Mecanica dos Solos - Craig-111-120

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Figura 2.4 Ensaios de furos de sondagem: (a) carga constante; (b) carga variável; (c)
extensão do furo de sondagem para evitar o desabamento; (d) medida da
permeabilidade vertical em solo anisotrópico; e (e) medida da percolação in
situ.
O coeficiente de permeabilidade de um solo grosso também pode ser obtido a
partir de medidas in situ da velocidade de percolação, por meio da Equação
2.5. O método consiste em escavar furos de sondagem sem revestimento ou
poços de ensaio em dois pontos, A e B (Figura 2.4e), com a percolação
ocorrendo de A para B. Obtém-se o gradiente hidráulico pela diferença entre
os níveis permanentes de água nos furos de sondagem dividida pela distância
AB. Insere-se um corante ou outra substância de contraste adequada no furo
de sondagem A e, depois, mede-se o tempo que ele leva para aparecer no furo
B. A velocidade de percolação é, então, a distância AB dividida por esse
tempo. A porosidade do solo pode ser determinada a partir de ensaios de
densidade (massa específica). Assim,
Informações adicionais sobre a implementação de ensaios in situ de
permeabilidade podem ser encontradas em Clayton et al. (1995).
2.3 Teoria da percolação
Agora, será examinado o caso geral de percolação em duas dimensões.
Inicialmente, admitiremos que o solo é homogêneo e isotrópico no que diz
respeito à permeabilidade, sendo o coeficiente de permeabilidade
denominado por k. No plano x–z, a lei de Darcy pode ser escrita de forma
generalizada:
com a carga total h diminuindo nas direções de vx e vz.
A Figura 2.5 mostra um elemento de solo todo saturado e com dimensões
dx, dy e dz nas direções x, y e z, respectivamente, com o fluxo ocorrendo
apenas no plano x–z. Os componentes da velocidade de saída (descarga) da
água que entra no elemento são vx e vz, e as taxas de variação das velocidades
de descarga nas direções x e z são ∂vx/∂x e ∂vz/∂z, respectivamente. O volume
de água que entra no elemento por unidade de tempo é
e o volume de água que deixa o elemento por unidade de tempo é
Se o elemento não apresentar alteração de volume e se admitirmos que a água
é incompressível, a diferença entre o volume de água que entra no elemento
por unidade de tempo e o volume que sai deve ser zero. Dessa forma,
Figura 2.5 Percolação através de um elemento de solo.
A Equação 2.11 é a equação da continuidade em duas dimensões. No
entanto, se o volume do elemento apresentar alteração, ela se tornará
na qual dV/dt é a variação de volume por unidade de tempo.
Considere, agora, a função φ(x, z), chamada função potencial, tal que
A partir das Equações 2.11 e 2.13, fica evidente que
isto é, a função φ(x, z) satisfaz a equação de Laplace.
Integrando a Equação 2.13:
em que C é uma constante. Dessa forma, se a função φ(x, z) fornecer um
valor constante, igual a φ1 (por exemplo), ela representará uma curva ao
longo da qual o valor da carga total (h1) será constante. Se a função φ(x, z)
fornecer uma série de valores constantes, φ1, φ2, φ3 etc., uma família de
curvas será especificada, e, ao longo de cada uma delas, a carga total exibirá
um valor constante (mas um valor diferente para cada curva). Tais curvas são
denominadas equipotenciais (ou linhas equipotenciais).
Agora, utiliza-se uma segunda função ψ(x, z), chamada função de fluxo,
tal que
Pode-se demonstrar que essa função também satisfaz à equação de Laplace.
O diferencial total da função ψ(x, z) é
Se a função ψ(x, z) fornecer um valor constante ψ1, então, dψ = 0 e
Dessa forma, a tangente em qualquer ponto da curva representada por
ψ(x, z) = ψ1
especifica a direção da velocidade de descarga resultante ali: a curva
representa, portanto, o caminho do fluxo. Se a função ψ(x, z) fornecer uma
série de valores constantes, ψ1, ψ2, ψ3 etc., será especificada uma segunda
família de curvas, com cada uma representando um caminho de fluxo. Essas
curvas são denominadas linhas de fluxo.
Utilizando a Figura 2.6 como referência, o fluxo por unidade de tempo
entre duas linhas de fluxo, para as quais os valores da função de fluxo sejam
ψ1 e ψ2, é dado por
Dessa forma, o fluxo através do “canal” entre as duas linhas de fluxo é
constante.
