Matematicas Simplificadas-439

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5 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1290
Una empresa estima que el costo (en pesos) por producir x artículos es de: 
C x x x( ) .0 02 3 120002 
Determina el costo marginal en un nivel de producción de 600 artículos y el costo real de producir el 601ésimo 
artículo.
Solución
Se obtiene la función del costo marginal:
C (x) 0 04 3. x 
El costo marginal aproximado para 600 artículos es:
C (600) 0 04 600 3. ( ) 27
Por tanto, el costo marginal aproximado por artículo es de $27.00
El costo real de producción del 601ésimo artículo es:
 C (601) C(600) [ . ( ) ( ) ] [ . ( ) (0 02 601 3 601 12 000 0 02 600 3 6002 2 )) ]12 000 
 C (601) C (600) 21 027.02 21 000
 C (601) C(600) 27.02
Se observa que 27 27.02, es decir C (600) C (600 1) C (600), lo cual se había indicado antes.
El costo por unidad está dado por la función de costo promedio Q x
C x
x
( )
( )
. Si se toma una función caracterís-
tica de costo promedio ésta podría ser:
Y
X
C(x)
Dicha función tiene un punto crítico, si se localiza este punto se tendrá el costo mínimo.
Al derivar Q (x) se obtiene:
Q x
xC x C x
x
( )
( ) ( )
2 
Se iguala con cero Q (x), para obtener el valor C (x) 
xC x C x
x
( ) ( )
2 0
xC x C x( ) ( ) 0
 xC x C x( ) ( )
 C x
C x
x
( )
( )
Pero Q x
C x
x
( )
( )
, entonces, C x Q x( ) ( ) 
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
1
 CAPÍTULO 5
 CÁLCULO DIFERENCIAL Aplicaciones de la derivada
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Es decir, cuando el costo promedio es mínimo se tiene que es igual al costo marginal. Lo anterior conlleva al 
hecho de que si el costo marginal es menor que el costo promedio, entonces se debe producir más para disminuir el 
costo promedio y viceversa, si el costo marginal es mayor que el costo promedio se tendrá que producir menos para 
que el costo promedio baje.
El costo (en pesos) estimado para producir x artículos está dado por la función:
C (x) 0.002x2 2x 3 000
Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 1 200 artículos y calcula el nivel de producción para 
el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo.
Solución
El costo promedio está dado por la fórmula Q x
C x
x
( )
( )
, entonces:
Q x
C x
x
x x
x
( )
( ) .0 002 2 3 0002
 Q x x
x
( ) .0 002 2
3 000
 
Se evalúa x 1 200 
Q( ) . ( )1 200 0 002 1 200 2
3 000
1 200
 
Por tanto, el costo promedio de producir 1 200 artículos es de $6.90
Para obtener el costo marginal se determina C (x) y se evalúa x 1 200 
C (x) 0.004x 2
C (1 200) 0.004(1 200) 2 6.8
Por tanto, el costo marginal de producir 1 200 artículos es de $6.80
El costo promedio se minimiza cuando es igual al costo marginal.
C x Q x( ) ( ) 0 004 2 0 002 2
3 000
. .x x
x
 0 004 0 002
3 000
. .x x
x
 
 0 002
3 000
. x
x
 0 002 3002. x 
 x2 3 000
0 002.
 
 x
3 000
0 002.
 1 225
Para mostrar que x 1 225, se obtiene un mínimo, se determina Q (x) y se evalúa:
 Q x x
x
( ) .0 002 2
3 000
 Q (x) 0 002
3 000
2.
x
 
 Q (x) 
6 000
3x
 
 Q (1225) 
3 000
1 225 3( )
 0
Por tanto, para x 1 225 hay un mínimo.
El costo promedio se obtiene evaluando x 1 225 en Q (x).
Q x x
x
( ) .0 002 2
3 000
 Q( ) . ( ) .1 225 0 002 1 225 2
3 000
1 225
6 89 
Finalmente, el costo promedio mínimo por artículo es de $6.89 ≈ $7.00
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 5 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
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De la misma forma existen funciones marginales para el ingreso y la utilidad, en los dos casos es la derivada de 
cada función.
Ingreso marginal I (x)
Utilidad marginal U (x)
Ejemplo
Una empresa estima su ingreso y costo (en pesos) con las funciones I (x) 2x 2 340x y C (x) 3x 2 6 000, 
respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la vigésima primera unidad y aproxima dicho valor con 
el ingreso marginal.
Solución
Se evalúan x 20 y x 21 en la función de ingresos:
I (20) 2(20)2 340(20) 6 000
I (21) 2(21)2 340(21) 6 258
El valor de la vigésima primera unidad es:
I (21) I (20) 6 258 6 000 258
Si se obtiene con el concepto ingreso marginal, se deriva I (x) y se evalúa x 20
I (x) 4x 340
I (20) 4(20) 340 260
En el comparativo se observa que el ingreso marginal da un valor muy aproximado a 258 que es el ingreso real 
de la vigésima unidad.
 1. Dadas las funciones de ingreso y costo, I (x) y C (x) respectivamente, determina el ingreso máximo, la utilidad 
máxima y el costo medio mínimo:
 a) I (x) x2 300x y C (x) x2 40x 80
 b) I (x) x (400 4x) y C (x) x2 20x 12
Resuelve los siguientes problemas:
 2. El costo estimado para producir x artículos está dado por la función:
C (x) 0.004x2 5x 6 000
 Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 2 000 artículos y calcula el nivel de producción para 
el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo.
 3. Una empresa estima su ingreso y costo con las funciones I(x) 4x2 400x y C(x) 2x2 300 respectivamen-
te. Determina el ingreso obtenido al producir la trigésima primera unidad y aproxima dicho valor con el ingreso 
marginal.
 4. Una empresa de telas estima que el costo para producir x metros de tela es C(x) 0.001x3 0.2x2 24x 2 400 
y que al vender x metros cobraría p(x) 58 0.00042x por metro. Determina el nivel de producción para obtener 
una utilidad máxima.
 Ingreso sugerido: I (x) p (x) x
 5. Un estadio de futbol tiene una capacidad para 60 000 espectadores. El promedio de asistencia fue de 32 000 
espectadores, teniendo los boletos un costo de $60.00 por persona, la gerencia decide bajar el precio por boleto a 
$40.00, teniendo un promedio de 48 000 espectadores. Determina la función lineal de demanda p (x) y calcula el 
precio por boleto para minimizar el ingreso. 
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EJERCICIO 46