Teoria Microeconômica I - UFRGS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E RELAÇÕES INTERNACIONAIS 
TEORIA MICROECONÔMICA I 
PROF. MARCELO S. PORTUGAL 
I SEMESTRE 2016 
1º PROVA 
1. Considere a função de utilidade dada por 𝑈(𝑥, 𝑦) = [ln 𝑥𝑎𝑦𝑏]1/2, com a + b = 1. 
(a) Obtenha as funções de demanda para os bens x e y (1 ponto). 
 
 Realizando duas transformações monotônicas na função utilidade, chega-se a uma função Cobb-
Douglas: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑎𝑦𝑏. 
A partir da condição de ótimo da maximização de 𝑈(𝑥, 𝑦) restrita a 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝐼: 
𝑎𝑥𝑎−1𝑦𝑏
𝑏𝑥𝑎𝑦𝑏−1
= 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 
𝑎𝑦
𝑏𝑥
= 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 
Reorganizando e substituindo na restrição orçamentária: 
𝑎𝑝𝑦𝑦
𝑏
+ 𝑝𝑦𝑦 = 𝐼 
Implicando em: 𝑦 = 
𝑏𝐼
(𝑎+𝑏)𝑝𝑦
= 
𝑏𝐼
𝑝𝑦
 e 𝑥 = 
𝑎𝐼
(𝑎+𝑏)𝑝𝑥
= 
𝑎𝐼
𝑝𝑥
. 
 
(b) Interprete os coeficientes a e b (0,5 ponto). 
 
 Como 𝑎 + 𝑏 = 1, observa-se que: 
𝑥𝑝𝑥
𝐼
=
𝑎𝐼
(𝑎 + 𝑏)𝑝𝑥
 
𝑝𝑥
𝐼
= 𝑎 
Portanto, 𝑎 representa a proporção da renda destinada ao consumo de x, e, analogamente, b 
representa a proporção da renda destinada ao consumo de y. 
 
(c) Determine e represente graficamente a curva de renda-consumo e a curva de Engel. Classifique 
os bens entre normais ou inferiores. (1,5 ponto). 
 
A trajetória renda-consumo consiste em uma relação entre a renda e as quantidade 
demandadas de x e de y que, diferentemente da curva de Engel, é expressa no plano xy. Assim 
sendo, deve-se partir da relação de I em função de x e de I em função de y, igualando-se estas 
expressões: 
𝐼 =
(𝑎 + 𝑏)𝑥𝑝𝑥
𝑎
= 
(𝑎 + 𝑏)𝑦𝑝𝑦
𝑏
 
𝑦 = 
𝑏
𝑎
𝑝𝑥
𝑝𝑦
𝑥 
Então, a trajetória renda-consumo é uma reta com inclinação igual ao preço relativo multiplicado 
pela razão dos parâmetros a e b. Abaixo, há uma representação gráfica, supondo, por simplicidade, 
𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 e a =b, de modo que a inclinação é unitária. 
 
A curva de Engel expressa, no plano Ix (e Iy), a relação direta entre a renda e a quantidade 
demandada: 
𝐼 =
𝑥𝑝𝑥
𝑎
, 𝐼 =
𝑦𝑝𝑦
𝑎
 
Supondo px = 1 e a = 0,5, abaixo segue uma representação gráfica da curva de Engel para o bem x, 
uma reta com inclinação igual a 2: 
 
 Por fim, derivando a função demanda em termos da renda, 
𝑑𝑥
𝑑𝐼
 = a/px > 0. O mesmo resultado 
pode ser apreendido do formato da curva de Engel. A partir de um procedimento análogo para o bem 
y, conclui-se que ambos os bens são normais, isto é, crescem na quantidade demandada com 
aumentos de renda. 
 
 
 
2. A função utilidade 𝑈(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2)𝑘 representa preferências côncavas. Demonstre e explique 
a natureza da escolha ótima neste caso (1 ponto). 
 A denominação preferência côncava decorre do formato das curvas de indiferença, que, ao 
contrário do caso convencional, constitui um conjunto côncavo. Especificando 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑘, as 
curvas de indiferença são dadas por circunferências, restritas ao quadrante positivo. A figura abaixo 
demonstra que a tangência não representa um ponto de escolha ótima, uma vez que, seguindo a 
mesma restrição orçamentária, é possível alcançar uma curva de indiferença mais elevada. No caso 
ilustrado abaixo, o consumidor, dadas as suas preferências e os preços relativos, escolhe por 
consumir uma quantidade positiva de y e uma quantidade nula de x. Portanto, com preferências 
côncavas, as soluções são de fronteira. A diferença principal frente às preferências convexas reside 
na hipótese de balanceamento do consumo; isto é, o consumidor não prefere uma combinação linear 
de duas cestas as quais se concentram em ou em outro dos bens. 
 
 
3. Um investidor, com função utilidade Von Neumann-Morgenstern 𝑈(𝑊) = ln 𝑊, defronta-se com 
duas opções de aplicação financeira e dispõe de uma riqueza de $100. Uma aplicação, de renda fixa 
sem risco, garante um rendimento certo de 15%, enquanto a outra, de renda variável com risco, tem 
uma remuneração sujeita à seguinte distribuição de probabilidade: 
 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 
Retorno -30% 5% 40% 
Probabilidade p1 p2 p3 
 
(a) Dada a probabilidade de p1 = 0,25 para o pior cenário possível, encontre os valores de p2 e p3 tais 
que o investimento na renda variável seja tão atraente quanto o investimento de renda fixa, para o 
investidor acima representado (1 ponto). 
 
