da taxa, obtenha 
o n para a taxa mensal). 
 
 40 
 
Matemática Financeira 
Comentários 
Comparação entre o Regime de Capitalização Simples e o Composto 
 
P r (am) n FS FC 
1000 0,10 0 1000,00 1000,00 
1000 0,10 1 1100,00 1100,00 
1000 0,10 2 1200,00 1210,00 
1000 0,10 3 1300,00 1331,00 
1000 0,10 4 1400,00 1464,10 
1000 0,10 5 1500,00 1610,51 
1000 0,10 6 1600,00 1771,56 
 
Note que: 
para um reduzido número de períodos n: 
 
para taxas r pequenas: 
RESUMO 
CAPITALIZAÇÃO é 
PRAZO é 
PERÍODO é 
n é 
 
Após estudarmos as duas formas de capitalização, a melhor definição que podemos dar 
para diferenciar os dois regimes é: 
Regime Simples: Juro só pertencerá ao credor no final do prazo (liquidez do 
Juro vinculada ao prazo). O juro não se agrega ao saldo devedor; 
Regime Composto: Juro pertencerá ao credor a cada final de período (liquidez 
do Juro vinculada ao período). Consequentemente, caso não seja pago ao 
credor no final do período, quando foi gerado, o juro agrega-se ao saldo 
devedor. 
Tudo o que ocorre depois, é consequência desta definição. 
 -
 1.000,00
 2.000,00
 3.000,00
 4.000,00
 5.000,00
 6.000,00
0 5 10 15 20
F ($)
n
SIMPLES X COMPOSTO
 
 41 
 
Matemática Financeira 
5. SÉRIES UNIFORMES 
5.1 Pagamentos Iguais - Sistema Francês 
Condições para o empréstimo: 
P = -1.000 (referencial: CREDOR), i = 10,00%a.m. , prazo de 4 meses 
 
FORMA DE PAGAMENTO: pagamentos* iguais ⇒ pgto = juro do período + 
amortização 
 
apgtoP ⋅= 
 
a é chamado de fator de atualização 
 
 a
r
r r
n
n=
+ −
+
( )
( )
1 1
1
 ( )|a ani≡ 
 
Na calculadora financeira: 
 
 
 
Desta forma teremos 4 pagamentos mensais iguais. Assim cada um dos pagamentos será 
pgto= .Então o fluxo de ativos fica : 
 
 
 
 
Observe que os juros ________ ___ ao longo dos períodos, consequentementeas 
amortizações ___ _________ . 
 
 
* Usaremos os termos pagamento ou prestação para designar os pagamentos da série uniforme. 
0 1 2 3 4 
mês 
1.000 
 42 
 
Matemática Financeira 
tabela de amortizações: 
 
n 
Si 
Saldo no início 
do período 
pagamento no final do período 
 
Juro + Amort = Fluxo 
Sf 
Saldo final, após o 
fluxo 
0 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Casos em que se aplica esta forma de pagamento: 
 
Também é conhecido como sistema PRICE. 
 
EXEMPLOS 
 
1 – Deoclécio tomou $2.300 emprestados, que deverão ser pagos em 6 prestações mensais 
iguais à taxa de 4,00%a.m. Monte o fluxo de caixa do devedor e calcule o valor das 
prestações. 
 
 
2 - Um empréstimo foi concedido à taxa de 3%a.m. para ser pago em 12 prestações 
mensais de $1000. Monte o fluxo de caixa do credor e calcule o valor do principal deste 
financiamento. 
 
 
 43 
 
Matemática Financeira 
3 - Para um empréstimo de $20.000 foram cobradas 5 pagamentos mensais iguais de 
$5000. Qual a taxa de juro mensal deste financiamento ? Monte o fluxo do credor. 
 
