Bizu estratégico de Estatística

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Aula 05
SEFAZ-RJ (Auditor Fiscal) Bizu
Estratégico
Autor:
Elizabeth Menezes de Pinho Alves,
Leonardo Mathias, Diogo Matias
das Neves, Fernanda Harumi
Amaral Jo, Vinícius Peron Fineto,
Guilherme Carvalho
22 11:56:05 de Agosto de 2023
09911777707 - Henio Tamanqueira dos Santos
 
 
 1 
 
BIZU ESTRATÉGICO DE ESTATÍSTICA (SEFAZ-RJ) 
Olá, prezado aluno. Tudo certo? 
Neste material, traremos uma seleção de bizus da disciplina de Estatística para o concurso do 
SEFAZ-RJ. 
O objetivo é proporcionar uma revisão rápida e de alta qualidade aos alunos por meio de tópicos 
que possuem as maiores chances de incidência em prova. 
Todos os bizus destinam-se a alunos que já estejam na fase bem final de revisão (que já 
estudaram bastante o conteúdo teórico da disciplina e, nos últimos dias, precisam revisar por algum 
material bem curto e objetivo). 
 Este bizu foi produzido com base no material da disciplina Estatística da Equipe de Exatas do 
Estratégia. 
 
 Diogo Matias Leonardo Mathias 
 @oprimoconcursado @profleomathias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANÁLISE ESTATÍSTICA 
 
Pessoal, segue abaixo uma análise estatística dos assuntos mais exigidos pela Banca Cebraspe, FCC e 
FGV, no âmbito da disciplina de Estatística, em concursos da Área Fiscal. 
Estatística (Foram encontradas 138 questões) 
Assunto 
Quantidade de 
questões % de cobrança 
Estatística Descritiva 32 
 
23,19% 
Probabilidade 25 
 
18,12% 
Distribuições Discretas de Probabilidade 23 
 
16,67% 
Análise Combinatória 20 
 
14,49% 
Regressão Linear Simples 14 
 
10,14% 
 
 
* Análise realizada em provas aplicadas entre os anos de 2013 a 2023 
 
 
Com essa análise, podemos verificar quais são os temas mais exigidos pelas bancas Cebraspe, FCC e FGV 
e, através disso, focaremos nos principais pontos em nossa revisão! 
 
A disciplina Estatística no último Edital do concurso da SEFAZ-RJ para o cargo de Auditor Fiscal abordou 
o seguinte conteúdo programático: 
 
1. Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de posição e de variabilidade. 2. Técnicas de 
Contagem e Análise Combinatória. 3. Proporções e regras de proporcionalidade de grandezas; 4. 
Combinações, Arranjos e Permutação. 5. Espaço amostral e probabilidades: conceito, axiomas; 6. 
Distribuições de probabilidades discretas e contínuas (Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, 
Quiquadrado, T-Student). 7. Amostragem: amostras casuais e não casuais. 8. Processos de amostragem, 
incluindo estimativas de parâmetros. 9. Inferência: intervalos de confiança. 10. Testes de hipóteses para 
médias e proporções. 11. Correlação e Regressão Linear simples. 
 
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Estatística – SEFAZ-RJ 
Assunto Bizus Caderno de Questões 
Estatística Descritiva 1 a 6 
 
http://questo.es/4oie89 
Probabilidade 7 a 10 
 
 
http://questo.es/3ed8s5 
Distribuições Discretas de Probabilidade 11 a 13 
Análise Combinatória 14 a 17 
http://questo.es/prnb4c 
Regressão Linear Simples 18 a 19 
http://questo.es/h1arcz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação 
É com imensa satisfação que terei o privilégio de acompanhar a sua jornada rumo à aprovação. Antes de 
mais nada, permita-me uma breve apresentação: 
 
Meu nome é Diogo Matias das Neves, tenho 32 anos, sou formado em Administração pela 
Universidade Católica de Pernambuco (2013) e sou natural de Recife/PE. 
 
Atualmente, moro em São Paulo em virtude do exercício do cargo de Auditor de Controle Externo 
no Tribunal de Contas do Estado de São Paulo (TCE-SP), tendo sido aprovado no último certame 
realizado em 2017. 
 
Também fui aprovado nas vagas no último concurso da Polícia Federal para o cargo de Agente de 
Polícia Federal, além das aprovações em 30º para Auditor do Estado do RS (CAGE-RS) e também 
30º no de Auditor de Controle Externo do TCM-BA. 
 
Tentarei utilizar da minha experiência de mais de 5 anos estudando para concursos e conquistando 
aprovações em diversas áreas para auxiliá-lo(a) na preparação desse almejado concurso. 
 
 
 
Diogo Matias das Neves 
 
 
 
 
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Estatística Descritiva 
1) Conceitos iniciais 
 
 
 
2) Dados estatísticos 
 
✓ Os dados brutos são aqueles que não foram numericamente organizados em ordem crescente 
ou decrescente, ou seja, estão na forma como foram coletados. 
 
