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Prévia do material em texto

FÍSICA GERAL E 
EXPERIMENTAL I
Professor Me. Paulo Otávio Fioroto
Reitor
Márcio Mesquita Serva
Vice-reitora
Profª. Regina Lúcia Ottaiano Losasso Serva
Pró-Reitor Acadêmico
Prof. José Roberto Marques de Castro
Pró-reitora de Pesquisa, Pós-graduação e Ação 
Comunitária
Profª. Drª. Fernanda Mesquita Serva
Pró-reitor Administrativo
Marco Antonio Teixeira
Direção do Núcleo de Educação a Distância
Paulo Pardo
Coordenadora Pedagógica do Curso
Verona Marinho Ferreira
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico
B42 Design
*Todos os gráficos, tabelas e esquemas são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência. Informamos 
que é de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização. A 
violação dos direitos autorais é crime estabelecido pela Lei n.º 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do Código Penal.
Universidade de Marília 
Avenida Hygino Muzzy Filho, 1001 
CEP 17.525–902- Marília-SP
Imagens, ícones e capa: ©envato, ©pexels, ©pixabay, ©Twenty20 e ©wikimedia
F385m sobrenome, nome
nome livro / nome autor. nome /coordenador (coord.) - Marília: 
Unimar, 2021.
PDF (00p.) : il. color.
ISBN xxxxxxxxxxxxx
1. tag 2. tag 3. tag 4. tag – Graduação I. Título.
CDD – 00000
BOAS-VINDAS
Ao iniciar a leitura deste material, que é parte do apoio pedagógico dos 
nossos queridos discentes, convido o leitor a conhecer a UNIMAR – 
Universidade de Marília.
Na UNIMAR, a educação sempre foi sinônimo de transformação, e não 
conseguimos enxergar um melhor caminho senão por meio de um ensino 
superior bem feito. 
A história da UNIMAR, iniciada há mais de 60 anos, foi construída com base 
na excelência do ensino superior para transformar vidas, com a missão 
de formar profissionais éticos e competentes, inseridos na comunidade, 
capazes de constituir o conhecimento e promover a cultura e o intercâmbio, 
a fim de desenvolver a consciência coletiva na busca contínua da valorização 
e da solidariedade humanas.
A história da UNIMAR é bela e de sucesso, e já projeta para o futuro novos 
sonhos, conquistas e desafios.
A beleza e o sucesso, porém, não vêm somente do seu campus de mais de 
350 alqueires e de suas construções funcionais e conectadas; vêm também 
do seu corpo docente altamente qualificado e dos seus egressos: mais 
de 100 mil pessoas, espalhados por todo o Brasil e o mundo, que tiveram 
suas vidas impactadas e transformadas pelo ensino superior da UNIMAR.
Assim, é com orgulho que apresentamos a Educação a Distância da UNIMAR 
com o mesmo propósito: promover transformação de forma democrática 
e acessível em todos os cantos do nosso país. Se há alguma expectativa 
de progresso e mudança de realidade do nosso povo, essa expectativa 
está ligada de forma indissociável à educação.
Nós nos comprometemos com essa educação transformadora, 
investimos nela, trabalhamos noite e dia para que ela seja 
ofertada e esteja acessível a todos. 
Muito obrigado por confiar uma parte importante do seu 
futuro a nós, à UNIMAR e, tenha a certeza de que seremos 
parceiros neste momento e não mediremos esforços para 
o seu sucesso!
Não vamos parar, vamos continuar com investimentos 
importantes na educação superior, sonhando sempre. 
Afinal, não é possível nunca parar de sonhar! 
Bons estudos!
Dr. Márcio Mesquita Serva
Reitor da UNIMAR
Que alegria poder fazer parte deste momento tão especial da sua vida! 
Sempre trabalhei com jovens e sei o quanto estar matriculado 
em um curso de ensino superior em uma Universidade de 
excelência deve ser valorizado. Por isso, aproveite cada 
minuto do seu tempo aqui na UNIMAR, vivenciando o ensino, 
a pesquisa e a extensão universitária. 
Fique atento aos comunicados institucionais, aproveite as 
oportunidades, faça amizades e viva as experiências que 
somente um ensino superior consegue proporcionar.
Acompanhe a UNIMAR pelas redes sociais, visite a sede 
do campus universitário localizado na cidade de Marília, 
navegue pelo nosso site unimar.br, comente no nosso blog 
e compartilhe suas experiências. Viva a UNIMAR!
Muito obrigada por escolher esta Universidade para a 
realização do seu sonho profissional. Seguiremos, 
juntos, com nossa missão e com nossos valores, 
sempre com muita dedicação. 
Bem-vindo(a) à Família UNIMAR.
Educar para transformar: esse é o foco da Universidade de Marília no seu 
projeto de Educação a Distância. Como dizia um grande educador, são 
as pessoas que transformam o mundo, e elas só o transformam 
se estiverem capacitadas para isso.
Esse é o nosso propósito: contribuir para sua transformação 
pessoal, oferecendo um ensino de qualidade, interativo, 
inovador, e buscando nos superar a cada dia para que você 
tenha a melhor experiência educacional. E, mais do que isso, 
que você possa desenvolver as competências e habilidades 
necessárias não somente para o seu futuro, mas para o seu 
presente, neste momento mágico em que vivemos.
A UNIMAR será sua parceira em todos os momentos de 
sua educação superior. Conte conosco! Estamos aqui para 
apoiá-lo! Sabemos que você é o principal responsável pelo 
seu crescimento pessoal e profissional, mas agora você 
tem a gente para seguir junto com você. 
Sucesso sempre!
Profa. Fernanda 
Mesquita Serva
Pró-reitora de Pesquisa, 
Pós-graduação e Ação 
Comunitária da UNIMAR
Prof. Me. Paulo Pardo
Coordenador do Núcleo 
EAD da UNIMAR
008 Aula 01:
019 Aula 02:
026 Aula 03:
036 Aula 04:
043 Aula 05:
052 Aula 06:
061 Aula 07:
071 Aula 08:
080 Aula 09:
087 Aula 10:
095 Aula 11:
103 Aula 12:
111 Aula 13:
120 Aula 14:
128 Aula 15:
136 Aula 16:
As Unidades da Física
Vetores, Referenciais e Velocidade
Movimentos Retilíneos e a Aceleração
Experimentos Práticos: Movimentos Retilíneo
Forças e as Leis de Newton
Forças de Atrito, Elástica e de Tensão
Decomposição de Vetores
Lançamento Oblíquo e Decomposição de Forças
Equipamentos e Experimento Prático: Forças
Energia Mecânica: Cinética e Potencial
Trabalho e Potência
Forças Conservativas e Não Conservativas
Momento Linear e Colisões
Movimentos Circulares e Torque
Centro de Massa
Gravitação
Introdução
Olá, aluno!
Neste livro, daremos início ao estudo de uma das disciplinas mais relevantes para a
vida acadêmica de um futuro engenheiro: a Física.
Desde crianças, sempre ouvimos falar sobre a gravidade, que é aquilo que nos
mantém no chão. Entretanto, como ela funciona? De onde ela surge? Da mesma
forma, sempre vimos um carro andando, mas como isso ocorre? Como a gasolina, ou
qualquer outro combustível, faz um automóvel se movimentar? Estes e demais
eventos serão explicados durante o decorrer do material.
Certos conceitos podem parecer abstratos em alguns momentos, mas não se deixe
enganar - tudo que você faz, incluindo o processo de levantar da sua cama, escovar os
dentes, tomar banho, comer algo, andar, dirigir e, até mesmo, ler este texto, tem um
envolvimento absolutamente direto com a Física.
Iniciaremos tratando do tópico que, possivelmente, é o mais importante deste livro,
que são as unidades do Sistema Internacional. Você com certeza usa algumas delas
em seu cotidiano, mesmo que não tenha conhecimento técnico sobre as mesmas.
Este conteúdo se destaca não apenas para esta disciplina, mas para diversas outras
que estarão por vir.
A próxima parte da disciplina tem como prioridade os movimentos retilíneos, que são
os mais simples da Física. Estudaremos os conceitos de velocidade, aceleração e
falaremos de forma breve sobre a gravidade. Não poderíamos deixar de falar sobre
vetores durante este conteúdo, visto que os mesmos descrevem uma parcela
signi�cativa de grandezas da Física.
Trabalharemos na segunda parte do conteúdo com as forças - e, novamente,
trataremos de vetores. Você perceberá que esta parte da disciplina trabalha muito
frequentemente com ângulos, o que será muito relevante para conteúdos a serem
tratados futuramente, em outras disciplinas.
A terceira, e última, parte do livro fala sobre conceitosque dependem diretamente
das duas primeiras fases da disciplina. Falaremos das energias, da potência, do
trabalho, do centro de massa e, para �nalizar, trataremos da gravitação, que explica
diversas condições referentes a todo o universo.
6
Entretanto, apesar de termos uma maior parcela de aulas voltadas à teoria, não
poderíamos deixar de falar da parte experimental. Teremos aulas voltadas
exclusivamente à explicação de experimentos físicos, de forma que os conceitos
trabalhados de forma teórica �quem mais evidentes e o uso de instrumentos de
medição se torne um hábito durante sua formação.
Espero que esta caminhada ajude a abrir seus olhos para diversos fenômenos que,
apesar de parecerem complexos, têm explicações mais simples do que você poderia
imaginar.
7
01
As Unidades da Física
8
A Importância das Unidades de
Grandeza
Caro(a) aluno(a), pense na seguinte hipótese: você está andando numa cidade
desconhecida, em busca do hotel onde �cará hospedado. Eis que, então, você pede
auxílio para um indivíduo na rua, questionando onde �ca o local e qual é a distância.
O sujeito te responde dizendo apenas “cinco”.
O que esse “cinco” pode signi�car? Metros? Quadras? Quilômetros? Pois bem, é a
partir de exemplos simples como o que foi apresentado que você pode entender a
importância das unidades de grandeza. Na Física, em nada adianta termos apenas
um número – precisamos também das unidades, pois, caso contrário, não será
possível ter um critério de comparação.
Diversas unidades fazem parte do nosso cotidiano, e elas não se limitam à Física. Por
exemplo, quando estamos lendo uma receita, geralmente precisamos colocar uma
colher de açúcar. Entretanto, qual é o tipo de colher? Temos as colheres de café, as
colheres de chá, as colheres de sopa e outras mais. Num outro exemplo, quando
estamos veri�cando a cotação da moeda, fazemos o comparativo entre o real e o
dólar, o euro, a libra e outras dezenas de moedas.
Voltando a tratar especi�camente da Física, existem sete grandezas que são
consideradas básicas: o tempo, o comprimento, a massa, a temperatura, a
quantidade de matéria, a intensidade de corrente elétrica e a intensidade luminosa.
Isso signi�ca que todas as grandezas da física dependem diretamente de pelo menos
uma destas grandezas (SERWAY; JEWETT JR., 2017). Por exemplo, a velocidade se trata
da distância que é percorrida num determinado período – ou seja, o comprimento
percorrido num certo tempo. Estes exemplos �carão mais claros no decorrer da
disciplina.
Como este livro tem como foco principal a Física Mecânica, trabalharemos
majoritariamente com as grandezas de comprimento, tempo e massa. Mas, antes de
darmos início ao conteúdo, é de extrema importância que entendamos como cada
grandeza deve ter o seu valor exposto.
9
O Sistema Internacional
O Sistema Internacional (SI) é uma forma convencional estabelecida para que
pesquisadores de todos os lugares do mundo pudessem se comunicar de uma forma
padronizada. Antes disso, um autor poderia escrever suas unidades de comprimento
sempre em centímetros, enquanto outro poderia escrevê-las em quilômetros. Por um
lado, eles ainda poderiam comparar seus estudos, mas seria necessário converter as
unidades, algo que poderia levar muito tempo.
Da mesma forma, um autor poderia escrever um livro em alguma época passada e
usar uma determinada unidade de medida, a qual poderia vir a ser extinta algumas
décadas depois. Eventualmente, isso tornaria seu trabalho incompreensível, já que,
em algum momento posterior, não haveria mais uma pessoa capaz de entender o
signi�cado de suas grandezas.
A partir da criação do SI, a qual se deu em 1960, estabeleceu-se que a unidade
padrão para o comprimento é o metro. Com base nisso, artigos cientí�cos de todo o
mundo são escritos usando principalmente, mas não exclusivamente, a unidade
metro como padrão para distâncias, o que facilitou muito a comparação de estudos
realizados em diferentes países e em diferentes momentos da história (SERWAY;
JEWETT JR., 2017).
10
O quadro 1 expõe as grandezas consideradas como básicas pela Física. Lembre-se
sempre delas, pois isso facilitará muito seu aprendizado não apenas nesta disciplina,
mas também em diversas outras.
Quadro 1 – Grandezas e unidades básicas do SI
Fonte: Serway e Jewett Jr., 2017 (adaptado).
Grandeza Unidade Sigla
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
Temperatura kelvin K
Corrente Elétrica ampère A
Intensidade Luminosa candela cd
Quantidade de Matéria mol mol
11
Enquanto algumas das unidades vistas no quadro 1 são velhas 
conhecidas, outras podem parecer novas. É muito comum questionar-se o 
motivo da escala de temperatura adotada pelo SI não ser a Celsius (ºC), a 
mais tradicionalmente usada no mundo todo. Isso ocorre porque, apesar 
da escala Kelvin (K) não ser a unidade que adotamos para as 
temperaturas no dia a dia, ela é considerada a escala com base mais 
moderna. O ponto inicial desta escala leva em conta o chamado “zero 
absoluto”, isto é, a temperatura mais baixa possível de ser atingida, o que 
equivale a aproximadamente -273,16 ºC. Para temperaturas há também a 
escala de Fahrenheit (ºF), que apesar de ter considerável importância, é 
usada em poucos países, entre eles os EUA.
Fonte: Telles e Netto (2018)
Além das siglas, também há a padronização de pre�xos usados para obtermos os
múltiplos de cada uma das grandezas, os quais serão apresentados a seguir.
Prefixos
Quando você está dirigindo por uma estrada, é muito comum encontrar placas que
indiquem a distância que ainda resta para chegar a uma determinada cidade. No
Brasil, essa distância é quase sempre dada em quilômetros, representados pela sigla
km.
Note que a palavra “quilômetro” pode ser dividida em duas partes: “quilo” e “metro”.
A segunda palavra nós já conhecemos e sabemos que se trata de uma unidade de
medida de comprimento. Já o pre�xo “quilo” não está presente à toa: seu signi�cado
é justamente para indicar que aquela quantidade de metros deve ser multiplicada
por mil. Tal pre�xo é substituído pela letra k, que acompanha a sigla m para metro –
sendo assim, a sigla para a expressão quilômetro é “km”.
12
Com base nisso, a�rmamos que um quilômetro, ou 1 km, é exatamente a mesma
coisa que 1000 m, enquanto 5 km é exatamente a mesma coisa que 5000 m, e assim
por diante.
No dia-a-dia é muito comum ouvir alguém dizer “meu peso é de oitenta quilos”, mas
essa frase está errada. Na verdade, a expressão correta deveria ser “minha massa é
de oitenta quilogramas”. Veremos posteriormente, neste mesmo livro, que o peso,
apesar de ter relação direta com a massa, tem um signi�cado diferente do que
imaginamos.
Como o pre�xo “quilo” é substituído pela letra k e o su�xo “grama” é representado
pela letra g, então podemos dizer com segurança que a expressão “quilograma” é
representada pela sigla kg, e que 1 kg é exatamente a mesma coisa que 1000 g.
Os pre�xos foram criados justamente para facilitar a nossa leitura e interpretação. O
motivo para isso é simples: seria muito fácil errar a leitura caso tivéssemos uma
grande quantidade de zeros, sejam eles à direita ou à esquerda.
13
Apesar de ser o pre�xo mais usual, o quilo não é a única forma de
abreviação. Vemos com frequência os termos “centímetro”, que
representa 0,01 metro, e “milímetro”, que signi�ca 0,001 metro.
Cada pre�xo multiplica o valor por uma potência diferente de 10. Por exemplo, o k,
que representa 1000, é a terceira potência de 10 – ou seja, 10³. Já o “mili”, que é
representado na sigla pela letra m, multiplica o valor por 0,001, ou seja, por 10⁻³,
enquanto o “centi”, que multiplica o valor por 0,01, representa a potência 10⁻².
O quadro 2 apresenta os principais pre�xos e suas respectivas siglas, além dos seus
signi�cados. Alguns deles não irão parecer comuns a você, mas são amplamente
usados no ramo cientí�co, principalmente quando tratamos de números muito
pequenos, como o tamanho de partículas.
14
Quadro 2 – Pre�xos de�nidos pelo SI
Fonte: Serway e Jewett Jr., 2017 (adaptado).Pre�xo Sigla Potência
Pico p 10
Nano n 10
Micro µ 10
Mili m 10
Centi c 10
Deci d 10
Hecto h 10
Kilo (Quilo) k 10
Mega M 10
Giga G 10
-12
-9
-6
-3
-2
-1
2
3
6
9
15
Você sabe como foi de�nida a massa de um quilograma? Até
recentemente, ela tinha como base um cilindro de platino-irídio.
Entretanto, houve mudanças nos padrões de certas unidades, as quais
começaram a valer a partir de maio de 2019.
Fonte: 
 
Agora que você já tem conhecimento a respeito das escalas e do SI, teremos
condições de seguir com o conteúdo.
Conversões de Unidades
Uma prática que se tornará comum não apenas em nossa disciplina, mas durante
todo o curso, é a conversão de unidades. Anteriormente, usamos as cotações das
moedas como um exemplo de unidades, e voltaremos a usá-las agora.
Quando vamos viajar para o exterior, devemos sempre levar em conta qual é a
cotação da moeda local. Vamos supor que estamos viajando para o Reino Unido,
onde a moeda corrente é a libra esterlina (£), a qual tradicionalmente vale em torno
de 4 reais (R$). Sendo assim, devemos sempre fazer os cálculos usando as devidas
proporções.
16
https://go.eadstock.com.br/kT
Se tivermos conosco £ 50,00, quantos reais teremos? Para isso, basta realizarmos
uma simples regra de três, de forma que encontraremos um resultado equivalente a
R$ 200,00.
Passando para a Física, teremos inúmeros casos nos quais deveremos realizar
conversões de unidades – muitas vezes, envolvendo mais de uma unidade ao mesmo
tempo. Sem as devidas conversões, não teríamos como fazer comparações entre dois
valores.
Assim, na tabela 1 estão expostas as principais conversões que você deve ter em
mente durante a disciplina de Física Geral e Experimental I. Note que, neste
momento, estamos nos limitando a expor as unidades de comprimento, tempo e
massa, pois estas três grandezas são aquelas que irão reger nossa disciplina do início
ao �m.
Tabela 1 – Principais conversões de unidades
Unidade Conversão
Tempo
1 minuto 60 segundos
1 hora 60 minutos
1 hora 3600 segundos
1 dia 24 horas
1 dia 1440 minutos
1 dia 86400 segundos
17
Fonte: Serway e Jewett Jr., 2017 (adaptado).
Unidade Conversão
Massa
1 quilograma 1000 gramas
1 tonelada 1000 quilogramas
Comprimento
1 metro 100 centímetros
1 metro 1000 milímetros
1 quilômetro 1000 metros
Estes valores podem ser determinados a partir de simples cálculos, mas, caso você já
tenha todos eles em mente, o processo de resolução �cará mais rápido. Em nossa
próxima aula, nosso foco estará em um dos assuntos mais relevantes para a Física
como um todo: os vetores.
18
Vetores, Referenciais 
e Velocidade
02
19
Vetores e Escalares
Caro aluno, antes de iniciarmos a explicação sobre os tipos de movimentos,
precisamos discutir brevemente um assunto que será essencial no decorrer da
disciplina - os vetores.
Para a Física, existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. A
diferença entre elas é muito simples e fácil de ser identi�cada, visto que o próprio
nome já expõe o signi�cado de cada uma delas.
Grandezas vetoriais são aquelas que, além do seu módulo e da sua unidade,
exigem uma orientação para serem de�nidas, isto é, precisam de uma direção e
um sentido (HALLIDAY et al., 2018). Por exemplo, imagine que você esteja andando
de bicicleta pelo seu bairro e esteja em busca da casa de um amigo. Ao pedir
informações, alguém lhe dirá que a casa dele �ca a 5 quadras dali. Perfeito,
sabemos a distância, mas 5 quadras para qual lado?
Pois bem, essa é exatamente a função do vetor: oferecer uma orientação. Toda
grandeza vetorial precisa ter uma direção e um sentido para que possa ser
considerada completa. Em nada adianta sabermos que um carro está se movendo
a uma velocidade de 5 km/h sem que conheçamos a direção para a qual ele se
move.
Por outro lado, as grandezas escalares são aquelas que não precisam de uma
direção ou um sentido para que tenhamos compreensão total sobre a mesma
(HALLIDAY et al., 2018). Um exemplo muito fácil de entender é justamente o tempo
- não precisamos dizer que se passaram “5 segundos para a frente” ou “10
segundos para a direita”. Apenas o módulo e a unidade de grandeza já são
su�cientes para entender o que se quer dizer. Podemos falar também da
temperatura, já que não temos como dizer que está “5 ºC para a esquerda”.
Voltando a tratar dos vetores, os mesmos são representados por setas. Entretanto,
apesar de parecerem simples, há informações de extrema importância contidas em
cada uma delas.
Enquanto o traço do vetor indica a chamada direção do mesmo, a seta em sua
ponta irá indicar o sentido. Por exemplo, conforme exposto na Figura 1. 
20
Figura 1. Quatro vetores A, B, C e D
Fonte: O autor (2020).
Os vetores A e B da Figura 1 têmo mesmo sentido e a mesma direção, pois tanto o
traço quanto a direção para queapontam são iguais. Entretanto, o módulo de B é
maior do que o de A -gra�camente, isso é possível de identi�car pelo tamanho do
traço.
