QUESTÕES FUNÇÃO ITA 1971 A 2017

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QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2021 
 
ENUNCIADOS 
 
 
1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por   2f x x , então 
 2 2f x y é igual a: 
a)         f f x f y 2f x f y  para todo x e y. 
b)         2f x 2f f x f x f y  para todo x e y. 
c)        2 2f x f y f x f y  para todo x e y. 
d)          f f x f f y 2f x f y  para todo x e y. 
e)         2f f x 2f y 2f x f y  para todo x e y. 
 
2) (ITA 1972) Seja   2f x x px p   uma função real de variável real. Os valores de p 
para os quais  f x 0 possua raiz dupla positiva são: 
a) 0 p 4.  b) p 4 c) p 0. 
d)  f x 0 não pode ter raiz dupla positiva. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função 
  ktX t C e ,  onde  X t é um número de bactérias no tempo t 0; C e k são constantes 
positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de 
bactérias  X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas? 
a) 3 vezes o número inicial. 
b) 2,5 vezes o número inicial. 
c) 2 2 vezes o número inicial. 
d) 32 2 vezes o número inicial. 
e) n.d.a. 
 
4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t 0, é dada por 
  ktM t C e ,  onde  M t é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes 
positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva  M 0 , 
desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? 
a) 
11 100 da quantidade inicial. 
b) 61 2 da quantidade inicial. 
c) 161 2 da quantidade inicial. 
d) 
1
161 2

 da quantidade inicial. 
e) n.d.a. 
 
 
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5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números 
reais. Sejam as funções f : A B   y f x , g : D B   x g t , e a função 
composta f g : E K (e, portanto,      z f g t f g t .  Então, os conjuntos E e K 
são tais que: 
a) E A e K D 
b) E B e K A 
c) E D, D E e K B 
d) E D e K B 
e) n.d.a. 
 
6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo 
que 
2
10 10 2
7 2x x
y log log
3 4x
   
   
   
 é dado por: 
a) intervalo aberto A, de extremos 2 e 2. 
b) intervalo aberto A, de extremos 3 e 3. 
c) intervalo aberto A, de extremos 
3
2
 e 
3
.
2
 
d) intervalo aberto A, de extremos 
3
2
 e 1. 
e) n.d.a. 
 
7) (ITA 1975) Seja  
x x
x x
e e
f x
e e





 definida em . Se g for a função inversa de f, o 
valor de 
7
g
25e
 
 
  será: 
a) 
4
3
 b) 
7e
25
 c) e
25
log
7
 
 
 
 d) 
2
7
25e
 
 
  e) NDA 
 
8) (ITA 1976) Considere    g : a,b,c a,b,c uma função tal que  g a b e  g b a. 
Então, temos: 
a) a equação  g x x tem solução se, e somente se, g é injetora. 
b) g é injetora, mas não é sobrejetora. 
c) g é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) se g não é sobrejetora, então   g g x x para todo x em  a,b,c . 
e) n.d.r.a. 
 
9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A B e 
g : B A são funções tais que   f g x x, para todo x em B e   g f x x, para todo 
x em A, então, temos: 
a) existe ox em B, tal que   of y x , para todo y em A. 
b) existe a função inversa de f. 
 
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c) existe ox e 1x em A, tais que o 1x x e    o 1f x f x . 
d) existe a em B, tal que      g f g a g a . 
e) n.d.r.a. 
 
10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 
 2x xe 2e A x 1 0,    para todo número real x. 
Nestas condições, temos: 
a)  A 0 1,    A x A x ,  para todo número real x e não existe um número real x 0, 
satisfazendo a relação  A x 1. 
b)  A 0 1 e  A x 0, para algum número real x. 
c)  A 1 0 e    A x A x ,  para todo número real x. 
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação  A x 1 e não existe 
um número real x, satisfazendo    A x A x .  
e) n.d.r.a. 
 
11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real  
x x
x x
e e
M x .
e e





 
Então 
a) Para todo x 1, ocorre  M x 1. 
b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente,    M x M x   e  0 M x 1.  
c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que 
   M a M b . 
d)  M x 0, somente quando x 0 e  M x 0 apenas quando x 0. 
e) n.d.r.a. 
 
12) (ITA 1977) Considere a função   2F x x 1  definida em . Se F F representa a 
função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: 
(1)    2F F x x x 1  , para todo x real. 
(2) Não existe número real y, tal que   F F y y. 
(3) FoF é uma função injetora. 
(4)   F F x 0, apenas para dois valores reais de x. 
O número de afirmativas VERDADEIRAS é: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 
 
13) (ITA 1977) Supondo que a b, onde a e b são constantes reais, considere a função 
   H x a b a x   definida no intervalo fechado  0,1 . Podemos assegurar que: 
a) H não é uma função injetora. 
b) Dado qualquer y, sempre existe um x em  0,1 satisfazendo  H x y. 
c) Para cada y, com a y b,  corresponde um único real x, com 0 x 1,  tal que 
 H x y. 
 
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d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado  a,b , satisfazendo a 
relação   G H x x para cada x em  0,1 . 
e) n.d.a. 
 
14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em . 
Sejam B e o conjunto     1f B x ; f x B ,    então: 
a)   1f f B B  
b)   1f f B B  se f é injetora. 
c)   1f f B B  
d)   1f f B B  se f é sobrejetora 
e) n.d.a. 
 
15) (ITA 1978) Seja  f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio 
de f temos    f x f x ,  dizemos que a função é par; se, no entanto, temos 
   f x f x ,   dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função 
  2
eg x log sen x 1 sen x ,
     podemos afirmar que: 
a) está definida apenas para x 0. 
b) é uma função que não é par nem ímpar. 
c) é uma função par. 
d) é uma função ímpar. 
e) n.d.a. 
 
16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs.  x ; x 0    
e  a,b é o intervalo fechado de extremos a e b. 
a) f :
 tal que   2f x x . 
b) f :
  tal que  f x x 1.  
c)    f : 1,3 2,4 tal que  f x x 1.  
d)  f : 0,2  tal que  f x sen x. 
e) n.d.a. 
 
17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; 
     f x y f x f y ;   e  f x 0, se x 0. Definindo  
   f x f 1
g x ,
x

 se x 0. 
Sendo n um número natural, podemos afirmar que: 
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. 
b) f é não-decrescente e g é uma função par. 
c) f é não-decrescente e    0 g n f 1 .  
d) f não é monótona e    0 g n f 1 .  
e) não é possível garantir que    0 g n f 1 .  
 
 
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18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f A B,  g B A  
duas funções tais que Bfog I , onde BI é a função identidade em B. Então podemos 
afirmar que: 
a) f é sobrejetora. 
b) f é injetora. 
c) f é bijetora. 
d) g é injetora e par. 
e) g é bijetora e ímpar. 
 
19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva2y ax bx c   passa pelos pontos  1,1 ,  2,m e  m,2 , onde m é um número real 
diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: 
a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
  . 
b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1  . 
c) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 1
m
2 2
   . 
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
  . 
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 m 1  . 
 
20) (ITA 1982) Seja f :  definida por  
x a
, se x b
f x .x b
b, se x b

 
 
   
 Se   f f x x 
para todo x real e  f 0 2,  então 
a) ab 2  b) ab 1  c) ab 0 d) ab 1 e) ab 2 
 
21) (ITA 1983) Dadas as funções  2 2xf x log x e  
2g x 2sen x 3sen x 1   
definidas para x 0 e 
1
x ,
2
 o conjunto 
       *A x : g f x 0 f x 0,2      
é dado por 
a)  
5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
    
b)  
5
2 6 6 5A 2 , 2 , 2
  
    
c)  2 6 6 5A 4 , 4 , 4    
d)  
2 2 5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
    
e)  
5
2 6 6 5A 2 , 4 , 2
  
    
 
 
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22) (ITA 1983) Sejam três funções f ,u, v :  tais que  
 
1 1
f x f x
x f x
 
   
 
 para 
todo x não nulo e      
2 2
u x v x 1  para todo x real. Sabendo-se que 0x é um 
número real tal que    0 0u x v x 0  e 
o o
1 1
f 2,
u(x ) v(x )
 
  
 
 o valor de o
o
u(x )
f
v(x )
 
 
 
 é: 
a) 1 b) 1 c) 2 d) 
1
2
 e) 2 
 
23) (ITA 1984) Seja  
2x 4f x e , onde x e é o conjunto dos números reais. 
Um subconjunto D de tal que f : D é uma função injetora é: 
a)  D x : x 2 ou x 0    
b)  D x : x 2 ou x 2     
c) D  
d)  D x : 2 x 2     
e)  D x : x 2   
 
24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções:  
7
f x x
2
  e   2
1
g x x
4
  definidas 
para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação      g f x g f x , 
podemos afirmar que: 
a) Nenhum valor de x real é solução. 
b) Se x 3 então x é solução. 
c) Se 
7
x
2
 então x é solução. 
d) Se x 4 então x é solução. 
e) Se 3 x 4  então x é solução. 
 
25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: 
I – Sejam f : X Y e g : Y X duas funções satisfazendo   g f x x, para todo 
x X. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. 
II – Seja f : X Y uma função injetiva. Então,      f A f B f A B ,   onde A e B 
são dois subconjuntos de X. 
III – Seja f : X Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, 
    CCf A f A onde  CA x X | x A   e      
C
f A x Y | x f A .   
podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. 
c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. 
e) Todas as sentenças. 
 
 
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26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a 0. Suponha que 1x e 2x 
sejam as raízes da função 2y ax bx c   e 1 2x x . Sejam 3
b
x
2a
  e 
2
4
2b b 4ac
x .
4a
 
  Sobre o sinal de y podemos afirmar que: 
a) y 0, x ,  1 3x x x  
b) y 0, x ,  4 2x x x  
c) y 0, x ,  1 4x x x  
d) y 0, x ,  4x x 
e) y 0, x ,  3x x 
 
27) (ITA 1986) Seja f :  uma função que satisfaz à seguinte propriedade: 
     f x y f x f y ,   x, y .  Se     2210g x f log x 1  então podemos afirmar 
que 
a) O domínio de g é e    g 0 f 1 . 
b) g não está definida para os reais negativos e     210g x 2f log x 1 ,  para x 0. 
c)  g 0 0 e     210g x 2f log x 1 ,  x .  
d)    g 0 f 0 e g é injetora. 
e)  g 0 1  e     
2
1
2
10g x f log x 1 , x .
 
      
 
28) (ITA 1986) Seja a , 0 a 1  e f a função real de variável real definida por 
 
 2
1
2x 2a a
f x .
cos 2 x 4cos x 3


   
 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: 
a)  , 2 A    
b) A 2, 2     
c)  2, 2 A  
d)  x | x e x 2 A    
e) A 2, 2    
 
29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : . 
1. Se existe x tal que    f x f x  então f não é par. 
2. Se existe x tal que    f x f x   então f é ímpar. 
3. Se f é par e ímpar então existe x tal que  f x 1. 
4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar. 
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números 
a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 
 
 
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30) (ITA 1987) Considere  x g y a função inversa da seguinte função: 
  2y f x x x 1,    para cada número real 
1
x .
2
 Nestas condições, a função g é assim 
definida: 
a) 
1 3
g(y) y ,
2 4
   para cada 
3
y .
4
 
b) 
1 1
g(y) y ,
2 4
   para cada 
1
y .
4
 
c) 
3
g(y) y ,
4
  para cada 
3
y .
4
 
d) 
1
g(y) y ,
4
  para cada 
1
y .
4
 
e) 
3 1
g(y) y ,
4 2
   para cada 
1
y .
2
 
 
31) (ITA 1987) Considere a função  y f x definida por   3 2f x x 2x 5x,   para 
cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? 
a)  y f x é uma função par. 
b)  y f x é uma função ímpar. 
c)  f x 0 para todo real x. 
d)  f x 0 para todo real x. 
e)  f x tem o mesmo sinal de x, para todo real x 0. 
 
32) (ITA 1988) Seja    22f x log x 1 ,  x ,  x 1.  A lei que define a inversa de 
f é: 
a) y1 2 , y .  
b) y1 2 ,  y .  
c) y1 1 2 ,  y .  
d) y1 2 ,  y ,  y 0. 
e) y1 1 2 ,  y ,  y 0. 
 
33) (ITA 1988) Considere    21
2
A x log 2x 4x 3 ,   x .  Então temos: 
a)  A x 1, para algum x , x 1. 
b)  A x 1, para algum x . 
c)  A x 1, apenas para x tal que 0 x 1.  
d)  A x 1, para cada x tal que 0 x 1.  
e)  A x 1, para cada x . 
 
