Análise de Estruturas

Prévia do material em texto

1) analisando os carregamentos que foram aplicados na barra tubular, conseguimos 
identificar que o ponto de interesse P está submetido a um esforço axial e a um 
momento torsor. A tensão normal devido o esforço axial será: 
𝜎𝑥 =
𝐹
𝐴
 
𝜎𝑥 =
𝐹
𝜋(𝑟𝑒
2 − 𝑟𝑖
2)
 
𝜎𝑥 =
95 ∗ 103
𝜋 ∗ (0,064752 − 0,060452)
 
𝜎𝑥 = 56,1695 𝑀𝑃𝑎 
A tensão de cisalhamento devido o momento torsor pode ser dado pela seguinte 
expressão: 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑇𝑐
𝐽
 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑇𝑟𝑒
𝜋
2
(𝑟𝑒
4 − 𝑟𝑖
4)
 
𝜏𝑦𝑧 =
4,8 ∗ 103 ∗ 0,06475
𝜋
2 ∗ (0,064754 − 0,060454)
 
𝜏𝑦𝑧 = 46,8379 𝑀𝑃𝑎 
Para calcular o índice de Tresca precisamos inicialmente determinar as tensões 
principais, que podem ser calculadas da seguinte forma: 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑦𝑧
2 
𝜎1 =
56,1695 + 0
2
+ √(
56,1695 − 0
2
)
2
+ 46,83792 = 82,6974 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 =
56,1695 + 0
2
− √(
56,1695 − 0
2
)
2
+ 46,83792 = −26,5279 𝑀𝑃𝑎 
Analisando as tensões principais que foram obtidos temos que ela satisfaz a seguinte 
condição da teoria de Tresca: 
𝜎𝐴 ≥ 0 ≥ 𝜎𝐵 
Portanto o índice de Tresca pode ser dado por: 
𝜎1 − 𝜎2 =
𝑓𝑦
𝑖𝑇
 
𝑖𝑇 =
𝑓𝑦
𝜎1 − 𝜎2
 
𝑖𝑇 =
158
82,6974 − (−26,5279)
 
𝑖𝑇 = 1,4466 
2) Para calcular o índice de falha de Von Mises temos a seguinte equação: 
𝜎′ =
𝑓𝑦
𝑖𝑉
 
𝑖𝑉 =
𝑓𝑦
𝜎′
 
Onde a tensão de von Mises é dada por: 
𝜎′ = √𝜎𝑥
2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑦
2 + 3𝜏𝑥𝑦
2 
𝜎′ = √38,52 − 38,5 ∗ (−9) + (−9)2 + 3 ∗ 24,22 
𝜎′ = 60,5530 
Portanto o índice de Von Mises será: 
𝑖𝑉 =
64,6
60,5530
 
𝑖𝑉 = 1,0668 
3) Primeiro vamos determinar a tensão normal devido o esforço axial F: 
𝜎𝑥 = −
𝐹
𝐴
 
𝜎𝑥 = −
𝐹
𝜋(𝑟𝑒
2 − 𝑟𝑖
2)
 
𝜎𝑥 = −
201 ∗ 103
𝜋 ∗ (0,12052 − 0,06952)
 
𝜎𝑥 = −6,6027 𝑀𝑃𝑎 
Agora vamos calcular a tensão de cisalhamento devido o momento torsor T: 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑇𝑐
𝐽
 
𝜏𝑦𝑧 =
𝑇𝑟𝑒
𝜋
2
(𝑟𝑒
4 − 𝑟𝑖
4)
 
𝜏𝑦𝑧 =
9,5 ∗ 103 ∗ 0,1205
𝜋
2 ∗ (0,12054 − 0,06954)
 