O vetor C tem o mesmo sentido queA e B, mas tem sentido oposto, visto que a seta
encontra-se apontada para ooutro lado. Por último, o vetor D tem direção e sentido
diferentes de todos osoutros vetores.
Referenciais
Todo movimento da Física ocorreem relação a um referencial, o qual pode estar
estático ou em movimento. Parafacilitar a compreensão, vamos tratar de um
referencial que esteja �xo noponto de origem, conhecido como ponto 0, conforme
representado na Figura 2.
21
Figura 2. Corpo estático na origem
Fonte: O autor (2020).
Figura 3. Corpo se movimentando a 2 m/s no sentido positivo
Fonte: O autor (2020).
Um observador que esteja parado e olhando em direção à origem vê um corpo
qualquer, antes estático e posicionado no ponto 0, se movimentando para seu lado
direito. Vamos supor que a velocidade de movimento do corpo seja de 2 m/s.
Sendo assim, o vetor velocidade será representado conforme registrado na Figura
3.
Entretanto, repentinamente, este corpo inverte o movimento e acaba se movendo
para a esquerda, também a uma velocidade de 2 m/s. Mas, dessa vez, a velocidade
será considerada como negativa, então diremos que a velocidade do corpo é de -2
m/s, conforme apresentado na Figura 4.
22
Figura 4. Corpo se movimentando a 2 m/s no sentido negativo
Fonte: O autor (2020)
O motivo para isso é justamente o referencial: num movimento bidimensional, há
um sentido que será considerado como positivo e outro como negativo.
O fato do sinal ser negativo não signi�ca, por exemplo, que o corpo está andando
em marcha ré, apenas que ele está indo em sentido contrário ao que
determinamos como positivo. Se quiséssemos, teríamos total liberdade para
considerar o lado esquerdo como o sentido positivo e o lado direito como negativo.
Tudo depende do referencial que estabelecemos.
Estes conceitos serão necessários para que possamos fazer as representações
grá�cas dos temas abordados não apenas durante esta aula, mas também nas
aulas que trataremos especi�camente sobre forças.
Velocidades Média e Instantânea
Aluno(a), para tratarmos dos conceitos referentes aos movimentos, primeiro
precisamos conhecer especi�camente os dois tipos de velocidade com os quais
podemos lidar.
A velocidade é, numa de�nição simples, a distância percorrida num determinado
período. Ou seja, se você está em um carro cujo velocímetro indica 20 m/s, isso
signi�ca que o carro, enquanto estiver sob essa velocidade, irá percorrer 20 metros
a cada segundo que se passar.
Agora, vamos usar um exemplo para explicar o que é a velocidade média. Pense
num carro que, no instante 0 segundos, estava na posição inicial 0 (representada
por ) e que, 10 segundos depois, estava na posição 50 m (representada pela letraSo
23
). Isso signi�ca que, nesses 10 segundos que se passaram, o carro andou 50
metros. Qual foi a velocidade média do carro?
Isso pode ser calculado usando a equação 1:
Em que é a posição �nal do nosso movimento (50 m), é a posição em que
começamos a veri�car o movimento (0 m), é o instante em que o carro atingiu a
posição (10 s) e é o instante emque o carro estava na posição (0 s). Sendo
assim, podemos substituir os termos na equação:
Isso indica que o nosso carro se moveu, em média 5 metros a cada segundo. E esse
é exatamente o conceito da velocidade média - a velocidade que, caso tivesse sido
mantida constante durante todo o período analisado, teria gerado exatamente o
mesmo deslocamento.
S
VM = = (1)
S − SO
t − tO
ΔS
Δt
S SO
t
S tO SO
VM = = = 5 m/s
50 − 0
10 − 0
50
10
O símbolo , que foi usado na equação 1, signi�ca “variação”. Para
determinar a velocidade média não é necessário saber exatamente a
posição �nal e a posição inicial, assim como não é mandatório saber o
instante inicial e o instante �nal. Só é necessário saber o quanto cada
um deles variou.
Δ
Porém, devemos ter em mente que, por mais que esta tenha sido a velocidade
média, ela não necessariamente foi seguida o tempo todo. Pode ser que em um
instante qualquer o carro tenha se movido acima da velocidade média, a 8 m/s, e
no instante seguinte a velocidade dele tenha sido reduzida drasticamente para 2
m/s.
24
A velocidade num instante exato é a chamada velocidade instantânea. Este valor
representa apenas um único momento - ou seja, quando dizemos que, no instante
4 segundos, o carro está a 7 m/s, podemos dizer que essa é a velocidade neste
instante especí�co, mas nada podemos a�rmar sobre os instantes anteriores ou
posteriores a ele sem termos mais informações.
O conceito da velocidade média é aplicado nos radares que
encontramos em rodovias. Antigamente os mesmos consideravam a
velocidade instantânea, de forma a veri�carem a velocidade dos carros
e motos no instante em que passavam por eles. Entretanto, pelo fato de
muitos motoristas frearem logo antes do radar e acelerarem demais
após passarem por ele, a ideia tornou-se inefetiva e decidiu-se mudar o
sistema. Agora, o sistema é composto por dois radares, de forma que
cada um registra o momento em que um determinado automóvel
passou por ele. Como já se sabe a distância entre os dois sensores,
basta dividir esse valor pelo intervalo de tempo e, com isso, determinar
se o automóvel estava acima da velocidade média neste trecho.
En�m, a principal diferença entre as velocidades média e instantânea é que,
enquanto a primeira precisa de um intervalo de tempo para que possa ser
propriamente determinada, a variação de tempo para a determinação do segundo
tende a zero (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
Agora que temos conhecimento sobre os conceitos básicos por trás da teoria
referente aos movimentos, podemos falar propriamente sobre eles e suas
variações. Em nossa próxima aula iremos discutir sobre os dois movimentos
primordiais para os conceitos da Mecânica: os movimentos retilíneos.
25
Movimentos Retilíneos 
e a Aceleração
03
26
Mo�mento Retilíneo Uniforme
Agora, en�m, daremos início à explicação do movimento mais simples da Física: o
movimento retilíneo uniforme (MRU).
Suponha que você esteja dirigindo um carro, em linha reta, por uma avenida de sua
cidade, mantendo o acelerador levemente apertado e sem pisar no freio em
momento algum. Enquanto você se mantiver nestas condições, sua velocidade não
será alterada nem para mais e nem para menos. Pois bem, este é um clássico
exemplo do MRU.
O nome do movimento já dá as suas principais características: o termo “retilíneo”
indica que o mesmo ocorre em linha reta, ou seja, não há mudança de direção ou
sentido, não havendo nem sinal de uma possível curva. O fato de ser “uniforme”
signi�ca que sua velocidade não se altera de forma alguma, mantendo-se constante
desde o início do movimento até o �nal (HALLIDAY et al., 2018).
Como a velocidade tem exatamente o mesmo módulo para a velocidade a cada
instante, isso signi�ca que, neste caso especí�co, a velocidade média e a velocidade
instantânea serão exatamente as mesmas.
Quando tratamos do MRU, devemos sempre lembrar da equação 1:
Ela é conhecida como a função horária de um MRU, em que é a posição na qual o
corpo se encontra no instante , é a posição de partida do corpo - em outras
palavras, a posição na qual o corpo estava no instante 0 -, e é a velocidade com
que o movimento está acontecendo.
Para melhor �xarmos este conteúdo, podemos realizar um exemplo. Suponhamos
que um carro que partiu do ponto 2 m se movimentava à velocidade constante de 7
m/s. Qual será a posição deste carro quando se passaram 6 segundos?
Vamos interpretar os dados que nos foram fornecidos. A velocidade foi exposta
claramente, então sabemos que . O enunciado também nos disse que o
carro partiu do ponto 2 m - isso signi�ca que a posição inicial do carro era num ponto
a 2 m da origem, ou seja, Por último, nos foi dito que se passaram 6
segundos, então . Agora basta colocarmos todos os dados na equação.
S = SO + V ⋅ t (1)
S
t SO
V
V = 7 m/s
SO = 2 m.
t = 6 s
S = SO + V ⋅ t = 2 + 7 ⋅ 6 = 2 + 42 = 44 m
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Sendo assim, sabemos que a posição do carro no instante 6 segundos será igual a 44
m.
Entretanto, tenha em mente que este foi um exemplo muito simples. Poderíamos
expor os dados em unidades diferenciadas, com a velocidade sendo dada na unidade
de km/h, o instante sendo dado em minutos e a posição inicial sendo dada em
centímetros. Antes de iniciar qualquer resolução, organize todos os dados e os
coloque todos em unidades iguais - caso contrário, seus resultados estarão todos
errados. 
Comportamento Gráfico de um MRU
Na Física é costumeira a utilização de grá�cos para interpretar o comportamento de
cada movimento. Há dois tipos de grá�cos com os quais se trabalha
majoritariamente. O primeiro deles, e mais comum, é o grá�co que relaciona o
espaço com o tempo, conhecido como grá�co S x t. Para um MRU, ele sempre terá o
formato do grá�co 1.
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Grá�co 1. Exemplo de grá�co da variação de espaço em função do tempo para um
MRU
Fonte: O autor (2020).
Ao ler um grá�co, a primeira ação a ser feita é identi�car o que está sendo
apresentado em cada eixo, pois é a única maneira de se ter certeza sobre
quais são as informações ali contidas. O eixo horizontal x é identi�cado
geralmente como a variável independente, enquanto o eixo vertical y é
normalmente onde �ca a variável dependente - por conta disso, costuma-
se dizer que o grá�co indica a variação de y em função de x.
Já o grá�co da velocidade em função do tempo, também conhecido como grá�co V x
t, para um MRU, terá sempre o formato do grá�co 2:
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Grá�co 2. Exemplo de grá�co da variação de velocidade em função do tempo para
um MRU
Fonte: O autor (2020).
O motivo para o grá�co ter este formato é justamente a velocidade constante. Pode-
se identi�car no grá�co que, conforme o tempo passa, a velocidade permanece com
o mesmo valor de forma contínua.
Caro(a) aluno(a), agora que conhecemos como se comporta um movimento que tem
velocidade constante, chegou o momento de entendermos as situações nas quais a
velocidade varia de uma maneira constante.
Mo�mento Retilíneo
Uniformemente Variado
Ao estudar o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), continuaremos a
trabalhar com as variáveis espaço, tempo e velocidade. Porém, teremos o
acréscimo de mais uma grandeza: a aceleração, que é a responsável por causar
mudanças na velocidade. O termo “uniformemente variado” signi�ca que, apesar da
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Figura 1. Corpo em movimento com velocidade e aceleração no mesmo sentido.
Fonte: O autor (2020).
velocidade variar, a alteração que ela sofre é sempre igual, seja aumentando ou
diminuindo - assim sendo, quem é constante neste caso é a aceleração (SERWAY;
JEWETT JR., 2017).
Antes de darmos continuidade, deve �car claro que o termo “aceleração” é válido
tanto para situações nas quais a velocidade aumenta quanto nas quais ocorre
redução da mesma. Assim como a velocidade, a aceleração é uma grandeza vetorial,
e o sentido dos vetores que representam ambas irá re�etir drasticamente no
movimento.
Em casos nos quais aceleração e velocidade têm o mesmo sentido, o módulo da
velocidade irá sempre aumentar, conforme apresentado na �gura 1.
Se a aceleração estiver no sentido contrário aoda velocidade, haverá redução até
que o corpo esteja totalmente estático. Entretanto, caso a aceleração continue,
mesmo após a parada, o corpo irá assumir velocidade com sentido contrário ao que
estava se movendo antes - ou seja, para o mesmo sentido da aceleração (SERWAY;
JEWETT JR., 2017).
A unidade da aceleração é dada em m/s², e deve ser interpretada da seguinte
maneira: se um corpo tem uma aceleração constante de 4 m/s², isso signi�ca que sua
velocidade está aumentando em 4 m/s a cada segundo que se passa.
Para calcular a aceleração média de um corpo, deve-se veri�car a variação de
velocidade em um determinado período, comparando a velocidade no instante �nal
com a velocidade no instante inicial. Assim, descreve-se conforme a equação 2:
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Para determinar a velocidade num determinado instante, devemos conhecer a
velocidade inicial, a aceleração e o tempo que se passou desde o início do
movimento. A partir disso, a equação horária para a velocidade de um MRUV segue o
formato da equação 3:
Já a equação para determinar a posição em que um corpo em MRUV se encontra
num determinado instante segue o formato da equação 4:
Um exemplo de MRUV ocorre quando um corpo está em queda livre. Neste caso, este
corpo sofre a ação da gravidade, a qual gera uma aceleração com o mesmo sentido
da queda. Sendo assim, quanto maior for a distância da queda, maior será a
velocidade com que o corpo irá atingir o solo e, consequentemente, maior será o
impacto.
A aceleração da gravidade na Terra é de, aproximadamente, 9,81 m/s². Entretanto,
por questões de arredondamento e para facilitar cálculos, costuma-se adotar o valor
de 10 m/s². Iremos estabelecer este valor como padrão para este livro e, caso seja
necessário utilizar um valor diferente, o mesmo será informado no enunciado da
questão.
Note que a massa do corpo não está envolvida nas equações para MRUV. Como a
queda livre se encaixa nesta categoria, pode-se a�rmar que um corpo que seja mais
pesado não irá cair mais rápido do que outro corpo de menor massa.
aM = = (2)
VF − VO
tF − tO
ΔV
Δt
V = VO + a ⋅ t (3)
S = SO + VO ⋅ t + (4)
a ⋅ t2
2
32
A gravidade não é a mesma em todo o globo terrestre. Apesar das
variações serem sutis, algumas regiões sentem a ação gravitacional de
forma mais intensa do que outras, sendo um dos motivos a altitude.
Há uma adaptação das equações apresentadas, a qual foi desenvolvida pelo físico
italiano Evangelista Torricelli, que independe do tempo para determinar a velocidade
de um corpo em um MRUV, tendo como referência apenas o espaço percorrido, a
velocidade inicial e, claro, a aceleração. Este formato é conhecido como a equação de
Torricelli, a qual é apresentada na equação 5:
Comportamento Gráfico de um MRUV
Como é de se esperar, o comportamento grá�co de um MRUV é diferente do de um
MRU. Os grá�cos 3 e 4 representam, respectivamente, a variação de espaço em
função do tempo e de velocidade em função do tempo em um MRUV sob a
aceleração de 5 m/s². O formato dos grá�cos nestes casos se refere a casos em que a
aceleração tem o mesmo sentido que a velocidade.
V
2 = V 2
O
+ 2 ⋅ a ⋅ ΔS (5)
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https://go.eadstock.com.br/kU
Grá�co 3. Exemplo de grá�co da variação de espaço em função do tempo para um
MRUV
Fonte: O autor (2020).
O comportamento do espaço percorrido no MRUV segue o mesmo que uma função
crescente de segundo grau e é possível perceber que, a cada intervalo de 1 s, o
espaço percorrido é aumentado.
34
Grá�co 4. Exemplo de grá�co da variação de velocidade em função do tempo para
um MRUV
Fonte: O autor (2020).
O comportamento da velocidade segue o de uma função de primeiro grau, com ela
aumentando regularmente a cada 1 s.
É importante citar que, em ambos os casos, o espaço inicial e a velocidade inicial do
corpo foram 0. Caso algum destes valores, ou ambos, sejam diferentes, os grá�cos
irão manter seus respectivos comportamentos, ocorrendo mudanças apenas no
ponto de início da reta, que irá variar em relação ao eixo y.
Caro aluno, encerramos neste momento a aplicação teórica do conteúdo referente à
velocidade. Daremos continuidade ao tema focando em questões práticas, dando
foco a medidas, coletas de dados e formas de analisar os mesmos.
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Experimentos Práticos: 
Movimentos Retilíneo
04
36
Erros e Repetições
Antes de começarmos a discussão a respeito dos experimentos, devemos falar
sobre a coleta e análise de dados.
Independentemente do experimento que você esteja realizando, tenha em mente
que, diferente da teoria, a prática nem sempre fornece dados iguais para ações
iguais. Por exemplo, se você colocar dois carros lado a lado, ambos com o
velocímetro indicando 80 km/h, eles não necessariamente percorrerão a mesma
distância no mesmo período - pode acontecer, por exemplo, dos pneus de um
deles estarem em boas condições, enquanto os do outro estejam muito gastos. Da
mesma forma, a estrutura do carro pode ter in�uência - um carro mais pesado
pode �car mais lento.
Este, inclusive, é um motivo pelo qual as metodologias apresentadas em relatórios,
artigos cientí�cos e demais documentos devem ser o mais detalhadas possível.
Quanto mais semelhantes forem as condições de realização de um experimento
por dois indivíduos, maior será a semelhança entre os resultados obtidos por
ambos - se soubermos o modelo do carro, o estado dos pneus, o tipo de motor, o
peso que cada um carrega, o atrito da pista e diversas outras informações, as
chances de termos valores próximos será muito maior. Entretanto, isso ainda não
garantirá resultados perfeitamente iguais (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
Quanto mais casas decimais considerarmos nos resultados, mais visível será a
diferença entre a execução de duas ações teoricamente iguais. Por isso,
consideramos os chamados algarismos signi�cativos no momento em que um
valor é escrito.
Muitos itens que usamos no cotidiano apresentam uma “margem de erro”, e isto
nada mais é do que uma representação do que os algarismos signi�cativos
indicam. Por exemplo, podemos comprar uma caixa de pregos de 10 cm, mas cuja
embalagem diga que há uma variabilidade de ± 0,1 cm. Sendo assim, os pregos
podem ter qualquer tamanho entre 9,9 cm e 10,1 cm. Na prática, sempre haverá
incerteza nos resultados - quanto menor ela for, melhor, mas ela sempre existirá
(SERWAY; JEWETT JR., 2017).
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Figura 1. A precisão de um equipamento pode variar de acordo com a quantidade
de casas decimais
Fonte: Pixabay.
Em relação à variação das medidas, deve-se considerar, também, o fator humano.
Um indivíduo mais experiente provavelmente fará medições mais precisas,
enquanto um iniciante ainda irá se acostumar com o procedimento. Se duas
pessoas estiverem com um cronômetro e pedimos para ambas apertarem no
mesmo instante, por mais que os números registrados possam ser iguais, haverá
casas decimais não mostradas que serão diferentes.
Para que essa incerteza seja diminuída, podemos realizar, sempre que possível, os
experimentos laboratoriais sob as mesmas condições mais de uma vez -
geralmente, em laboratório, realiza-se em triplicata. Caso um dos resultados seja
muito diferente dos demais, ele pode ser descartado e ocorre a realização de um
novo teste, de forma a substituir aquele que foi desconsiderado.
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A realização em triplicata, ou em até mais repetições, é muito aplicada
na realidade. Por exemplo, caso esteja sendo desenvolvida uma vacina
para combater um vírus, em nada adiantaria utilizá-la em uma única
pessoa e dizer que o resultado foi positivo ou negativo. Pode ocorrer
dessa pessoa, por exemplo, ter um organismo diferente do comum, ou
então ter uma quantidade maior ou menor do vírus em seu corpo.
Quanto mais dados forem obtidos, menor será a incerteza em relação a
uma determinada conclusão e, consequentemente, haverá maior
aceitação por parte do público sobre o que foi veri�cado. Enquanto
algumas práticas, geralmente envolvendo análises de produtos, podem
ser feitas apenas três vezes, há casos que necessitam de, no mínimo,
cem testes para que o resultado seja cienti�camente aceito.
Mesmoque os resultados obtidos em diversas execuções não sejam idênticos, já se
considera satisfatório se eles forem próximos - e essa proximidade será decidida
por quem estiver analisando os valores. Geralmente, uma variação de até 5% no
valor é considerada pequena, mas há situações que exigem uma margem de erro
menor.
Coleta de Dados
A fase de coleta é tão importante quanto a análise de dados. Na verdade, a análise
depende diretamente da coleta - caso haja uma informação errada ou incerta,
todas as conclusões poderão ser comprometidas.
Quanto mais detalhes forem dados sobre a coleta, melhor tende a ser a
interpretação do ocorrido. Por exemplo, suponha que, numa análise de
velocidades, sejam coletados dados conforme apresentados na tabela 1.
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Tabela 1 – Dados coletados durante o teste de um MRUV
Fonte: O autor (2020).
Velocidade (m/s) 30,10 30,08 30,15 18,12
A tabela 1 nos dá condições de saber qual foi a velocidade de um corpo em 4 testes
diferentes. Entretanto, note que o último resultado é diferente dos demais. Apenas
com o que temos na tabela, é impossível entender o motivo dessa variação.
Entretanto, caso fossem adicionadas informações como a distância percorrida, o
tempo de cronometragem e a aceleração à qual o corpo em movimento está
submetido, seria possível identi�car a causa dessa variação repentina.
Quanto melhor conhecermos as condições sob as quais um
experimento foi realizado, mais completa poderá ser a análise sobre o
mesmo. Caso haja variação entre os resultados, a abundância de dados
ajudará a visualizar o motivo para essa ocorrência.
Durante sua vida pro�ssional, sempre se lembre de obter e registrar o máximo de
informações possível sobre tudo que for realizado. A compreensão das
circunstâncias é a chave para saber como as variações ocorrem.
40
Análise de Mo�mentos
Os experimentos para análise do MRU e do MRUV ocorrem de maneiras muito
semelhantes. Geralmente, simula-se sua ocorrência num trilho com superfície
praticamente lisa, e são cronometrados os tempos em posições diferentes.
A diferença entre as análises está presente na inclinação do trilho. Enquanto um
MRU tem o trilho perfeitamente reto e sem inclinação, um MRUV usará de uma
determinada inclinação para que ocorra aceleração.
Ao responsável pelo experimento, caberá identi�car quais são os dados, de fato,
necessários para a compreensão da situação como um todo.