O diferencial total da função φ(x, z)é
Se φ(x, z) for constante, então, dφ = 0 é
Comparando as Equações 2.16 e 2.17, fica evidente que as linhas de fluxo e
as equipotenciais se interceptam em ângulos retos.
Considere, agora, duas linhas de fluxo, ψ1 e (ψ1 + Δψ), separadas entre si
por uma distância Δn. Elas são interceptadas ortogonalmente por duas
equipotenciais, φ1 e (φ1 + Δφ), separadas entre si pela distância Δs, conforme
mostra a Figura 2.7. As direções s e n fazem um ângulo α com os eixos x e z,
respectivamente. No ponto A, a velocidade de descarga (na direção s) é vs; os
componentes de vs nas direções x e z, respectivamente, são
Agora,
Figura 2.6
Figura 2.7
Percolação entre duas linhas de fluxo.
Linhas de fluxo e equipotenciais.
Desse modo,
ou aproximadamente
2.4 Redes de fluxo
Em princípio, a fim de solucionar um problema prático de percolação, devem
ser encontradas as funções φ(x, z) e ψ(x, z) para as condições de contorno
pertinentes. A solução é representada por uma família de linhas de fluxo e
uma de linhas equipotenciais, constituindo o que é conhecido como uma rede
de fluxo. Existe ampla disponibilidade de software computacional baseado
tanto no método das diferenças finitas quanto no dos elementos finitos para a
solução de problemas de percolação. Williams et al. (1993) descreveram
como obter soluções da equação de Laplace na forma de diferenças finitas
com a utilização de uma planilha. Esse método será descrito na Seção 2.7, e
há recursos eletrônicos disponíveis no site da LTC Editora que traz material
complementar a este texto para acompanhar o material exposto no restante do
capítulo. Problemas relativamente simples podem ser resolvidos por meio de
um esboço da rede de fluxo, obtido por tentativa e erro, cuja forma geral é
deduzida das considerações a respeito das condições de contorno. O esboço
de redes de fluxo conduz a um entendimento mais amplo dos princípios da
percolação. No entanto, para problemas nos quais a geometria se torna
complexa e há zonas de permeabilidades diferentes ao longo da região de
fluxo, normalmente, é necessário utilizar o método das diferenças finitas.
A condição fundamental a ser satisfeita em uma rede de fluxo é que toda
a interseção entre uma linha de fluxo e uma equipotencial deve ser em ângulo
reto. Além disso, é conveniente construir uma rede de fluxo tal que Δψ tenha
o mesmo valor entre duas linhas de linhas de fluxo adjacentes e Δφ tenha o
mesmo valor entre duas linhas equipotenciais adjacentes. Também é
conveniente ter Δs = Δn na Equação 2.18, isto é, as linhas de fluxo e
equipotenciais formando “quadrados curvilíneos” ao longo de toda a rede de
fluxo. Dessa forma, para qualquer quadrado curvilíneo
Agora, Δψ = Δq e Δφ = kΔh, portanto:
Para toda a rede de fluxo, h é a diferença de carga total entre a primeira linha
equipotencial e a última, Nd é o número de quedas de carga entre
equipotenciais, cada uma representando a mesma perda de carga total Δh, e
Nf é o número de canais de fluxo, cada um transportando o mesmo fluxo Δq.
Dessa forma,
Daí, da Equação 2.19,
A Equação 2.21 fornece o volume total de água que flui por unidade de
tempo (por dimensão unitária na direção y) e é uma função da razão Nf/Nd.
Entre duas linhas equipotenciais adjacentes, o gradiente hidráulico é dado
por
Exemplo de uma rede de fluxo
Para ilustrar, será examinada a rede de fluxo do problema detalhado na
Figura 2.8a. Ela mostra uma cortina de estacas-prancha enterrada 6,00 m em
um estrato de solo com 8,60 m de espessura, suportada por um estrato
impermeável. Em um lado das estacas, a profundidade da água é de 4,50 m;
no outro, é de 0,50 m (reduzida por bombeamento). O solo tem uma
permeabilidade de 1,5 × 10–5 m/s.
