Potenciação e Radiciação

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ân
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, L
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dr
es
UNIDADE 1UNIDADE 
Potenciação e radiciação
1. Revendo a potenciação
Numa estrada, encontrei sete mulheres.
Cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos.
Quantos gatinhos encontrei na estrada?
essa brincadeira, adaptada de um verso do
folclore inglês, pode ser solucionada 
calculando-se:
7  7  7  7  2 401 gatinhos;
 ou, usando a potenciação,
74  2 401 gatinhos.
 nessa potenciação, 7 é a base 
e 4 é o expoente.
Fe
rn
an
do
 F
av
or
et
to
O papiro de Rhind
entrelaçando e colando as hastes das folhas de 
uma planta chamada papiro, os egípcios fabricavam 
artesanalmente um material para nele escrever: um 
ancestral do nosso papel. alguns documentos es-
critos nesse material sobreviveram ao tempo e são 
chamados de papiros.
em 1858, um pesquisador escocês chamado Hen-
ri rhind comprou, no egito, um papiro que, estima-
-se, foi escrito por volta de 1650 a.C. ele contém 
informações sobre o sistema de numeração egípcio, 
conhecimentos de geometria e proporcionalidade, 
problemas e até brincadeiras com números.
Uma dessas brincadeiras cita:
• 7 casas, 49 gatos, 343 ratos e 2401 espigas 
de milho. 
Supõe-se que essa brincadeira tenha inspirado o 
versinho em inglês de que falamos.
trecho do papiro de rhind, que mede 30 cm 
de largura e 5 m de comprimento.
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n fatores iguais a a
Veja exemplos de cálculos de potências:
• 1,52  1,5  1,5  2,25 • 80  1
• (2)5  (2)  (2)  (2)  (2)  (2) 32 • (2,6)0  1
• 
3
7
2  
3
7  
3
7  
9
49 • 43  
1
43  
1
64
• 
7
9
–2
 
9
7
2
 
81
49 
• 
1
5
–3  (5)3
 
 125
Quando a base é um 
número negativo, é 
necessário escrevê-la 
entre parênteses.
Sem parênteses, o 
sinal de negativo será 
aplicado ao resultado 
da potenciação.
Você já trabalhou nos anos anteriores com a potenciação e suas propriedades. Vamos recordar? 
Definições
Considerando que a base é um número real a e o expoente é um número natural n, temos:
an  a  a  a  a …  a para n  1
a1  a; e, para a  0:
a0  1 
an  
1
an  
1
a
n
Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir 
essas definições. Por exemplo, a manutenção de padrões:
Os expoentes diminuem sempre uma unidade.
O quociente entre os valores sucessivos das potências 
é constante e igual a 3.
Veja:
 
1
 
7
9
2
 
 
 
1
49
81
  1  81
49
  81
49
Atenção!
34 33 32 31 30 31 32 33 34
81 27 9 3 1
1
3
1
9
1
27
1
81
: 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3
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Exercícios
Qualquer número 
natural � 0.
	5	 Calcule.
a) 2  8 3
b) 7  49 2 
c) 10  10 000 4
d) 0  0
e) (12)  32 5
f ) (2)  64 6
g) (2)  128 7
h) (3)  9 2
i) (3)  27 3
j) (10)  100 000 5
	1	 Num depósito há 10 caixas, cada caixa 
contém 10 pacotes e cada pacote contém 10 
parafusos. Quantos parafusos há no total?
103  1 000
	3	 Qual é o número maior: 222 ou 222? 222
	2	 Qual é o expoente?
	4	 Complete, no caderno, a tabela que trata da 
área e do perímetro de 5 quadrados diferentes.
a) (7)2 49 b) 72 49
Os resultados são iguais ou diferentes? Por quê? 
	7	 Um gato come 4 ratos por dia. Quantos ra-
tos 4 gatos comem em 4 dias? 64 ratos • 43  64
	6	 Calcule.
a) (3)4 81
b) 34 81
c) 53 125
d) (5)3 125
e) (1,4)2 1,96
f ) 1,42 1,96
	8	 Qual é o valor de a? Responda no caderno.
	9	 Traduza para a linguagem matemática:
a) o quadrado de 5; 52
b) o dobro do quadrado de 5; 2  52
c) o cubo de 5; 53
d) o triplo do cubo de 5. 3 · 53
a) a5  1 1
b) a6  0 0
c) a3  8 2
d) a2  25 5 ou (5)
e) a4  16 2 ou (2)
f ) a2  9 (Cuidado!) não há. 
diferentes. no item a, o (–7) está elevado ao expoente 2, enquanto no 
item b, o 7 está elevado ao expoente 2 e o resultado tem sinal negativo.
Lado 3 7 1,5 1
2 x
Área 9
Perímetro
1
42,2549
12 28 6 2 4x
x2
1 000 
parafusos
Atenção!
Em alguns itens pode 
haver duas respostas.
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1o bloco
2o bloco
3o bloco
chão
 