 
 
SÉRIES POSTECIPADA E ANTECIPADA 
4 - Uma loja financia eletrodomésticos de $1.000 em 6 pagamentos mensais e sucessivas 
de $180. Apresente o fluxo de ativos do cliente e obtenha a taxa mensal deste 
financiamento nas seguintes hipóteses : 
a) primeiro pagamento vence 30 dias após a data da compra (série postecipada): 
 
 
 
b) primeiro pagamento é feito no ato da compra a título de entrada ou sinal (série 
antecipada → 1+5 ): 
1º modo: 
 
 
 2º modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
 
Matemática Financeira 
c) considerando a taxa de juro obtida no item a, calcule os 6 pagamentos para compra do 
eletrodoméstico em uma série antecipada (1+5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
 
SÉRIE POSTECIPADA: 
 
o 1º pagamento da série de prestações periódicas iguais é feito um período após o 
principal. 
 
 
SÉRIE ANTECIPADA: 
 
o 1º pagamento da série de prestações periódicas iguais é feito no mesmo momento do 
principal. 
 
 
5 – Uma fábrica de brinquedos de plástico tomou um empréstimo de $50.000 para 
aquisição de uma máquina injetora. Decorrem 4 meses a partir da data da aquisição até 
que o equipamento seja instalado, comece a produzir e sejam feitas as vendas para 
obtenção de receita. Assim, o empréstimo será feito com carência de 3 meses (começará 
a ser pago no final do 4º mês) sem pagamento de juro e amortização. No 4º mês inicia a 
série de 6 pagamentos mensais iguais, à taxa de 2,00%a.m. Monte o fluxo de ativos da 
fábrica e calcule o valor dos pagamentos. 
 
 
g END 
g BEG 
 45 
 
Matemática Financeira 
Exercícios de Fixação – Séries Uniformes 
 
1 - Calcule os 24 pagamentos mensais no sistema Price para um financiamento de 
$1.000,00 a uma taxa de 2,50%a.m., para uma série: 
a) antecipada b) postecipada. 
 
2 - A loja de departamentos K&A vende uma máquina de lavar roupas por $800,00 a vista 
ou uma entrada de $150,00 mais 5 pagamentos mensais iguais financiadas de $150,00. 
Monte o fluxo de ativos e calcule a taxa de juro mensal. 
 
3 - Considerando uma loja que trabalha a taxa de 5,00%a.m., monte o seu fluxo de ativos 
e calcule o Principal de 5 pagamentos mensais iguais de $1.000,00 na forma: 
a) antecipada; b) postecipada. 
 
4 - a) Calcule a taxa mensal de uma série postecipada cujo P= 3.000, R= 600 e o n=6. 
 b) Considerando os mesmos P, R e n do item (a) , calcule a taxa mensal numa série 
antecipada. 
 
5 - Uma determinada loja oferece um equipamento por $300 sendo $100 à vista e o 
restante em 12 pagamentos de $20. Qual a taxa mensal? 
 
6 - À taxa de juro de 3,00%am, monte um plano de pagamentos de uma série antecipada 
de três parcelas (1 + 2) bimestrais para um principal de $5.000,00. 
 
7 - Qual o menor investimento que devemos fazer hoje , à taxa de 0,797%a.m. para 
recebermos $10.000 no final de cada um dos próximos 8 anos ? Monte o fluxo do credor. 
Obs.: o período da taxa deve ser ajustado ao período do pagamento. 0,797%am equivale 
a 10,0%aa. 
 
8 - Calcule o valor dos 5 pagamentos mensais iguais para um financiamento de $9500 à 
taxa de 16%a.m.. Monte o fluxo do credor. 
 
9 - Monte o seu problema. 
 46 
 
Matemática Financeira 
5.2 Planos de Capitalização 
Calcule o montante no final do 4º mês para uma série de 4 depósitos mensais de $100 á 
taxa de 6%a.m.: 
interpretação a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
interpretação b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas de Capitalização 
1. Uma velhinha aplicou durante 6 anos R$ 200,00 mensais á taxa de 2%a.m. A partir do 
6º ano, efetuou 84 retiradas mensais iguais, zerando seu saldo. 
a) Interprete o problema montando o fluxo de caixa. 
b) Quanto a velhinha conseguiu acumular ao final do 6º ano? 
c) Qual o valor das retiradas? 
 