Como a soma das probabilidades deve ser 1, define-se p2 = 0,75 – p3. A fim de se ter uma 
comparação entre as aplicações que considere a postura do investidor frente ao risco, é preciso uma 
relação baseada na utilidade esperada, e não somente no valor esperado do investimento: 
0,25 ln 70 + 𝑝2 ln 105 + (0,75 − 𝑝2) ln 140 = ln 115 
𝑝2(ln 105 − ln 140) = ln 115 − 0,25 ln 70 − 0,75 ln 140 
𝑝2(−0,2877) = −0,0234 
𝑝2 = 0,0814 
Se p2 = 0,0814 e, logo, p3 = 0,6686, então ambas as aplicações, de renda variável e de renda 
fixa, são equivalentes ao investidor. 
 
(b) Considerando a possibilidade de diversificação, e dado o vetor de probabilidade p = (p1, p2, p3) = 
(0,15; 0,5; 0,35), é preferível o investimento concentrado em renda variável ou a ponderação dada 
por 50% alocado em renda variável e 50% em renda fixa? (1 ponto) 
 
 Calcula-se, primeiramente, a utilidade esperada do investimento em renda variável: 
0,15 ln 70 + 0,5 ln 105 + 0,35 ln 140 = 4,6938 
Em seguida, procede-se de modo semelhante para o investimento em renda fixa: 
ln 115 = 4,7449 
A utilidade esperada do investimento ponderado é, portanto: 
0,5.4,6938 + 0,5.47449 = 4,7194 
Uma vez que 4,7194 > 4,6938, é preferível, para o investidor considerado, o investimento 
balanceado frente ao concentrado em renda variável. No entanto, em comparação à aplicação em 
renda fixa, esta é superior à diversificação. 
 
 
(c) Supondo um vetor de probabilidade p = (p1, p2, p3) = (0,25; 0; 0,75), qual é o equivalente certo à 
aplicação na renda variável? Isto é, qual é o valor que proporciona utilidade igual à utilidade 
esperada da aplicação em renda variável? Represente graficamente e interprete o resultado (1 ponto). 
 
O equivalente certo corresponde ao valor que proporciona a mesma utilidade do que o valor 
esperado da utilidade do retorno do investimento em renda variável: 
0,25 ln 70 + 0,75 ln 140 = 4,7684 
ln 𝐸𝐶 = 4,7684 
𝐸𝐶 = ℮4,7684 
𝐸𝐶 = 117,73 
Observa-se que deve haver uma compensação pelo risco de se investir nesta opção sujeita a perda, 
uma vez que, comparando-se o equivalente certo com o retorno da renda fixa, esta é inferior ao 
primeiro. Assim, não basta somente o valor obtido de maneira garantida através da renda fixa ($115), 
também demanda-se um adicional pelo risco por conta da incerteza envolvida na renda variável. 
 
 
4. Julgue se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta. 
(a) Se (x1, x2) ≽ (y1, y2), sendo (x1, x2) e (y1, y2) duas cestas estritamente distintas, no sentido de que 
x1 ≠ y1 e x2 ≠ y2, então a cesta (x1, x2) possui no mínimo as mesmas quantidades de cada bem da 
cesta (y1, y2). (1 ponto) 
 
 Falso. A hipótese de convexidade das preferências, que indica balanceamento no consumo, 
ajuda a visualizar a incorreção da assertiva. Se a cesta x consiste em uma combinação linear da cesta 
y, a qual apresenta “grande” quantidade do bem 2, e de outra cesta qualquer z, concentrada no bem 1, 
então a cesta x é preferível à cesta y (e também preferível à cesta z), mesmo dispondo de menos de 
um dos bens. A figura abaixo representa uma curva de indiferença convexa, demonstrando que x 
pode ser preferível a y mesmo tendo uma quantidade inferior do bem 2. 
 
 
(b) Se, para a demanda por certo bem por parte de um consumidor, o efeito renda é negativo e não 
excede o efeito substituição, então o bem é um bem de Giffen. (1 ponto) 
 
 Falso. O bem de Giffen é uma classe especial de bem inferior, aquela classe de mercadorias 
na qual um aumento de renda diminui a quantidade demandada. Para que isto ocorra, é necessário 
que o efeito renda seja, então, negativo,e em uma magnitude absoluta que supere o módulo do efeito 
substituição. A equação de Slutsky justifica formalmente o argumento: 
𝜕𝑥
𝜕𝑝𝑥
= 
𝜕𝑥𝑐
𝜕𝑝𝑥
− 𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝐼
 
Como o efeito substituição, medido pelo primeiro termo, é necessariamente negativo, para que um 
aumento de preço eleve a quantidade demandada, é preciso que o efeito renda (o segundo termo) seja 
negativo e superior, em módulo, ao valor absoluto do primeiro, de forma que o resultado final seja 
positivo. 
 
(c) Se as preferências entre dois bens para um consumidor são completas, reflexivas, transitivas e 
não saciáveis, então o módulo da taxa marginal de substituição será decrescente ao longo de suas 
curvas de indiferença. (1 ponto) 
 
 Falso. O módulo da taxa marginal de substituição ser decrescente é uma decorrência da 
hipótese independente de convexidade das preferências. Substantivamente, imagina-se que uma cesta 
balanceada seja preferível a uma concentrada em somente um dos bens. Matematicamente, dada uma 
função utilidade côncava, ela será necessariamente quase-côncava, propriedade matemática segundo 
a qual as isoquantas (aqui, curvas de indiferença) são convexas. A hipótese de convexidade das 
preferências não guarda relação lógica necessária com as demais hipóteses (completude, 
reflexividade, transitividade e não saciedade). A questão 2 demonstra o argumento; preferências 
côncavas não dispõem de taxa marginal de substituição decrescente, porém, nada exclui que as 
demais hipóteses sejam contempladas.