 
POPULACAO CENSO
4>CONJUNTO de TODOS os elementos a
serem estudados, qua apresentam uma
ou mais caracteristicas em comum.
E5TUDO dos dados relativos a TODOS os
ELEMENTOS da uma popula^ao.
AMOSTRA AMOSTRAGEM
4SUBCONJUNTO extraido DA POPULACAO
para analise, devendo ser representative
daquele grupo
PROCESSO que consiste na sele^ao
criterlosa dos elementos a serem
submetidos a investiga^ao.
PARAMETROS ESTATfSTICAS
* Medidas numericas extraidas de
AMOSTRAS representativas extraidas da
popula^ao.
Describes numericas de caracterfsticas
da POPULACAO, que normalmente
precisam ser estimadas.
Tempo Tempo Tempo Tempo Tempo
21 311 143 11 113 170 124 41 105
2 12 143 22 158 32 137 42
153 43
142 154
3 161 13 159 23 123 33 99
126 14 168 24 96 34 129 44 1144
5 134 15 123 25 98 35 148 45 161
6 137 16 135 26 135 36 173 46 128
7 17 135 27 129 37 126 47171 175
8 85 18 175 28 126 38 104 48 137
9 19 29 39 49 165155 115 103 157
10 20 89 30 40 127 50171 171 115
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✓ O rol é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente. Com 
os dados organizados em rol, podemos saber, com facilidade, qual o menor e o maior elemento 
de um conjunto de dados. 
 
 
 
 
 
 
 
3) Variáveis Estatísticas 
 
 
 
 
Rol (em ordem crescente}
85 115 129 143 161
89 115 129 143 165
96 123 134 148 168
98 123 135 153 170
99 124 135 154 171
103 126 135 155 171
104 126 137 157 171
105 126 137 158 173
113 127 137 159 175
114 128 142 161 175
Os valores nao sao organizados por ordem de grandeza
crescente ou decrescente.
Brutosr>
^
Fornece poucas informagdes uteis ao leitor (tabela
primitiva).
Os valores s5o organizados por ordem de grandeza em
crescente ou decrescente.
Rol
Facilita a identificagao dos valores maximo e minimo.
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Os resultados obtidos
^ ordenados/hierarquizados.
nao podem ser
Nominais
Ex:cor dos olhos; esporte praticado.
Qualitativas
resultados obtidos
ordenados/hierarquizados.
podem ser
Ordinais-
Ex: nivel de escolaridade.
Variaveis
Os possiveis valores formam um conjunto finito ou
enumeravel; resultam de contagem.
Discretas
Ex:numero de leitos por cidade; idade.*•
Quantitativas
^
Os possiveis valores formam um intervalo de numeros
"'j reais; resultam de mensura^ao.
Continuas
Ex:peso; altura.*
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4) Séries Estatísticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tambem chamadas de HISTORICAS ou EVOLUTIVAS.
Enquanto o TEMPO varia, o fato investigado e o loca
permanecem constantes.
Tambem chamadas de ESPACIAIS ou de LOCALIZACAO.
Enquanto o LOCAL varia, o fato investigado e o tempo
permanecem constantes.
Tambem chamadas de CATEGORICAS.
Enquanto o FATO investigado varia, a epoca e o local
permanecem constantes.
Combinagao de duas ou mais series.
Tabelas de dupla entrada
Se for uma serie mista de FATO e TEMPO,
denominaremos de serie especi'fico-temporal.
Se tivermos uma serie mista de LOCAL e TEMPO,
denominaremos de s£rie geografica-temporal.
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5) Conceitos de distribuições de frequências 
 
 
 
 
 
 
 
Definigao Si'mbolos e FormulasItem
k = 1 + 3,3 x log n
As classes sao os intervalos nos quais o
fenomeno e subdividido.
Numero de
Classes
ou
k = yfn
hnf e IsupCorrespondem aos valores extremos.Limites de Classe
Distancia entre os limites inferiores (ou
superiores) de classes consecutivas.
Amplitude de um
Intervalo de Classe
h — Isup hnf
Diferen^a entre o limite superior da ultima
classe (limite superior maximo) e o limite
inferior da primeira classe (limite inferior
mmimo).
AT — Imax Imin
AT = hxkAmplitude total
( hnf hup )
PM = 2
Media aritmetica simples dos valores
extremos de uma classe. PM — llnf + —
h
PM = l̂ p — —
Ponto Medio
Numero de observances correspondentes a
uma determinada classe ou a um
determinado valor.
Frequencia
Absoluta Simples fi
Frequencia
Absoluta
Acumulada
Total das frequences de todos os valores
inferiores ao limite superior do intervalo de
uma dada classe
fact - A + /2 +/3 + •"+ fi
ft fiProporgao de dados existentes em uma
determinada classe.
Frequencia
Relativa Simples F‘ If , ~ n
Frequencia
Relativa
Acumulada
Propornao de valores inferiores ao limite
superior do intervalo de uma dada classe. PaCi - Fi + F2 + P3 + •”+ Fi
fQuociente entre a frequencia da classe
(absoluta ou relativa) e sua amplitude
Densidade de
Frequencia
d - h
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➢ Vejamos como esse assunto foi cobrado no último certame: 
 
