Multivix Circuitos Eletricos

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CIRCUITOS ELÉTRICOS
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do 
Estado do Espírito Santo, com unidades presenciais 
em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, 
Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória, 
e com a Educação a Distância presente 
em todo estado do Espírito Santo, e com 
polos distribuídos por todo o país. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, 
destacando-se pela oferta de cursos de 
graduação, técnico, pós-graduação e 
extensão, com qualidade nas quatro 
áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, 
Humanas e Saúde, sempre primando 
pela qualidade de seu ensino e pela 
formação de profissionais com consciência 
cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de 
Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 
instituições avaliadas no Brasil, apenas 
15% conquistaram notas 4 e 5, que são 
consideradas conceitos de excelência em 
ensino. Estes resultados acadêmicos 
colocam todas as unidades da Multivix 
entre as melhores do Estado do Espírito 
Santo e entre as 50 melhores do país.
 MISSÃO
Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.
 VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida 
nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
R E I TO R
GRUPO
MULTIVIX
R E I
2
MULTIVIX EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
3
MULTIVIX EAD
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BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
Luiz Guilherme Rezende Rodrigues
Circuitos Elétricos / Rodrigues, Luiz Guilherme Rezende - Multivix, 2023
Catalogação: Biblioteca Central Multivix 
 2023 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. 
4
MULTIVIX EAD
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LISTA DE QUADROS
UNIDADE 3
 Valor da função de transferência para as frequências do sinal de entrada 104
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 1
 Esquema ilustrativo de um circuito elétrico 15
 Esquema ilustrativo de elementos de um circuito elétrico 16
 Esquema ilustrativo de um capacitor 17
 Capacitor com simetria cilíndrica 19
 Potência 21
 Indutores 23
 Representação esquemática da lei de Biot-Savart 24
 Representação esquemática de indutância 25
 Solenoides 27
 Solenoide com geometria de toro 28
 Senoides 29
 Ondas na natureza 30
 Ilustração com algumas das características gerais de uma senoide 31
 Espectro eletromagnético 33
 Função seno e cosseno 34
 Representação gráfica de funções senos e cossenos 35
 Resistores 37
 Circuito elétrico com resistor e capacitor 39
 Equação diferencial em circuitos eletromagnéticos 41
 Comportamento da corrente elétrica no capacitor no referido circuito 42
 Período e frequência de funções senos e cossenos 43
 Movimento harmônico simples – Oscilador massa mola 44
 Representação esquemática de um fasor em sua forma bidimensional 46
 Função arcotangente 47
 Consumo em potência 49
6
MULTIVIX EAD
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UNIDADE 2
 Quadro de energia 54
 Osciloscópio 55
 Esquema ilustrativo de um circuito RL 56
 Circuito eletrônico 58
 Solução de equação matemática 59
 Potência elétrica 61
 Fator de potência 63
 Energia 64
 Capacitor 65
 Esquema ilustrativo do fator de potência 66
 Efeito Joule 67
 Queda de tensão 68
 Transformadores 70
 Ondas eletromagnéticas 72
 Esquema ilustrativo de um transformador 73
 Material magnético 75
 Energia eletromagnética 76
 Linhas de transmissão 78
 Função cosseno 79
UNIDADE 3
 Exemplo de resposta em frequência de circuito não ressonante 86
 Esquema da função de rede 86
 Circuito exemplo 88
 Circuito RC 94
 Marca-passo cardíaco 96
 Circuito RC aplicado em filtro passivo passa-baixa 97
 Circuito RC sem fonte 98
 Gráfico da resposta natural de um circuito RC 100
 Comparação entre os sinais de entrada e saída de um circuito elétrico 
para a análise da resposta de frequência 102
 Função de rede ou de transferência 102
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UNIDADE 4
 Circuito elétrico 112
 Esquema do funcionamento da transformada de Laplace 114
 Esquema de como aplicar transformada de Laplace 115
 Operadores matemáticos 116
 Questionamento 117
 Linearidade 119
 Problemas em partes 121
 Inverso 122
 Nulidade 124
 Equações diferenciais 125
 Invertendo 127
 Problema inicial 129
 Problemática 130
 Tempo 133
 Álgebra 134
 Resistores 135
 Frequências 136
 Indutores 138
 Circuito RLC 139
 Malhas do circuito RLC 140
 Transferência 142
 Malhas do circuito RLC analisado 143
8
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UNIDADE 5
 Exemplo de circuito eletroeletrônico 148
 Circuito RC 150
 Gráfico de resposta natural de v(t) 151
 Circuito RL 152
 Gráfico de resposta natural de i(t) 153
 Gráfico da função degrau unitário 155
 Comportamento do circuito RC com aplicação da função degrau unitário 157
 Gráficos de v(t) x t da resposta com capacitor inicialmente carregado 
(a), resposta com capacitor inicialmente descarregado (b) e resposta em 
corrente (c) 158
 Comportamento do circuito RL com a aplicação da função degrau unitário 159
 Esquemas de circuitos RCL em série (a) e em paralelo (b) 160
 Esquema de um circuito RCL em paralelo 163
 Esquema de um circuito RCL em série 165
UNIDADE 6
 Ponte de Wheatstone 173
 Ponte de Carey Foster 174
 Ponte de Schering 175
 Ponte de Maxwell 178
 Sistema de medição de potência trifásico 180
 Conexão Aron 181
 Sistema de medição trifásico usando a conexão de Aron 182
 Diagrama fasorial de um sistema trifásico 183
 Medição de potência ativa trifásica de uma carga desequilibrada por 
três wattímetros 185
 Medição de potência ativa trifásica de uma carga desequilibrada por 
dois wattímetros 186
 Wattímetro eletrodinâmico 189
 Interligação do wattímetro 190
 Ligação típica de um wattímetro comercial 191
9
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SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 12
1. TEORIA BÁSICA DOS CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM REGIME 
PERMANENTE SENOIDAL 15
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 15
1.1 ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS ARMAZENADORES DE 
ENERGIA, EXCITAÇÃO SENOIDAL E FASORES 16
1.2 CIRCUITOS MONOFÁSICOS 38
2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL 53
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 53
2.1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EM REGIME PERMANENTE 
SENOIDAL 53
2.2 POTÊNCIA EM CIRCUITOS 69
3. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA DE CIRCUITOS E FUNÇÕES DE REDE 85
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 85
3.1 RESPOSTA COMPLEXA E FUNÇÕES DE REDE 85
3.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 100
4. TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUA APLICAÇÃO NA SOLUÇÃO DE CIRCUITOS 111
4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE 111
4.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA SOLUÇÃO DE 
CIRCUITOS 132
5. CIRCUITOS EM REGIME TRANSITÓRIO DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 147
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 147
5.1 TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS RL E RC 147
5.2 TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS RLC 159
6. MEDIÇÕES DE GRANDEZAS ELÉTRICAS E MAGNÉTICAS 171
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 171
6.1 MEDIÇÕESDE ELEMENTOS PASSIVOS POR MEIO DE PONTES 171
6.2 MEDIÇÕES DE POTÊNCIA DE ENERGIA 180
1UNIDADE
2UNIDADE
3UNIDADE
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
11
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ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
ICONOGRAFIA
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Na presente disciplina, vamos abordar as ideias, informações e técnicas ma-
temáticas e físicas envolvidas na análise de circuitos elétricos. Nesse contex-
to, entenderemos como as leis da natureza, mais especificamente do eletro-
magnetismo, são utilizadas para modelar sistemas elétricos que estão em 
contato direto com a sociedade ao longo de toda a sua evolução. Dessa forma, 
desvendaremos todas as ferramentas matemáticas para que boas análises 
sejam realizadas sobre quaisquer tipos de circuito elétrico. Discutiremos cir-
cuitos monofásicos, circuitos em regime senoidal, circuitos polifásicos e muito 
mais. Além disso, também iremos entender um pouco mais sobre circuitos 
magneticamente acoplados com materiais magnéticos e ainda as técnicas 
matemáticas mais poderosas para um bom tratamento analítico desses cir-
cuitos como a transformada de Laplace.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
UNIDADE 1
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
14
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
> Representar 
adequadamente 
os elementos de 
circuitos para 
cálculos.
> Efetuar os cálculos 
básicos de circuitos 
de corrente alternada 
monofásicos.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
1. TEORIA BÁSICA DOS CIRCUITOS 
DE CORRENTE ALTERNADA EM 
REGIME PERMANENTE SENOIDAL
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Na presente unidade, iremos introduzir algumas informações importantes 
relacionadas à teoria básica dos circuitos elétricos. Iremos inicialmente dis-
cutir as ferramentas e os conceitos importantes relacionados a circuitos de 
corrente alternada e a regimes senoidais. Passaremos, então, ao estudo dos 
capacitores e indutores e a maneira senoidal de representação das quantida-
des envolvidas, como corrente elétrica, tensão e potência. Tudo isso baseado 
nos conceitos de ondulatória utilizados nas quantidades eletromagnéticas 
por meio dos fasores.
ESQUEMA ILUSTRATIVO DE UM CIRCUITO ELÉTRICO
Fonte: Freepik (2022).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo com vários elementos de um circuito 
elétrico.
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1.1 ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA, EXCITAÇÃO 
SENOIDAL E FASORES
1.1.1 INDUTORES E CAPACITORES
Inicialmente, vamos pressupor que resistores são elementos de um circuito 
eletromagnético com a capacidade de transformar energia elétrica em ener-
gia térmica. Isso equivale a dizer que seu funcionamento segue os princípios 
da conservação de energia. Seguindo essa linha, os capacitores e os indutores 
são dispositivos com funcionalidades diferentes, em comparação com os re-
sistores. Isso quer dizer que a função básica deles é armazenar energia elétri-
ca e magnética respectivamente. É sobre essas características que iremos nos 
debruçar para que possamos entender mais conceitos e ferramentas rela-
cionados com esses dois importantes dispositivos; em especial, discutiremos 
informações sobre as diferenças de potenciais nos polos dos capacitores e dos 
indutores (Irwin; Nelms, 2023; Nussenzveig, 2015; Markus, 2009). 
ESQUEMA ILUSTRATIVO DE ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO
Fonte: Freepik (2022).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo com vários elementos de um circuito 
elétrico destacando entre eles os capacitores e os indutores.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
É importante destacar já de antemão que os 
campos elétricos são capazes de propagar energia 
elétrica. Nesse contexto, existe um dispositivo 
elétrico muito utilizado em vários circuitos com 
a principal característica de armazenamento de 
energia elétrica. A esse dispositivo damos o nome 
de capacitores (Irwin; Nelms, 2023; Nussenzveig, 
2015; Markus, 2009). 
• Capacitores
Existem no mercado vários tipos de capacitores, como o de placas planas e 
paralelas, formado por duas placas separadas uma da outra, sendo que cada 
uma delas apresenta sinal de carga diferente. Um outro tipo muito utilizado 
em circuitos pelo fato de otimizar o espaço físico utilizado são os capacito-
res eletrolíticos, que utilizam reações químicas para a produção de cargas e 
armazenamento de energia elétrica (Irwin; Nelms, 2023; Nussenzveig, 2015; 
Markus, 2009). 
Os capacitores podem ser entendidos de uma maneira mais didática de acor-
do com o seguinte esquema ilustrativo. 
ESQUEMA ILUSTRATIVO DE UM CAPACITOR
Fonte: adaptado de Nussezveig (1997, p. 75).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo de um capacitor de placas planas e 
paralelas.
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O esquema anterior representa um capacitor de placas planas e paralelas car-
regadas com cargas de mesmo módulo, mas sinais contrários. Estamos nos 
referindo às cargas, nesse caso as letras +Q e -Q .
A diferença de potencial entre as placas será constante e dada por uma inte-
gral de caminho:
= = .
A placa positiva está sendo nomeada de , e a placa negativa de B.
Uma das grandes dificuldades em se determinar carga elétrica é sobre sua 
distribuição no referido material condutor. De fato, não sabemos como es-
sas cargas ficam distribuídas, significando assim uma grande dificuldade na 
determinação do campo elétrico. Um dos principais motivos dessa grande 
dificuldade é a geometria das placas. Veremos mais adiante que a geometria 
é um fator essencial na determinação de qualquer grandeza envolvendo a 
teoria eletromagnética. O contorno desse problema é a utilização da lei de 
Coulomb, considerando uma distribuição de cargas volumétrica. Ou seja, 
=
1
4
Através da simetria do campo elétrico, sabemos que esse apresenta depen-
dência radial e da carga. Logo, a diferença de potencial também apresentará 
proporcionalidade com a carga. Introduzimos, então, a seguinte relação:
=
Ela recebe o nome de capacitância do conjunto de condutores, sendo que 
esse recebe o nome de capacitores. A geometria das placas implicará si-
metrias do campo elétrico por meio da lei de Gauss. Dessa forma, podemos 
concluir que a capacitância também será uma quantidade dependente da 
geometria e da separação entre as placas, uma vez que campo elétrico e po-
tencial são interligados (Irwin; Nelms, 2023; Nussenzveig, 2015; Markus, 2009). 
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CAPACITOR COM SIMETRIA CILÍNDRICA
Fonte: Freepik (2022).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de um capacitor eletrolítico com simetria cilíndrica.
Em termos de unidade, a capacitância é dada em Farads, ou seja, 
1 =
1
1
Destacamos o fato de que a definição do potencial está levando em conside-
ração o potencial do condutor positivo menos o potencial do condutor nega-
tivo. Isso sugere que a capacitância depende da carga positiva, implicando a 
positividade dessa nova grandeza introduzida.
Vamos agora entender um pouco mais sobre a energia elétrica armazenada 
por um determinado capacitor. 
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De forma mais específica temos a seguinte relação 
geral para a energia elétrica armazenada pelo 
capacitor:
=
1
2
( ) =
1
2
(Irwin; Nelms, 2023; Nussenzveig, 2015; Markus, 
2009). 
A prova disso é que, para um capacitor em que representa a permissividade 
do meio entre as placas, teremos
=
Em contrapartida, temos também
=
e
=
Utilizando a definição de carga elétrica em termos da capacitância na defini-
ção de corrente elétrica, obtemos uma equação diferencial separável, que nos 
leva ao seguinte potencial
( ) = +
( )
.
Na equação anterior, consideramos como potencial de referência
=
( )
.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
A tensão U(t) é devido à carga que se acumula no capacitor desde t = -∞ -até 
o tempo t = t0.
Se quisermos obter a energia acumulada no capacitor por meio da potência, 
teremos
( ) = ( ) ( )
( ) = ( )
( )
A energia será, então
= ( )
( )
= ( )
( )
= ( ) ( ) =
1
2
( )
Vale lembrar aqui que a unidade de energia é o Joule.
POTÊNCIA
Fonte: Freepik (2022).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de central de distribuição de energia.
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Assumindo U(t = -∞) = 0, teremos
=
1
2
( ) =
1
2
Energia armazenada pelo capacitor que é na realidade o trabalho realizado 
pela fonte para carregar o capacitor. 
Em um momento posterior e oportuno, iremos verificar na prática a grande 
funcionalidade e importância dos capacitores em circuitos elétricos. De fato, 
também precisamos citar algumas informações interessantes, como a possi-
bilidade de combinação em série e em paralelo desses dispositivos. Também 
iremos verificar como a energia é armazenada por esses dispositivos e o tem-
po para sua carga e descarga. Se você se interessa por essas e outras infor-
mações adicionais sobre capacitores, você pode consultar algumas das boas 
referências como Irwin e Nelms (2023), Nussenzveig (2015) e Markus (2009), 
que são livros tradicionais e muito utilizados como bibliografia obrigatória por 
várias Universidades do Brasil e do mundo.
• Indutores
Com funcionalidade análoga aos capacitores, 
porém em outro contexto, os indutores também 
são dispositivos utilizados para armazenamento de 
energia. A energia armazenada por esses dispositivos 
é a energia advinda do campo magnético. Em 
outras palavras, os indutores apresentam a incrível 
capacidade de armazenar energia magnética 
(Halliday; Resnick; Walker, 2023; Nussenzveig, 
2015; Tipler; Mosca, 2009; Young,; Freedman, 2008; 
Gussow, 2009, Filho, 2023; Markus, 2009). 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
INDUTORES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de um indutor composto de várias bobinas.
As suas propriedades são melhores entendidas por meio da lei de Biot-Savart 
que é uma das maneiras de se obter campo magnético em fios percorridos 
por corrente elétrica. 
De forma específica, e não entraremos em detalhes 
sobre os cálculos, o campo magnético é relacionado 
com uma linha de corrente estacionária, por meio 
da lei de Biot-Savart. Matematicamente teremos 
( ) =
4
×
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O esquema ilustrativo a seguir nos ajuda a entender o cálculo do campo mag-
nético gerado por um elemento de corrente a uma distância da espira. 
REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA LEI DE BIOT-SAVART
I
dl’
I
r
r
Fonte: adaptada de Griffiths (2009, p. 151).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo de um referencial criado para definir 
a lei de Biot-Savart.
Se considerarmos o caso de duas espiras, teremos a corrente I1 como aquela 
que passa pela espira 1. Dessa forma, ela irá produzir um campo magnético 
B1. A lei de fluxo do campo magnético diz que algumas linhas de campo irão 
atravessar a espira 2. Definimos assim o fluxo de linhas de campo que passa 
pela espira 2. Esse fluxo será denominado de Φ2 devido ao campo B1 (Halliday; 
Resnick; Walker, 2023; Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; Young,; Freed-
man, 2008; Gussow, 2009, Filho, 2023; Markus, 2009).
Essas informações são mais bem entendidas por meio do esquema ilustrativo 
a seguir. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE INDUTÂNCIA
Espira 2
Espira 1
r
dl₂
dl₁
Fonte: adaptada de Griffiths (2009, p. 216).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo de duas espiras utilizadas para 
introduzir o conceito de autoindutância.
A lei de Biot-Savart nos dará
=
4
×
A lei de Gauss para o campo magnético será dada, então, por
= =
Nesse caso, M21 é uma constante de proporcionalidade, a qual denominamos 
indutância mútua das espiras. 
Considerando a mesma situação, porém variando a corrente I1 que passa pela 
espira 1, obtemos o fluxo do campo magnético na espira 2. Ou seja
= =
Em que é denominada força eletromotriz e é derivada da lei de Faraday. 
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Lei de Faraday é aquela que associa a variação 
no tempo de campos elétricos com a geração de 
campos magnéticos que variam no tempo e vice-
versa. 
Apesar da grande importância da lei de Faraday, não iremos discutir os deta-
lhes por não ser nosso objetivo no momento. O fato é que o fluxo do campo 
magnético é proporcional à corrente elétrica. A proporcionalidade é dada por 
=
A constante L é, então, denominada autoindutância ou simplesmente in-
dutância da espira. É importante destacar que a indutância também é uma 
grandeza de natureza geométrica, afinal depende do fluxo do campo mag-
nético e, consequentemente, da lei de Gauss. 
Finalmente, podemos dizer que elementos indutores em circuitos eletromag-
néticos apresentam diferença de potencial dadas na forma
=
A energia magnética armazenada pelos indutores 
é dada pela seguinte equação
=
1
2
( )
(Halliday; Resnick; Walker, 2023; Nussenzveig, 
2015; Tipler; Mosca, 2009; Young,; Freedman, 2008; 
Gussow, 2009, Filho, 2023; Markus, 2009).
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os indutores são constituídos por solenoides e são, como já mencionado, os 
responsáveis por armazenar energia magnética. 
SOLENOIDES
Fonte: Freepik (2022).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de uma solenoide utilizada em indutores 
magnéticos em circuitos eletromagnéticos.
A prova da equação anterior está no fato de que matematicamente teremos 
que a corrente elétrica que o atravessa é dada por
( ) =
( )
( ) =
( )
( ) =
1
( )
( ) =
1
( ) +
1
( )
( ) = +
1
( )
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Por meio da potência que é fornecida ao componente, chegamos a
( ) = ( ) ( )
( ) =
( )
( )
A energia será, então
=
( )
( ) = ( )
=
1
2
( )
Também destacamos o fato de que esses dispositivos podem ser utilizados 
em circuitos elétricos por meio de suas combinações e associações em série e 
paralelamente, mas não iremos destacar esse estudo aqui (Halliday; Resnick; 
Walker, 2023; Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; Young; Freedman, 2008; 
Gussow, 2009, Filho, 2023; Markus, 2009). 
SOLENOIDE COM GEOMETRIA DE TORO
 
Fonte: Freepik (2022).
#pratodosverem: a imagem é uma representação de um toroide utilizado em circuitos 
elétricos.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
1.1.2 PROPRIEDADE DAS SENOIDES
Senoide é o nome dado à função queutilizamos 
para representar correntes alternadas e outras 
quantidades associadas. O nome senoide vem do 
fato de a função modelada ser uma combinação de 
funções senos e cossenos (Griffiths, 2009; Machado, 
2000; Nussenzveig, 2013; Jackson, 1975). 
SENOIDES
Fonte: Wikipedia Commons (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto do comportamento de funções senos e cossenos.
A utilização das senoides também abrange a descrição de ondas eletromag-
néticas, que nada mais são do que combinações de campos elétricos e mag-
néticos que oscilam no tempo.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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De maneira sintética, o conceito de onda é 
extremamente importante pelo fato de caracterizar 
propagação de energia ao invés de matéria 
(Griffiths, 2009; Machado, 2000; Nussenzveig, 2013; 
Jackson, 1975). 
As ondas são importantes pelo fato de muitos dos fenômenos naturais pode-
rem ser descritos por meio delas. Matematicamente, sua grande característi-
ca é a modelagem por meio de funções senos e cossenos, que também são 
denominadas de funções cíclicas. O fato de serem cíclicas é o grande desta-
que para a periodicidade desses fenômenos (Griffiths, 2009; Machado, 2000; 
Nussenzveig, 2013; Jackson, 1975).
ONDAS NA NATUREZA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de uma onda no mar como exemplo de ocorrência 
de ondas na natureza.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Após as afirmações que evidenciam a grande importância das ondas e dos 
movimentos oscilatórios periódicos na natureza, destacamos algumas das 
características mais importantes relacionadas às ondas. Isso porque, devi-
do às suas diferentes naturezas, necessitamos de conhecimento sobre suas 
características e propriedades (Griffiths, 2009; Machado, 2000; Nussenzveig, 
2013; Jackson, 1975). 
ILUSTRAÇÃO COM ALGUMAS DAS CARACTERÍSTICAS GERAIS DE UMA SENOIDE
Fonte: elaborada pelo autor (2021).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo de uma onda destacando suas 
principais características e propriedades.
A velocidade de propagação das ondas é dada por
= =
Em que T e f são respectivamente o período de oscilação e a 
frequência de oscilação cuja relação entre eles é dada por
=
1
(Griffiths, 2009; Machado, 2000; Nussenzveig, 2013; Jackson, 1975). 
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Mais informações sobre as características e propriedades das ondas são des-
tacadas a seguir: 
a. A metade do pulso recebe o nome de amplitude e é representado pela 
letra A. 
b. A distância entre dois picos de máximo ou mínimo sucessivos ou, de 
uma forma mais geral, a distância de um ponto até outro em que o mo-
vimento se repete é denominada de comprimento de onda. A simbolo-
gia para o comprimento de onda é a letra λ.
c. O número de oscilações completas em uma unidade de tempo é a defi-
nição que utilizamos para frequência de oscilação. A frequência é repre-
sentada por f. A unidade de frequência no S.I (Sistema internacional de 
Unidades) é o Hertz (Hz).
d. O tempo de ocorrência de uma oscilação completa é denominado de 
período de oscilação. Representamos o período pela letra e o definimos 
como sendo o inverso da frequência
=
1
A unidade de período é a unidade de tempo, ou seja, pode ser o segundo(s), o 
minuto (min) ou a hora (h).
e. Já sabemos que uma onda é uma forma de propagação de energia e, nes-
se sentido, podemos pensar na sua velocidade de propagação. Essa velo-
cidade é formada por combinações de funções cíclicas, como as funções 
senos e cossenos. De forma mais específica, a velocidade de propagação 
de uma onda é uma função que depende do comprimento de onda e da 
frequência de oscilação. Muitas vezes, ao invés de frequência, a velocidade 
da onda é dada em termos do período, uma vez que essas duas últimas 
grandezas sempre estão correlacionadas. Isso quer dizer que
= = .