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34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por    2f x ln x x  
e  
1
g x .
1 x


 Então, o domínio de f g é: 
a)  0,e b)  0,1 c)  e,e 1 d)  1,1 e)  1, 
Nota: f g é a lei definida por      f g x f g x para cada x de seu domínio. 
 
 
35) (ITA 1988) Seja f :  uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x 
e y reais com x y tem-se    f x f y . Dadas as afirmações: 
I. f é injetora. 
II. f pode ser uma função par. 
III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. 
Podemos assegurar que: 
a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
b) apenas as afirmações II e III são falsas. 
c) apenas a afirmação I é falsa. 
d) todas as afirmações são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação II é verdadeira. 
 
36) (ITA 1989) Os valores de , 0     e ,
2

  para os quais a função f :  
dada por   2 2f x 4x 4x tg    assume seu valor mínimo igual a 4, são 
a) 
4

 e 
3
4

 b) 
5

 e 
2
5

 c) 
3

 e 
2
3

 d) 
7

 e 
2
7

 e) 
2
5

 e 
3
5

 
 
37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de um 
elemento. Dada uma função f : A B, definimos L: A A B  por     L a a,f a , 
para todo a A. Podemos afirmar que 
a) A função L sempre será injetora. 
b) A função L sempre será sobrejetora. 
c) Se f for sobrejetora, então L também o será. 
d) Se f não for injetora, então L também não o será. 
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. 
 
38) (ITA 1989) Sejam f ,g :  duas funções tais que 
a) g f :  é injetora. Verifique se f é injetora e justifique suaresposta. 
b) g f :  é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta. 
 
39) (ITA 1990) Dadas as funções  
x
x
1 e
f x ,
1 e



  x 0  e  g x x sen x, x , 
podemos afirmar que: 
a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar 
c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par. 
 
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e) ambas são ímpares. 
 
40) (ITA 1990) Seja f :  a função definida por   2
x 2, se x 1
f x x , se 1 x 1.
4, se x 1
  

   


 
Lembrando que se A  então     1f A x : f x A ,    considere as afirmações: 
(I) f não é injetora e     1f 3,5 4 .  
(II) f não é sobrejetora e      1 1f 3,5 f 2,6 .  
(III) f é injetora e     1f 0, 4 2, .    
Então podemos garantir que: 
a) apenas as afirmações II e III são falsas. 
b) as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) todas as afirmações são falsas. 
 
41) (ITA 1990) Seja a função    f : 2 3   definida por  
2x 3
f x 1.
x 2

 

 Sobre 
sua inversa podemos garantir que: 
a) não está definida pois f não é injetora. 
b) não está definida pois f não é sobrejetora. 
c) está definida por  1
y 2
f y , y 3.
y 3
  

 
d) está definida por  1
y 5
f y 1, y 3.
y 3
   

 
e) está definida por  1
2y 5
f y 1, y 3.
y 3
   

 
 
42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por: 
 
1, se x 1
f : , f x
0, se x 1
 
  

    
2x 3
g : 1 , g x
x 1

  

 
Sobre a composta      f g x f g x podemos garantir que: 
a) se 
3
x ,
2
   f g x 0 b) se 
3
1 x ,
2
    f g x 1 
c) se 
4
x 2,
3
    f g x 1 d) se 
4
1 x ,
3
    f g x 1 
e) n.d.a. 
 
43) (ITA 1991) Considere as afirmações: 
I- Se f :  é uma função par e g :  uma função qualquer, então a composição 
g f é uma função par. 
 
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II- Se f :  é uma função par e g :  uma função ímpar, então a composição 
f g é uma função par. 
III- Se f :  é uma função ímpar e inversível então 
1f :  é uma função 
ímpar. 
Então: 
a) Apenas a afirmação I é falsa; 
b) Apenas as afirmações I e II são falsas; 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
d) Todas as afirmações são falsas; 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
44) (ITA 1991) Sejam a , a 1 e f :  definida por  
x xa a
f x .
2

 A função 
inversa de f é dada por: 
a)  2alog x x 1  , para x 1 . 
b)  2alog x x 1   , para x . 
c)  2alog x x 1  , para x . 
d)  2alog x x 1   , para x 1  . 
e) n.d.a. 
 
45) (ITA 1991) Seja f :  definida por: 
 
x
2
e , se x 0
f x x 1, se 0 x 1
ln x, se x 1
 

   


 
Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D é injetora, então: 
a) D  e    f D 1,   . 
b)    D ,1 e,    e    f D 1,   . 
c)  D 0,  e    f D 1,   . 
d)  D 0,e e    f D 1,1  . 
e) n.d.a. 
Notação:     f D y : y f x , x D    e ln x denota o logaritmo neperiano de x . 
Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente. 
 
46) (ITA 1992) Considere as funções 
*f : , g :  e *h :  definidas 
por: 
 
1
x
xf x 3
 
 
  ;  
2g x x ;  
81
h x
x
 . 
O conjunto dos valores de x em * tais que      f g x h f x , é subconjunto de: 
a)  0,3 
 
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b)  3,7 
c)  6,1 
d)  2,2 
e) n.d.a. 
 
47) (ITA 1992) O domínio da função    
 
2
2
2x 3x 1
f x log 3x 5x 2
 
   é: 
a)  
1 3 3
,0 0, 1, ,
2 2 2
     
         
     
 
b) 
1 5 5
, 1, ,
2 2 2
     
        
     
 
c) 
1 1 2 3 3
, , 1, ,
2 2 3 2 2
       
          
      
 
d)    ,0 1,   
e) n.d.a. 
 
48) (ITA 1992) Dadas as funções f :  e g :  ambas estritamente 
decrescentes e sobrejetoras, considere h f g . Então podemos afirmar que: 
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
c) h é estritamente crescente, mas não é necessariamente inversível. 
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. 
e) n.d.a. 
 
49) (ITA 1993) Seja f :  uma função não nula, ímpar e periódica de período p. 
Considere as seguintes afirmações: 
I.  f p 0 
II.    f x f x p , x      
III.    f x f x p , x     
IV.    f x f x , x     
Podemos concluir que: 
a) I e II são falsas. b) I e III são falsas. 
c) II e III são falsas. d) I e IV são falsas. 
e) II e IV são falsas. 
 
50) (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por 
1
65
 da população de 
Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado 
por:  
kt
B
f t
1 Ce


 onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 
1
9
 da população 
soube do acidente 3 horas após então o tempo que passou até que 
1
5
 da população 
soubesse da notícia foi de: 
a) 4 horas. b) 5 horas. c) 6 horas. 
 
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d) 5 horas e 24 min. e) 5 horas e 30 min. 
 
51) (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real  f x mx 1  e  g x x m,  
onde m é uma constante real com 0 m 1  , considere as afirmações: 
I.      f g x g f x , para algum x . 
II.    f m g m . 
III. Existe a tal que     f g a f a . 
IV. Existe b tal que   g f b mb. 
V.   0 g g m 3  . 
Podemos concluir que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas quatro são verdadeiras. 
c) apenas três são verdadeiras. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
e) apenas uma é verdadeira. 
 
52) (ITA 1995) Seja a função f :  definida por 
a x se x
2 2
f (x)
a
sen x se x
2 x 2
   
     
   

 
onde a 0 é uma constante. Considere   K y ; f y 0   . Qual o valor de a , 
sabendo-se que f K
2
 
 
 
? 
a) 
2
4

 b) 
2

 c)  d) 
2
2

 e) 
2 
 
53) (ITA 1996) Seja f :  definida por  
2
3x 3, x 0
f x
x 4x 3, x 0
 
 
  
. Então: 
a) f é bijetora e    1
2
f f f 21
3
   
 
. 
b) f é bijetora e    1
2
f f f 99
3
   
 
. 
c) f é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) f é injetora, mas não é sobrejetora. 
e) f é bijetora e    1
2
f f f 3
3
   
 
. 
 
 
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54) (ITA 1996) Considere as funções reais f e g definidas por  
2
1 2x
f x ,
1 x



 
 x 1,1   e  
x
g x ,
1 2x


  1x .
2
   O maior subconjunto de onde pode 
ser definida a composta f g, tal que   f g x 0, é: 
a) 
1 1 1
1, ,
2 3 4
   
       
   
 b)  
1 1
, 1 ,
3 4
 
     
 
 
c)  
1
, 1 ,1
2
 
    
 
 d)  1, 
e) 
1 1
,
2 3
 
  
 
 
 
55) (ITA 1996) Seja *f :   uma função injetora tal que  f 1 0 e 
     f x y f x f y   para todo x 0 e y 0. Se 1x , 2x , 3x , 4x e 5x formam nessa 
ordem uma progressão geométrica, onde ix 0 para i 1,2,3,4,5 e sabendo que 
     
5
i 1
i 1
f x 13f 2 2f x

  e  
4
i
1
i 1 i 1
x
f 2f 2x ,
x 
 
   
 
 então o valor de 1x é: 
a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 
 
56) (ITA 1997) Sejam f ,g :  funções tais que  g x 1 x  e 
     3f x 2f 2 x x 1    , para todo x . Então,   f g x é igual a 
a)  
3
x1 b)  
3
1 x c) 3x d) x e) 2 x 
 
57) (ITA 1997) O domínio D da função  
 2 2
2
x 1 x
f x ln
2x 3 x
 
      
    
 é o conjunto 
a)  D x :0 x 3 2     
b)  D x : x 1 ou x      
c)  D x :0 x 1 ou x      
d)  D x : x 0   
e)  D x : 0 x 1 ou x 3 2        
 
58) (ITA 1997) Se e  representam, respectivamente, o conjunto dos números 
racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f ,g :  
definidas por 
0, se x
f (x)
1, se x

 

 
1, se x
g(x)
0, se x

 

 
Seja J a imagem da função composta f g :  . Podemos afirmar que: 
 
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a) J  b) J  c)  J 0 d)  J 1 e)  J 0,1 
 
59) (ITA 1998) Sejam as funções f :  e g : A   , tais que   2f x x 9  e 
  f g x x 6  , em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: 
a)  3,  b) c)  5,  
d)    , 1 3,    e) , 6   
 
60) (ITA 1998) Seja f :  a função definida por  
xf x 3a  , onde a é um número 
real, 0 a 1  . Sobre as afirmações: 
(I)      f x y f x f y  , para todo x, y . 
(II) f é bijetora. 
(III) f é crescente e     f 0, 3,0   . 
Podemos concluir que: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
 
61) (ITA 1998) Seja f :  a função definida por  f x 2sen 2x cos2x  . Então: 
a) f é ímpar e periódica de período  . 
b) f é par e periódica de período 2 . 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período  . 
d) f não é par e é periódica de período 4 
e) f não é ímpar e não é periódica. 
 
62) (ITA 1999) Considere as funções f e g definidas por  
2
f x x
x
  , para x 0 e 
 
x
g x
x 1


, para x 1  . O conjunto de todas as soluções da inequação 
    g f x g x é: 
a)  1, b)  , 2  c)  2, 1  
d)  1,1 e)    2, 1 1,    
 
63) (ITA 1999) Sejam f ,g,h :  funções tais que a função composta 
h g f :  é a função identidade. 
Considere as afirmações: 
I. A função h é sobrejetora. 
II. Se 0x  é tal que  0f x 0 , então  f x 0 para todo x com 0x x . 
III. A equação  h x 0 tem solução em . 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
 
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b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
64) (ITA 1999) Sejam f ,g :  funções definidas por  
x
3
f x
2
 
  
 
 e  
x
1
g x .
3
 
  
 
 
Considere as afirmações: 
I. Os gráficos de f e g não se interceptam. 
II. As funções f e g são crescentes. 
III.        f 2 g 1 f 1 g 2     
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é falsa. 
b) Apenas a afirmação (III) é falsa. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. 
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
65) (ITA 2000) Considere f :  definida por  
x
f x 2sen3x cos .
2
 
   
 
 Sobre 
f podemos afirmar que: 
a) é uma função par. 
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 . 
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 3 . 
d) é uma função periódica de período fundamental 2 . 
e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 
 
66) (ITA 2000) Sejam f ,g :  definidas por   3f x x e   3cos5xg x 10 . Podemos 
afirmar que 
a) f é injetora e par e g é ímpar. 
b) g é sobrejetora e g f é par. 
c) f é bijetora e g f é ímpar. 
d) g é par e g f é ímpar. 
e) f é ímpar e g f é par. 
 