2. João entrou num plano de previdência privada aos 20 anos. Pretende aposentar-se aos 
55 recebendo $1500 mensais. Considerando que a expectativa de vida no Brasil é de 85 
anos e que a taxa de juro (sem correção monetária) é de 0,6%a.m., calcule quanto João 
deve depositar mensalmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
 
Matemática Financeira 
5.3 Apêndice 
A1 Coeficientes de Financiamento - Tabelas de Crédito ao Consumidor ) 
A Rita, comprando numa grande loja de eletrodomésticos, solicitou ao vendedor que lhe 
atendia informações a respeito dos pagamentos: 
- Por gentileza, vejo que o preço daquela geladeira é de R$1.000,00. Porém quanto ficaria 
em duas vezes mensais iguais? 
- Sem entrada (30 e 60dias) ou 1+1(entrada + 30dias)? - perguntou o vendedor. 
- Sem entrada. 
Então o vendedor sacou do bolso uma calculadora simples, que somente dispunha das 
quatro operações básicas. Fez um cálculo e respondeu: 
- Dois pagamentos mensais de $534,00, com vencimentos em 30 e 60 dias. 
- Qual o valor da taxa de juros? 
- A taxa de juros nesta loja é de 4,50% ao mês para qualquer financiamento. 
- Então, se eu quisesse em 5 vezes, sem entrada, quanto ficaria? – perguntou a Rita. 
- A geladeira ficaria por 5 de $227,79. 
- E aquele fogão que está por $500,00 à vista, sai por quanto em 5 vezes? 
- Senhora, o fogão, em 5 vezes sem entrada sai por $113,90. 
Rita, surpresa com a habilidade que o vendedor demonstrara em efetuar o cálculo dos 
pagamentos parcelados, desviou o foco: 
- Como você consegue, com uma calculadorazinha destas, fazer os cálculos de 
parcelamento? 
- Além da calculadora eu recorro a esta tabelinha que meu gerente forneceu. – respondeu 
o vendedor, mostrando à Rita uma tabelinha com três colunas, colada no verso de sua 
calculadora com um “durex” amarelado pelo tempo – A primeira coluna apresenta o 
número de parcelas desejadas. Então, na mesma linha que apresentou o número de 
parcelas, obtenho na segunda coluna um coeficiente que utilizo para multiplicar o valor à 
vista do bem que será financiado sem entrada. Na terceira coluna, eu obtenho os 
coeficientes de financiamentos uniformes com entrada. 
- Ah! Então você usa estas taxas. – perguntou Rita. 
- Não são taxas, são coeficientes de financiamento, ou seja, “multiplicadores”. – 
respondeu o vendedor. 
A Rita ficou tão entusiasmada com a tabela, que se esqueceu da compra que fora fazer e 
voltou para casa refletindo como faria para montar uma tabela dessas. 
 
Fator ou coeficiente de financiamento é o número que, multiplicado pelo principal, 
fornece o valor dos pagamentos da série uniforme. 
 
Exercício: Como se cria uma tabela de coeficientes de financiamento? 
 