Considerando o universo das ondas eletromagnéticas, suas diferentes exis-
tências se dão de acordo com suas diferentes frequências de oscilação e seus 
diferentes comprimentos de ondas. O conjunto de todas as ondas eletromag-
néticas, considerando todas as frequências possíveis existentes na natureza, é 
o que denominamos de espectro eletromagnético (Griffiths, 2009; Machado, 
2000; Nussenzveig, 2013; Jackson, 1975). 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de um esquema ilustrativo do espectro eletromagnético 
comparando os comprimentos de ondas com os objetos utilizadas na sociedade.
Ondas eletromagnéticas são movimentos 
específicos de combinações entre campos elétricos 
e magnéticos oscilantes que propagam energia por 
qualquer meio material, inclusive o vácuo. 
Mais detalhes sobre esse assunto não serão tratados aqui. Caso sinta a ne-
cessidade de buscar mais informações e mais desenvolvimento, você pode 
consultar algumas boas referências de livros da área de física, por exemplo. 
Dentre essas referências, destacamos Griffiths (2009), Machado (2000), Nus-
senzveig (2013) e Jackson (1975). 
1.1.3 IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA
Iniciamos a presente seção destacando o fato de que, sempre que um deter-
minado circuito a ser analisado se encontra em regime permanente senoidal, 
seus componentes (resistor, capacitor, indutor etc.) apresentarão uma relação 
entre a tensão V e a corrente elétrica I, que serão modeladas por números 
complexos. Essa modelagem é o que denominamos de impedância e admi-
tância, e as técnicas para isso serão desenvolvidas em futuramente.
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Quando falamos em regime permanente senoidal, quereremos dizer que as 
entradas dos circuitos se comportam como funções senos, a qual é denomina-
da como senoide. Uma senoide geral pode ser representada da seguinte forma
( ) = cos( + )
FUNÇÃO SENO E COSSENO
Fonte: Wikipedia Commons (2023).
#pratodosverem: imagem do comportamento de uma função cíclica.
Nesse contexto, desatacamos que qualquer senoide pode ser representada 
por um fasor, que é a representação das funções senos, cossenos e exponen-
ciais em termos de números complexos. Dessa forma, se considerarmos A 
como uma amplitude do fasor, j como o número imaginário e Φ como a fase 
do fasor, esse fica dado da seguinte forma
=
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Assim, se tirarmos a parte real desse elemento, obteremos a função seno que 
iremos utilizar. Fique tranquilo, iremos mais à frente entender um pouco mais 
sobre isso. 
No presente momento, o que importa para nós são o módulo e a fase de fasores.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES SENOS E COSSENOS
Fonte: Wikipedia Commons (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto do comportamento das funções cíclicas em 
comparação com o movimento circular associado ao ângulo de rotação.
Isso está ligado com o fato de que se tivermos sistemas lineares, podemos 
aplicar uma transformação linear, a qual ainda não definiremos o nome, que 
consiga transformar nossas funções em outros tipos de funções. Essa ferra-
menta poderá, no momento, ser denominada de função transferência. A fun-
ção transferência é definida da seguinte maneira
( ) = = = ( )
H(jω0) é o que denominamos de função de transferência. Y e U são fasores 
representados por uma parte real e uma parte imaginária, ou seja, por meio 
dos fasores, basta conhecermos o módulo e a fase desses objetos para conse-
guimos modelar a denominada função de transferência.
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De uma forma mais específica, é importante destacarmos que as quantida-
des Y e U serão utilizadas para representar tensão v(t) e corrente i(t) respecti-
vamente, tal que Y é o fasor relativo a v(t), e U é o fasor relativo a i(t).
Se estamos em regime senoidal, isso quer dizer que 
( ) = cos( + )
=
De maneira análoga 
( ) = cos( + )
=
Com essas informações, podemos finalmente definir a função de transferên-
cia, dada pela razão dos números complexos, ou seja
( ) = = = ( )
Definimos assim a impedância como sendo o número complexo de módulo 
, com fase formada pela diferença de fases entre a tensão e a corrente no ele-
mento do circuito ou em qualquer combinação e associações entre eles.
Para o caso de resistores, a impedância fica
=
Repare que as amplitudes satisfazem a primeira lei de Ohm.
Para o caso de capacitores, a impedância fica
=
1
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Para o caso de indutores, a impedância fica
=
A prova dessas afirmações está na representação fasorial, ou seja, 
a. Para o caso de resistores, a impedância fica 
( ) =
Isso nos leva a:
=
Repare que as amplitudes satisfazem a primeira lei de Ohm.
RESISTORES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de vários resistores de diferentes modelos e 
propriedades utilizados em circuitos eletromagnéticos.
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b. Para o caso de capacitores, a impedância fica
( ) =
1
Isso nos leva a:
=
1
c. Para o caso de indutores, a impedância fica
( ) =
Isso nos leva a
=
Não iremos entrar em detalhes no presente momento sobre os cálculos e as 
operações realizadas pelo fato de ainda precisarmos introduzir algumas ferra-
mentas importantíssimas no contexto da análise dos circuitos. Quando intro-
duzirmos tais ferramentas, retornaremos a essas situações e tudo ficará mais 
claro. Para finalizar, podemos destacar que a admitância é a quantidade de-
finida como o inverso da impedância. Matematicamente isso quer dizer que
( ) =
1
( )
= ( )
1.2 CIRCUITOS MONOFÁSICOS
Circuitos monofásicos são aqueles alimentados por apenas uma única fonte 
de tensão. Para entender alguns desses tipos de circuitos, é preciso ter conhe-
cimentos prévios de equações diferenciais, afinal a modelagem de circuitos 
elétricos segue algumas leis, por exemplo, as leis de Kirchhoff e as leis de Ohm 
para o caso de resistores, além das leis do eletromagnetismo (Halliday; Resnick; 
Walker, 2016; Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; Young; Freedman, 2008). 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
1.2.1 CÁLCULO DA CORRENTE ALTERNADA
Para entender os primeiros passos de circuitos monofásicos, vamos conside-
rar o caso de um circuito RC, sendo que este está alimentado por uma corren-
te alternada (CA). A corrente alternada é modelada por meio de uma senoide, 
como já mencionado anteriormente. A figura a seguir é a representação do 
circuito de interesse. 
CIRCUITO ELÉTRICO COM RESISTOR E CAPACITOR
Fonte: adaptada de Nussenzveig (1997, p. 193).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo descrevendo o circuito RC e uma 
fonte de tensão (CA).
Destacamos que o circuito RC apresenta uma chave e é nela que inicialmente 
podemos concentrar a modelagem. Considerando primeiramente o capaci-
tor do circuito descarregado e que ele se encontre ligado a uma bateria, nosso 
objetivo será modelar e estudar o referido circuito a partir do momento em 
que a chave é ligada (Halliday; Resnick; Walker, 2016; Nussenzveig, 2015; Tipler; 
Mosca, 2009; Young; Freedman, 2008). 
40
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A aplicação da primeira lei de Kirchhoff no sentido horário nos fornece a se-
guinte equação
( ) +
( )
= 0
Leis de Kirchhoff é o nome dado às duas leis 
utilizadas para a descrição de circuitos elétricos em 
termos de equações diferenciais. A primeira lei de 
Kirchhoff diz respeito às malhas de um circuito, já 
a segunda às correntes que as circulam. Essas leis 
fazem papel análogo às leis de Newton no caso da 
Mecânica, porém no contexto dos circuitos elétricos.
Consideramos I(t) como sendo a corrente no instante de tempo t. Da mesma 
forma, q(t) é a carga do capacitor no instante de tempo t. Assim
( ) =
A primeira derivada no tempo da equação anterior nos leva a
( )
+
( )
= 0
Essa é uma equação diferencial do tipo separável e isso quer dizer que pode-
mos reagrupar os termos da seguinte maneira
( )
( ) =
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
EQUAÇÃO DIFERENCIAL EM CIRCUITOS ELETROMAGNÉTICOS
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto ilustrativa de um quadro cheio de equações em 
analogia com equações diferenciais usadas para modelar sistemas elétricos.
O termo representado por nós como RC, que é o produto da resistência pela 
capacitância, será tratado como sendo um novo parâmetro com dimensão 
temporal. Para renomear esse parâmetro, vamos considerar RC= τc.
Utilizando as condições iniciais do sistema,
= 0 = 0
(0) =
A integral ficada dada, então, por
( )
(0) =
1
( ) =
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Assim, a corrente elétrica desse circuito decai de forma exponencial. A repre-
sentação gráfica do comportamento da corrente é dada por
COMPORTAMENTO DA CORRENTE ELÉTRICA NO CAPACITOR NO REFERIDO CIRCUITO 
Fonte: adaptada de Nussenzveig (1997, p. 194).
#pratodosverem: decaimento exponencial da corrente elétrica de um capacitor em um 
circuito .
Não iremos entrar em discussões sobre esse resultado, o importante no mo-
mento é que conseguimos determinar a corrente elétrica no capacitor e no 
circuito por meio de uma senoide pelo fato de termos correntes e tensões que 
variam no tempo.
Todas as informações destacadas aqui estão presentes em bons livros de Fí-
sica e Engenharia como Halliday, Resnick e Walker (2016), Nussenzveig (2015), 
Tipler e Mosca (2009) e Young e Freedman (2008). 
1.2.2 DIAGRAMAS FASORIAIS
No contexto da análise de circuitos, é preciso entender que muitos deles, ao 
serem modelados, apresentam soluções que seguem uma equação com es-
trutura matemática composta de senoides, nesse contexto podemos pensar 
em melhorar o nosso formalismo para descrever esses sistemas e assim oti-
mizar as técnicas envolvendo tais circuitos. 
Já vimos que um sinal senoidal pode ser expresso por
( ) = ( + )
43
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Nesse contexto, A é denominada amplitude de oscilação, ω0 é a frequência 
angular (medida em radianos por segundo) e φ é denominada fase da fun-
ção senoidal (Halliday; Resnick; Walker, 2023; Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 
2009; Young; Freedman, 2008; Gussow, 2009, Filho, 2007; Umans, 2014; Ma-
rkus, 2009).
Fasores são a representação de funções senos 
e cossenos, assim como suas combinações, em 
termos de números complexos. 
Como caracterizam movimentos periódicos, as senoides devem apresentar 
características como o período e a frequência de oscilação. 
PERÍODO E FREQUÊNCIA DE FUNÇÕES SENOS E COSSENOS
 
Fonte: Wikipedia Commons (2023).
#pratodosverem: a imagem é o comportamento de uma senoide e suas características e 
propriedades.
44
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O período de oscilação é a grandeza escalar que 
mede o tempo que um objeto em movimento 
oscilatório gasta para completar uma oscilação 
completa. Em contrapartida, a frequência de 
oscilação é o número de oscilações que umobjeto 
em movimento oscilatório dá em apenas uma 
unidade de tempo. 
Vamos a partir de agora representar período pela letra T e frequência pela 
letra f. Vamos também utilizar a seguinte relação com a frequência de oscila-
ção angular ω.
=
2
=
1
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – OSCILADOR MASSA MOLA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto ilustrativa de um movimento harmônico oscilatório 
denominado oscilador harmônico simples.
45
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Oscilador harmônico é um dos sistemas físicos 
mais importantes da natureza pelo fato de, em uma 
escala muito pequena, todos os comportamentos 
poderem ser expressos por meio de aproximações 
para esse sistema. O oscilador harmônico simples 
é composto de uma massa presa a uma mola e 
colocado para oscilar. 
As funções exponencial real e complexa são dadas respec-
tivamente por 
( ) =
( ) =
(Halliday; Resnick; Walker, 2023; Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; 
Young; Freedman, 2008; Gussow, 2009, Filho, 2007; Umans, 2014; 
Markus, 2009).
a. Função exponencial real: além de funções senos e cossenos, também é 
muito comum e viável em várias situações a utilização da função expo-
nencial real. 
Nesse contexto, a função é dada da seguinte maneira
( ) =
sendo, A é a amplitude e é um coeficiente real. 
b. Função exponencial complexa: além das funções já apresentadas para 
se representar oscilações em casos de análises de sistemas oscilatórios 
e mais especificamente na análise de circuitos elétricos, utilizamos as 
funções exponenciais complexas periódicas. Matematicamente a função 
exponencial complexa periódica é definida na forma
( ) =
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Pela notação de Euler, teremos 
( ) = = +
O número imaginário i é, portanto, o termo que torna a função seno uma fun-
ção complexa = 1. .
Por ser uma função tridimensional, a exponencial deve ser representada em 
um sistema de coordenadas tridimensionais. É dessa forma que introduzi-
mos a noção de fasores. O fasor é uma quantidade bidimensional que repre-
senta em um plano as características da função exponencial complexa pe-
riódica tridimensional. O esquema a seguir nos ajuda a entender melhor as 
características e a representação de um fasor (Halliday; Resnick; Walker, 2023; 
Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; Young; Freedman, 2008; Gussow, 2009, 
Filho, 2007; Umans, 2014; Markus, 2009).
REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DE UM FASOR EM SUA FORMA BIDIMENSIONAL
Fonte: adaptada de Unesp (2003). 
#pratodosverem: representação fasorial bidimensional tratada como um vetor em rotação.
O eixo é denominado eixo imaginário da função. Já o eixo é denominado 
pelo eixo real. A frequência angular pode assumir valores positivos ou negati-
vos, mas isso depende do sentido de rotação escolhido por você. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
a. A magnitude do fasor é unitário, isso quer dizer que 
= ( ² = ² ) = 1,
Nesse contexto, a quantidade que faz um papel análogo ao ângulo será dada 
por
=
cos
b. Se ω0 > 0 conforme o tempo evolui, o fasor gira no sentido anti-horário e 
completa uma volta quando ω0 t = 2π ou t = 2π/ω0. A partir desse mo-
mento, o movimento se repete de forma periódica.
c. Se ω0< 0, à medida que o tempo evolui, o fasor gira em sentido horário, 
o que caracteriza o sentido horário de rotação (Halliday; Resnick; Walker, 
2023; Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; Young; Freedman, 2008; 
Gussow, 2009, Filho, 2007; Umans, 2014; Markus, 2009). 
FUNÇÃO ARCOTANGENTE
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de um triângulo retângulo evidenciando as funções 
trigonométricas que aparecem nele.
48
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Destacamos algumas outras propriedades importantes dos fasores, sendo 
elas:
( + ) =
( ) + ( )
2
e 
( + ) =
( ) ( )
2
Para finalizar, utilizaremos a seguinte notação para a parte real e a parte ima-
ginária de um fasor:
( 0 + ) = { ( 0 + )}
e 
( + ) = { ( )}
Destacamos que as informações tratadas aqui estão presentes em bons li-
vros de Física e Engenharia, por exemplo, Halliday, Resnick e Walker (2023), 
Nussenzveig (2015), Tipler e Mosca (2009), Young e Freedman (2008), Gussow 
(2009), Filho (2007), Umans (2014) e Markus (2009).
1.2.3 POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE 
ALTERNADA
É sabido que a potência em circuitos elétricos pode ser dada em termos do 
produto entre a tensão e a corrente elétrica. No caso de circuitos com corren-
te alternada, podemos manter essa relação, mas agora todas as quantida-
des apresentarão dependência com o tempo (Halliday; Resnick; Walker, 2016; 
Nussenzveig, 2015; Tipler; Mosca, 2009; Young; Freedman, 2008; Gussow, 2009, 
Filho, 2007; Umans, 2014; Markus, 2009).
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
CONSUMO EM POTÊNCIA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é uma foto de uma lâmpada em cima de uma ilha de moedas 
associando o consumo da energia elétrica com o valor pago às concessionárias de energia.
Ou seja
( ) = ( ) ( )
Para tensões e corrente senoidais, teremos respectivamente
( ) = cos( + )
( ) = cos( + )
Assim
( ) = cos( + ) cos( + )
Por meio da seguinte identidade trigonométrica
2 ( ) ( ) = ( + ) + ( )
obtemos
( ) =
2
[ ( ) + (2 + + )]
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Destacamos a existência de um nível contínuo que está sendo somado a uma 
oscilação de potência com o dobro da frequência de oscilação. Isso nos indica 
que podemos utilizar o nível médio de potência da seguinte forma
( ) =
2
[ ( )]
Destacamos também que, dependendo do ângulo de fase, é possível que a 
rede alimentada pela fonte de excitação absorva e forneça energia. Isso ocorre 
sempre que o ângulo de fase entre a tensão e a corrente for diferente de zero.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
CONCLUSÃO
Ao longo dessa unidade, entendemos um pouco mais sobre as ferramentas 
e as informações tratadas no contexto dos circuitos elétricos. Nesse contexto, 
iniciamos nosso estudo por meio dos indutores e dos capacitores, entenden-
do que esses são dispositivos capazes de armazenar energia elétrica e mag-
nética respectivamente. Em seguida, vimos como podemos modelar quan-
tidades alternadas por meio de funções senos e cossenos aplicando essas 
ideias para entender os conceitos de impedância e admintância. A partir de 
toda essa base, iniciamos o estudo dos circuitos monofásicos, considerando 
as noções de senoides para determinação de corrente alternada e a intro-
dução dos fasores. Para finalizar com todas as ferramentas desenvolvidas na 
presente unidade, conseguimos entender como se dá o cálculo da potência 
em situações de circuitos elétricos com corrente alternada. 
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema leia os artigos a 
seguir:
• OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; YOUNG, I. T. 
Sinais e sistemas. São Paulo: Pearson, 1983. (Série 
Prentice-Hall de Processamento de Sinais)
• SCHWARTZ, M.; SHAW, L. Processamento de 
sinais: análise espectral discreta, detecção e 
estimativa. Nova York: McGraw-Hill, 1975.
• HIGUTI, R., T.; KITANO, C. Sinais e sistemas. São 
Paulo: UNESP, 2003.
• KRUGER, T. P. Máquinas elétricas. Itajaí: Instituto 
Federal de Santa Catarina, 2017.
• TIMOTEO, S. P. M.; FAESARELLA, A. Conversão 
eletromecânica de energia. Londrina: 
Distribuidora Educacional S.A., 2017.
https://eee.guc.edu.eg/Courses/Communications/COMM401%20Signal%20&%20System%20Theory/Alan%20V.%20Oppenheim,%20Alan%20S.%20Willsky,%20with%20S.%20Hamid-Signals%20and%20Systems-Prentice%20Hall%20(1996).pdfhttps://teses.usp.br/teses/disponiveis/54/54132/tde-19052009-095436/publico/AntonioCarlosOliveiraBrunoD.pdf
https://teses.usp.br/teses/disponiveis/54/54132/tde-19052009-095436/publico/AntonioCarlosOliveiraBrunoD.pdf
https://pdfcoffee.com/sinais-e-sistemas-4-pdf-free.html
http://wiki.itajai.ifsc.edu.br/images/a/ab/ELE22504_-_Aula_9_-_M%C3%A1quinas_El%C3%A9tricas.pdf
https://docplayer.com.br/155629423-Conversao-eletromecanica-de-energia.html
https://docplayer.com.br/155629423-Conversao-eletromecanica-de-energia.html
UNIDADE 2
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
52
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
> Efetuar os cálculos 
básicos em circuitos 
trifásicos.
> Realizar as 
medições adequadas 
das potências em 
circuitos de corrente 
alternada.
53
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
EQUILIBRADOS EM REGIME 
PERMANENTE SENOIDAL
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade, nosso foco será o estudo de circuitos trifásicos equilibrados 
em regime senoidal. De forma mais específica, iremos entender como os cir-
cuitos em regime permanente são importantes do ponto de vista prático. Isso 
está ligado com o fato de que muitos dos sistemas de geração de energia e 
até mesmo de transmissão de energia, assim como os sistemas de distribui-
ção, são operados em regime permanente. Além dessas importantes infor-
mações, iremos entender e discutir como a função seno é utilizada para a 
representação de circuitos e como elas são capazes de nos auxiliar na previ-
são de comportamentos envolvendo as excitações senoidais. Tudo isso será 
desenvolvido baseado no formalismo fasorial, que é uma das maneiras mais 
simples e práticas de se trabalhar com senoides e circuitos de correntes alter-
nadas. E então, preparado?
2.1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EM 
REGIME PERMANENTE SENOIDAL
2.1.1 CÁLCULO DA CORRENTE TRIFÁSICA
Iniciamos a presente seção considerando um sistema que represente um cir-
cuito elétrico linear qualquer. Nesse contexto, vamos também considerar que 
esse circuito seja excitado por uma tensão ou até mesmo corrente elétrica 
que possa ser modelada por uma função cosseno. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Dizemos que um circuito elétrico está excitado 
quando nele existe alguma fonte de tensão que 
pode ser contínua ou alternada capaz de gerar uma 
diferença de potencial e circulação de corrente 
elétrica.
QUADRO DE ENERGIA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um quadro de energia elétrica.
Depois do início da contagem do tempo, em algum instante, todas as corren-
tes elétricas e tensões presentes nesse circuito poderão ser representadas por 
funções cossenos. Essas funções apresentarão a mesma frequência de exci-
tação, a qual é então o momento que o referido circuito irá atingir o regime 
senoidal. Para facilitar nossa escrita e notação, iremos nos referir aos circuitos 
em regime senoidal de RPS.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os fasores podem ser vistos como artifícios, 
técnicas ou até mesmo objetos matemáticos 
muito utilizados para representar funções senos 
e cossenos. Essas funções são a grande essência 
da análise dos circuitos e, por meio dos fasores, 
conseguimos escrever suas combinações, que 
são também denominadas funções senoidais. Os 
fasores apresentam algumas características ligadas 
com os movimentos harmônicos, como amplitude, 
frequência angular e ângulo de fase. 
Como já dito, o denominado regime senoidal é atingido após algum tempo, 
desde que ele seja suficiente para eliminar as respostas transitórias do circuito.
OSCILOSCÓPIO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um osciloscópio que consegue medir correntes alternadas.
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A resposta transitória de um circuito está ligada ao 
fato de ele sofrer a mudança de suas condições de 
operação, como a mudança de tensão de forma 
abrupta. 
Todas as nossas afirmações até o presente momento podem ser obtidas 
por meio da consideração de um circuito elétrico formado por um resistor 
e um indutor. 
Nessas condições, podemos também considerar que o circuito é alimentado 
por um gerador ideal de tensão. O esquema ilustrativo a seguir nos auxilia no 
entendimento da situação narrada.
ESQUEMA ILUSTRATIVO DE UM CIRCUITO RL
Fonte: Pavan (2017).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo de um circuito RL sendo alimentado 
por uma fonte de tensão.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Aqui destacamos o fato de que o instante inicial do sistema é dado em t = 0 
e representa o momento em que a chave foi acionada, ou seja, o instante em 
que o gerador ideal de tensão é ligado ao circuito. Após a aplicação da segun-
da lei de Kirchhoff e considerando t ≥ 0 obteremos,
+ =
A aplicação da lei de Ohm com as leis para o indutor e a segunda lei de Kirch-
hoff nos leva à seguinte equação diferencial
( ) +
( )
=
A partir dessa equação diferencial, iremos entender 
um pouco mais como será o comportamento 
do referido circuito considerado. Ou seja, iremos 
entender o comportamento da excitação por meio 
da função cosseno e até mesmo a frequência de 
oscilação que será dada por . Em outras palavras, 
isso quer dizer que 
= ( + )
Por meio da função cosseno, conseguimos transformar a seguinte equação 
diferencial:
( ) +
( )
= ( + )
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CIRCUITO ELETRÔNICO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um circuito eletrônico com vários elementos componentes.
