ELETROMAGNETISMO - teorico 2

Prévia do material em texto

Eletromagnetismo
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Claudia Barros dos Santos Demori
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Potencial Elétrico
• Energia Potencial Elétrica e Trabalho;
• Potencial Elétrico;
• Elétron-Volt;
• Gradiente do Potencial.
• Compreender as teorias ao cálculo do potencial elétrico e explorar o signifi cado 
físico dessa grandeza física;
• Conhecer as grandezas que originam o potencial, tais como energia potencial 
e trabalho.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Potencial Elétrico
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Potencial Elétrico
Energia Potencial Elétrica e Trabalho
Pode-se dizer que ao deslocar uma carga de um ponto a outro, na presença 
de campo elétrico, a força elétrica realiza trabalho sobre essa carga. Assim como 
associamos o trabalho à energia na mecânica, podemos relacionar o deslocamento 
de cargas ao trabalho e, como consequência, à energia elétrica. 
Com mais precisão, o trabalho realizado pela força elétrica está associado à 
energia potencial elétrica. À energia elétrica potencial associa-se o próprio po-
tencial elétrico, ou como o chamamos comumente, potencial, ou ainda voltagem 
ou tensão. O deslocamento de elétrons ordenados, ou seja, da corrente elétrica, 
é possível apenas quando na presença de potencial elétrico – mais precisamente, 
com diferença de potencial elétrico entre dois pontos. Começaremos, então, com 
o conceito de trabalho – para tanto, observe a seguinte Figura:
Figura 1
Fonte: Young e Freedman, 2012
É relativa ao trabalho realizado sobre uma carga para ser deslocada de um pon-
to a até o ponto b em um campo elétrico uniforme. O trabalho não depende da 
trajetória que a carga descreverá, mas somente dos pontos inicial e final, ou seja, a 
força elétrica é uma força conservativa. 
Dizemos que são forças conservativas, aquelas capazes de converter energia 
cinética em energia potencial e realizar a conversão inversa – energia potencial em 
energia cinética. Dessa maneira, podemos escrever a seguinte equação para o tra-
balho realizado pela força elétrica para deslocar a partícula do ponto a ao ponto b:
τa→b = Ua – Ub
8
9
Onde τa→b é o trabalho para o deslocamento dessa fórmula, Ua é a energia po-
tencial da partícula no ponto a, assim como Ub é a energia potencial no ponto b. 
Podemos reescrever tal equação como:
τa→b = – (Ua – Ub )
Ou seja, o trabalho é igual a variação de energia potencial sofrida pela partícula, 
com o sinal negativo, visto que quando Ua é maior que Ub, a variação de energia é 
negativa, ou seja, a energia potencial diminui. 
Pensando ainda nas forças conservativas, podemos dizer que a variação da ener-
gia cinética da partícula é igual ao trabalho que foi realizado sobre a qual – teorema 
trabalho-energia. Assim:
τa→b = ∆K = Ka – Kb
Onde Ka e Ka correspondem à energia cinética das partículas nos pontos a e b, 
respectivamente. Logo, poderemos reafirmar o princípio de conservação da ener-
gia rearranjando as últimas equações para as seguintes:
– (Ub – Ua) = Kb – Ka
∴ Ua + Ka = Ub + Kb
Repare que a última equação afirma que a energia total – a somatória das ener-
gias potencial e cinética – é a mesma nos pontos a e b. 
Podemos considerar ainda essa situação ilustrada para transportar a carga teste 
q0 de um ponto a até um ponto b e escrever equações individuais para a energia 
potencial U de duas cargas puntiformes, por exemplo:
τa→b = F . b = U
Onde F é a força elétrica de atração entre a carga teste e a carga oposta loca-
lizada na placa, enquanto d é o deslocamento realizado por q0. Logo, para duas 
cargas puntiformes temos:
U k q q
d
�
�0
A unidade de medida à energia potencial elétrica, assim como ao trabalho é o 
joule (J).
