Matemática Ciências e Aplicações V2-307-309

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V- coluna 2’ coluna
CHOCOLATE ----------► refeição 1
FLOCOS ---------------► refeição 2
MORANGO -----------► refeição 3
CHOCOLATE ----------► refeição 4
FLOCOS ---------------► refeição 5
MORANGO -----------► refeição 6
Esse esquema é conhecido como diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de 
todas as "ramificações" da árvore, obtemos as possíveis refeições.
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas 
etapas sucessivas. A primeira é a escolha do tipo de hot dog: há duas possibilidades de fazer 
tal escolha. A segunda é a escolha do sabor do sorvete: para cada uma das possibilidades 
anteriores, há três maneiras de escolher o sabor da bola de sorvete.
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3 = 6 maneiras 
distintas.
Para resolver problemas de contagem elementares (como o do exemplo dado) ou bem 
mais complexos, passaremos a estudar, com detalhes, a Análise Combinatória.
O Princípio fundamental da contagem (PFC)
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1* etapa 
pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2? 
etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Então, o número de possibilidades 
de se efetuar a ação completa é dado por n x m.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas 
sucessivas.
Há quatro estradas ligando as cidades A e 6, e três estradas ligando as cidades B e C. 
De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por 6?
Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas etapas 
sucessivas:
D) ir de A até B: temos quatro possibilidades;
2-0 ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a 
C, a partir de B.
Assim, pelo PFC, o resultado procurado é 4 x 3 = 12.
ANALISt ÍTlMÜINA IMRIA 307
Exemplo 2
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos 
podemos formar?
Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de 
três etapas sucessivas, a saber:
lí) escolha do algarismo das centenas: temos seis possibilidades;
2?) escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de algarismo, de­
vemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim, há 
cinco possibilidades;
3-) escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois 
anteriores (centena e dezena). Assim, há apenas quatro possibilidades.
Pelo PFC, o resultado procurado é 6 x 5 x 4 = 120 números.
Observação
Para simplificação de linguagem, podemos usar a seguinte notação:
6 5 4 6 x 5 x 4 = 12 0N-- ^
1 T T
número de maneiras 
de efetuar a 1* etapa
2* etapa 3* etapa
Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela 
pode ser resolvida?
Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que 
correspondem à resolução das 10 questões propostas.
Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F.
Utilizando o esquema apresentado no exemplo anterior, temos:
2 2-̂-- ' V__ /
T í
numero de maneiras de 2* questão 
responder a H questão
Logo, pelo PFC, o resultado procurado é:
2 x 2 x . . . x 2 = 2'° = l 024 possibilidades 
10 vezes
10* questão
MATEMATICA: ÇIENCiA 1 AI'LICAVÜES
Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0 ,1,2 , 3,4, 
5, 6 e 7?
Vejamos:
• algarismo das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados pode 
ser escolhido, havendo, então, sete possibilidades (notemos que, se escolhermos zero, 
o número a ser formado constará de apenas dois algarismos; por exemplo, 021 = 21);
• algarismo das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de algarismos. 
Assim, há oito possibilidades;
• algarismo das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades.
Logo, pelo PFC, o total de números é 7 x 8 x 8 = 448.
Quantos números fmpares de três algarismos distintos podemos formar com os alga­
rismos 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 e 7?
Lembrando que um número é ímpar quando termina por algarismo ímpar, vamos 
começar o problema analisando o algarismo da unidade:
• algarismo das unidades: há quatro possibilidades de escolha (1,3, 5 ou 7);
• algarismo das centenas: há seis possibilidades — devemos excluir o zero e o algarismo 
escolhido para as unidades;
• algarismo das dezenas: há seis possibilidades — devemos escolher um algarismo dife­
rente dos algarismos escolhidos para centena e unidade.
Assim, temos:
v 6 ^ v 6 ^ v_4__̂ 6 x 6 x 4 = 144 números
B B B B B O B O E J B
1 Para ir ao clube. Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de 
tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares 
de tênis, responda: de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?
2 Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo — 
Miami através de duas companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode escolher
a n A i i s f COMBINATÚR1A