𝜏𝑦𝑧 = 3,8866 𝑀𝑃𝑎 
Agora vamos calcular as tensões principais: 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑦𝑧
2 
𝜎1 =
−6,6027 + 0
2
+ √(
−6,6027 − 0
2
)
2
+ 3,88662 = 1,7981 𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 =
−6,6027 + 0
2
− √(
−6,6027 − 0
2
)
2
+ 3,88662 = −8,4008 𝑀𝑃𝑎 
Analisando as tensões principais obtidas temos que ela satisfaz a seguinte condição 
do critério de Mohr: 
𝜎𝐴 ≥ 0 ≥ 𝜎𝐵 
Portanto teremos que o índice de falha de Mohr pode ser dado por: 
𝜎1
𝑓𝑡
−
𝜎2
𝑓𝑐
=
1
𝑖𝑀
 
𝑖𝑀 (
𝜎1
𝑓𝑡
−
𝜎2
𝑓𝑐
) = 1 
𝑖𝑀 =
1
(
𝜎1
𝑓𝑡
−
𝜎2
𝑓𝑐
)
 
𝑖𝑀 =
1
(
1,7981
2,6 −
(−8,4008)
25,5
)
 
𝑖𝑀 = 0,9794 
4) Primeiro vamos determinar a flambagem em cada um dos eixos utilizando a 
equação de Euler: 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
(𝑘𝐿𝑒)2
 
Em torno do eixo x temos que o fator k vale 0,7. Portanto teremos: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝑘𝐿𝑒)𝑥
2
 
Calculando o momento de inércia em torno do eixo x: 
𝐼𝑥 =
0,032 ∗ 0,1753
12
−
0,028 ∗ 0,1713
12
= 2,6245 ∗ 10−6 𝑚4 
Portanto a carga crítica no eixo x: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 =
𝜋2 ∗ 69 ∗ 109 ∗ 2,6245 ∗ 10−6
(0,7 ∗ 3,05)2
 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 = 392,1037 𝑘𝑁 
Em torno do eixo y temos que o fator k vale 2, portanto teremos: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝑘𝐿𝑒)𝑦
2
 
Calculando o momento de inércia em torno do eixo y: 
𝐼𝑦 =
0,175 ∗ 0,0323
12
−
0,171 ∗ 0,0283
12
= 1,6505 ∗ 10−7 𝑚4 
Portanto a carga crítica no eixo y: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑦 =
𝜋2 ∗ 69 ∗ 109 ∗ 1,6505 ∗ 10−7
(2 ∗ 3,05)2
 
(𝑃𝑐𝑟)𝑦 = 3,0207 𝑘𝑁 
Portanto temos que a carga critica será na direção do eixo y e vale: 
𝑃𝑐𝑟 = 3,02 𝑘𝑁 
Agora vamos testar se a coluna irá suportar a carga crítica obtida sem sofrer 
escoamento ou flambagem: 
𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
 
𝜎𝑐𝑟 =
3,02 ∗ 103
0,175 ∗ 0,032 − 0,171 ∗ 0,028
 
𝜎𝑐𝑟 = 3,7201 𝑀𝑃𝑎 
Como 𝜎𝑐𝑟 < 𝑓𝑦 a coluna irá suportar a carga crítica sem sofrer flambagem ou 
escoamento. 
5) Primeiro vamos determinar o comprimento das barras, para isso vamos primeiro 
determinar o raio do círculo imaginário OB: 
𝑂𝐵
ℎ
= 𝑎 = 0,799 
𝑂𝐵 = 0,799ℎ 
𝑂𝐵 = 0,799 ∗ 2,17 
𝑂𝐵 = 1,73383 𝑚 
Por trigonometria temos que o comprimento 𝐿𝑒 de cada barra será: 
𝐿𝑒 = √𝑂𝐵2 + ℎ2 
𝐿𝑒 = √1,733832 + 2,172 
𝐿𝑒 = 2,7776 𝑚 
Aplicando a fórmula de Euler para a carga crítica teremos: 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
(𝑘𝐿𝑒)2
 
Nesse caso o k é igual 1, pois temos ambas extremidades rotuladas, portanto a carga 
crítica: 
𝑃𝑐𝑟 =
(𝜋2 ∗ 70 ∗ 109 ∗ (
𝜋
4 ∗ (0,035054 − 0,024254)))
(1 ∗ 2,7776)2
 
