geometria aw

Prévia do material em texto

74. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) converge para \(x \in [0, 
2\pi]\). 
 
 **Resposta:** A série converge para \(x \in [0, 2\pi] - \{n\pi\}_{n=1}^{\infty}\). 
 
 **Explicação:** Utilize o teste de Dirichlet para séries trigonométricas. 
 
75. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \(y = \sqrt{x}\) de \(x = 0\) a 
\(x = 1\) em torno do eixo \(x\). 
 
 **Resposta:** A área da superfície é \(2\pi(3 - 2\sqrt{2})\). 
 
 **Explicação:** Utilize a fórmula da área da superfície de revolução para calcular a 
área. 
 
76. Calcule a integral tripla \(\iiint_E (x + y + z) \, dV\), onde \(E\) é o sólido limitado pelo 
cilindro \(x^2 + y^2 = 1\), o plano \(z = 0\), e o plano \(x + y + z = 2\). 
 
 **Resposta:** A integral tripla é \(\frac{8\pi}{3}\). 
 
 **Explicação:** Determine os limites de integração e avalie a integral tripla. 
 
77. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n}\) converge ou diverge. 
 
 **Resposta:** A série converge. 
 
 **Explicação:** Utilize o teste de convergência condicional para verificar a 
convergência da série. 
 
78. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \(y = 
\sqrt{x}\) e \(y = x\) em torno da linha \(y = -1\). 
 
 **Resposta:** O volume é \(\frac{14\pi}{15}\). 
 
 **Explicação:** Use o método dos discos ou anéis para calcular o volume. 
 
79. Calcule a integral definida \(\int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx\). 
 
 **Resposta:** A integral é \(-\frac{\pi}{2} \ln 2\). 
 
 **Explicação:** Utilize a substituição \(u = \sin x\) para resolver a integral. 
 
80. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}\) converge ou diverge. 
 
 **Resposta:** A série diverge. 
 
 **Explicação:** Utilize o teste da razão para verificar a convergência da série. 
 
81. Encontre o raio de convergência da série de potências \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n 
x^n}{n!}\). 
 
 **Resposta:** O raio de convergência é \(e\). 
 
 **Explicação:** Aplique o critério de convergência de Cauchy-Hadamard para 
encontrar o raio de convergência. 
 
82. Calcule a integral indefinida \(\int e^x \sin(x) \, dx\). 
 
 **Resposta:** A integral é \(-\frac{1}{2} e^x (\cos(x) - \sin(x)) + C\), onde \(C\) é a 
constante de integração. 
 
 **Explicação:** Utilize a integração por partes para resolver essa integral. 
 
83. Determine se a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) converge para \(x \in [0, 
2\pi]\).