(FCC/2013 – SEFAZ-RJ ) O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez um levantamento 
dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 400 funcionários, obtendo os seguintes 
resultados: 
 
 
 
 
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo 
método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400 
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em 
um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a 
 
a) 8,72 
b) 8,54 
c) 8,83 
d) 8,62 
e) 8,93 
 
 
Solução e comentários: 
 
 
 Como a população é de 400 elementos, logo na mediana (8,8) haverá 200 elementos (*). 
 
Até o intervalo de classe (6 |--- 8) a frequência acumulada será de 148 (48 + 100) elementos. 
Já no intervalo (8 |--- 10) há x elementos, porém, de (*), podemos afirmar que de (8 |--- 8,8) há 
52 (200 - 148) elementos. 
 
Logo x será: 
 
Amplitude Frequência Acumulada 
 2 ---------------------- x 
 0,8 -------------------- 52 
 
 x = 130 
Sal& riO$ (cm nOmcro de SM) Frequencia absolute
6 4a4
6 a 100
a 10 x
10 12 y
12 16 40
400Total
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A diferença (130 - 52 = 78) faz parte da outra metade dos elementos. Logo: 
 
 78 + Y + 40 = 200 
 Y = 82 
 
Ponto médio de cada intervalo de classe: 
• 1º intervalo: (6 + 4) / 2 = 5 
• 2º intervalo: (8 + 6) / 2 = 7 
• 3º intervalo: (10 + 8) / 2 = 9 
• 4º intervalo: (12 + 10) / 2 = 11 
• 5º intervalo: (16 + 12) / 2 = 14 
 
variável auxiliar: d = (X - 9) / 2 
 
Assim, cada intervalo ficará: 
• 1º intervalo: (5 - 9) / 2 = - 2 
• 2º intervalo: (7 - 9) / 2 = - 1 
• 3º intervalo: (9 - 9) / 2 = 0 
• 4º intervalo: (11 - 9) / 2 = 1 
• 5º intervalo: (14 - 9) / 2 = 2,5 
 
d x fi: 
• 1º intervalo: - 2 x 48 = -96 
• 2º intervalo: - 1 x 100 = -100 
• 3º intervalo: = 0 
• 4º intervalo: 1 x 82 = 82 
• 5º intervalo: 2,5 x 40 = 100 
 
Média de d = -14 / 400 
 
Como d = (X - 9) / 2, temos: 
 
(-14 / 400) = (X - 9) / 2 
(-28 / 400) = (X - 9) 
 
X = 8,93 
 
 
 
 
 
 
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6) Gráficos 
 
 
 
Grafico Definigao
O grafico de hastes ou bastoes e muito utilizado para
representar dados nao agrupados em classes,o que
normalmente ocorre com dados discretos.
I ,„ I
0 histograma e um grafico destinado a representar dados
agrupados em dasse, sendo composto por um conjunto de
retangulos contiguos (justapostos).
A poligonal caracteristica e construida utilizando apenas os
contornos do histograma.
O poligono de frequences e um grafico em linha obtido por
meio da liga^ao,por segmentos de reta,dos pontos medios
das bases superiores dos retangulos de um histograma.
A curva de frequencias e obtida a partir do polimento de um
poligono de frequencias.
O grafico de ogiva e empregado na representagao de
distribui0es de frequencias acumuladas, sejam elas
crescentes ou decrescentes
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==bbbca==
 
 
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Probabilidade 
7) Probabilidade – definições básicas e axiomas 
 
• Espaço Amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
• Evento: é todo subconjunto do espaço amostral. 
o Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
o Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
• Probabilidade = número de casos favoráveis / número de casos possíveis 
• União de dois eventos: denotado por A ∪ B e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos 
ocorrerem. Podemos dizer que A ∪ B ocorrese e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem. 
o Se A ∪ B = U, dizemos que A e B são eventos exaustivos. 
• Interseção de dois eventos: denotado por A ∩ B e ocorre se e somente se os dois eventos ocorrerem 
(A e B ocorrerem). 
o Se A∩B = ∅, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos (ou excludentes). 
• Complementar de um evento: denotado por A e ocorre se e somente se não ocorre A. 
• Definições Axiomáticas e Propriedades (sejam A e B eventos quaisquer): 
o Se A é um evento qualquer, então 0 ≤ P(A) ≤ 1 
o Se A é um evento qualquer, então P(A) + P(A ) = 1 
o P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A∩B) 
o P (A) ≥ 0 ; sempre 
o P (U) = 1 ; sempre 
o Se A e B são eventos mutuamente excludentes (A∩B = ∅), então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 
8) Probabilidade – definições básicas e axiomas – análise combinatória 
 