Para conhecermos a velocidade de um MRU, basta sabermos qual foi a distância
percorrida e em quanto tempo a mesma foi percorrida. Como se tem vários
sensores separados por distâncias iguais no decorrer do trilho, então o tempo não
será algo difícil de se obter. A distância pode ser medida usando-se uma régua ou
trena, ou, dependendo da situação, até mesmo o próprio fabricante do
equipamento já sinalizará o espaço entre um sensor e outro.
Para o MRUV, além destas informações, é necessário conhecer o ângulo de
inclinação do aparato. Se forem analisadas diversas inclinações, serão perceptíveis
marcações de tempo muito diferentes entre si nos cronômetros. Em hipótese
alguma esqueça de anotar qual é o ângulo, pois é importante entender sua relação
com a variação da velocidade.
Como forma de �xar o conteúdo daquilo que tiver sido abordado durante a
realização dos testes, desenvolva grá�cos que relacionem a velocidade ou o
deslocamento com o tempo. Não é necessário realizar um grá�co para cada vez
que houver uma repetição do experimento, apenas a análise da média entre os
dados já será su�ciente para a interpretação do conteúdo.
É possível que você se questione o motivo do conteúdo prático ser realizado.
Muitos alunos pensam que isso se trata apenas de uma abordagem do conteúdo
teórico de forma visual, com a intenção de facilitar a absorção dos diversos
assuntos que foram explicados durante o decorrer da disciplina. Essa visão está
parcialmente correta, mas há algo ainda mais importante.
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Durante a vida de um pro�ssional, exige-se o uso de diversos instrumentos.
Cronômetros, trenas, balanças, vidrarias e diversos outros itens são presenças
constantes para qualquer engenheiro ou arquiteto. A principal intenção deste
conteúdo é, na verdade, o seu preparo para o mercado pro�ssional ao ensinar - e,
de certa forma, habituar - o uso de aparatos de extrema relevância.
O segundo ponto é desenvolver a capacidade de análise de dados, algo que foi
discutido durante esta aula. Tão ruim quanto não ter dados, é tê-los e não saber
usá-los. Espera-se que um pro�ssional graduado tenha como uma de suas
competências o domínio de instrumentos de medição e dos dados que podem ser
potencialmente obtidos. Isso é algo frequente na indústria e na vida acadêmica, e o
uso de laboratórios de Física é apenas a porta de entrada para essa compreensão.
Em nossa próxima aula, iniciaremos a abordagem de uma nova parte do conteúdo
da Física, que são as forças e as leis de Newton - entretanto, a ligação com o que
vimos até o momento se tornará clara muito em breve.
42
Forças e as Leis de Newton
05
43
Conceitos Básicos sobre Forças
Caro aluno, nas aulas anteriores falamos de aspectos referentes ao movimento de
corpos, mas em momento algum discutimos o que pode in�uenciar estes
movimentos. Pois bem, é justamente sobre isso que iremos discutir agora: as forças
são as responsáveis, por gerar um movimento, alterar sua aceleração e até mesmo
por pará-lo.
Existem diversos tipos de forças, os quais estão envolvidos em diversos aspectos do
nosso cotidiano. Como anteriormente exposto, algumas forças geram movimentos,
mas há também casos nos quais a força não tem um efeito visível - por exemplo, se
alguém tentar mover uma pedra muito grande e ela não se mover, ainda assim
haverá forças envolvidas. A força da gravidade atua sobre nós constantemente.
Quando uma mola sofre compressão e depois é esticada, ocorre a chamada força
elástica. Quando uma criança puxa um carrinho de brinquedo usando uma corda, a
força aplicada nessa corda é a força de tração. Quando você deita sobre uma cama,
você mesmo está impondo uma força sobre ela - no caso, a força é o seu peso.
Iremos explorar todas estas forças durante esta e nossas próximas aulas.
Tenha em mente desde já que forças são grandezas vetoriais, possuindo direção e
sentido. A compreensão desse aspecto irá te auxiliar durante as explicações das leis
de Newton, as quais abordam os pontos mais importantes no que concerne às forças
e que serão o foco dos nossos próximos tópicos.
A Primeira Lei de Newton
Imagine que você esteja dentro de um carro, parado, em uma rua plana. Mesmo com
o motor ligado, o carro irá permanecer imóvel. Repentinamente, você decide pisar no
acelerador, o qual confere movimento ao automóvel e, ao atingir uma determinada
velocidade, você apenas mantém o pé pressionando levemente o pedal, mantendo
assim um MRU.
O momento em que seu carro está estático e o momento em que o MRU se inicia são
momentos que dizem respeito à primeira lei de Newton: a lei de inércia. Esta lei
expõe que, na ausência de forças externas, um corpo em repouso tende a
permanecer em repouso e um corpo em movimento tende a continuar em
movimento a uma velocidade constante.
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Um objeto estático ou que esteja realizando um MRU está no estado chamado de
equilíbrio, e assim tende a permanecer. Dizendo isso de outra forma, todo corpo
tende a resistir a qualquer tentativa de mudança em sua velocidade e, se nenhuma
força externa agir sobre o corpo, sua aceleração tenderá a ser nula - e, caso haja a
ação de alguma força externa, o equilíbrio tende a ser quebrado e ocorrerá a
aceleração.
A partir disso, pode-se dizer que uma força é algo que causa uma mudança no
movimento de um dado corpo (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
A Segunda Lei de Newton
A segunda lei de Newton a�rma que a aceleração de um corpo é diretamente
proporcional à força resultante que age sobre ele e inversamente proporcional à
massa do mesmo.
Entenda que por “força resultante” considera-se o fato de que pode haver mais de
uma força atuando sobre o corpo, incluindo em sentidos perfeitamenteopostos.
Caso uma das forças seja maior do que a outra, isso resultará em uma ausência de
equilíbrio e fará com que o corpo entre em movimento sob uma determinada
aceleração. Por isso, considera-se a força resultante como o somatório de todas as
forças envolvidas.
A segunda lei de Newton pode, então, ser representada pela equação 1:
45
Sendo a aceleração do corpo, o somatório entre as forças e a massa do
corpo. A partir de uma reorganização, representa-se a equação no formato mais
tradicional da literatura, conforme a equação 2:
A unidade usada para representar forças no SI é o newton (N), cujo nome é uma
merecida homenagem ao físico Isaac Newton. A massa tem sua grandeza dada em
kg, enquanto a aceleração é dada em m/s².
a ∞ (1)
ΣF
m
a ΣF m
ΣF = m ⋅ a ou
−→
FR = m ⋅
→
a (2)
Tanto a aceleração quanto a força são grandezas vetoriais. Como a
aceleração depende diretamente da existência de uma força resultante,
isso signi�ca que a direção e o sentido das duas serão exatamente os
mesmos.
Em nossa terceira aula, expusemos o fato de que a gravidade tem sua própria
aceleração, para a qual adotamos o valor arredondado de 10 m/s². Ao multiplicarmos
esse valor pela massa, encontrarmos a chamada força peso. Foi dito na primeira aula
que o termo “peso” é adotado erroneamente, e é justamente neste fato que mora a
diferença: o peso, na verdade, é a força gerada pela massa.
Sendo assim, você pode calcular a força peso de um corpo com uma simples
adaptação da equação 2, deixando-a com o formato da equação 3:
Aquilo que determinamos quando subimos em uma balança é a nossa massa. Nosso
peso será o valor da massa multiplicado pela gravidade local - ou seja,
aproximadamente 10 vezes mais do que pensávamos. Vale citar que, como cada
planeta tem uma intensidade diferente para a gravidade, o peso de qualquer corpo
→
P = m ⋅
→
g (3)
46
será alterado quando estiver neste planeta especí�co. Entretanto, a massa sempre
terá um valor constante, seja na Terra, na Lua ou em qualquer outro ponto do
universo.
Com essa informação, podemos calcular não apenas a força com que um corpo irá
atingir o solo, mas também a velocidade com a que ele estará neste momento - basta
sabermos quanto tempo se passou entre o momento que o corpo foi solto e qual foi
a altura da queda.
Segundo a teoria da relatividade, criada por Albert Einstein há pouco mais
de um século, o Sol atrai a Terra e os demais planetas por conta da força
da gravidade e pelo fato de ser um corpo celeste de massa gigantesca.
A Terceira Lei de Newton
Por último, temos aterceira lei de Newton, que é popularmente conhecida como a lei
da ação e dareação.
Se dois corpos interagem, o corpoA irá exercer uma determinada força sobre o corpo
B, a qual chamaremos de força . Automaticamente, o corpo Birá exercer uma
força sobre A, a qual chamamos de . Estas duas forças terãoexatamente o
mesmo módulo e sentidos perfeitamente opostos.
Exempli�cando, quando você estásentado em uma cadeira, está exercendo uma
força sobre ela, e a cadeira estáexercendo uma força de igual intensidade sobre você.
Caso uma das forças do paração-reação fosse maior do que a outra, haveria duas
FAB
FBA
47
https://go.eadstock.com.br/kV
Figura 1. Corpos A e B impondo forças de ação e reação um sobre o outro
Fonte: O autor (2020).
hipóteses: você quebrariaa cadeira ou seria projetado para cima logo após sentar-se
nela.
Se dois corpos A e B estão emcontato e A pressionar B, então B irá pressionar A de
volta. Isso éexempli�cado na Figura 1.
Conforme a Figura 1, lembre sempre que um par de forças ação-reação não ocorre,
em hipótese alguma, num mesmo corpo. É necessário ter dois corpos envolvidos
para que essas forças possam existir, e o corpo A irá exercer a força em B, enquanto
B irá exercer sua força em A. O menor contato já é su�ciente para gerar um mínimo
de força.
Sendo assim, todos nós estamos exercendo uma força sobre o planeta Terra - no
caso, nossa força peso -, e a Terra está, simultaneamente, exercendo uma força de
igual intensidade sobre cada um de nós.
Agora que conhecemos as três leis, podemos realizar um exemplo como forma de
�xação de conteúdo.
Vamos supor que um corpo A, de massa 3 kg, esteja se movimentando sob uma
aceleração de 6 m/s² e indo em direção a um corpo B, de massa 7 kg, o qual está
estático. Com qual força o corpo A irá atingir o corpo B? Qual será a reação do corpo
B sobre o corpo A?
Para determinar o módulo da força com que A irá atingir B, basta multiplicarmos a
massa de A pela aceleração.
FAB = m ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 N
48
E, com base na terceira lei, sabemos com certeza que a força de reação de B em A
terá exatamente o mesmo módulo, mas com sentido oposto.
Você pode se perguntar se o bloco B irá se movimentar ou não por conta do impacto.
Pois bem, isso irá depender do chamado atrito, o qual iremos discutir em nossa
próxima aula! Nosso próximo tópico e nossa próxima aula serão voltados à
apresentação dos diversos tipos de forças com os quais convivemos.
Os casos de ação e reação são muito perceptíveis no nosso cotidiano, na
verdade. Por exemplo, quando batemos com um martelo em um prego, é
comum que o martelo acabe recuando levemente após a batida - isso foi
justamente a reação do prego após a batida. Quando batemos nosso
dedo no pé de uma mesa, a dor que sentimos é justamente consequência
da força de reação da mesa sobre nosso dedo - por isso mesmo, quanto
mais forte for a batida, maior será a força de reação e,
consequentemente, maior a dor.
49
O físico e matemático inglês Isaac Newton (1643 - 1727) e a macieira no Jardim
Botânico de Cambridge em homenagem ao episódio da queda da maçã que teria
inspirado Newton a chegar à Lei da Gravidade
Fonte: Wikipedia.
Força Peso e Força Normal
Quando um corpo qualquer está sobre um plano, ele exerce uma determinada força
sobre o solo e, como já sabemos, o solo automaticamente irá exercer uma força no
corpo como reação. Essa reação do solo sobre o corpo é conhecida como força
normal. A força normal é sempre perpendicular em relação ao plano sobre o qual o
corpo está sobreposto (MARQUES, 2016).
Pode-se pensar que a força normal é a reação que o solo impõe ao nosso peso -
entretanto, isso está errado. A força peso é aquela que impomos sobre o próprio
planeta Terra, e ela sempre terá como sentido o centro do globo terrestre. A Terra
impõe sobre nós uma força que costuma-se chamar de P’, esta sim, com módulo
sempre idêntico ao do peso.
A força normal, como dito antes, terá sempre sentido perpendicular em relação ao
solo. Caso esteja sobre um plano que não esteja inclinado, como uma mesa, aí
poderemos dizer que a força normal e a força peso têm o mesmo módulo.
50
Figura 2. Comparação entre as forças peso e normal em um plano reto e em um
plano inclinado
Fonte: O autor (2020).
Entretanto, caso o plano seja inclinado como, por exemplo, uma rampa, a força
normal deixará de ter o mesmo sentido que a força peso, o que automaticamente irá
descon�gurar a possibilidade de ambas serem um par ação-reação. O exemplo
grá�co disso pode ser visto na Figura 2.
A imagem retrata dois casos. No primeiro, um bloco está sobre um plano reto e tem
dois vetores paralelos com sentido para cima, N e P’, e dois vetores paralelos com
sentido para baixo, N’ e P. O segundo caso mostra um plano inclinado, o qual tem P’
apontando para cima, P apontando para baixo e os vetores N’ e N apontando para
sentidos opostos, perpendiculares ao plano.
No caso 1, a força normal e a força peso irão anular uma a outra, pois ambas têm o
mesmo módulo e sentidos opostos. Já o caso 2 não terá essa anulação e exigirá uma
sequência de cálculos um pouco mais longa para que saibamos qual é, de fato, a
força resultante, os quais ainda serão abordados.
Na próxima aula, conheceremos três outros tipos de força e suas respectivas
propriedades.
51
Forças de Atrito, Elástica 
e de Tensão
06
52
Força de Atrito
Na aula anterior, demos a de�nição de que uma força é algo que causa mudanças
no movimento de um corpo. Essas mudanças podem ocorrerde várias formas,
incluindo fazendo com que o movimento cesse e o corpo �que completamente
estático.
Quando empurramos um objeto sobre um plano qualquer, este objeto irá
escorregar a princípio e irá, eventualmente, parar. Caso usemos um plano mais
áspero do que o do primeiro e novamente empurremos o corpo, ele irá escorregar
novamente, mas por uma distância menor - ou, dependendo do plano, o corpo
nem ao menos irá iniciar a deslizar, permanecendo parado. Isso ocorre por conta
da chamada força de atrito.
Existem dois tipos de forças de atrito: aquele que tem sentido contra o movimento
e aquele que impede que o movimento sequer seja iniciado. Eles são,
respectivamente, o atrito dinâmico e o atrito estático. Para calculá-los, é preciso
levar em conta alguns aspectos especí�cos de cada meio (SERWAY; JEWETT JR.,
2017).
Todo meio tem seu próprio coe�ciente de atrito estático ( ) e seu próprio
coe�ciente de atrito dinâmico ( ), sendo ambos valores adimensionais - isto é,
que não têm uma unidade de grandeza. Primeiro, vamos focar na explicação do
atrito estático.
Caso você esteja empurrando, por exemplo, uma pedra muito grande e não
consiga movê-la, é o atrito estático que está agindo para impedir o movimento. A
pedra não irá iniciar o movimento até que a força máxima do atrito estático seja
ultrapassada. O cálculo para determinar essa força é dado conforme a equação 1:
Sendo a força do atrito e a força normal exercida pelo plano sobre o corpo.
O coe�ciente tem um valor variável, o qual aumenta proporcionalmente ao
módulo da força que está sendo aplicada no corpo. Ele irá aumentar até um certo
ponto, no qual será atingido o chamado coe�ciente de atrito estático máximo (
) (KESTEN;  TAUCK, 2015).
μE
μD
Fat = μE ⋅ N (1)
Fat N
μE
μEmax
53
Quando aplicada uma força menor do que a necessária para iniciar o movimento
do corpo, a força que o atrito irá realizar será exatamente a mesma que está sendo
empregada na tentativa de empurrá-lo. Caso a força máxima que o atrito estático
possa atingir seja, por exemplo, 20 N, então será necessário aplicar uma força
maior do que 20 N para que o corpo possa começar a ser movimentado. O mínimo
que seja ultrapassado o módulo de 20 N já seria su�ciente para iniciar o
movimento. Entretanto, caso apliquemos apenas 15 N de força, o corpo
permanecerá estático e a reação da força de atrito também será de apenas 15 N.
Agora, vamos supor que atingimos uma força maior do que a força máxima que o
atrito estático pode alcançar. A partir de então, sai de cena o atrito estático e entra
o atrito dinâmico. Mas, diferentemente do primeiro, este permanece com valor
praticamente constante durante todo o movimento - e as variações geralmente são
tão pequenas que iremos considerar seu valor como constante.
A força que o atrito dinâmico exerce contra o movimento é calculada a partir da
equação 2:
Fat = μD ⋅ N (2)
O coe�ciente de atrito dinâmico sempre terá um valor menor do que o
coe�ciente de atrito estático máximo. Então, a partir do momento que o
módulo da força aplicada for maior do que a força máxima que o atrito
estático pode atingir, o corpo imediatamente entrará em movimento
sob uma aceleração.
Vamos considerar um exemplo para auxiliar a �xar o conteúdo. Suponha que um
corpo de massa 6 kg esteja sobre uma superfície perfeitamente plana, a qual tem 
 e . Vamos calcular qual será a força necessária para iniciar
o movimento.
μEmax = 0, 5 μD = 0, 4
54
Figura 1. Aplicação de uma força de 40 N sobre um corpo numa superfície com
atrito
Fonte: O autor (2020).
Para tanto, primeiro precisamos saber a força normal. De acordo com a questão,
estamos numa superfície perfeitamente plana, então o módulo da força normal
será igual ao da força peso. Sabemos que a massa do corpo é de 6 kg, então basta
multiplicarmos pela gravidade, que consideraremos como 10 m/s², para concluir
que o peso e, consequentemente, a força normal, tem módulo igual a 60 N.
Realizando o cálculo usando , encontramos:
Assim, precisaríamos de uma força um pouco maior do que 30 N para que o corpo
pudesse iniciar seu movimento. Agora, vamos supor que está sendo aplicada uma
força de 40 N neste mesmo corpo. Qual seria a aceleração adquirida por ele?
Para facilitar a análise do enunciado, vamos usar a Figura 1 como base.
μEmax
Fat = 0, 5 ⋅ 60 = 30 N
Um bloco sofrendo ação de três forças, representadas por vetores. Uma é de 40 N,
com sentido para a direita, outra é uma força de atrito, com sentido para a
esquerda, e a terceira é a força normal, com sentido vertical.
Para descobrir a aceleração, nós usaremos a equação . A força
resultante é igual à diferença entre a força de 40 N e a força de atrito dinâmico.
FR = m ⋅ a
FR
55
Sabemos que a força normal é igual a 60 N e que é igual a 0,4, então iremos
calcular o módulo de :
Agora, sabemos o módulo das duas forças que estão sendo aplicadas no sentido
horizontal e que terão in�uência sobre a aceleração. Você pode se perguntar se a
força normal não tem in�uência sobre a aceleração, e a resposta é que não - ao
menos, não em um deslocamento que ocorra na horizontal. A razão disso será
abordada em nossa próxima aula.
O módulo da força de atrito será considerado como negativo por conta do sentido
dos vetores: como nosso referencial é que vetores para a direita têm módulo
positivo e para a esquerda têm módulo negativo, houve essa troca de sinais.
O módulo de pode ser calculado por:
Feito isso, e sabendo que a massa do corpo é de 6 kg, podemos, en�m, calcular sua
aceleração:
Ou seja, podemos concluir que o bloco terá uma aceleração de 2,67 m/s². Esse tipo
de análise é muito frequente na Física, então é necessário compreender o
raciocínio realizado e a análise vetorial.
μD
Fat
Fat = 0, 4 ⋅ 60 = 24 N
FR
FR = 40 − 24 = 16 N
16 = 6 ⋅ a → a = = 2, 67 m/s2
16
6
56
Quando estamos dirigindo e a pista está molhada, ocorre o fenômeno
chamado aquaplanagem. Isso reduz o atrito e, consequentemente,
aumenta a aceleração do corpo, o que diminui consideravelmente o
controle sobre o automóvel. 
Força Elástica
A força elástica ( ) é a força com a qual trabalhamos quando nosso sistema tem
uma mola envolvida. Pense numa mola comum, a qual não esteja nem comprimida
nem esticada, mas sim numa posição de equilíbrio. Neste primeiro momento, a 
 é nula, pois, para que ela possa existir, é necessário que a mesma esteja
sofrendo alguma deformação.
O cálculo da se dá através da equação 3:
Sendo a constante elástica da mola, cuja unidade é dada em N/m, e a
deformação sofrida pela mola, com comprimento dado em m.
O sinal negativo na equação ocorre pelo fato da força ocorrer sempre na direção
oposta ao deslocamento - ou seja, caso a mola seja comprimida, então irá
ocorrer no sentido para que a mola seja estendida, e o contrário também é
verdadeiro. A será ocorrerá no sentido para que o valor de x seja igual a 0.
FEL
FEL
FEL
−−→
FEL = −k ⋅
→
x (3)
k x
FEL
FEL
57
https://go.eadstock.com.br/kW
Figura 2. Diferentes posições de uma mola
Fonte: adaptado de Serway e Jewett Jr. (2017).
Quanto maior for o valor de k, mais resistente a mola será à mudança de
comprimento - e, consequentemente, maior será a força realizada quando
soltarmos a mola para que ela volte à sua posição de equilíbrio. O mesmo vale para
x, visto que, quanto maior for a deformação sofrida pela mola, maior será a força
realizada. Os exemplos de variações de comprimento podem ser vistos na Figura 2. 
A força elástica é especí�ca para casos com os quais trabalhamos com molas ou
com cordas que possuam certa elasticidade.
58
Entretanto, apesar de algumas cordas poderem ter a presença da força elástica,
elas são minoria, visto que são necessários compostos especí�cos para gerar nela a
capacidade de alterar o seu comprimento. A maioria delas tem como principal
força a tensão, que será o foco do nosso próximo tópico.
