Padrões em Polígonos Regulares

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Generalizar procedimentos, estabelecer padrões – Parte 2
Matemática
1o bimestre – Aula 32 – Sequência didática 4
Ensino Médio
1a
SÉRIE
2024_EM_B1_V1
Cálculo da medida de ângulos internos de um polígono.
Investigar a soma das medidas dos ângulos externos de polígonos;
Estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas a ladrilhamento.
Conteúdo
Objetivos
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(EM13MAT505) Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
Você sabe o que é ladrilhamento?
Trata-se da arte de preencher planos usando polígonos, sem haver sobreposições ou espaços entre eles.
5 MINUTOS
Todos juntos
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Para começar
https://matemateca.ime.usp.br/acervo/ladrilhamentos.html
A prática do ladrilhamento é muito útil na decoração de espaços internos. Veja o exemplo abaixo:
Pablo estava preenchendo o chão de seu banheiro com azulejos em forma de pentágonos regulares, como na imagem abaixo:
Pablo, porém, reparou que não havia comprado os azulejos triangulares que preencheriam as áreas marcadas em vermelho.
5 MINUTOS
Todos juntos
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Para começar
Elaborada para o material
Pablo resolveu comprar os azulejos faltantes, mas não sem antes saber exatamente o tipo de azulejo que precisaria comprar. Para isso, mediu o ângulo X marcado na imagem:
Tendo em mente que os triângulos acima são isósceles, responda: como você descobriria a medida do ângulo X?
X
5 MINUTOS
Todos juntos
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Para começar
Elaborada para o material
Vamos analisar o caso de Pablo:
Como os pentágonos ao lado são regulares, podemos calcular a medida de cada ângulo interno usando a fórmula da soma destes ângulos:
Ângulos externos
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Foco no conteúdo
Elaborada para o material
Agora que sabemos a medida do ângulo interno do pentágono, fica claro que este e o ângulo X são suplementares, ou seja:
108º + X = 180º
X = 180º – 108º
X = 72°
108°
Ângulos externos
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Foco no conteúdo
Elaborada para o material
A medida que descobrimos é a de um ângulo externo do pentágono regular. Trata-se de outra medida que pode ser usada para caracterizar polígonos.
Considere o polígono ao lado. O ângulo ⍺, proveniente do prolongamento do lado do polígono, é um ângulo externo!
⍺
Ângulos externos
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Foco no conteúdo
Elaborada para o material
Repare que, como o ângulo ⍺ surge a partir do prolongamento de um dos lados do polígono, ele e o ângulo ꞵ são suplementares, ou seja:
Isso vale para qualquer polígono, não se limitando aos regulares.
⍺
ꞵ
⍺ + ꞵ = 180°
Ângulos externos
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Foco no conteúdo
Elaborada para o material
Vamos aplicar nossos conhecimentos sobre polígonos para mais casos! Para isso, escolha 5 polígonos regulares e use suas informações para preencher a tabela a seguir:
Atividade 1:
Discussão disciplinada
15 MINUTOS
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Na prática
	Polígono regular	Número de lados	Soma das medidas dos ângulos internos	Medida de cada ângulo interno	Soma das medidas dos ângulos externos	Medida de cada ângulo externo
						
						
						
						
						