A partir daí, conseguiremos estudar também o comportamento da corrente 
elétrica conspirando o tempo t ≥ t0. Isso é feito por meio da solução da refe-
rida equação diferencial. Para isso, vale ressaltar que a equação diferencial é 
de primeira ordem. Um detalhe importante que vale a pena destacar é o fato 
de que não iremos entrar nos detalhes da solução dessa equação, iremos par-
tir da sua solução e assim realizar alguns comentários pontuais e apresentar 
algumas das informações mais importantes. Destacamos que a maneira de 
resolver a equação diferencial não apresentará muitos ganhos de informação 
nesta unidade. Caso julgue necessário, você pode consultar boas referências 
como Nussenzveig (2015), Umans (2014) e Markus (2009) para entender como 
se dá a técnica para resolução dessa equação. Isso também pode ser visto 
como um desafio para você, uma vez que poderá ficar à vontade para realizar 
tentativas de resolução e atividades de pesquisa sobre tal.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
O fato é que a solução da equação diferencial será a corrente elétrica dada 
pela seguinte função:
( ) =
+
cos( ) +
+
cos( + 0) , 0
Nesse caso, 
=
Assim, podemos avançar na introdução e na discussão da solução apresenta-
da. Ao observar a corrente, percebemos que o primeiro termo apresenta uma 
tendência para zero na medida em que o tempo aumenta para o infinito. 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO MATEMÁTICA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um caderno com soluções matemáticas.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Com base nessa informação, podemos considerar que o tempo passou sufi-
cientemente para que esse termo caia para zero e seja então desprezível em 
relação ao segundo termo. Com essas informações e condições, a corrente 
então fica dada por
() ( ) =
+
cos( + 0)
Repare que nessas condições, a corrente elétrica será dada puramente por 
uma função cosseno e, além disso, ainda apresenta a mesma frequência an-
gular de excitação. Podemos também considerar as tensões representadas 
por vL e vR como funções cossenos com frequência angular ω para t ≫ 0. Isso 
quer dizer que essas tensões são proporcionais à corrente elétrica e derivada 
da corrente elétrica. Juntando todas essas informações, podemos então afir-
mar que todas as grandezas envolvidas no circuito elétrico serão represen-
tadas por funções cossenos que apresentam a mesma frequência angular; 
assim dizemos que o circuito opera em regime permanente.
Destacamos no fim que, quando estudamos circuitos elétricos em regimes 
permanentes, o grande objetivo é determinar correntes e tensões quando o 
circuito é excitado por uma fonte que é representada por uma senoide. Nesse 
caso, o tempo tende para infinito, o que equivale a dizer que o sistema está 
em regime permanente. Nesses tipos de circuitos e regimes, geralmente a 
fonte de alimentação é omitida pelo fato de só exercer influência quando é 
ligada. Então, no regime permanente, consideramos que a fonte já foi ligada 
a algum tempo e, portanto, que o regime já foi atingido.
Todas as informações relacionadas aos fasores e às suas aplicações em circui-
tos elétricos em regimes permanentes estão presentes nas referências uti-
lizadas como base e bons livros de física, circuitos elétricos e até mesmo de 
matemática aplicada e equações diferenciais. Nesse contexto, podemos ci-
tar algumas delas para você consultar, caso julgue necessário, como Halliday, 
Resnick e Walker (2016), Nussenzveig (2015), Tipler e Mosca (2009), Young e 
Freedman (2008), Gussow (2009), Filho (2007) Umans (2014) e Markus (2009).
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
2.1.2 POTÊNCIAS EM CIRCUITOS DE 
CORRENTE ALTERNADA
Seguindo as ideias apresentadas e discutidas até o presente momento, pode-
mos destacar o fato de entendermos como estudar um circuito do tipo RLC 
que opera em um regime permanente. Em outras palavras, vimos as técnicas 
e informações necessárias para escrever a equação diferencial que modela 
um circuito desse tipo e sua solução. Além disso, também entendemos como 
um circuito desse tipo pode operar em regime permanente. Dessa forma, 
conseguimos obter informações sobre a carga elétrica e a potência dissipada 
no circuito. A partir de agora, algo bem parecido com a análise de um circuito 
desse tipo será feito, mas em termos dos fasores. Isso significa que as informa-
ções tratadas para tal estudo serão obtidas por meio do formalismo fasorial. 
POTÊNCIA ELÉTRICA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um sistema de distribuição elétrica.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Nesse caso, iremos iniciar considerando que o circuito elétrico já esteja ope-
rando em regime permanente. Em termos de potência, sabemos que essa 
é dada pelo produto da tensão com a corrente elétrica. Matematicamente, a 
relação entre essas grandezas é dada da seguinte maneira:
( ) = ( ) ( )
Se estamos considerando o regime permanente, isso quer dizer que essas 
grandezas podem ser escritas em termos de senoides, ou seja, 
( ) = cos( + )
( ) = cos( + )
O produto entre a corrente e a tensão vai resultar em
( ) = cos( + ) cos( + )
Esse é um problema trigonométrico em que utilizamos a identidade trigono-
métrica com dois cossenos de argumentos diferentes. Em outras palavras, a 
identidade trigonométrica que iremos utilizar é
2 ( ) ( ) = ( + ) + ( )
Aplicando essas ideias com a potência já obtida, ficaremos com
( ) =
2
[ ( ) + (2 + + )]
2.1.3 CÁLCULO DO FATOR DE POTÊNCIA E 
CORREÇÕES
Veremos a partir de agora que o fator de potência é algo extremamente im-
portante quando estamos no contexto dos circuitos elétricos, principalmente 
nos casos de sistemas de transmissão elétrica, sistemas de potência e alguns 
outros sistemas envolvendo ciências aplicadas de engenharia. Com essas afir-
mações básicas, iremos entender um pouco mais sobre o fator de potência e 
como conseguimos verificar a eficiência de uma instalação elétrica. Destaca-
mos aqui o fato de que já temos muitas informações, técnicas desenvolvidas 
e noções de ferramentas a serem aplicadas e utilizadas. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
FATOR DE POTÊNCIA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma pessoa segurando uma lâmpada em cima de moedas 
representando o consumo de energia.
O fator de potência é um índice que relaciona a 
energia ativa e reativa de uma determinada instalação 
elétrica. Isso indica que essa quantidade é uma das 
principais ferramentas para medir indicadores no 
contexto da verificação da eficiência energética.
Em termos mais específicos, e já entendendo essas afirmações, dizemos que, 
quando o valor do fator de potência está próximo de 1, significa que está ocor-
rendo pouco consumo de energia reativa em relação à energia ativa. 
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Energia ativa
Essa é a energia que realiza trabalho e gera calor, luz, movimento e 
muitas outras quantidades e grandezas associadas ao movimento de 
forma efetiva. 
Energia reativa
É a energia utilizada apenas para criar os campos eletromagnéticos 
das cargas indutivas e mantê-los nelas.
(Umans, 2014; Markus, 2009). 
ENERGIA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de várias torres de distribuição de energia elétrica.
O fato é que, enquanto a potência e a energia ativa são consumidas na re-
alização de trabalho, a denominada potência reativa fica circulando entre a 
carga e a fonte de alimentação. Aqui, entra uma observação importante de a 
potência reativa não realizar trabalho. Dessa forma, ela ocupa espaço no siste-
ma e assim pode ser utilizada para fornecer mais energia ativa.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
O fator de potência é denominado indutivo ou capacitivo. 
I) Fator de potência indutivo
Está relacionado com o fato de a instalação elétrica absorver a energia 
reativa. Como exemplo, podemos citar o caso dos equipamentos 
elétricos que apresentam características indutivas, afinal suas bobinas 
induzem o fluxo magnético necessário para seu funcionamento. 
II) Fator de potência capacitivo
Está associado com o fato de a instalação elétrica fornecer energia 
reativa. Como exemplo podemos citar o caso dos capacitores que 
de forma geral são instalados para fornecimento de energia reativa 
absorvida pelos equipamentos indutivos. Nesse contexto, uma 
observação importante é o fator de potência se tornar capacitivo 
quando muitos capacitores são instalados em excesso. Isso faz com 
que, quando os equipamentos indutivos são desligados, os capacitores 
ainda permanecem ligados. (Umans, 2014; Markus, 2009). 
CAPACITOR
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um circuito contendo capacitores que armazenam energia elétrica.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Vamos a partir de agora entender como funciona a determinação do fator de 
potência, ou seja, como estudamos a eficiência do uso de energia, uma vez 
que já sabemos que esse é dado em termos da razão entre a potência ativa e 
a aparente.
A determinação é feita por meio do seguinte triângulo retângulo representa-
do pela figura a seguir:
ESQUEMA ILUSTRATIVO DO FATOR DE POTÊNCIA
Potência
reativa
Potência
ativa
Potência
aparente
φ
Fonte: elaborado pelo autor (2023).
#pratodosverem: esquema de um triângulo retângulo em que seus lados são a potência 
ativa, a aparente e areativa.
Fazendo o cosseno do ângulo, por definição, obtermos 
=
ê
ê
=
Se as unidades de potência aparente, da potência ativa e da potência reati-
va são respectivamente dadas por kVA, kW e kvar, e considerando o ângulo 
como um arco tangente da razão entre e kW, obteremos
= = cos
=
+
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Vamos agora entender um pouco mais sobre informações adicionais relacio-
nadas ao fator de potência no caso das perdas de energia. 
Basicamente, em um sistema elétrico é de se esperar que as perdas ocorram 
por meio de calor, as quais geralmente são proporcionais ao quadrado da 
corrente elétrica. Lembre-se de que esse é o denominado efeito Joule. Uma 
vez que a corrente cresce com o excesso da energia reativa, logo será estabe-
lecida uma relação entre o incremento das perdas e o baixo fator de potência. 
Tudo isso provoca um aquecimento adicional nos condutores presentes no 
equipamento. 
EFEITO JOULE
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma mulher passando roupa por meio do calor do ferro que 
funciona baseado no efeito Joule.
Em termos de queda de tensão, sabemos que o aumento da corrente de-
vido ao excesso de energia reativa leva a quedas de tensões extremamente 
acentuadas. Essas quedas podem ocasionar interrupções no fornecimento 
de energia elétrica e até mesmo a sobrecarga em alguns elementos das re-
des, danificando-os. Tudo isso é geralmente acentuado em períodos em que 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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a rede elétrica é fortemente solicitada. Além de tudo, as quedas de tensão 
podem provocar a diminuição da intensidade luminosa das lâmpadas e o au-
mento da corrente nos motores elétricos ligados à rede.
Em termos de correção de fatores de potência, esses apresentam algumas 
vantagens, principalmente na melhoria das tensões. Para isso, é importante 
entendermos que, quando temos tensões abaixo da nominal em um sistema 
elétrico, geralmente são instalados capacitores com a finalidade de elevar os 
níveis de tensão, mas essa atitude pode elevar o custo. Apesar disso, ainda é 
viável, do ponto de vista da tensão, instalar capacitores, afinal a tensão em 
qualquer ponto do circuito será igual ao da fonte geradora, descontando o 
fator da queda de tensão até aquele ponto. Dessa forma, se a tensão da fonte 
geradora e as suas diversas quedas de tensões forem conhecidas, a tensão 
em qualquer um dos pontos poderá ser determinada de forma simples. As-
sim como a tensão na fonte é conhecida, o problema ficará então consistido 
apenas na determinação das quedas de tensão.
QUEDA DE TENSÃO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: ilustração de uma pessoa tomando choque pelo contato direto com a 
queda de tensão.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Todas essas informações podem ser representadas pela seguinte equação 
matemática:
= ±
Nessa equação, teremos ∆V como a queda de tensão, R como a resistência, I 
como a corrente total, φ como o ângulo do fator de potência, X como a rea-
tância o sinal positivo para casos com cargas com fator de potência atrasado. 
De forma contrária, o sinal negativo será atribuído para casos em que o fator 
de potência se encontra adiantado.
Não podemos nos esquecer de que, para essa equação, os valores de ∆V, R 
e X são valores por fase e que a queda de tensão entre fases em um sistema 
trifásico seria = 3.
Se conhecemos o fator de potência e a corrente total, as componentes da cor-
rente elétrica são facilmente obtidas pelas equações: 
=
=
Nessas condições, IkW será a corrente ativa e Ikvar a corrente reativa. Consi-
derando todas essas informações, teremos que a equação para a correção do 
fator de potência pode ser reescrita por
= . +
Essas informações também podem ser reescritas em termos percentuais, 
mas não faremos isso na presente unidade. 
2.2 POTÊNCIA EM CIRCUITOS
2.2.1 CIRCUITOS MAGNETICAMENTE 
ACOPLADOS
Precisamos entender que os circuitos magnéticos são extremamente impor-
tantes não apenas para o desenvolvimento de tecnologia e da ciência, mas 
também socialmente. Afinal, muitas das necessidades da sociedade são exi-
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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gências de que a tecnologia desenvolva formas eficientes de tratamento da 
raça humana. Como exemplo podemos citar os casos dos exames de diag-
nósticos por imagem, como a ressonância magnética, das técnicas de tra-
tamentos oncológicos e muitas outras. Tudo isso é desenvolvido não apenas 
para fins comerciais, mas para desenvolvimento da ciência e, principalmente, 
para o aumento na qualidade de vida da sociedade. É nesse sentido que os 
circuitos magnéticos apresentam grande importância. Na presente unidade, 
iremos tratar algumas importantes questões e características envolvidas nes-
ses tipos de circuitos. 
TRANSFORMADORES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um transformador em um poste de rua.
Damos o nome de acoplamento magnético aos 
circuitos em que seus componentes conseguem 
interagir entre si por meio de campos magnéticos. 
Isso implica a presença ou a ausência de contato 
entre tais componentes.
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MULTIVIX EAD
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Desse modo, é importante não esquecer que existem dispositivos responsá-
veis por armazenar energia magnética, ou seja, energia originada nos cam-
pos magnéticos. Por exemplo, um dos mais importantes circuitos magné-
ticos para a sociedade e para muitos outros sistemas de engenharia são os 
transformadores.
Transformadores são dispositivos de natureza 
eletromagnética capazes de transformar tensão 
e corrente não interferindo significativamente na 
potência.
Vamos imaginar a situação em que temos dois indutores ou bobinas muito 
próximos entre si. Seguindo as equações de Maxwell e mais especificamen-
te a lei da Indução de Faraday, sabemos que existirá ali um fluxo magnético 
gerado pelo fluxo de cargas. Esse fluxo irá induzir uma diferença de potencial 
na bobina localizada na vizinhança da outra. Denominamos esse fenômeno 
indutância mútua.
Para entendermos melhor essas informações, vamos considerar um indutor 
de N espiras. Nesse caso, quando o fluxo de corrente passa por meio da bo-
bina, irá gerar um campo magnético ϕ. A lei de Faraday então vai nos dizer 
que a diferença de potencial induzida no indutor é proporcional ao número 
de espiras da bobina.
A lei de Faraday é uma das mais sensacionais da 
natureza pelo fato de descrever como campos 
elétricos que variam no tempo geram campos 
magnéticos que variam no tempo e vice-versa.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma placa indicando local radioativo, que nada mais é do 
que ondas eletromagnéticas com alto poder de destruição das estruturas fisiológicas 
humanas. A radiação é formada pelas variações dos campos elétricos e magnéticos.
Sabemos que o fluxo magnético e o fluxo de corrente irão apresentar relação 
direta sendo que a variação de um irá interferir na variação do outro. É impor-
tante destacar que o fenômeno da indutância também é conhecido e deno-
minado como autoindutância, afinal relaciona a tensão induzida na bobina 
com a taxa de variação da corrente, da mesma bobina.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Isso quer dizer matematicamente que, segundo a 
lei de Faraday, 
( ) =
Sabemos também que a lei de constituição do 
indutor é dada por
=
Substituindo e combinando essas equações, 
chegaremos em
( ) =
Vamos agora considerardois indutores bem próximos entre si. Nesse contex-
to, iremos assumir que existe uma fonte geradora conectada ao primeiro in-
dutor e que o segundo indutor esteja livre. Como dados nominais dos induto-
res iremos considerar, respectivamente, L1 e . L2 O número de espiras de cada 
um deles são respectivamente N1 e N2. A situação descrita pode ser melhor 
representada pelo seguinte esquema ilustrativo.
ESQUEMA ILUSTRATIVO DE UM TRANSFORMADOR
Fonte: adaptado de Fitzgerald, Kingsley e Umans (2014, p. 120).
#pratodosverem: esquema ilustrativo de um transformador com dois enrolamentos, sendo 
um denominado primário e o outro secundário.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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O fluxo magnético ϕ1 possui duas componentes sendo cada uma delas rela-
cionada com um dos indutores. Isso quer dizer que
= +
A lei de Faraday para cada uma das componentes do fluxo, respectivamente, 
então por
( ) =
( ) =
Trabalhando melhor com essas equações, conseguimos transformá-las em
( ) = =
( ) = =
Definimos assim a indutância mútua como sendo
=
A indutância mútua representa a tensão para o indutor 2 por meio do indu-
tor 1. Nesse contexto, é importante destacar que a indutância mútua entre o 
indutor 1 e o indutor 2 armazena energia sob as mesmas referências, por isso 
= =
Ainda considerando a indutância mútua, podemos defini-la de maneira bre-
ve como sendo a capacidade de um indutor de induzir tensão em outro in-
dutor vizinho. Algumas outras informações importantes sobre a indutância 
mútua podem ser apresentadas na imagem a seguir.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
MATERIAL MAGNÉTICO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo de um circuito formado por um eletroimã.
Indutância
Apesar de a indutância mútua ser sempre positiva, a tensão mútua, 
dada pelo produto entre a indutância mútua e a variação da corrente 
elétrica, pode ser negativa ou positiva. Isso também vale para o caso da 
tensão de autoindutância.
Sinal de tensão
O sinal da tensão do acoplamento magnético pode ser definido pela 
convenção passiva ou pela convenção do ponto. Neste último, o ponto 
indica a direção do fluxo magnético se a corrente entrar pelo terminal 
do ponto. (Umans, 2014; Markus, 2009). 
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Para finalizar, a construção física de um determinado circuito de acoplamen-
to magnético deve ser considerada para que se possa obter a indutância mú-
tua desejada. Como exemplo podemos citar o caso em que enrolar uma bo-
bina em um sentido é diferente de enrolar no sentido oposto. 
Em termos de energia, sabemos que a energia nada mais é do que uma rela-
ção entre a potência e o tempo. Isso quer dizer de forma mais específica que 
uma das maneiras de se obter a energia em circuitos acoplados é por meio 
da integral da potência. 
ENERGIA ELETROMAGNÉTICA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma esfera de plasma devido à geração de diferença de 
potencial.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Nesse caso, o primeiro passo a ser feito é a estimação 
da energia armazenada no indutor 1. Assim, 
( ) = =
Logo, a integral nos diz que
( ) = = =
1
2
De maneira análoga, teremos
( ) = +
( ) = +
( ) = =
( ) =
( ) = +
1
2
A energia total armazenada no circuito será dada 
então pela soma 
= +
=
1
2
+
1
2
+
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LINHAS DE TRANSMISSÃO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de duas pessoas trabalhando em uma linha de transmissão.
Seguindo a convenção de ponto, podemos ainda expressar a equação final 
anterior como positivo quando a corrente entra no ponto e como negativo 
quando sai. Assim, colocamos de forma geral que
=
1
2
+
1
2
±
2.2.2 POTÊNCIA ATIVA E REATIVA
Nesse momento, iremos dar sequência aos conceitos relacionados à potên-
cia. De forma mais específica, iremos considerar a seguinte equação já obtida, 
em que temos uma combinação de funções cossenos obtidas por meio da 
identidade trigonométrica. 
( ) =
2
[ ( ) + (2 + + )]
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
FUNÇÃO COSSENO
Fonte: Wikipedia (2023).
#pratodosverem: esboço gráfico da função cosseno, utilizada para representar oscilações 
eletromagnéticas.
Nesse contexto, observando a equação anterior, percebemos a presença de 
um nível contínuo, somado com uma oscilação da potência, que apresenta o 
dobro da frequência de oscilação. Isso quer dizer que podemos utilizar o de-
nominado nível médio de potência, dado pela seguinte equação:
( ) =
2
[ ( )]
Uma observação importante: o ângulo de fase é o que determina se a rede 
alimentada pela fonte de excitação vai absorver e fornecer energia. Isso ocor-
rerá em situações em que o ângulo de fase entre a tensão e a corrente for 
diferente de zero. 
Seguindo essas ideias, podemos avançar para o caso de potência complexa. 
Essa é dada na forma:
=
2
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Nesse caso, estamos considerando a tensão e a 
corrente como fasores, ou seja, podemos escrever 
esses termos na seguinte forma
=
2
=
( )
2
2.2.3 POTÊNCIA APARENTE
Denominamos então | | como sendo a potência aparente dada por 
| | =
2
e
= + .
como sendo a potência complexa. Assim, teremos a potência medida e a po-
tência reativa definidas respectivamente por 
=
2
( )
=
2
( )
Podemos ainda entender um pouco mais sobre a transferência de potên-
cia máxima nas condições consideradas até o momento. Para isso, podemos 
imaginar a situação com uma fonte de tensão dada por VS e impedância dada 
por ZS, alimentando uma carga Zl Com base nessas condições, podemos pen-
sar qual seria o valor de Zl para a situação de máxima transferência de energia. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Essa situação é resolvida considerando a seguinte equação
=
1
2
| | . ( )
Assim, considerando a corrente elétrica dada por
=
+
obteremos
. = | | . ( )
| |
. = | | . | |
á =
1
2
| | . | + |
Então Xl = Xs e 
=
1
2
| | .
( + ) 2( + )
( + )
Ou seja, Rl = Rs
A potência máxima é então dada por
á =
| |
8
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CONCLUSÃO
Ao longo da presente unidade, focamos nosso estudo em circuitos elétricos 
operando em regime permanente. Nesse sentido, entendemos a análise das 
potências, o fator de potência e o acoplamento dos circuitos. Para entender-
mos essas análises, passamos pela determinação da corrente elétrica e das 
potências em circuitos com corrente alternada. Além disso, também enten-
demos um pouco mais sobre o circuito magneticamente acoplado e os con-
ceitos de potência reativa, ativa e aparente. Com todas essas informações, de-
senvolvemos novas habilidades para realizar análises de circuitos em regime 
permanente, que representam grande parte dos circuitos existentes na socie-
dade e que servem para atender a toda a demanda energética social. 
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, leia os artigos a 
seguir:
• OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; YOUNG, I. T. 
Sinais e sistemas. 2. ed. Londres: Pearson, 1983. 
E-book.
• MARQUES DE SÁ, J. P. Processamento de 
sinal: conceitos, métodos e aplicações. Porto: 
Faculdade de Engenharia da Universidade de 
Porto, 2001.
• HIGUTI, R. T.; KITANO, C. Sinais e sistemas. São 
Paulo: UNESP, 2003.
• KRUGER, T. P. Máquinas elétricas. Itajaí, SC: 
InstitutoFederal de Santa Catarina, 2017.
• TIMOTEO, S. P. M.; FAESARELLA, A. Conversão 
eletromecânica de energia. Londrina: 
Distribuidora Educacional, 2017.
https://www.academia.edu/38640412/Alan_V_Oppenheim_Alan_S_Willsky
https://web.fe.up.pt/~jmsa/apsi/APSI-1.PDF
https://web.fe.up.pt/~jmsa/apsi/APSI-1.PDF
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinais_e_sistemas.pdf
http://wiki.itajai.ifsc.edu.br/images/a/ab/ELE22504_-_Aula_9_-_M%C3%A1quinas_El%C3%A9tricas.pdf
http://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/201701/INTERATIVAS_2_0/CONVERSAO_ELETROMECANICA_DE_ENERGIA/U1/LIVRO_UNICO.pdf
http://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/201701/INTERATIVAS_2_0/CONVERSAO_ELETROMECANICA_DE_ENERGIA/U1/LIVRO_UNICO.pdf
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
UNIDADE 3
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
> Calcular as 
respostas naturais e 
forçadas de circuitos.
> Entender a resposta 
em frequência, em 
amplitude e fase.
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3. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA DE 
CIRCUITOS E FUNÇÕES DE REDE 
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Dentro do grande universo dos circuitos elétricos, compreender as respostas 
em frequência de circuitos e funções de rede é fundamental para o desen-
volvimento e aprimoramento de sistemas e dispositivos elétricos em geral. 
Nesta unidade, iremos mergulhar nesses domínios, abordando temas cru-
ciais como polos e zeros, circuitos ressonantes e diagramas de módulo e fase 
direcionando a análise da resposta complexa e das funções de rede e explo-
rando uma visão detalhada das relações entre polos, zeros e a resposta natu-
ral dos sistemas. Também iremos explorar alguns dos aspectos da resposta 
em frequência, examinando tanto a parte em módulo quanto em fase, além 
de investigar a aplicação de filtros e os fenômenos de ressonância. Essa com-
preensão profunda das respostas em frequência nos permitirá pensar em 
projetos de sistemas elétricos de forma mais eficiente e funcional, garantindo 
o desempenho ideal em diversas aplicações. 
3.1 RESPOSTA COMPLEXA E FUNÇÕES DE REDE
Segundo Costa (2018), a compreensão da resposta complexa e também das 
funções de rede é essencial na análise de sistemas elétricos. De forma geral, 
as funções de rede são representações matemáticas que descrevem o com-
portamento de circuitos em diferentes domínios sendo que os polos e zeros 
são pontos críticos que influenciam a estabilidade e resposta dos sistemas. 