Figura 3. Forças de tração em uma corda
Fonte: adaptado de Halliday et al. (2018).
Força Tensora
A força tensora, também conhecida como tração, é a força que ocorreem uma
corda, barbante, cabo ou qualquer item similar no momento em que ele está
totalmente esticado. Essa força não existe caso a corda não esteja estendida ao
máximo (HALLIDAY et al., 2018).
Para que uma corda �que esticada, precisamos que cada ponta dela tenha algum
corpo que realize força sobre ela. Vamos supor que você esteja puxando uma caixa
muito pesada e tenha decidido usar uma corda para ajudar no processo. A força
será aplicada nas duas pontas da corda: em uma delas será a sua aplicação, e na
outra será a aplicação da caixa. Lembre bem desse fato importante: o módulo
dessas forças será exatamente o mesmo!
O sistema de forças acaba tendo um formato semelhante ao da Figura 3:
É possível que você se questione se os dois vetores T apresentados na Figura 3 são
forças de ação e reação. Não se engane! Lembre sempre que as forças de ação e
reação não podem atuar num mesmo corpo. A força T mais próxima do bloco é em
59
resposta à força que o bloco está fazendo para puxar a corda, enquanto a força T
mais próxima da mão é a reação à força que a pessoa está fazendo para esticar a
corda. Todas estas quatro forças terão sempre o mesmo módulo!
Geralmente, considera-se a massa da corda como nula ou desprezível, portanto ela
não tende a in�uenciar nos cálculos teóricos. Entretanto, em situações práticas,
pode ser que seja necessário considerar esse valor em casos nos quais a corda
tenha uma massa signi�cativa.
É possível que ocorra uma situação na qual haja uma polia �xa pela qual a corda
esteja passando - como, por exemplo, em situações nas quais um objeto precisa
ser mantido suspenso no ar. Nestes casos, as forças continuam sendo aplicadas da
mesma forma - e a força de tração terá o mesmo módulo da força peso do objeto
que estiver suspenso.
Para facilitar no transporte de cargas muito pesadas, pode-se utilizar as
polias móveis, conhecidas também como “moitões”. Elas são muito
utilizadas quando é necessário alocar um container cheio em um navio,
por exemplo. As polias móveis são movimentadas por cabos de aço
muito resistentes, e têm a vantagem de reduzirem a força necessária
para erguer um objeto pela metade - isso auxilia, e muito, a manter a
integridade do cabo. Em contrapartida, é necessário puxar o cabo duas
vezes mais para erguer o objeto a uma mesma altura - ou seja,
precisamos puxar 2 metros de cabo para erguer o objeto em 1 metro.
Fonte: Silva (2014).
Prezado aluno, �nalizamos agora nossa aula voltada para alguns dos tipos de
forças com os quais convivemos. Re�ita sobre eles e busque por situações do seu
cotidiano em que elas ocorram - você verá, com o passar do tempo, que muitos
fenômenos começarão a fazer sentido.
Nas próximas aulas, iremos entrar na fase �nal do nosso estudo teórico. Iremos
regressar ao tópico de vetores para, então, tratarmos da decomposição de forças.
60
Decomposição de Vetores
07
61
Componentes de Vetores
Caro(a) aluno(a), nesta aula iremos retornar aos vetores, de forma que trataremos
de um aspecto absolutamente importante sobre o tema: a decomposição dos
mesmos. Em nossa segunda aula, tratamos de situações nas quais os vetores
estavam perfeitamente na horizontal, enquanto em nossa quinta aula vimos
vetores relacionados à força que estavam perfeitamente na vertical.
Entretanto, caso houvesse um vetor na diagonal, como trataríamos dele? O
movimento estaria acontecendo em qual sentido? A força estaria sendo aplicada na
horizontal ou na vertical?
Pois bem, se o vetor está na diagonal, então ele apresenta in�uência simultânea na
vertical e na horizontal - entretanto, os módulos dessas in�uências serão diferentes
do módulo deste vetor, assim como eles não serão necessariamente iguais em
ambas as direções. O foco desta aula é apresentar a forma de determinar como
esse vetor se comporta em cada direção especí�ca.
Vamos supor que estamos trabalhando com o vetor A num plano cartesiano,
conforme exposto na Figura 1. Neste primeiro momento, não iremos estabelecer
um módulo para ele, pois trataremos apenas dos conceitos relacionados às
projeções. O mesmo encontra-se na diagonal e com sentido positivo em relação
aos eixos x e y.
62
Figura 1. Vetor A num plano cartesiano x y
Fonte: O autor (2020).
Podemos realizar a projeção do vetor A em cada um dos dois eixos. Assim, teremos
dois vetores com direção e sentido conhecidos, os quais, juntos, serão equivalentes
ao vetor A. A projeção é realizada conforme a Figura 2.
63
Figura 2. Vetor A num plano cartesiano x y e com as componentes e 
representadas sobre os respectivos eixos
Fonte: O autor (2020).
AX AY
As representações do vetor A nos eixos x e y são chamadas de suas componentes.
Isso torna os cálculos mais simpli�cados, pois agora, com a componente 
conhecida, sabemos qual é a real in�uência do vetor A sobre o eixo x, e o mesmo
vale para em relação ao eixo y (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
Caso tomemos os três vetores, podemos veri�car uma relação conhecida da
trigonometria. Eles estão rearranjados na Figura 3:
AX
AY
64
Figura 3. Rearranjo dos vetores A, e .
Fonte: O autor (2020).
AX AY
Como foi formado um triângulo retângulo, podemos a�rmar com
segurança que temos um triângulo de Pitágoras. Isso signi�ca que
podemos calcular o módulo de A usando a famosa relação que diz que
as somas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa, ou seja, .A2X + A
2
Y = A
2
65
Figura 4. União dos vetores B e C, resultando no vetor D
Fonte: O autor (2020).
A Lei dos Cossenos
Quando tratamos de um triângulo retângulo, a equação é relativamente mais
simples. Porém, e se não estivermos falando de um ângulo reto? Ainda seria
possível determinar o módulo do vetor resultante? A resposta é positiva, mas é
necessário conhecer o ângulo formado entre os dois vetores que estão sendo
unidos.
Vamos considerar um outro conjunto de vetores, no qual os vetores B e C foram
unidos e tiveram como resultante o vetor D, conforme representados na Figura 4.
Para determinar o módulo de D, deve-se considerar os módulos dos vetores B e C e
o ângulo formado entre eles. Assim, é montada a regra conhecida como lei dos
cossenos, que segue o formato da equação 1:
O teorema de Pitágoras tem um formato semelhante ao da lei dos cossenos, sendo
excluído apenas a última parte da equação. Isso ocorre pelo fato de que, como o
ângulo analisado no teorema de Pitágoras é igual a 90º, então o cosseno será igual
a 0, o que anula todo o último termo.
α
D2 = B2 + C 2 − 2 ⋅ B ⋅ C ⋅ cos α (1)
66
Figura 5. Um triângulo, formado por três vetores, com todos os seus ângulos
demarcados
Fonte: O autor (2020)
A Lei dos Senos
Na trigonometria, outra lei de grande relevância é a lei dos senos. Ela indica que,
num triângulo qualquer, a relação entre o seno de um ângulo e seu lado oposto
será constante para todos os lados e todos os ângulos (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
Considere o triângulo da Figura 5:
Com base na lei dos senos, podemos a�rmar a relação de igualdade exposta na
equação 2:
Essa relação de igualdade permite que, contanto que conheçamos o módulo dos
três vetores e um dos ângulos, ou então os três ângulos e um dos módulos, seja
possível calcular todos os demais elementos envolvidos num sistema.
= = (2)
B
sen β
C
sen γ
D
sen α
67
Figura 6. Representação do ângulo entre o vetor A e sua componente
Fonte: O autor (2020).
Cálculo do Módulo das
Componentes
É simples encontrar o módulo de um vetor quando conhecemos o módulo de suas
componentes. Mas, e se a situação fosse invertida, em que tivéssemos apenas o
módulo do próprio vetor e não conhecêssemos suas componentes? Nós
poderíamos determiná-las?
Novamente, a resposta é positiva, contanto que tenhamos conhecimento de ao
menos dois dos ângulos envolvidos. Vamos retornar ao nosso primeiro conjunto de
vetores, mas, dessa vez, considerando um ângulo - além do ângulo reto - no nosso
plano cartesiano. O mesmo pode ser visto na Figura 6:
68
Apesar da componente não estar encostada diretamente no vetor A, ela é
paralela ao tracejado que forma o ângulo como mesmo. Sendo assim, pode-se
a�rmar com segurança que o ângulo entre a componente e o vetor A é .
Baseando-se na relação trigonométrica para um triângulo retângulo, sabe-se que o
cosseno de um ângulo será igual à razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a
hipotenusa. Transformando essas palavras em uma equação, temos a relação
apresentada na equação 3:
Partindo desta mesma relação, podemos a�rmar também que a componente 
pode ser calculada através do seno deste mesmo ângulo, conforme a equação 4:
AX
α
AX α
cos α = (3)
AX
A
AY
sen α = (4)
AY
A
Qual a real origem da trigonometria? Há quanto tempo os conceitos
que abordamos nesta aula são usados? A aplicação da trigonometria
ocorre desde, aproximadamente, 150 a.C., mas não sabemos com
precisão quando as ideias se originaram.
Há alguns ângulos notáveis, com os quais costuma-se trabalhar com maior
frequência, e cujos valores de seno, cosseno e tangente devem ser sempre
lembrados. Os mesmos encontram-se na Tabela 1.
69
https://go.eadstock.com.br/kX
Tabela 1 – Seno, tangente e cosseno de alguns ângulos notáveis
Fonte: O autor (2020).
Ângulo Seno Tangente Cosseno
0º 0 - 1
30º
45º
60º 1
90º 1 - 0
1
2
√2
2
√3
2
√3
2
√2
2
1
2
√3
3
√3
Os conceitos abordados no decorrer desta aula terão suas aplicações práticas
apresentadas durante todo o decorrer de nossa próxima aula. Trataremos da
decomposição de vetores referentes à velocidade e a forças em situações práticas,
auxiliando na �xação deste conteúdo com a realização de exemplos.
70
Lançamento Oblíquo e 
Decomposição de Forças
08
71
Figura 1. Lançamento oblíquo de um corpo qualquer
Fonte: O autor (2020).
Lançamento Oblíquo
Prezado, toda a nossa aula anterior foi voltada à apresentação de regras relacionadas à
decomposição de vetores. A partir de agora, serão apresentadas aplicações destes conceitos.
Iniciaremos tratando do chamado lançamento oblíquo - o qual também é, em algumas obras
literárias, chamado de “lançamento de projéteis” -, que se refere a situações nas quais um corpo,
considerando um plano cartesiano x y, é lançado na direção diagonal e apresenta movimento
relativo às duas dimensões.
Para todos os exemplos e exercícios que realizarmos durante esta etapa, teremos duas
suposições. A primeira será a de que a resistência do ar em relação ao movimento do corpo é
nula, enquanto a segunda é a de que a gravidade é perfeitamente constante durante toda a
trajetória.
A trajetória a ser realizada pelo corpo será uma parábola, aumentando até certo ponto e depois
decaindo. A altura a ser atingida pelo corpo irá depender da velocidade com a qual ele se inicia e
do ângulo que o vetor velocidade realiza em relação ao eixo x (KESTEN; TAUCK, 2015).
Para exempli�car a situação, vamos supor que um jogador de golfe dá uma tacada numa bola.
Além da altura da bola em relação ao chão aumentar, ela irá se movimentar em uma direção
especí�ca simultaneamente, conforme o exemplo exposto na Figura 1.
72
Na imagem, vê-se um corpo realizando um movimento de parábola, tendo um vetor velocidade
indicado no início do movimento, o ângulo realizado entre o vetor e o eixo x e a altura máxima
indicada em meio ao movimento.
Podemos decompor o vetor velocidade nos eixos x e y e, dessa forma, saberemos qual a
velocidade do corpo tanto na horizontal quanto na vertical. Seguindo o raciocínio apresentado
na aula anterior, podemos calcular as velocidades em x e y usando, respectivamente, o cosseno
e o seno do ângulo , ou seja, conforme as equações 1 e 2:
A única aceleração envolvida no movimento é a da gravidade, a qual ocorre apenas na direção
correspondente ao eixo y. Não há aceleração alguma envolvida no eixo x, então o componente 
 da velocidade será constante (HALLIDAY et al., 2018).
θ
VX = V ⋅ cos θ (1)
VY = V ⋅ sen θ (2)
VX
Com base nessas de�nições, podemos dizer, com segurança, que o movimento
realizado pela bolinha após o lançamento é um MRUV em relação ao eixo y,
enquanto é um MRU em relação ao eixo x.
Vamos iniciar com a análise em relação ao eixo y, deixaremos o eixo x de lado por enquanto.
Precisamos ter em mente que, como a aceleração da gravidade ocorre no sentido que aponta
para o chão - ou seja, contra a subida -, nós poderemos assumir módulo negativo para a mesma,
pois, até chegar ao topo, a velocidade irá diminuir constantemente.
Quando lançamos um objeto qualquer para o alto, o mesmo para de subir e, logo em seguida,
começa a cair. Portanto, é seguro dizer que, ao atingir a altura máxima, a componente de
velocidade em relação à altura será 0. Durante a queda, a velocidade na direção vertical irá
retornar, mas com sentido em direção ao solo, e irá aumentar cada vez mais até atingir o solo.
Com base nisso, é possível conhecer o instante em que a altura máxima ( será atingida
pelo corpo através de uma adaptação da equação horária da velocidade de um MRUV. A mesma
é apresentada na equação 3:
Sendo a velocidade inicial do corpo na direção y. Como sabemos que, na altura máxima, V é
igual a 0, e que a aceleração é de 10 m/s², seria su�ciente termos a velocidade inicial em cada
uma das direções para calcular o tempo necessário para que seja atingida a velocidade nula -
que também é o tempo necessário para atingir .
HMAX)
V = VY O − g ⋅ t (3)
VY O
HMAX
73
Para calcular , podemos adaptar a equação horária do espaço percorrido em um MRUV.
Conforme a equação 4, teremos:
Sendo a altura da qual o corpo foi lançado e o tempo aquele que tiver sido calculado
com o auxílio da equação 3.
Quando o projétil é atirado num plano perfeito, se assumirmos que não haverá nenhuma
barreira que impeça a continuidade do movimento, podemos a�rmar que a altura máxima será
atingida na metade da trajetória. Consequentemente, aplicando essa informação ao eixo x,
pode-se dizer que o tempo para atingir o solo novamente é exatamente o dobro do tempo 
, já que o mesmo tempo necessário para subir será necessário para cair.
Adaptando essa informação à equação horária de espaço de um MRU, podemos dizer que o
alcance máximo de um projétil em relação ao eixo x é calculado através da equação 5:
Lembrando que, como a velocidade em relação ao eixo x é constante, não é necessário
diferenciar o módulo da velocidade inicial do módulo das velocidades em outros instantes.
Para facilitar a �xação, vamos realizar um exemplo. Imaginemos que, de dentro de um navio, um
canhão, inclinado a 30º em relação ao chão, disparou uma bala a uma velocidade de 20 m/s,
buscando atingir um outro navio, localizado a 40 m. Considere que ambos os navios estejam
parados. Usando as equações que vimos durante esta aula, será possível atingir a base do outro
navio?
Primeiramente, precisamos usar as equações 1 e 2 para determinar qual a velocidade da bala
em ambas as direções. Assim:
Feito isso, usaremos a equação 3 para determinar o tempo necessário para a bala atingir a
altura máxima.
Por último, determinaremos a distância atingida usando a equação 5.
HMAX
HMAX = SO + VY O ⋅ t − (4)
g ⋅ t2HMAX
2
So tHMAX
tHMAX
SMAX = SO + VX ⋅ 2 ⋅ tHMAX (5)
VX = V ⋅ cos θ = 20 ⋅ cos 30º = 20 ⋅ = 17, 32 m/s
√3
2
VY = V ⋅ sen θ = 20 ⋅ sen 30º = 20 ⋅ = 10 m/s
1
2
0 = 17, 32 − 10 ⋅ tHMAX ⇒ 17, 32 = 10 ⋅ tHMAX ⇒ tHMAX = ≃ 1, 73 s
17, 32
10
SMAX = 0 + 10 ⋅ 2 ⋅ 1, 73 = 34, 6 m
74
Ou seja, sabendo que o navio alvo está há 40 m de distância, não será possível atingi-lo dessa
distância. Encerrando este tópico, deixo este questionamento para você: além de se aproximar,
quais seriam outras soluções possíveis para fazer com que a bala atingisse o navio? De que
forma o ângulo do canhão in�uencia a distância atingida?
Em maio de 2017, no Iraque, um soldado abateu um combatente inimigo disparando
um tiro a 3,5 km de distância. Para conseguir atingir o alvo, foram necessárias
diversas considerações. A distâncias curtas, a trajetória do projétil disparado é
praticamente uma linha reta - entretanto, para disparos longos, o movimento é uma
parábola, o que ocorre por conta da gravidade. Mas, além disso, para este cálculo,há
muito mais fatores a serem considerados, como a curvatura da Terra, a velocidade
do vento e a própria velocidade do projétil, o que torna o feito algo ainda mais
impressionante.
Decomposição de Forças
Passando para um assunto que tratamos há menos tempo, vamos falar sobre a decomposição
de forças. Nestes casos, o comportamento dos vetores, assim como o dos vetores velocidade,
depende diretamente do seno e do cosseno do ângulo de inclinação.
A força normal em planos inclinados
Conforme comentamos na aula 5, a força peso sempre terá sentido em direção ao centro da
Terra, não sendo in�uenciada pela inclinação. Entretanto, a força normal, que é a reação do
chão sobre um corpo, é constantemente in�uenciada por esta questão, pois a mesma irá ser
diretamente afetada pela inclinação do plano - uma maior inclinação tende a diminuir a força
normal. Vamos considerar a situação exposta na Figura 2, que é uma situação que também
vimos na quinta aula:
75
https://go.eadstock.com.br/kY
Figura 2. Corpo sobre um plano inclinado
Fonte: O autor (2020).
Num plano sem inclinação, a força peso e a força normal terão exatamente o mesmo módulo.
Entretanto, num plano em que há uma determinada inclinação , a força normal sofrerá uma
mudança de módulo, sendo reduzida. Para determinar a força normal após a inclinação, deve-se
decompor a força peso em dois vetores: e . Na Figura 3 é apresentada essa
decomposição. Para deixar a imagem mais limpa, os vetores P’ e N’ não serão representados
gra�camente.
O módulo da força normal será o mesmo da componente , a qual pode ser calculada
considerando-se o cosseno do ângulo de inclinação. A partir disso, num plano inclinado
qualquer, pode-se dizer que o módulo da força normal é calculado através da equação 6:
Se considerarmos o plano como sendo perfeitamente liso, ou seja, sem atrito, o bloco irá
escorregar. A aceleração com a qual o bloco escorrega irá depender da força aplicada, a qual,
caso não haja interferências, será a componente , cujo módulo é calculado considerando-se
o seno do ângulo de inclinação. A partir disso, podemos dizer que é o módulo de é dado
pela equação 7:
θ
PX PY
PY
N = PY = P ⋅ cos θ (6)
Px
PX
F = PX = P ⋅ sen θ (7)
76
Figura 3. Representação das componentes Px e Py num plano inclinado
Fonte: O autor (2020).
Se conhecermos a massa do corpo, é possível, inclusive, calcular a aceleração com a qual ele
escorrega. Como sabemos de aulas anteriores que , e como estamos assumindo que 
 é a única força sendo aplicada na descida, pode-se dizer que .
Ainda, caso haja atrito na rampa, o sentido do mesmo certamente será oposto ao movimento.
Por conta disso, a equação para calcular a aceleração se dará por , sendo A a
representação da força de atrito. Quanto maior for o atrito, menor será a aceleração.
Decomposição da tração
Apesar da situação do plano inclinado ser a mais usual para a decomposição de forças, ela
claramente não é a única. Podemos considerar também, por exemplo, situações nas quais um
corpo está sendo puxado por uma corda que não esteja esticada na mesma direção do
movimento.
Imagine uma criança puxando um carrinho amarrado a um barbante, conforme ilustrado na
�gura 4. Neste exemplo, iremos assumir a existência de atrito desde o início, para que seu
envolvimento em todo o sistema �que claro. É necessário também considerar a força peso, visto
F = m ⋅ a
PX PX = m ⋅ a
PX − A = m ⋅ a
77
Figura 4. Carrinho sendo puxado por uma corda esticada
Fonte: O autor (2020).
que a mesma terá sentido contrário a uma das componentes. A força normal e a tração
realizada na outra ponta da corda não estão indicadas, mas elas certamente estão presentes no
sistema.
Como a corda está esticada, entãocertamente há tração nela. Entretanto, como a corda está
sendo puxada emdireção à mão da criança, a força com que o carrinho é puxado não é a mesma
queestá sendo realizada no sentido do movimento - novamente, é necessário decompora força
envolvida. As componentes, como já vimos anteriormente, serão de�nidasconsiderando-se o
ângulo ,conforme as equações 8 e 9:
Caso a componente não seja maior do que a força deatrito A, então não haverá movimento
neste sentido. Contudo, caso seu móduloseja maior que a força de atrito, haverá aceleração e,
consequentemente,movimento, sendo o cálculo realizado usando-se .
Já a componente tem sentido contra a força peso. Seo módulo da componente for maior,
então o carrinho será suspendido pelo �o.Entretanto, caso a força peso tenha módulo maior, o
carrinho continuaráencostado no chão. Neste caso, o somatório da força normal com a
componente detração será igual ao da força peso, ou seja, .