Atividade 1
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Na prática
Ao professor: proponha aos alunos que copiem a tabela acima em seus cadernos e a preencham com as características de qualquer polígono regular.
	Polígono regular	Número de lados	Soma das medidas dos ângulos internos	Medida de cada ângulo interno	Soma das medidas dos ângulos externos	Medida de cada ângulo externo
	Quadrado	4	360°	90°	360°	90°
	Hexágono	6	720°	120°	360°	60°
	Eneágono	9	1260°	140°	360°	40°
	Undecágono	11	1620°	147°16’	360°	32°44’
	Polígono de n lados	n	(n – 2) ∙ 180°	(n - 2) ∙ 180°
n	360°	360°
n
Correção
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Na prática
Ao professor: os valores usados nessa correção são um exemplo do que os alunos podem obter com essa proposta. Aqui representamos alguns polígonos regulares com número ímpar de lados, alguns com lados pares e por último uma generalização para n lados. É importante incluir pelo menos um polígono cuja medida do ângulo interno não seja um valor exato, para guiar a revisão acerca de submúltiplos do grau que será feita nos slides seguintes.
Quando fazemos a divisão da medida de um ângulo, podemos nos deparar com uma divisão inexata, como a que ocorre no caso do undecágono.
Nesses casos, é necessário dividir a medida do ângulo em minutos.
O minuto (‘) é uma subdivisão do grau (°), de modo que a igualdade abaixo é válida:
Lembrando
1° = 60’
Sem escapatória
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Foco no conteúdo
A tabela que construímos nos permite notar uma série de padrões que se repetem entre polígonos regulares:
Generalizando
Soma das medidas dos ângulos internos
S = (n - 2) ∙ 180°
Medida de um ângulo interno
a = (n – 2) ∙ 180°
 n
Soma das medidas dos ângulos externos
Se = 360°
Medida de um ângulo externo
ae = 360°
 n
Algumas dessas informações são válidas também para polígonos irregulares!
Soma das medidas dos ângulos internos
S = (n – 2) ∙ 180°
Soma das medidas dos ângulos externos
Se = 360°
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Foco no conteúdo
A soma das medidas dos ângulos internos e externos depende apenas do número de lados do polígono!
Qualquer alteração feita na medida do ângulo de um polígono regular gera alterações nas medidas de outros ângulos, mantendo, assim, a soma constante.
Generalizando
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Foco no conteúdo
Outra propriedade interessante é a da soma das medidas dos ângulos externos, que sempre resulta em 360°, tanto em polígonos regulares quanto em irregulares.
Para melhor visualizar o porquê disso ocorrer, assista à animação a seguir:
Basta clicar em RESTAURAR e depois em INICIAR.
Generalizando
https://www.geogebra.org/m/uz9xqqbv 
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Foco no conteúdo
IMENTA, Gerson H. V.. Soma ângulos externos polígono, simulação disponível em: https://www.geogebra.org/m/uz9xqqbv
(Saresp 2009 – Adaptada) Para ladrilhar o piso de uma sala, como indicado abaixo, um decorador de interiores precisa mandar fazer os ladrilhos que estão em branco na figura.
Sabendo que os hexágonos são regulares, qual a medida do ângulo A indicado?
Atividade 2
10 MINUTOS
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Na prática
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre: Ensino Médio – v. 1 – parte 1 – Matemática, p. 71, exercício 4. São Paulo, 2022.
Sabemos que os hexágonos da figura são regulares. Sendo assim, podemos calcular a medida de cada ângulo interno:
a = S/n
a = (6 – 2) ∙ 180/6
a = 4 ∙ 30
a = 120°
Correção
Continua...
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Na prática
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre: Ensino Médio – v. 1 – parte 1 – Matemática, p. 71, exercício 4. São Paulo, 2022.
É possível perceber que a medida do ângulo A que queremos descobrir equivale à medida do ângulo externo do hexágono. Sendo assim, temos:
A + 120º = 180º
A = 180º – 120º
A = 60°
120°
Correção
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Na prática
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre: Ensino Médio – v. 1 – parte 1 – Matemática, p. 71, exercício 4. São Paulo, 2022.
Aprendemos a caracterizar polígonos a partir das medidas de seus ângulos externos;
Aprendemos também a aplicar as relações entre os ângulos internos e externos de um polígono em situações de ladrilhamento de planos.
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O que aprendemos hoje?
LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre: Ensino Médio – v. 1 – parte 1 – Matemática. São Paulo, 2022.
Slide 16 – PIMENTA, Gerson H. V. Soma dos ângulos externos do polígono, simulação disponível em https://www.geogebra.org/m/uz9xqqbv. Acesso em: 2 dez. 2024.
Slide 17 – Atividade 2: SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre: Ensino Médio – v. 1 – parte 1 – Matemática, p. 71, exercício 4.São Paulo, 2022.
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Referências
Lista de imagens:
Slide 3 – Ladrilhos 2 – imagem de Alisson Ricardo. Disponível em: https://matemateca.ime.usp.br/acervo/ladrilhamentos.html. Acesso em: 2 jan. 2024.
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Referências
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