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Home > Licenciatura Em Matemática Geometria Euclidiana Ii 2022.1 > Fórum (disciplina encerrada)
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Turma: 06 (SOB)
AULA 01 - Fórum 01: Conceitos primitivos e Axiomas
Discussão das dúvidas e questões do portfólio.
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IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 22:37 h
Ângulo entre duas retas
Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos:
Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo:
Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois . O ângulo obtuso será o suplemento de 
 
Fonte:
"Geometria analítica - Retas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 30/03/2022 às 22:35. Disponível na Internet
em https://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas10.php
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 22:35 h
Posições relativas entre retas
Paralelismo
Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.
 
Concorrência
Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:
Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes: 
Perpendicularismo
Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se .
Acompanhe o desenho:
Fonte:
"Geometria analítica - Retas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 30/03/2022 às 22:32. Disponível na Internet
em https://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas9.php
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
28/03/2022 14:55 h
Posições relativas de duas retas 
Duas retas distintas têm no máximo um ponto comum. 
Concorrentes 
Possuem apenas um ponto em comum. 
Paralelas 
Não possuem ponto em comum. 
FRANCISCA JANAINA
Aluno
28/03/2022 20:57 h
2443426
Quando estamos analisando diferentes retas ao mesmo tempo, dependendo da forma que elas se cruzam, podemos dar nomes a esses fenômenos:
Retas paralelas: quando elas não possuem nenhum ponto em comum, estão perfeitamente alinhadas lado a lado. O símbolo usado para
representar é: c // b , ou seja, a reta c é paralela a b.
Retas concorrentes: quando as retas possuem um único ponto em comum, ou seja, se cruzam em um único lugar. Dependendo do
ângulo que formam quando se cruzam, ainda podem ser classificadas em perpendiculares (formam ângulo de 90°)
ou transversais (formam outros ângulos).
Retas coincidentes: são retas que estão sobrepostas, ou seja, possuem todos os pontos em comum. Nesse caso, elas são iguais.
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 22:19 h
2443801
Ainda tem o fato de que elas podem ser perpendiculares, ou seja, essas duas retas podem formar um ângulo de 90°. Exemplo prático disso é no sistema de
coordenadas cartesianas. O cruzamento da reta x com a reta y formam 4 âgulos de 90°.
PAULO RICARDO
Aluno
30/03/2022 14:15 h
2443801
Lembrando que no espaço duas retas podem ser ainda reversas, onde as mesmas não são concorrentes, paralelas ou coincidentes e também não existe um plano
que contenha as duas simultaneamente.
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
30/03/2022 18:51 h
2444626
Alem disso, podemos afirmar que seus vetores diretores também não podem ser paralelos.
FRANCISCA JANAINA
Aluno
30/03/2022 17:28 h
2444626
Complementando o seu raciocínio colega sobre plano e retas, devemos sempre saber que duas retas distintas não podem determinam um
plano, já que elas podem ser reversas e não existe plano que contenha duas retas reversas.
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
29/03/2022 13:23 h
2443801
MUITO BOM JANAINA
SERÁ SE EXISTEM EXEMPLOS PRÁTICOS (FISICA, QUIMICA, ENGENHARIAS etc.) NESSA SUA POSTAGEM DE PARALELO, COINCIDENTES,
CONCORRENTES???? MENCIONEM AQUI.
VAMOS PARTICIPAR...AGUARDO TODOS VCS.
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 21:54 h
Compartilho aqui com vocês um trecho do livro Fundamentos da Geometria, por Fernando Manfio, no qual o autor faz uma referencia histórica sobre a obra Os
Elementos de Euclides. 
 