• Exemplo 1 – recorreremos ao seguinte exemplo, o qual utilizado por Young e 
colaboradores na obra de Young e Freedman (2016):
Um pósitron – a antipartícula do elétron – possui massa igual a 9,11 . 10–31kg 
e carga q0 = +e = 1,6 . 10
–19 C. Suponha que um pósitron esteja se movendo nas 
vizinhanças de uma partícula alfa (a), que possui carga q0 = + 2 e = 3,20 . 10
–19 C 
9
UNIDADE Potencial Elétrico
e massa 6,64 . 10–27 kg. A partícula a possui massa cerca de 7.000 vezes maior 
que a do pósitron, de modo que consideraremos a partícula a em repouso em 
algum sistema de referência inercial. Quando o pósitron está a uma distância 
igual a 1,00 . 1010 m, afasta-se dessa partícula com uma velocidade igual a 
3,00 . 106 m/s. Portanto:
a) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância de 2,00.10–10 
da partícula a?
b) Qual é a velocidade do pósitron quando está a uma distância significati-
vamente grande da partícula a?
c) Qual seria a alteração da situação supondo que a partícula que se des-
loca fosse, em vez de um pósitron, um elétron – de mesma massa do 
pósitron, mas de carga q0 = – e?
A primeira observação que podemos fazer é que se a força de interação entre 
essas duas partículas é conservativa, a energia total se conserva; portanto:
a) Ua + Ka = Ub + Kb
Logo, podemos detalhar essa relação como:
k
q q
d
mv
k
q q
d
mv
A
A
B
B0
2
0
2
2 2
�
� �
�
�
Observe que nessa equação os índices A e B representam duas posições dife-
rentes da partícula que se move – pósitron – em relação àquela considerada parada 
– partícula alfa. Outro fator que deve ser observado, tais velocidades são relativas à 
partícula que se move, já que a outra está em repouso. Assim, podemos continuar 
a equação da seguinte maneira:
9 10
1 60 10 3 20 10
1 00 10
9 11 10 3 00 10
9
19 19
10
31 6
�
� � �
�
�
� � �� �� �
�
�
, ,
,
, ,
22
9
19 19
10
31 2
2
9 10
1 6 10 3 20 10
2 00 10
9 11 10
2
� �
� � �
�
�
�� �
�
�
, ,
,
, vB
Ao resolvermos essa equação, temos:
Vb = 3,75 . 10
6 m/s
b) Consideraremos a distância significativamente grande a que o exercício 
se refere a um ponto C → ∞ no espaço, onde o princípio de conserva-
ção da energia continua válido; logo:
k q q
d
mv k q q
d
mv
A
A
C
C0
2
0
2
2 2
�
� �
�
�
10
11
Repare que o terceiro termo, onde a distância é relativa ao ponto C, tende a 
zero; logo, a equação será:
9 10
1 60 10 3 20 10
1 00 10
9 11 10 3 00 10
9
19 19
10
31 6
�
� � �
�
�� � �� �� �
�
�
, ,
,
, ,
22
31 2
2
9 11 10
2
�
� �, vC
E a solução:
vc = 4,37 . 10
6 m/s
c) Para um elétron, a carga q0 = –e = 1,6 . 10
–19 C tem sinal invertido, de 
modo que o problema deve ser reconsiderado.
A energia potencial elétrica também pode ser considerada para n cargas punti-
formes em um mesmo sistema, associadas à carga de teste q0. A energia total será 
a somatória das energias de interação dessas cargas com a carga teste, por meio 
de uma equação do seguinte tipo:
U k q q
d
q
d
q
d
q
d
n
n
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�0
1
1
2
2
3
3

No entanto, deve-se considerar que existe uma interação relativa a cargas di-
ferentes entre si, tais como e q1 e q2, q1 e q3 e assim por diante, ou seja, qi e qj. 
O resultado da energia potencial será desta forma:
U k
q q
d
i j
iji j
�
�
�
Onde i e j são pares de cargas distintas entre si.
• Exemplo 2 – recorreremos a mais um exemplo utilizado por Young e colabo-
radores na obra de Young e Freedman (2016):
Qual é a energia necessária para montar um núcleo atômico contendo três pró-
tons (como Li) se o modelarmos como um triângulo equilátero de lado 2,00 . 10–15 m, 
com um próton em cada vértice? Suponha que os prótons tenham partido de uma 
distância significativamente grande. 