O primeiro passo é levar em consideração as condições de contorno da
região de fluxo (Figura 2.8b). Em todos os pontos do contorno AB, a carga
total é constante, portantoAB é uma linha equipotencial; de forma similar,
CD é uma linha equipotencial. O ponto de referência para a carga total pode
ser escolhido em qualquer nível, mas, em problemas de percolação, é
conveniente selecionar como referência o nível de água de jusante. Assim
sendo, a carga total na linha equipotencial CD é zero, de acordo com a
Equação 2.1 (carga piezométrica de 0,50 m; carga altimétrica de –0,50 m), e
a carga total na linha equipotencial AB é 4,00 m (carga piezométrica de 4,50
m; carga altimétrica de –0,50 m). Do ponto B, o fluxo da água deve seguir
para baixo ao longo da face de montante BE das estacas, contornar o ponto E
e subir a face de jusante EC. O fluxo da água oriundo do ponto F deve seguir
ao longo da superfície impermeável FG. Dessa forma, BEC e FG são linhas
de fluxo. As outras linhas de fluxo devem se situar entre os extremos BEC e
FG, enquanto as outras equipotenciais devem ficar entre AB e CD. Como a
•
região de fluxo é simétrica em qualquer um dos lados da cortina de estacas,
quando a linha de fluxo BEC alcançar o ponto E, a meio caminho de AB e
CD (isto é, ao pé da cortina de estacas), a carga total deverá ser a média entre
os valores ao longo de AB e CD. Esse princípio também se aplica à linha de
fluxo FG, de forma que uma terceira equipotencial pode ser escrita a partir do
ponto E, conforme ilustra a Figura 2.8b.
Deve-se selecionar, então, o número de quedas equipotenciais. Pode ser
selecionado qualquer número, entretanto, é conveniente usar um valor de Nd
que, ao dividir por ele mesmo a variação total da carga através da região de
fluxo, forneça um número inteiro. Nesse exemplo, foi escolhido Nd = 8,
assim, cada equipotencial representará uma queda de carga de 0,5 m. A
escolha de Nd tem influência direta no valor de Nf. À medida que Nd aumenta,
as equipotenciais vão ficando mais próximas entre si, de forma que, para
obter uma rede de fluxo “quadrada”, os canais de fluxo também precisarão
estar próximos (isto é, precisarão ser desenhadas mais linhas de fluxo). Isso
levará a uma rede de fluxo mais fina e com maiores detalhes na distribuição
das pressões de percolação; entretanto, a quantidade total de fluxo
permanecerá inalterada. A Figura 2.8c mostra a rede de fluxo para Nd = 8 e Nf
= 3. Os parâmetros para esse exemplo em particular fornecem uma rede de
fluxo “quadrada” e um número inteiro de canais de fluxo. Isso deve ser
construído por tentativa e erro; deve-se fazer uma primeira tentativa de
traçado da rede de fluxo, e as posições das linhas de fluxo e das
equipotenciais (e, até mesmo, Nd e Nf) devem, então, ser ajustadas conforme
necessário, até que se atinja uma rede de fluxo satisfatória. Esta deve
satisfazer às seguintes condições:
Todas as interseções entre linhas de fluxo e equipotenciais devem fazer um
ângulo de 90°.
Figura 2.8
•
Construção de uma rede de fluxo: (a) seção; (b) condições do contorno; (c)
rede de fluxo final, incluindo um exame do “formato quadrado” dos quadrados
curvilíneos; e (d) gradientes hidráulicos deduzidos com base na rede de fluxo.
Os “quadrados curvilíneos” devem ser quadrados — na Figura 2.8c, o
“formato quadrado” da rede de fluxo foi analisado pela inscrição de um
círculo em cada quadrado. A rede de fluxo será aceitável se o círculo
apenas tocar as bordas do “quadrado curvilíneo” (isto é, se não houver
elementos retangulares).
Devido à simetria dentro da região de fluxo, as equipotenciais e as linhas de
fluxo podem ser desenhadas em metade do problema e, depois, refletidas em
relação à linha de simetria (isto é, a cortina de estacas). Durante a construção
da rede de fluxo, é um erro desenhar muitas linhas de fluxo; normalmente, de
três a cinco canais de fluxo são suficientes, dependendo da geometria do
problema e do valor de Nd que for mais conveniente.
Na rede de fluxo da Figura 2.8c, o número de canais de fluxo é três, e o
	Parte 1 - Desenvolvimento de um modelo mecânico para o solo
	2 Percolação
	2.3 Teoria da percolação
	2.4 Redes de fluxo