Os Elementos de Euclides 
Os registros mais antigos que temos de atividades humanas acerca da 
geometria remontam à época das antigas civilizações da Mesopotâmia. Embora o historiador grego Heródoto atribuaaos egípcios o início da geometria, alguns
tabletes de argila datados do período 1900 – 1600 a.C., durante o antigo império babilônico, contêm textos e diagramas indicando algum tipo de familiaridade
desses povos com a geometria, com instâncias do Teorema dePitágoras. Os babilônios, os egípcios e outros povos da Antiguidade que desenvolveram formas
primitivas de geometria, como os hindus e os chineses,eram motivados por necessidades práticas de medições geométricas como, 
por exemplo, a demarcação de terras.
O processo de transição, da geometria como um conjunto de regras impíricas e úteis, aplicadas a casos particulares e cujas justificativas eramaparentemente
negligenciadas, para uma geometria na concepção de ciência, buscando explicações racionais para seus resultados, deve-se aos gregos.Possivelmente, foi um
processo lento e gradual. Vários pensadores gregosvisitaram antigos centros de conhecimento, como o Egito e a Babilônia, e lá adquiriram conhecimentos sobre
matemática e astronomia. Muito pouco se sabe sobre a vida e a obra desses pioneiros.
Tales de Mileto (624 – 547 a.C.) é considerado como sendo o introdutor da geometria na Grécia e o primeiro homem da história a que foram atribuídas
descobertas matemáticas científicas. Com o objetivo de verificar a correção 
dos resultados estabelecidos, ele desenvolveu a primeira geometria lógica. A sistematização iniciada por Tales foi continuada, nos dois séculos seguintes, por
Pitágoras de Samos (569 – 475 a.C.) e seus discípulos. Conta-se que,em suas viagens, Pitágoras teria encontrado Tales e sofrido influência dele e, mais tarde,
Pitágoras teria fundado uma irmandade secreta em Croton, uma colônia grega no sul da Itália, cuja importância é avaliada pelas ideias que difundiu. Pitágoras
buscava na aritmética e na geometria a chave para a compreensão do universo e, devido às suas convicções, é frequentemente 
citado como sendo o primeiro matemático puro da história. Foram os pitagóricos, membros da sua irmandade, que descobriram os números racionais. Platão
(427 – 347 a.C.) nasceu em Atenas, mas acabou tendo contato com a escola pitagórica em suas viagens. Retornando a Atenas, por volta de 389 a.C., fundou sua
famosa Academia e dedicou o resto de sua vida a escrever e ensinar. Embora tenha feito poucos trabalhos originais em matemática, deu 
contribuições profundas na lógica e nos métodos usados em geometria. A ideia grega de usar a matemática para compreender os mistérios do universo dependia
de uma noção de demostração matemática. A percepção 
desse fato é, provavelmente, a primeira descoberta importante na história da ciência. Credita-se a Tales e Pitágoras a introdução dessa noção. Mas é devido a
Platão a compreensão da verdade nesse contexto. Segundo ele, 
tanto as noções como as proposições matemáticas não se referem a objetos do mundo físico, mas a certas entidades ideais que habitam um mundo diferente do
mundo físico. Por exemplo, uma reta que traçamos em uma folha de papel é apenas uma representação, aproximada, da reta que vive em um mundo de ideias
ou, como alguns preferem, em um mundo platônico de entidades ideais. O mesmo se aplica às proposições matemáticas verdadeiras. 
Essa abordagem nos alerta para distinguirmos as noções matemáticas precisas das aproximações que encontramos no mundo físico. Além disso, as proposições
matemáticas que habitam o mundo platônico, ditas verdadeiras, 
estão submetidas a um padrão de objetividade externo que não depende de nossas mentes, opiniões ou processos culturais. 
Euclides (325 – 265 a.C.) provavelmente foi aluno da Academia de Platão e foi o fundador da forte escola matemática de Alexandria, numa época em que
Atenas passava por um momento de declínio político. Sua obra principal, 
os Elementos, consiste de treze volumes que contêm a maior parte da matemática conhecida na época. Trata-se de um texto sistemático, organizado segundo os
critérios de rigor lógico-dedutivo, mas também de experiência intuitiva. O volume I trata de geometria plana e sua construção baseia-se em dez proposições,
separadas em dois grupos: cinco foram classificadas como axiomas e as outras como postulados. À época, os axiomas consistiam basicamente em verdades
aplicáveis a todas as ciências, enquanto que os postulados eram verdades acerca da particular disciplina em estudo, como a geometria.
Os cinco axiomas eram: 
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais entre si. 
2. Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais. 
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais. 
4. Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais. 
5. O todo é maior do que qualquer uma de suas partes. 
Os postulados eram: 
1. Existe uma única reta contendo dois pontos dados. 
2. Todo segmento de reta pode ser estendido indefinidamente em todas as direções. 
3. Existe uma circunferência com quaisquer centro e raio dados. 
4. Todos os ângulos retos são iguais entre si. 
5. Se uma reta intercepta outras duas retas formando ângulos colaterais internos cuja soma é menor do que dois retos, então as duas retas, se estendidas
indefinidamente, interceptam-se no lado no qual estão os ângulos cuja soma é menor do que dois retos. 
 