Para criar uma tabela de coeficientes de financiamento acompanhe o seguinte raciocínio: 
Uma geladeira cujo preço numa loja de departamentos é $1000,00 pode ser financiada 
pela taxa de juro de 4,5%a.m. em 2, 3, 4 ou 5 vezes sem entrada (forma postecipada). 
Na mesma loja há um fogão de $500,00 e uma caneta de $1,00. Calcule o valor dos 
pagamentos – PMT e preencha a tabela a seguir 
 48 
 
Matemática Financeira 
Valor do pgto - PMT para uma sérieuniforme postecipada partir de n, P e i=4,50%a.m. 
n 
nº de pgtos 
postecip 
P = 1.000 P = 500 P = 1 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
4 
 
 
 
5 
 
 
 
 
Observe que, para um determinado n, há uma proporcionalidade entre os pagamentos 
PMT obtidos e os principais P fornecidos: 
 
p/ n=2: 
��
�
	
534,00
1.000
	
267,00
500
	
0,534
1
	 0,53400 	 � 
 
Assim, para um liquidificador de $222,00 à vista podemos calcular o valor de 2 pagamentos 
– PMT numa série uniforme postecipada tomando o coeficiente c como multiplicador deste 
P=222,00. 
Obtemos então que o valor do pagamento será: 
 
��
 	 � · � 	 0,53400 · 222 	 118,55 
 
Generalizando, podemos montar uma tabela dos n e seus respectivos coeficientes de 
financiamento de séries uniformes postecipadas. Para tanto, usando como ferramenta a 
calculadora financeira, basta que adotemos: 
 
 PV = 1 
 e teremos c = PMT 
n cpost 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
 
 49 
 
Matemática Financeira 
Assim , para financiar uma boneca de $45 em uma série uniforme postecipada de: 
 a) 2 vezes PMT= 
 b) 3 vezes PMT= 
 c) 4 vezes PMT= 
 d) 5 vezes PMT= 
Agora, considere a mesma taxa de juro de 4,50%a.m. e crie uma tabela para uma série 
mensal uniforme antecipada ,ou seja , com entrada: 
 
n cant 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
Usando a tabela, quanto fica para financiar um computador de $1.589,00 em 4 vezes, com 
entrada (1+3)? 
 
Para treinar, crie uma tabela para uma taxa de juro de 10%a.m.: 
 
n cpost cant 
2 
 
 
 
4 
 
 
 
6 
 
 
 
8 
 
 
 
10 
 
 
 
 
Exercício : 
a) Observe os coeficientes de financiamento para série 
postecipada e antecipada. Sem fazer cálculo, 
responda se a taxa de juro é igual ou diferente para 
as duas colunas. Se diferente, qual coluna tem a 
maior taxa? 
b) Preencha a tabela. 
 
 
 
Discussão: Qual deve ser a precisão, quantos algarismos à direita da vírgula os coeficientes 
de financiamento devem ter? 
n cpost cant 
2 
 
 
 
4 
 
 
 
6 0,1785 0,1785 
8 
 
 
 
 50 
 
Matemática Financeira 
6. TAXAS DE JUROS 
6.1 Introdução 
 
Note que 
 quantidade período de capitalização 
taxa porcentual 4% a.m. 
taxa unitária 0,04 a.m. 
 
lembre-se que: período de capitalização é o tempo necessário para taxa capitalizar e 
prazo corresponde ao número n de períodos de capitalização*. 
6.2 Taxa Efetiva 
 Taxa Efetiva é a que vimos trabalhando até agora em juros compostos, que 
coincide com o período de capitalização, ou seja, para uma taxa de 5%a.m. fazemos 
capitalizações mensais, para 2%a.s. fazemos capitalizações semestrais, etc. 
 Assim Taxa Efetiva é aquela usada para capitalizar pois incide sobre o capital 
(principal ou montante do período anterior) para gerar juro. 
 