É fortemente aconselhável que o estudante desenhe, faça um rascunho de 
suas hipóteses.
Para organizar a nossa solução, consideraremos que a posição inicial – aqui 
chamada de A – é um ponto muito distante, de onde as partículas partirão do re-
pouso. Nesse ponto, devido ao repouso, podemos dizer que a energia cinética do 
conjunto KA é nula, assim como a energia potencial, visto que as partículas estão a 
uma distância significativamente grande uma da outra; então: UA = 0.
Consideraremos que o ponto onde será montado o núcleo corresponderá ao 
B. No entanto, quando nesse ponto os três prótons estiverem novamente em re-
11
UNIDADE Potencial Elétrico
pouso, a energia cinética corresponderá a Kb = 0. Agora, na posição B pode-se 
quantificar as distâncias entre os três prótons, portanto, terão a energia potencial 
elétrica resultante da interação entre si. Logo:
U k
q q
dB
i j
iji j
�
�
�
Onde faremos a interação entre cada um dos prótons – considere os prótons 1, 
2 e 3 –, a equação relativa à energia potencial na posição B será:
U k q q
d
q q
d
q q
dB
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
1 2
12
1 3
13
2 3
23
Logo:
UB 9 10
1 602 10 1 602 10
2 00 10
1 602 10 1 609
19 19
15
19
, ,
,
, , 22 10
2 00 10
1 602 10 1 602 10
2 00 10
19
15
19 19
15
,
, ,
,
U JB 3 46 10
13
,
Perceba se tratar de um pequeno valor de energia, de modo que a seguir con-
sideraremos uma nova unidade energética para energias nucleares, o elétron-volt.
Potencial Elétrico 
Para definir o conceito de potencial elétrico, podemos fazer uma analogia ao 
campo elétrico, este que pode ser “percebido” quando houver força de interação 
entre duas partículas; ou seja, caso exista uma partícula para teste, o campo elétri-
co será a razão entre a força elétrica e a unidade daquela carga. 
O potencial elétrico, que doravante representaremos por V, pode ser obtido por 
meio da relação entre a energia potencial elétrica U por uma unidade de carga – a 
carga teste. Assim, teremos a seguinte relação:
V U
q
=
0
Ou ainda:
U = q0 . V
Observe que todas as grandezas envolvidas na equação são grandezas físicas 
escalares, de modo que podemos escrever a unidade de medida do potencial como:
12
13
V J
C
V volt� � � � � �
Para compreender as relações que envolvem o potencial, relembremos o con-
ceito de trabalho para deslocar uma carga de um ponto a até um ponto b; se escre-
vermos essa relação por unidade de carga, teremos:
� a b a b
a b abq
U U
q
V V V� � � � � �
0 0
No geral, Va b é conhecida como diferença de potencial (ddp) entre dois pontos, 
podendo ser relatada também como tensão ou voltagem.
Em resumo, o potencial elétrico pode ser definido como a energia potencial em 
determinado ponto, associada a uma unidade de carga. No entanto, não é neces-
sário que haja carga em determinado ponto para que ali exista potencial. 
Veja mais informações em: https://goo.gl/VTQ9FS
Ex
pl
or
Para calcular o potencial elétrico em um ponto, podemos utilizar a relação entre 
a energia potencial elétrica e uma carga teste q0. Assim:
V k q
d
=
Onde é o valor de uma carga puntiforme e é a distância da carga ao ponto onde 
se deseja calcular o potencial.
• Exemplo 3 – retirado de Young e Freedman (2016):
A certa distância de uma carga puntiforme, o potencial e módulo do campo 
elétrico são, respectivamente, 4,98 V e 16,2 V/m (considere V = 0 no infinito). 
a) Qual é o valor dessa distância?
b) Qual é o módulo da carga elétrica?