𝑃𝑐𝑟 = 81,8234 𝑘𝑁 
Vamos testar a carga crítica para saber se a coluna não irá flambar nem escoar: 
𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
 
𝜎𝑐𝑟 =
81,8234 ∗ 103
𝜋 ∗ (0,035052 − 0,024252)
= 40,6677 𝑀𝑃𝑎 
Como 𝜎𝑐𝑟 < 𝑓𝑦 temos que a coluna não irá flambar nem sofrer escoamento. 
𝑃𝑎𝑑𝑚 = 𝑃𝑐𝑟 = 81,82 𝑘𝑁 
6) Inicialmente vamos determinar a carga crítica na direção do eixo y: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝑘𝐿𝑒)𝑦
2
 
Onde o k na direção de y será igual a 1, pois ambas as extremidades são rotuladas: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑦 =
𝜋2 ∗ 12,8 ∗ 109 ∗
0,287 ∗ 0,1813
48
(1 ∗ 6,56)2
 
(𝑃𝑐𝑟)𝑦 = 104,0827 𝑘𝑁 
Agora vamos determinar a carga crítica na direção do eixo x: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝑘𝐿𝑒)𝑥
2
 
O k na direção do eixo x também é igual a 1, no entanto o 𝐿𝑒 será dividido por 2, pois 
temos uma retenção no centro da coluna, desta forma a carga crítica na direção de x 
será: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 =
𝜋2 ∗ 12,8 ∗ 109 ∗
0,181 ∗ 0,2873
36
(1 ∗
6,56
2 )
2 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 = 1395,6734 𝑘𝑁 
Portanto a carga crítica que a coluna suportará será na direção do eixo y: 
𝑃𝑐𝑟 = 104,08 𝑘𝑁 
Vamos testar se a coluna não irá sofrer escoamento ou flambar: 
𝜎𝑐𝑟 =
104,0827 ∗ 103
0,181 ∗ 0,287
2
 
𝜎𝑐𝑟 = 4,0073 𝑀𝑃𝑎 
Como 𝜎𝑐𝑟 < 𝑓𝑦 a coluna não irá flambar ou escoar. 
7) Para determinar a máxima tensão de compressão, vamos utilizar a fórmula da 
secante que é dada por: 
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
[1 +
𝑒𝑐
𝑟2
𝑆𝑒𝑐 (
𝐿
2𝑟
√
𝑃
𝐸𝐴
)] 
Primeiro vamos calcular o raio de giração que é dado por: 
𝑟 = √
𝐼
𝐴
 
𝑟 = √
𝜋
4 ∗ 0,0434
𝜋 ∗ 0,0432
 
𝑟 = 0,0215 𝑚 
Aplicando os parâmetros dados na fórmula da secante teremos: 
𝜎𝑚á𝑥 =
281 ∗ 103
𝜋 ∗ 0,0432
[1 +
0,0206 ∗ 0,043
0,02152
𝑆𝑒𝑐 (
1,21
2 ∗ 0,0215
√
281 ∗ 103
73,3 ∗ 109 ∗ 𝜋 ∗ 0,0432
)] 
𝜎𝑚á𝑥 = 171,9917 𝑀𝑃𝑎 
Portanto: 
𝑟𝑒𝑠𝑐 =
𝜎𝑚á𝑥
𝑓𝑦
 
𝑟𝑒𝑠𝑐 =
171,9917
261
 
𝑟𝑒𝑠𝑐 = 0,6590 
8) Primeiro vamos determinar a carga crítica na direção de x utilizando a fórmula de 
Euler: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝑘𝐿𝑒)𝑥
2
 
Temos que k será igual a 1, pois temos ambas extremidades articuladas. Desta forma: 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 =
𝜋2 ∗ 12 ∗ 109 ∗
0,164 ∗ 0,06353
12
(1 ∗ 3,1)2
 
(𝑃𝑐𝑟)𝑥 = 43,1262 𝑘𝑁 
Para determinar a carga crítica na direção y precisamos usar a fórmula da secante, 
no entanto teríamos que encontrar o valor por tentativa e erro, mas foi fornecido um 
gráfico onde podemos encontrar o valor da carga crítica. Para isso precisamos 
calcular o índice de esbeltez da coluna e fazer a relação 𝑒𝑐/𝑟2. Calculando o raio de 
giração na direção y: 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴
 