• Arranjo: An,k=n!n-k! 
• Permutação Simples: Pn = n! 
• Permutação com Elementos Repetidos: Pn'ab=n!a !b! 
• Permutação Circular: PCn = (n – 1)! 
• Combinação Simples: Cn,p= np=n!p!n-p! 
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9) 3) Probabilidade – Probabilidade Condicional e Independência 
 
Probabilidade condicional: PA= P (A ∩ B)P (A) 
• Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os 
eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) 
• Os eventos A, B e C são independentes se e somente se: 
 
 
 
 
10) 4) Probabilidade – Variáveis aleatórias discretas e contínuas 
 
• Variável aleatória (v.a.): é uma variável que é associada a uma distribuição de probabilidade. 
• Variável aleatória discreta: pode assumir apenas certos valores, usualmente números 
racionais, e resultam basicamente de contagens. Os possíveis resultados no lançamento de um 
dado são limitados e servem como exemplo de variável aleatória discreta. Os valores das 
variáveis estão restritos a apenas certos números: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
• Variável aleatória contínua: resulta de uma medida e pode assumir qualquer valor dentro de 
um dado intervalo. Como exemplo, em um carregamento de garrafas de água, os pesos podem 
 
➢ Vejamos como o assunto probabilidade foi cobrado no último certame. 
 
(FCC/2013 – SEFAZ-RJ ) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse 
lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra 
conter no máximo um artigo bom é: 
 
a) 13/100 
b) 13/55 
c) 7/55 
d) 9/110 
e) 9/55 
PG4 n B ) = P( A) P( B )
P( A nc) = P( A) P(C)
PCS n c) = P(B) P(C)
PU n B n c) = P04) • P(B) • P(C)
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Solução e comentários: 
 
Pelo enunciado, temos o seguinte espaço amostral: 
BBB, BDD, DBD, DDB, BBD, DBB, DDD. 
 
Máximo de um artigo bom: BDD, DBD, DDB, DDD. 
 
P(BDD) = P(DBD) = P(DDB) = 4/55 
 
P(DDD) = 1/55 
 
P(máximo um B) = P(BDD) + P(DBD) + P(DDB) + P(DDD)= 4/55 + 4/55 + 4/55 + 1/55 = 13/55 
 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
11) Distribuições Uniformes 
 
Distribuições uniformes são aquelas cujos possíveis resultados são equiprováveis, como o 
lançamento de uma moeda equilibrada ou de um dado equilibrado; ou o sorteio de um elemento 
quando as probabilidades de todos os elementos serem sorteados forem iguais. 
Para distribuições uniformes, havendo um total de 𝑁 elementos, a probabilidade de cada valor 𝑋 = 𝑥 
é calculada como: 
 
Para calcular a esperança matemática dessa distribuição, vamos lembrar a fórmula da esperança: 
 
 
 
 
Ou seja, a esperança matemática da distribuição uniforme corresponde à média aritmética dos 
valores de 𝑋. 
1
P(X = x) =-N
E(X ) = *)
Como P( X = x) = jj para uma distribuigao unifomne, entao a esperanga dessa distribuigao e:
E(X ) = %
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 16 
 
Para o exemplo do dado, a esperança é: 
 
 
Para calcular a variância dessa distribuição, vamos lembrar a fórmula da variância: 
 
 
 
Sabemos calcular E(X), então basta elevá-la ao quadrado para calcular [𝐸(𝑋)]² . Já o valor de 𝐸(𝑋²) é 
definido como: 
 
 
 
 
 
Ou seja, 𝐸(𝑋²) é a média aritmética dos valores de 𝑋². 
Para o exemplo do dado, o valor de 𝐸(𝑋²) é: 
 
 
Logo, a variância será a diferença 
 
 
12) Distribuição De Bernoulli 
 
Uma variável aleatória discreta 𝑋 com Distribuição de Bernoulli assume apenas 2 valores possíveis, 
0 ou 1, em um experimento realizado uma única vez. Esse experimento é chamado de Ensaio de 
Bernoulli. Um exemplo clássico dessa distribuição é o lançamento de uma moeda, que estamos 
vendo ao longo dos nossos estudos. 
 
Como há apenas 2 resultados possíveis, as probabilidades de sucesso e de fracasso são 
complementares, isto é, a soma dessas 2 probabilidades é igual a 1: 
 
1 + 2 + 3 +4+ 5 +6 21 _ 7
~
6 ~ 2
E(X)= 6
V(X)= E(_X2)-[E(*)]2
E(X2)=^x2.P(X = x)
Como P(X = x)=-para uma distribuigao uniforme, entao, para essa distribuigao, temos:
l2 + 22 + 32 + 42 + 52 +62 1 +4+9 + 16 + 25 + 36 91
Em =
6 6 6
91 _ /7\2 _ 91 _ 49
T \2/
~ ~
6 4
~
182-147 35
V{X)= E(X2)-[E(X)]2 = 12 12
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 17 
 
 
 
 
 
