livro_teoria_dos_numeros-39

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Caṕıtulo 8
Aplicações da Decomposição em
Fatores Primos
1 Cálculo dos Divisores
Nesta seção veremos como determinar os divisores positivos de um número
inteiro, a partir de sua decomposição em fatores primos.
Proposição 10. Seja
a = pn1
1 p
n2
2 p
n3
3 ...p
nt
t
a decomposiçao de um inteiro a > 1 em fatores primos positivos e distintos.
Um inteiro d é um divisor positivo de a se, e somente se,
d = pm1
1 pm2
2 pm3
3 ...pmt
t ,
com 0 ≤ mi ≤ ni, para i = 1, 2, ..., t.
Demonstração:
(⇒) d = pm1
1 pm2
2 ...pmt
t , com 0 ≤ mi ≤ ni ⇒ d|a.
Suponha d = pm1
1 pm2
2 ...pmt
t , com 0 ≤ mi ≤ ni, para todo i. Como mi ≤ ni,
então ni −mi ≥ 0. Assim, podemos escrever:
a = pn1
1 p
n2
2 ...p
nt
t = p
m1+(n1−m1)
1 .p
m2+(n2−m2)
2 ...p
mt+(nt−mt)
t
= (pm1
1 pm2
2 ...pmt
t )(pn1−m1
1 .pn2−m2
2 ...pnt−mt
t ) = dc,
onde c = pn1−m1
1 .pn2−m2
2 ...pnt−mt
t ∈ Z. Logo, d|a.
(⇐) d|a ⇒ d = pm1
1 pm2
2 ...pmt
t , com 0 ≤ mi ≤ ni, para i = 1, 2, .., t.
Suponha que d|a⇒ existe um inteiro c, tal que
a = dc
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76 Teoria dos Números
Como d e c são inteiros, esses também se decompõem em fatores primos.
Porém, a = dc, segue da unicidade da decomposição em fatores primos que na
decomposição de d e c só estarão presentes os primos que aparecem na decom-
posição de a. Assim,
d = pm1
1 pm2
2 pm3
3 ...pmt
t e c = pr11 p
r2
2 p
r3
3 ...p
rt
t
com mi, ri ≥ 0. Então
a = dc
⇓
pn1
1 p
n2
2 p
n3
3 ...p
nt
t = pm1+r1
1 pm2+r2
2 pm3+r3
3 ...prt+mt
t
⇓
ni = mi + ri ⇒ 0 ≤ mi ≤ ni, ∀i.
�
X Exerćıcios 17.
(01) Usando a Proposição 10, determine todos os divisores positivos de cada
um dos inteiros abaixo:
(a) 38
Solução:
38 = 2.19 é a decomposição de 38 em fatores primos. Pela Proposição 10, d|38
se, e só se, d = 2m1 .19m2 , com m1,m2 ∈ {0, 1}. Fazendo m1,m2 assumirem
todos os valores posśıveis, temos os seguintes divisores:
d1 = 20.190 = 1, d2 = 20.191 = 19, d3 = 21.190 = 2 e d4 = 21.191 = 38. �
(b) 360
Solução:
A decomposição de 360 em fatores primos é 360 = 23.32.5. Então os divisores
positivos de 360 são os inteiros da forma
d = 2m1 .3m2 .5m3 , com m1 ∈ {0, 1, 2, 3}, m2 ∈ {0, 1, 2} e m3 ∈ {0, 1}.
Atribuindo a m1,m2 e m3 os valores posśıveis, encontramos os seguintes divi-
sores:
20.30.50 = 1, 20.30.51 = 5, 20.31.50 = 3, 20.31.51 = 15, 20.32.50 = 9, 20.32.51 = 45,
21.30.50 = 2, 21.30.51 = 10, 21.31.50 = 6, 21.31.51 = 30, 21.32.50 = 18, 21.32.51 = 90,
22.30.50 = 4, 22.30.51 = 20, 22.31.50 = 12, 22.31.51 = 60, 22.32.50 = 38, 22.32.51 = 180,
23.30.50 = 8, 23.30.51 = 40, 23.31.50 = 24, 23.31.51 = 120, 23.32.50 = 72, 23.32.51 = 360,
Logo, o conjunto dos divisores positivos de 360 é
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 38, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360},
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