Exemplo: 
Um principal de $ 100, num prazo de um ano, à taxa de 4%a.m. gera um montante de: 
 
P = 100 , =F 12 
ano um :prazo 
a.m.)04,0 ( %a.m.4
⇒=


==
n
ri
 
6.3 Taxas Equivalentes 
Considerando as taxas efetiva, complete a tabela abaixo: 
 
ief período prazo n P F 
4,00% am 
1 ano 
 
 
100 
 
 
 
26,53% as 
 
 
 
 
 
 
 
* Na capitalização composta o juro é liberado após a capitalização, não ficando retido até o final do prazo como 
na capitalização simples; assim, ao alterarmos o período de capitalização, estamos alterando o tempo de liberação 
do dinheiro, ou seja, a liquidez. 
 51 
 
Matemática Financeira 
} 
 
 
 
 
 
 
4,00%a.m. e 26,53%a.s. são Taxas Equivalentes 
 
taxas equivalentes têm valores e períodos diferentes, 
mas proporcionam o mesmo rendimento num mesmo prazo 
 
Exemplo 
Calcule as taxas equivalentes a 4,00%a.m. para os seguintes períodos de capitalização: 
a) bimestral; b) trimestral; c) anual; d) diário*. 
 
 P prazo F n i período 
a 
 
 
 
ab 
b 
 
 
at 
c 
 
 
aa 
d 
 
 
ad 
 
Perguntas: as taxas calculadas acima são equivalentes a 26,53%a.s.? 
 
 as taxas calculadas acima são efetivas? 
 
Conclusão: em 1 mês as taxas da tabela acima rendem 4,00%. 
 
Uma revisão na álgebra 
Para uma aplicação de $100 no prazo de um ano, teremos as taxas r equivalentes a 
0,0400am. (4,00%a.m.) com diferentes períodos, gerando o mesmo montante: 
 
Sabemos que: 100 (1+0,04)12=160,10 
 100 (1+0,04)12=100 (1+ rb )6 
seguindo o conceito de tx equiv.:100 (1+ rb )6 =160,10 .·. 1 (1+0,04)12=1 
(1+ rb )6 
 
Concluímos que a relação usada para obtermos a tx equiv bim não se altera ao mudarmos 
o principal (que deve ser o mesmo para a taxa mens e bim) de P=100 para P=1 ou para 
qualquer outro valor. 
 
 
*Considere o ano contábil de 360 dias. 
Você sabe o que são algarismos significativos? 
taxas 
(4%a.m. e 
26,53%a.s.) 
P 
e 
prazo 
 
F 
 
geram diferente
s 
iguais iguais 
entã
se 
com 
 52 
 
Matemática Financeira 
É possível também: 1 (1+0,04)12/6=1 (1+ rb )6/6 .�. 1 (1+0,04)2=1 (1+ rb )1 
 
Concluímos que a relação usada para obtermos a tx equiv bim não se altera ao mudarmos 
o prazo (que deve ser o mesmo para a taxa mens e bim) de 1 ano para 1 bimestre ou para 
qualquer outro prazo. 
 
 
 
 
 
Assim podemos resolver a equação 1�(1+0,04)2=1�(1+ rb )1 de forma: algébrica: 
rb = 1,042-1 
 
generalizando 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10,160110011001100110004,011001100
124612360 =+=+=+=+=+=+ astbd rrrrr ** 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∴ + = + = + = + = + = + 1 1 1 1 1 1
360 12 6 4 2 1
r r r r r rd m b t s a 
 
o PRAZO não precisa ser de um ano, basta que seja o mesmo. 
Assim, considere o prazo de 1 semestre e preencha os expoentes abaixo: 
 
(1+rd) =(1+rm) =(1+rb) =(1+rt) =(1+rs) =(1+ra) 
 
agora preencha os expoentes para o prazo de um mês: 
 
(1+rd) =(1+rm) =(1+rb) =(1+rt) =(1+rs) =(1+ra) 
 
preencha os expoentes para o prazo de um dia: 
 
(1+rd) =(1+rm) =(1+rb) =(1+rt) =(1+rs) =(1+ra) 
 
PRAZO = 1 dia 
Consideremos: uma taxa mensal fornecida rm! 
 uma taxa bimestral solicitada rb? 
1 (1+ 0,04)1/30 = F =1 (1+ rb )1/60 
• resolvendo algebricamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
**O montante e o principal são os mesmos em todos os casos e tornam-se desnecessários após igualarmos os 
parentes. 
2 capitalizações mensais 
equivalem 
1 capitalização bimestral 
pois comportam o mesmo prazo 
 53 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
Confira o programa obtendo: 
a taxa equivalente mensal de 5%a.t. 
 
a taxa equivalente semestral de 2,5%a.m. 
 
a taxa equivalente para um prazo de 52 dias de 15,5%a.a. 
 