Agora, vamos calcular a esperança matemática da distribuição de Bernoulli. A fórmula geral da 
esperança é: 
 
 
 
Para calcular a variância, primeiro calculamos 𝐸(X²): 
 
 
 
Logo, a variância é: 
 
 
 
 
13) Distribuição Binomial 
 
Quando repetimos um mesmo Ensaio de Bernoulli (isto é, o experimento com 2 resultados 
possíveis), damos origem à Distribuição Binomial. 
p + q =i
q = l - p
Um mesmo experimento pode estar associado a variaveis aleatorias com
distributes distintas de probabilidade. O langamento de um dado,por exemplo,
pode estar associado a uma variavel uniforme, com 6 valores equiprovaveis; ou a
distributes de Bernoulli com parametros distintos; dentre outras distributes
possiveis.
£(J0 =^x. P( X = x )
E(X) = 0 x q + l x p
E(X ) = p
E { X 2 ) =^x2. P( X = x )
E(X 2 ) = 0 2 x q + 1 2 x p
E( X 2 ) = p
V {X ) = E {X 2 ) - [E {X )]2
V (X ) = p - p2 = p(l-p)
V( X ) = p.q
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 18 
 
Mais precisamente, 𝒏 repetições independentes de um Ensaio de Bernoulli, com a mesma 
probabilidade de sucesso, resultam na Distribuição Binomial. O conceito de repetições 
independentes significa que o resultado de um experimento não afeta o resultado de outro. 
 
Generalizando, para 𝒏 repetições, vamos calcular a probabilidade de obter 𝒌 sucessos, por 
exemplo, nas primeiras 𝒌 tentativas e, portanto, 𝒏 − 𝒌 fracassos nas demais tentativas: 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Combinatória 
 
14) Princípios Fundamentais da Contagem 
 
 Princípio Multiplicativo 
 
 
 
Podemos extrapolar esse princípio para qualquer número de eventos. Ou seja, setivermos um 
terceiro evento C que ocorre de p maneiras diferentes, então o número de maneiras diferentes de 
os eventos A, B e C ocorrerem é m x n x p. 
 
 
p X p X X p X q X q X ... X q = p k X qn-k
k vezes 7i- k vezes
n!Cn,k — (n-k )\ xk l
Logo, a probabilidade de ter exatamente k sucessos (e, portanto, n — k fracassos) e o produto da
probabilidade pk x qn~k com a combinagao Cnk .
PCX = It) = cnrk x p k x qn~k
Se um evento A ocorre de m maneiras diferentes e se, para cada uma dessas
maneiras, um outro evento B ocorre de n maneiras diferentes, entao o numero de
maneiras diferentes de ambos os eventos (A e B) ocorrerem e m x n.
Generalizando, para n eventos, com pi possibilidades para o evento Ai, P2
possibilidades para o evento A2, ... e p„ possibilidades para o evento A,, entao o
numero de maneiras de todos os n eventos ocorrerem e:
P(Ai e A2 e ... e A) = pix p2 x ...x p„
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Contagem de Divisores 
 
Com base no princípio multiplicativo, é possível calcular a quantidade de divisores de um número 
natural. O primeiro passo é fatorar o número natural em números primos. Para exemplificar, vamos 
trabalhar com o número 60. Podemos calcular os divisores primos da seguinte forma: 
 
 
Assim, podemos representar o número 60, a partir dos seus divisores primos, da seguinte forma: 
 
Todos os divisores de um número são compostos do produto de um conjunto dos seus divisores 
primos. Por exemplo, o número 15 é produto de 3 e 5, podendo ser representado da seguinte forma: 
 
 
De maneira geral, todos os divisores de 60, que podemos denotar por 𝑑$% , podem ser 
representados da seguinte forma: 
 
 
Logo, as possibilidades para cada expoente são: 
• 𝑥: 0, 1 ou 2 (3 possibilidades); 
• 𝑦: 0 ou 1 (2 possibilidades); 
• 𝑧: 0 ou 1 (2 possibilidades) 
 
Pelo princípio multiplicativo, devemos multiplicar as possibilidades desses eventos para encontrar o 
número de possibilidades, no total: 3 x 2 x 2 = 12 
 
Logo, há 12 divisores de 60 
 
60 2
30 2
15 3
5 5
1
60 = 22 x 31 x 51
15 = 2° x 31 x 51
d60 = Z x x 3y x 5X, sendo x < 1,y <1,2 < 1
Observe que os expoentes dos divisores primos de 60 eram 2, 1 e 1, e os valores
multiplicados para encontrar o numero de divisores forann 3, 2 e 2.
Portanto, basta somar 1 a cada expoente e multiplicados:
Numero de Divisores = (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 x 2
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 20 
 
 
Princípio Aditivo 
 
 
Em suma, quando ocorrem ambos eventos (A e B), multiplicamos as possibilidades de cada evento 
(princípio multiplicativo); quando ocorre somente um dos eventos (A ou B), somamos as 
possibilidades de cada evento (princípio aditivo). 
 
