Propriedades dos Logaritmos

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20 a) — ■ log a - ( — log c +^ l o g c + | log b j = j _ / j vlog a > - log c 2 + log h 2
= log Va — (log vc + log vb' | = log Va~ - log (Vcb-1 J = log —li!— . A expressão < ' ' ' ' vcb-' \>— va
Vcb ‘b) Como 2 = logj i, escrevemos:logi 4 + logj a - + logj b 6 — log., c = logi (4Va Vb j — logi c = log, A expressão é
í .3/—h/T~ \ 4 v a Vb4 Va Vb
21 a) log (2 - 3) = log 2 + log 3 = a + b e) log | — J = log 1 - log 2 = 0 — a = -a
10b) log 2' = 2 log 2 = 2a f ) log^-^-J = log 10 - log 2 = 1 — ac) log (.2 • 10) = log 2 + log 10 = a + 1 g) log (5 • 3) = log 5 + log 3 = 1 — a + bd) log 2 2 = - j - log 2 = - j- h) lug( l l ”) = ll'8 2 ~ 108 10 = a “ 1
22 b) log Vl 25 = log V125 - log 8 = -y- log 5' - log 2' = - y log 5 - 3 log 2 (*)Como log 5 = log I ) = I ~ 0,301 = 0,699, segue, em (*), ̂ • 0,699 - 3 • 0,301 = 0,1455.c) log(\'2 ■ 10 ’ ) = log v/2 + log 10 ’ = log_, — 5= — • 0.301 - 5 = -4.899
2 4 Observemos que log 50 + log +0 + log 20 + log 2.5 = log (50 • 40 • 20 • 2,5) = log 100 000 = log 105 = 5
25 a) log 0,036 = log 361 000 = log 36 - log 1 000 = 2 log 6 - 3 = 2 log 2 + 2 log 3 - 3 = 2a + 2b - 3b) log 180 = log (18 • 10) = log (2 • 3") + log 10 = log 2 + 2 log 3 + 1 = a + 2b + 1
2 6 a) log 2 = log ( | = log 10 - log 5 = 1 - k c) log (5 • 1000) = log 5 + log 1000 = k + 3
b) log V52 = - j - log 5 = 2k
D D
d) log (125 • 10) = log 5 + log 10 = 3 k + 1 
2 7 logj (a~— b~> = log, l(a + b)(a - b) 1 = log? (a + b) + logj (a — b) = logj8 + m = 3 + m
2 9 !i/Vn = Vn = nAssim, a expressão dada equivale a: logn 1 \logn n = logn —- = log,, n"‘ = -2. rr
MATCMATICA: CIÊNCIA I API.ICAÇfll-S
30 A = b" - 4ac =» A = (log 5)" - 4 • 1 - (— log 2) => A = (1 - log 2)' + 4 log 2 => A = 1 - 2 log 2 + + ( log 2)2 + 4 log 2 => A = (log 2)2 + 2 log 2 + 1 => A = (log 2 + l)2Daí. x = -(1 - log 2) ± (log 2 + 1) 2 ■ I x = log 2. ou x = —1.
34 Vamos escrever log2, 27 em base 3: log, 27 log, 25 3log, 52
32 • log, 5Assim, v = -logro”- ——f — — 2j.i<-^;A 3.7
35 Mudando para a base 10 (por exemplo) cada um dos logaritmos dados, temos:_ log 2 -log~~3 -log'"'-? -log"5” -iog'~~(T ,-leg"7 ,-l<->g3 ' .^iog-3' _Jog-4" ^iog-T” ^Jog-T” ^JegrST"Logo. y = log 2.
36 a) logj x = log* x _ klogs 2 J _ 3 = 3k I» log,; 16 = logs 16 _ 3 log8 x k 3k
39 log,, 5 = logj» 3log,0 6 lo&o(2 • 3)
log2,i 20-2 log2f, 2 _ 1 - 2a lofoo 2 + Ioga, 3 a + b
40 Vamos escrever y em base 3:V = log9 25 = log, 25 _ 2 log* 5 log, 9 2
log, 5 = x.Assim, x — y = 0.
— Testes de vestibulares
2 3* = 3~° => x = - 6; y -1 = v/4 => y y2 = \!4 ==• y2 = 4 => y = 2-, x + y = -4
4 Como sabemos. X| + x2 = —6 e X| • x2 = c = 4 • log,(5x |X2 — 2xi — 2 x2.) ■= log,[5 • 4 - 2(xj + x2)] = log,[20 - 2 (-6)1 = log, 32 = -y-
6 logio [logui VlO ] = logio 
3xi‘H + (-3) = 0 =f 3'~‘s =
log 10 : log |
1 0 0 0
-3. Daí:
3' =*x~ = 9=>x = ±3.
m a n d a i nn p r o f f s s u r
7 Temos: [x • logl02 + y • log103 = 1 fx • log|()2 + y • log,03 = 1 — x (-2)íx ■ logi023 + y • log103" =2 l3x • logl02 + 2y Iog]U3 = 2 (+)x • Iogio2 = 0 => x = 0. Daí, substituindo na primeira vem:y ■ logio 3 = 1 => y = 1lo8l0 3 ■ = log,10.
8 t' j = I°g = *°§ ̂ ~ l°g x = x - ^°8 C,> a soma vale zero.
9 f (6) = logioCó2 - 6 • 6 + 10) = logiolO = 1; f(-2) = loglc,(4 + 12 + 10) = logj026. A diferença pedida é: 1 - log1026 = logltl10 - loglu26 = Iog10̂ j - j = logltl̂ ^ -
10 4X= 3 => x = log43; 4- = 9 =» y = log49; -4x + 2y = -4 • log.,3 + 2 • log,9 = log43 ' + log4 92= = log., (3_1 • 9") = log4 (3 4 • 34) = log, 1 = 0 e a resposta é (0,125)° = 1.
11 Como —-— ----= logt 2, lemos que f(x) = e'0* '2 • (x2 + 5).log.e
■ - J Í ' y yDevemos ter:\el'’*r5 • (x + 5) = 12x => x + 5 = 6x => x = 5 ou x = 112 logk 6 = m => logk(2 ■ 3) = m => logk 2 + í logk 3; = m => logk 2 = m - p (*)
( k ) ' pAssim. logJ — I = logkk - logk2 = 1 - (m-p) = 1 - m + p.
13 log (a + b) = log a + log b => log (a + b) = log(a • b) => a + b = ab (*)r 1 , 1 a + l) i-i ab . a b ab ab14 logx n = n=t-xn = n=> (xn) n = n n x = n "
17 |og., § - J^g±2_ = _12Eí.2J T = 72 log425 = J Llog ,2 J _ 3
log .
18 M = 2’ • 21or-‘ 3 + 3 =» M = 32 • 3 + 3l°K, M = 96 + 7 = 103
—( Desafios
1 Como sabemos, a soma das raízes é: a + b = = p (I) , e o produto é: a • b = = q (11).Então: logqa;' + log,,bh + log,., a1’ + logq b:‘ = a • (logqa + log,, b) + b • (logqb + logqa) == (a + b) • (logq a + logq b) = (a + b) • logq(ab) = (a + b) ■ logqq = a + b = p.
asando II usando 1
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