 54 
 
Matemática Financeira 
6.4 Taxa nominal 
Considere o assunto tratado a seguir, no ambiente do regime composto. 
 
A TAXA NOMINAL, que geralmente é fornecida com período anual, aparece em leis, em 
algumas determinações do Banco Central e produtos financeiros. 
Quando informarem que uma taxa é NOMINAL, você não deve utilizá-la para calcular o 
juro, ou seja, a TAXA NOMINAL não capitaliza. A TAXA NOMINAL serve como referência, a 
partir dela obtemos linearmente (proporcionalmente) uma taxa efetiva no período 
desejado. É a taxa efetiva que capitalizará, ou seja, é a taxa efetiva que gerará juro sobre 
o principal. 
 
Exemplo: 
“... a taxa nominal da caderneta de poupança deverá ser de 6,00%aa.” 
Então iN = 6,00%aa será usada como uma referência. 
Na prática a poupança capitaliza mensalmente, ou seja, o período da taxa efetiva da 
poupança é mensal. 
A taxa nominal não tem o tratamento de uma taxa efetiva, sua transformação do período 
anual (forma como foi apresentada ao mercado) para uma taxa efetiva no período mensal 
(a qual de fato capitalizará sobre o principal) é feita linearmente, ou seja, através de uma 
divisão: 
 
"#
12
	 "$% 
 
6,00%''
12
	 0,50%'( 	 "$% 
 
0,50%am é a taxa efetiva da popança; o que nos leva a concluir que a poupança terá um 
rendimento anual de:ieq = 6,17%aa → taxa equivalente anual da efetiva 0,50%am 
 
Observe que a taxa nominal não é utilizada para capitalizar, ou seja, não gera juro. Por 
este motivo a taxa nominal não entra na equação: 
 
) 	 �*1 + ,-. 
 
E também, não entra na memória da calculadora financeira. 
 
Caso fosse determinado por lei que a poupança tivesse sua capitalização bimestralmente, 
o procedimento seria: 
"#
6
	 "$% 
 
6,00%''
6
	 1,00%'/ 	 "$% 
 
i 
 55 
 
Matemática Financeira 
1,00%ab seria a taxa efetiva da popança; o que nos levaria a concluir que a poupança 
teria um rendimento anual de: 
 
ieq = 6,15%aa → taxa equivalente anual da efetiva 1,00%ab 
 
resultando num rendimento (taxa efetiva) anual diferente do existente atualmente 
(6,17%aa). 
 
Outro exemplo: 
Um taxa nominal de 7,20%aa foi criada para servir de referência a uma taxa efetiva diária. 
Considerando que o ano tem 360 dias, qual será a taxa efetiva diária e qual será sua 
equivalente anual? 
"#
360
	
7,20%''
360
	 0,02%'0 	 "$% 
 
"$% 	 0,02%'0 1 "$2 	 7,46%'' 
 
Habitualmente as taxas nominais são fornecidas, no mercado, com período anual. 
Genericamente, para uma taxa anual nominal ( iN a.a. ) fazemos: 
 
período de capitalização 
desejado 
taxa efetiva 
ief 
diário iN / 360 
mensal iN / 12 
bimestral iN / 6 
trimestral iN / 4 
semestral iN / 2 
 
“Confesso que, até hoje, não enxergo um motivo razoável para a existência da taxa 
nominal.” 
 
 
Exemplos: 
 
1 - Para uma taxa nominal de 24%a.a., calcule a taxa mensal efetiva. 
 