67) (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função 
 
   
   
2 2
2 2
x 2m 3 x m 3
f x
x 2m 1 x m 2
   

   
 está definida e é não negativa para todo x real é: 
a)
1 7
,
4 4
 
 
 
 b) 
1
,
4
 
 
 
 c) 
7
0,
4
 
 
 
 d) 
1
,
4
 
 
 
 e) 
1 7
,
4 4
 
 
 
 
 
 
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68) (ITA 2001) Considere as funções  
x5 7
f x
4

 ,  
x5 7
g x
4

 e h(x) arc tg(x). 
Se a é tal que      h f a h g a
4

  , então    f a g a vale: 
a) 0 b) 1 c) 
7
4
 d) 
7
2
 e) 7 
 
69) (ITA 2001) Se  f : 0,1  é tal que,  x 0,1 ,   
1
f x
2
 e 
 
1 x x 1
f x f f
4 2 2
     
     
    
 então a desigualdade válida para qualquer n 1,2,3, e 
0 x 1  é: 
a)  
n
1 1
f x
22
  b)  
n
1 1
f x
22
  
c)  
n 1
1 1
f x
22 
  d)  
n
1
f x
2
 
e)  
n
1
f x
2
 
 
70) (ITA 2002) Seja  f : P dada por    f x y ; sen y x   . Se A é tal que 
 f x  , x A  , então 
a)  A 1,1  . b)  A a,  , a 1  . 
c)  A a,  , a 1  . d)  A ,a  , a 1   . 
e)  A ,a  , a 1   . 
Nota: Se X é um conjunto,  P X denota o conjunto de todos os subconjuntos de X . 
 
71) (ITA 2002) Sendo par a função dada por  
ax b
f x
x c



, c x c   , então  f x , para 
c x c   , é constante e igual a 
a) a b b) a c c) c d) b e) a 
 
72) (ITA 2003) Mostre que toda função  f : \ 0 , satisfazendo 
     f xy f x f y  em todo seu domínio, é par. 
 
73) (ITA 2003) Considere uma função f :  não constante e tal que 
     f x y f x f y   , x, y  . Das afirmações: 
I.  f x 0 , x  . 
II.     
n
f nx f x , x  , *n  . 
III. f é par. 
é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I e II. b) apenas II e III. c) apenas I e III. 
d) todas. e) nenhuma. 
 
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74) (ITA 2004) Sejam as funções f e g definidas em por   2f x x x  e 
   2g x x x   em que  e  são números reais. Considere que estas funções são 
tais que 
f g 
valor 
mínimo 
ponto de 
mínimo 
valor 
máximo 
ponto de 
máximo 
1 0 9 4 0 
Então a soma dos valores de x para os quais   f g x 0 é igual a: 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 
 
75) (ITA 2004) Considere a função f :  ,  f x 2cos x 2isen x  . Então, 
x, y  , o valor do produto    f x f y é igual a 
a)  f x y b)  2f x y c)  4i f x y  
d)  f xy e)    2f x 2i f y  
 
76) (ITA 2005) Seja  D / 1 e f : D D uma função dada por  
x 1
f x
x 1



. 
Considere as afirmações: 
I  f é injetiva e sobrejetiva. 
II  f é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III   
1
f x f 0
x
 
  
 
, para todo x D , x 0 . 
IV     f x f x 1   , para todo x D . 
Então, são verdadeiras: 
a) apenas I e III b) apenas I e IV c) apenas II e III 
d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV 
 
77) (ITA 2006) Seja  f : 0,1  definida por  
2x, 0 x 1 2
f x
2x 1, 1 2 x 1
 
 
  
. 
Seja  g : 1 2,1 2  dada por  
 
 
f x 1 2 , 1 2 x 0
g x
1 f x 1 2 , 0 x 1 2
    
 
   
, com f definida 
acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
 
78) (ITA 2008) Seja    2f x ln x x 1   , x . Determine as funções h,g :  
tais que      f x g x h x  , x  , sendo h uma função par e g uma função impar. 
 
79) (ITA 2008) Um intervalo real D tal que a função f : D definida por 
   2f x ln x x 1   é injetora, é dado por 
a) b) ( ,1] c)  0,1/2 d)  0,1 e) [1/ 2, ) 
 
 
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80) (ITA 2009) Seja  f : \ 1  definida por  
2x 3
f x
x 1


. 
a) Mostre que f é injetora. 
b) Determine     D f x ;x \ 1   e  1f : D \ 1   . 
 
81) (ITA 2009) Seja  f : \ 0 uma função satisfazendo às condições: 
     f x y f x f y   , para todo x, y e  f x 1 , para todo  x \ 0 . 
Das afirmações: 
I. f pode ser ímpar. 
II.  f 0 1 . 
III. f é injetiva. 
IV. f não é sobrejetiva, pois  f x 0 para todo x . 
é (são) falsa(s) apenas 
a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. 
 
82) (ITA 2010) Seja f :  bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa 
1f :  também é ímpar: 
 
83) (ITA 2010) Analise se a função f :  , 
x x3 3
f (x)
2

 é bijetora e, em caso 
afirmativo, determine a função inversa 1f  . 
 
84) (ITA 2010) Sejam f ,g :  tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes 
afirmações: 
 I. f g é ímpar, 
 II. f g é par, 
III. g f é ímpar, 
É (são) verdadeiras(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas 
 
85) (ITA 2010) Considere conjuntos A,B e  C A B  . Se A B , A C e 
B C são domínios das funções reais definidas por  ln x   , 2x 6x 8   e 
x
5 x


, respectivamente, pode-se afirmar que 
a) C ,5    b)  C 2,  c) C [2,5[ . 
d) C [ ,4]  e) C não é intervalo. 
 
86) (ITA 2012) Analise se f :  ,  
2
2
3 x , x 0
f x
3 x , x 0
  
 
 
 é bijetora e, em caso 
afirmativo, encontre 
1f :  . 
 
87) (ITA 2012) Considere um número real a 1 positivo, fixado, e a equação em x 
 
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2x xa 2 a 0    ,  . 
Das afirmações: 
 I. Se 0  , então existem duas soluções reais distintas; 
 II. Se 1   , então existe apenas uma solução real; 
 III. Se 0  , então não existem soluções reais; 
 IV. Se 0  , então existem duas soluções reais distintas, 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) I, III e IV. 
 
88) (ITA 2013) Determine o maior domínio D  da função 
f : D ,    
x x
4
f x log 4sen x cos x 1 
 
 
  . 
 
89) (ITA 2013) Considere funções f ,g,f g :  . Das afirmações: 
I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; 
II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora; 
III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora; 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é sobrejetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. 
d) apenas III e IV. e) todas. 
 
90) (ITA 2013) Considere as funções f e g , da variável real x , definidas, 
respectivamente, por 
 
2x ax bf x e   e  
ax
g x ln
3b
 
  
 
, 
em que a e b são números reais. Se    f 1 1 f 2    , então pode-se afirmar sobre a 
função composta g f que 
a)  g f 1 ln 3 
b)  g f 0 
c) g f nunca se anula. 
d) g f está definida apenas em  x : x 0  
e) g f admite dois zeros reais distintos. 
 
91) (ITA 2014) Considere as funções f :  ,  
xf x e , em que  é uma constante 
real positiva, e  g : 0,  ,  g x x . Determine o conjunto solução da inequação 
     g f x f g x . 
 
92) (ITA 2014) Considere as funções f ,g :  ,  f x ax m  ,  g x bx n  , em 
que a , b , m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g , 
respectivamente, então, das afirmações abaixo: 
I. Se A B , então a b e m n ; 
II. Se A  , então a 1 ; 
 
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III. Se a,b,m,n , com a b e m n  , então A B , 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. 
 
93) (ITA 2014) Das afirmações: 
I. Se x, y \ , com y x  , então x y \  ; 
II. Se x e y \ , então xy \ ; 
III. Sejam a,b,c , com a b c  . Se    f : a,c a,b é sobrejetora, então f não é 
injetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I e II. b) apenas I e III. c) apenas II e III. 
d) apenas III. e) nenhuma. 
 
94) (ITA 2015) Considere as funções 1 2f , f , f :  , sendo  1
1
f x x 3
2
  , 
 
2
3
f x x 1
2
  e  f x igual ao maior valor entre  1f x e  2f x , para cada x . 
Determine: 
a) Todos os x tais que    1 2f x f x . 
b) O menor valor assumido pela função f. 
c) Todas as soluções da equação  f x 5 . 
 
95) (ITA 2016) Seja f a função definida por    2x 1f x log x 2x 8 .   Determine: 
a) O domínio fD da função f. 
b) O conjunto de todos os valores de fx D tais que  f x 2. 
c) O conjunto de todos os valores de fx D tais que  f x 1. 
 
96) (ITA 2016) Considere as seguintes afirmações: 
I. A função   10
x 1
f x log
x
 
  
 
 é estritamente crescente no intervalo  1, . 
II. A equação 
x 2 x 12 3  possui uma única solução real. 
III. A equação  
x
x 1 x  admite pelo menos uma solução real positiva. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. 
d) I, II e III. e) apenas III. 
 
97) (ITA 2017) Esboce o gráfico da função f :  dada por   x
1
f x 2 .
2
  
 
98) (ITA 2018) Considere as funções f ,g :  dadas por  f x ax b  e 
 g x cx d,  com a,b,c,d , a 0 e c 0. Se 1 1 1 1f g g f ,    então uma 
relação entre as constantes a, b, c e d é dada por 
a) b ad d bc.   b) d ba c db.   
 
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c) a db b cd.   d) b ac d ba.   
e) c da b cd.   
 
99) (ITA 2019) Sabendo que x pertence ao intervalo fechado  1,64 , determine o maior 
valor da função 
     
4 2
2 2 2
8
f x log x 12 log x log .
x
 
    
 
 
 
100) (ITA 2020) Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números 
reais k para os quais a reta y kx intersecta a parábola 2y x ax b   é igual a 
   , 2 6, ,   determine os números a e b. 
 
101) (ITA 2021) Seja S o conjunto solução da inequação  
22x x 1
2x x 1 1.
 
   
Podemos afirmar que: 
a)  S 1,1  b) 
1
S 1,
2
 
    
 c)  S 0,1 
d)  
1
S 1, 0,1
2
 
     
 e) S é o conjunto vazio. 
 
102) (ITA 2021) Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos 
gráficos das funções   xf x 2 ,   xg x 2 e   2h x log x, com x 0. Para cada 
k 0 seja n o número de interseções da reta y kx com S. Podemos afirmar que: 
a) n 1 para todo k 0. 
b) n 2 para pelo menos três valores distintos de k. 
c) n 2 para exatamente dois valores distintos de k. 
d) n 3 para todo k 0. 
e) O conjunto dos k 0 para os quais n 3 é a união de dois intervalos disjuntos. 
 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
1) d (Função composta) 
2) d (Função quadrática) 
3) c (Função exponencial) 
4) d (Função exponencial) 
5) d (Função composta) 
6) c (Função logarítmica) 
7) a (Função inversa e função exponencial) 
8) a (Tipologia das funções) 
9) b (Função composta e inversa) 
10) a (Função exponencial) 
11) e (Função exponencial) 
12) e (Função composta e função modular) 
13) c (Função afim e tipologia das funções) 
14) a (Função composta, inversa e tipologia das funções) 
15) d (Paridade) 
16) c (Tipologia das funções) 
17) c (Monotonicidade e paridade) 
18) a (Função composta e tipologia das funções) 
19) b (Função quadrática) 
20) a (Função composta) 
21) a (Função composta, função logarítmica e exponencial) 
22) b (Função composta) 
23) e (Tipologia das funções) 
24) e (Função composta e módulo) 
25) b (Tipologia das funções) 
26) c (Função quadrática) 
27) c (Função composta e função logarítmica) 
28) e (Domínio, função exponencial e função trigonométrica) 
29) a (Paridade) 
30) a (Função inversa) 
31) e (Paridade) 
32) b (Função inversa) 
33) e (Função logarítmica) 
34)b (Função composta e função logarítmica) 
35) a (Tipologia das funções, paridade e função inversa) 
36) c (Função quadrática) 
37) a (Tipologia das funções) 
38) a) Sim. b) Sim. (Função composta e tipologia das funções) 
39) c (Paridade) 
40) d (Função inversa e tipologia das funções) 
41) e Função inversa e tipologia das funções) 
42) c (Função composta) 
43) e (Paridade, função composta e função inversa) 
44) c (Função inversa) 
45) b (Tipologia das funções) 
46) c (Função composta) 
 