Você deve estar se questionando sobre o fato da força normal ter um módulo diferente da força
peso, mesmo se tratando de um plano. Isso está ocorrendo apenas pelo fato de termos uma
força a mais atuando contra a força peso. Como a força normal é a reação do chão sobre um
θ
TX = T ⋅ cos θ (8)
TY = T ⋅ sen θ (9)
TX
TX − A = m ⋅ a
TY
TY + N = P
78
corpo, ela terá exatamente o mesmo módulo da força que está sendo aplicada pelo corpo sobre
o chão. Entretanto, a força da componente para cima faz com que a força aplicada pelo
corpo sobre o chão seja menor e, consequentemente, que a força normal também seja menor.
Encerramos nesta aula os conceitos teóricos referentes à aplicação e decomposição de forças.
Usaremos alguns raciocínios desenvolvidos nesta aula em ocasiões futuras. A próxima aula é de
cunho prático, mostrando a aplicação do que vimos entre as aulas 5 e 8.
TY
79
Equipamentos e 
Experimento Prático: Forças
09
80
Instrumentos de Medição
Na nossa aula 4, voltada aos experimentos para medição de velocidade, falamos
sobre equipamentos conhecidos por indivíduos que não atuam diretamente com a
Engenharia, justamente por estarem presentes em nosso cotidiano. Todos
sabemos o que é uma régua, uma trena ou um cronômetro.
Muitos equipamentos com os quais temos contato são, na verdade, versões menos
precisas daqueles com os quais lidamos em laboratório. Nossos relógios de pulso
marcam segundos, enquanto cronômetros marcam décimos, centésimos ou até
milésimos de segundo (SERWAY; JEWETT JR., 2017). Nossas balanças indicam, por
exemplo, 78,3 kg, enquanto as balanças de precisão em laboratórios indicam
78,315 kg - alguns fabricantes produzem instrumentos que indicam até mais casas,
na verdade.
Há diversas disputas inesperadas no mundo da Ciência, e uma delas é a
produção da balança mais precisa. Até o momento, uma companhia
espanhola desenvolveu um aparato capaz de medir a massa de um
único próton, que é de 1,7 yoctogramas - ou seja, o número 17
precedido de 24 zeros.
81
https://go.eadstock.com.br/kZ
Versões eletrônicas dos equipamentos tradicionais que conhecemos, como o
termômetro de mercúrio, têm sido criadas nas últimas décadas. Os motivos para
isso são dois - o primeiro é aumentar a precisão e a facilidade de visualização dos
resultados. Ao subirmos numa balança em uma farmácia, caso a mesma não seja
eletrônica, teremos que olhar de perto para enxergar com exatidão qual é a marca
que está sendo apontada. A balança digital tornaria a visualização muito mais
rápida. Numa situação comum, como a descrita, isso não causa uma interferência
tão drástica, mas, para o ramo cientí�co, isso conta muito.
O segundo motivo é a segurança do manipulador. O mercúrio é um elemento que
traz riscos ao ser humano e, caso um termômetro de mercúrio quebre, pode
ocorrer a contaminação de alguém nas proximidades. Além disso, equipamentos
eletrônicos são mais leves e fáceis de serem transportados, o que facilita o trabalho
de quem precisar movimentá-los.
Entretanto, falamos sobre diversos aparatos para várias unidades, mas uma coisa
não �cou clara: qual é o equipamento usado para medir uma força? A�nal, toda
grandeza deve ter um equipamento capaz de identi�cá-la.
82
Dinamômetro
Fonte: Visualhunt.
Este equipamento existe e está representado na imagem a seguir. Seu
nome é dinamômetro, usado para indicar quaisquer forças que
abordamosdurante as aulas anteriores.
Seu funcionamento se dá, geralmente, por meio de uma mola interna, a qual irá
sofrer deformações conforme houver aplicação de forças no equipamento. O
experimento que será descrito a seguir, focado na lei de Hooke, dará um bom
exemplo de como ocorre a aplicação de um dinamômetro na prática.
83
Experimento - a Lei de Hooke
Como vimos em nossa sexta aula, a força elástica pode ser calculada a partir da
multiplicação de dois valores: a constante elástica k, característica da própria mola,
e a deformação x sofrida pela mesma. Para determinar a deformação não há
segredo, basta que utilizemos uma trena para comparar o comprimento inicial da
mola com o comprimento �nal. Entretanto, como faríamos para determinar a
constante?
Muitas molas já vêm com o valor de sua constante exposto pelo fabricante.
Entretanto, vamos considerar uma mola desconhecida, sobre a qual não sabemos
absolutamente nada.
Já que a constante não pode ser determinada, podemos usar uma outra
informação: a própria força elástica. Caso apliquemos uma força de módulo
conhecido, será possível calcular a constante da mola com base na deformação. E,
para expor a força com precisão, temos o dinamômetro.
O primeiro passo é deixar a mola presa num ponto �xo. Geralmente, para este
experimento, costuma-se “pendurar” a mola na vertical - sendo assim, a força que
será aplicada na mesma será o peso. Como estamos numa vertical perfeita, não é
necessário realizar o cálculo das componentes.
Na extremidade livre da mola, prende-se o dinamômetro e, na extremidade deste,
pode-se posicionar o corpo cujo peso será a força medida pelo dinamômetro. É
importante citar que deve-se considerar, também, o peso do dinamômetro no
momento da realização do cálculo. Neste exemplo, vamos considerar a massa do
dinamômetro como sendo de 100 g - o que equivale a 1 N.
Ao aplicar uma força de 4 N (sem considerar o dinamômetro), veri�ca-se uma
deformação de 2 cm. Ao aplicar uma força de 9 N, nota-se que a deformação
passou a ser de 4 cm. Por último, ao aplicar uma força de 19 N, nota-se uma
deformação de 8 cm.
Estes dados podem ser con�gurados em um grá�co que relacione deformação com
força aplicada, conforme o grá�co 1. Note que, nos valores representados, já foi
considerado o peso do dinamômetro, adicionando 1 N a cada força aplicada.
84
Grá�co 1. Exemplo de grá�co da variação de espaço em função do tempo para um
MRU
Fonte: O autor (2020).
O fato do grá�co ter indicado uma linha reta na relação entre força e deformação
da mola indica que o valor de k é constante, conforme indicado pela própria teoria.
Com base nisso, podemos calcular o valor de k usando a equação .
Lembrando que o sinal negativo na equação existe apenas por conta da questão
vetorial, já que a força e a deformação têm sentidos contrários. No cálculo da
constante, esse sinal poderá ser desconsiderado.
Veri�cando a relação para todos os pontos apresentados no grá�co 1:
Deve �car claro que o resultado não estaria errado caso tivesse permanecido com
a unidade em N/cm. A conversão para N/m foi realizada unicamente com o
propósito de deixar o valor com as unidades do SI.
Com a constante determinada, podemos calcular a força elástica para qualquer
outra deformação e, fazendo o caminho contrário, prever a deformação para
quaisquer forças que venham a ser aplicadas a ela.
F = −k ⋅ x
k = = = = = 2, 5 N/cm = 0, 25 N/m
F
x
5
2
10
4
20
8
85
Este foi apenas um exemplo simples de como é feita a aplicação de um
dinamômetro na prática. Seria possível, também determinar a força de tração
numa corda.
Como sugestão, após esta aula, pesquise de que forma um dinamômetro pode ser
aplicado a demais situações que não envolvam a força elástica, mas sim as demais
forças. A determinação da tração numa corda, por exemplo, pode ser realizada de
maneira muito similar ao experimento que descrevemos. Este experimento é,
provavelmente, o mais tradicional, mas não é o único em que podemos realizar a
determinação de uma força.
Pesquise, também, de que forma ocorre a aplicação de dinamômetros na indústria.
O equipamento pode ser pouco conhecido, mas sua presença é frequente em
situações que envolvem, por exemplo, o controle de qualidade.
Encerramos nossa segunda parte do livro, que teve como foco principal a
explicação sobre forças e decomposição de vetores. Entretanto, isso não signi�ca
que iremos parar de trabalhar com as mesmas - assim como os movimentos, os
quais foram estudados no início do material, elas continuarão marcando presença
em nossos estudos. A partir da próxima aula, entraremos na terceira - e última -
etapa do nosso conteúdo, iniciando com a abordagem da energia mecânica.
86
Energia Mecânica: 
Cinética e Potencial
10
87
Energia
Agora que �nalizamos nossa discussão sobre forças, está na hora de começarmos
a terceira etapa da nossa disciplina: a energia. É comum relacionar essa palavra
com a energia elétrica que chega em nossas casas ou com alguma atividade física.
Porém, apesar de de�nitivamente existir uma conexão entre os termos, a Física
trata a energia com um olhar um pouco diferenciado.
Existem diversos tipos de energia, e a de�nição geral que podemos dar para este
termo é que essa é uma grandeza que está relacionada à capacidade de um corpo
de se movimentar ou de produzir um movimento (HALLIDAY et al., 2018). A
manifestação pode ocorrer de diversas formas, como o próprio movimento, o som,
o calor ou a eletricidade. A unidade com que a energia é representada no S.I. é o
joule (J), independente da variedade à qual nos referimos.
A energia é, de modo geral, uma grandeza escalar - isto é, não pode ser
representada por vetores. Entretanto, o modo de determinar cada uma delas é,
apesar de análogo, diferente.
É importante deixar claro desde o início que a energia é algo que não se perde,
apenas se transforma. Suponha que um carro em alta velocidade, o qual tem
energia em forma de movimento, freia repentinamente. Neste mesmo momento,
os pneus fazem um barulho muito alto e os pneus, que ainda escorregam no
asfalto por alguns instantes, acabam �cando mais quentes. Isso é, justamente, a
transformação da energia do movimento em energia sonora e energia térmica. Ela
pode não estar mais relacionada diretamente ao carro, mas em nenhum momento
a energia foi destruída - apenas convertida.
Vamos tratar primeiramente de duas categorias especí�cas: a energia cinética e a
energia potencial. Estas são aquelas que têm a relação mais clara com corpos e
sistemas que estejam em movimento, e compõem a chamada energia mecânica,
que será discutida ao �nal desta aula.
Energia cinética
A energia cinética é comumente representada pela expressão ou pela letra .
Essa é justamente a energia associada ao estado de movimento de um corpo -
quanto maior for a velocidade com que o corpo se move, maior será seu módulo.
EC K
88
Objetos estáticos, por não terem uma velocidade, não têm energia cinética
(HALLIDAY et al., 2018).
Além da velocidade, a outra grandeza a ser levada em conta para a determinação é
a massa. Seu módulo é determinado a partir da equação 1:
Por exemplo, se tivermos um carro com massa 800 kg se movimentando a 5 m/s,
sua energia cinética poderá ser determinada através da equação 1, e o resultado
será de 20000 J - ou 20 kJ.
Note que, na equação 1, o módulo da velocidade está elevado ao quadrado. Isso
signi�ca que, matematicamente, a energia nunca terá um módulo negativo. Pode
haver perda da mesma, mas em nenhum momento seu módulo será menor do que
0.
Um corpo que estiver sob o efeito de aceleração sofrerá constante alteração em
sua velocidade e, consequentemente, em sua energia cinética. A variação de
energia consiste em uma grandeza chamada trabalho, a qual será assunto de
nossa próxima aula.
Energia potencial
O conceito de energia cinética se baseia no movimento de um corpo e, por conta
disso, pode ser facilmente visualizado. A energia potencial (que pode ser
representada pela expressão ou pela letra ), por outro lado, se baseia na ideia
da energia queaquele corpo pode ter. Existem dois tipos de energias potenciais: a
gravitacional e a elástica. Inicialmente, falaremos da energia gravitacional.
Energia potencial gra�tacional
Para explicar este conceito, é interessante que você visualize uma aplicação prática.
Suponha que, em sua frente, no chão, haja uma bola de tênis estática. Você pega
essa bolinha e a levanta, e então a mantém erguida em uma mesma altura
constantemente.
EC = (1)
m ⋅ V 2
2
EP U
89
Quando você soltar a bolinha, ela estará suscetível à aceleração da gravidade e,
consequentemente, irá adquirir uma velocidade - adquirindo, assim, energia
cinética. Porém, enquanto estiver suspensa numa posição �xa, a bolinha ainda não
tem essa energia, mas ela poderá ter - e essa é a energia potencial.
Quanto maior a altura que a bolinha estiver em relação ao solo, maior será a
velocidade da mesma quando atingir o chão. Sendo assim, podemos dizer que,
quanto maior a altura à qual o corpo está em relação ao solo, maior é a energia
que ela pode adquirir ao terminar a queda, portanto, maior é sua energia potencial
(HALLIDAY et al., 2018).
Da mesma forma, quem gera velocidade no corpo em queda é a aceleração da
gravidade - por conta disso, uma gravidade mais intensa pode gerar uma maior
velocidade. Com base nessa a�rmação, podemos a�rmar que a energia potencial
também depende diretamente da gravidade local.
Assim como a energia cinética, a energia potencial também depende da massa do
corpo que está sendo analisado - um corpo com maior massa irá adquirir maior
energia durante o movimento de queda. Sendo assim, podemos representar a
energia potencial através da equação 2:
Novamente, a energia não poderá ter um valor negativo, visto que a altura em
relação ao solo, a gravidade e a massa não podem ter um módulo abaixo de 0. 
EP = m ⋅ g ⋅ h (2)
Conforme o tempo passar durante a queda, a velocidade irá aumentar e
a altura em relação ao solo irá diminuir. Isso signi�ca que a energia
potencial gravitacional é convertida em energia cinética enquanto o
corpo cai.
No momento em que a bolinha bater no chão, “quicar” e subir, parte da energia
será dissipada - por exemplo, iremos ouvir o barulho da bolinha batendo no chão,
o que nada mais é do que parte da energia sendo convertida em energia sonora -,
90
mas parte dela ainda estará na bolinha. No processo de subida, a altura em relação
ao solo aumenta, enquanto a velocidade diminui até chegar no ponto mais alto.
Esse processo mostra o oposto exato da situação anterior, pois temos a energia
cinética sendo convertida em energia potencial.
Vale citar que o fato da bolinha nunca atingir a altura que estava antes de ser solta
ocorre justamente por conta da energia que foi dissipada em forma de som. Caso a
energia fosse conservada, a bolinha permaneceria pulando continuamente.
Com base na equação 2, supondo que uma bolinha de 500 g esteja a 2 m de altura,
podemos a�rmar que sua energia potencial gravitacional ao atingir o solo será de
10 J.
Energia potencial elástica
A energia potencial elástica tem um princípio muito similar ao da energia potencial
gravitacional, mas com uma diferença: a mesma, ao invés de depender da
gravidade, depende da existência de uma mola no sistema.
Imagine uma situação em que uma esfera é empurrada em direção a uma mola. A
esfera gira até a mola com uma determinada velocidade. A esfera atinge a mola e
contrai a mesma.
Enquanto a esfera girava, possuía uma determinada energia cinética. Entretanto,
ao atingir a mola, sua velocidade foi reduzida até zerar. Para onde foi toda a
energia cinética que ela tinha? Pois bem, uma parcela dela foi dissipada em forma
de som, enquanto outra parte dessa energia se acumulou na própria mola, a qual
se contraiu e, após alguns instantes, irá se estender e empurrar a esfera de volta,
devolvendo parte de sua energia para a mesma (HALLIDAY et al., 2018).
A energia potencial elástica é a energia que uma mola pode gerar em um corpo
qualquer. Quanto maiores forem sua contração e sua constante elástica, maior
será a capacidade da mesma de acumular energia em si - e, claro, maior será a
energia devolvida ao corpo quando a mesma se estender.
Seu módulo é dado a partir da equação 3:
EPel = (3)
k ⋅ x2
2
91
É possível trabalhar com os dois tipos de energia potencial em um mesmo sistema.
Por exemplo, caso lancemos um corpo que está suspenso e o mesmo caia sobre
uma mola, a mesma será lançada de volta até uma certa altura. É impossível evitar
que haja dissipação de energia, mas é totalmente possível ter os dois tipos de
energia potencial trabalhando simultaneamente.
Tanto a energia potencial quanto a energia cinética são usadas em
nosso cotidiano para a geração de energia elétrica. A aplicação da
energia cinética é mais fácil de ser visualizada, sendo esta a chave para
a energia eólica, cuja energia depende do movimento de pás gigantes,
mas também podemos falar da energia nuclear, visto que, em algumas
usinas, o vapor gerado pelos compostos internos faz com que hélices
ganhem movimento e, consequentemente, energia cinética, a qual será
convertida em eletricidade. A energia potencial pode ser vista em usinas
hidráulicas, visto que a água, no início da queda, tem uma grande
energia potencial armazenada, a qual será convertida em cinética no
decorrer da queda e, en�m, com o auxílio de transformadores, em
energia elétrica.
Fonte: Serway e Jewett Jr., 2017.
Energia Mecânica
Agora que expusemos os conceitos da energia cinética e da energia potencial,
podemos en�m discutir a energia mecânica. As duas modalidades que
apresentamos durante esta aula são classi�cadas como mecânicas, e podemos
a�rmar que o somatório de ambas será igual à energia mecânica de um sistema
num determinado instante. Conforme a equação 4:
EM = EC + EP (4)
92
Pode-se dizer, então, que a energia mecânica se trata da energia envolvida em um
sistema no qual há ou pode haver movimento.
Sendo assim, num sistema imaginário que não envolva dissipação de energia (os
quais são chamados de sistemas conservativos), um corpo terá energia mecânica
constante - visto que a energia cinética será convertida em energia potencial e vice-
versa, fazendo com que o somatório entre ambos sempre mantenha um valor
constante.
Por exemplo, supondo que um corpo esteja suspenso a uma altura de 20 m e
tenha massa igual a 18 kg. Sua velocidade enquanto suspenso é nula, o que torna
sua energia cinética nula. Sendo assim, sua energia mecânica será igual à energia
potencial, ou seja:
Após cair 5 metros, podemos determinar sua velocidade com base na equação de
Torricelli, a qual vimos algumas aulas atrás. A mesma será:
Como houve uma queda de 5 metros, então a altura atual é de 15 metros - o que
con�gura redução da energia potencial -, mas agora há energia cinética envolvida.
Sendo assim, deve-se calcular ambas para, então, determinar a energia mecânica:
Por último, no exato momento em que o solo é atingido, a energia potencial se
torna nula, mas a velocidade é máxima. Novamente, usando-se a equação de
Torricelli, numa queda livre de 20 metros pode-se dizer que a velocidade é igual a
20 m/s. Com base nisso, podemos calcular a energia mecânica usando apenas a
energia cinética:
EM = EC + EP = 0 + 18 ⋅ 10 ⋅ 20 = 3600 J
V 2 = V 2O + 2 ⋅ a ⋅ ΔS = 0 + 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 100
V = 10 m/s
EC = = 900 J
18 ⋅ 102
2
EP = 18 ⋅ 10 ⋅ 15 = 2700 J
EM = 900 + 2700 = 3600 J
EM = EC + EP = + 0 = 3600 J
18 ⋅ 202
2
93
Sendo assim, foi mostrado que a energia mecânica se manteve constante em todos
os momentos. Isso não pode ser obtido num sistema real, visto que há forças
dissipativas - como a resistência do ar e o atrito, que reduzem a velocidade do
movimento e, consequentemente, a energia cinética -, portanto foi feita esta
consideração de forma a facilitar os cálculos num primeiro momento. Trataremos
de sistemas mais realistas em breve.
Conforme dito no início da aula, nenhuma energia é perdida, mas sim convertida
para outras formas de energia. As únicas energias que se encaixam como
mecânicas são a cinética e apotencial, mas isso não impede que uma delas seja
convertida em uma energia não-mecânica ou que o caminho inverso ocorra.
Agora que discutimos sobre os conceitos das energias, podemos seguir com nosso
próximo tema, diretamente ligado a esta aula e aos conceitos de força que
abordamos anteriormente: o chamado trabalho.
94
Trabalho e Potência
11
95
O Conceito de Trabalho
Agora que conhecemos o conceito de energia, podemos falar sobre o chamado
“trabalho”. Este assunto pode ser mais facilmente compreendido a partir do
momento que temos entendimento sobre energias e, ainda mais importante, sobre
forças.
Podemos dizer que, quando há aplicação de uma força num corpo e a mesma faz
com que ele se desloque, está sendo realizado trabalho. Por exemplo, se
estivermos empurrando um carrinho de mão ou então puxando uma caixa muito
pesada, certamente estará sendo realizado o trabalho dessa força. Caso o corpo no
qual está sendo aplicada a força permaneça estagnado, então não haverá trabalho.
Essa grandeza é representada pela letra W e é escalar. Sua unidade no S.I. é a
mesma da energia, isto é, o joule (J). Seu cálculo é dado através da equação 1:
Em que F é a força aplicada, d é a distância pela qual o corpo foi deslocado, e é o
ângulo entre os vetores F e d. Caso a força e o deslocamento estejam ocorrendo no
mesmo sentido, o trabalho será máximo e, caso a força seja aplicada num ângulo
perpendicular à direção de deslocamento, o trabalho será nulo - visto que, por ser
um ângulo perpendicular, é impossível que a força tenha algum efeito sobre o
deslocamento, visto que não haverá uma componente vetorial desta força neste
sentido.
Para ilustrar essa equação, pode-se checar a Figura 1: 
W = F ⋅ d ⋅ cos θ (1)
θ
96
Figura 1. Corpo sofrendo ação de uma força e sendo deslocado
Fonte: O autor (2020).
Se lembrarmos de um tema que tratamos algumas aulas atrás, podemos dividir a
força F nas componentes , perpendicular ao movimento, e , que tem a
mesma direção e sentido que o deslocamento. Lembre-se que é igual ao
módulo da força F multiplicado pelo cosseno do ângulo entre o vetor e o eixo
horizontal x. Dessa forma, a equação para cálculo do trabalho faz total sentido, já
que ela envolve tanto a força F quanto o cosseno de . Caso isso facilite seu
raciocínio, você pode considerar a equação para o cálculo do trabalho como sendo,
simplesmente, .