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
29/03/2022 13:31 h
LEITURA PARA TODOS - USO PRÁTICOS DA GEOMETRIA
https://horadafacul.vestibulares.com.br/faculdades/profissoes-que-utilizam-geometria/
OUTRO: https://profmat.furg.br/images/TCC/TCC2_Tiago.pdf
ESSAS APLICAÇÕES SÃO UTEIS PARA SEREM EXPLANADAS EM SALA DE AULA DE MANEIRA PRÁTICA.
BENEDITO DOS
Aluno
29/03/2022 16:36 h
2444045
Material excelente!
Geômetra é o nome do profissional de matemática que trabalha com foco na geometria.
Profissões que utilizam a geometria
caso queira usar geometria na carreira, existem várias opções de carreira para isso. Assim, confira uma lista com possíveis áreas:
Engenharia Mecânica;
Agrimensura e Matemática;
Bem como, Astronomia;
https://horadafacul.vestibulares.com.br/faculdades/engenharia-mecanica-quais-os-maiores-desafios-do-curso/
Design Gráfico;
Arquitetura e Urbanismo.
 
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 21:43 h
2444132
A Geometria plana de fato tem bastante aplicações no nosso cotidiano. É um assunto de extrema relevância na área da Matemática. 
PAULO RICARDO
Aluno
30/03/2022 13:58 h
2444045
Adorei o site sobre os usos práticos da geometria, se percebe a importância do conhecimento dessa área para o uso prático na vida.
Também é perceptível o quão desastrosa pode ser a falta desse conhecimento, por exemplo algumas casas que desabam sob a chuva forte, noticia típica dos
jornais em época de chuva. Claro que muitas vezes tais casas não foram projetadas por um arquiteto, o que demonstra ainda mais que a falta de conhecimento
pode ser destrutiva.
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 21:40 h
Como verificar se duas retas são concorrentes no espaço?
Como já dito, duas retas são consideradas concorrentes quando se cruzam em um ponto comum. Essa interseção dá origem a quatro ângulos, que podem ter
medidas iguais ou não. Se um dos ângulos formados é igual a 90°, ou seja, é um ângulo reto há um caso de retas perpendiculares.
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 21:25 h
O que são retas reversas ortogonais?
Retas ortogonais – são retas reversas (e portanto não são coplanares), que formam um angulo reto. Portanto, se duas retas formam um angulo reto, elas serão
perpendiculares, se forem coplanares ou ortogonais se forem reversas.
RAIMUNDO NONATO
Aluno
30/03/2022 21:18 h
Duas retas r e s são reversas se não existe nenhum plano que as contém simultaneamente. Em outras palavras, além delas nunca se interceptarem (o que também
é o caso quando as retas são paralelas), seus vetores diretores também não podem ser paralelos.
IRAN SOUSA
Aluno
30/03/2022 21:24 h
2444865
Acrescento aqui a seguinte observação: "Duas retas são consideradas reversas se, e somente se: não se intersectarem; não forem paralelas entre si.
Equivalentemente, duas retas são reversas se, e somente se, não forem coplanares. As retas perpendiculares sãoretas concorrentes que formam entre si um
ângulo reto. Retas reversas são retas que não têm interseção entre elas e que não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes."
JOSEANY DA
Aluno
30/03/2022 20:08 h
Geometrias não-euclideanas:
A geometria não-euclideana surge pela negação do Axioma IV. Existem duas possibilidades:
Não existem retas paralelas! ⇒ Geometria Projetiva, Geometria Elíptica.
Dado um ponto A não incidente a uma reta r, existem pelo menos duas retas incidentes a A e paralelas a r!
JOSEANY DA
Aluno
30/03/2022 20:04 h
Os Axiomas de Euclides Os cinco postulados utilizados por Euclides nos Elementos são os seguintes:
Axioma I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos.
Axioma II: Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita continuamente em uma reta.
Axioma III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.
Axioma IV: Todos os ângulos retos são iguais.
Axioma V: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas
encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.
JOSEANY DA
Aluno
30/03/2022 20:03 h
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS: 
Retas paralelas
Duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum em toda a sua extensão. Uma propriedade interessante sobre essas retas é que a
distância entre elas sempre será a mesma, independentemente do ponto escolhido para medi-las. A imagem a seguir é um exemplo de duas retas paralelas:
Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes quando possuem um único ponto de intersecção. Retas concorrentes formam quatro ângulos congruentes dois a dois. Quando um
deles mede 90°, as retas concorrentes são chamadas de perpendiculares. A imagem mostra um exemplo de retas concorrentes:
 