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47) a (Função logarítmica) 
48) a (Função composta, função inversa e monotonicidade) 
49) b (Função periódica) 
50) a (Função exponencial) 
51) e (Função composta) 
52) d (Função composta) 
53) b (Função composta, função inversa e tipologia das funções) 
54) a (Função composta) 
55) b (Função e progressões) 
56) c (Função composta) 
57) e (Função logarítmica) 
58) c (Função composta) 
59) a (Função composta e domínio) 
60) e (Função exponencial) 
61) c (Função trigonométrica, paridade e periodicidade) 
62) e (Função composta) 
63) d (Função composta e tipologia das funções) 
64) e (Função exponencial) 
65) b (Função trigonométrica, paridade e periodicidade) 
66) e (Função composta e tipologia das funções) 
67) d (Domínio) 
68) d (Função exponencial e função composta) 
69) e (Equação funcional) 
70) b (Domínio) 
71) e (Paridade) 
72) Demonstração (Paridade) 
73) a (Equação funcional e paridade) 
74) d (Função quadrática) 
75) b (Função e números complexos) 
76) a (Tipologia das funções) 
77) Par (Paridade) 
78) Vide solução. (Paridade) 
79) c (Tipologia das funções, função logarítmica e função modular) 
80) Vide solução. (Tipologia das funções e função inversa) 
81) e (Paridade e tipologia das funções) 
82) Demonstração. (Função inversa e paridade) 
83) Vide solução. (Função inversa) 
84) d (Paridade) 
85) c (Domínio) 
86) Vide solução. (Função inversa) 
87) c (Função exponencial e função quadrática) 
88) ,
4 2
  
 
 
 (Domínio, função logarítmica e função trigonométrica) 
89) a (Tipologia das funções) 
90) e (Função exponencial, função logarítmica e função composta) 
91)  4, (Função composta e função exponencial) 
92) e (Função afim) 
93) e (Tipologia das funções e conjuntos numéricos) 
 
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94) a)  S 4,5;1,5  ; b) 3; c)  7S 4;
3
  (Função modular) 
95) Vide solução. (Função logarítmica) 
96) b (Função exponencial e função logarítmica) 
97) Vide solução (Função exponencial e função modular) 
98) a (Função composta e inversa) 
99) 81 (Função logarítmica) 
100) a 4 e b 1 (Função quadrática) 
101) d (Inequação exponencial) 
102) b (Função exponencial e função logarítmica) 
 
 
 
 
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RESOLUÇÕES 
 
 
1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por   2f x x , então 
 2 2f x y é igual a: 
a)         f f x f y 2f x f y  para todo x e y. 
b)         2f x 2f f x f x f y  para todo x e y. 
c)        2 2f x f y f x f y  para todo x e y. 
d)          f f x f f y 2f x f y  para todo x e y. 
e)         2f f x 2f y 2f x f y  para todo x e y. 
 
RESOLUÇÃO: d 
   
2
2 2 2 2 4 4 2 2f x y x y x y 2x y      
      
2
2 2 4f f x f x x x   
           2 2f x y f f x f f y 2f x f y     
 
 
2) (ITA 1972) Seja   2f x x px p   uma função real de variável real. Os valores de p 
para os quais  f x 0 possua raiz dupla positiva são: 
a) 0 p 4.  
b) p 4 
c) p 0. 
d)  f x 0 não pode ter raiz dupla positiva. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para que a função quadrática tenha raiz dupla, seu discriminante  deve ser nulo. 
2p 4 1 p 0 p 0 p 4          
Para que a raiz dupla seja positiva, a soma das raízes deve ser positiva. Assim, temos: 
1
p
0 p 0
1
      
Logo, não há valor de p que satisfaça as duas condições, o que implica que  f x 0 não 
pode ter raiz dupla positiva. 
 
 
3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função 
  ktX t C e ,  onde  X t é um número de bactérias no tempo t 0; C e k são constantes 
positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de 
bactérias  X 0 , duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de 6 horas? 
 
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a) 3 vezes o número inicial. 
b) 2,5 vezes o número inicial. 
c) 2 2 vezes o número inicial. 
d) 32 2 vezes o número inicial. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Sabendo que o número inicial de bactérias  X 0 , duplica em 4 horas, então 
   X 4 2 X 0 .  
Como   ktX t C e ,  então 
  k 0X 0 C e C   
 
1
k 4 4k k 4X 4 C e 2 C e 2 e 2        
No fim de 6 horas, teremos: 
     
6
1 3
6
k 6 k 4 2X 6 C e C e C 2 C 2 2 2 C          
Logo, o número de bactérias após 6 horas é 2 2 vezes o número inicial. 
 
 
4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t 0, é dada por 
  ktM t C e ,  onde  M t é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes 
positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva  M 0 , 
desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? 
a) 
11 100 da quantidade inicial. 
b) 61 2 da quantidade inicial. 
c) 161 2 da quantidade inicial. 
d) 
1
161 2

 da quantidade inicial. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Sabendo que a metade da quantidade primitiva  M 0 , desaparece em 1600 anos, então 
   
   M 0 M 0
M 1600 M 0 .
2 2
   
Como   ktM t C e ,  então 
  k 0M 0 C e C    
 
1
k 1600 1600k 1 100k 16
C
M 1600 C e e 2 e 2
2

           
A quantidade de radium, após 100 anos, é 
 
1
k 100 16M 100 C e C 2 .

     
Logo, a quantidade perdida em 100 anos é 
 
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     
1 1
16 16M 0 M 100 C C 2 C 1 2 ,
 
       
ou seja, é 
1
161 2

 da quantidade inicial. 
 
 
5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números 
reais. Sejam as funções f : A B   y f x , g : D B   x g t , e a função 
composta f g : E K (e, portanto,      z f g t f g t .  Então, os conjuntos E e K 
são tais que: 
a) E A e K D 
b) E B e K A 
c) E D, D E e K B 
d) E D e K B 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para que a função f g : E K esteja bem definida, devemos ter 
     f g t f g t 
gt D E D   
Observe que não é possível aplicar f g em um t que não pertença a D, pois  g t não 
estaria definido. 
 
f g fg t D Im D   
   ff g t Im B K   
Observe que f g fIm Im B,  mas, para garantir que a imagem de f g esteja contida 
no seu contradomínio K, é preciso que K contenha B. 
 
 
6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de modo 
que 
2
10 10 2
7 2x x
y log log
3 4x
   
   
   
 é dado por: 
a) intervalo aberto A, de extremos 2 e 2. 
b) intervalo aberto A, de extremos 3 e 3. 
c) intervalo aberto A, de extremos 
3
2
 e 
3
.
2
 
d) intervalo aberto A, de extremos 
3
2
 e 1. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Para que um logaritmo esteja bem definido é preciso que sua base seja positiva e diferente 
de 1, e o logaritmando seja positivo. Assim, para o logaritmando mais interno, temos: 
 
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2
27 2x x
0
3 4x
 


 
O numerador tem raízes 1 2 2  e o denominador raízes 
3
.
2
 Dispondo essas raízes 
sobre a reta real e aplicando o método dos intervalos, temos: 
 
3 3
x 1 2 2 x x 1 2 2
2 2
            (*) 
Como 
2
10 2
7 2x x
log
3 4x
  
 
 
 também é um logaritmando, temos: 
2 2 2
0
10 2 2 2
2
2
7 2x x 7 2x x 7 2x x
log 0 10 1 1 0
3 4x 3 4x 3 4x
4 2x 3x
0
3 4x
      
       
   
 
 

 
O numerador tem discriminante negativo, então o numerador é sempre positivo. Assim, 
temos: 
2
2
2
4 2x 3x 3 3
0 3 4x 0 x
2 23 4x
 
       

 (**) 
Fazendo a interseção dos intervalos (*) e (**), temos: 
3 3 3 3
x | x , .
2 2 2 2
   
        
   
 
 
 
7) (ITA 1975) Seja  
x x
x x
e e
f x
e e





 definida em . Se g for a função inversa de f, o 
valor de 
7
g
25e
 
 
  será: 
a) 
4
3
 b) 
7e
25
 c) e
25
log
7
 
 
 
 d) 
2
7
25e
 
 
  e) NDA 
 
RESOLUÇÃO: a 
Se g for a função inversa de f, então    f x y g y x.   
 
7 7
g x f x
25 25
 
   
 
 
 
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 
x
x x 2xx
2x 2x 2x
x x 2xx
x
1
e
e e e 1 7ef x 25e 25 7e 7 18e 32
1 25e e e 1e
e



 
         
 
 
2x
e e e e
16 16 1 16 16 4
e 2x log x log log log
9 9 2 9 9 3
   
          
   
 
e
7 4
g log
25 3
e
7 4 4
g log e e
25 3 3
 
 
       
 
 
 
 
8) (ITA 1976) Considere    g : a,b,c a,b,c uma função tal que  g a b e  g b a. 
Então, temos: 
a) a equação  g x x tem solução se, e somente se, g é injetora. 
b) g é injetora, mas não é sobrejetora. 
c) g é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) se g não é sobrejetora, então   g g x x para todo x em  a,b,c . 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como a, b e c são elementos de um conjunto, vamos assumir que eles são distintos dois 
a dois. 
O valor de  g c pode ser a, b ou c. Vamos analisar as características da função em cada 
um dos casos. 
1º)  g c a 
   g b g c a,  o que implica que g não é injetora 
c não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 
2º)  g c b 
   g a g c b,  o que implica que g não é injetora 
c não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 
3º)  g c c 
Nesse caso a função é bijetora, pois todos os elementos do contradomínio são imagem de 
algum elemento do domínio (sobrejetora) e cada elemento é imagem de um único 
elemento do domínio (injetora). 
Observe agora que, para que a equação  g x x tenha solução, devemos ter  g c c, o 
que implica g é injetora. Por outro lado, se g é injetora, então  g c c, o que implica que 
a equação  g x x tem solução. 
Assim, a equação  g x x tem solução se, e somente se, g é injetora. 
Note ainda que     g g a g b a  e     g g b g a b,  mas o valor de 
    g g c g c c  somente no 3º caso e g não é sobrejetora nos 1º e 2º casos. 
 
 
 
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9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f : A B e 
g : B A são funções tais que   f g x x, para todo x em B e   g f x x, para todo 
x em A, então, temos: 
a) existe ox em B, tal que   of y x , para todo y em A. 
b) existe a função inversa de f. 
c) existe ox e 1x em A, tais que o 1x x e    o 1f x f x . 
d) existe a em B, tal que      g f g a g a . 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Seja  f x y, com x A e y B, então 
    x A g f x x g y x     
    y B f g y y f x y     
Observe então que    f x y g y x,   o que implica que g é a função inversa de f e, 
consequentemente, f e g são bijetoras. Logo, a alternativa b) é a correta. 
A alternativa a) é falsa, pois se ox é imagem de todos os elementos do domínio então f 
não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. 
A alternativa c) é falsa, pois a expressão apresentada implica que f não é injetora e, 
portanto, não é bijetora. 
A alternativa d) é falsa, pois, para todo a B,         f g a a g f g a g a .   
 
 
10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 
 2x xe 2e A x 1 0,    para todo número real x. 
Nestas condições, temos: 
a)  A 0 1,    A x A x ,  para todo número real x e não existe um número real x 0, 
satisfazendo a relação  A x 1. 
b)  A 0 1 e  A x 0, para algum número real x. 
c)  A 1 0 e    A x A x ,  para todo número real x. 
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação  A x 1 e não existe 
um número real x, satisfazendo    A x A x .  
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
     
2x
2x x x 2x
x
e 1
e 2e A x 1 0 2e A x e 1 A x
2e

          
 
2 0
0
e 1 1 1
A 0 1
2 12e
  
  

 
   
2x 2
2x x x x
x
e 1
A x 1 e 2e 1 0 e 1 0 e 1 x 0
2e

             
 
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 
2x
2x
x
e 1
e 0, x A x 0, x
2e

        
 
 
 
2 x 2x x 2x2x
x 2x x
x
1
1
e 1 1 e e 1 eeA x A x , x
2 22e e 2e
e
 


  
         
Logo, a alternativa correta é a). 
 
 
11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real  
x x
x x
e e
M x .
e e





 
Então 
a) Para todo x 1, ocorre  M x 1. 
b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente,    M x M x   e  0 M x 1.  
c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que 
   M a M b . 
d)  M x 0, somente quando x 0 e  M x 0 apenas quando x 0. 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: e 
a) INCORRETA, pois  M x é sempre menor do que 1. 
 
x
x x 2x 2xx
x x 2x 2x 2xx
x
1
e
e e e 1 e 1 2 2eM x 1 1, x
1e e e 1 e 1 e 1e
e



   
        
   
 
b) INCORRETA, pois  M x é negativo sempre que x é negativo. 
 
 
 
 
x x x x
x xx x
e e e e
M x M x
e ee e
   
  
 
    

 
Se  
2x
2x 0 2x
2x
e 1
x 0 2x 0 e e 1 e 1 0 M x 0
e 1

           

 
Se  
2x
2x 0 2x
2x
e 1
x 0 2x 0 e e 1 e 1 0 M x 0
e 1

           

 
c) INCORRETA, conforme mostrado a seguir. 
       a 0 b 0 M a 0 M b 0 M b 0 M a          
d) INCORRETA, pois  M x 0 se, e somente se, x 0. 
 