O módulo do trabalho
Apesar do trabalho ser uma grandeza escalar, a força e o deslocamento são
grandezas vetoriais e, portanto, seus sentidos são importantes para o cálculo como
um todo. Na situação representada na Figura 1, em que ambos os vetores têm a
mesma direção, teremos trabalho com módulo positivo. Caso a força e o
deslocamento estivessem em sentidos opostos, o trabalho seria negativo.
Se tivermos duas forças agindo sobre um mesmo corpo, cada uma delas estará
realizando um trabalho diferente. Por exemplo, no momento que você segura um
bebê e o levanta, estão agindo, ao menos, duas forças nele: a sua força para
FY FX
FX
θ
W = FX ⋅ d
97
levantá-lo, que tem a mesma direção do deslocamento do bebê para cima e,
portanto, realiza trabalho positivo, e a força da gravidade, que empurra o bebê
para baixo, contra o movimento, realizando trabalho negativo.
De modo geral, qualquer força que tenha uma componente com sentido contrário
ao do deslocamento realizará trabalho negativo. Um exemplo é justamente a força
de atrito, sobre a qual estudamos algumas aulas atrás. Enquanto uma força realiza
trabalho positivo para que um corpo se mova sobre uma superfície, a força de
atrito realiza o trabalho negativo.
Você pode se perguntar o que signi�ca um trabalho com sinal positivo ou negativo.
Pois bem, isso tem relação direta com nossa aula anterior, em que tratamos de
energia. O signi�cado do trabalho para a Física é, na verdade, a transferência de
energia em um sistema.
Quando houver transferência de energia, haverá trabalho. Caso o
sistema que estamos analisando tenha um aumento em sua energia, o
trabalho será positivo. Em casos nos quais ocorre perda de energia para
o ambiente, temos trabalho com módulo negativo (SERWAY; JEWETT JR.,
2017).
Sendo assim, um sistema com velocidade constante - ou seja, sem aceleração - não
terá alteração em sua energia e, consequentemente, não será realizado trabalho.
Isso está de acordo com o que vimos em nossas primeiras aulas, quando foi dito
que, sem força, não há aceleração. Sabemos, da equação 1, que a força é um
elemento usado no cálculo do trabalho e, sem a presença de uma força, não há
trabalho. Isto é uma forma simples de mostrar que, no �nal, todos os pontos da
Física acabam se interligando.
Caso um automóvel esteja se movendo de forma acelerada, com sua velocidade
aumentando, a força que o faz acelerar certamente estará realizando trabalho. Isso
se trata da conversão de energias envolvidas no sistema sendo convertidas em
energia cinética.
98
Suponha que o automóvel em questão bata em uma barreira. Após se chocar,
haverá recuo do mesmo, mas com uma velocidade bem menor do que a anterior e,
consequentemente, energia cinética reduzida. Isso indica que houve dissipação da
energia cinética. Como a energia é, a partir deste momento, menor do que a
anterior, podemos a�rmar que o trabalho foi negativo e que a energia foi
convertida em, por exemplo, energia sonora, com o barulho da batida entre o
automóvel e a barreira.
Para auxiliar na �xação do conteúdo, podemos realizar um exemplo. Suponha que
um trenó, o qual tem um homem em cima dele, seja puxado por seis cães sobre
uma superfície plana de gelo, a qual tem um coe�ciente de atrito cinético de 0,05.
Considere que o trenó tem massa 60 kg, enquanto o homem tem massa de 90 kg.
Cada cão realiza força igual a 15 N para puxar o trenó. Qual será o trabalho
realizado após o deslocamento de 20 m?
Para essa resolução, primeiro devemos compreender as forças envolvidas.
Sabemos que a força de atrito será igual ao coe�ciente de atrito estático
multiplicado pela força normal. Como temos uma superfície perfeitamente plana, a
força normal terá o mesmo módulo da força peso. O peso total é de 150 kg, visto
que temos o trenó e o homem sobre ele, então a força peso é de 1500 N e,
consequentemente, a força normal também terá este módulo.
A força de atrito pode ser, então, calculada:
A força que puxa o trenó é exercida pelos cães. Como eles realizam a força
exatamente no sentido para o qual se deslocam, assumimos que o vetor força tem
a mesma direção e sentido que o vetor deslocamento. Por serem 6 cães, com cada
um realizando 15 N de força, então teremos um total de 90 N no sentido do
deslocamento.
O atrito e a força dos cães têm sentidos exatamente opostos, então
consideraremos a força do atrito como negativa. Sendo assim, a força resultante
será dada pela subtração das duas:
En�m, podemos calcular o trabalho usando a equação 1. Sabemos que o
deslocamento é de 20 m, então:
Fat = μe ⋅ N = 0, 05 ⋅ 1500 = 75 N
FR = 90 − 75 = 15 N
W = F ⋅ d = 15 ⋅ 20 = 300 J
99
Vale citar que poderíamos calcular o trabalho realizado por cada uma das duas
forças separadamente para, depois, realizarmos a somatória entre eles. O
resultado encontrado permaneceria este.
Poderíamos ir ainda mais longe no raciocínio e calcular a aceleração do sistema.
Sabemos de nossas aulas anteriores que a força resultante é a multiplicação da
massa pela aceleração. Como temos a massa de 150 kg e a força resultante de 15
N, podemos calculá-la facilmente:
Com base nisso, poderíamos, inclusive, calcular a velocidade do trenó após ter
percorrido o espaço de 20 metros - usando a equação de Torricelli, encontraríamos
uma velocidade de 2 m/s. Ao calcular a variação de energia cinética entre o
momento da partida (considere que o trenó partiu do repouso) e o momento em
que a posição 20 m é atingida, o resultado seria de 300 J - e, como o trabalho é
justamente a variação da energia, nosso cálculo anterior seria con�rmado.
F = m ⋅ a → a = = = 0, 1 m/s2
F
m
15
150
Potência
Caro aluno, pense na seguinte hipótese: doispedreiros estão em uma construção,
sendo um deles num nível mais baixo e outro deles num andar superior. O
pedreiro de cima pede que o de baixo passe um tijolo para ele, o que pode ser feito
de duas formas. A primeira delas é com o pedreiro de baixo jogando o tijolo para o
alto, enquanto o outro agarra o mesmo. A outra é através de um pequeno elevador
improvisado com uma tábua, uma corda e uma roldana, em que o pedreiro de
baixo deposita o tijolo e puxa uma corda, a qual acaba levantando a tábua.
Em qual das duas formas ocorre uma maior variação de energia no tijolo? A
resposta é: nenhuma. Em ambos os casos, o tijolo estava na mesma posição inicial
e foi transferido até o mesmo ponto. Se a variação de energia é a mesma, então
pode-se a�rmar que o módulo do trabalho realizado nas duas hipóteses também é
igual. O deslocamento resultante também é o mesmo. A única coisa que mudou foi
o tempo necessário para realizar essas atividades - certamente, jogar o tijolo para o
alto toma menos tempo do que colocá-lo sobre o elevador e suspendê-lo com uma
corda. Isso é justamente o que caracteriza a potência, que é o tópico sobre o qual
iremos tratar.
100
O nome “potência” é comum quando estamos discutindo a respeito de
componentes eletro-eletrônicos. Tratamos do termo também quando falamos de
automóveis em geral. Nestes casos, a palavra é bem aplicada, visto que o
signi�cado é exatamente o mesmo que encontramos na Física.
Por potência, primeiramente, nos referimos ao trabalho que é realizado por um
equipamento num determinado período de tempo - quanto maior for o módulo
deste trabalho, ou quanto menor for o tempo necessário para realizá-lo, maior será
a potência envolvida.
Como sabemos que o trabalho representa a variação de energia, então pode-se
a�rmar, também, que a potência é a variação de energia num determinado
intervalo de tempo. Sendo assim, seu módulo pode ser determinado através das
igualdades apresentadas na equação 2:
No S.I., sua unidade é dada em watts (W), que é exatamente a mesma coisa que
dizemos que ocorre uma variação de uma determinada quantidade de Joules por
segundo. A sigla W é mais usual, mas o uso da expressão J/s também pode ser
encontrada em certas literaturas e equipamentos - sendo assim, ambas costumam
ser aceitas.
Em competições automobilísticas, pode-se encontrar motores com a unidade de
potência dada em hp (do inglês, horse-power) ou em cv (cavalo-vapor). Apesar de
serem próximas e terem nomes similares, essas unidades não são equivalentes -
enquanto 1 hp corresponde a 745,7 W, 1 cv é igual a 735,5 W, uma diferença que,
em pequena escala, não é tão grande, mas torna-se signi�cativa em maiores
proporções.
Quando tratamos da velocidade, apresentamos as chamadas velocidade média e
velocidade instantânea, que são, respectivamente, a velocidade num determinado
período de tempo e a velocidade que ocorre num momento especí�co, com a
variação de tempo tendendo a zero. Também podemos aplicar estes conceitos à
potência com a potência média, que é a potência realizada durante um
determinado período, e instantânea, que ocorre num momento muito especí�co.
P = = (2)
W
Δt
ΔE
Δt
101
Não é segredo que um dos elementos mais importantes para gerar
movimento num automóvel é o motor. Um carro que tenha um motor
mais potente tende a atingir velocidades mais altas, visto que ele é
capaz de fornecer mais energia - e, consequentemente, realizar mais
trabalho. O quão rápido essa energia será cedida trata de outra
grandeza, o torque, que será estudada em uma de nossas próximas
aulas.
Fonte: Serway e Jewett Jr. (2017).
Para �xarmos o conceito de potência, vamos retornar ao exemplo do trenó puxado
pelos cães, o qual vimos no tópico anterior. Sabemos que a velocidade do trenó
após percorrer 20 m é de 2 m/s, assim como sabemos que ele partiu do repouso e
que sua aceleração é de 0,1 m/s². Com essas informações, podemos calcular o
tempo que foi necessário para atingir a velocidade de 2 m/s:
Anteriormente, calculamos o trabalho realizado pela força dos cães, que foi de 300
J. Com essas informações e com a equação 2, podemos calcular a potência:
Para treinar a conversão de unidades, sugiro que você tente, por conta própria,
converter a potência do movimento dos cães para as unidades hp e cv.
Em nossa próxima aula, entraremos num tópico diretamente relacionado ao
conteúdo desta aula: as forças conservativas e não conservativas. 
V = VO + a ⋅ t → 2 = 0 + 0, 1 ⋅ t → t = = 20 s
2
0, 1
P = = = 15 W
W
Δt
300
20
102
Forças Conservativas 
e Não Conservativas
12
103
Conservação de Energia
Em nossa décima aula, tratamos das energias cinética e potencial, as quais, juntas,
compõem a energia mecânica. Apesar destes não serem os únicos exemplos de
energia existentes, eles serão, novamente, o ponto focal da nossa aula.
Vamos supor o seguinte cenário: você está jogando boliche, e a próxima jogada é
sua. Você pega a bola, se prepara para lançá-la, mas, no momento em que realiza o
lançamento, acaba se desequilibrando, o que faz com que a bola seja jogada com
muito menos força do que deveria. A força é tão pouca que, após rodar até metade
da pista, a bola para completamente.
Vamos fazer uma análise das energias envolvidas no processo. Num primeiro
momento, a bola tem energia cinética e energia potencial, pois ela está se movendo
e está a uma certa altura do chão. Em seguida, ela encosta no chão - o que sinaliza
que não há energia potencial gravitacional envolvida - e segue deslizando, o que
evidencia que ainda existe energia cinética. Após um certo período, a bola parou,
indicando que ambas as energias que estávamos considerando não estão mais ali.
Conforme comentamos em aulas anteriores, essa energia foi dissipada e
transformada em outro tipo de energia - como o barulho da bola batendo na pista
e rolando, ou, então, em forma de calor, o qual é gerado, mesmo que em pequenas
quantidades, enquanto a bola rola sobre a pista.
Anteriormente, discutimos sobre a energia mecânica se manter constante, visto
que a energia cinética pode ser convertida em energia potencial e vice-versa, sem
que o módulo da energia mecânica seja afetado. Porém, desta vez, houve perda de
energia mecânica. O foco desta aula é analisar justamente aquilo que causou a
perda dessa energia - que foram, no caso, as forças não-conservativas, também
conhecidas como forças dissipativas.
As forças não-conservativas são, de forma geral, aquelas que fazem com que haja
alterações no módulo da energia mecânica (SERWAY; JEWETT JR., 2017). Um
exemplo é o já citado atrito: como a força do mesmo faz com que haja redução da
velocidade, há redução da energia cinética. O atrito faz com que seja gerado calor
(energia térmica) e som (energia sonora), que não compõem a energia mecânica -
consequentemente, a força de atrito é dissipativa.
104
Figura 1. Possíveis trajetos para o deslocamento do ponto A até o ponto B
Fonte: O autor (2020).
As de�nições formalizadas do que caracteriza uma força conservativa serão dadas
em nosso próximo tópico, relacionando este conceito tanto com as energias
quanto com o trabalho.
Forças conservativas
Toda força conservativa segue, obrigatoriamente, duas condições. A primeira delas
é a de que, num movimento entre dois pontos A e B, o trabalho realizado por esta
força será sempre o mesmo, independentemente da trajetória realizada (HALLIDAY
et al., 2018). Para estas forças importa apenas a distância entre os dois pontos, e
não o caminho que foi percorrido. Para ilustrar essa regra, pode-se veri�car a �gura
1, que expõe 3 possíveis trajetórias entre dois pontos.
A força peso é um ótimo exemplode força conservativa. Se um corpo estiver se
deslocando do ponto A até o pontoB, o peso em nenhum momento fará com que a
energia mecânica seja dissipada, eseu trabalho será exatamente o mesmo entre
ambos os pontos, mesmo quandotratamos de uma queda livre. Pode-se adicionar
105
ao grupo das forçasconservativas a força elétrica, que não será estudada a fundo
neste material,mas que é parte do pequeno grupo de forçasque não dissipa a
energia mecânica.
Também é considerada comoconservativa a força elástica de uma mola ideal, visto
que, ao ser comprimidapor um corpo que antes estava em movimento, a mesma
irá conter energiapotencial e, quando se restaurar, devolverá toda a energia para o
corpo emmovimento. Num cenário real isso não irá ocorrer - a dissipação ocorre
porconta de outras forças, sobre as quais falaremos no próximo tópico.  
Sabemos que o trabalho pode tantoter seu módulo positivo quanto negativo.
Tomando o ponto A como referencial, separtirmos dele para o ponto B, teremos
trabalho positivo. Entretanto, separtirmos do ponto B para o ponto A, teremos
trabalho negativo. Sendo assim,podemos escrever a igualdade apresentada na
equação 2:
WA→B + WB→A = 0 (2)
Ainda com base em na equação 2, temos a segunda condição que toda
força conservativa cumpre: caso haja deslocamento de um ponto A até
um ponto B, e em seguida haja retorno do ponto B até o ponto A -
resultando, assim, num caminho fechado -, independentemente do
trajeto realizado, o trabalho total será nulo.
Apesar de serem poucas as forçasconsideradas como conservativas, elas são de
grande relevância no cotidiano -principalmente a força peso. Entretanto, é
praticamente impossível termos umprocesso que não envolva ao menos uma força
dissipativa.
106
Forças dissipativas
De forma direta, qualquer forçaque não seja conservativa será parte do grupo das
dissipativas. Além da forçade atrito, a resistência do ar também é dissipativa -
quando um corpo está emqueda livre, a resistência dissipa sua energia mecânica
como energia sonora(KESTEN; TAUCK, 2015). Se a velocidade da queda for alta o
su�ciente, o som setorna audível mesmo sem o uso de aparelhos.
Contrariando as condiçõesexpostas no tópico anterior, o trabalho realizado por
forças não-conservativasirá depender do trajeto realizado pelo corpo no qual ela
está sendo exercida.Vamos supor as situações apresentadas na Figura 2.
Em ambos os casos, há atrito narampa - iremos considerar que as forças de atrito
tenham o mesmo módulo. Ambastêm a mesma altura H e, portanto, o bloco tem a
mesma energia potencial noinício do movimento. Vamos considerar que ambos os
blocos tenham a mesma velocidadeinicial quando começarem a deslizar. A única
diferença entre os dois casos éque a rampa da situação 1 é visivelmente mais longa
do que a da situação 2.Consequentemente, a distância na qual o bloco terá contato
direto com a rampaserá maior, o que também implica numa maior distância em
que a força de atritoirá agir.
Caso não houvesse atrito, ambosos blocos atingiriam a base com a mesma
velocidade. Entretanto, com o atritoagindo por mais tempo, haverá maior perda de
energia cinética. O bloco da situação2 chegará à base com maior velocidade do que
o da situação 1, o que comprovauma menor perda de energia cinética enquanto
era percorrida a distância H.Sendo assim, pode-se a�rmar que a in�uência que a
força de atrito teve sobrea perda de energia mecânica.
107
Figura 2. Blocos deslizando por rampas de diferentes inclinações
Fonte: Adaptado de Kesten e Tauck (2015).
Como é muito comum que tenhamosmais do que uma força dissipativa atuando
simultaneamente, o trabalho total dasforças não-conservativas pode ser calculado
a partir da variação de energiamecânica no sistema. Se conhecermos o módulo das
energias cinética e potencialno início e no �nal do movimento, o cálculo do trabalho
torna-se muitosimples, conforme exposto na equação 3:
Em que é o trabalho total das forçasnão-conservativas. Vale citar que, em
alguns casos, ocorre ganho de energiamecânica ao invés de perda - reações
químicas podem produzir esse efeito.
ECi + EPi = ECf + EPf + WNC (3)
WNC
108
A energia química é a base para geração de energia cinética em diversos
casos. Tratando de uma aplicação industrial, podemos falar dos
motores que funcionam a base de combustão: os combustíveis �cam
alojados num compartimento e, quando em contato com oxigênio e sob
a temperatura adequada, ocorre conversão da energia química em
energia térmica. O calor faz com que o pistão do motor seja
comprimido, gerando, assim, a energia cinética que faz com que a
máquina se movimente. Quanto maior for a parcela de energia química
convertida em energia cinética, mais econômico será considerado o
motor. A energia química também é a base para o movimento do corpo
humano: as reações que ocorrem internamente em nosso corpo usam
a energia adquirida dos alimentos que consumimos para gerar
qualquer movimento que realizemos.
Fonte: Kesten e Tauck (2015).
Deve-se ter em mente que, considerando um sistema como um todo, a energia
total será sempre conservada (MARQUES, 2016). A perda de parte ou de toda a
energia mecânica é impossível de ser evitada, mas a transformação da mesma em
calor, som ou até mesmo em outros tipos de energia, como elétrica.
109
A usina hidrelétrica de Itaipu é uma das maiores estruturas do mundo,
produzindo energia elétrica usando como base a energia cinética da
água. No início de 2020 foi atingida a marca de 2,7 bilhões de MWh de
energia elétrica gerada pela usina desde o início de sua operação - isso
seria su�ciente para iluminar o mundo inteiro por 43 dias.
Podemos dizer que, de certa forma, seria impossível termos alguns mecanismos
que hoje em dia consideramos comuns, como carros, máquinas de lavar,
microondas ou aspiradores de pó se não fossem usadas as forças conservativas e
dissipativas ao mesmo tempo. O foco desta aula foi tratar da conversão de energia
mecânica em outros tipos de energia e vice-versa, mas também pode ocorrer a
conversão entre outros dois tipos de energia - como exemplo, foi citado o caso da
combustão interna dos motores, mas diversos outros equipamentos, como
secadores de cabelo, notebooks e baterias, usam princípios similares.
Ao engenheiro, cabe a criatividade e o conhecimento para usar estes conceitos a
favor da ciência. Assim como é sempre possível criar um novo mecanismo, também
pode-se buscar melhorar aqueles que já existem - seja através da melhoria de
rendimento, seja através da aplicação de diferentes energias num sistema em que
haja essa possibilidade.
Em nossa próxima aula seguiremos tratando da energia cinética - abordaremos a
questão do momento linear e das colisões.
110
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Momento Linear 
e Colisões
13
111
Impulso e Quantidade de
Mo�mento
A quantidade de movimento, também chamada de momento linear, é uma
grandeza que envolve a massa e a velocidade de um corpo. Ela é diretamente
relacionada ao conceito de impulso, que trata da força que é aplicada a um corpo
por um determinado período de tempo. Estes conceitos são essenciais para que
possamos compreender as colisões, então os abordaremos de forma breve antes
de iniciarmos o principal foco da aula.
Suponha que um jogador de futebol irá cobrar uma falta. Ele irá posicionar a bola a
uma certa distância, correr até ela e chutá-la. O contato entre o pé do jogador e a
bola irá durar apenas uma fração de segundo - e, durante essa fração, a força que
o jogador usou para chutar a bola foi aplicada a ela. Este é o chamado impulso: o
tempo de contato durante o qual foi aplicada uma determinada força a um corpo
(KESTEN; TAUCK, 2015).
O impulso é uma grandeza vetorial, tendo a mesma direção e sentido que o vetor
força. Pode ser representado pela letra I, mas não é raro encontrar livros que usem
a letra J em seu lugar. O mesmo pode ser calculado através da equação 1:
A unidade do impulso pode ser dada em N.s ou em . Quando aplicamos uma
força em algum corpo por um certo instante - como, por exemplo, quando damos
uma tacada numa bola numa mesa de bilhar, ou então quando empurramos a
porta da geladeira para que ela feche, estamos realizando os conceitos de impulso.
Já a quantidade de movimento, que é representada pela letra Q, se refere à
multiplicação da massa de um corpo pela velocidade do mesmo. Voltando ao
exemplo do jogador de futebol, vamos considerar apenas a perna que ele usa para
o chute neste momento. Vamos supor que a perna dojogador pese cerca de 10 kg,
enquanto a velocidade com que ela se move no instante do chute seja de 30 m/s.