Adicionalmente, a resposta natural da função de rede é o comportamento 
intrínseco do sistema sem entrada externa. Ainda segundo Costa (2018), ao 
explorar esses conceitos, obtemos ideias valiosas sobre o desempenho dos 
circuitos e suas características fundamentais, sendo que essas ideias e infor-
mações são cruciais para projetar sistemas elétricos eficientes e confiáveis 
em diversas aplicações tecnológicas.
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EXEMPLO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE CIRCUITO NÃO RESSONANTE
Fonte: adaptada de Salcedo; Lobo (2017).
#pratodosverem: a figura mostra um exemplo de resposta em frequência de circuito não 
ressonante.
3.1.1 FUNÇÕES DE REDE
A função de rede é uma extensão das noções de impedância e admitância, 
sendo que uma generalização de impedância e admitância é a chamada fun-
ção de rede, representada de forma esquemática na figura a seguir. 
ESQUEMA DA FUNÇÃO DE REDE 
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: a figura mostra um esquema de uma generalização de impedância e 
admitância que é a chamada função de rede.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
No circuito esquemático mostrado, ao se aplicar uma entrada I(s) nos termi-
nais ab, a resposta em tensão V(s) entre esses terminais pode ser considerada 
sendo que essa relação entre a saída e a entrada é definida como a função de 
rede H(s), em que: 
+ + + + =
+ + + +
( + + + + ) ( )
= ( + + + + ) ( )
 para a impedância de entrada quando 
uma tensão V(s) é aplicada aos terminais ab e I(s) é a saída.
Temos também H(s) =
I(s)
V(s) = (s) para a admitância de entrada quando uma 
entrada I(s) é aplicada.
A função de rede também pode representar a 
relação entre tensões e correntes, ou entre correntes 
e tensões, dependendo do contexto. Quando a 
entrada e a saída ocorrem em terminais distintos, a 
função de rede é também conhecida como função 
de transferência, possibilitando determinar uma 
saída específica a partir da entrada e da função de 
transferência associada (Alexander; Sandiku, 2013).
Perceba que, em geral, para uma dada corrente ou tensão de entrada num 
par de terminais, a saída pode ser uma tensão ou corrente em qualquer ponto 
do circuito. Quando a entrada e a saída são consideradas em terminais dife-
rentes, a função de rede é também chamada função de transferência. Assim, 
uma determinada saída pode ser obtida conhecendo-se a entrada e a função 
de transferência relacionada (Costa, 2018). 
Para facilitar a compreensão do contexto da função de rede ou de transferên-
cia, vamos tomar o circuito a seguir como exemplo, considerando que VF é a 
entrada e I1 a saída desejada.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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CIRCUITO EXEMPLO 
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: a figura mostra um circuito exemplo que será utilizado como referência 
para exemplificar o contexto prático e matemático da função de rede.
Para esse caso, a função de transferência é dada por: 
( ) =
( )
( )
Temos: 
( ) = 1 +
(2 + 4)(4/ )
(2 + 4 + 4/ ) =
(2 + 4 + 4/ + 8 + 16/ )
(2 + 4 + 4/ ) =
(2 + 12 + 20/ )
(2 + 4 + 4/ )
( ) =
( )
( ) ( ) =
4/
(4/ + 4 + 2 ) ( ) =
(4/ )
(4/ + 4 + 2 )
( )
( )
( ) =
4/
(4/ + 4 + 2 )
( )
(2 + 12 + 20/ )
(2 + 4 + 4/ )
=
2/
1
( )
+ 6 + 10/
Logo: 
( ) =
( )
( ) =
2
+ 6 + 10
Observe que a função de rede H(s) é independente da entrada, sendo função, 
apenas, dos elementos da rede e de suas interconexões. A partir do conhe-
cimento da função de rede e da função de entrada, podemos determinar o 
fasor de saída e, consequentemente, a saída no domínio do tempo.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Fasor de saída: no contexto de circuitos elétricos, 
representa a amplitude e a fase da resposta de 
um sistema a uma determinada frequência de 
entrada em um regime estacionário. Em sistemas 
de corrente alternada (CA), as grandezas elétricas, 
como corrente e tensão, variam com o tempo em 
uma forma senoidal, e, dentro desse contexto, um 
fasor é uma representação complexa que simplifica 
o tratamento de sinais senoidais, permitindo que as 
amplitudes e as fases sejam tratadas como valores 
complexos (Irwin; Nelms, 2023).
É importante destacar que em geral H(s) é complexo, visto que é uma frequ-
ência complexa. Portanto, podemos escrever H(s) na forma polar 
( ) = | ( )|.
No circuito dado no exemplo anterior, sendo e s = -1+ j1, temos que: 
( ) =
2
+ 6 + 10
=
2
( = 1 + 1) + 6( = 1 + 1) + 10
=
2
1 2 1 6 + 6 + 10
=
2
4 + 4
( ) = = . 45
Sendo que a saída desejada I1 (s) será então: 
( ) = ( ). ( ) = . 45 . 8. 0
( ) = 2 2 45
Nesse tipo de caso, se existem duas ou mais entradas, podemos usar superposi-
ção para definir uma função de rede, relacionando a saída desejada a cada en-
trada individual, com as outras entradas zeradas. As saídas individuais são então 
calculadas e, por superposição, obtém-se a saída devida a todas as entradas.
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3.1.2 POLOS E ZEROS
Em geral, a função de rede ou função de transferência é um quociente de 
polinomiais em s. 
Polinomial em s: representação matemática que 
descreve a relação entre a saída e a entrada de um 
sistema dinâmico linear invariante no tempo em 
termos de polinômios em “s”, em que “s” é uma 
variável complexa que representa a frequência 
complexa. Essa função é expressa como o quociente 
de dois polinômios, sendo o polinômio do numerador 
relacionado à saída, e o polinômio do denominador 
associado à entrada (Irwin; Nelms, 2023).
Segundo Irwin e Nelms (2023), a representação matemática da polinomial 
em s facilita a análise e o projeto de sistemas lineares, especialmente em do-
mínios de frequência, permitindo a compreensão das características de res-
posta do sistema para diferentes frequências de entrada, sendo que, portan-
to, a função de rede é uma ferramenta essencial na teoria de controle e na 
análise de sistemas dinâmicos.
Dada uma entrada Vi(t) e uma saída VF(t), podemos afirmar que a equação 
representativa do sistema é:
( )
+
( )
+ +
( )
+ ( ) =
( )
+
( )
+ +
( )
+ ( )
Se ( ) = , então a saída deve ser da forma ( ) = e substituindo-se 
tem-se: 
+ + + + =
+ + + +
( + + + + ) ( )
= ( + + + + ) ( )
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
+ + + + =
+ + + +
( + + + + ) ( )
= ( + + + + ) ( )
Logo: 
( )
( ) =
+ + + +
+ + + +
Ou, ainda: 
( ) =
( )( ) … ( )
( )( ) … ( )
Os zis são denominados zeros da função de transferência. 
Os pis são denominados polos da função de transferência.
Perceba que os polos e zeros de uma função de transferência estão direta-
mente relacionados com o comportamento dinâmico do sistema represen-
tado por essa função, sendo que os valores dos polos e zeros juntamente com 
o “ganho” bm/an determinam completamente a função de rede. Segundo 
Johnson et al. (1993): 
Polos (ou raízes do denominador)
São os valores de “s” que fazem o denominador da função de 
transferência igual a zero. Em termos práticos, os polos indicam 
as frequências nas quais o sistema pode ter respostas transientes 
não amortecidas ou oscilações. Eles determinam a estabilidade e a 
resposta transitória do sistema.
Zeros (ou raízes do numerador)
São os valores de “s” que fazem o numerador da função de 
transferência igual a zero. Os zeros indicam as frequências nas quais 
a função de transferência é nula, o que pode influenciar o ganho e a 
atenuação de determinadas frequências.
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Relação entre polos e zeros e o comportamento do sistema
A relação entre polos e zeros e o comportamento do sistema são 
cruciais na análise e no projeto de sistemas de controle. 
Ao analisar a distribuição de polos e zeros em um sistema, os engenheiros po-
dem entender como o sistema se comportará em diferentes condições e fa-
zer ajustes no projeto para atender aos requisitos de desempenho desejados.
3.1.3 RESPOSTA NATURAL DA FUNÇÃO DE REDE
De acordo com Orsini (2002), os circuitos podem ser classificados até a ordem 
n, em que n representa o maior expoente na equação diferencial que des-
creve o circuito, sendo que cada ordem adiciona um elemento de armazena-
mento de energia (como um capacitor ou um indutor) ao circuito. Aqui estão 
algumas classificações comuns de circuitos (Orsini, 2002):
Ordem zero (n = 0)
Circuitos de ordem zero são os mais simples e não envolvem 
elementos de armazenamento de energia, sendo que eles 
podem ser representados por relações algébricas simples, sem 
equações diferenciais.
Ordem primeira (n = 1)
Circuitos de primeira ordem envolvem um elemento de 
armazenamento de energia, como um capacitor ou um indutor, sendo 
que a equação que descreve o circuito é uma equação diferencial 
de primeira ordem, e são comumente encontrados em engenharia 
elétrica, especialmente em circuitos que envolvem elementos como 
resistores, capacitores e indutores.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Ordem segunda (n = 2)
Circuitos de segunda ordem incluem dois elementos de 
armazenamento de energia, como dois capacitores, dois indutores 
ou um capacitor e um indutor, sendo que a equação que descreve o 
circuito é uma equação diferencial de segunda ordem.
Ordem superior (n > 2):
Circuitos de ordem superior envolvem mais de dois elementos de 
armazenamento de energia e são descritos por equações diferenciais 
de ordem correspondente, sendo que os circuitos de ordem superior 
são mais complexos e podem envolver múltiplos componentes 
capacitivos, indutivos e resistivos interconectados. 
De acordo com Orsini (2002), a ordem de um circuito é importante porque ela 
determina quantos polos o sistema tem no domínio da frequência e influen-
cia a forma como o circuito responde a diferentes tipos de entradas (como 
sinais senoidais, degraus, etc.), portanto, a compreensão da ordem de um cir-
cuito é crucial para a análise e o projeto de sistemas elétricos e eletrônicos.
Para entendermos a resposta natural para os circuitos, vamos descrever o 
circuito RC, que se trata de um circuito de primeira ordem (assim como os 
circuitos RL (resistor-indutor) e são formados por um componente resistivo 
e um armazenador de energia, resultando numa equação diferencial de pri-
meira ordem (circuito resistor + capacitor).
Os circuitos RC envolvem uma resposta natural típica, que define também 
seu comportamento típico, e são formados por dois componentes passivos, 
um resistor (R) e um capacitor (C), conforme apresentado na figura a seguir. 
Além disso, apresentam respostas específicas se submetidos às singularida-
des usuais, sua resposta forçada à excitação (Alexander; Sadiku, 2013).
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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CIRCUITO RC 
Fonte: adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
#pratodosverem: a figura mostra um exemplo típico de circuito RC.
A figura anterior ilustra um circuito simplificado, em que a resistência R1 pode 
ser interpretada como a resistência equivalente de Thévenin de um circuito 
mais amplo. Da mesma forma, o capacitor pode ser considerado como repre-
sentante de uma associação de outros capacitores, com C1 representando a 
capacitância equivalente.
Enquanto o resistor é um componente linear, o capacitor é não linear, e seu 
comportamento é descrito por meio de equações diferenciais. De acordo com 
Orsini (2002), a equação 1 descreve a corrente (i) por meio de um capacitor. 
=
Em que: v representa a tensão e C representa a capacitância, em faraday (F).
Resistência equivalente de Thévenin (RTh) : é 
uma técnica utilizada na teoria de circuitos para 
simplificar um circuito complexo, representando-o 
por um único resistor em série com uma fonte de 
tensão (ou corrente) (Irwin; Nelms, 2023).
Na equação anterior, é evidente que a corrente que flui por meio do capacitor 
será nula se não houver alteração na tensão, ou seja, se a taxa de variação da 
tensão (dv/dt) for zero. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
A equação mostrada logo a seguir descreve a tensão em um capacitor (Ale-
xander; Sadiku, 2013):
=
1
+
O termo v0 da equação anterior representa a tensão inicial armazenada no 
capacitor no instante inicial t0.
Em um circuito de corrente contínua, o capacitor 
age como um circuito aberto depois de um tempo 
suficientemente longo, uma vez que ele se carrega 
até sua capacidade máxima e não permite mais a 
passagem de corrente contínua. Por essa razão, a 
corrente por meio do capacitor é zero em regime 
permanente. Quando ocorre uma mudança súbita 
na tensão aplicada, o capacitor se opõe a essa 
variação,inicialmente atuando como um curto-
circuito para “absorver” a energia da alteração, 
e, à medida que o tempo passa, o capacitor se 
carrega ou se descarrega, dependendo do sentido 
da variação, até alcançar um novo estado estável 
(Orsini, 2002).
De modo geral, podemos afirmar que um capacitor é um elemento que acu-
mula energia, resistindo constantemente às mudanças de tensão, sendo que 
a expressão para a energia armazenada em um capacitor (representada por 
w) é formulada na equação a seguir (Orsini, 2002): 
=
1
2
Perceba então que os circuitos RC são caracterizados por equações diferen-
ciais de primeira ordem, mostradas anteriormente, devido ao fato de que o 
capacitor segue padrões de corrente e tensão descritos nas equações anterio-
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res, indicando sua natureza não linear. Assim como os circuitos RL, os circuitos 
RC são categorizados como sistemas de primeira ordem, uma vez que a solu-
ção da equação diferencial de primeira ordem é necessária para determinar a 
resposta desse tipo de circuito (Johnson et al., 1993).
Os usos dos circuitos RC são abrangentes e se encontram amplamente disse-
minados em diversos setores da engenharia, sendo que um exemplo concre-
to de emprego de um circuito RC é um marca-passo cardíaco, cujo objetivo 
é regular o ritmo cardíaco natural por meio de um circuito implantado no 
corpo do paciente, conforme demonstrado na figura a seguir.
MARCA-PASSO CARDÍACO
Fonte: ©nawoot, Freepik (2023).
#pratodosverem: a figura mostra um exemplo típico de implementação de um marca-
passo cardíaco. 
O circuito RC mostrado anteriormente opera com uma pequena bateria 
(V1) responsável por carregar o capacitor e após a carga do capacitor, o cir-
cuito é interrompido, sendo que o mesmo ocorre no marca-passo, o que 
provoca a descarga do capacitor pelos eletrodos conectados ao coração, 
gerando um estímulo elétrico que regula um ritmo específico no órgão 
(Nilsson; Riedel, 2016).
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os filtros passivos também exemplificam a aplicação dos circuitos RC. Na fi-
gura a seguir é mostrado um filtro de passagem baixa, sendo que esse é um 
circuito RC conhecido como filtro passivo, pois é formado apenas por compo-
nentes passivos, a saber o resistor e o capacitor.
CIRCUITO RC APLICADO EM FILTRO PASSIVO PASSA-BAIXA
Fonte: adaptada de Haytt Jr., Kemmerly; Durbin (2014, p. 660).
#pratodosverem: a figura mostra um exemplo típico de um circuito RC aplicado em filtro 
passivo passa-baixa.
O circuito ilustrado na figura anterior é denominado “passa-baixa” devido à sua 
capacidade de atenuar sinais de alta frequência, sendo que essa funcionalida-
de é derivada da propriedade do capacitor de agir como um caminho pouco 
condutivo em frequências baixas e como um caminho de alta condutividade 
em frequências elevadas, o que resulta na anulação da tensão de saída.
A resposta natural do circuito RC é determinada pelo comportamento da ten-
são no capacitor na ausência de influências externas. Nesse cenário, avalia-
mos a resposta com base no estado inicial do capacitor carregado, analisando 
seu comportamento intrínseco sem a intervenção de fontes externas (Nils-
son; Riedel, 2016).
O circuito representado na figura a seguir inclui uma chave (SW1), que, 
até o momento t0, mantém a fonte de corrente contínua alimentando o 
circuito RC. Durante esse período, o capacitor é carregado e se comporta 
como um caminho pouco condutivo, resultando em uma tensão igual à da 
fonte no capacitor.
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CIRCUITO RC SEM FONTE
Fonte: adaptada de Haytt Jr., Kemmerly; Durbin (2014, p. 664).
#pratodosverem: a figura mostra um exemplo típico de um circuito RC sem fonte.
No momento inicial t0, a chave fará a comutação, tornando o circuito despro-
vido de fonte. Nesse ponto, a resposta natural do circuito RC será a redução 
gradual da tensão no capacitor, que se descarregará por meio do resistor. É 
importante notar que o capacitor não pode ter sua tensão variada de forma 
abrupta devido à sua característica inerente (Alexander; Sadiku, 2013).
Por meio da aplicação da análise de nós, em conformidade com a lei de Kir-
chhoff, podemos determinar a tensão no capacitor. As equações a seguir des-
crevem a corrente no circuito RC em questão (Johnson et al., 1993):
+ = 0
+ = 0
=
1
Percebe-se que uma equação (última mostrada) é uma reformulação da pe-
núltima mostrada que explicita as correntes no capacitor e no resistor. Em 
seguida, podemos desdobrar em outra equação, na qual todos os termos são 
divididos por C, e introduzir uma variável diferencial, que, por sua vez, é resol-
vida por integração em ambos os lados, resultando na equação a seguir. 
+ = 0
+ = 0
=
1
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Sendo que após a resolução das integrações presentes na equação anterior, 
obtém-se a equação a seguir.
( ) = . /
Essa equação corresponde à resposta natural do circuito RC, em que a tensão 
no capacitor irá apresentar um decaimento de forma exponencial, sendo que 
a taxa de decaimento da tensão será definida pela constante de tempo RC 
(Johnson et al., 1993). 
A constante de tempo, representada como τ (letra 
grega tau), é uma medida crucial no circuito RC e 
pode ser calculada como o produto da resistência 
(R) pelo valor do capacitor (C), ou seja, τ = RC. Essa 
constante indica o intervalo de tempo no qual a 
tensão no capacitor diminuirá aproximadamente 
63,21% de seu valor inicial. Portanto, compreender 
e utilizar a constante de tempo é fundamental para 
uma análise e um projeto eficazes de circuitos RC 
em diversas aplicações (Orsini, 2002).
Considerando o fator , equação anterior pode ser reescrita do seguinte modo: 
( ) = . /
Essa equação é uma forma de escrita da resposta natural de um circuito RC sen-
do que, de forma gráfica, a resposta natural de um circuito RC é representada na 
figura a seguir, ressaltado o valor de tensão após uma constante de tempo.
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GRÁFICO DA RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO RC
Fonte: adaptada de Haytt Jr., Kemmerly; Durbin (2014, p. 266).
#pratodosverem: a figura mostra um gráfico esquemático da resposta natural de um 
circuito RC. 
Ao contrário da resposta natural, a resposta forçada 
do circuito leva em consideração a influência de 
fontes externas no comportamento do sistema. 
Diversos tipos de estímulos são empregados para 
analisar essa resposta (Johnson et al., 1993). Os 
estímulos comuns incluem a resposta ao degrau, a 
resposta ao impulso unitário e a resposta à rampa 
unitária, sendo que essas três funções também 
são conhecidas como singularidades devido à sua 
natureza descontínua (Alexander; Sadiku, 2013).
3.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
A análise da resposta de frequência de circuitos elétricos quando sujeitos a 
uma fonte de excitação senoidal, na qual a amplitude é constante e a frequ-
ência varia, permite determinar a resposta completa do circuito elétrico com 
componentes passivos, incluindo a resposta em termos de amplitude e fase 
em relação à frequência.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Ao empregar uma ampla gama de frequências na entrada e ao escolher o 
ponto de saída do sinal, é viável projetar circuitos elétricos com características 
específicas, como os filtros passivos, sendo que eles têm uma ampla aplica-
ção em sistemas de comunicação e controle, sendo eficazes na eliminação de 
sinais indesejados.
Continuando nossos estudos desta unidade, abordaremos o estudo das ca-racterísticas da resposta de frequência em circuitos elétricos lineares, assim 
como a determinação das funções de transferência. O objetivo é nos fami-
liarizarmos com as respostas de circuitos elétricos em uma ampla faixa de 
frequência, incluindo a representação gráfica da resposta em termos de am-
plitude e fase do circuito, sendo que iremos analisar algumas das principais 
configurações de circuitos elétricos com componentes passivos, conhecidos 
como filtros passivos. 
3.2.1 RESPOSTA EM MÓDULO E FASE
Uma função de rede ou de transferência em circuitos elétricos descreve a re-
lação entre a entrada e a saída de um sistema, considerando os componentes 
e as interconexões. Ela é expressa matematicamente e oferece uma represen-
tação abstrata do comportamento do circuito. A função de rede pode abran-
ger desde simples relações lineares até complexas equações diferenciais, 
dependendo da natureza do circuito. É crucial para a análise e projeto de sis-
temas elétricos, permitindo a compreensão das características de frequência, 
amplitude e fase. Além disso, facilita a identificação de componentes críticos 
e o desenvolvimento de estratégias para otimização e controle de circuitos 
em diversas aplicações, desde eletrônica de potência até sistemas de comu-
nicação avançados. Para analisarmos as funções de rede, devemos, na práti-
ca, examinar a reação de frequência de um circuito elétrico, sendo essencial 
estar familiarizado com algumas ferramentas específicas. Começando pela 
função de transferência H(ω), ela constitui uma representação gráfica que 
ilustra a resposta de um circuito elétrico ao variar a frequência no intervalo de 
0 ≤ ω < ∞.
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COMPARAÇÃO ENTRE OS SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA DE UM CIRCUITO ELÉTRICO 
PARA A ANÁLISE DA RESPOSTA DE FREQUÊNCIA
Fonte: adaptada de Alexander; Sadiku (2013).
#pratodosverem: a figura mostra um gráfico comparativo entre os sinais de entrada e saída 
de um circuito elétrico para a análise da resposta de frequência. 
Na figura a seguir, a função de transferência estabelece uma conexão entre 
os sinais de entrada e saída em relação à frequência (ω). Essa correlação é 
expressa da seguinte forma (Alexander; Sadiku, 2013):
( ) =
( )
( )
Nesse caso, a função de transferência H(ω) apresenta módulo H(ω) e fase Φ, 
sendo mais bem representada por H(ω) = H(ω) ˂ Φ.
FUNÇÃO DE REDE OU DE TRANSFERÊNCIA 
Fonte: adaptada de Alexander e Sadiku (2013).
#pratodosverem: a figura mostra um esquema representativo da função de rede ou de 
transferência. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
De modo geral, podemos estabelecer várias relações e comparações entre as 
tensões e correntes elétricas de entrada e saída e obter a resposta que dese-
jamos analisar, adotando o subscrito i para o sinal de entrada (in) e o subscrito 
o para o sinal de saída (out).
A análise de circuitos elétricos envolve a avaliação 
da resposta em módulo e fase, dois aspectos 
fundamentais para compreender o comportamento 
do sistema. A resposta em módulo se refere à 
magnitude da saída em relação à entrada e é crucial 
para determinar a atenuação ou amplificação do 
sinal em diferentes frequências. Já a fase representa 
o deslocamento temporal entre a entrada e a 
saída do circuito, influenciando a sincronização e a 
precisão de sistemas como filtros e amplificadores. 
Compreender a resposta em módulo e fase é 
essencial para o projeto e a otimização de circuitos, 
garantindo seu desempenho eficaz em diversas 
aplicações (Fowler, 2013). 
3.2.2 FILTROS
Ao empregar componentes reativos, tais como capacitores e indutores, torna-
-se viável conceber circuitos elétricos ao integrá-los com resistores. Essa inte-
gração proporciona a exploração da resposta em frequência desses elemen-
tos para criar filtros que atuem dentro de uma faixa específica. Esses filtros, 
chamados passivos, utilizam exclusivamente componentes passivos entre os 
sinais de entrada e saída. Dependendo do resultado desejado, diferentes con-
figurações podem ser adotadas (Fowler, 2013).
Filtro passa-baixas
É um filtro passivo projetado para atenuar todas as frequências 
superiores à frequência de corte. 
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Filtro passa-altas
É um filtro passivo projetado para atenuar todas as frequências 
inferiores à frequência de corte.