2x
2x 2x 0
2x
e 1
M x 0 e 1 0 e 1 e 2x 0 x 0
e 1

           

 
Logo, a alternativa correta é e). 
 
 
 
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12) (ITA 1977) Considere a função   2F x x 1  definida em . Se F F representa a 
função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: 
(1)    2F F x x x 1  , para todo x real. 
(2) Não existe número real y, tal que   F F y y. 
(3) FoF é uma função injetora. 
(4)   F F x 0, apenas para dois valores reais de x. 
O número de afirmativas VERDADEIRAS é: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 
 
RESOLUÇÃO: e 
(1) FALSA 
       
2
2 2 4 2 2 2FoF x F F x F x 1 x 1 1 x 2x 1 1 x x 2            
(2) FALSA 
   2 2FoF y y y 2 y   , que é satisfeita, por exemplo, para y = 0. 
(3) FALSA 
         2 2 2 2FoF x x x 2 x x 2 FoF x        
Logo, FoF é par e portanto não é injetora. 
(4) FALSA 
   2 2FoF x x x 2 0 x 0 ou x 2       
 
 
13) (ITA 1977) Supondo que a b, onde a e b são constantes reais, considere a função 
   H x a b a x   definida no intervalo fechado  0,1 . Podemos assegurar que: 
a) H não é uma função injetora. 
b) Dado qualquer y, sempre existe um x em  0,1 satisfazendo  H x y. 
c) Paracada y, com a y b,  corresponde um único real x, com 0 x 1,  tal que 
 H x y. 
d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado  a,b , satisfazendo a 
relação   G H x x para cada x em  0,1 . 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Sabendo que a b b a 0,    então    H x a b a x   é uma função do 1º grau 
crescente de domínio  HD 0,1 e imagem       HIm H 0 ,H 1 a,b .  Assim,  H x 
é uma bijeção de  0,1 em  a,b . 
a) INCORRETA, pois  H x é bijetora e, portanto, injetora. 
b) INCORRETA, pois a imagem de  H x é o intervalor fechado  a,b . 
c) CORRETA, pois  H x é uma bijeção de  0,1 em  a,b . 
d) INCORRETA, pois se 
1G F , então   G F x x e 1F existe pois F é bijetora. 
 
 
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14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em . 
Sejam B e o conjunto     1f B x ; f x B ,    então: 
a)   1f f B B  
b)   1f f B B  se f é injetora. 
c)   1f f B B  
d)   1f f B B  se f é sobrejetora 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja       1 1o ox f B f x B f f B B,
      então a alternativa a) está correta. 
O diagrama seguinte representa uma situação em que f é injetora e   1f f B B.  Logo, 
as alternativas b) e c) são incorretas. 
 
Sejam ox B e 1x B tais que    o 1f x f x , então      o 1f x f x f B .  
          1 1o 1f f B x ; f x f B x ,x f f B
      
Como 1x B, então   
1f f B B.  Logo, a alternativa d) é incorreta. 
Observe essa situação no diagrama seguinte. 
 
Observe que, da forma como 1f  está definida ela não é necessariamente uma função, 
como nos exemplos apresentados nos dois diagramas. 
 
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15) (ITA 1978) Seja  f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio 
de f temos    f x f x ,  dizemos que a função é par; se, no entanto, temos 
   f x f x ,   dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função 
  2
eg x log sen x 1 sen x ,
     podemos afirmar que: 
a) está definida apenas para x 0. 
b) é uma função que não é par nem ímpar. 
c) é uma função par. 
d) é uma função ímpar. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Sabemos que 
21 sen x 1  para todo x , então a raiz quadrada 21 sen x está 
sempre bem definida e 2sen x 1 sen x 0,   o que implica que o logaritmando é 
sempre positivo. Logo, o domínio da função g são todos os números reais e a alternativa 
a) é incorreta. 
Vamos agora analisar a paridade da função g. 
       22
e eg x log sen x 1 sen x log sen x 1 sen x
                 
2
2 2
e e
2
sen x 1 sen x
log sen x 1 sen x log sen x 1 sen x
sen x 1 sen x
               
   
 
 2 2
e e
2 2
1 sen x sen x 1
log log
sen x 1 sen x sen x 1 sen x
    
     
       
 
     
1
2 2
e elog sen x 1 sen x log sen x 1 sen x g x

         
Logo, g é ímpar, as alternativas b) e c) são incorretas e a d) é correta. 
 
 
16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs.  x ; x 0    
e  a,b é o intervalo fechado de extremos a e b. 
a) f :
 tal que   2f x x . 
b) f :
  tal que  f x x 1.  
c)    f : 1,3 2,4 tal que  f x x 1.  
d)  f : 0,2  tal que  f x sen x. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
a) f não é bijetora 
    2f x f x x ,   então f não é injetora e, portanto, não é sobrejetora; 
b) f não é bijetora 
 
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        ff f 0, 1, Im 1,
         
Logo, f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora. 
c) f é bijetora 
f é uma função do 1º grau, então é estritamente crescente o que implica que f é injetora. 
           ff 1,3 f 1 ,f 3 2,4 Im 2,4    
Logo, f é sobrejetora e, portanto, bijetora. 
d) f não é bijetora 
   f x sen x 1,1     f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora 
 
 
17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; 
     f x y f x f y ;   e  f x 0, se x 0. Definindo  
   f x f 1
g x ,
x

 se x 0. 
Sendo n um número natural, podemos afirmar que: 
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. 
b) f é não-decrescente e g é uma função par. 
c) f é não-decrescente e    0 g n f 1 .  
d) f não é monótona e    0 g n f 1 .  
e) não é possível garantir que    0 g n f 1 .  
 
RESOLUÇÃO: c 
Como f é impar, então    f x f x ,   x .  
 1 2 1 2 1 2x x x x 0 f x x 0       
             1 2 1 2 1 2 1 2f x x f x f x f x f x 0 f x f x         
Logo, f é não-decrescente. 
Como      f x y f x f y ,   então, sendo n um número natural, tem-se  f n n f (1).  
Isso pode ser verificado pelo P.I.F., notando que: 
1º)  f 0 0 
f é ímpar      f 0 f 0 f 0 0    
2º) Hip. de Indução:    f k k f 1 , k   
3º)              f k 1 f k f 1 k f 1 f 1 k 1 f 1        
Logo, pelo P.I.F.,  f n n f (1).  
 
       
 
f n f 1 n f 1 f 1 n 1
g n f 1
n n n
   
    
   0 g n f 1   
 
 
18) (ITA 1980) Sejam A e B subconjuntos não vazios de e f A B,  g B A  
duas funções tais que Bfog I , onde BI é a função identidade em B. Então podemos 
afirmar que: 
a) f é sobrejetora. 
b) f é injetora. 
 
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c) f é bijetora. 
d) g é injetora e par. 
e) g é bijetora e ímpar. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como g B A  é uma função, então y B x A    tal que  x g y . 
Logo, y B  , temos          By I y fog y f g y f x    , ou seja, todo elemento 
y B é imagem pela função f de algum x A . Isso significa de f A B  é 
sobrejetora. 
Isso permite concluir que a alternativa (a) está correta. Vamos agora analisar as outras 
alternativas. 
A seguir, vamos apresentar um contraexemplo que mostra que as outras alternativas estão 
erradas. 
   
      
    
      
      
A 0,1,2 e B 0,1
f 0,1 , 1,0 , 2,1 fog 0 f g 0 f 1 0
g 0,1 , 1,0 fog 1 f g 1 f 0 1
 
     
 
    
 
Observe que, nesse contraexemplo, as condições do enunciado são satisfeitas, mas f não 
é injetora e g não é para nem ímpar, além de não ser sobrejetora. 
Note que, se f for bijetora, g será a função inversa de f , mas, como mostrado acima, 
isso não é necessário para que sejam satisfeitas as condições do enunciado. 
 
 
19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva 
2y ax bx c   passa pelos pontos  1,1 ,  2,m e  m,2 , onde m é um número real 
diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: 
a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
  . 
b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 0 m 1  . 
c) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 1
m
2 2
   . 
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
  . 
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 m 1  . 
 
RESOLUÇÃO: b 
Seja   2f x y ax bx c    , então 
  2f 1 a 1 b 1 c 1 a b c 1          
  2f 2 a 2 b 2 c m 4a 2b c m          
  2 2f m a m b m c 2 m a mb c 2          
   4a 2b c a b c m 1 3a b m 1            
       
      
2 2m a mb c 4a 2b c 2 m m 4 a m 2 b 2 m
m 2 m 2 a m 2 b m 2
              
       
 
 
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 m 2 m 2 a b 1              mm 2 a b 3a b 1 m 1 m 1 a m a
m 1
             

 
Observando que a 0 0 m 1    , então a função admite ponto de mínimo para todo m 
tal que 0 m 1  . 
 
 
20) (ITA 1982) Seja f :  definida por  
x a
, se x b
f x .x b
b, se x b

 
 
   
 Se   f f x x 
para todo x real e  f 0 2,  então 
a) ab 2  b) ab 1  c) ab 0 d) ab 1 e) ab 2 
 
RESOLUÇÃO: a 
Sejam x b  e 
x a
b,
x b

 

 então 
  
   
   2
x a
a
x a a 1 x a b 1x bf f x x f x x x
x ax b b 1 x a bb
x b


            
    

 
       2 2a 1 x a b 1 b 1 x a b x        
Fazendo identidade de polinômios, temos: 
 
2 2
b 1 0 b 1
a 1 a b b 1 b 1
a b 1 0
    

       

 
 
Assim, temos:  
x a
, se x 1
f x .x 1
1, se x 1


 
 
 
Note que, temos     f f 1 f 1 1.  
   
0 a
f 0 2 f 0 2 a 2
0 1

       

 
 
x 2
, se x 1
f x x 1
1, se x 1


  
 
 
 ab 2 1 2      
 
 
21) (ITA 1983) Dadas as funções  2 2xf x log x e  
2g x 2sen x 3sen x 1   
definidas para x 0 e 
1
x ,
2
 o conjunto 
       *A x : g f x 0 f x 0,2      
é dado por 
 
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a)  
5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
    
b)  
5
2 6 6 5A 2 , 2 , 2
  
    
c)  2 6 6 5A 4 , 4 , 4    
d)  
2 2 5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
    
e)  
5
2 6 6 5A 2 , 4 , 2
  
    
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja  f x y, então 
        2g f x 0 g f x g y 0 2sen y 3sen y 1 0        
 k
sen y 1 y 2k , k y
2 2
1 5
sen y y k 1 , k y y
2 6 6 6
 
       

  
          
 
      
 
1
2
1
22 2
2x 2 x
4x
4x 4x
f x log x f x f x log x log x
1
2 log x log x
2
     
   
 
   
2
12 22 2 2 2
4xf x log x 4x x 4 x 4 x x 4
2
   
 

          
   
6
16 6 6 6 6 6
4xf x log x 4x x 4 x 4 x x 4
6
    
 

          
   
5 5 5 6 5 5
15 6 6 6 6 6 6 5
4x
5
f x log x 4x x 4 x 4 x x 4
6
     
  

          
 52 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
     
 
 
22) (ITA 1983) Sejam três funções f ,u, v :  tais que  
 
1 1
f x f x
x f x
 
   
 
 para 
todo x não nulo e      
2 2
u x v x 1  para todo x real. Sabendo-se que 0x é um 
número real tal que    0 0u x v x 0  e 
o o
1 1
f 2,
u(x ) v(x )
 
  
 
 o valor de o
o
u(x )
f
v(x )
 
 
 
 é: 
a) 1 b) 1 c) 2 d) 
1
2
 e) 2 
 
 
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RESOLUÇÃO: b 
   
     
   
2 2
o o
o o o o
u x v x1 1
f 2 f 2
u x v x u x v x
  
             
 
 
 
 
 
   
 
o o o
oo o o
o
u x v x u x 1
f 2 f 2
u xv x u x v x
v x
   
         
  
 
 
 
Como  
 
1 1
f x f x
x f x
 
   
 
, vem: 
 
   
 
 
   
 
o o
o oo o
o o
u x u x1 1
f f 2
v x v xu x u x
f
v x v x
  
             
     
    
 
Fazendo o
o
u(x )
f y,
v(x )
 
 
 
 temos: 2
1
y 2 y 2y 1 0 y 1
y
        
Logo, o
o
u(x )
f 1
v(x )
 
 
 
. 
 