 
2 - Num determinado país, a taxa de juros permitida em lei é de 12%a.a. 
a) Considerando-a nominal, calcule a taxa efetiva diária. 
 
 
b) Considerando a taxa efetiva do item a, calcule a sua equivalente anual. 
 
 56 
 
Matemática Financeira 
6.5 Resumo e Exercícios de fixação: 
tx efetiva ou ( )n
rPF += 1 
 (expon) 
 
 
 
 
 
 
 
tx efetiva tx equivalente 
 (expon) (expon) 
 
 
 
 
tx nominal tx efetiva 
 (linear) (expon) 
 
 
1 - Para uma taxa efetiva de 3,00%a.t., calcule as equivalentes: 
 
Período valor 
Dia ad 
Quinzena a 15d 
Mês am <1,00% 
Bimestre ab <2,00% 
Trimestre 3,00% at 
100 dias a 100d 
Semestre as >6,00% 
Ano aa >12,00% 
 
2 - Obtenha as taxas, equivalentes à taxa anual de 12%, com períodos de capitalização: 
a) mensal; b) bimestral; c) trimestral; d) semestral; e) diário. 
i 
n 
PV PMT FV 
( ) 11 −+= tn
qn
tq
rr 
÷ 
 57 
 
Matemática Financeira 
3 - Ordene as taxas numa seqüência crescente: 
i) a: 15,60%a.a.; b: 1,30%a.m.; c: 2,60%a.b.; d: 7,80%a.s. 
 
ii) a: 38,41%a.a.; b: 2,80%a.m.; c: 0,09%a.d.; d: 17,40%a.s. 
 
4 - revisando: 
a) Calcule o montante acumulado no final de 5 anos, a partir de um principal de $2000 
com uma taxa de 2,5%a.m. 
b) Calcule a taxa com capitalização anual para um principal de $2000 que no final de 5 
anos gerou um montante de $8799,58. 
c) O que você tem a dizer das taxas dos itens a e b? 
 
5 - Calcule a taxa semestral efetiva, equivalente a uma taxa mensal efetiva, obtida de uma 
taxa nominal de 24%a.a. 
 
6 – Considere a taxa Selic8, como efetiva9: i = 7,50%aa. 
Transformando esta taxa anual para capitalização em dias: 
a) corridos (365 dias em um ano), calcule a taxa equivalente diária. 
b) úteis (252 dias em um ano), calcule a taxa equivalente diária (nestes dias úteis). 
A taxa over é uma taxa nominal, mensal (considerando um mês de 30 dias) a partir da 
taxa efetiva dos dias úteis do mês. 
c) Obtenha a taxa over multiplicando o resultado do item b por 30. 
 
7 – A partir da taxa over de 3,00%am: 
a) calcule a taxa efetiva em dias úteis (lembrando que a taxa over é uma taxa nominal, 
para um mês de 30 dias); 
b) calcule a taxa efetiva mensal, considerando que o mês tem 23 dias úteis. 
 
8 – Capitalização Contínua 
Para uma taxa nominal de 36%a.a., calcule a taxa equivalente anual de uma taxa efetiva 
com capitalização: 
a) semestral 
 
b) trimestral 
 
c) bimestral 
 
d) mensal 
 
e) diária 
 
COMENTÁRIO: 
 
 
 
8 Selic: sistema especial de liquidação e de custódia. 
9 na realidade a taxa selic é uma taxa aparente, traz a taxa real de juro e a taxa de inflação projetada. 
 58 
 
Matemática Financeira 
6.6 + a respeito de taxas de juros e a TIR 
0. Se você emprestar $1000 hoje e receber $1200 após três meses, concluiremos que o 
saldo que ficou na posse do devedor gerou juro. Qual foi a taxa de juro mensal desta 
capitalização? 
 