Filtro passa-faixa
Nesse filtro, há duas frequências de corte, ωc1 < ω < ωc2; todo sinal 
fora dessa faixa será atenuado.
Filtro rejeita-faixa
Nesse filtro, há duas frequências de corte ωc1 < ω < ωc2; todo sinal 
dentro dessa faixa será atenuado.
No quadro mostrado a seguir, temos informações sobre o comportamento da 
função de transferência para cada um desses circuitos citados 
VALOR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA AS FREQUÊNCIAS DO SI-
NAL DE ENTRADA
Filtro passivo H(0) H(∞) H(ωc)
Passa-baixas 1 0 1/√2
Passa-altas 0 1 1/√2
Passa-faixa 0 0 1
Rejeita-faixa 1 1 0
Fonte: adaptado de Alexander; Sadiku (2013).
#pratodosverem: quadro com valores da função de transferência para as frequências do 
sinal de entrada para cada tipo de filtro passivo.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Componentes reativos em circuitos: referem-se 
a elementos que armazenam ou liberam energia 
de forma alternada, dependendo da frequência da 
corrente que passa por eles sendo que os principais 
componentes reativos são os capacitores e os 
indutores (Irwin; Nelms, 2023). 
3.2.3 RESSONÂNCIA 
Os circuitos ressonantes são aqueles que envolvem combinações de capa-
citores, indutores e resistores, sendo que a ressonância ocorre quando a cor-
rente e a tensão estão em fase, e a frequência de ressonância depende dos 
valores de L e C. De forma geral, existem dois tipos de circuitos ressonantes: 
série e paralelo.
Circuito RLC: é um tipo específico de circuito elétrico 
que contém três componentes principais: um 
resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C), sendo 
que esses três elementos estão interconectados 
de forma a permitir o fluxo de corrente elétrica. O 
resistor (R) representa a parte resistiva do circuito, 
dissipando energia na forma de calor, o indutor (L) 
é um componente que armazena energia na forma 
de campo magnético quando a corrente passa por 
ele, já o capacitor (C) armazena energia na forma 
de campo elétrico entre suas placas quando uma 
diferença de potencial é aplicada (Irwin; Nelms, 2023). 
No circuito ressonante série, a corrente está em fase com a tensão total. A 
frequência de ressonância é determinada por XL = XC, levando a fórmula fS = 
1/(2π√LC); nesse caso, a largura de banda é a diferença entre as frequências 
laterais f1 e f2, e a potência na ressonância é máxima. O fator de qualidade (Q) 
relaciona a potência reativa à potência média dissipada no resistor e, quanto 
maior o Q, mais concentrada a energia na ressonância. A seletividade do cir-
cuito está ligada ao Q, que é maior quanto menor a largura de banda.
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Em circuitos ressonantes paralelos, a impedância equivalente deve ser resis-
tiva para ressonância, a frequência de ressonância (fP) depende de RS e a 
frequência para impedância máxima (fm) é ligeiramente maior que fP. O fa-
tor de qualidade (QP) é a razão entre a potência reativa e a potência real, e a 
largura de banda está relacionada a QP e à frequência de ressonância.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
CONCLUSÃO
Ao longo desta unidade, mergulhamos no conhecimento das intricadas 
respostas em frequência de circuitos e funções de rede,construindo uma 
sólida base de conhecimento. Iniciamos nossa jornada com uma análise mi-
nuciosa das funções de rede, compreendendo como essas representações 
matemáticas são fundamentais para descrever o comportamento dinâmico 
de sistemas complexos. Além disso, exploramos os polos e os zeros, o que 
acrescentou uma camada de compreensão, revelando como esses pontos 
críticos influenciam diretamente a estabilidade e resposta transitória de sis-
temas e circuitos.
Aprofundamos ainda mais nosso entendimento ao abordar a resposta com-
plexa da função de rede, desvendando, nesse contexto, a influência dos polos 
e zeros na resposta natural de sistemas, destacando a importância de tais 
conceitos na análise de estabilidade e desempenho dinâmico de circuitos.
Em seguida, adentramos no domínio da resposta em frequência, um pilar 
crucial na engenharia de sistemas, sendo que estudamos a relação entre en-
trada e saída em termos de módulo e fase, proporcionando informações valio-
sas para o projeto e a análise de sistemas complexos. A exploração dos filtros 
foi um ponto muito importante, demonstrando como esses dispositivos são 
vitais na seleção e no processamento de diferentes bandas de frequência em 
aplicações tão diversas quanto telecomunicações e processamento de áudio.
Convergimos nossa unidade com uma imersão no fenômeno da ressonância 
de circuitos, um tema de grande relevância dentro dos mais variados cam-
pos de engenharia, e compreendemos como circuitos ressonantes permitem 
amplificação seletiva de sinais em determinadas frequências, desempenhan-
do um papel fundamental em aplicações como rádio, amplificação de áudio 
e detecção de sinais fracos.
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MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema leia os artigos a 
seguir:
• Resposta em frequência de circuitos RC e RLC.
• Conceitos sobre resposta em frequência.
• Resposta em frequência.
• Sinais e sistemas.
• Ressonância num circuito RLC.
http://Resposta em frequência de circuitos RC e RLC
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5570269/mod_resource/content/1/conceitos_rf.pdf
https://www.dsif.fee.unicamp.br/~fabiano/EE640/PDF/Resposta%20em%20frequencia.pdf
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinais_e_sistemas.pdf
https://lemo.paginas.ufsc.br/files/2019/09/roteiro-exp-7.pdf
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
UNIDADE 4
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
110
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> Conceituar a 
transformada de 
Laplace.
> Aplicação da 
transformada de 
Laplace à solução de 
circuitos.
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4. TRANSFORMADA DE LAPLACE E 
SUA APLICAÇÃO NA SOLUÇÃO DE 
CIRCUITOS
Nesta unidade, iremos apresentar e discutir uma das ferramentas mais utili-
zadas para analisar circuitos elétricos: a transformada de Laplace. Essa é uma 
técnica muito interessante e amplamente aplicada no contexto dos circuitos. 
Iremos então apresentá-la, discuti-la, entender suas principais propriedades 
e, em seguida, iremos de fato aplicar todos os conceitos discutidos no contex-
to de circuitos elétricos. Assim, definiremos impedância e funções de transfe-
rência e iremos também entender que as transformadas de Laplace são fer-
ramentas que nos permitem transformar a análise de circuitos nas variáveis 
temporais, para a análise de circuitos nas variáveis de frequência. E, então, 
estão preparados?
4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1.1 DEFINIÇÕES
Precisamos destacar que, para uma boa análise de circuitos elétricos, é pre-
ciso ter conhecimentos prévios sobre importantes teorias e leis que fazem 
parte de toda a composição do eletromagnetismo. 
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CIRCUITO ELÉTRICO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um circuito elétrico complexo a ser analisado.
Transformada de Laplace: ferramenta matemática 
utilizada para transformar uma função de tempo 
em um domínio complexo, o que facilita a resolução 
de equações diferenciais lineares e a análise de 
sistemas dinâmicos lineares invariantes no tempo 
sendo especialmente útil em engenharia, física e 
outras disciplinas relacionadas (Costa, 2018). 
O fato é que, quando todas essas leis se combinam, análises extremamente 
poderosas são facilitadas e assim conseguimos as informações necessárias 
para o estudo dos mais diversos tipos de circuitos existentes. Em geral, essa 
combinação nos leva a equações diferenciais de primeira ordem ou de segun-
da. Então, é natural em uma análise escrever a referida equação diferencial 
para modelar o sistema e, em seguida, resolvê-la. Esta unidade irá apresentar 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
a técnica da transformada de Laplace para resolução de equações diferenciais 
que modelam circuitos elétricos. Nesse sentido, iremos apresentar e discutir 
as ideias principais sobre essa ferramenta e, em seguida, aplicá-las em solu-
ções de equações diferenciais para circuitos elétricos de diferentes naturezas 
(Irwin; Nelms, 2023).
A transformada de Laplace é uma ferramenta 
matemática poderosa que encontra ampla 
aplicação em diversos ramos da física e engenharia. 
Além das equações diferenciais, com frequência 
ela é utilizada na análise e na resolução de sistemas 
elétricos e eletrônicos e dentre os princípios e leis 
fundamentais que podem ser expressos de forma 
mais simplificada e manipulável no domínio de 
Laplace, podemos citar as leis de Maxwell, as leis 
de Ohm, as leis de Kirchhoff e muitas outras que 
desempenham um papel essencial na descrição e 
compreensão de fenômenos eletromagnéticos e 
circuitos elétricos. Essa ferramenta é, portanto, uma 
peça central na modelagem e análise de sistemas 
dinâmicos complexos (Irwin; Nelms, 2023).
A transformada de Laplace é uma das técnicas mais aplicadas e eficientes no 
contexto de resolução de problemas envolvendo circuitos elétricos, poden-
do ser vista como uma operação. De forma mais específica, a transformada 
de Laplace é utilizada para transformar funções com variáveis temporais em 
funções com variáveis de frequência. Nesse contexto, dizemos que a função 
é levada do domínio temporal para o domínio das frequências. O esquema 
ilustrativo mostrado a seguir nos ajuda a entender melhor as ideias por trás 
da transformada de Laplace. 
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ESQUEMA DO FUNCIONAMENTO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Equações
diferenciais
Aplicação da
transformada
de Laplace
Equações
algébricas
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo sobre a aplicação da transformada de Laplace em um 
objeto e o resultado ocasionado por essa aplicação.
Além de permitir a transformação da variável 
temporal para a frequência, o grande sucesso da 
transformada de Laplace é atribuído também ao 
fato de que, quando aplicada em uma equação que 
descreve um determinado circuito, ela transforma 
a referida equação diferencial do circuito em uma 
equação algébrica. Assim, as soluções de equações 
algébricas são muito mais simples, permitindo-nos 
obter a solução para o problema de valor inicial que 
está envolvido (Costa, 2018).
As informações destacadas anteriormente evidenciam algumas das grandes 
vantagens de se trabalhar com a transformada de Laplace no contexto dos 
circuitos elétricos, uma vez que, se as equações diferenciais forem transfor-
madas em algébricas, derivadas e integrais se tornamdescartáveis e o proble-
ma assume uma versão mais simples. 
Considerando essas informações e o fato de aplicarmos a transformada de 
Laplace para deixar a equação com caráter algébrico, resolvemos essa equa-
ção e, finalmente, aplicamos a transformada de Laplace inversa. Ao aplicar a 
inversa da operação, retornaremos ao caso diferencial e assim obteremos a 
resposta e a solução do problema de maneira simples. 
Estas informações evidenciando a metodologia de se utilizar a transformada 
de Laplace e sua inversa, na solução de equações diferenciais, são mais bem 
representadas pelo esquema a seguir. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
ESQUEMA DE COMO APLICAR TRANSFORMADA DE LAPLACE
Equações
diferenciais
Aplicação da
transformada
de Laplace
Equações
algébricas
Solução das
equações
algébricas
Aplicação da
transformada de
Laplace reversa
Solução das
equações
diferenciais
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo da aplicação da transformada de Laplace.
Uma informação importante a ser destacada é 
que a transformada de Laplace é uma operação e 
por isso deve atuar em algum objeto. Nesse caso, 
o objeto que sofrerá a ação dessa operação são 
as funções de interesse. Em resumo, teremos que 
aplicar a transformada de Laplace em funções 
(Omalley, 2014). 
Matematicamente, precisaremos considerar f(t) como uma função real não 
negativa. Isso quer dizer que a transformada de Laplace de f(t) é dada pela 
seguinte integral imprópria, para os valores complexos de para quais a função 
z = s + iv for convergente:
( ) = ( )
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Agora, podemos deixar mais uma informação importante relacionada com a 
observação: utilizaremos as letras maiúsculas para nos referir a funções que 
já sofreram a ação da transformada de Laplace, e letras minúsculas para nos 
referir a funções que ainda não sofreram tal ação (Orsini, 2002).
OPERADORES MATEMÁTICOS
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a imagem é um esquema ilustrativo de alguns dos operadores 
matemáticos mais utilizados na ciência.
Para entender de forma prática o que estamos descrevendo, vamos consi-
derar a aplicação da transformada de Laplace em uma função constante e 
unitária do tipo: 
( ) = 1
Nessas condições, teremos a seguinte transformada de Laplace da função 
dada anteriormente:
(1) = 1
(1) = lim 1
(1) = lim
1
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Repare que o limite só existirá se s > 0; isso quer dizer que:
(1) =
1
, > 0
Seguindo essa linha, um novo caso mais sofisticado pode ser tratado. Nesse 
caso, queremos obter a transformada de Laplace para a função afim f(t) = t.
QUESTIONAMENTO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma mulher refletindo e questionando sobre algo a ser ainda 
descoberto.
Nessas condições, teremos a seguinte transformada de Laplace da função 
dada anteriormente:
( ) =
( ) =
( ) = +
1
( )
118
CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Repare que o termo dado por indica o limite lim Se s > 0, a 
primeira parcela do lado direito é nula, já a segunda fica dada por:
( ) =
1
(1) =
1
, > 0
Segundo Souza (2017), podemos ir mais além aplicando a transformada de 
Laplace em funções definidas por partes, isso é muito útil quando estamos 
estudando sinais elétricos e digitais e outras áreas correlatas. Dessa forma, va-
mos verificar um exemplo simples para entender um pouco mais sobre essas 
afirmações. 
Vamos considerar a seguinte função definidas por partes:
( ) = 0, 0 4
5, > 4
E aplicar a transformada de Laplace.
Para a solução, vamos lembrar da propriedade envolvendo integrais:
( ) = ( ) + ( )
Integral: trata-se de uma operação matemática 
linear, isso significa que ela satisfaz as propriedades 
de linearidade sendo que essas propriedades 
são muito úteis na prática para simplificar o 
cálculo de integrais de funções mais complexas, 
pois permitem quebrar a função em partes mais 
simples e lidar com cada parte separadamente 
(Nussenzveig, 2015). 
119
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
LINEARIDADE
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo de algo linear simbolizando a operação matemática 
linear denominada integral.
Por exemplo, a integral total é a soma das integrais das partes.
Assim, podemos, de fato, iniciar:
( ) = ( )
( ) = ( ) + ( )
( ) = 0 . + 5.
( ) =
5
=
5
120
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Segundo Souza (2015), precisamos destacar 
também o fato de que podemos aplicar a 
transformada de Laplace em funções cíclicas, que 
é o nosso grande interesse ao estudar circuitos 
elétricos em regimes permanentes. Isso inclui, por 
exemplo, as funções seno, cosseno e exponencial. 
Nesse contexto, vamos considerar uma função do 
tipo f(t) = sen(ωt). A partir dela, podemos aplicar a 
transformada de Laplace e verificar seu resultado.
Não podemos abandonar as técnicas de integração que agora serão extre-
mamente importantes para a manipulação da transformada de Laplace. Nes-
se contexto, destacaremos o método da integração por partes, que generica-
mente é dado por:
=
A integração por partes é um método de resolver 
integrais fundamentada na integral de um produto 
de duas ou mais funções. Isso quer dizer que essa 
técnica é extremamente importante e indicada 
para casos em que temos produtos entre funções 
no integrando (Nussenzveig, 2015). 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
PROBLEMAS EM PARTES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo de um problema complexo sendo quebrado em 
partes correspondendo a problemas menores.
Segundo Souza (2015), a aplicação da transformada de Laplace nos leva a: 
( ( )) = ( )
( ( )) =
( ) 1
. cos( ) ( )
( ( )) =
( ) 1
( . sen( )) ( )
( ( )) =
1
sen( )
( ) = ( )
( ) = 1 +
( ) =
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Isto é: 
( ) =
+
, > 0
4.1.2 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Já vimos até o presente momento que a transformada de Laplace é uma fer-
ramenta única e extremamente interessante no contexto das soluções de 
equações diferenciais. No contexto dos circuitos elétricos, utilizamos essa téc-
nica para resolver as equações diferenciais relacionadas a sistemas com ele-
mentos de circuitos elétricos. Também enfatizamos repetidamente sua carac-
terística principal de transformar uma equação diferencial em uma equação 
algébrica quando é aplicada. A partir daí, basta solucionar a equação e em 
seguida aplicar a transformada de Laplace inversa para retornarmos de fato a 
solução da equação diferencial. O que iremos tratar, a partir de agora, é justa-
mente a transformada de Laplace inversa e algumas aplicações no contexto 
das equações diferenciais (Sauter et al., 2022). 
INVERSO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo de duas coisas inversas simbolizando a transformada 
de Laplace inversa, muito utilizada na análise de circuitos elétricos.
123
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Se tratamos com letras maiúsculas as transformadas de Laplace de funções, 
agora iremos tratar com letras minúsculas as transformadas de Laplace inver-
sas. Dentro de alguns requisitos, é de se esperar que a transformada inversa 
só fará sentido se for bijetora, ou seja, se uma função f(t) qualquer estiver 
relacionada com uma única transformada deLaplace F(s). Podemos obser-
var isso por meio do fato de que duas transformadas de Laplace possam ser 
iguais, por exemplo, o caso F(s) = G(s), assim:
( ) = ( )
Isso quer dizer que:
( ) ( ) = 0
O importante é percebermos que o fato da integral ser nula não significa que 
a diferença entre as funções seja nula. Vamos considerar como exemplo a 
função definida por partes:
( ) =
0, 0 3
1, = 3
0, > 3
Esta função não é nula, mas a integral:
( ) = 0
Isso quer dizer que a diferença entre funções, f(t) = g(t) não pode ser diferen-
te de zero em um conjunto muito grande.
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NULIDADE
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo de uma placa escrita nulo simbolizando a nulidade da 
integral obtida.
Vamos introduzir agora um teorema muito útil, principalmente se tratando 
de equações diferenciais em que as derivadas são comumente utilizadas. O 
teorema funciona considerando uma função f(t) contínua de ordem expo-
nencial e f '(t) é contínua por partes para valores t ≥ 0, assim:
( ) = ( ) (0)
Da mesma forma, para os casos de segunda derivada, teremos:
( ) = ( ) (0)
( ) = ( ) (0) (0)
( ) = ( ) (0) (0)
125
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É a partir dessas informações que iremos aplicar os conhecimentos obtidos 
no contexto das equações diferenciais.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo com equações diferenciais que são os objetos em que 
mais empregamos a transformada de Laplace e sua inversa.
Como exemplo vamos considerar o caso em que temos a função dada por:
( ) = ( )
A função cosseno é também conhecida como uma função cíclica. 
126
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Funções cíclicas: essas funções têm uma 
propriedade peculiar em que, ao derivá-las, o 
resultado é uma função proporcional a elas mesmas. 
Matematicamente, isso pode ser expresso como: 
f’(x) = k . f(x), em que k é uma constante. Essa relação 
implica a função e suas derivadas serem todas da 
mesma forma, mas possivelmente escaladas por 
um fator constante. Exemplos clássicos de funções 
cíclicas incluem as funções trigonométricas seno 
e cosseno. Elas são fundamentais em muitos 
contextos da Matemática e da Física, especialmente 
em áreas relacionadas a oscilações, ondas e 
fenômenos periódicos (Nussenzveig, 2015). 
Nesse contexto, teremos as seguintes derivadas:
( ) = ( ),
’( ) = ( )
’’( ) = ( )
Dessa forma, teremos que: 
’’( ) = ( )
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INVERTENDO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: esquema ilustrativo da inversão do sentido horário simbolizando a 
transformação de uma equação algébrica em uma solução da equação diferencial.
Aplicando a transformada de Laplace, teremos: 
( ) (0) (0) = ( )
Utilizando o fato de que f(0) = cos(0) = 1 e f ’(0) = -sen(0) = 0, obtemos:
( ) = ( )
Isolando o termo de interesse, teremos que a transformada de Laplace será 
dada por:
( ) =
+ 1
Vamos considerar o seguinte problema de valor inicial dado por:
( ) + ( ) + ( ) = ( )
(0) =
(0) =
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O problema do valor inicial: é assim denominado 
pelo fato de termos um conjunto composto de pelo 
menos uma equação diferencial e uma condição 
inicial. A condição inicial fornece uma informação 
crucial sobre o comportamento da solução da 
equação diferencial. Ela especifica o valor da 
função (ou suas derivadas, dependendo da ordem 
da equação) em um ponto específico do domínio. 
Isso é essencial para determinar a solução única do 
problema (Nussenzveig, 2015). 
Nesse caso, a,b, y0 e y'0. A aplicação da transformada de Laplace nos dará:
( ) + ( ) + ( ) = ( )
Por meio de uma propriedade da transformada de Laplace de derivadas, teremos: 
( ) (0) (0) + ( ) (0) + ( ) = ( )
Isolando o termo de interesse, teremos: 
( ) =
( ) + (0) + (0) + (0)
+ +
Segundo Souza (2015), essa é a solução do problema de valor inicial.
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PROBLEMA INICIAL
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma criança pensando em resolver um problema inicial 
simbolizando os problemas de valores iniciais em equações diferenciais.
Ainda segundo Souza (2015), para entendermos um pouco mais essa defi-
nição, vamos considerar a aplicação da transformada de Laplace inversa na 
seguinte equação diferencial com problema de valor inicial:
( ) + ( ) = 2
(0) = 2
(0) = 1
130
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PROBLEMÁTICA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma pessoa com uma problemática a ser estudada.
A aplicação da transformada de Laplace na equação diferencial nos leva a:
( ) + ( ) = 2 ( )
( ) (0) (0) + ( ) =
2
Substituindo os valores das condições iniciais, obteremos:
( ) 2 1 + ( ) =
2
( )( + 1) =
2
+ 2 + 1
( ) =
2
( + 1) +
2
( + 1) +
1
( + 1)
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Agora, podemos aplicar a transformada de Laplace inversa dada por: 
( ) =
2
( + 1) +
2
( + 1) +
1
( + 1)
Isso resulta nas seguintes informações:
2
( + 1) = ( )
2
( + 1) = cos( )
1
( + 1) = ( )
No final, a solução do problema de valor inicial será dada por:
( ) = 2 2 ( ) + 2 cos( ) + ( ) = 2 + 2 cos( ) ( )
Destacamos que as informações aqui presentes e muitas outras relacionadas 
a um tema tão importante para a transformada de Laplace estão presentes 
em bons livros de equações diferenciais, sendo um bom exemplo o livro de 
Sauter et al. (2022). 
Destacamos, também, que os valores das 
transformadas de Laplace para algumas funções 
podem ser encontrados em tabelas de consulta 
em alguns livros de equações diferenciais (Sauter 
et al., 2022). 
132
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4.1.3 TEOREMAS DO VALOR INICIAL E FINAL
Vamos considerar F(s) como uma transformada de Laplace de uma função 
no domínio do tempo f(t). Vamos considerar também que: 
lim ( ) =
então,
lim ( ) =
Esse é o denominado teorema do valor final. A prova desse teorema não será 
apresentada aqui por não apresentar ganho significativo de habilidades. O 
fato é que esse teorema assume um papel extremamente importante ao 
analisarmos circuitos elétricos de diversas naturezas. 
De forma análoga, podemos também enunciar o denominado teorema da 
propriedade do valor inicial. Para isso, vamos novamente considerar como 
F(s) a transformada de Laplace de uma função f(t) no domínio do tempo e 
de ordem exponencial em c. Assim, 
lim ( ) =
Então,
lim ( ) =
A prova desse teorema também não será introduzida, mas pode ser consulta-
da em Sauter et al. (2022). 
4.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE 
LAPLACE NA SOLUÇÃO DE CIRCUITOS
4.2.1 CIRCUITO ELÉTRICO NO DOMÍNIO S 
Segundo Alexander e Sandiku (2014), sabemos que os circuitos elétricos são 
formados por vários componentes, e cada um deles apresenta funções espe-
cíficas que são baseadas no princípio da conservação de energia. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
TEMPO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de uma ampulheta contabilizando o tempo e simbolizando a 
transformação do tempo em frequência na análise de circuitos.
Em outras palavras, isso quer dizer que os elementos componentes de um 
determinado circuito sempre estarão associadoscom a transformação de 
energia de uma natureza para a outra ou até mesmo armazenando diversas 
dessas formas de energia e emitindo-as para o ambiente. Nesse contexto, po-
demos citar os resistores, os capacitores e os indutores.