Pois:
a) Para resolver podemos utilizar
V V E dl
V V Ed
d
d d m
a b a
b
a b
� � �
� �
� �
� � �
�
�� �
4 98 16 2
4 98
16 2
0 307
, ,
,
,
,
b) Já que se refere a uma carga puntiforme, utilizaremos:
13
UNIDADE Potencial Elétrico
V k q
d
q q nC� � � � � � �4 98 9 10
0 307
0 170
9
,
,
,
Ou ainda, o potencial elétrico relativo a um conjunto de cargas puntiformes:
V k q
d
n
ni
n
� �
No entanto, como explicar o fato de não ser necessário haver carga em um 
ponto para que nestes haja potencial?
Para responder a essa pergunta – e para melhor compreendermos a magnitude 
física do potencial elétrico – é extremamente útil escrevermos as definições e equa-
ções em torno do potencial com o uso do cálculo integral e diferencial. Podemos 
começar com a equação do trabalho para transportar uma carga de um ponto a 
até um ponto b:
� a b a
b
a
b
F dl q E dl� � � � �� �
�� � �� �
0
Note que, então utilizando a notação vetorial, poderemos ocultar o ponto (.) 
relativo à operação produto, a fim de mostrá-lo na operação produto escalar. 
A diferença de potencial Vab será:
V E dl E dlab a
b
a
b
� � �� �
�� �
cos �
Onde θ é o ângulo entre o campo elétrico E e o deslocamento dl. 
Uma boa observação é que se o trabalho para deslocar a carga de um ponto a 
outro não depende da trajetória, a diferença de potencial também não dependerá. 
Outro fator comum sobre a análise do potencial corresponde aos limites de inte-
gração da última equação. Caso seja necessário inverter os limites, deve-se inverter 
o sinal da integral, assim:
V E dlab a
b
� � ��
�� �
Aula de Potencial Elétrico Parte 1, disponível em: https://youtu.be/I_JNumvAr4I
Ex
pl
or
14
15
Elétron-Volt
Quando se tratam de energias internucleares, a ordem de grandeza desses va-
lores é baixa, sendo comum utilizarmos outra unidade de medida que não o Joule. 
Enquanto unidade, o elétron-volt é conhecido como a energia necessária para mo-
ver uma partícula de carga em um potencial de 1 V, de modo que podemos utilizar 
a equação relativa à energia potencial elétrica, ou seja:
� a b a b ab
a b
U U q V
U U C V J
�
� �
� � �
� � � �� � � �
0
19 19
1 602 10 1 1 602 10, ,
Significa que:
1 1 602 10
19eV J� � �,
• Exemplo 4 – proposto por Young e colaboradores na obra de Young e Free-
dman (2016):
Um próton (carga +e = 1.602 . 10–19 C) percorre uma distância d = 0,50m ao 
longo da linha reta de um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador li-
near. Considerando que o campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e possui 
módulo E v
m
N C� � � �1 5 10 1 5 107 7, , / no sentido de a para b, determine:
a) A força sobre o próton;
b) O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre o próton;
c) A diferença de potencial Va – Vb 
Recorreremos a quase todas as teorias que estudamos até agora, com:
a) A força elétrica, além de ser proporcional ao campo elétrico, tem a sua 
direção e o seu sentido, ou ainda, o seu módulo:
F = qE
F = 1,602 . 10–19 . 1,5 .107 ∴ F = 2,4 . 10–12 N
b) Considerando o conceito de trabalho:
τa→b = F . d
τa→b = 2,4 . 10
–12 . 0,50 ∴ τa→b = 1,2 . 10
–12 J
Se escrevermos essa energia em eV, teremos:
1,602 . 10–19J – 1 eV
1,2 . 10–12 – x
∴x = 7,5 MeV
15
UNIDADE Potencial Elétrico
c) Para calcular a diferençade potencial, podemos considerar a relação 
entre ddp e trabalho; assim:
� a b
a b a bq
V V V V MV�
�
�� � �
�
�
� � �
0
12
19
1 2 10
1 602 10
7 5
,
,
,
O próximo exemplo, retirado de Young e Freedman (2016) serve para calcular 
o potencial relativo a duas ou mais cargas pontuais em um ponto P qualquer. 
• Exemplo 5 – Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas puntiformes e 
q1 = +12 nC e q2 = –12 nC, sendo a distância entre as quais igual a 10 cm, 
conforme mostra a figura 2: 
Figura 2
Fonte: Young e Freedman, 2012
Assim, calcule os potenciais nos pontos a, b e c.