 
23) (ITA 1984) Seja  
2x 4f x e , onde x e é o conjunto dos números reais. 
Um subconjunto D de tal que f : D é uma função injetora é: 
a)  D x : x 2 ou x 0    
b)  D x : x 2 ou x 2     
c) D  
d)  D x : 2 x 2     
e)  D x : x 2   
 
RESOLUÇÃO: e 
Inicialmente, vamos identificar o domínio de validade de  
2x 4f x e . 
2x 4 0 x 2 ou x 2      
As funções xy e e y x, com x 0, são injetoras. A composição de funções 
injetoras é injetora. Assim, para que  
2x 4f x e  seja injetora, devemos escolher D de 
forma que 
2y x 4  seja injetora. Os intervalos x 2  e x 2 estão em ramos distintos 
da parábola, basta escolher um dos dois intervalos. Logo, uma opção de conjunto D para 
que a função seja injetora é  D x : x 2 .   
 
 
 
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24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções:  
7
f x x
2
  e   2
1
g x x
4
  definidas 
para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação      g f x g f x , 
podemos afirmar que: 
a) Nenhum valor de x real é solução. 
b) Se x 3 então x é solução. 
c) Se 
7
x
2
 então x é solução. 
d) Se x 4 então x é solução. 
e) Se 3 x 4  então x é solução. 
 
RESOLUÇÃO: e 
        g f x g f x g f x 0   
Seja  f x y, então 
        2
1 1 1
g f x g f x g y 0 y 0 y
4 2 2
         
 
7 1 1 1 7 1
y f x x y x 3 x 4
2 2 2 2 2 2
             
Logo, se 3 x 4,  então x é solução. 
 
 
25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: 
I – Sejam f : X Y e g : Y X duas funções satisfazendo   g f x x, para todo 
x X. Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. 
II – Seja f : X Y uma função injetiva. Então,      f A f B f A B ,   onde A e B 
são dois subconjuntos de X. 
III – Seja f : X Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, 
    CCf A f A onde  CA x X | x A   e      
C
f A x Y | x f A .   
podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. 
c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. 
e) Todas as sentenças. 
 
RESOLUÇÃO: b 
I – INCORRETA 
         1 2 1 1 2 2 1 2x x g f x x x g f x f x f x        f é injetiva 
Seja       0 0 0 0x X y f x Y tal que g y g f x x        g é sobrejetiva 
II – CORRETA 
Sendo f é injetiva, então se 0 fy Im , existe um único 0x X tal que  0 0f x y . 
1º)        0 0 0y f A f B y f A y f B      
   1 2 1 0 2 0x A x B tais que f x y f x y       
Como f é injetiva, então    1 2 1 2f x f x x x .   
 
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     1 2 0 1 2x x A B y f x f x f A B         
     f A f B f A B    
2º)    0 0 0 0y f A B x A B tal que y f x      
       0 0 0 0 0 0 0x A B x A x B y f x f A y f x f B            
   
0y f A f B   
     f A B f A f B    
Logo,      f A B f A f B .   
III – CORRETA 
   C C0 0 0 0y f A x A tal que y f x    
      
CC
0 0 0 0 0x A x A y f x f A y f A        
    CCf A f A  
Poderíamos também usar o resultado demonstrado em II. 
Como f é injetiva, então 
       C Cf A f A f A A f      
      CC0 0 0y f A y f A y f A     
    CCf A f A  
 
 
26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com a 0. Suponha que 1x e 2x 
sejam as raízes da função 2y ax bx c   e 1 2x x . Sejam 3
b
x
2a
  e 
2
4
2b b 4ac
x .
4a
 
  Sobre o sinal de y podemos afirmar que: 
a) y 0, x ,  1 3x x x  
b) y 0, x ,  4 2x x x  
c) y 0, x ,  1 4x x x  
d) y 0, x ,  4x x 
e) y 0, x ,  3x x 
 
RESOLUÇÃO: c 
Como a 0, 2b 4ac 0  e 1 2x x , então 
2
1
b b 4ac
x
2a
  
 e 
2
2
b b 4ac
x
2a
  
 . 
Além disso, temos 1 3 2x x x ,  pois 3x é a média das raízes. 
2 2
4
2b b 4ac b b 4ac
x
4a 2a 4a
  
     
 
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Como 
2 2b 4ac b 4ac
0
4a 2a
 
    , então 3 4 2x x x  . 
Como a parábola possui concavidadevoltada para baixo, então y 0 quando 
1 4x x x .  
A figura a seguir ilustra a situação do problema. 
 
 
 
27) (ITA 1986) Seja f :  uma função que satisfaz à seguinte propriedade: 
     f x y f x f y ,   x, y .  Se     2210g x f log x 1  então podemos afirmar 
que 
a) O domínio de g é e    g 0 f 1 . 
b) g não está definida para os reais negativos e     210g x 2f log x 1 ,  para x 0. 
c)  g 0 0 e     210g x 2f log x 1 ,  x .  
d)    g 0 f 0 e g é injetora. 
e)  g 0 1  e     
2
1
2
10g x f log x 1 , x .
 
      
 
RESOLUÇÃO: c 
a) INCORRETA 
Como 2x 1 0, x ,    e f está definida para todos os reais, então o logaritmando é 
sempre positivo e o domínio de g é . 
        2210 10g 0 f log 0 1 f log 1 f 0    
b) INCORRETA, pois gD . 
c) CORRETA 
     f x y f x f y   
           x y 0 f 0 0 f 0 f 0 f 0 2f 0 f 0 0          
 
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        2210 10g 0 f log 0 1 f log 1 f 0 0     
         x y f x x f x f x f 2x 2f x       
          22 2 210 10 10g x f log x 1 f 2log x 1 2f log x 1      
d) INCORRETA 
g não é injetora, pois é uma função par 
          2 22 210 10g x f log x 1 f log x 1 g x       
e) INCORRETA 
 g 0 0, conforme mostrado em c). 
          
         
2 2 21
2 2 2
10 10 10
22
22
10
g x f log x 1 f log x 1 f log x 1
g x
f log x 1 g x 4g x
2
                   
          
 
Observe que a expressão acima só é verdadeira para as funções constantes  g x 0 ou 
 g x 4, que não atendem as condições do enunciado. 
            f x f x f x x f 0 0 f x f x           
 
 
28) (ITA 1986) Seja a , 0 a 1  e f a função real de variável real definida por 
 
 2
1
2x 2a a
f x .
cos 2 x 4cos x 3


   
 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: 
a)  , 2 A    
b) A 2, 2     
c)  2, 2 A  
d)  x | x e x 2 A    
e) A 2, 2    
 
RESOLUÇÃO: e 
2 2 0 a 1x 2 x 2 2a a 0 a a x 2 2 x 2
 
         
 2
2
cos 2 x 4cos x 3 0 2cos x 1 4cos x 3 0
cos x 2cos x 1 0 cos x 1
           
         
 
x 2k , k x 1 2k, k         
 A 2, 2 1,1      
 A 2, 2  
 
 
 
 
 
 
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29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : . 
1. Se existe x tal que    f x f x  então f não é par. 
2. Se existe x tal que    f x f x   então f é ímpar. 
3. Se f é par e ímpar então existe x tal que  f x 1. 
4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar. 
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números 
a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 
 
RESOLUÇÃO: a 
1. CORRETA 
f é par    f x f x , x     
A negação dessa proposição é: f não é par    x tal que f x f x    
Logo, se existe x tal que    f x f x  então f não é par. 
2. INCORRETA 
f é ímpar    f x f x , x      
Não basta existir um x ou alguns x que satisfaçam a propriedade. Tem que ser todos os 
valores de x do domínio da função. 
3. INCORRETA 
f é par    f x f x , x     
f é ímpar    f x f x , x      
f é par e ímpar        f x f x f x , x f x 0, x           
4. CORRETA 
f é ímpar    f x f x , x      
              f f x f f x f f x f f x f f x         
Logo, f f é ímpar. 
 
 
30) (ITA 1987) Considere  x g y a função inversa da seguinte função: 
  2y f x x x 1,    para cada número real 
1
x .
2
 Nestas condições, a função g é assim 
definida: 
a) 
1 3
g(y) y ,
2 4
   para cada 
3
y .
4
 
b) 
1 1
g(y) y ,
2 4
   para cada 
1
y .
4
 
c) 
3
g(y) y ,
4
  para cada 
3
y .
4
 
d) 
1
g(y) y ,
4
  para cada 
1
y .
4
 
e) 
3 1
g(y) y ,
4 2
   para cada 
1
y .
2
 
 
RESOLUÇÃO: a 
 
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   2 2y f x x x 1 x x 1 y 0         
 1 1 4 1 y 1 3
x x y
2 2 4
  
      
 
1 1 3 3
x g y x y , y
2 2 4 4
       
 
Observe que 
1 3
,
2 4
 
 
 
 é o vértice da parábola. A condição 
1
x
2
 define que se busca a 
função inversa do ramo direito da parábola. A função 
1 3
f : , ,
2 4
   
     
   
 é bijetora 
e, portanto, possui inversa 
3 1
g : , , .
4 2
   
    
   
 
 
 
31) (ITA 1987) Considere a função  y f x definida por   3 2f x x 2x 5x,   para 
cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? 
a)  y f x é uma função par. 
b)  y f x é uma função ímpar. 
c)  f x 0 para todo real x. 
d)  f x 0 para todo real x. 
e)  f x tem o mesmo sinal de x, para todo real x 0. 
 
RESOLUÇÃO: e 
a) FALSA 
Contraexemplo: 
 
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       
 
3 2
3 3
f 1 1 2 1 5 1 1 2 5 8
f 1 1 2 1 5 1 1 2 5 4
              
        
 
   f 1 f 1   f não é par 
b) FALSA 
   f 1 f 1    f não é ímpar 
c) FALSA, pois  f 1 8.   
d) FALSA, pois  f 1 4. 
e) VERDADEIRA 
   3 2 2f x x 2x 5x x x 2x 5       
O trinômio do 2º grau 2x 2x 5  tem discriminante  
2
2 4 1 5 16 0,         então 
é sempre positivo. Logo,  f x 0, se x 0 e  f x 0, se x 0. 
 
 
32) (ITA 1988) Seja    22f x log x 1 ,  x ,  x 1.  A lei que define a inversa de 
f é: 
a) y1 2 , y .  
b) y1 2 ,  y .  
c) y1 1 2 ,  y .  
d) y1 2 ,  y ,  y 0. 
e) y1 1 2 ,  y ,  y 0. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Para os valores x 1,  temos 2x 1 0  o que implica que está bem 
definida. Além disso, com esse domínio, f é bijetora e, portanto, possui inversa. 
A imagem de 2x 1 para x 1  é  e, portanto, a imagem de    22f x log x 1  é 
. 
Vamos obter a expressão da inversa de  f : , 1 .   
 
 1 yx 1 f y x 1 2 , y         
Note que a inversa de f é  1f : , 1 .    
 
 
33) (ITA 1988) Considere    21
2
A x log 2x 4x 3 ,   x .  Então temos: 
a)  A x 1, para algum x , x 1. 
b)  A x 1, para algum x . 
c)  A x 1, apenas para x tal que 0 x 1.  
   2
2f x log x 1 
   2 2 y 2 y
2y f x log x 1 x 1 2 x 1 2        
 
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d)  A x 1, para cada x tal que 0 x 1.  
e)  A x 1, para cada x . 
 
RESOLUÇÃO: e 
Vamos inicialmente identificar o domínio de    21
2
A x log 2x 4x 3 .   
Como 2y 2x 4x 3   tem discriminante 24 4 2 3 8,       então 
2y 2x 4x 3 0    para todo x . Logo, o domínio de  A x é . 
O valor mínimo de 2y 2x 4x 3   é 
 
Logo,  A x 0 1,  para cada x . 
 
 
34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por    2f x ln x x  
e  
1
g x .
1 x


 Então, o domínio de f g é: 
a)  0,e b)  0,1 c)  e,e 1 d)  1,1 e)  1, 
Nota: f g é a lei definida por      f g x f g x para cada x de seu domínio. 
 
RESOLUÇÃO: b 
     f g x f g x 
O domínio de  g x é 1 x 0 x 1.    Assim,  gD ,1 .  
O domínio de  f x é  2x x 0 x x 1 0 x 0 ou x 1.        Assim, 
   fD ,0 1, .    
Para que f g esteja bem definida, devemos ter x tal queg esteja bem definida, ou seja, 
x 1 (*) e  g x deve estar no domínio de f, ou seja, 
 
1
g x 0,
1 x
 

 que não ocorre para nenhum x real 
ou 
 
1
g x 1 1 x 1 0 1 x 1 0 x 1
1 x
           

 (**) 
Fazendo a interseção de (*) e (**), temos  f gD 0,1 . 
 