BENEDITO DOS
Aluno
30/03/2022 10:47 h
https://www.youtube.com/watch?v=xjNFBZx8ark
Aula pratica de axiona e postulado, são quinze minutos de um otimo conteudo!
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
30/03/2022 18:53 h
2444553
Obrigado pelo material
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
30/03/2022 18:49 h
São dados três pontos A, B e C com B entre A e C. Sejam M e N os pontos médios de AB e BC respectivamente. Mostre que MN = (AB + BC)/2
R=Como M é o ponto médio de AB, significa que ele divide esse segmento em dois de mesma medida. Logo:
AM = BM = AB/2
 
Como N é o ponto médio de BC, significa que ele divide esse segmento em dois de mesma medida. Logo:
BN = CN = BC/2
https://www.youtube.com/watch?v=xjNFBZx8ark
 
Assim, a medida do segmento MN é igual à soma:
MN = AB/2 + BC/2
MN = (AB + BC)
 2
FRANCISCA JANAINA
Aluno
26/03/2022 19:31 h
Exemplos de axiomas
Na reta (e também fora dela) existem infinitos pontos;
Dois pontos distintos determinam uma, e somente uma, reta;
Três pontos que não são colineares determinam um único plano;
A menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que une estes dois pontos;
Postulado de Euclides: através de um ponto fora de uma reta passa uma, e somente uma, reta a qual é paralela à reta dada.
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
28/03/2022 18:18 h
2442493
O terceiro postulado de Euclides diz que é possível traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
30/03/2022 18:45 h
2443593
Acabei me interessando sobre o assunto e notei que o mesmo estabeleceu diversos axiomas. Muito interessante
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
28/03/2022 18:22 h
Axiomas de Medição de Segmentos
Axioma de medição 1: A todo segmento corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se as extremidades coincidem.
Axioma de medição 2: Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da
diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes.
Axioma de medição 3: Se A ∗ C ∗ B, então 
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
30/03/2022 18:41 h
2443600
 
Os restantes dos axiomas, porém, com relação aos ângulos.
Axioma de Medição 4: A todo ângulo corresponde um único número real maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se os lados do ângulo
coincidem.
Axioma de Medição 5: Existe uma bijeção entre as semi-retas de mesma origem que dividem um dado semi-plano e os números entre zero e 180, de modo que
a diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas semi-retas correspondentes.
Axioma de Medição 6: Se uma semi-reta SOC divide um ângulo AOB, ˆ então AÔB = AÔC + COB.
 