 
Qual a taxa de juro mensal, que ao descapitalizar $1.200, em 3 períodos, transformá-
lo-á em $1.000? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I II III IV V VI 
mês $ $ $ $ $ $ 
0 -1.000 1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 
1 1.200 -1.200 0 0 400 300 
2 0 1.200 400 680 
3 1.200 400 220 
i (am) 
 
 
Σ pgto 1.200 -1.200 1.200 1.200 1.200 1.200 
 
 
 
 
 
1000 1200 
0 3 
mês 
 59 
 
Matemática Financeira 
A. Cremilson, cunhado de Denilson, lhe emprestou $1000. Um mês se passou e Dê 
entregou a Crê $300. No mês seguinte, Dê entregou $680 e ao final do terceiro mês, 
$220. Ambos deram a dívida por quitada e viveram felizes. 
Observe o fluxo de ativos sob o ponto de vista do Crê-CREDOR: 
 
 
 
O saldo que permaneceu emprestado capitalizou a qual taxa de juro mensal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Observe o fluxo de ativos anterior sob o ponto de vista do Denilson, DEVEDOR. 
 
 
 
O saldo que permaneceu emprestado capitalizou a qual taxa de juro mensal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1000 
680 
0 1 2 3 
mês 
220 
300 
1000 
680 
0 1 2 3 
mês 
220 
300 
 60 
 
Matemática Financeira 
C. Zacarias comprou um carro usado cujo preço era $23.000. Entregou $5.000 ao 
vendedor a título de entrada. Um mês depois iniciou um parcelamento, pagando 
$3.000. Ao final do segundo mês, não pagou ao vendedor, alegando gastos excessivos 
com a revisão do carro. Ao final do terceiro mês pagou $3.000. Ao final do quarto mês 
propôs quitação da dívida com um pagamento de $14.000, que foi aceita pelo 
vendedor. 
Monte um fluxo de ativos no referencial do devedor. (P=preço – entrada) e calcule a 
taxa de juro mensal sobre o saldo. 
 
mês $ 
0 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
D. “Liquidificador de $200,00 em 5 vezes mensais sem juros de $40,00. Você leva e só 
começa a pagar em 30 dias.” 
O lojista explicou à Berenice que pagando à vista, ainda tinha desconto: 20%. 
Berenice não resistiu e parcelou. Monte o fluxo de ativos da devedora (preço=? 
;P=preço, pois não há entrada) e calcule a taxa de juro mensal sobre o saldo. 
 
mês $ 
0 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
 
 61 
 
Matemática Financeira 
E. Em uma loja de eletrodomésticos, uma TV cujo preço era $4.500,00 foi vendida e o 
saldo foi “financiado” em cinco parcelas mensais de $989,89, sendo a primeira paga 
como entrada e as quatro sucessivas (1+4). Contudo, o comprador “deu um perdido”, 
após ter pago três parcelas; a entrada e mais duas. Ao final de cinco meses, decorridos 
da data da compra, com a finalidade de melhorar seu cadastro financeiro, o comprador, 
em acordo com o gerente da loja, aceitou pagar $1.091,35 naquele momento e outra 
parcela de $1.091,35 no mês seguinte, para a quitação da dívida. 
Apresente o fluxo de ativos final deste financiamento, sob o ponto de vista da loja e 
calcule a taxa de juro mensal sobre o saldo. 
 
mês $ 
0 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
 
 
F. Foi proposto a um investidor imobilizar hoje $250.000 num projeto, para serem usados 
como capital de giro e para obtenção de equipamentos. A operação deste projeto 
resultará na oferta de um novo produto para o mercado. 
O lucro será resultante da receita, após o desconto de todos os gastos necessários para 
a operação. Este lucro a ser gerado retornará ao investidor a título de recompensa. A 
expectativa é que após um ano do investimento, haja pagamento de $11.000 de lucro. 
Ao final do segundo, terceiro e quarto anos, o investidor receberá $95.000 e, ao final 
do quinto