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MA72A (turma S01) - Cálculo Diferencial e Integral II - 2o. sem. 2014
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
AVALIAÇÃO DE RECUPERAÇÃO
Todas as respostas nos exercícios abaixo devem ser justificadas.
Respostas sem justificativas não serão aceitas.
Aparelhos eletrônicos de qualquer tipo, incluindo telefones celulares,
devem ser mantidos desligados durante a realização da prova.
1. Considere f(x, y) = x3+y3
x2+y2
:
(a) (0.5 ponto) Determine o domínio de f .
(b) (0.5 ponto) Determine a imagem de f .
(c) (1 ponto) Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) existe.
Dica: Utilize coordenadas polares.
(d) (0.5 ponto) O que podemos dizer sobre a continuidade de f?
(e) (1 ponto) Calcule as derivadas parciais de 1a. ordem de f .
(f) (0.5 ponto) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f?
(g) (0.5 ponto) Calcule o gradiente de f no ponto (1, 0).
2. (2,5 pontos) Resolva as integrais abaixo:
(a)
∫∫
S
(x2y − ex)dA, com S = {(x, y)|0 ≤ x ≤ y, 1 ≤ y ≤ 2}.
(b)
∫ √
π
0
∫ √
π
y
sen(x2)dxdy.
3. (3 pontos)Escolha dois problemas abaixo para resolver:
(a) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
2x+ y + z = 4
(b) Determine o volume do sólido limitado pelos parabolóides 4z = x2 + y2 e
z = 36− 2x2 − 2y2.
(c) Determine o volume da bola ρ ≤ 2 que está entre os cones φ = π/4 e φ = 2π/3.