𝑟𝑦 =
√
0,0635 ∗ 0,1643
12
0,0635 ∗ 0,164
 
𝑟𝑦 = 0,047343 𝑚 
Agora vamos calcular o índice de esbeltez 𝜆: 
𝜆𝑦 =
(𝐾𝐿)𝑦
𝑟𝑦
 
𝜆𝑦 =
1 ∗
3,1
2
0,047343
 
𝜆𝑦 = 32,74 ≈ 33 
𝜆𝑦 ≈ 33 
Também temos: 
𝑒𝑐
𝑟𝑦
2
=
10,9 ∗ 82
(47,3427)2
= 0,3988 ≈ 0,4 
𝑒𝑐
𝑟𝑦
2
= 0,3988 
𝑒𝑐
𝑟𝑦
2
≈ 0,4 
A partir do gráfico fornecido teremos: 
 
Temos que a relação nos dá o seguinte: 
(
𝑃
𝐴
)
𝑐𝑟
= 26 𝑀𝑃𝑎 
Portanto a carga crítica será: 
𝑃𝑐𝑟 = 26 ∗ 106 ∗ 𝐴 
𝑃𝑐𝑟 = 26 ∗ 106 ∗ 0,164 ∗ 0,0635 
𝑃𝑐𝑟 = 270,764 𝑘𝑁 
Portanto a carga crítica que iremos considerar será na direção x. Para determinar a 
carga admissível temos a seguinte expressão: 
𝑃𝑎𝑑𝑚 =
𝑃𝑐𝑟
𝐶. 𝑆
 
𝑃𝑎𝑑𝑚 =
43,1262 ∗ 103
2,12
 
𝑃𝑎𝑑𝑚 = 20,34 𝑘𝑁 
Vamos verificar se a coluna irá suportar a carga crítica calculada: 
𝜎𝑐𝑟 =
43,1262 ∗ 103
0,164 ∗ 0,0635
 
𝜎𝑐𝑟= 4,1412 𝑀𝑃𝑎 
Como 𝜎𝑐𝑟 < 𝑓𝑦 a coluna irá suportar a carga crítica sem sofrer flambagem ou escoar. 
9) De acordo com a NBR 8800:2008 a força normal de compressão resistente é dada 
por: 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
Χ𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝜆𝑎
 
Precisamos determinar o Χ que é dado pela seguinte equação: 
Χ = 0,658𝜆0
2
 
Onde o 𝜆0 será dado por: 
𝜆0 = √
𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
 
Precisamos determinar qual será a carga crítica 𝑁𝑒 que será utilizada. Desta forma 
calculando a carga crítica na direção de x: 
𝑁𝑒𝑥
=
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝐿𝑒)𝑥
2
 
O momento de inércia será: 
𝑟𝑥 = √
𝐼𝑥
𝐴
 
𝑟𝑥
2 =
𝐼𝑥
𝐴
 
𝐼𝑥 = 𝑟𝑥
2𝐴 
𝐼𝑥 = 0,02392 ∗ 14,06 ∗ 10−4 
𝐼𝑥 = 8,0312 ∗ 10−7 
Portanto a carga crítica: 
𝑁𝑒𝑥
=
𝜋2 ∗ 200 ∗ 109 ∗ 8,0312 ∗ 10−7
(1 ∗ 4,05)2
 
𝑁𝑒𝑥
= 96,6498 𝑘𝑁 
Agora vamos calcular a carga crítica na direção do eixo y: 
𝑁𝑒𝑦
=
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝐿𝑒)𝑦
2
 
Onde o momento de inércia será dado por: 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴
 
𝑟𝑦
2 =
𝐼𝑦
𝐴
 
𝐼𝑦 = 𝑟𝑦
2𝐴 
𝐼𝑦 = 0,03332 ∗ 14,06 ∗ 10−4 
𝐼𝑦 = 1,5591 ∗ 10−6 
E portanto a carga crítica: 
𝑁𝑒𝑦
=
𝜋2 ∗ 200 ∗ 109 ∗ 1,5591 ∗ 10−6
(1 ∗ (1 − 0,77) ∗ 4,05)2
 