 
 
 
 
 
Casa dos Pombos 
 
Se o evento A ocorre de m maneiras diferentes e o evento S ocorre de n mane
'
tras
diferentes, e se A e S sao mutuamente exdusivos (ou seja, se um ocorrer o outro
nao ocorre), entao o numero de maneiras de ocorrer um dos eventos (A ou B) e m
+ n.
Havendo n eventos mutuamente exclusivos, com pi possibilidades para o evento
Ai, P2 possibilidades para o evento Az, ... e p„ possibilidades para o evento An,
entao o numero de maneiras um dos n eventos ocorrer e:
P(Ai OUA2 OU ... OU An) = pi + P2 + ... + Pn
> Principio Multiplicative: n(A) x n(B)Eventos Concomitantes: A e B
Eventos Excludentes: A ou B Princfpio Aditivo:n(A) + n(B)>
Agora,vejamos ver um exemplo combinando esses dois prindpios.
Vamos considerar que Maria precisa se vestir e se calcar, dispondo de 4 vestidos,
2 saias, 3 blusas e 5 sapatos. Nesse caso,Maria ira colocar um vestido (evento A)
OU um conjunto de saia (evento B) e blusa (evento C). De uma forma ou de outra,
ira colocar TAMB^M um sapato (evento D).
Nessa situagao, temos:
Os eventos B (saia) e C (blusa) sao concomitantes-principio multiplicativo:
2 x 3 = 6 possibilidades;
Os eventos A (vestido) e (i) (saia e blusa) sao excludentes-princfpio aditivo:
4 + 6 = 10 possibilidades;
Os eventos D (sapato) e (iii) (saia e blusa ou vestido) sao concomitantes -
princfpio multiplicativo: 5 x 10 = 50 possibilidades.
i)
ii)
iii)
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 21 
 
 
 
15) Fatorial de um número natural 
 
O fatorial de um número natural (como 0, 1, 2, 3, ...) é representado como: 
 
 
Por exemplo: 
2! = 2 x 1 = 2 
3! = 3 x 2 x 1 = 6 
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 
 
 
Agora, vejamos dois casos especiais do fatorial. O fatorial de 1 pode ser entendido pela própria 
definição de fatorial. Como não há número inteiro positivo menor do que 1, apenas igual, então esse 
será o único fator: 
1! = 1 
O segundo caso especial é 0! Você pode considerar como convenção o seguinte resultado: 
0! = 1 
 
 
16) Permutação 
 
As técnicas de permutação permitem calcular as diferentes possibilidades de se ordenar elementos. 
 
Permutação Simples 
 
 
Ex: 
Se n pombos devem se abrigar em m casas e se n > m,entao pelo menos uma
casa ira conter mats de um pombo.
n!
O fatorial representa o produto de todos os numeros inteiros positivos menores
ou iguais aquele numero, conforme indicado a seguir:
n! = n x(n-1)x(n-2)x ...x 2 x 1
Portanto, a permutagao simples de n elementos distintos Pn, isto e, o numero de
possibilidades de ordenar n elementos distintos, e dada por:
Pn =n!
P3 = 3! = 3 x 2 x l = 6
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Permutação Simples com Restrição 
 
É possível que algumas questões de permutações imponham determinadas restrições. Nesses casos, 
nem todos os elementos poderão permutar livremente, o que exige mais atenção para resolver a 
questão. 
 
 
Na permutação simples com restrição, (i) podemos designar posições para determinados elementos 
ou (ii) podemos determinar elementos a permanecerem juntos. 
 
i) Quando designamos posições, devemos permutar os demais elementos. 
 
i.a) Havendo p elementos fixos em determinadas posições, dentre n elementos no 
total, devemos permutar n – p elementos: 
 
 
 
i.b) Caso os p elementos possam ser reordenados dentre as posições designadas, 
devemos multiplicar o resultado anterior pela permutação de p elementos: 
 
 
ii) Quando determinamos elementos a permanecerem juntos, devemos considerá- 
los como elementos único e permutar esse novo elemento junto aos demais. 
 
ii.a) Havendo j elementos que deverão permanecer juntos em determinada ordem, 
dentre n elementos no total, devemos permutar os demais n – j elementos 
acrescidos de 1 unidade, a qual corresponde ao conjunto dos j elementos: 
 
 
 
i.b) Se os j elementos que deverão permanecer juntos puderem ser reordenados 
entre si, devemos multiplicar o resultado anterior pela permutação de j elementos: 
 
 
 
 
Permutação com repetição 
 
Pn-p - (n- p)!
Pn-p x Pp = (n- p)! x p!
Pn-j+i — (n- j + 1)!
Pn-j+ixPj = {n- j + 1)! x j!
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Permutação circular 
 
 
 
 
 
17) Arranjo e Combinação 
 
As técnicas que veremos nesta seção (arranjo e combinação) trabalham com a seleção de um 
subconjunto dos elementos. A ordem dos elementos selecionados será relevante para o arranjo, mas 
não para a combinação. Em outras palavras, selecionar os elementos A e B ou os elementos B e A 
são possibilidades distintas para o arranjo, porém equivalentes para a combinação. 
 