Para solucionar, observe que o potencial em cada ponto será igual à soma dos 
potenciais devido às duas cargas; assim:
V k q
d
Va n
n
n
a� � � � �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
1
9
9
2
9
2
9 10
12 10
6 0 10
12 10
4 10,
VV V
V k q
d
V
a
b
n
n
b
n
� � �
� � � � �
�
�
�
� ��
�
�
�
9 0 10
9 10
12 10
4 0 10
12 10
2
1
9
9
2
9
,
, 114 10
1 9
9 10
12 10
13 0 10
2
1
9
9
�
�
�
�
�
�
� � �
� � � � �
�
�
�
�
�
V kV
V k q
d
V
b
c
n
n
c
n
,
,
��
�
��
� �
�
�
�
�
�
�
� � �2
9
2
12 10
13 0 10
0
,
Vc
Importante!
Que dipolos elétricos são especialmente importantes na natureza e Engenharia? 
Veja mais em: https://goo.gl/VWnuG6
Você Sabia?
16
17
Gradiente do Potencial
Vimos que o potencial elétrico é uma grandeza física que se relaciona com di-
versas outras, tais como a energia potencial elétrica, o trabalho da força elétrica, 
a própria força elétrica e por último – mas não menos relevante – o campo elétri-
co. Em tais pontos calculamos o potencial elétrico a partir de um campo elétrico 
uniforme – um campo constante, uniforme em todos os pontos de uma direção, 
e nulo em outra direção. No entanto, nem sempre o campo E
��
 é uniforme, mas 
se alguns pontos forem conhecidos, poderemos obter o valor do potencial, com a 
seguinte equação – já vista:
Va Vb E dl
a
b
� � ��
�� �
Ou:
Va Vb dV dV
a
b
b
a
� � � ���
As duas integrais devem ter o mesmo valor para qualquer intervalo de limites a 
e b; então:
� �dV E dl
�� �
.
E considerando os componentes para os respectivos potencial e campo elétri-
co, teremos:
–dV = Exdx + Eydy + Ezdz
O campo elétrico será dado pelas derivadas parciais do potencial – visto que é 
escalar –, da seguinte maneira:
ˆˆ ˆV V VE i j k
x y z
 ∂ ∂ ∂
= − + + ∂ ∂ ∂ 

Com essa equação, podemos afirmar que o campo elétrico E
��
 é o gradiente da 
função potencial elétrico; ou seja:
E V
�� � ���
� ��
• Exemplo 6 – retirado de Young e Freedman (2016):
Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V (x, y, z) = 
Axy – Bx2 + Cy; assim:
a) Calcule os componentes x, y e z do campo elétrico;
b) Em quais pontos o campo elétrico é igual a zero?
17
UNIDADE Potencial Elétrico
Resolução:
a) Para calcularmos os componentes do campo elétrico, devemos recorrer 
ao gradiente do potencial:
( ) ( )
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ2
V V VE V i j k
x x x
E Ay Bx i Ax C j
∂ ∂ ∂ = − ∇ = − + + ∂ ∂ ∂ 
 = − − + + 
 

b) Para que o campo elétrico seja nulo, as suas componentes vetoriais 
devem ser nulas; logo, para as coordenadas com:
x C
A
�
�
E:
y BC
A
�
�2
2
18
19
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Física conceitual
HEWITT, P. G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
Física Moderna
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. A. Física Moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 2001.
 Vídeos
Potencial elétrico
https://youtu.be/I_JNumvAr4I
 Leitura
Potencial elétrico
https://goo.gl/VTQ9FS
Energia potencial elétrica
https://goo.gl/gZSJkT
19
UNIDADE Potencial Elétrico
Referências
HEWITT, P. G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
TIPLER, P. A.; LLEWELLYN, R. A. Física Moderna. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 2001.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: eletromagnetismo. v. 3. 14. ed. 
São Paulo: Addison-Wesley, 2016.
______. Física III: eletromagnetismo. v. 3. 12. ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2012.
20