𝑁𝑒𝑦
= 3546,8090 𝑘𝑁 
Portanto vamos adotar 𝑁𝑒𝑥
 para os nossos cálculos. Calculando o 𝜆0: 
𝜆0 = √
0,821 ∗ 14,06 ∗ 10−4 ∗ 370 ∗ 106
96,6498 ∗ 103
 
𝜆0 = 2,1022 
E portanto o valor de Χ: 
Χ = 0,6582,10222
 
Χ = 0,1573 
Agora basta determinar o 𝜆𝑎 que é determinado da tabela na NBR 8800:2008: 
 
Portanto a força normal de compressão resistente: 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
0,1573 ∗ 0,821 ∗ 14,06 ∗ 10−4 ∗ 370 ∗ 106
1,1
 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 = 61,0756 𝑘𝑁 
Por fim vamos calcular a relação: 
𝜂 =
𝑁𝑐,𝑆𝑑
𝑁𝑐,𝑅𝑑
 
𝜂 =
41,8 + 73,4
2
61,0756
 
𝜂 = 0,9431 
10) Vamos repetir os passos do exercício anterior, primeiro determinando a carga 
crítica em cada um dos eixos. Calculando a carga crítica no eixo x: 
𝑁𝑒𝑥
=
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝐿𝑒)𝑥
2
 
Onde o momento de inércia será dado por: 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴
 
𝑟𝑦
2 =
𝐼𝑦
𝐴
 
𝐼𝑦 = 𝑟𝑦
2𝐴 
𝐼𝑥 = 0,03972 ∗ 10,10 ∗ 10−4 
𝐼𝑥 = 1,5918 ∗ 10−6 
Portanto a carga crítica: 
𝑁𝑒𝑥
=
𝜋2 ∗ 200 ∗ 109 ∗ 1,5918 ∗ 10−6
(0,7 ∗ (1 − 0,62) ∗ 2,69)2
 
𝑁𝑒𝑥
= 6137,1155 𝑘𝑁 
Agora vamos determinar a carga crítica no eixo y: 
𝑁𝑒𝑦
=
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝐿𝑒)𝑦
2
 
Onde o momento de inércia será dado por: 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴
 
𝑟𝑦
2 =
𝐼𝑦
𝐴
 
𝐼𝑦 = 𝑟𝑦
2𝐴 
𝐼𝑦 = 0,01142 ∗ 10,10 ∗ 10−4 
𝐼𝑦 = 1,3126 ∗ 10−7 
E portanto a carga crítica: 
𝑁𝑒𝑦
=
𝜋2 ∗ 200 ∗ 109 ∗ 1,3126 ∗ 10−7
(2 ∗ 2,69)2
 
𝑁𝑒𝑦
= 8,9515 𝑘𝑁 
Portanto vamos utilizar a carga crítica na direção do eixo y para os nossos cálculos 
posteriores. Vamos calcular o 𝜆0: 
𝜆0 = √
𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
 
𝜆0 = √
1 ∗ 10,10 ∗ 10−4 ∗ 250 ∗ 106
8,9515 ∗ 103
 
𝜆0 = 5,3111 
Calculando agora o fator Χ: 
Χ = 0,658𝜆0
2
 
Χ = 0,6585,31112
 
Χ = 7,4575 ∗ 10−6 
Portanto a força normal de compressão resistente: 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
Χ𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝜆𝑎
 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
7,4575 ∗ 10−6 ∗ 1 ∗ 10,10 ∗ 10−4 ∗ 250 ∗ 106
1,1
 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 = 1,7118 𝑘𝑁 
Por fim vamos calcular a relação: 
𝜂 =
𝑁𝑐,𝑆𝑑
𝑁𝑐,𝑅𝑑
 
𝜂 =
31,98 + 23,02
1,7118
 
𝜂 = 32,1291