1
2
3
1
4
2
4
3
1
4
4
2
4
4
3
1
3
1
9
33  27
32  9
31  3
30  1
31  
32  
(3)3  27
(3)2  9
(3)1  3
(3)0  1
(3)1  
(3)2  
1
3
Responda.
a) As potências 31 e (3)1 são iguais ou di-
ferentes? diferentes.
b) As potências 32 e (3)2 são iguais ou di-
ferentes? iguais.
	15	 Calcule. 
1
9
	10	 Seguindo o mesmo padrão de construção 
do prédio abaixo, foi construído outro com 7 
blocos, também numerados de cima para bai-
xo como o da figura. Cada quadradinho tem 
uma janela. Nesse novo prédio, qual é o nú-
mero de janelas do 7o bloco (o mais próximo 
do chão)? 49 janelas • 72  49
	11	 Copie e complete, no caderno, cada uma 
das tabelas utilizando as potências de base 10.
	12	 Calcule.
a) 
 
4
5 
2
 
16
25 
b) 4
5
2 
 
16
5
c)	
 
 3
10 
2
 9
100
 
d) 
 

 
9
8 
2 
 
81
64 
e) 
 

 
1
2 
5 
 
1
32
 
 
f ) 
 

 
1
2 
6 
 1
64
	13	 Um restaurante oferece três tipos de sala-
da, três tipos de carne e três tipos de sobremesa. 
Quantas refeições diferentes podem ser ofereci-
das, se cada uma deve conter uma salada, um 
tipo de carne e uma sobremesa? 27 refeições • 33 27
	14	 Copie e complete os quadros em seu
caderno.
a) 72 1
49
b) 
 
5
7 
2 
 
49
25
c) 
 
2
3 
4 
 
81
16
d) 53 1
125 
e) 
 
2
5 
3 
 125
8
 
 
 
f) 
 
6
3 
1 
 
3
6 
 
 
1
2
kg g
1
10
100
1 000
m cm
1
10
100
1 000
103
104
105
106
102
103
104
105
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2. Propriedades das potências
24 23
Quando multiplicamos potências de 
mesma base, podemos conservar a base e 
somar os expoentes. 
56  54   52
56  54  56 4  52
Quando dividimos potências de mes-
ma base, podemos conservar a base e 
subtrair os expoentes. 
5  5  5  5  5  5
 5  5  5  5
 Para elevar uma potência a um expoente, 
podemos conservar a base e multiplicar os 
expoentes.
Para evitar tantos cálculos, podemos aplicar as propriedades das potências. 
Vamos lembrá-las e depois voltaremos a essa expressão.
Observe:
24  23  2  2  2  2  2  2  2  27
24  23  24 1 3  27
acompanhe exemplos de aplicação dessas propriedades:
• (3)4  (3)6  (3)4 1 6  (3)2 • 
 
69
68
  69  8  61  6
• x2  x3  x9  x2 1 3 1 (9)  x4 (com x � 0) • a5  a9  a5  9  a4 (com a � 0)
• 1,79  1,72  1,79  2  1,77
dessas propriedades decorrem outras:
(74)2  74  74  78, ou seja, (74)2  74  2  78
Finalmente, acompanhe os exemplos:
• (5  3)2  (5  3)  (5  3)  5  5  3  3  52  32
• (x  y2)3  (x  y2)  (x  y2)  (x  y2)  x  x  x  y2  y2  y2  x3  (y2)3  x3  y6
de forma semelhante, na divisão podemos elevar dividendo e divisor ao expoente indicado. 
Veja:
(8  5)3  83  53
 Se a base é uma multiplicação, podemos 
elevar cada fator ao expoente indicado.
Podemos resolver essa expressão 
É, mas sem a
calculadora
teríamos muito
 trabalho!
usando calculadora para obter as potências.
Depois, fazemos as operações indicadas. Lá
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Usando essa forma 
de representação, uma pessoa 
que não fale o nosso idioma, mas que 
conheçaMatemática, saberá que 
listamos as propriedades 
das potências!
 27 3
 9 3
 3 3
 1
27  33
 243 3
 81 3
 27 3
 9 3
 3 3
 1
243  35
Aplicando 
as propriedades das 
potências, economizamos 
cálculos e tempo!
Podemos usar letras para generalizar as propriedades que acabamos de rever.
as bases são números reais a e b diferentes de zero, e os expoentes, números inteiros m e n.
agora, voltando à nossa expressão...
Vamos ver mais um exemplo.
tomemos a expressão 243  38
274
.
 
