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Dois quadrados interessantes – Parte I
Matemática
Ensino Médio
1o bimestre – Aula 08 – Sequência Didática 2
2a
SÉRIE
2024_EM_B1_V1
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis; 
Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações.
Reconhecer que as expressões (x+a)² e x²+2ax+a² são equivalentes;
Reconhecer que as expressões (x-a)² e x²-2ax+a² são equivalentes.
Conteúdo
Objetivos
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Habilidade BNCC:
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Em um triângulo retângulo, foi definido o Teorema de Pitágoras, que é: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Usando a para a hipotenusa, b e c para os catetos, qual seria a expressão algébrica que representa esse Teorema?
5 MINUTOS
 Virem e conversem
Adaptado de: Aprender Sempre, 2022 (p. 127).
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Para começar
Correção
Como o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, temos:
a² = b² + c²
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Para começar
Docente: chame a atenção para a soma dos quadrados, que é diferente do quadrado da soma.
Quadrado da soma
O quadrado da soma é um caso de produto notável, uma vez que apresenta um padrão que pode ser replicado.
Para descobrir esse padrão, vamos analisar duas situações:
Situação 1
Vamos aplicar a propriedade distributiva em (x + a)².
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 128).
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Foco no conteúdo
Situação 2
Vamos calcular a área de um quadrado de lado x+a de duas maneiras diferentes:
Por meio do produto dos lados: 
(x + a)·(x + a) = (x + a)² 
Por meio da soma das áreas menores:
x² + ax + ax + a²
= x² + 2ax + a²
Fonte: Elaborado para fins didáticos.
Quadrado da soma
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Foco no conteúdo
Assim, podemos dizer que a regra do quadrado da soma é a seguinte:
(x + a)² = x² + 2ax + a²
Em outras palavras:
O quadrado da soma é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Veja alguns exemplos:
(2x + y)² = (2x)² + 2·2x·y + y² = 4x² + 4xy + y²
(y + 3)² = y² + 2·y·3 + 3² = y² + 6y + 9
Quadrado da soma
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Foco no conteúdo
O quadrado da diferença também é um caso de produto notável.
Para descobrir o padrão deste caso, vamos analisar duas situações:
Situação 1
Vamos aplicar a propriedade distributiva em (x - a)².
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 128).
Quadrado da diferença
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Foco no conteúdo
Situação 2
Vamos calcular a área de um quadrado de lado x-a de duas maneiras diferentes:
Por meio do produto dos lados: 
(x - a)·(x - a) = (x - a)² 
Por meio das áreas menores:
A área total é x²;
Tirando dois retângulos de área ax, 
precisamos repor um quadrado de área a².
Assim, temos: x² - 2ax + a²
Fonte: Elaborado para fins didáticos.
Quadrado da diferença
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Foco no conteúdo
Assim, podemos dizer que a regra do quadrado da diferença é a seguinte:
(x - a)² = x² - 2ax + a²
Em outras palavras:
O quadrado da diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Veja alguns exemplos:
(3x - 2y)² = (3x)² - 2·3x·2y + (2y)² = 9x² - 12xy + 4y²
(x - 5)² = x² - 2·x·5 + 5² = x² - 10x + 25
Quadrado da diferença
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Foco no conteúdo
Desenvolva os produtos abaixo até a forma irredutível:
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 128).
Questão 1: 
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Na prática
x² + 2·x·9 + 9² = x² + 18x + 81
3² - 2·3·a + a² = 9 - 6a + a²
x² - 7x + 7x - 49 = x² - 49
x² - 2yx + 2yx - (2y)² = x² - 4y²
(3y²)² - 2·3y²·2 + 2² = 9y⁴ - 12y² + 4
5² - 2·5·m³ + (m³)² = 25 - 10m³ + m⁶ 
Correção
Questão 1: 
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 128).
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Na prática
Simplifique a expressão: (x + 2)² + (x + 2) · (x - 2) + (x - 2)². 
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 128).
Questão 2: 
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Na prática
A primeira parte da expressão podemos resolver utilizando a regra do quadrado da soma, na segunda parte podemos utilizar a propriedade distributiva e, na terceira parte, a regra do quadrado da diferença.
(x + 2)² + (x + 2) · (x - 2) + (x - 2)²
= x² + 4x + 4 + x² + 2x - 2x - 4 + x² - 4x + 4
= 3x² + 4
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 128).
Correção
Questão 2: 
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Na prática
Produto notável: quadrado da soma;
Produto notável: quadrado da diferença.
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O que aprendemos hoje?
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre – Ensino Médio. São Paulo, 2022.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista – Ensino Médio. São Paulo, 2020.
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Referências
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