Podemos calcular a quantidade de movimento através da equação 2:
→
I =
→
F ⋅ Δt (1)
kg ⋅ m
s
Q = m ⋅ V = 10 ⋅ 30 = 300 N ⋅ s (2)
112
Essa quantidade de movimento será transferida para a bola no momento do chute.
Uma bola de futebol pesa cerca de 450 g. Se estivermos falando de um sistema
fechado, no qual toda a quantidade de movimento seja transferida, então
poderemos calcular a velocidade com que a bola se movimenta usando a
igualdade:
Ou seja, num sistema em que não haja resistência do ar, atrito ou qualquer
dissipação de energia no momento do choque entre o pé do jogador e a bola, esta
se movimentaria a uma velocidade de 666,67 m/s. Na realidade, parte da energia
cinética será perdida e, consequentemente, a bola não se movimentará a uma
velocidade tão alta.
QA = QB
mA ⋅ VA = mB ⋅ VB
10 ⋅ 30 = 0, 45 ⋅ VB
VB = = 666, 67 m/s
300
0, 45
O ex-jogador brasileiro Roberto Carlos tinha como uma de suas
principais características um chute absurdamente forte. Em mais de
uma ocasião, ele contou com a ajuda de efeitos da Física em seus gols -
a velocidade com que a bola se movia era tão alta que ocorria o
chamado “efeito Magnus”, o qual fazia com que a pelota realizasse
curvas inesperadas.
113
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O impulso realizado num corpo pode ser calculado através da variação de
quantidade de movimento deste mesmo corpo. Caso ele esteja em repouso no
início, o impulso será igual à quantidade de movimento �nal - entretanto, caso o
corpo já esteja em movimento no início, é necessário realizar o cálculo conforme a
equação 3:
Agora que passamos por esta introdução aos conceitos de impulso e momento
linear, podemos dar início ao tópico principal desta aula: as colisões.
I = QF − QI (3)
I = m ⋅ VF − m ⋅ VI
I = m ⋅ ΔV
Colisões
O termo “colisões” tem exatamente o mesmo signi�cado para a Física e para o
nosso entendimento cotidiano. Qualquer situação na qual haja um choque entre
dois corpos, de forma que pelo menos um deles esteja em movimento, será
considerada uma colisão. Durante todo este tópico, consideraremos os dois corpos
envolvidos em cada colisão como um único sistema isolado, isto é, sem in�uência
de quaisquer forças exteriores.
Os corpos terão velocidades diferentes antes e após a colisão - para nos referirmos
a cada uma delas, chamaremos as velocidades anteriores ao choque de e e
as velocidades posteriores de e , conforme apresentado na �gura 1. 
V1 V2
V ′1 V
′
2
114
Figura 1. Dois corpos antes, durante e após realizarem uma colisão
Fonte: O autor (2020).
Entretanto, temos três cenários diferentes para as colisões, e iremos abordar todos
eles: as colisões elásticas, as inelásticas e as perfeitamente inelásticas.
A energia cinética de um sistema pode variar ou não, dependendo do
formato de colisão com o qual estivermos lidando. Porém, se
considerarmos os corpos como um sistema isolado, o momento linear
do sistema será conservado no instante da colisão.
115
Uma forma de caracterizar cada tipo de colisão é usando o chamado “coe�ciente
de restituição”, representado pela letra . Para calculá-lo, basta usar a equação 4:
Em que a velocidade de afastamento é a velocidade com a qual os corpos se
afastam um do outro após o choque, enquanto a velocidade de aproximação é a
velocidade com a qual eles se aproximam um do outro imediatamente antes da
colisão. Independentemente de qual foi o tipo de choque, nunca será maior do
que 1.
Como sempre, as velocidades devem levar em consideração o sentido do vetor.
Caso elas tenham sentidos contrários, deverão, obrigatoriamente, ter sinais
diferentes. Por conta disso, deve-se sempre considerar um referencial.
Colisões elásticas
As colisões elásticas - chamadas de “perfeitamente elásticas” por alguns autores -
são a única forma de colisão na qual a energia cinética é conservada após o choque
entre os dois corpos. Na prática, não existe uma colisão perfeitamente elástica em
uma escala visível a olho nu, visto que sempre haverá, ao menos, um mínimo de
dissipação de energia, geralmente em forma de energia sonora. Em escala atômica,
as colisões entre átomos podem corresponder a este formato (KESTEN; TAUCK,
2015).
Sabemos que, no momento de uma colisão entre dois corpos, os quais
chamaremos de 1 e 2, a quantidade de movimento é conservada. Sendo assim,
podemos assumir a igualdade apresentada na equação 5:
O diferencial da colisão elástica em relação às demais é o fato de que sabemos que
a energia cinética do sistema será conservada, o que torna a igualdade
apresentada na equação 6 válida:
e
e = = (4)
VAFASTAMENTO
VAPROXIMACÃO
V ′2 − V
′
1
V1 − V2
e
QI1 + QI2 = QF1 + QF2
m1 ⋅ V1 + m2 ⋅ V2 = m1 ⋅ V ′1 + m2 ⋅ V
′
2
(5)
+ = + (6)
m1 ⋅ V
2
1
2
m2 ⋅ V
2
2
2
m1 ⋅ V
′2
1
2
m2 ⋅ V
2′
2
2
116
Em situações especí�cas de colisões elásticas nos quais o corpo 2 encontra-se em
repouso e o corpo 1 encontra-se em movimento antes da colisão, podem ser feitas
algumas considerações matemáticas. Quando , ambos os corpos irão se
movimentar, após a colisão, para o mesmo sentido que o corpo 1 estava se
movimentando - as velocidades irão depender das massas. Em casos nos quais 
, o corpo 1 se �cará estático e o corpo 2 seguirá no mesmo sentido e com
a mesma velocidade que do corpo 1 anterior à colisão.
Finalmente, se , o corpo 1 irá assumir sentido contrário ao da sua
velocidade anterior à colisão, enquanto o corpo 2 irá se movimentar no mesmo
sentido da velocidade do corpo 1 anterior à colisão. Reforçando, estas situações
expostas valem apenas para colisões elásticas - o mesmo não pode ser a�rmado
para as demais colisões.
Em relação ao coe�ciente de restituição, em uma colisão elástica o mesmo sempre
será igual a 1, visto que a velocidade relativa com que os corpos se aproximam um
do outro será exatamente a mesma velocidade relativa de afastamento.
Colisões inelásticas
As colisões inelásticas, também chamadas de colisões parcialmente elásticas, são
aquelas que encontramos com maior frequência. A grande diferença em relação às
colisões elásticas está no fato de que ocorre perda de energia cinética no sistema
após a colisão, seja em forma de calor, seja em forma de energia sonora.
Deve-se citar que a regra da conservação do momento linear ainda é válida, visto
que a mesma se aplica ao instante exato da colisão, e não ao que acontece após a
mesma.
Sendo assim, imagine que, ao jogar bilhar, a bola branca rolou em direção a uma
outra bola qualquer. As duas se chocam e seguem caminhos diferentes. É possível
sabermos a massa de cada uma delas, mas suas velocidades após a colisão irão
depender diretamente do coe�ciente de restituição dos corpos envolvidos. Quanto
maior for seu módulo, maior será a velocidade com a qual ambos se afastarão, e
maior terá sido a quantidade de energia mecânica conservada pelos corpos.
Em todas as hipóteses, o coe�ciente de restituição será maior do que 0 e menor do
que 1, visto que, embora a energia mecânica não seja toda conservada, ainda
ocorre uma velocidade de afastamento entre os corpos.
m1 > m2
m1 = m2
m1 < m2
117
Colisões perfeitamente inelásticas
As colisões perfeitamente inelásticas são um caso especí�co de colisões inelásticas.
Nestas hipóteses, os corpos colidem e permanecem unidos, “grudados”. Olhando
por uma certa ótica, pode-se considerar que eles se tornam um único corpo - e,
justamente por conta disso, não há velocidade de afastamento entre os corpos, o
que torna o coe�ciente de restituição 0 (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
Considerando essa informação, podemos usar a equação 7 para descrever o
momento linear deste tipo de colisão:
Esta situação, apesar de menos comum do que uma colisão inelástica simples,
pode ser vista em ocasiões reais. Por exemplo, é possível que, caso um carro colida
com a traseira de outro, os dois permaneçam unidos por um certo período - isso já
seria su�ciente para con�gurar uma colisão perfeitamente inelástica.
m1 ⋅ V1 + m2 ⋅ V2 = (m1+ m2) ⋅ V
′ (7)
118
Para a indústria automotiva, um dos principais testes pelo qual os
produtos devem passar é o crash test, o “teste de colisão” em português.
São realizados testes sob diversas velocidades, visto que isso é
necessário para calibrar os cintos de segurança, airbags e outros
diferentes mecanismos de segurança que possam estar presentes nos
veículos - a�nal, uma batida sob baixa velocidade não exigiria a ativação
de uma medida tão drástica quanto um airbag -, além de veri�car a
resistência de partes como os parachoques. Entre as diversas análises
realizadas, também está a veri�cação do tempo necessário para o
airbag in�ar e esvaziar - é necessário que tudo isso ocorra num
intervalo de milésimos de segundo, visto que bater de frente com o
airbag totalmente in�ado não reduziria os danos sofridos pela pessoa. A
intenção é justamente reduzir o tempo de contato da pessoa com
qualquer superfície, visto que isso, sim, diminui a força exercida contra
ela.
Fonte: Kesten e Tauck (2015).
Caro aluno, encerramos nossa abordagem sobre momento linear e colisões. Note
que esta aula uniu conceitos vistos durante todo o decorrer do livro, envolvendo
tanto velocidade quanto forças, vetores e energia. Enquanto vamos passando pelos
conteúdos, é perceptível que tudo está interligado de alguma forma.
Nossa próxima aula terá uma estrutura semelhante, visto que iremos regressar
brevemente aos tópicos de velocidade e aceleração para falar sobre movimentos
circulares e, em seguida, apresentar um novo conteúdo - o torque.
119
Movimentos Circulares 
e Torque
14
120
Mo�mentos Circulares
Antes de iniciarmos, um conceito sobre movimentos circulares deve ser
esclarecido. Existem duas possibilidades para movimentos circulares: o movimento
de rotação, em que um corpo gira sobre seu próprio eixo - como o planeta Terra
girando em torno de si mesmo, o que leva 24 horas para concluir uma volta -, e o
movimento de translação, que se trata do movimento do corpo girando ao redor
de outro ponto - no caso, a Terra girando em torno do Sol, o que leva 365 dias para
completar uma volta. O que será descrito nesta aula vale para os dois movimentos.
As análises de movimentos circulares levam em conta as mesmas grandezas que os
movimentos retilíneos - temos uma velocidade, temos uma aceleração e,
naturalmente, temos um deslocamento. Entretanto, existem algumas
considerações a serem feitas.
A primeira é o fato de que, num movimento circular uniforme (MCU), a velocidade
vetorial sempre varia. Isso ocorre pelo fato de que, enquanto o corpo percorre um
movimento circular, sua direção muda constantemente - consequentemente, a
direção e o sentido do vetor velocidade irão variar a todo instante.
Deve �car claro que a velocidade escalar - isto é, a velocidade com que o corpo se
move - não varia quando estamos falando de um MCU. A variação é apenas em
relação à direção do movimento, pois o módulo continuará o mesmo. 
Todo movimento circular tem uma força que o puxa para o centro do
círculo, a qual é chamada de força centrípeta ( ). É esta a força que faz
com que o movimento seja circular - caso a ação da mesma fosse
repentinamente interrompida, o corpo abandonaria a trajetória circular
e iniciaria um movimento em linha reta (HALLIDAY et al., 2018).
FC
121
Figura 1. Movimento circular uniforme e suas principais variáveis
Fonte: O autor (2020).
Como há uma força puxando o corpo em direção ao centro do movimento, então
certamente há uma aceleração. Esta é a chamada aceleração centrípeta ( ), a
qual, para um MCU, é constante, e é também a responsável pela alteração contínua
da velocidade vetorial. A aceleração e sua força correspondente sempre têm o
mesmo sentido, e este caso não foge à regra: tanto a força quanto a aceleração
centrípeta têm como sentido o centro do movimento.
Além da aceleração centrípeta, a �gura 1 expõe as grandezas sobre as quais
discutiremos neste primeiro momento.
aC
O vetor velocidade, neste caso também chamado de velocidade tangencial,
indicado na �gura 1 pela letra V, sempre será perpendicular ao vetor da aceleração
centrípeta. O corpo em movimento está na intersecção destes vetores - sendo
assim, como o mesmo está em movimento, os vetores mudarão de direção a todo
instante.
Para um movimento circular, tão importante quanto conhecer a velocidade
tangencial, é também compreender a chamada velocidade angular - na �gura 1,
representada pela letra . Esta grandeza indica qual a variação angular do corpoω
122
em relação à superfície, ou seja, o quanto do perímetro da circunferência é
percorrido pelo corpo a cada instante.
Como a velocidade angular é mais voltada ao ângulo percorrido do que a distância
em si, sua unidade é dada em radianos por segundo, isto é, rad/s. Conforme pode-
se deduzir pelo nome e pela unidade, seu cálculo relaciona o ângulo , em
radianos, percorrido com o intervalo de tempo, sendo a velocidade angular
calculada através da equação 2.
Lembrando que uma volta de um círculo tem 360º, cujo equivalente é de 
radianos. Um radiano tem, aproximadamente, 57,2958º.
Pode-se usar a velocidade angular para calcular a velocidade tangencial em um
MCU. Para isso, basta conhecer também o raio R da circunferência projetada pelo
deslocamento do corpo. Seu cálculo é dado através da equação 3.
A aceleração centrípeta pode ser calculada tendo como base a velocidade vetorial e
o raio da circunferência, usando-se a equação 4.
Por último, para tratar de um movimento circular, deve-se citar a frequência e o
período - as quais são grandezas inversas - isto é, , sendo T o período e f a
frequência. O período trata-se do tempo necessário para que o corpo dê uma volta
completa na circunferência, e tem seu módulo dado em segundos. Como sabemos
que uma volta completa tem rad, podemos usar a equação 2 e adaptá-la:
Já a frequência é dada na unidade de Hertz (Hz), sendo 1 Hz equivalente à
quantidade de rotações que o corpo faz em um segundo. Então, caso um corpo
leve 1 segundo para dar uma volta completa, sua frequência é de 1 Hz. Caso o
tempo necessário seja de 2 segundos, sua frequência será de 0,5 Hz. Quanto maior
for o período T necessário para dar uma volta, menor será a frequência (KESTEN;
TAUCK, 2015).
θ
ω = (2)
Δθ
Δt
2π
V = ω ⋅ R (3)
aCP = (4)
V 2
R
T = 1
f
2π
ω = =
Δθ
Δt
2π
T
123
Mo�mento circular uniformemente variado
A aceleração centrípeta está sempre presente num corpo em movimento circular.
Entretanto, há uma segunda aceleração que pode ocorrer, que é a aceleração
angular. Como se pode concluir com base no próprio nome, a aceleração angular é
aquela que tem in�uência sobre a velocidade angular, e não estará presente num
MCU, apenas em movimentos circulares uniformemente variados (MCUV).
A mesma é representada usando-se a letra grega alfa ( ), tem como unidade rad/s²
e é análoga à aceleração de um movimento retilíneo. Para o cálculo da aceleração
linear, veri�ca-se a variação de velocidade em relação à variação de tempo. Para a
aceleração angular usa-se o mesmo raciocínio, dividindo-se a variação da
velocidade angular pela variação de tempo, conforme a equação 5.
As grandezas relacionadas aos movimentos circulares são análogas às grandezas
dos movimentos retilíneos. Por conta disso, como forma de praticar, sugere-se que
você busque reescrever as equações que tratamos nos movimentos retilíneos
usando os movimentos circulares - dessa forma, você compreenderá como
podemos calcular o perímetro percorrido por um corpo num MCUV.
Assim como dito anteriormente, toda aceleração está relacionada à existência de
uma força. Para que ocorra a aceleração angular, é necessário que haja a aplicação
da força que trataremos em nosso próximo tópico: o torque.
α
α = (5)
Δω
Δt
Torque
Para explicar o torque, usaremos o exemplo mais clássico do mesmo. Pense numa
situação em que você irá abrir uma porta usando uma maçaneta em forma de
alavanca. Caso você segure ela pela ponta mais distante do eixo em que ela gira, a
força necessária para movimentá-la será muito baixa. Por outro lado,caso você
agarre a maçaneta num ponto muito próximo do eixo, certamente terá di�culdades
em movimentá-la.
Essa é uma aplicação claríssima do torque, grandeza também conhecida como
“momento de alavanca”, representada pela letra grega . Sua existência ocorre
quando a aplicação de uma força faz com que um corpo realize o movimento de
τ
124
Figura 2. Movimento circular de uma alavanca e as variáveis envolvidas
Fonte: O autor (2020).
rotação, sendo dependente de duas grandezas: a força aplicada e a distância que o
ponto de aplicação dela se encontra do eixo de rotação. Quanto maior for a força e
maior foi a distância, maior será o torque.
Há dois tipos de torques: o torque estático, que é aquele que faz com que um
corpo gire, mas sem aceleração angular, e o torque dinâmico, que gera aceleração
angular. Independentemente do torque ao qual nos referirmos, seu cálculo será
dado através da equação 6.
Sendo F a força aplicada, d a distância entre a aplicação da força e o eixo de
rotação e o ângulo entre o vetor força e o braço da alavanca. Caso a aplicação da
força seja perpendicular ao braço, o seno será igual a 1 e o módulo do torque será
máximo. Essa situação está representada gra�camente na �gura 2. 
τ = F ⋅ d ⋅ sen φ (6)
φ
Por envolver uma grandeza de força e uma grandeza de comprimento, a unidade
do torque é dada em N.m.
125
Algumas aulas atrás, comentamos sobre a potência dos motores estar
ligada à velocidade máxima que um automóvel pode atingir. O torque
também tem importância nesse quesito - motores com maior torque
precisam de menos tempo para atingir sua velocidade máxima. Veículos
que carregam grandes cargas, como ônibus, necessitam de um alto
torque, pois, caso contrário, não terão condições nem sequer de iniciar
o movimento.
Fonte: Brunetti (2012).
Note que, na �gura 2, temos o torque representado no canto inferior direito, por
um círculo com um ponto no meio. O torque é uma grandeza vetorial e é
perpendicular ao vetor força - sendo assim, esse símbolo usado na �gura indica
que o vetor torque está vindo em direção à parte de fora da folha. Usa-se o símbolo
 para dizer que um vetor está “saindo” da folha e o símbolo para dizer que o
vetor está “entrando” na folha.
Para facilitar a visualização, a �gura 3 apresenta exatamente a mesma imagem que
a �gura 2, mas vista de outro ângulo.
⊙ ⊗
126
Figura 3. Movimento circular de uma alavanca e as variáveis envolvidas
Fonte: O autor (2020).
O sentido do vetor torque pode ser determinado com base no sentido de rotação
do corpo em relação ao eixo, usando a chamada regra da mão direita. Coloque sua
mão direita na sua frente, com o polegar esticado e os demais dedos fazendo uma
forma semelhante à de uma concha, imitando a curva que o movimento faz.
Veri�que qual está sendo o sentido da rotação e imite-o, com o mesmo sentido,
com os seus quatro dedos em forma de concha.
O sentido do vetor torque será exatamente para onde seu polegar estiver
apontando - se estiver apontando para você, então o vetor torque está na sua
direção e será representado por . Caso o polegar esteja apontando para o outro
lado, o vetor torque estará indo para o sentido para o qual você está olhando e
será representado por .
Vale citar que, caso o movimento de giro estivesse ocorrendo em outro sentido, o
vetor torque estaria com sentido para baixo na �gura 3.
Finalizamos nossa aula sobre movimentos circulares e torque. Nosso próximo
tópico será um conteúdo um tanto diferente, mas de igual relevância: o centro de
massa.
⊙
⊗
127
Centro de Massa
15
128
Centro de Massa
Quando crianças, e até mesmo quando adultos, todos nós já gastamos parte do
nosso tempo tentando equilibrar um objeto em um único dedo. É provável que
você tenha obtido sucesso em pelo menos algumas dessas ocasiões, e a chance
disso ter ocorrido enquanto você buscava equilibrar um objeto simétrico, como um
caderno, é muito grande.
Quando temos sucesso em equilibrar algo na ponta de um dedo, signi�ca que o
exato ponto que está sendo apoiado é o centro de massa deste corpo. A de�nição
dada ao centro de massa é a de que ele é um ponto hipotético no qual toda a
massa do corpo está concentrada e que, caso seja exercida uma força sobre ele,
fará com que todo o sistema se mova de alguma forma (SERWAY; JEWETT JR., 2017).
O centro de massa de um ser humano saudável �ca numa região próxima à sua
coluna - entretanto, homens e mulheres terão este ponto localizado em locais
diferentes, por conta de particularidades dos corpos.
Você já se perguntou o motivo de equilibristas usarem longos bastões enquanto
caminham sobre a corda bamba? Isso não é à toa: enquanto eles seguram o
bastão, tornam-se um único corpo, com uma só massa, do ponto de vista da Física,
e isso faz com que o seu centro de massa seja deslocado. Caso eles percebam que
haverá qualquer possibilidade de se desequilibrar, podem, rapidamente, mudar
seu centro de massa apenas movendo o bastão, o que facilita seu equilíbrio e
diminui drasticamente as chances deles caírem. Entretanto, para esta aula,
consideraremos corpos mais simples de lidar do que um ser humano. Tratando,
primeiramente, de corpos simétricos, podemos facilmente deduzir seu centro de
massa apenas olhando para um deles. 
129
Figura 1. Barra de comprimento d com tijolos de massa m apoiados em suas
pontas
Fonte: O autor (2020).
Imaginando um corpo perfeitamente simétrico, como um cubo, e com
massa igualmente distribuída em todos os pontos, o centro de massa
coincide com o centro geométrico do corpo - ou seja, �ca exatamente
no seu ponto central.