Agora, vamos entender um pouco mais como a transformada de Laplace 
pode nos auxiliar a modelar e a entender melhor circuitos elétricos com vários 
e diferentes componentes. Basicamente, o que iremos fazer é escrever as leis 
básicas do eletromagnetismo, envolvidas no referido circuito elétrico, e em 
seguida aplicaremos as transformadas de Laplace para transformar equações 
não algébricas em algébricas (Costa, 2018). 
134
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ÁLGEBRA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um quadro com equações algébricas simbolizando o 
resultado da aplicação da transformada de Laplace em uma equação diferencial.
Para isso, vamos iniiar falando um pouco sobre os resistores. Esses dispositivos 
apresentam como principal função a transformação de energia elétrica em 
energia térmica em um circuito. Sabemos que os resistores ôhmicos respei-
tam a denominada primeira lei de Ohm, e é a partir dela que iremos entender 
como podemos aplicar a transformada de Laplace nessa relação (Costa, 2018). 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
RESISTORES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem com vários resistores que são os dispositivos responsáveis por 
transformar energia elétrica em energia térmica.
Uma vez que a primeira lei de Ohm é dada por 
=
Vamos aplicar a transformada de Laplace em toda equação. Isso irá nos levar 
à seguinte equação no domínio das frequências: 
{ } = { }
( ) = ( )
É importante reparar agora que o argumento (s) quer dizer que as grandezas 
estão descritas no denominado espaço de frequências s.
Agora, passemos ao caso dos capacitores. Sabemos que a queda de potencial 
entre os polos de um capacitor é dada pela seguinte modelagem: 
( ) =
( )
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Aplicando a transformada de Laplace, assim como fizemos no caso dos resis-
tores, obtemos:
{ ( )} =
( )
( ) = { ( ) (0 )}
( ) = ( ) (0 )
( ) =
1
( ) +
(0 )
Mais uma vez, destacamos o fato de que agora a equação anterior é descrita 
em termos das frequências. 
FREQUÊNCIAS
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um medido de frequência cardíaca simbolizando a 
transformação do domínio de tempo no domínio das frequências após a aplicação da 
transformada de Laplace.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Seguindo um processo análogo, para o caso dos indutores, teremos que a 
queda de tensão em seus polos é dada por: 
( ) =
( )
Aplicando a transformada de Laplace, obteremos a seguinte relação na des-
crição por meio das frequências:
{ ( )} =
( )
( ) = { ( ) (0 )}
( ) = ( ) (0 )
( ) =
1
( ) +
(0 )
Segundo Costa (2018), uma questão interessante que deve ser levantada é: 
se não houver nenhuma energia armazenada nos dispositivos capacitores 
e indutores, a relação entre a tensão e a corrente elétrica pode ser escrita 
na forma: 
( ) = ( ) ( )
O termo Z é a denominada impedância do elemento no domínio das frequ-
ências. A impedância é medida em ohms. 
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INDUTORES
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um indutor do qual queremos obter a impedância quando 
ligado a um circuito elétrico.
Mais uma vez, destacamos o fato de que todas as equações obtidas para os 
respectivos dispositivos estão no domínio das frequências e foram obtidas 
por meio da aplicação da transformada de Laplace (Costa, 2018).
Com essas informações, a impedância no domínio s é simplesmente a razão 
entre a transformada de Laplace da tensão e da corrente elétrica. Uma vez 
que consideramos as condições iniciais iguais a zero, dadas por v(0+) no caso 
do capacitor e i(0-) no caso do indutor, teremos: 
( ) =
( )
( )
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Dessa forma, as impedâncias nos três elementos dos circuitos são dadas, res-
pectivamente, por:
Resistor
Z(s)=R.
Capacitor
Z(s)=sL
Indutor
( ) =
1 .
Vamos considerar um exemplo em que iremos transformar a análise de um 
circuito em termos do tempo, para uma análise em termos da frequência uti-
lizando as noções de transformada de Laplace (Orsini, 2002). 
O processo descrito irá nos ajudar na solução do sistema e na determinação 
de tensões ou correntes, além da determinação da denominada função de 
transferência. 
Vamos então considerar o seguinte circuito em que estamos tratando as con-
dições iniciais iguais a zero. 
CIRCUITO RLC
Fonte: adaptado de Souza (2017, p. 44).
#pratodosverem: esquema ilustrativo do referido circuito RLC a ser analisado.
140
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Segundo Souza (2017), aplicando as noções 
de transformada de Laplace, como já visto 
anteriormente, obteremos as seguintes relações 
entre as quantidades no domínio do tempo e as 
mesmas quantidades no domínio das frequências:
I. ( )
1
II. 1 =
III. 
1
3
1
=
3
Dessa forma, o circuito agora passa a ser representado e analisado no domí-
nio das frequências. 
MALHAS DO CIRCUITO RLC
Fonte: adaptado de Souza (2017, p. 44) 
#pratodosverem: esquema ilustrativo do referido circuito RLC considerando as malhas a 
serem analisadas.
141
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Aplicando ainda a lei da malha de Kirchhoff na malha 1, obteremos que a 
soma das quedas de potencial deve ser nula, ou seja, 
1
= 1 +
3 3
Já na malha 2, teremos:
0 =
3
+ + 5 +
3
=
1
3
( + 5 + 3)
Reorganizando as equações das duas malhas, obteremos: 
1
= 1 +
3 1
3
( + 5 + 3)
3
=
3
+ 8 + 18
Assim, a impedância nos dá:
( ) = =
3
+ 8 + 18
=
3
2
2
( + 4) + 2
Por meio da transformada inversa de Laplace, obteremos no domínio do tempo: 
( ) =
3
2
2
4.2.2 FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO S
A função transferência é uma excelente ferramenta para visualizar o compor-
tamento da saída de um determinado circuito em relação à entrada. Essa é a 
ferramenta ideal para encontrarmos respostas de circuitos, determinação de 
estabilidade e da síntese de circuitos. 
142
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TRANSFERÊNCIA
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de transferência de algo simbolizando a referida função 
transferência.
A função transferência é dada por: 
( ) =
( )
( )
Segundo Souza (2017), nessas condições, é a saída 
do sistema e é a entrada. Como exemplo, em um 
circuito do tipo RLC, podemos encontrar vários 
tipos de função transferência, assim teremos quatro 
possibilidades sendo elas, 
I. Ganho de tensão: ( ) =
( )
( )
II. Ganho de corrente: ( ) =
( )
( )
III. Impedância: ( ) =
( )
( )
IV. Admitância: ( ) =
( )
( )
143
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4.2.3 RESPOSTA DE CIRCUITOS EM REGIME 
PERMANENTE SONOIDAL
Considerando o exposto por Costa (2018), vamos a partir de agora colocar tudo 
que foi discutido em prática considerando um circuito elétrico RLC e assim 
encontraremos a função de transferência. Para isso, já iremos considerar as 
impedâncias descritas no domínio das frequências e, assim, iremos especifi-
camente determinar a função de transferências entre a tensão de entradae 
a tensão no capacitor. 
É de extrema importância destacar o fato de que iremos tratar as condições 
iniciais do problema como sendo nulas (Costa, 2018). O esquema a seguir é 
uma ilustração da situação narrada que iremos analisar.
MALHAS DO CIRCUITO RLC ANALISADO
Fonte: adaptada de Souza (2017, p. 45). 
#pratodosverem: esquema ilustrativo do referido circuito RLC considerando as malhas a 
serem analisadas.
A aplicação das leis de Kirchhoff nos leva às seguintes equações para a res-
pectivas malhas:
( + ) ( ) ( ) = ( )
( ) + + +
1
( ) = 0
Essas equações podem ser escritas na forma matricial em que ficaremos com: 
+
+ +
1 ( )
( ) = ( )
0
144
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Isso vai nos gerar, segundo a regra de Kramer, para a corrente I2(s):
( ) =
+ ( )
0
+
+ + 1
( ) = ( + ) + ( + ) +
( )
Uma vez que a tensão no capacitor é dada por:
( ) =
( )
E a função de transferência:
( ) =
( )
( )
Obtemos
( ) = ( + ) + ( + ) +
145
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CONCLUSÃO
Nesta unidade, focamos nosso estudo basicamente na transformada de La-
place. De forma específica, apresentamos essa importante ferramenta, des-
tacando sua aplicação e em seguida entendendo que essa é vista como um 
operador integral. Vimos que sua principal característica é a de transformar 
uma equação diferencial em algébrica, facilitando assim a solução do sis-
tema. Em seguida, vimos que podemos aplicar nessa solução algébrica a 
transformada de Laplace inversa para retornarmos para o domínio do tem-
po. Depois de bem fundamentada essas ideias, passamos a aplicação de 
fato das transformadas de Laplace e sua inversa no contexto dos circuitos 
elétricos e vimos que sua eficiência e aplicabilidade nesse contexto é extre-
mamente fundamental. 
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema, leia os artigos a 
seguir:
• Transformadas de Laplace 
• MARQUES DE SÁ, J. P. Processamento de 
sinal: conceitos, métodos e aplicações. Porto: 
Faculdade de Engenharia da Universidade de 
Porto, 2001.
• HIGUTI, R. T.; KITANO, C. Sinais e sistemas. São 
Paulo: UNESP, 2003.
• KRUGER, T. Máquinas elétricas. Itajaí: Instituto 
Federal de Santa Catarina, 2017.
• TIMOTEO, S. P. M.; FAESARELLA, A. Conversão 
eletromecânica de energia. Londrina: Editora 
Distribuidora Educacional S.A., 2017.
https://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/laplace.pdf
https://web.fe.up.pt/~jmsa/apsi/APSI-1.PDF
https://web.fe.up.pt/~jmsa/apsi/APSI-1.PDF
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinais_e_sistemas.pdf
http://wiki.itajai.ifsc.edu.br/images/a/ab/ELE22504_-_Aula_9_-_Máquinas_Elétricas.pdf
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/201701/INTERATIVAS_2_0/CONVERSAO_ELETROMECANICA_DE_ENERGIA/U1/LIVRO_UNICO.pdf
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/201701/INTERATIVAS_2_0/CONVERSAO_ELETROMECANICA_DE_ENERGIA/U1/LIVRO_UNICO.pdf
UNIDADE 5
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
146
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
> Calcular a resposta 
de circuitos RC e RL.
> Calcular a resposta 
natural e forçada em 
circuitos RLC.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
5. CIRCUITOS EM REGIME 
TRANSITÓRIO DE PRIMEIRA E 
SEGUNDA ORDEM
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Na análise e no estudo dos circuitos elétricos, a compreensão dos regimes 
transitórios em circuitos elétricos é fundamental para engenheiros e estu-
dantes de engenharia, sendo alicerçada em pilares como os circuitos RL, RC e 
RLC. Nesta unidade, vamos adentrar esse universo, abordando os fenômenos 
que ocorrem durante as mudanças de estado em tais circuitos.
Iniciaremos estudando os circuitos RL e RC, desvendando as constantes de 
tempo que dão forma a essas transições sendo que a função degrau unitário, 
por sua vez, emerge como um instrumento essencial para a análise desses 
circuitos, revelando-nos como eles respondem diante de abruptas variações 
de entrada.
Após, expandiremos nossos horizontes estudando os complexos circuitos 
RLC, em que equações diferenciais de segunda ordem geralmente tomam a 
cena, mergulhando nos contextos associados com a resposta natural e força-
da, compreendendo como as características dos componentes influenciam o 
comportamento transiente. Nesse contexto geral, os circuitos RLC série e pa-
ralelo surgem como desafios fascinantes, oferecendo cenários distintos para 
a aplicação desse conhecimento.
Esta unidade, então, trata de um caminho essencial para uma compreensão 
mais profunda dos fenômenos transitórios em circuitos elétricos, pavimen-
tando o caminho para conhecimentos mais profundos em engenharia de sis-
temas elétricos e eletrônicos.
5.1 TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS RL E RC 
Segundo Costa (2018), no âmbito da engenharia elétrica, o estudo dos 
transitórios em circuitos RL (resistor-indutor) e RC (resistor-capacitor) é de 
suma importância, sendo que, utilizando as constantes de tempo, como 
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ponto de partida, obtemos informações importantes nos processos de ca-
racterização desses comportamentos transitórios já que essas constantes 
determinam a rapidez com que o circuito responde a mudanças repenti-
nas de condições iniciais.
EXEMPLO DE CIRCUITO ELETROELETRÔNICO
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: a figura mostra um exemplo de um circuito eletroeletrônico.
Já a função degrau unitário, uma ferramenta matemática valiosa, é introdu-
zida para modelar alterações abruptas nas entradas dos circuitos sendo que 
ela é a base para entendermos como um sistema reage quando submetido a 
uma transição súbita, partindo do repouso para um estado estacionário. Se-
gundo Costa (2028), a análise da resposta de circuitos RL e RC ao degrau uni-
tário proporciona informações fundamentais sobre a evolução da corrente e 
tensão no circuito durante esses processos transientes. Ainda de acordo com 
Costa (2018), esses conceitos são pilares essenciais para a compreensão e o 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
projeto de sistemas elétricos complexos, permeando diversas áreas da enge-
nharia, e compreender as características transitórias desses circuitos é crucial 
para garantir a operação segura e eficiente de uma ampla gama de disposi-
tivos e sistemas elétricos.
5.1.1 CONSTANTES DE TEMPO 
Segundo Nilsson e Riedel (2016), compreender o significado físico da constante 
de tempo, dentro dos estudos das transições ocorrentes nos Circuitos RC e RL, 
significa compreender, de forma geral, o tempo necessário para que o sistema 
(no caso o circuito) se estabilize e alcance aproximadamente 63% de sua res-
posta final após uma mudança nas condições iniciais. Logicamente, circuitos 
com constantes de tempo maiores ficam mais tempo em estado transiente 
(ou transitório) e levam mais tempo para atingir o estado estacionário.
Dentro desse contexto, vamos explorar dois tipos de circuitos elementares: os 
circuitos que contêm resistor e capacitor (circuitos RC) e aqueles que incluem re-
sistor e indutor (circuitos RL). Apesar de sua simplicidade, esses circuitos desem-
penham um papel fundamental em uma vasta gama de aplicações práticas.
Ao aplicarmos as leis de Kirchhoff a circuitos puramente resistivos, obtemos 
equações algébricas para descrever o comportamento do sistema, porém, no 
entanto, ao estendermos essas leis aos circuitos RC e RL, nos deparamos com 
equações diferenciais de primeira ordem, adicionando uma camada de com-
plexidade à análise.
Leis de Kirchhoff: são princípios fundamentais em 
teoria de circuitos elétricos. A Lei dasCorrentes 
afirma que a soma das correntes que entram em 
um nó do circuito é igual às que saem, e a Lei das 
Tensões estabelece que a soma das diferenças de 
potencial em um percurso fechado é zero. Essas leis 
são cruciais para a análise e a solução de problemas 
em circuitos, fornecendo regras essenciais para 
determinar correntes e tensões em diferentes 
partes de um circuito elétrico (Irwin; Nelms, 2023).
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Um circuito de primeira ordem é aquele que é descrito por uma única equa-
ção diferencial de primeira ordem, e essa característica distingue esses circui-
tos e influencia diretamente sua resposta transitória.
Para Costa (2028), existem duas formas de excitar esses circuitos sendo que, 
primeiramente, temos os circuitos sem fontes independentes, nos quais a 
energia é armazenada nos elementos indutivo e capacitivo, e, por outro lado, 
temos os circuitos com fontes independentes, geralmente de corrente contí-
nua (CC), que fornecem uma entrada de energia adicional ao sistema.
Essas distinções nos métodos de excitação e as equações diferenciais asso-
ciadas desempenham um papel crucial na compreensão e na análise desses 
circuitos, proporcionando uma base sólida para inúmeras aplicações em en-
genharia e eletrônica.
Agora, tratando especificamente do circuito RC sem fonte, a sua ocorrência 
se dá quando a fonte CC é desconectada de forma repentina do circuito, sen-
do que a energia acumulada no circuito é liberada para os resistores. No es-
quema a seguir, temos um exemplo de um circuito RC. 
CIRCUITO RC 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquema representativo de um circuito RC.
No estudo do estado de transitoriedade do circuito, o objetivo é estudar e 
determinar a resposta do circuito após a desconexão da fonte CC em termos 
de tensão e corrente, considerando que o capacitor está carregado para um 
tempo t = 0. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Para esse caso, são válidas, inicialmente, as seguintes equações: 
v(0) = V0 e (0) =
Se aplicarmos a primeira lei das correntes de Kirchhoff no nó superior do cir-
cuito considerado, teremos que: iC+iR=0.
Como = e = .
Temos + = 0. Resolvendo, temos + = 0 v (t) = / .
Esse resultado matemático demonstra que a resposta em tensão do circuito 
RC em função do tempo é uma queda exponencial da tensão inicial. Uma 
vez que a resposta se deve à energia inicial armazenada e às características 
físicas do circuito e não às fontes externas, essa resposta é chamada resposta 
natural do circuito RC.
O gráfico a seguir ilustra essa resposta natural do circuito RC. Observe que em 
t = 0 temos v(0) = V0, e a taxa com que v decresce é expressa em constantes 
de tempo τ. 
GRÁFICO DE RESPOSTA NATURAL DE V(T) 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: gráfico de resposta natural de v(t) – circuito RC. 
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Constante de tempo: a constante de tempo de um 
circuito é o tempo necessário para a resposta de 
decaimento a um fator igual a 1/e ou a 36,8% de seu 
valor inicial (Irwin; Nelms, 2023).
Agora, tratando especificamente do circuito RL sem fonte, vamos considerar 
no circuito a conexão de um resistor e de indutor em série, conforme mostra-
do a seguir.
CIRCUITO RL 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquema representativo de um circuito RL. 
De forma prática, podemos utilizar a corrente i(t) que passa pelo indutor 
como fator de resposta e podemos supor que, em t = 0, o indutor tem uma 
corrente I0.
Para esse caso, são válidas então, inicialmente, as seguintes equações: 
i (0) = I0 e (0) =
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Se aplicarmos a primeira lei das correntes de Kirchhoff no laço do circuito con-
siderado, teremos que: .
Como = e = . .
Temos: + . = 0. Resolvendo, temos: + . = 0 i (t) = / .
Esse resultado matemático demonstra que a resposta em corrente do circui-
to RL em função do tempo é uma queda exponencial da corrente inicial. Uma 
vez que a resposta se deve à energia inicial armazenada e às características 
físicas do circuito e não às fontes externas, essa resposta é chamada resposta 
natural do circuito RL.
O gráfico a seguir ilustra essa resposta natural do circuito RL. Observe que em 
t = 0 temos i(0) = I0, e a taxa com que i decresce é expressa em constantes de 
tempo = sendo, então, i (t) = / .
GRÁFICO DE RESPOSTA NATURAL DE I(T) 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: gráfico de resposta natural de i(t) – circuito RL. 
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As constantes de tempo em circuitos RL e RC 
têm uma analogia surpreendente com a física do 
mundo real, pois elas se assemelham aos tempos 
característicos de sistemas naturais, como a 
constante de tempo de decaimento de elementos 
radioativos, mostrando como os princípios da 
eletricidade estão entrelaçados com fenômenos 
físicos cotidianos (Alexander; Sadiku, 2013).
5.1.2 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO 
A função degrau unitário, denotada como U(t), é uma função matemáti-
ca de importância fundamental no estudo dos transitórios em circuitos RL 
(resistor-indutor) e RC (resistor-capacitor), pois desempenha um papel cru-
cial na análise de como esses circuitos reagem a mudanças abruptas nas 
condições iniciais.
Essencialmente, a função degrau unitário representa uma transição instan-
tânea de um estado inicial para um novo estado constante, sendo que ela é 
caracterizada por dois regimes distintos: para t < 0, a U(t) permanece em zero, 
indicando a ausência de mudanças no sistema, contudo, a partir do momen-
to que t = 0, a U(t) abruptamente se torna igual a 1, simbolizando a entrada 
repentina de um sinal no circuito. 
De modo geral, essa representação matemática espelha situações muito co-
muns na engenharia, como a ligação ou desligamento instantâneo de um 
componente em um circuito elétrico. Imaginemos, por exemplo, um inter-
ruptor sendo fechado em um circuito sendo que, antes do fechamento, a cor-
rente não fluía com U(t) = 0, porém, no instante em que o interruptor é fecha-
do, a corrente começa a fluir instantaneamente no circuito e temos U(t) = 1. 
A aplicação da função degrau unitário em circuitos RL e RC é crucial para ana-
lisar a resposta transitória desses sistemas e serve como uma entrada repre-
sentativa para avaliar como o circuito se comporta diante de uma mudança 
súbita nas condições iniciais. Ao aplicar U(t) como entrada, podemos observar 
a evolução da corrente e tensão no circuito ao longo do tempo. Essa também 
é valiosa na caracterização das constantes de tempo desses circuitos já que 
a resposta do circuito ao degrau unitário fornece informações cruciais sobre 
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a velocidade com que ele atinge o estado estacionário e como a energia é 
distribuída entre os elementos do circuito. A seguir é mostrado o gráfico U(t) 
gerado pela função degrau unitário. 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: gráfico da função degrau unitário. 
Adicionalmente, e não menos importante, a função degrau unitário é ampla-
mente utilizada em sistemas de controle, comunicações e em diversas outras 
áreas da engenharia. Sua simplicidade e sua eficácia a tornam uma ferramen-
ta essencial para compreender e projetar sistemas e circuitos que envolvem 
transições instantâneas de estado.
A função degrau unitário e a função impulso unitário são conceitos relaciona-
dos, mas representam comportamentos diferentes em sistemas dinâmicos.Função degrau unitário
Denotada como U(t), é uma função que muda instantaneamente de 0 
para 1 no instante t = 0, sendo matematicamente definida como: 
U(t) = 0 (se t < 0) e U(t) = 1 se t ≥ 0.
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Função impulso unitário
Denotada como δ(t), é uma função que tem uma área unitária e uma 
amplitude infinita em t = 0, sendo zero para todos os outros valores 
de t. É uma função teórica usada como uma ferramenta matemática 
para descrever fenômenos como o impulso inicial em sistemas físicos 
(Alexander; Sadiku, 2013).
5.1.3 RESPOSTA DE CIRCUITOS RL E RC AO 
DEGRAU UNITÁRIO
Quando a fonte CC de um circuito RC for aplicada de forma repentina nesse 
circuito, essa fonte de tensão pode ser modelada como uma função degrau, 
sendo que a resposta matemática a esse comportamento é conhecida como 
resposta a um degrau. 
Resposta a um degrau: é o comportamento do 
circuito quando a excitação for a função degrau, 
que pode ser uma fonte de tensão ou de corrente 
(Haytt et al., 2014).
Se aplicarmos a primeira lei das correntes de Kirchhoff com v(0) = V0, mate-
maticamente obtemos:
+
( )
= 0
Resolvendo, temos:
+ = ( )
E cuja solução para t > 0 é: v (t) = + ( ). / .
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Os esquemas a seguir mostram de forma esquemática o comportamento do 
circuito RC com a aplicação da função degrau unitário. 
COMPORTAMENTO DO CIRCUITO RC COM APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
Fonte: adaptados de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquemas mostrando comportamento do circuito RC com aplicação da 
função degrau unitário. 
Para esse caso, se o capacitor do circuito tiver uma tensão inicial v(0) = V0, obte-
mos a chamada resposta completa de um circuito RC após a aplicação súbita 
de uma fonte de tensão CC, em que v(t) = V0 se t < 0, e v(t) + VS + (Vo - VS) / 
se t > 0. Essa resposta completa revela a evolução da tensão ao longo do tem-
po após a aplicação da fonte de tensão CC, a contribuição da fonte de tensão 
inicial V0 e a influência do decaimento exponencial com a constante de tem-
po τ são claramente refletidas na solução. A seguir temos os respectivos grá-
ficos de v(t) x t da resposta com capacitor inicialmente carregado, resposta 
com capacitor inicialmente descarregado e resposta em corrente.
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GRÁFICOS DE V(T) X T DA RESPOSTA COM CAPACITOR INICIALMENTE CARREGADO 
(A), RESPOSTA COM CAPACITOR INICIALMENTE DESCARREGADO (B) E RESPOSTA EM 
CORRENTE (C)
Fonte: adaptados de Orsini (2002).
#pratodosverem: gráficos de v(t) x t da resposta com capacitor inicialmente carregado (a), 
resposta com capacitor inicialmente descarregado (b) e resposta em corrente (c). 
Para determinar a resposta completa, podemos, na prática, decompor a res-
posta de duas maneiras. A primeira delas é realizar a divisão da resposta com-
pleta em resposta natural e resposta forçada. 