Arranjo Simples 
 
O arranjo de um conjunto finito de elementos é um subconjunto desses elementos, de tal maneira 
que a sua ordenação seja relevante. 
 
 
 
Ex.: Suponha que existam 6 pessoas em um sorteio, em que 3 delas serão sorteadas, não sendo 
possível sortear a mesma pessoa mais de uma vez. Considerando a ordem relevante, de quantas 
formas 3 pessoas poderão ser sorteadas? 
 
Como ocorrerão os três sorteios, pelo princípio multiplicativo, devemos multiplicar as 
possibilidades de cada evento. Dessa forma, o resultado desse arranjo é: 
De modo geral, sendo n elementos totals, com m1 , m2,...,mk elementos distintos
repetidos, a permutagao desses elementos e dada por:
n!pTHi,m2 ntk _
m1!xm2!x ...xm*!
Em geral,como fixamos um dos elementos,a permutagao circular denelementos,
indicada por PCn, e:
PC„ = (n — 1)!
Para o caso geral de um arranjo sem reposigao de k elementos, em um conjunto
de n elementos distintos, temos:
A w!
n k (n—It)!
Outra notagao possivel para o arranjo e A„.
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6 x 5 x 4 
 
No caso de 𝒌 = 𝟒 sorteios para um conjunto de 𝒏 = 𝟏𝟎 pessoas, fazemos 
 
 
 
 
Combinação Simples 
 
Assim como no caso do arranjo, a combinação é uma seleção de elementos de um conjunto finito. 
Entretanto, para a combinação, a ordem não importa. Por exemplo, em um sorteio de participantes 
para um grupo de estudo, a ordem do sorteio de cada participante é 
irrelevante. 
 
 
 
10! 1 0! 1 0 x 9 x 8 x 7 x 6!
= 1 0 x 9 x 8 x 7 = 5.040(1 0 - 4)’ 6 ' 6!
A formula de arranjo que acabamos de ver serve para casos sem reposigao, ou
seja, quando um mesmo elemento nao puder ser selecionado mais de uma vez.
Caso haja reposigao, o numero de elementos dispomveis para cada sorteio e
sempre o mesmo. Por exemplo, em uma selegao, cuja ordem importe, de 3
elementos, dentre 6 elementos disponfveis no total, com reposigao, o numero de
possibilidades e:
6 x 6 x 6 = 63
De modo geral, o arranjo com reposigao (ou repetigao) de k elementos dentre n
elementos no total e dado por:
Ank =n x n x x w = nk
kvezes
De maneira geral, a combinagao sem reposigao de k elementos,de um total de n
elementos,e dada por:
f* An.kLn,k ~
Pk (n-fc)!fc!
Outras notagoes comuns para a combinagao sao Ck ou .
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Regressão Linear Simples 
18) Conceitos 
 
✓ A regressão simples é uma continuação do conceito de correlação/covariância. A regressão tenta 
explicar a relação de uma variável chamada dependente, usando outra variável chamada 
independente. 
 
✓ Na regressão linear simples queremos calcular a expressão matemática que relaciona Y (variável 
dependente) em função de X (variável independente). Como estamos falando de regressão linear 
simples, trata-se da equação que representa uma reta. Essa equação pode ser escrita como: 
 
 
 
✓ O coeficiente 𝑚 é conhecido como taxa de variação ou coeficiente angular da reta. Esse 
coeficiente indica que uma função é crescente se 𝒎 > 𝟎; decrescente se 𝒎 < 𝟎; ou constante 
se 𝒎 = 𝟎. Para uma reta que passa pelos pontos (𝑥0, 𝑦0) e (𝑥, 𝑦), o coeficiente angular é 
expresso por: 
 
 
 
 
 
 
✓ O coeficiente b é conhecido como coeficiente linear da reta e determina o ponto em que a reta 
intercepta o eixo 𝑦. Vamos calcular a reta apresentada na figura abaixo, que passa pelos pontos (2, 
7) e (4, 11) 
 
 
y — TM x + b
y - yo
m = -—Ax x — x0
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O coeficiente angular da reta (𝒎) é o quociente entre a variação de 𝑦 e a variação de 𝑥. Podemos 
escolher qualquer um dos pontos como referência para o cálculo da variação, desde que tenhamos 
atenção na hora de aplicar os dados na fórmula. A ordem a ser considerada é sempre 𝑥 − 𝑥0 e 𝑦 − 𝑦0, 
em que 𝑥0 e 𝑦0 são as coordenadas do ponto tomado como referência. Assim, se adotarmos o ponto 
(2,7) como referência, teremos: 
 
 
 
Dessa forma, a equação da reta fica: 
 
 
Para calcular o valor de 𝑏, podemos usar qualquer ponto da reta, a exemplo de (2, 7) 
 