Caso tenhamos um corpo não-simétrico, é necessário realizar o cálculo para
determinar onde encontra-se seu centro de massa. Em algumas ocasiões, o ponto
de equilíbrio pode ocorrer, inclusive, em um ponto fora do corpo - isso
impossibilitaria seu equilíbrio sem o uso de um aparato.
Vamos supor que tenhamos uma barra que tenha, em uma das suas pontas, um
tijolo, enquanto sobre a outra ponta são empilhados três tijolos, sendo todos eles
de mesma massa, conforme exposto na �gura 1.
Queremos equilibrar essa barra com os tijolos distribuídos nessa mesma
con�guração sobre um único ponto. Como saberemos onde �ca o ponto de
equilíbrio?
130
Figura 2. Centro de massa da barra em relação ao eixo x
Fonte: O autor (2020).
Neste momento, consideraremos a barra com os tijolos como uma estrutura
unidimensional, sem profundidade ou altura. Após esta explicação inicial,
trataremos a estrutura de forma bidimensional. Não iremos considerar a massa da
barra e diremos que o comprimento dos tijolos é muito pequeno em comparação
ao da barra - ou seja, o centro de massa dos próprios tijolos será indiferente em
relação ao comprimento d.
Caso apoiemos a posição central da barra, ela certamente penderá para o lado com
mais tijolos. Sendo assim, devemos posicionar o apoio num ponto mais próximo da
posição onde estão os três tijolos - o centro de massa sempre estará mais próximo
da região em que ocorrer maior concentração de massa.
Para calcularmos o centro de massa neste caso, usaremos a equação 1.
Sendo a posição do corpo 1 em relação à origem do eixo e a posição do
corpo 2 em relação à origem deste mesmo eixo. Na �gura 1, marcamos que o tijolo
solitário encontra-se na posição 0, enquanto os três tijolos encontram-se na
posição d em relação à origem - sendo assim, estes serão os valores que
aplicaremos a esta resolução.
Substituindo os dados da �gura 1 na equação 1, teremos:
Ou seja, a posição na qual se deve colocar o apoio é equivalente a ¾ do
comprimento d da barra, conforme assinalado em vermelho na �gura 2.
xCM = (1)
x1 ⋅ m1 + x2 ⋅ m2
m1 + m2
x1 x2
xCM = = = = 0, 75d
0 ⋅ m + d ⋅ 3 ⋅ m
m + 3 ⋅ m
3 ⋅ d ⋅ m
4 ⋅ m
3d
4
131
Figura 3. Barra das �guras anteriores vista de um ângulo superior, a profundidade
da mesma é dada em l
Fonte: O autor (2020).
Caso estivéssemos tratando de uma situação de um corpo unidimensional, isso
seria su�ciente. Porém, iremos ampliar o sistema agora: vamos considerar que ele
tem profundidade. Alargura da barra será representada pela letra l. Vendo a
mesma situação representada nas �guras 1 e 2 de um plano superior, teríamos a
visão apresentada na �gura 3.
Já temos o centro de massa em relação ao comprimento d, e o mesmo
permanecerá inalterado. Entretanto, quando calculamos o centro de massa em
relação a este eixo, consideramos que os tijolos tinham comprimento irrelevante
em relação ao da barra. Essa consideração não será feita em relação à espessura -
deveremos levar em consideração a espessura l dos tijolos, visto que é igual à da
barra.
Como os tijolos são simétricos, o centro de massa deles em relação à espessura
�ca exatamente no meio - ou seja, se a espessura é l, o centro de massa dos tijolos
em relação a este eixo �cará posicionada em .
Usaremos a equação 1 para calcular o centro de massa em relação a este outro
eixo. Entretanto, para evitar confusões, chamaremos este eixo de y e faremos as
devidas adaptações na equação.
O resultado encontrado faz sentido, visto que, apesar de um dos lados ter mais
peso do que o outro, o centro de massa dos tijolos dos dois lados está na mesma
posição. Sendo assim, em relação à profundidade, o centro de massa �ca
posicionado no meio da plataforma. A �gura 4 expõe a posição exata do ponto em
que se encontra o centro de massa, considerando tanto a posição de 0,75d em
relação ao comprimento quanto a posição de 0,5l em relação à profundidade.
0, 5 ⋅ l
yCM = = = 0, 5l
0, 5 ⋅ l ⋅ m + 0, 5 ⋅ l ⋅ 3 ⋅ m
m + 3 ⋅ m
4 ⋅ m ⋅ 0, 5 ⋅ l
4 ⋅ m
132
Figura 4. Centro de massa da plataforma considerando comprimento e
profundidade
Fonte: O autor (2020).
Figura 5. Centro de massa dos tijolos
Fonte: O autor (2020).
Caso seja considerada a dimensão de altura, poderemos calcular, também, o
centro de massa em relação a um terceiro eixo, o qual chamaremos de z. Como
consideramos que a plataforma não tem espessura e massa, será considerada
apenas a altura dos tijolos.
Os três tijolos empilhados à direita podem ser vistos como um único corpo
simétrico. Vamos dizer que, se um tijolo tem altura h, 3 tijolos terão altura 3h. O
centro de massa do tijolo do lado esquerdo estará na posição 0,5h (que é o centro
do tijolo), enquanto o centro de massa dos 3 tijolos estará na posição 1,5h, que é o
centro do tijolo do meio. A con�guração acaba sendo a mesma da �gura 5, na qual
os centros de cada um dos dois corpos estão representados por pontos pretos.
Para calcular o centro de massa em relação a altura dos corpos, usaremos,
novamente, a equação 1, substituindo x por z.
zCM = = = 1, 25h
0, 5 ⋅ h ⋅ m + 1, 5 ⋅ h ⋅ 3 ⋅ m
m + 3 ⋅ m
5 ⋅ m ⋅ h
4 ⋅ m
133
Figura 6. Centro de massa em relação à altura
Fonte: O autor (2020).
Sendo assim, o centro de massa em relação à altura �ca na posição equivalente a
1,25h. Considerando que sabemos que a posição do centro de massa em relação
ao comprimento é 0,75d, o centro de massa �caria na posição sinalizada pelo
ponto preso na �gura 6.
A partir da �gura, percebe-se que o centro de massa do conjunto que estamos
tratando �ca fora do corpo - sendo assim, é impossível equilibrá-lo, já que não
temos como equilibrar com base num ponto em que não há qualquer partícula
sólida.
Deve �car claro que este exemplo realizado durante a aula foi meramente teórico,
e que, na realidade, talvez fosse possível encontrar um ponto de equilíbrio real -
caso fosse considerada a massa da plataforma, por exemplo, talvez
encontrássemos o centro de massa em algum ponto dela mesma.
134
Quando uma pessoa realiza uma cirurgia estética, como uma cirurgia
bariátrica ou uma lipoaspiração, a mesma tem di�culdades em se
equilibrar nos primeiros dias. O mesmo ocorre quando um indivíduo
começa a usar uma prótese que substitui algum membro amputado.
Isso ocorre por conta do centro de massa! Alguém que tenha
concentração de gordura abdominal tem seu centro de massa numa
posição mais próxima dessa região, enquanto alguém com pouca
gordura tem seu centro localizado próximo à coluna. Este é um efeito
colateral da cirurgia e a adaptação pode levar algum tempo, mas,
certamente, haverá recuperação do equilíbrio após um período de
certas di�culdades.
Fonte: Benetti (2013).
O centro de massa é muito usado na Engenharia Civil, visto que é importante
conhecer o ponto de equilíbrio de cada estrutura. Este assunto tende a ser
abordado de forma mais aprofundada em disciplinas voltadas à mecânica, sendo
esta aula apenas uma introdução ao tema.
A partir de agora, sempre que tiver um objeto em suas mãos, tente imaginar onde
será seu centro de massa exato - isso facilitará na memorização dos cálculos e do
raciocínio necessário para este tipo de resolução.
Em nossa última aula, trataremos da gravitação.
135
Gravitação
16
136
A Lei da Gra�tação
Caro(a) aluno(a), desde sempre você ouve sobre a famosa lei da gravidade, dizendo
que “tudo que sobe tem que descer”. Esta, de fato, é uma forma simpli�cada de
expor tal conceito - entretanto, a lei da gravitação apresenta esta informação de
uma maneira mais exata.
Issac Newton, o gênio que ilustra a capa desta aula, foi o responsável pela
descrição desta lei. Em 1687, em sua obra “Princípios Matemáticos da Filoso�a
Natural”, o mesmo declarou que “cada partícula do universo atrai cada outra
partícula com uma força que é diretamente proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas”
(SERWAY; JEWETT JR., 2017, p.371).
Ou seja, toda matéria impõe e sofre atração por outras matérias - mesmo que essa
força seja mínima. Você está atraindo este livro, enquanto este livro também está
atraindo você.
Transformando a lei em termos matemáticos, construímos a equação 1.
Sendo e a massa de cada um dos corpos, a distância que separa ambos e 
 uma constante, a qual é conhecida como a constante gravitacional universal,
cujo valor é de .
Como já foi dito em aulas anteriores, forças são grandezas vetoriais, ou seja,
possuem direção e sentido. Já que os dois corpos se atraem simultaneamente,
pode-se a�rmar que a direção dessa força de atração tem a mesma direção para
ambos, mas com sentidos exatamente opostos. Sendo assim, considerando a
força que o corpo 1 exerce em 2 e a força de 2 em 1, .
É com base nesse conceito, inclusive, que podemos a�rmar que o Sol atrai a Terra -
e que, simultaneamente, a Terra atrai o Sol. Da mesma forma, essa é a força com
que nosso planeta nos atrai e com que nós atraímos o planeta - já conhecemos
essa força de aulas anteriores, por sinal. É aquela à qual chamamos de peso.
Vale citar que, como sabemos que a força peso é dada pela multiplicação entre
massa e gravidade, podemos igualar as mesmas à equação 1.
Fg = G ⋅ (1)
m1 ⋅ m2
r2
m1 m2 r
G
6, 674x10−11 N ⋅ m2/kg2
F12
F21
−→
F12 = −
−→
F21
137
Em que é a massa da Terra e o raio, enquanto m se trata da massa de um
corpo qualquer. Se eliminarmos essa incógnita de ambos os lados da equação,
�camos com a seguinte igualdade:
Substituindo a constante gravitacional, a massa e o raio da Terra na equação,
chegamos ao resultado de 9,82 m/s², o qual é o valor real da gravidade em nosso
planeta. Seguiremos considerando o valor arredondado de 10 m/s² como base em
nossos exercícios, mas é sempre interessante apresentar qual foi o raciocínio
usado para chegarmos a este resultado.
m ⋅ g = G
MT ⋅ m
R2T
MT RT
g = G
MT
R2
T
Durante toda a nossa vida, ouvimos que não há gravidade no espaço.
Entretanto, isso é uma mentira. Mesmo que muito baixa, todo corpo
exerce uma força sobre um outro corpo, e isso também vale no espaço.
Entretanto, deve �car claro que Newton não trilhou todo o caminho sobre o estudo
da gravitação sozinho. Ele se apoiou sobre os ombros de gigantes, como Galileu
Galilei e Johannes Kepler que, algumas poucas décadas antes de Newton nascer,
haviam desenvolvido leis que serviriam como base para muito do que o mesmo
desenvolveu - e, claro, para muito do que conhecemos hoje em dia.
138
https://go.eadstock.com.br/k2
O astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571 - 1630) e seumentor
Tycho Brahe (1546 - 1601)
Fonte: Wikipedia.
As Leis de Kepler
Kepler foi um astrônomo que viveu entre os séculos XVI e XVII, ou seja, muito antes
da tecnologia que temos hoje em dia poder ser sequer cogitada. Entretanto, apesar
das limitações da época, ele foi o principal responsável por três das leis que,
teoricamente, regem os astros em nosso Sistema Solar. Obviamente, apesar de
protagonista, Kepler não fez tudo sozinho - contou com dados de seu mentor,
Tycho Brahe, para chegar às suas suposições, as quais só foram con�rmadas anos
após sua morte, por seu assistente, que as nomeou em homenagem ao mestre
(SERWAY; JEWETT JR., 2017).
A primeira lei de Kepler expõe que a Terra não realiza um círculo perfeito ao redor
do Sol, como muitos achavam na antiguidade - o movimento con�gura, na verdade,
uma elipse. Além disso, o Sol não é localizado no centro exato da elipse, o que é
su�ciente para a�rmar que a Terra �ca mais distante de sua estrela em alguns
períodos do ano.
139
Figura 1. Órbita da Terra ao redor do Sol
Fonte: O autor (2020).
A segunda lei diz que “o vetor radial desenhado a partir do Sol a um planeta tem
uma varredura de áreas iguais em intervalos de tempo iguais” (SERWAY; JEWETT JR.,
2017, p.376).
O que isso signi�ca? Pois bem, vamos considerar a �gura 1 para que a
compreensão seja simpli�cada.
Na �gura 1, nota-se que há dois trechos destacados. No trecho em vermelho,
temos a variação de tempo , enquanto o outro trecho tem a variação de tempo 
. A segunda lei de Kepler diz que, se estes dois períodos forem iguais, então as
áreas e também serão iguais. Isso ocorre com quaisquer dois trechos da
órbita que necessitem do mesmo tempo para serem percorridos. Vale citar que
esta lei não é válida somente para a Terra, mas para qualquer planeta presente em
nosso Sistema Solar.
O motivo disso é a força gravitacional que o Sol exerce sobre os corpos celestes.
Quando eles estão orbitando numa região mais próxima, a força aplicada pelo Sol
torna-se mais intensa, e os planetas acabam por ter uma velocidade angular maior
- o que, consequentemente, faz com que seja percorrida uma maior distância em
menor tempo. Comparando isso com os temas que abordamos anteriormente,
podemos dizer que o momento do movimento de translação dos planetas em
torno do Sol é constante.
Δt1
Δt2
A1 A2
140
Planetas mais próximos do Sol têm períodos de translação mais curtos - Mercúrio,
por exemplo, completa uma volta em torno da estrela em 88 dias terrestres,
enquanto Netuno demora quase 165 anos para completar uma única volta.
A terceira e última lei compara o período de translação com o semieixo
maior da elipse. Segundo os estudos de Kepler, a relação entre o
quadrado do período da órbita e o cubo do semieixo maior da elipse
será constante para todos os planetas do Sistema Solar.
Por “semieixo maior”, estamos nos referindo à maior distância possível entre o
centro exato da elipse formada e o planeta - ou, em outros termos, o “raio maior”
da elipse. Apresentando essa lei em termos matemáticos, a descreveremos
conforme a equação 2.
Se considerarmos, por exemplo, o tempo necessário para que a Terra dê uma volta
completa ao redor do Sol, teríamos s, sendo o semieixo maior de 
m. Considerando a equação 2, encontramos uma relação de 
s²/m³. Essa relação será a mesma para todos os planetas e para
diversos outros corpos presentes em nosso sistema, como, por exemplo, Plutão,
que desde 2006 é considerado como um planeta-anão.
= c (2)
T 2
R3
3, 156 ⋅ 107
1, 496 ⋅ 1011
2, 97 ⋅ 10−19
141
A teoria da gravitação, desenvolvida por Newton, que usou como base
as leis de Kepler, atingiu um outro nome muito importante para o meio
da Física: Albert Einstein. Foi com base no conhecimento deixado por
Newton que o alemão desenvolveu a teoria da relatividade geral, a qual
serviu como base para compreendermos que os planetas não
permanecem em órbita pelo simples fato do Sol os atrair, mas sim
porque a estrela é um corpo de massa tão elevada que os planetas
acabam seguindo a curvatura que o mesmo cria na dimensão espaço-
tempo. Este é um tópico avançado de Física, mas, aos curiosos e
entusiastas sobre o espaço, certamente é algo que vale a pena ser
estudado.
Fonte: Halliday e Resnick (2016).
Por mais que a gravitação e as leis de Kepler tenham sido os conceitos que tiveram
suas abordagens universais expostas de forma mais clara, não se engane: diversos
temas que tratamos durante todo o nosso material também têm validade para o
universo como um todo. As unidades do SI, as quais abordamos em nossa primeira
aula, podem ser usadas para descrever diversos fenômenos - desde a velocidade
da luz, que é de, aproximadamente, m/s, até o tamanho da menor bactéria
que possa existir. A força peso irá existir em todo local no qual exista uma massa e
gravidade. Onde houver força, pode haver energia, e assim o raciocínio segue. Todo
o conteúdo abordado está interligado - basta pensar um pouco para encontrar a
relação entre eles.
3 ⋅ 108
142
Conclusão
En�m, encerramos nosso conteúdo de Física Geral e Experimental I. Entretanto, não
se engane: o que vimos aqui representa uma parcela muito pequena de tudo que a
Física envolve.
O início do conteúdo foi voltado à apresentação das unidades de medida do SI, e esse
conteúdo será válido para outras disciplinas, então priorize essa aula diante das
demais.
A intenção da primeira parte do livro foi explicar os movimentos e como os mesmos
funcionam, quais são as grandezas envolvidas, como comprimento, tempo,
aceleração e velocidade. O �nal desse primeiro trecho do livro apresentou conteúdos
relacionados à prática, visando justamente te ajudar a conhecer os equipamentos e
os conceitos por trás da coleta de dados.
A segunda parte do material foi voltada às forças e à decomposição das mesmas.
Pode-se notar que parte do que tratamos foi relacionada diretamente à disciplina de
Geometria Analítica - isso é a prova de que, de alguma forma, todas as disciplinas
relacionadas à Engenharia estão interligadas.
O terceiro e último trecho do livro, que é composto pelas últimas 7 aulas, trata de
conceitos relacionados à energia, movimentos circulares e gravitação. A intenção foi
apresentar algo de nível um pouco mais avançado ao �nal do material, justamente
por conta dos conceitos básicos terem sido apresentados durante a primeira metade.
A Física vai muito além do que discutimos até o momento. Podemos discutir situações
como um corpo �utuando, um sistema elétrico ou um espelho re�etindo uma
imagem, sempre tendo como base o que vimos durante a Física Geral e Experimental
I.
Espero que você, futuro pro�ssional, tenha desenvolvido uma nova visão de mundo
com o que estudamos. A partir de agora, você entenderá que nenhum fenômeno
acontece em nosso mundo por acaso: a Física é uma responsável direta por coisas
pequenas, como o simples fato de você sair de sua cama todos os dias, até por
eventos gigantes, como uma nave lançada ao espaço.
Espero que nos encontremos novamente durante a caminhada - e, mesmo que isso
não ocorra, torço para que seu caminho seja repleto de conhecimento e de metas
cumpridas.
Até mais!
143
Material Complementar 
Livro
Sobre os Ombros de Gigantes - Uma História da Física
Autor: Alexandre Cherman
Editora: Zahar
Sinopse: Todos falamos sobre a Física relacionando-a com
conceitos matemáticos, mas poucas vezes são tratados os
aspectos históricos e sociais por trás de sua evolução. Sobre os
Ombros de Gigantes trata justamente disso - a exposição da
evolução e de toda a história por trás dos gênios que
desenvolveram a base daquilo que temos hoje, junto à
discussão sobre os impactos causados em cada uma de suas
épocas.
Comentário: Possivelmente, o melhor livro em português que
trate da história da Física. Nós pensamos muito na matemática
e nas consequências atuais, mas nunca nos questionamos
sobre o quanto isso revolucionou cada uma das épocas em que
as descobertas foram concluídas - e, em vários casos, elas não
foram sequer aceitas pela comunidade cientí�ca da época.
FilmeA Teoria de Tudo
Ano: 2015
Sinopse: Filme baseado na biogra�a de Stephen Hawking, o
astrofísico considerando o maior gênio de nossa época. Retrata
não apenas as descobertas realizadas pelo mesmo, mas
também sua vida ao lado da esposa e o descobrimento de uma
grave doença.
144
Comentário: O �lme toma suas liberdades, mas não deixa de
ser uma das biogra�as mais próximas das quais tenho notícia.
Stephen Hawking faleceu há poucos anos e foi, de fato, o
grande nome da Física das últimas décadas, marcando seu
nome como o de um dos maiores gênios que já pisaram na
Terra. Futuramente, os livros falarão de Stephen Hawking assim
como falam de Albert Einstein.
Web
Em 1998, o jogador brasileiro de futebol Roberto Carlos marcou
um gol, jogando pelo Real Madrid, que gerou diversas
discussões relacionadas à Física. Este vídeo explica muito bem
o conceito por trás do chute.
Web
Vídeo voltado a explicar o �lme Gravidade e a Física por trás
dele, indicando erros e acertos da produção.
145
https://go.eadstock.com.br/k3
https://go.eadstock.com.br/k4
Web
Explicação sobre a Física envolvida em uma corrida, mostrando
o quanto um carro é afetado por diversos fatores durante todo
o movimento.
146
https://go.eadstock.com.br/k5
Referências 
BENETTI, F. A. Análise do equilíbrio e �exibilidade de pacientes obesos
submetidos à cirurgia bariátrica. 2013. 84 f. Tese (doutorado) - Faculdade de
Medicina da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2013.
BRUNETTI, F. Motores de combustão interna, volume 1. 1º ed. São Paulo: Blucher,
2012.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 1: mecânica.
10º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 2: gravitação,
ondas e termodinâmica. 10º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
KESTEN, P. R.; TAUCK, D. L. Física na universidade: para as ciências físicas e a vida. 1º
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
MARQUES, F. C. Física mecânica. Barueri, SP: Manole, 2016.
SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Física para cientistas e engenheiros: volume 1:
mecânica. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2017.
SILVA, R. C. da. Máquinas e equipamentos agrícolas. 1º ed. São Paulo: Érica, 2014.
TELLES, D. D.; NETTO, J. M. Física com aplicação tecnológica: oscilações, ondas,
�uidos e termodinâmica – v.2. São Paulo: Blucher, 2018.
147

Mais conteúdos dessa disciplina