= +
Em que: = . / e = .(1 / ).
A outra maneira é dividir em resposta transitória (ou transiente) e resposta em 
regime estacionário.
= +
Em que: = ( ). / e = .
Resposta transiente e resposta em regime 
estacionário: resposta transiente é a resposta 
temporária do circuito que se extinguirá com o 
tempo (fora do equilíbrio), já a resposta em regime 
estacionário é o comportamento do circuito um 
longo tempo após a excitação externa ter sido 
aplicada (Haytt et al., 2014).
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Agora, aplicando os conceitos de resposta à função degrau unitário para os 
circuitos RL e utilizando o mesmo tipo de raciocínio, com a ressalva de que 
nesse caso obtemos corrente como resposta nesse tipo de circuito, temos: 
( ) = + /
( ) = ( )[ (0) ( )]. /
Os esquemas a seguir mostram de forma esquemática o comportamento do 
circuito RL com a aplicação da função degrau unitário.
COMPORTAMENTO DO CIRCUITO RL COM A APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DEGRAU 
UNITÁRIO
Fonte: adaptados de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquemas mostrando o comportamento do circuito RL com a aplicação 
da função degrau unitário. 
5.2 TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS RLC
Os circuitos RLC são elementos fundamentais na teoria de circuitos elétri-
cos, pois eles consistem em um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor 
(C) conectados em série ou em paralelo. Quando um circuito RLC é subme-
tido a uma mudança abrupta na fonte de alimentação ocorrem fenômenos 
transitórios.
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ESQUEMAS DE CIRCUITOS RCL EM SÉRIE (A) E EM PARALELO (B)
Fonte: adaptados de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquemas mostrando circuitos RCL em série (a) e em paralelo (b). 
De forma geral, o comportamento transitório em circuitos RLC é modelado 
por equações diferenciais de segunda ordem, que descrevem as relações en-
tre corrente e tensão no circuito, sendo que essas equações são fundamentais 
para compreender como as variáveis do circuito evoluem ao longo do tempo 
(Haytt et al., 2014).
A resposta transitória em um circuito RLC é dividida em duas componentes: 
resposta natural e resposta forçada, sendo que a resposta natural descreve 
a evolução das variáveis do circuito sem a influência de fontes externas, en-
quanto a resposta forçada é causada pela aplicação de uma fonte de sinal.
Em circuitos RLC série (conforme figura anterior), os componentes estão co-
nectados em série, criando uma única trajetória para a corrente já em con-
traste, em circuitos RLC paralelo (também conforme figura anterior), os ele-
mentos estão dispostos em paralelo, permitindo diferentes caminhos para a 
corrente. Ambos os tipos de circuitos apresentam características transitórias 
distintas devido à sua configuração única. 
É importante destacar que a análise dos transitórios em circuitos RLC é essen-
cial para a concepção e otimização de sistemas elétricos, encontrando aplica-
ções em uma ampla gama de dispositivos eletrônicos e sistemas de potência, 
sendo que compreender os fenômenos transitórios em circuitos RLC é crucial 
para garantir a estabilidade e o desempenho adequado desses sistemas em 
situações de mudança nas condições de operação.
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5.2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA 
ORDEM
Segundo Costa (2018), os circuitos RLC, também conhecidos como circuitos de 
segunda ordem, são caracterizados pelas equações diferenciais lineares homo-
gêneas de segunda ordem que os descrevem. Essas equações são do tipo:
( )
+ 2
( )
+ ( ) =
Em que x (t) representa a resposta do circuito, que pode ser tanto a tensão 
quanto a corrente. O coeficiente de amortecimento α (medido em neper/s), a 
frequência natural ou de ressonância ωn (em rad/s) e K é uma constante, que 
pode representar uma tensão ou corrente.
Nessa experiência proposta pelo Prof. Celso José 
Faria de Araújo, do Laboratório de Circuitos Elétricos 
(UDESC), é possível verificar as características de 
resposta transitória de sistemas de 2ª ordem para a 
entrada degrau. Acesse o descritivo da experiência 
neste link e saiba mais! 
Costa (2018) afirma que é importante destacar que essa formulação matemá-
tica reflete a dinâmica complexa dos circuitos RLC e destaca a relação entre 
as diferentes variáveis envolvidas. O coeficiente de amortecimento α influen-
cia a taxa de decaimento da amplitude da resposta transitória, enquanto a 
frequência natural não amortecida ωn revela a frequência intrínseca de oscila-
ção do sistema. O parâmetro K introduz uma componente externa que pode 
ser uma fonte de tensão ou corrente, adicionando um aspecto forçado à res-
posta do circuito.Portanto, compreender as implicações destes parâmetros 
é crucial para a análise e o projeto de circuitos RLC, permitindo o controle e a 
otimização de seu desempenho em diversas aplicações práticas.
https://www.udesc.br/arquivos/udesc/id_cpmenu/10698/RLC_Transiente_15701529738048_10698.pdf
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5.2.2 RESPOSTA NATURAL E FORÇADA
Para os circuitos RCL, a resposta completa para esses tipos de circuito é for-
mada pela soma de duas parcelas, resposta natural e resposta forçada, sen-
do que a resposta completa é descrita pela equação mostrada a seguir: 
( ) = ( ) +
em que xn(t) é a resposta natural e Xf é a resposta forçada (constante).
A resposta forçada é obtida quando se considera o estado do circuito quando 
t → ∞, e a resposta natural é obtida considerando a constante K igual a zero. 
Segundo Nilsson e Riedel (2016), essa condição pode levar a três possíveis si-
tuações:
Resposta natural superamortecida (α > ωn)
( ) = + em que , = ± ; e são 
constantes que podem ser determinadas pelas particularidades do 
circuito. 
Resposta natural criticamente amortecida (α = ωn)
( ) = ( t + ) e são constantes que podem ser 
determinadas pelas particularidades do circuito.
Resposta natural subamortecida (α < ωn)
( ) = [ sen( t) + cos ( t)] em que = é 
frequência natural amortecida (rad/s) e A1 e A2 são constantes que 
podem ser determinadas pelas particularidades do circuito.
As constantes A1 e A2 serão somente determinadas quando a resposta natural 
for somada à resposta forçada, ou seja, com a resposta completa, nas condições 
de contorno. Para tanto, é necessário conhecer o valor de x (to) e ( ), em que 
to é o instante em que houve o transiente (mudança de condição).
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Transiente em circuitos elétricos: refere-se a um 
estado temporário ou transitório de operação 
que ocorre em resposta a uma mudança súbita 
nas condições do circuito, sendo que esse estado 
transiente é caracterizado por variações transitórias 
nas correntes, tensões e outras grandezas elétricas do 
circuito. Essas mudanças podem ser desencadeadas 
por diversas situações, como a ativação ou 
desativação de uma fonte de energia, a introdução 
ou remoção de cargas, ou ainda a ocorrência de 
uma falha momentânea e durante o transiente, as 
condições do circuito se ajustam gradualmente até 
alcançar um novo estado estacionário ou regime 
permanente (Irwin; Nelms, 2023).
O comportamento transiente é de grande importância na análise e no pro-
jeto de sistemas elétricos, pois influencia diretamente a estabilidade, a segu-
rança e o desempenho dos componentes e dispositivos envolvidos. Portanto, 
compreender e analisar os transientes em circuitos elétricos é essencial para 
garantir o funcionamento adequado e seguro desses sistemas em diferentes 
situações operacionais (Irwin; Nelms, 2023).
5.2.3 CIRCUITOS RLC PARALELO E SÉRIE 
Para o nosso aprofundamento na avaliação do circuito RLC em paralelo, va-
mos utilizar o seguinte circuito esquemático como referência. 
ESQUEMA DE UM CIRCUITO RCL EM PARALELO 
Fonte: adaptado de Deaecto (2012).
#pratodosverem: esquema de um circuito RCL em paralelo. 
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Se aplicarmos a primeira lei das correntes de Kirchhoff na malha do circuito 
considerado teremos que: iC+iR=0.
Como = = .
Temos + + = , que é a função de v e iL.
Perceba que = = .
Que nos permite escrever 
d
dt
+
1
+ = com condições iniciais I (0) 
= i e (0) = . Dentro desse contexto, vamos primeiramente estudar a sua 
equação homogênea (i = 0). Note que a equação característica é a seguinte: 
A +
1
A +
1
= 0
Das equações estudadas anteriormente obtemos que:
=
1
2
e =
1
Nesse caso, a solução iL(t) terá um amortecimento forte se:
1
2
>
1
E terá um amortecimento fraco se: 
1
2
<
1
Nesse caso, a energia armazenada no circuito oscila entre os dois armazena-
dores e, cada vez que é transferida, perde energia. Se o amortecimento 1
2
 é 
nulo, ou seja, R = ∞ as raízes da equação característica são puramente imagi-
nárias, e, nesse caso, o circuito passa a ser chamado de oscilador harmônico 
linear, pois oscila continuamente sem perder energia. 
Temos um amortecimento crítico se: 
1
2
=
1
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
E, quando resolvemos a equação diferencial em estudo, obtemos A1 e A2: 
=
1
2
+
1
2
1
=
1
2
1
2
1
Em que A1 e A2 são determinados em função das condições iniciais impostas 
para o circuito I (0) = i e (0) = .
Em circuitos RLC em paralelo, a ressonância ocorre 
quando a impedância do indutor e do capacitor se 
anula, resultando em uma alta corrente, sendo que 
esse fenômeno é explorado em aplicações como 
sintonizadores de rádio, em que a ressonância é 
usada para selecionar uma frequência específica 
de transmissão (Alexander; Sadiku, 2014).
Agora, para o nosso aprofundamento na avaliação do circuito RLC em série, 
vamos utilizar o seguinte circuito esquemático como referência. 
ESQUEMA DE UM CIRCUITO RCL EM SÉRIE 
Fonte: adaptado de Deaecto (2012).
#pratodosverem: esquema de um circuito RCL em série.
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Se aplicarmos a primeira lei das correntes de Kirchhoff na malha do circuito 
considerado, teremos que: 
Temos + + = que é a função de vC e i.
Perceba também que = = .
Que nos permite escrever 
d
dt
+ + = com condições iniciais 
vC (0) = vo e (0) = . Dentro desse contexto, vamos primeiramente estudar 
a sua equação homogênea (E = 0). Note que a equação característica é a se-
guinte: 
A + A +
1
= 0
Das equações estudadas anteriormente, obtemos:
=
2
e =
1
Nesse caso, a solução vC(t) terá um amortecimento forte se:
2
>
1
E terá um amortecimento fraco se: 
2
<
1
Nesse caso, também a energia armazenada no circuito oscila entre os dois 
armazenadores e, cada vez que é transferida, perde energia. Se o amorteci-
mento 2 é nulo, ou seja, R = 0, as raízes da equação característica são pura-
mente imaginárias, e, nesse caso, o circuito passa a ser chamado também de 
oscilador harmônico linear, pois oscila continuamente sem perder energia. 
Temos um amortecimento crítico se: 
2
=
1
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
E, quando resolvemos a equação diferencial em estudo, obtemos A1 e A2: 
=
2
+
2
1
=
2 2
1
Em que A1 e A2 são determinados em função das condições iniciais impostas 
para o circuito vC (0) = vo e (0) = .
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CONCLUSÃO
Ao longo desta unidade, exploramos os fenômenos transitórios em circuitos 
de primeira e segunda ordem, abordando os circuitos RL, RC e RLC, sendo 
que a compreensão das constantes de tempo foi fundamental para analisar 
as respostas desses circuitos a estímulos como o degrau unitário, por exem-
plo. Ao estudar e nos aprofundarmos nos circuitos RL e RC, observamos as 
características distintas de suas respostas transitórias, proporcionando-nos 
ideias importantes e valiosas para futuros projetos de engenharia de sistemas 
elétricos e eletrônicos.
Ao avançar para os circuitos RLC, nós nos deparamos com equações diferen-
ciais de segunda ordem, que descrevem com precisão o comportamento 
transitório e, dentro desse contexto, estudamos a distinção entre resposta 
natural e forçada, que nos revelou a complexidade dos fenômenos envolvi-
dos. De modo geral, explorar os circuitos RLC série e paralelo nos permitiu 
compreender como diferentes configuraçõesimpactam as respostas tran-
sitórias, fornecendo uma base sólida para o projeto e a análise de sistemas 
mais complexos.
Também nesta unidade ficou claro que a análise de circuitos em regime tran-
sitório é fundamental para garantir o funcionamento estável e eficaz de siste-
mas elétricos, sendo que a aplicação desses conhecimentos é vasta, desde o 
desenvolvimento de dispositivos eletrônicos até a gestão de redes de energia, 
sendo esses conhecimentos alicerces sólidos para uma boa prática profissio-
nal e o progresso contínuo no campo da engenharia elétrica.
169
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema leia os artigos a 
seguir:
• Resposta em frequência de circuitos RC e RLC.
• Circuito RLC–transitório.
• Circuito RLC série.
• Resposta transitória de circuitos com elementos 
armazenadores de energia.
• Ressonância num circuito RLC.
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4489961/mod_resource/content/4/Exp6%20_Introducao_Teorica_Resposta_Frequência_2019_Coop_v1.pdf
https://www.udesc.br/arquivos/udesc/id_cpmenu/10698/RLC_Transiente_15701529738048_10698.pdf
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/239561/mod_resource/content/1/RLC_caos.pdf
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/22456/22456.PDF
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/22456/22456.PDF
https://lemo.paginas.ufsc.br/files/2019/09/roteiro-exp-7.pdf
UNIDADE 6
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
170
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
> Calcular os valores 
de resistências, 
indutâncias e 
capacitâncias por 
meio de pontes.
> Apresentar e 
entender os métodos 
de medição de 
potências e energia.
171
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
6. MEDIÇÕES DE GRANDEZAS 
ELÉTRICAS E MAGNÉTICAS 
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
De forma geral, a precisão na medição de grandezas elétricas e magnéticas é 
um pilar fundamental na Engenharia, principalmente nos estudos e análises 
dos Circuitos Elétricos. Nesta unidade, vamos abordar o mundo das medições 
com um enfoque especial em elementos passivos e potência-energia, forne-
cendo as ferramentas essenciais para engenheiros no campo da eletricidade.
Iniciaremos nas medições abordando os elementos passivos fundamentais: 
resistências, capacitâncias e indutâncias. Compreenderemos os princípios 
das pontes de medição, uma técnica consagrada que permite determinar 
valores precisos dessas grandezas. Ao explorar a medição de resistências, ca-
pacitâncias e indutâncias, a ideia é ganhar proficiência na avaliação crítica 
desses componentes cruciais em diversos contextos da Engenharia.
Adicionalmente, a medição de potência e energia é vital para garantir a efici-
ência e a confiabilidade dos sistemas elétricos. Estudaremos a conexão ARON, 
uma técnica valiosa para uma medição de potência em circuitos desequi-
librados, fornecendo aos estudantes um entendimento profundo das com-
plexidades associadas a sistemas de energia real. Além disso, abordaremos 
a medição de energia elétrica, um aspecto crítico na gestão e otimização de 
recursos energéticos, tema muito importante no mundo atual. 
De forma geral, esses conhecimentos não apenas aprimorarão a sua capaci-
dade analítica, mas também irão o preparar para enfrentar desafios reais na 
indústria, em que a precisão nas medições é essencial para o sucesso de pro-
jetos complexos de Engenharia.
6.1 MEDIÇÕES DE ELEMENTOS PASSIVOS POR 
MEIO DE PONTES 
Nesta parte da unidade, vamos explorar a técnica das pontes de medição 
para avaliar precisamente os elementos passivos em circuitos elétricos. Co-
meçaremos com a medição de resistências, utilizando pontes balanceadas 
para determinar valores com alta precisão, em seguida abordaremos a me-
dição de capacitâncias, em que as pontes capacitivas são empregadas para 
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analisar a capacidade de armazenamento de carga. Por fim, vamos conhecer 
a medição de indutâncias, utilizando pontes indutivas para quantificar a ca-
pacidade de gerar um campo magnético. De forma geral, essas técnicas são 
fundamentais para garantir a eficácia e confiabilidade de componentes pas-
sivos em uma ampla gama de aplicações de Engenharia.
Pontes de medição: podemos caracterizar uma 
ponte como um circuito em que a tensão se 
anula quando certas condições pré-definidas 
são atendidas em seus pontos específicos. As 
pontes desempenham um papel crucial no 
desenvolvimento de instrumentos voltados à 
medição de elementos e circuitos, como resistências, 
capacitâncias e indutâncias, além de servirem 
para a avaliação do estado de circuitos completos. 
Esse artigo apresenta algumas das pontes mais 
utilizadas, acompanhadas das fórmulas para 
calcular seus componentes (Irwin; Nelms, 2023).
Existe uma variedade de pontes projetadas para a medição de resistências, 
capacitâncias e indutâncias, e a escolha da ponte adequada influenciará tan-
to a fonte de energia quanto o dispositivo de detecção de anulação.
6.1.1.MEDIÇÃO DE RESISTÊNCIAS 
Segundo Nilsson e Riedel (2016), a medição precisa de resistências é essencial 
em uma ampla gama de aplicações elétricas e eletrônicas. Para alcançar essa 
precisão, são utilizadas pontes especialmente projetadas, que proporcionam 
métodos eficazes e confiáveis para determinar os valores de resistores.
Uma das pontes mais comuns é a ponte de Wheatstone, nomeada em ho-
menagem a Samuel Hunter Christie e posteriormente aprimorada por Sir 
Charles Wheatstone no século XIX. Essa ponte é amplamente utilizada para 
medir resistências com grande exatidão, consistindo em quatro resistores, 
sendo um deles o resistor desconhecido, e é alimentada por uma fonte de 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
tensão contínua. Ao equilibrar a ponte, a corrente por meio do galvanômetro 
(um dispositivo sensível que indica a corrente) se torna zero, indicando que a 
relação entre os resistores é equilibrada e que a resistência desconhecida foi 
determinada com precisão.
PONTE DE WHEATSTONE
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquema representativo de uma ponte de Wheatstone.
Outro tipo relevante é a ponte de Kelvin, também conhecida como ponte de 
quatro terminais. Ela é particularmente útil para medir resistências de baixa 
magnitude e baixa resistividade e possui dois pares de terminais, em que uma 
corrente é aplicada aos terminais externos, enquanto a diferença de potencial 
é medida nos terminais internos. Isso elimina os efeitos das resistências dos 
fios de conexão, proporcionando medições mais precisas em situações em 
que a resistência é extremamente baixa.
Além disso, temos a ponte de Carey Foster, que é uma variação da ponte de 
Wheatstone. Ela foi desenvolvida para medir resistências de valor muito baixo 
e possui uma sensibilidade excepcional. A diferença principal dessa ponte está 
na configuração, em que dois resistores são substituídos por galvanômetros, 
tornando a ponte altamente sensível a pequenas variações de resistência.
174
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PONTE DE CAREY FOSTER 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquema representativo de uma ponte de Carey Foster.
A ponte de Maxwell, por sua vez, é empregada para a medição de resistências 
variáveis em função da temperatura. Ela utiliza fios de platina, cuja resistên-
cia varia com a temperatura, permitindo determinar a variação da resistência 
com a mudança de temperatura.
Para saber mais como funciona a ponte de 
Wheatstone, que é uma situação em que podemos 
não ter os resistores associadosem série ou em 
paralelo e, se essa ponte estiver em equilíbrio, é 
possível encontrar a resistência equivalente de 
forma rápida, assista a esse vídeo. 
Essas pontes para medição de resistências demonstram a importância de 
técnicas precisas e confiáveis na determinação de valores de resistores em 
diferentes situações, pois, com a seleção adequada da ponte e o uso cuida-
doso das técnicas associadas, os engenheiros podem garantir medições de 
resistências precisas, contribuindo para o sucesso e a eficiência de projetos 
elétricos e eletrônicos (Alexander; Sadiku, 2013).
https://www.youtube.com/watch?v=Vp5ssCQT2Y0
175
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6.1.2 MEDIÇÃO DE CAPACITÂNCIAS
De forma geral, a medição precisa de capacitâncias é uma necessidade 
crucial em muitas aplicações de Engenharia Elétrica. Para atender a essa 
demanda, diversas pontes projetadas especificamente para determinar os 
valores de capacitores com alta precisão foram desenvolvidas (Hayt; Kem-
merly; Durbin, 2014).
Segundo Hayt, Kemmerly e Durbin (2014), uma das pontes mais notáveis é a 
de Schering, que tem sido um pilar na medição de capacitâncias desde sua 
criação, no início do século XX. Essa ponte de medição opera em alta frequên-
cia e emprega um capacitor padrão conhecido para comparar com o capaci-
tor desconhecido e isso proporciona uma medição precisa da capacitância do 
componente em questão.
PONTE DE SCHERING
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquema representativo de uma ponte de Schering.
176
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Nessa configuração da ponte de Schering, c1 representa a capacitância cujo 
valor precisa ser identificado em conjunto com a resistência elétrica em sé-
rie, r1. Já c2 é um capacitor de referência estabelecido. O componente c4 é 
um capacitor ajustável, enquanto r3 representa um resistor que não possui 
componente indutivo. O resistor r4, também sem caráter indutivo, é ajustável 
e opera em paralelo com o capacitor variável, c4. A alimentação é fornecida 
à ponte por meio dos pontos a e c, enquanto o dispositivo de detecção está 
conectado entre os pontos b e d.
Segundo Costa (2018), outra ponte de grande relevância é a de Hay, conhe-
cida por sua eficácia na medição de capacitores de alta precisão. Essa ponte 
opera em baixas frequências e utiliza resistores padrão para determinar a ca-
pacitância desconhecida. Ela é especialmente útil em aplicações em que a 
precisão é de extrema importância, como em circuitos sintonizados de rádio. 
Temos, nesse contexto, a ponte de Owen, uma variação da ponte de Schering, 
que oferece maior sensibilidade em frequências mais elevadas, sendo espe-
cialmente eficaz na medição de capacitores que operam em frequências de 
rádio e micro-ondas.
Além disso, temos a ponte de Wien, uma ponte simétrica que pode ser usada 
para medir tanto resistências quanto capacitâncias, empregando um circuito 
oscilador para determinar a frequência de ressonância do capacitor desco-
nhecido, permitindo calcular sua capacitância.
Por fim, temos a ponte de Anderson, que, embora menos conhecida, é uma 
alternativa valiosa para medições de capacitância. Essa ponte de medição uti-
liza a técnica da comparação, em que a capacitância desconhecida é com-
parada com uma capacitância padrão conhecida, oferecendo uma medição 
precisa do valor capacitivo.
177
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Frequências de rádio e micro-ondas: são faixas 
específicas do espectro eletromagnético com 
características distintas, pois as frequências 
de rádio compreendem uma gama de ondas 
eletromagnéticas de baixa energia, variando de 
cerca de 30 hertz a 300 giga-hertz. São amplamente 
utilizadas para comunicações sem fio, incluindo 
transmissões de rádio AM e FM, televisão e telefonia 
celular. Por outro lado, as micro-ondas abrangem 
frequências mais elevadas, variando de 300 
mega-hertz a 300 giga-hertz, e são empregadas 
em aplicações como comunicações por satélite, 
radar, fornos de micro-ondas e em tecnologias de 
comunicação sem fio de alta velocidade, como 
o wi-fi. Ambas as frequências desempenham 
papéis cruciais em diversas áreas, da comunicação 
à tecnologia de sensoriamento remoto e nas 
áreas de eletroeletrônica, possuindo implicações 
significativas nas inovações tecnológicas da era 
moderna (Irwin; Nelms, 2023).
Segundo Costa (2018), as pontes projetadas para medição de capacitâncias 
ilustram a importância de técnicas avançadas na determinação precisa de va-
lores de capacitores em diferentes contextos. Ao escolher a ponte adequada 
e aplicar as técnicas de medição apropriadas, os engenheiros podem garantir 
resultados confiáveis e precisos na avaliação de capacitâncias, contribuindo 
para o sucesso e a eficiência dos seus projetos elétricos e eletrônicos em geral. 
