Problemas de Cálculo e Álgebra

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65. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) de \( x 
= 0 \) a \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resposta:** Área \( A = 1 \) 
 
66. Encontre a solução particular da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \) com 
condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = (x + 1)e^{2x} \) 
 
67. Calcule o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{2} \) 
 
68. Determine a derivada parcial \( \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = ye^{xy} \) 
 
69. Resolva a equação diferencial \( y' = \frac{1}{1 + e^x} \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = \ln(e^x + 1) \) 
 
70. Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \) 
 
71. Determine a área da região entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 \) de \( x = 0 \) a \( 
x = 2 \). 
 - **Resposta:** Área \( A = \frac{8}{3} \) 
 
72. Calcule o valor de \( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} \) 
 
73. Determine a derivada parcial \( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^2}{y} + \sin(xy) 
\right) \). 
 - **Resposta:** \( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^2}{y} + \sin(xy) \right) = \frac{2x}{y} 
+ y \cos(xy) \) 
 
74. Resolva a integral \( \int \cos^3(x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \cos^3(x) \, dx = \frac{1}{3} \cos^3(x) + \frac{2}{3} \cos(x) + C \) 
 
75. Encontre a solução particular da equação diferencial \( y' = x^2 + y^2 \) com condição 
inicial \( y(0) = 1 \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = \tan(x) \) 
 
76. Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos(x)) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} 
\). 
 - **Resposta:** Comprimento \( L = \ln(\sqrt{2}) \) 
 
77. Calcule o valor de \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} (1 - x^2)^{3/2} + C \) 
 
78. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = 0 \). 
 - **Resposta:** Solução geral \( y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-2x} \) 
 
79. Determine a soma dos primeiros 10 termos da sequência aritmética \( 3, 7, 11, \ldots 
\). 
 - **Resposta:** Soma \( S_{10} = 170 \) 
 
80. Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 3x + 2y = 5 \\ 
 4x - y = 6 
 \end{cases} 
 \] 
 - **Resposta:** \( x = 2, \; y = -1 \) 
 
81. Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)} = \frac{3}{2} \)