Integrais Impróprias

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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Prof.: Carlos Mometti
• Revisão de uma integral definida e indefinida;
• Integrais impróprias;
• Método de resolução;
• Algumas integrais.
O que vamos estudar?
Integral indefinida
Uma integral nada mais é do que um somatório de todas as áreas que
estão abaixo de uma curva. Tal somatório resulta numa área
aproximada, isto é, um limite em que consideramos para efeitos de
cálculo. Sua representação é dada por:
න𝑓 𝑥 𝑑𝑒
As integrais chamadas de indefinidas, são aquelas em que não
possuem um intervalo de integração definido, ou seja, no resultado da
integração sempre haverá o acréscimo de uma constate.
Exemplos:
න𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑥2 + 𝐾
න ln 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑥
+ 𝐾
න
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = arctg 𝑥 + 𝐾
Já as integrais chamadas de definidas, são aquelas que nos dão 
um intervalo para sua integração.
Exemplos:
න
0
1
𝑑𝑥 = 𝑥
1
0
= 1 − 0 = 1
න
1
2
𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
2
1
= 𝑒2 − 𝑒 = 𝑒(𝑒 − 1)
න
−1
0
𝑥2 + 2 𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 + 2𝑥
0
−1
= 0 +
1
3
+ 2 =
7
3
As integrais chamadas de impróprias são aquelas que possuem 
como intervalo de integração (inferior e/ou superior) um valor 
que tende ao infinito (positivo ou negativo).
Exemplos:
න
𝟎
+∞
𝒙 𝒅𝒙
න
−∞
𝟎 𝟏
𝒙
𝒅𝒙
Integral imprópria
Para resolvermos uma integral imprópria, precisamos utilizar o
critério de convergência da mesma, isto é, analisar como a
função se comporta quando vai para o infinito (positivo ou
negativo).
න
𝟎
+∞
𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑 + 𝒙
+∞
𝟎
= +∞− 𝟎 = +∞
O critério de convergência das integrais impróprias também será 
muito utilizado para o estudo das séries.
Mais alguns exemplos:
න
𝟏
+∞𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙
+∞
𝟏
= +∞− 𝟎 = +∞
Algumas integrais:
Fonte: Fernandes, M. Cálculo Diferencial e Integral III. E-book. 2021