7 = 2 ∙ 2 + 𝑏 
7 = 4 + 𝑏 
𝑏 = 3 
 
Logo, a expressão que representa nossa reta nesse exemplo é: 
 
𝑦 = 2 ∙ 𝑥 + 3 
 
A y 1 1- 7
= 2m = —
A x 4 - 2
y = m x -\- b
y = 2 x + b
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Como 𝑏 = 3, a reta intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0, 3). Vejamos: 
 
 
 
 
Observe: 
 
 
Em que 𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛. 
O termo 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 é o componente de 𝑌𝑖 que varia linearmente, de acordo com 𝑋𝑖. Por sua vez, 𝜀𝑖 é 
o componente aleatório de 𝑌𝑖 que descreve os erros (ou desvios) cometidos quando tentamos 
aproximar uma série de observações 𝑋𝑖 por meio de uma reta 𝑌𝑖. 
 
Nesse modelo, 𝑌𝑖 é a variável cujo comportamento desejamos prever ou explicar, sendo chamada 
de variável dependente ou resposta. Por outro lado, a variável 𝑋𝑖 é utilizada para explicar o 
comportamento de 𝑌𝑖, sendo conhecida como independente, regressora, explanatória ou 
explicativa. 
 
O modelo de regressão linear requer que sejam atendidos alguns pressupostos básicos quanto à 
variável aleatória 𝜀𝑖 (erro ou desvio) 
 
i) 𝑬(𝜺𝒊) = 𝟎. A média dos erros é igual a zero. Ou seja, os desvios "para cima da reta" igualam o valor 
dos desvios "para baixo da reta" na média. 
 
ii) 𝑽𝒂𝒓(𝜺𝒊) = 𝝈². A variância dos erros é constante. Essa propriedade é denominada de 
homocedasticia. Isso só é possível se a variável 𝜀𝑖 tiver variância constante. Ou seja, se ela tiver 
Yi — a + pXi + Ei
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sempre a mesma variância, independente de qual o valor de 𝑋𝑖. Quando o modelo apresenta 
variâncias diferentes para o erro, temos uma situação de heterocedasticia. 
 
iii) 𝑪𝒐𝒗(𝜺𝒊, 𝜺𝒋) = 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊 ≠ 𝒋. Os erros cometidos não são correlacionados, isto é, os desvios 𝜺𝒊 são 
variáveis aleatórias independentes. Quando os erros não são independentes, temos uma situação 
denominada de autocorrelação. 
 
 
19) Método dos Mínimos Quadrados 
 
 
 
 
Esse método é empregado na obtenção dos estimadores 𝛼 e 𝛽 de um modelo de regressão linear: 
 
 
 
 
A expressão usada para determinar areta de regressão é: 
 
 
 
 
em que 𝑎 e 𝑏 são as estimativas dos parâmetros 𝛼 e 𝛽, respectivamente. 
Os erros (desvios) resultantes da aplicação do modelo de regressão linear correspondem às 
diferenças entre os valores observados e os valores estimados: 
 
 
 
 
Por esse método, o valor de 𝑏 é dado por: 
 
0 metodo dos mmimos quadrados diz que a reta a ser adotada devera ser aquela que torna minima a soma
dos quadrados das distances da reta aos pontos experimental, medidas no sentido da variagao aleatoria.
Em outras palavras, devemos encontrar uma reta que minimize o somatorio dos quadrados das distancias
Q]f=i e f ).0 objetivo e minimizar a soma dos quadrados dos desvios.
Yt = a + f lXi + et .
Yt = a + bXt
ei = Yi ~ Yt
O objetivo do metodo dos minimos quadrados e minimizar o somatorio dos quadrados dos desvios (Sf=i e f ):
n n
2> =2>-?,)2
i=l 1= 1
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Existem outras formas mais simples de calcular o valor de 𝑏. Para o numerador da fórmula, temos: 
 
 
 
 
Para o denominador da fórmula, temos: 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
A reta de regressão passa pelos pontos médios (𝑋 , 𝑌 ) das variáveis 𝑋 e 𝑌. Isso implica que o valor 
de 𝑎 pode ser calculado substituindo o valor de 𝑏 em: 
 
 
 
 
O coeficiente 𝑏 pode ser calculado por meio da seguinte expressão: 
 
g=i[(Jfj-JQ x(Kj-Y]]
’ - x)2]
n n
=^ftxQ-nxjrxy
t=l t=l
n n
J[(xl-xy] =Y(ri)h h — n X X2
Y.?=i(XjYi)
ZU(Xi)- n x x2
— n X X X Y
a = Y — bx
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 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos ficando por aqui. 
Esperamos que tenha gostado do nosso Bizu! 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 Diogo Matias Leonardo Mathias 
 @oprimoconcursado @profleomathias 
 
5xy
b
$xx
Em que S*y = IJLJ( Xt - X ) x (Yt - ?)] e =HU( X,- X )2.
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