Seria bastante trabalhoso calcular as potências indicadas. no entanto, podemos simplificar 
a expressão.
Primeiro fatoramos 243 e 27:
Voltando à expressão inicial:
243  38
274
 

 
35  38
(33)4
 
 
35 + 8
33
 

 
4
 
 
313
312
 
 313 – 12  31  3
então,
 
243  38
274
 
 3.
am  an  am + n
am  an  am – n
(am)n  am · n
(a  b)m  am  bm
(a  b)m  am  bm
Ficou mais fácil!
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Exercícios
a) (83)2 = 85 
b) 67 : 6–5 = 62 
c) (5 + 3)2 = 52 + 32 
d) = 10–1 
104
105
e
e
e
C
2400 : 2397
a – i
b – iV
C – ii
d – iii
	16	 O desenho abaixo representa o cruzamen-
to de linhas horizontais com linhas verticais. 
Quantos pontos haveria se tivéssemos 18 li-
nhas horizontais e 18 verticais? 324 pontos
	17	 Transforme numa única potência:
a) 57  52 59
b) a  a4  a a6
c) 7  73  49 76 
d) 710 : 74 76
e) 32 : 35 37
f) 106 : 103 : 10 102
	18	 Certo ou errado? Anote a resposta no ca-
derno.
	19	 No chaveiro representado na figura, são 
guardadas as chaves de um estacionamento. 
Em cada gancho são colocadas 5 chaves. No 
total, quantas chaves podem ser guardadas? 
	20	 Calcule mentalmente o valor de: 23  8
	21	 Relacione, no caderno, as expressões que 
têm o mesmo valor.
A 	7  7  7  7
B 	(72)4
C	 	(52)2
D 	5
2  54
I 	7
3  7
II 	5  5  5 5
III 	(5
2)3
	494
	22	 Simplifique.
a) (72)3
(73)2
 
1 b) (3  52)3
(32  5)2
 
31  54
	23	 Calcule mentalmente o problema. 37 : 35  32
	24	 Quanto é:
a) o dobro de 210? 2  210  211
b) o quádruplo de 210? 4  210  212
c) o quadrado de 210? (210)2  220
d) o cubo de 210? (210)3  230
IV
125 chaves • 53 125
Em uma caixa há 37 lápis. Quan-
tos pacotes, com 35 lápis em 
cada um, vou conseguir embalar? 
(Anote o resultado no caderno.)
9 pacotes
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14 
Exercícios
a) 4 000 4  10³
b) 8 200 000 8,2  106
c) 0,00 7 56 7,56  10–3
d) 0,000 09 9  10–5
a) O coração humano bate cerca de 36 000 000 
de vezes em um ano. 3,6 · 107
b) Há cerca de 60 milhões de células na retina 
do olho humano. 6 · 107
c) A espessura de uma folha de papel é de 
0,005 mm. 5 · 10–3
d) A distância da Terra à Lua é de, aproxima-
damente, 384 400 000 metros. 3,844 · 108
	26	 Escreva, em notação científica, 
os números que aparecem nas frases.
	27	 Escreva, em notação científica, cada 
um dos números que aparecem nas frases.
a) O estádio do Maracanã já acomodou um 
público de 210 000 pessoas. 2,1 · 105
b) O rio Nilo é um dos mais compridos do 
mundo, com 6 695 000 metros de extensão. 
c) Em média, uma célula do corpo humano 
tem massa de 0,000 000 008 grama. 8 · 10–9
Uma aplicação da potenciação – a notação científica
	25	 Escreva os números utilizando notação 
científica.
Provavelmente você já aprendeu a notação científica no 8o ano.
as potências de base 10 são utilizadas para simplificar e padronizar o registro de números. 
a distância entre o planeta Vênus e o Sol é de, aproximadamente, 108 000 000 quilômetros. 
a notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples:
108 000 000 km  1,08  108 km
a vírgula foi deslocada 8 casas para a esquerda: o expoente da potência de base 10 é 8.
Outro exemplo:
Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000 5 milímetro.
na notação científica, 0,000 5 mm  5  104 mm. 
a vírgula foi deslocada 4 casas para a direita: o expoente da potência de base 10 é (4). 
M
eg
um
i/D
re
am
st
im
e.
co
m
 ◆ Estádio do Maracanã, Rio de Janeiro.
Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10 multi-
plicado por uma potência de base 10.
6,695 · 106
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