6.1.3 MEDIÇÃO DE INDUTÂNCIAS 
Segundo Fowler (2013), a medição de indutâncias é uma etapa crítica em 
projetos elétricos e eletrônicos, e, para essa finalidade, foram desenvolvidas 
diversas pontes projetadas para avaliar com precisão os valores desses com-
ponentes essenciais.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
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Ainda de acordo com Fowler (2013), uma das pontes mais proeminentes é a 
de Maxwell, que utiliza fios de platina, cuja resistência varia com a tempera-
tura. Essa variação é empregada para determinar a indutância desconhecida, 
permitindo avaliar a resposta da indutância à variação de temperatura.
PONTE DE MAXWELL 
Fonte: adaptado de Orsini (2002).
#pratodosverem: esquema representativo de uma ponte de Maxwell.
A ponte de Maxwell é uma variação da ponte de Wheatstone e opera ajustan-
do resistências e capacitâncias variáveis, sendo considerada uma ponte de 
“produto real”. Na configuração representada no esquema anterior, os valores 
de R1 e R4 são conhecidos, enquanto R2 e C2 são ajustáveis e possuem valores 
conhecidos. Desse modo, R2 e C2 são manipulados até que a ponte alcance 
o estado de equilíbrio, em que a diferença de potencial nos pontos indicados 
pelo galvanômetro se anula. Após o ajuste, os valores de R3 e L3 podem ser 
determinados pelas seguintes expressões:
R3 = (R1. R4) / R2 e L3 = R1. R4. C2 
Para contornar os desafios relacionados à obtenção precisa do valor de uma 
capacitância variável, bem como sua disponibilidade limitada, é viável empre-
gar múltiplos resistores variáveis, e isso oferece a opção de utilizar um capaci-
tor com um valor fixo.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Ponte de Hay
Destaca-se por sua eficácia na medição de indutâncias de alta 
precisão e, ao operar em frequências baixas, utiliza resistores padrão 
para determinar a indutância desconhecida, tornando-se uma escolha 
valiosa em circuitos sintonizados de rádio e em outras aplicações de 
alta sensibilidade.
Ponte de Anderson
É uma alternativa valiosa para medições de indutâncias, já que essa 
ponte compara a indutância desconhecida com uma indutância 
padrão conhecida, oferecendo uma avaliação precisa do valor indutivo.
Ponte de Wien
Embora seja principalmente empregada na medição de capacitâncias, 
também pode ser utilizada para medir indutâncias. Ela emprega um 
circuito oscilador para determinar a frequência de ressonância do 
componente desconhecido, permitindo calcular sua indutância.
Ponte de Schering
Embora mais comumente utilizada para medições de capacitâncias, 
conforme vimos anteriormente, também pode ser adaptada para 
avaliação de indutâncias em frequências apropriadas. Essa ponte é 
especialmente valiosa em situações em que a precisão é primordial 
(Fowler, 2013).
Fowler (2013) aponta que todas essas pontes desenvolvidaspara medição de 
indutâncias demonstram a importância de técnicas avançadas na determi-
nação precisa de valores de indutores em diferentes contextos. Com a seleção 
apropriada da ponte e a aplicação cuidadosa das técnicas associadas, pode-
mos garantir resultados confiáveis e precisos na avaliação de indutâncias. 
180
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6.2 MEDIÇÕES DE POTÊNCIA DE ENERGIA
Agora, vamos explorar o universo das medições de potência e energia, que 
são aspectos cruciais na gestão eficaz de sistemas elétricos. Estudaremos 
também a conexão ARON, que é um método essencial para medição de 
potência em sistemas de corrente alternada, assegurando precisão e con-
fiabilidade nas leituras. Além disso, vamos considerar nos nossos estudos 
os chamados circuitos desequilibrados, explorando técnicas avançadas para 
avaliar a potência em cenários complexos, em que as cargas podem variar. 
Por fim, vamos explorar as medições de energia elétrica, atividade essencial 
e crucial para determinar o consumo em residências, indústrias e estabele-
cimentos comerciais, contribuindo para a eficiência energética e a otimiza-
ção de recursos. 
6.2.1 CONEXÃO ARON 
A medição da potência ativa em um sistema de “n” fases é viável por meio de 
“n-1” wattímetros, desde que as bobinas de potencial estejam conectadas à 
fase que não possui uma bobina de corrente do wattímetro. Na configuração 
apresentada no esquema a seguir, uma carga trifásica está conectada em Y a 
um sistema trifásico de 4 fios. 
SISTEMA DE MEDIÇÃO DE POTÊNCIA TRIFÁSICO
Fonte: adaptado de Irwin e Nelms (2023).
#pratodosverem: esquema representativo de um sistema de medição de potência trifásico.
181
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
A potência ativa total é obtida somando as leituras dos três wattímetros, visto 
que o ponto comum às bobinas de potencial desses dispositivos é o neutro. 
Caso o ponto comum seja uma das fases, a potência total é determinada pela 
soma das leituras de apenas dois wattímetros, como ilustrado no esquema a 
seguir, configurando a conexão Aron. 
CONEXÃO ARON 
Fonte: adaptado de Irwin e Nelms (2023).
#pratodosverem: esquema representativo de uma conexão Aron.
O teorema de Blondel estabelece que, ao ligar as bobinas de potencial dos 
três wattímetros a um ponto comum, que não necessariamente precisa ser 
o neutro, a potência ativa total será a soma das leituras dos três wattímetros.
Você sabia que a medição precisa de potência 
elétrica foi fundamental para a evolução das 
tecnologias de energia renovável? Graças a métodos 
avançados de medição, é possível avaliar com 
precisão a eficiência de painéis solares e turbinas 
eólicas, impulsionando o avanço sustentável da 
geração de energia (Balbinot, 2019).
Para a demonstração física e matemática da conexão de Aron, vamos consi-
derar o sistema trifásico mostrado no esquema a seguir, que está utilizando a 
conexão de Aron. 
182
CIRCUITOS ELÉTRICOS
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SISTEMA DE MEDIÇÃO TRIFÁSICO USANDO A CONEXÃO DE ARON
Fonte: adaptado de Irwin e Nelms (2023).
#pratodosverem: esquema representativo de um sistema de medição trifásico usando a 
conexão de Aron.
Pode-se afirmar que os valores instantâneos das correntes de linhas serão: 
+ + = 0
+ + = 0
De forma fasorial, temos:
+ + = 0
+ + = 0
A potência instantânea, qualquer que seja o ponto comum às bobinas de po-
tencial dos três wattímetros (teorema de Blondel), será dada por:
= . + . + .
Desenvolvendo as equações anteriores, temos:
= ( + )
= . . ( + ) + .
= ( ). + ( ).
183
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Usando:
 ( ) = + ( ) =
Temos:
= . + .
Dessa forma, a potência ativa (ou potência média) será:
=
1
( . ) +
1
( . )
= . . cos , + . . cos ,
em que , e , são valores eficazes, e , e , são ângulos. 
Como os cossenos dos ângulos podem ser negativos ou positivos (dependen-
do se for maior ou menor do que 90°), temos a potência ativa dada por:
= ±
Em que: = . . cos , = . . cos , .
No esquema a seguir, é mostrado um diagrama fasorial de um sistema trifá-
sico.
DIAGRAMA FASORIAL DE UM SISTEMA TRIFÁSICO
Fonte: adaptado de Irwin e Nelms (2023).
#pratodosverem: esquema representativo de um diagrama fasorial de um sistema trifásico.
184
CIRCUITOS ELÉTRICOS
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ARON: a conexão de Aron recebe esse nome em 
homenagem ao engenheiro eletricista francês 
Léon Aron, que contribuiu significativamente para 
o desenvolvimento e o aprimoramento de técnicas 
de medição de potência em sistemas elétricos 
trifásicos. Aron foi um pioneiro na área de medições 
elétricas, e suas contribuições foram fundamentais 
para o avanço da Engenharia Elétrica. Portanto, 
a conexão de Aron é uma técnica nomeada em 
reconhecimento ao trabalho e à inovação de Léon 
Aron no campo da medição de potência (Hayt; 
Kemmerly; Durbin, 2014).
Como podemos calcular o fator de potência (representado pelo símbolo ϕ)? 
Na prática, o fator de potência é um indicador da eficiência na utilização da 
energia elétrica. Um fator de potência baixo indica que há uma defasagem 
significativa entre a corrente e a tensão em um circuito, o que pode resultar 
em uma eficiência menor na utilização da energia. De forma geral, temos as 
seguintes considerações técnicas sobre o fator de potência.
Potência ativa
= . . cos , + . . cos ,
, = 30 + ; , = 30 -
> 60
ϕR > 60o
Se o fator de potência da fase R for menor do que 0,5, as potências se 
subtraem.
ϕR < 60o
Se o fator de potência da fase R for maior do que 0,5, as potências se somam. 
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No contexto da conexão de Aron, para se determinar se as leituras dos dois wat-
tímetros devem ser somadas ou subtraídas, procede-se da seguinte maneira:
• Desativa-se a bobina de potencial do instrumento com a menor leitura.
• Conecta-se esse terminal ao condutor que contém a bobina de corrente do 
outro instrumento.
• Se, nessa conexão, o instrumento indicar um valor maior, as leituras devem 
ser somadas.
• Caso indique um valor menor, as leituras devem ser subtraídas.
Essas etapas são fundamentais para a correta interpretação das medições 
realizadas pelos wattímetros, permitindo uma avaliação precisa da potência 
total em sistemas elétricos.
6.2.2 MEDIÇÃO DE POTÊNCIA EM CIRCUITOS 
DESEQUILIBRADOS 
A medição da potência ativa de uma carga desequilibrada ligada em estrela 
com neutro pode ser alcançada somando-se as potências ativas de cada fase 
individualmente. Dessa forma, ao utilizar três wattímetros em um circuito tri-
fásico para medir as potências ativas em relação ao neutro do sistema, como 
ilustrado no esquema a seguir, a soma dessas medições proporciona o valor 
total da potência absorvida (Senra, 2011).
MEDIÇÃO DE POTÊNCIA ATIVA TRIFÁSICA DE UMA CARGA DESEQUILIBRADA POR TRÊS 
WATTÍMETROS
Fonte: adaptado de Senra (2011).
#pratodosverem: esquema representativo de medição de potência ativa trifásica de uma 
carga desequilibrada por três wattímetros.
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O procedimento ilustrado no esquema anterior não é aplicável a circuitos 
conectados em três fios, com carga disposta em configuração triangular ou 
estrela sem ponto neutro. Para medição nessas circunstâncias, é necessário 
empregar uma abordagem distinta com os wattímetros. O método dos dois 
wattímetros, nesse caso, é o mais indicado e envolve a determinação da po-
tência total da carga, por meio da medição da corrente em duas linhas e da 
tensãoem duas linhas. Vale ressaltar que a medição de tensão é o elemento 
distintivo entre os métodos de três e dois wattímetros (Senra, 2011). 
Circuito com carga desequilibrada: é aquele no 
qual as impedâncias ou consumos de energia em 
suas partes constituintes não são iguais, resultando 
em uma distribuição irregular de corrente elétrica 
(Hayt; Kemmerly; Durbin, 2014).
O esquema a seguir exemplifica a medição de potência ativa trifásica de uma 
carga desequilibrada utilizando dois wattímetros.
MEDIÇÃO DE POTÊNCIA ATIVA TRIFÁSICA DE UMA CARGA DESEQUILIBRADA POR DOIS 
WATTÍMETROS
Fonte: adaptado de Senra (2011).
#pratodosverem: esquema representativo de medição de potência ativa trifásica de uma 
carga desequilibrada por dois wattímetros.
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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Segundo Senra (2011), existem algumas considerações técnicas que devem 
ser observadas quanto à medição de potência ativa trifásica de uma carga 
desequilibrada por dois wattímetros.
Conexão
Os wattímetros representados no esquema anterior devem estar 
conectados de acordo com o sistema, pois a inversão dos terminais 
acarretará erro de medição.
Medição de potência
Se conectado de forma correta, a potência da carga pode ser obtida 
por meio da soma da leitura dos dois wattímetros. 
Referência de tensão
A referência de tensão (conexão do terminal COM) deve ser a mesma para 
os dois wattímetros, sendo que na fase de referência não se mede corrente. 
Ainda de acordo com Senra (2011), para a medição de potência ativa em circui-
tos trifásicos equilibrados é necessária a utilização de apenas um wattímetro:
• Se a medição for realizada em um circuito a quatro cabos, com o comum 
do wattímetro conectado no neutro do sistema, o valor de potência é obtido 
pela multiplicação do valor indicado por três.
• Se a medição for realizada em um circuito a três cabos, com o comum do 
wattímetro conectado em uma das fases, o valor de potência é obtido pela 
multiplicação do valor indicado pela raiz de três.
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6.2.3 MEDIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 
A necessidade de medir a energia elétrica e, como consequência, a potência 
elétrica ativa surgiu com o advento da distribuição e da comercialização de 
energia, visando quantificar o consumo em um sistema. Isso é alcançado pela 
medição da tensão e da corrente, conforme a equação a seguir, presumindo 
que os fatores estejam em fase (fator de potência igual a 1). No entanto, em 
caso de defasagem, a potência é medida pela potência instantânea de con-
sumo, e o wattímetro eletrodinâmico é o instrumento capaz de realizar essa 
medição (Sadiku; Alexander; Sarhan, 2014).
= . .
Em que :
• P é a potência ativa.
• V é a tensão de alimentação.
• I é a corrente da carga.
• ϕ é o fator de potência.
A energia e a potência elétricas podem ser medidas por meio de wattímetros 
eletrodinâmicos de forma simples, com indicação direta. Esse equipamento 
consiste na interação de dois campos variáveis, provocados por dois conjun-
tos de bobinas, as bobinas fixas, constituídas de duas meias bobinas idênticas 
e uma bobina móvel, a qual se encontra presa no ponteiro de indicação.
Basicamente, esse wattímetro mede a interação entre os campos magné-
ticos criados pela corrente do circuito e o campo criado pela tensão (tensão 
na associação série da bobina móvel e em um resistor). A interação dos dois 
campos provoca um deslocamento do ponteiro, proporcionando a indicação 
de potência pelo instrumento (Sadiku; Alexander; Sarhan, 2014). O esquema a 
seguir mostra de forma esquemática um wattímetro eletrodinâmico.
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WATTÍMETRO ELETRODINÂMICO 
Fonte: adaptado de Senra (2011). 
#pratodosverem: esquema representativo de um wattímetro eletrodinâmico. 
Perceba no esquema anterior que a corrente ip é proporcionada pela tensão 
e a corrente medida do circuito é descrita como ic. Para a obtenção de uma 
corrente em fase com a tensão medida, os wattímetros eletrodinâmicos pos-
suem um resistor em série com a bobina Bp, conforme o esquema a seguir. O 
wattímetro deve ser conectado para interromper um trecho do circuito (bobi-
na Bc), medição de corrente e estar em paralelo à carga (bobina Bp), em que 
será medida a potência, medição de tensão, conforme ligação mostrada no 
esquema a seguir. 
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INTERLIGAÇÃO DO WATTÍMETRO 
Fonte: adaptado de Senra (2011).
#pratodosverem: esquema representativo da interligação de um wattímetro. 
Senra (2011) afirma, ainda, os wattímetros analógicos convencionais são liga-
dos com a mesma intenção do esquema mostrado anteriormente.
Você sabia que os wattímetros analógicos 
apresentam uma escala e um ponteiro que se 
deslocam para indicar a potência? Eles oferecem 
uma leitura contínua e intuitiva, sendo ideais para 
uma rápida avaliação visual. Em contraste, os 
wattímetros digitais convertem a medição em sinais 
digitais, exibindo o valor em um display, oferecendo 
uma leitura precisa e geralmente possuindo 
funções adicionais, como armazenamento de 
dados e capacidade de comunicação. Enquanto 
os analógicos são apreciados pela simplicidade, 
os digitais são preferidos em ambientes que 
exigem alta precisão e funcionalidades avançadas, 
como em aplicações industriais e de automação 
(Balbinot, 2019).
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A seguir, é mostrado o esquema de ligação típica de um wattímetro comer-
cial, que possui alguns terminais diferentes para interligação de corrente e 
tensão, a fim de possibilitar a ligação de transformadores de corrente, para 
medição de potências mais altas.
LIGAÇÃO TÍPICA DE UM WATTÍMETRO COMERCIAL 
Fonte: adaptado de Senra (2011). 
#pratodosverem: esquema representativo ligação típica de um wattímetro comercial. 
No esquema anterior, destaca-se que o wattímetro possui entradas para me-
dição de tensão V e COM (bobina Bp) e para a medição de correntes I e OUT 
(bobina Bc) independentes.
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CONCLUSÃO
No decorrer desta unidade, exploramos, de forma abrangente, as técnicas fun-
damentais de medições em Engenharia Elétrica. Iniciamos nossos estudos 
dedicando atenção à medição de resistências, capacitâncias e indutâncias, 
compreendendo, de forma geral, a importância vital dessas medições para o 
projeto e operação de sistemas elétricos complexos. Estudamos e vimos que 
a utilização de pontes proporciona métodos precisos para determinar esses 
elementos passivos, possibilitando uma abordagem sistemática na avaliação 
de seus valores.
Além disso, nas seções posteriores da unidade, expandimos nosso entendi-
mento ao abordar a medição de potência e energia elétrica. Estudamos a 
conexão ARON e sua aplicação na medição de potência em circuitos dese-
quilibrados, em que se destacou a necessidade de técnicas específicas para 
lidar com situações complexas de carga. A medição de energia elétrica, ainda, 
revelou-se crucial para avaliar o consumo em diversas aplicações, desempe-
nhando um papel fundamental na eficiência energética e gestão de recursos.
No contexto global da engenharia elétrica e nos estudos dos circuitos elétricos, 
a precisão e confiabilidade nas medições são pilares essenciais para garantir o 
funcionamento seguro e eficiente de sistemas elétricos. Ao compreender os 
métodos apresentados nesta unidade, estaremos mais bem equipados e pre-
parados para projetar, operar e otimizar sistemas elétricos, contribuindo para 
a inovação e o avanço tecnológico em váriasindústrias, pois a proficiência em 
medições de grandezas elétricas e magnéticas é uma competência crucial 
para os profissionais da área. 
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MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre esse tema leia os artigos a 
seguir:
• Potência trifásica. 
• Alicate wattímetro digital. 
• Ohmímetros (capítulo 4).
• Análise de formas de medição de consumo de 
energia elétrica no setor residencial.
• Sistema de medição de consumo e qualidade da 
energia elétrica com acesso remoto.
https://www.professorpetry.com.br/Ensino/Repositorio/Docencia_UFSC/Circuitos_EEL_7040/Aula09N.pdf
https://www.minipa.com.br/images/Manual/ET-4091-1100-BR.pdf
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/capitulo-4_medidas-eletricas_fabiobleao.pdf
https://www.cin.ufpe.br/~tg/2012-1/jbf2.pdf
https://www.cin.ufpe.br/~tg/2012-1/jbf2.pdf
https://repositorio.ufrn.br/bitstream/123456789/27838/1/Sistemamediçãoconsumo_Moura_2019.pdf
https://repositorio.ufrn.br/bitstream/123456789/27838/1/Sistemamediçãoconsumo_Moura_2019.pdf
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REFERÊNCIAS
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FOWLER, R. Fundamentos de eletricidade: corrente alternada e instrumentos de medi-
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GRIFFITHS, D. J. Eletrodinâmica. São Paulo: Pearson, 2009.
GUSSOW, M. Eletricidade básica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. (Coleção Schaum).
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. São Pau-
lo: Grupo GEN, 2023. v. 3. E-book. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
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HAYT Jr., W. H.; KEMMERLY, J. E.; DURBIN, S. M. Análise de circuitos em engenharia. 8. ed. Porto 
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SAÚDE • EDUCAÇÃO • DIREITO • GESTÃO E NEGÓCIOS
	Apresentação da disciplina
	1. TEORIA BÁSICA DOS CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	1.1 ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS ARMAZENADORES DE ENERGIA, EXCITAÇÃO SENOIDAL E FASORES
	1.2 CIRCUITOS MONOFÁSICOS
	2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	2.1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
	2.2 POTÊNCIA EM CIRCUITOS
	3. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA DE CIRCUITOS E FUNÇÕES DE REDE 
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	3.1 RESPOSTA COMPLEXA E FUNÇÕES DE REDE
	3.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
	4. TRANSFORMADA DE LAPLACE E SUA APLICAÇÃO NA SOLUÇÃO DE CIRCUITOS
	4.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
	4.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA SOLUÇÃO DE CIRCUITOS
	5. CIRCUITOS EM REGIME TRANSITÓRIO DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	5.1 TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS RL E RC 
	5.2 TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS RLC
	6. MEDIÇÕES DE GRANDEZAS ELÉTRICAS E MAGNÉTICAS 
	INTRODUÇÃO DA UNIDADE
	6.1 MEDIÇÕES DE ELEMENTOS PASSIVOS POR MEIO DE PONTES 
	6.2 MEDIÇÕES DE POTÊNCIA DE ENERGIA
	Valor da função de transferência para as frequências do sinal de entrada
	Esquema ilustrativo de um circuito elétrico
	Esquema ilustrativo de elementos de um circuito elétrico
	Esquema ilustrativo de um capacitor
	Capacitor com simetria cilíndrica
	Potência
	Indutores
	Representação esquemática da lei de Biot-Savart
	Representação esquemática de indutância
	Solenoides
	Solenoide com geometria de toro
	Senoides
	Ondas na natureza
	Ilustração com algumas das características gerais de uma senoide
	Espectro eletromagnético
	Função seno e cosseno
	Representação gráfica de funções senos e cossenos
	Resistores
	Circuito elétrico com resistor e capacitor
	Equação diferencial em circuitos eletromagnéticos
	Comportamento da corrente elétrica no capacitor no referido circuito 
	Período e frequência de funções senos e cossenos
	Movimento harmônico simples – Oscilador massa mola
	Representação esquemática de um fasor em sua forma bidimensional
	Função arcotangente
	Consumo em potência
	Quadro de energia
	Osciloscópio
	Esquema ilustrativo de um circuito RL
	Circuito eletrônico
	Solução de equação matemática
	Potência elétrica
	Fator de potência
	Energia
	Capacitor
	Esquema ilustrativo do fator de potência
	Efeito Joule
	Queda de tensão
	Transformadores
	Ondas eletromagnéticas
	Esquema ilustrativo de um transformador
	Material magnético
	Energia eletromagnética
	Linhas de transmissão
	Função cosseno
	Exemplo de resposta em frequência de circuito não ressonante
	Esquema da função de rede 
	Circuito exemplo 
	Circuito RC 
	Marca-passo cardíaco
	Circuito RC aplicado em filtro passivo passa-baixa
	Circuito RC sem fonte
	Gráfico da resposta natural de um circuito RC
	Comparação entre os sinais de entrada e saída de um circuito elétrico para a análise da resposta de frequência
	Função de rede ou de transferência 
	Circuito elétrico
	Esquema do funcionamento da transformada de Laplace
	Esquema de como aplicar transformada de Laplace
	Operadores matemáticos
	Questionamento
	Linearidade
	Problemas em partes
	Inverso
	Nulidade
	Equações diferenciais
	Invertendo
	Problema inicial
	Problemática
	Tempo
	Álgebra
	Resistores
	Frequências
	Indutores
	Circuito RLC
	Malhas do circuito RLC
	Transferência
	Malhas do circuito RLC analisado
	Exemplo de circuito eletroeletrônico
	Circuito RC 
	Gráfico de resposta natural de v(t) 
	Circuito RL 
	Gráfico de resposta natural de i(t) 
	Gráfico da função degrau unitário 
	Comportamento do circuito RC com aplicação da função degrau unitário
	Gráficos de v(t) x t da resposta com capacitor inicialmente carregado (a), resposta com capacitor inicialmente descarregado (b) e resposta em corrente (c)
	Comportamento do circuito RL com a aplicação da função degrau unitário
	Esquemas de circuitos RCL em série (a) e em paralelo (b)
	Esquema de um circuito RCL em paralelo 
	Esquema de um circuito RCL em série 
	Ponte de Wheatstone
	Ponte de Carey Foster 
	Ponte de Schering
	Ponte de Maxwell 
	Sistema de medição de potência trifásico
	Conexão Aron 
	Sistema de medição trifásico usando a conexão de Aron
	Diagrama fasorial de um sistema trifásico
	Medição de potência ativa trifásica de uma carga desequilibrada por três wattímetros
	Medição de potência ativa trifásica de uma carga desequilibrada por dois wattímetros
	Wattímetro eletrodinâmico 
	Interligação do wattímetro 
	Ligação típica de um wattímetro comercial 
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