FRANCISCA JANAINA
Aluno
30/03/2022 17:34 h
Acredito que alguém se fez essa pergunta ou já ouviu alguém falando, "Quantos pontos podem existir em um plano?" Pelos meus
conhecimentos no assunto numa reta e num plano existem infinitos pontos (dentro e fora dele). Dois pontos distintos determinam uma única reta
que passa por eles; Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Se uma reta tem 2 pontos distintos num plano,
então ela está contida no plano. Não sabe-se a quantidade de pontos que existe em uma plano.
FRANCISCA JANAINA
Aluno
28/03/2022 21:00 h
O plano é um conjunto de retas alinhadas e, portanto, também é um conjunto de pontos. O objeto formado por esse alinhamento de retas é uma superfície plana
que não faz curva e infinita para todas as direções.
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
29/03/2022 13:23 h
2443806
MUITO BOM JANAINA
SERÁ SE EXISTEM EXEMPLOS PRÁTICOS (FISICA, QUIMICA, ENGENHARIAS etc.) NESSA SUA POSTAGEM DE PLANO.....RETAS????
MENCIONEM AQUI.
VAMOS PARTICIPAR...AGUARDO TODOS VCS.
FRANCISCA JANAINA
Aluno
30/03/2022 17:21 h
2444039
Utilizando uma imagem do senso comum poderá dizer-se que um plano se assemelha a uma folha (de papel ou outro material) de dimensão
infinita e sem qualquer espressura ou seja o plano é uma superfície regrada não fechada (ilimitada), que pode ser gerada por meio do
movimento de um elemento gerador (uma reta geratriz) que se apoia constantemente sobre um elemento diretor (uma reta diretriz). Esse
movimento é feito de forma que a reta geratriz se desloque sempre paralelamente a si mesma, dando assim origem ao plano
PAULO RICARDO
Aluno
30/03/2022 14:54 h
A importância da geometria para a sociedade é enorme, sendo responsável não somente por contribuir para o avanço da matemática como todo como também
pela importância de sua aplicação prática.
Ela contribui para construção de casas, edifícios, pontes, têm grande peso também no ramo da astronomia, que é um ramo que lida bastante com conceitos
espaciais, além da presença mais básica da geometria no nosso dia a dia, o calculo da área de um terreno, do volume de uma caixa d'agua, da área necessária
para se colocar um móvel como uma mesa ou uma cama.
Enfim, a geometria está continuamente ligada a nossa vida e de tal modo possui uma importancia enorme para a mesma.
PAULO RICARDO
Aluno
30/03/2022 13:29 h
axiomas são afirmações perceptíveis que não podem ser negadas, são os fundamentos básicos que servem como orientação para desenvolvimento e
comprovação de teorias. No caso da geometria, na própria aula são expressados alguns axiomas a respeito do ponto, reta, plano e espaço:
. por dois pontos distintos passa uma única reta. 
. por três pontos não colineares se passa um único plano. 
. cada reta possui ao menos dois pontos distintos; cada plano possui ao menos três pontos não colineares; o espaço possui ao menos quatro pontos distintos entre
si, não colineares e não coplanares.
Através desses axiomas podemos chegar nas possiveis variações de como podemos determinar cada um desses objetos, por exemplo:
Para determinarmos um plano temos a condição necessária de três pontos colineares, o que nos permite concluir que se possuirmos duas retas que são
concorrentes então podemos determinar um plano, uma vez que: 
. cada reta possui ao menos dois pontos distintos 
. por dois pontos distintos passa uma única reta.
com isso sabemos que as retas compartilham um pontoem comum (ja que são concorrentes), mas cada um possui ao menos um ponto que a outra não possui,ja
que as retas não são iguais, o que nos deixa com ao menos três pontos distintos e não colineares.
assim é demonstrado o valor dos axiomas, servindo como base para explorarmos o assunto mais a fundo.
RAIMUNDO NONATO
Aluno
30/03/2022 10:15 h
"por tres pontos nao colineares passa um unico plano."
Por isso que um banco de tres pés nunca fica em falso, já o de 4 pés pode ficar sim.
PAULO RICARDO
Aluno
30/03/2022 12:57 h
2444532
Bem simples e prática a sua explicação colega, eu fiquei me perguntando sobre essa questão do banco e não conseguia ligar os pontos, obrigado.
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5188
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