 
35) (ITA 1988) Seja f :  uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x 
e y reais com x y tem-se    f x f y . Dadas as afirmações: 
I. f é injetora. 
II. f pode ser uma função par. 
 
MIN
8
y 1.
4a 4 2
  
   

   2 2
1 1
2 2
2x 4x 3 1, x A x log 2x 4x 3 log 1 0          
 
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III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. 
Podemos assegurar que: 
a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
b) apenas as afirmações II e III são falsas. 
c) apenas a afirmação I é falsa. 
d) todas as afirmações são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação II é verdadeira. 
 
RESOLUÇÃO: a 
I. VERDADEIRA 
Sejam 1 2x x , e supondo, sem perda de generalidade, 1 2x x , então    1 2f x f x , 
ou seja,    1 2f x f x , o que implica que f é injetora. 
II. FALSA 
Para que f seja par, devemos ter    f x f x ,  x .  Isso implica que f não é injetora, 
o que já foi demonstrado em I. 
III. VERDADEIRA 
Supondo que exista 1f , então 
               1 11 2 1 2 1 2 1 2x x f x f x f f x f f x f x f x        
Sejam  1 1f x y e  2 2f x y , então 
   1 11 2 1 2y y f y f y ,
    o que implica 1f  é estritamente decrescente. 
 
 
36) (ITA 1989) Os valores de , 0     e ,
2

  para os quais a função f :  
dada por   2 2f x 4x 4x tg    assume seu valor mínimo igual a 4, são 
a) 
4

 e 
3
4

 b) 
5

 e 
2
5

 c) 
3

 e 
2
3

 d) 
7

 e 
2
7

 e) 
2
5

 e 
3
5

 
 
RESOLUÇÃO: c 
Em uma função quadrática, de coeficiente líder positivo, seu vértice é um ponto de 
mínimo. Assim, o valor mínimo de f é dado por 
    2 2 2 2
V
4 4 4 tg
y 4 1 tg 4 tg 3
4a 4 4
      
             

 
0 2
tg 3 ou
3 3
  
         
 
 
37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de um 
elemento. Dada uma função f : A B, definimos L: A A B  por     L a a,f a , 
para todo a A. Podemos afirmar que 
a) A função L sempre será injetora. 
b) A função L sempre será sobrejetora. 
c) Se f for sobrejetora, então L também o será. 
 
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d) Se f não for injetora, então L também não o será. 
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. 
 
RESOLUÇÃO: a 
a) CORRETA 
Inicialmente, observemos que dois pares ordenados são iguais se, se somente se, ambos 
os elementos são iguais. 
Sejam 1 2a ,a A, com          1 2 1 1 2 2 1 2a a a , f a a , f a L a L a ,     o que 
implica L é injetora, independentemente de f. 
b) INCORRETA 
Observe que, para cada primeiro elemento a do par ordenado de L, há um único valor do 
segundo elemento  f a . Como B possui mais de um elemento, se o par ordenado 
  a, f a está na imagem de L, então há pelo menos um par ordenado de primeiro 
elemento a que não está. Logo, L nunca é sobrejetora. 
c) INCORRETA 
Vide a demonstração de b), onde se mostrou que L nunca será sobrejetora. 
d) INCORRETA 
Vide a demonstração de a). L sempre será injetora, independentemente de f. 
e) INCORRETA. 
Vide a demonstração de b), onde se mostrou que L nunca será sobrejetora. 
 
 
38) (ITA 1989) Sejam f ,g :  duas funções tais que 
a) g f :  é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta. 
b) g f :  é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta. 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Sim, f é injetora. 
Supondo por absurdo que f não seja injetora, então existem 1 2x x tais que 
   1 2f x f x . Aplicando a função g nos dois lados da igualdade, temos 
           1 2 1 2g f x g f x g f x g f x .   
Assim, temos existem 1 2x x tais que      1 2g f x g f x , o que implica 
g f :  não é injetora. (ABSURDO). Portanto, f é injetora. 
b) Sim, g é sobrejetora. 
Como g f :  é sobrejetora, então z ,  x  tal que 
     g f x z g f x z.   
Assim, z ,   y f x  tal que     g y g f x z,  o que implica que g é sobrejetora. 
 
 
39) (ITA 1990) Dadas as funções  
x
x
1 e
f x ,
1 e



  x 0  e  g x x sen x, x , 
podemos afirmar que: 
a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar 
c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par. 
 
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e) ambas são ímpares. 
 
RESOLUÇÃO: c 
   
x xx
x x
x
1
1
1 e e 1ef x f x
11 e e 11
e



 
      
 
 f é ímpar 
         g x x sen x x sen x xsen x g x           g é par 
 
 
40) (ITA 1990) Seja f :  a função definida por   2
x 2, se x 1
f x x , se 1 x 1.
4, se x 1
  

   


 
Lembrando que se A  então     1f A x : f x A ,    considere as afirmações: 
(I) f não é injetora e     1f 3,5 4 .  
(II) f não é sobrejetora e      1 1f 3,5 f 2,6 .  
(III) f é injetora e     1f 0, 4 2, .    
Então podemos garantir que: 
a) apenas as afirmações II e III são falsas. 
b) as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) todas as afirmações são falsas. 
 
RESOLUÇÃO: d 
A imagem de y x 2,  com x 1,  é  1Im ,1 .  
A imagem de 2y x , com 1 x 1,   é  2Im 0,1 . 
A imagem de y 4, com x 1, é  3Im 4 . 
Logo, a imagem de f é    f 1 2 3Im Im Im Im ,1 4 .      
(I) FALSA 
f não é injetora, pois    f 2 f 3 4.  
         1f 3,5 x : f x 3,5 1, .      
Note que      f x 3,5 f x 4.   
(II) VERDADEIRA 
f não é sobrejetora, pois    fIm ,1 4 .    
         1f 3,5 x : f x 3,5 1, .      
         1f 2,6 x : f x 2,6 1, .      
     1 1f 3,5 f 2,6   
(III) FALSA 
f não é injetora, pois    f 2 f 3 4.  
 
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               1f 0,4 x : f x 0,4 2, 1 1,1 1, 2,              
 
 
41) (ITA 1990) Seja a função    f : 2 3   definida por  
2x 3
f x 1.
x 2

 

 Sobre 
sua inversa podemos garantir que: 
a) não está definida pois f não é injetora. 
b) não está definida pois f não é sobrejetora. 
c) está definida por  1
y 2
f y , y 3.
y 3
  

 
d) está definida por  1
y 5
f y 1, y 3.
y 3
   

 
e) está definida por  1
2y 5
f y 1, y 3.
y 3
   

 
 
RESOLUÇÃO: e 
 
 2x 3 2 x 2 1 1
f x 1 1 3
x 2 x 2 x 2
  
     
  
 
A função 
1
y
x 2


 é injetora e assume todos os valores reais, exceto 0. 
Assim, f é injetora e sua imagem é  fIm 3 ,  o que implica que f é sobrejetora. 
Portanto, f é bijetora e possui função inversa. 
Vamos encontrar a expressão da inversa. 
 1
1 1 1 1 2y 5
y 3 y 3 x 2 f y x 2 , y 3
x 2 x 2 y 3 y 3 y 3
              
    
 
 
 
42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por: 
 
1, se x 1
f : , f x
0, se x 1
 
  

    
2x 3
g : 1 , g x
x 1

  

 
Sobre a composta      f g x f g x podemos garantir que: 
a) se 
3
x ,
2
   f g x 0 b) se 
3
1 x ,
2
    f g x 1 
c) se 
4
x 2,
3
    f g x 1 d) se 
4
1 x ,
3
    f g x 1 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
      
4f g x 1 g x 1 1 g x 1 x 2
3
         
 
2x 3 x 2
g x 1 1 0 0 1 x 2
x 1 x 1
 
        
 
 
 
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 
2x 3 3x 4 4
g x 1 1 0 0 x 1 ou x
x 1 x 1 3
 
         
 
 
        
4
f g x 0 g x 1 g x 1 ou g x 1 x 1 ou 1 x ou x 2
3
            
Logo, a alternativa c) está correta. 
 
 
43) (ITA 1991) Considere as afirmações: 
I- Se f :  é uma função par e g :  uma função qualquer, então a composição 
g f é uma função par. 
II- Se f :  é uma função par e g :  uma função ímpar, então a composição 
f g é uma função par. 
III- Se f :  é uma função ímpar e inversível então 
1f :  é uma função 
ímpar. 
Então: 
a) Apenas a afirmação I é falsa; 
b) Apenas as afirmações I e II são falsas; 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
d) Todas as afirmações são falsas; 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I – VERDADEIRA 
f é par    f x f x   
           g f x g f x g f x g f x g f      é par 
II – VERDADEIRA 
f é par    f x f x   
g é ímpar    g x g x    
              f g x f g x f g x f g x f g x f g        é par 
III – VERDADEIRA 
f é ímpar    f x f x    
   1f x y f y x   
       1 1 1f x f x y f y x f y f              é ímpar 
 
 
44) (ITA 1991) Sejam a , a 1 e f :  definida por  
x xa a
f x .
2

 A função 
inversa de f é dada por: 
a)  2alog x x 1  , para x 1 . 
b)  2alog x x 1   , para x . 
c)  2alog x x 1  , para x . 
 
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d)  2alog x x 1   , para x 1  . 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
x x 2x
x 2x x
x x
a a 1 1 a 1
y f x a a 2ya 1 0
2 2 a 2a
  
         
 
 
   
2
x 22y 2y 4 1 1a y y 1
2 1
     
    

 
 x x 2 2aa 0 a y y 1 x log y y 1         
Trocando-se as variáveis, temos: 
   1 2
af x y log x x 1 , x
       
 
 
45) (ITA 1991) Seja f :  definida por: 
 
x
2
e , se x 0
f x x 1, se 0 x 1
ln x, se x 1
 

   


 
Se D é um subconjunto não vazio de tal que f : D é injetora, então: 
a) D  e    f D 1,   . 
b)    D ,1 e,    e    f D 1,   . 
c)  D 0,  e    f D 1,   . 
d)  D 0,e e    f D 1,1  . 
e) n.d.a. 
Notação:     f D y : y f x , x D    e ln x denota o logaritmo neperiano de x . 
Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente. 
 
RESOLUÇÃO: b 
   
1
x
1 ff x e , x 0 Im 0,1    
1f é estritamente crescente no intervalo, então é injetiva. 
   
2
2
2 ff x x 1, 0 x 1 Im 1,0       
2f é estritamente crescente no intervalo, então é injetiva. 
 
33 f
f ln x, x 1 Im 0,     
3f é estritamente crescente no intervalo, então é injetiva. 
Observe, entretanto, que as imagens de 1f e 3f possuem interseção não vazia, o que faz 
que a função f com domínio em não seja injetiva. 
a) Para D , f não é injetora. 
b) Para    D ,1 e, ,    f é injetora e    f D 1, .   
 
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Observe o gráfico a seguir: 
 
No domínio    D ,1 e, ,    a função f é injetora. A imagem de D é 
   f D 1, .   
c) Para  D 0, ,  f não é injetora. Note que   0f 0 e 1  e  f e ln e 1,  então
   f 0 f e . 
d) Para  D 0,e , f não é injetora. Como mostrado em c),    f 0 f e . 
 
 
46) (ITA 1992) Considere as funções *f : , g :  e *h :  definidas 
por: 
 
1
x
xf x 3
 
 
  ;  
2g x x ;  
81
h x
x
 . 
O conjunto dos valores de x em * tais que      f g x h f x , é subconjunto de: 
a)  0,3 b)  3,7 c)  6,1 d)  2,2 e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
       
2
2
1
x
2 xf g x f g x f x 3

   
       
1
x
x
1
x
x
81
h f x h f x h 3
3


   
2 2
2
1 1
x y x y 2
x x
      
     
2 2y 2 y 2 4 y 2
y
81
f g x h f x 3 3 3 y 2 4 y
3
           
2y y 6 0 y 3 ou y 2        
21 3 5y x 3 x 3x 1 0 x
x 2
 
          
 
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21y x 2 x 2x 1 0 x 1
x
         
 
3 5
S ,1 6,1
2
  
   
 
 
 
 
47) (ITA 1992) O domínio da função    
 
2
2
2x 3x 1
f x log 3x 5x 2
 
   é: 
a)  
1 3 3
,0 0, 1, ,
2 2 2
     
         
     
 
b) 
1 5 5
, 1, ,
2 2 2
     
        
     
 
c) 
1 1 2 3 3
, , 1, ,
2 2 3 2 2
       
          
      
 
d)    ,0 1,   
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Devemos ter o logaritmando positivo e a base positiva e diferente de 1. Assim, 
2 23x 5x 2 0 x ou x 1
3
      
2 12x 3x 1 0 x ou x 1
2
      
2 2 32x 3x 1 1 2x 3x 0 x 0 e x
2
         
Fazendo a interseção dos três intervalos, temos: 
 f
1 3 3
D ,0 0, 1, , .
2 2 2
     
          
     
 
 
 
48) (ITA 1992) Dadas as funções f :  e g :  ambas estritamente 
decrescentes e sobrejetoras, considere h f g . Então podemos afirmar que: 
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
c) h é estritamente crescente, mas não é necessariamente inversível. 
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como f e g são estritamente decrescentes, então 
       1 2 1 2 1 2x x f x f x g x g x .     
             1 2 1 2 1 2 1 2x x g x g x f g x f g x h x h x       
Logo, h é estritamente crescente e, portanto, injetora. 
Vamos agora provar que h é sobrejetora. 
 
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Como f e g são sobrejetoras, temos: 
 y , x tal que y g x     
 z , y tal que z f y     
   z , y tal que z f y x tal que y g x         
       z , x tal que z f y f g x f g x       
Logo, h é sobrejetora. 
Como h é injetora e sobrejetora, então h é bijetora e, portanto, inversível. 
               1 11 2 1 2 1 2 1 2x x h x h x h h x h h x h x h x        
Fazendo  1 1h x y e  2 2h x y , temos:    
1 1
1 2 1 2y y h y h y ,
    o que 
implica que 1h é estritamente crescente. 
 
 
49) (ITA 1993) Seja f :  uma função não nula, ímpar e periódica de período p. 
Considere as seguintes afirmações: 
I.  f p 0 
II.    f x f x p , x      
III.    f x f x p , x     
IV.    f x f x , x     
Podemos concluir que: 
a) I e II são falsas. b) I e III são falsas. 
c) II e III são falsas. d) I e IV são falsas. 
e) II e IV são falsas. 
 
RESOLUÇÃO: b 
I – FALSA 
f é ímpar        f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0       
f é periódica de período p, então      f 0 f 0 p 0 f p 0     
II – VERDADEIRA 
     f x f x f x p , x        
III – FALSA 
     f x f x f x p , x        
IV – VERDADEIRA 
f é ímpar        f x f x f x f x , x          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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50) (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por 
1
65
 da população de 
Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado 
por:  
kt
B
f t
1 Ce


 onde B é a populaçãoda cidade. Sabendo-se que 
1
9
 da população 
soube do acidente 3 horas após então o tempo que passou até que 
1
5
 da população 
soubesse da notícia foi de: 
a) 4 horas. b) 5 horas. c) 6 horas. 
d) 5 horas e 24 min. e) 5 horas e 30 min. 
 
RESOLUÇÃO: a 
 
k 0
B B B
f 0 1 C 65 C 64
65 651 Ce 
       

 
  3k 3k k k
3k
B B B 1 1
f 3 1 64e 9 e e e 2
9 9 8 21 64e
  

           

 
 
 
kt t t
k
B B B
f t
1 64 e 1 64 21 64 e
  
  
    
 
  t 6 t 2
t
B B
f t 1 64 2 5 2 2 6 t 2 t 4h
51 64 2
 

            
 
 
 
 
51) (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real  f x mx 1  e  g x x m,  
onde m é uma constante real com 0 m 1  , considere as afirmações: 
I.      f g x g f x , para algum x . 
II.    f m g m . 
III. Existe a tal que     f g a f a . 
IV. Existe b tal que   g f b mb. 
V.   0 g g m 3  . 
Podemos concluir que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas quatro são verdadeiras. 
c) apenas três são verdadeiras. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
e) apenas uma é verdadeira. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I – FALSA 
           2f g x f g x f x m m x m 1 mx m 1         
         g f x g f x g mx 1 mx 1 m      
         2 2f g x g f x mx m 1 mx m 1 m m m 0 m 1             
 
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Como 0 m 1,       f g x g f x para todo x e para qualquer valor de m, 
0 m 1.  
II – FALSA 
  2f m m m 1 m 1     
 g m m m 2m   
    2 2f m g m m 1 2m m 2m 1 0 m 1          
Como 0 m 1,  então    f m g m . 
III – FALSA 
    2f g a ma m 1   
      2 2f g a f a ma m 1 ma 1 m 0 m 0          
Como 0 m 1,  então     f g a f a , a.  
IV – FALSA 
    g f b mb m 1   
    g f b mb mb m 1 mb m 1        
Como 0 m 1,  então   g f b mb, b.  
V – VERDADEIRA 
       g g m g g m g 2m 3m   
  0 m 1 0 3m 3 0 g g m 3        
 
 
52) (ITA 1995) Seja a função f :  definida por 
a x se x
2 2
f (x)
a
sen x se x
2 x 2
   
     
   

 
onde a 0 é uma constante. Considere   K y ; f y 0   . Qual o valor de a , 
sabendo-se que f K
2
 
 
 
? 
a) 
2
4

 b) 
2

 c)  d) 
2
2

 e) 
2 
 
RESOLUÇÃO: d 
f K f f 0
2 2
      
      
    
 
a 2a
f sen
2 2 2 2 2 2
     
      
   
, pois a 0 
22a 2a 2a 2a
f f f a a 0 0 a
2 2 2 2 2
             
                    
           
 
 
 
 
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53) (ITA 1996) Seja f :  definida por  
2
3x 3, x 0
f x
x 4x 3, x 0
 
 
  
. Então: 
a) f é bijetora e    1
2
f f f 21
3
   
 
. 
b) f é bijetora e    1
2
f f f 99
3
   
 
. 
c) f é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) f é injetora, mas não é sobrejetora. 
e) f é bijetora e    1
2
f f f 3
3
   
 
. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos traçar o gráfico de  
2
3x 3, x 0
f x
x 4x 3, x 0
 
 
  
. 
 
Observando o gráfico, concluímos que f é bijetora, pois retas horizontais traçadas por 
todo o contradomínio   interceptam o gráfico da função em exatamente um ponto. 
Note que isso ocorre, pois a abscissa x 0 está depois do vértice da função quadrática 
V
4
x 2
2 1

  

. 
Vamos agora calcular  
2
f f
3
 
 
 
. 
    2
2 2 2
f f f f f 3 3 f 1 1 4 1 3 8
3 3 3
        
                    
        
 
 
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Agora vamos identificar que número tem imagem 8 pela função 1f  , ou seja, y tal que 
 1f y 8  . 
   1 2f y 8 f 8 y y 8 4 8 3 99          . 
Portanto,  1f 99 8  , o que implica    1
2
f f f 99
3
   
 
. 
 
 
54) (ITA 1996) Considere as funções reais f e g definidas por  
2
1 2x
f x ,
1 x



 
 x 1,1   e  
x
g x ,
1 2x


  1x .
2
   O maior subconjunto de onde pode 
ser definida a composta f g, tal que   f g x 0, é: 
a) 
1 1 1
1, ,
2 3 4
   
       
   
 b)  
1 1
, 1 ,
3 4
 
     
 
 
c)  
1
, 1 ,1
2
 
    
 
 d)  1, 
e) 
1 1
,
2 3
 
  
 
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como      f g x f g x , devemos ter 
1
x
2
  e 
 
x 1
g x 1 1 x 1 x .
1 2x 3
          

 
Seja  g x y, então temos:        
2
1 2y
f g x 0 f g x 0 f y 0 0.
1 y

      

 
Vamos resolver a desigualdade pelo método dos intervalos. 
 
Assim, temos: 
1
1 y
2
    ou y 1 . 
Como  
x
y g x
1 2x
 

, temos: 
 
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 
x 1
1
1 2x 2
x x 1 3x 1 1
1 1 0 0 x x
1 2x 1 2x 1 2x 2 3
x 1 x 1 1 4x 1 1
0 0 x
1 2x 2 1 2x 2 2 1 2x 2 4
1 1
x
3 4
    


               
 
            
   
    
 
x x 1 x 1
1 1 0 0 1 x
1 2x 1 2x 1 2x 2
 
         
  
 
Portanto, o maior subconjunto de que satisfaz as condições do enunciado é 
1 1 1
S 1, ,
2 3 4
   
        
   
. 
 
 
55) (ITA 1996) Seja 
*f :   uma função injetora tal que  f 1 0 e 
     f x y f x f y   para todo x 0 e y 0. Se 1x , 2x , 3x , 4x e 5x formam nessa 
ordem uma progressão geométrica, onde ix 0 para i 1,2,3,4,5 e sabendo que 
     
5
i 1
i 1
f x 13f 2 2f x

  e  
4
i
1
i 1 i 1
x
f 2f 2x ,
x 
 
   
 
 então o valor de 1x é: 
a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 
 
RESOLUÇÃO: b 
Como ix 0 para i 1,2,3,4,5 , então a progressão geométrica tem razão positiva q. 
           
   
1 1 1
f x y f x f y f q f q f f 1 f q f
q q q
1 1
f q f 0 f f q
q q
     
              
     
   
        
   
 
Como i
i 1
x 1
,
x q
 então 
     
       
   
4 4 4
i
1 1 1
i 1 i 1 i 1i 1
1
1 1 1
x 1 1
f 2f 2x f 2f 2x f 1 2f 2x
x q q
f 2 f x1 1 1 1
4f 2f 2x f f 2x f q f 2x
q q 2 2 2
  
     
               
    
   
           
   
 
 
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                   
             
                 
         
   
   
           
5
i 1 1 2 3 4 5 1
i 1
2 3 4
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
f x 13f 2 2f x f x f x f x f x f x 13f 2 2f x
f x f x q f x q f x q f x q 13f 2 2f x
f x f x f q f x 2f q f x 4f q 13f 2 2f x
f 2 f x
5f x 10f q 13f 2 2f x 5f x 10 13f 2 2f x
2
5f x 5f 2 5f x 13f 2 2f x f x f

        
      
         

        
        2
 
Como f é injetora, então 1x 2. 
 
 
56) (ITA 1997) Sejam f ,g :  funções tais que  g x 1 x  e 
     3f x 2f 2 x x 1    , para todo x . Então,   f g x é igual a 
a)  
3
x 1 b)  
3
1 x c) 3x d) x e) 2 x 
 
RESOLUÇÃO: c 
Substituindo x por 2 x na expressão      
3
f x 2f 2 x x 1    , temos: 
             3 3f 2 x 2f 2 2 x 2 x 1 f 2 x 2f x 1 x            . 
Vamos então resolver o sistema seguinte: 
     
     
     
     
3 3
3 3
f x 2f 2 x x 1 f x 2f 2 x x 1
2f x f 2 x 1 x 4f x 2f 2 x 2 1 x
         
 
          
 
Somando as duas igualdades, temos: 
               3 3 3 3 3 33f x x 1 2 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x f x 1 x                
Assim,        
3 3f g x f 1 x 1 1 x x      . 
 
 
57) (ITA 1997) O domínio D da função  
 2 2
2
x 1 x
f x ln
2x 3 x
 
      
    
 é o conjunto 
a)  D x :0 x 3 2     
b)  D x : x 1 ou x      
c)  D x :0 x 1 ou x      
d)  D x : x 0   
e)  D x : 0 x 1 ou x 3 2        
 
RESOLUÇÃO: e 
Para que a função  
 2 2
2
x 1 x
f x ln
2x 3 x
 
      
    
 esteja definida, o logaritmando deve 
estar bem definido e ser positivo. Assim, temos: 
 
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 
 
2 2
2
2 2 2
2
x 1 x
0
2x 3 x
1 1
x 1 x 0 x x 1 0 x x
3 3
2x 3 x 0 2x x 0 0 x
2 2
1 3
0 x x
2
     
 
  
  
                      
 
               

      

 
Portanto,  D x :0 x 1 ou x 3 2 .        
 
 
58) (ITA 1997) Se e  representam, respectivamente, o conjunto dos números 
racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f ,g :  
definidas por 
0, se x
f (x)
1, se x

 

 
1, se x
g(x)
0, se x

 

 
Seja J a imagem da função composta f g : . Podemos afirmar que: 
a) J  b) J  c)  J 0 d)  J 1 e)  J 0,1 
 
RESOLUÇÃO: c 
Se x , então        f g x f g x f 1 0   , pois 1 . 
Se x I , então        f g x f g x f 0 0   , pois 0 . 
Logo,  
 
f gJ Im 0 .  
 
 
59) (ITA 1998) Sejam as funções f :  e g : A   , tais que   2f x x 9  e 
  f g x x 6  , em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: 
a)  3,  b) c)  5,  
d)    , 1 3,    e) , 6   
 
RESOLUÇÃO: a 
             
2 2
f g x f g x g x 9 x 6 g x x 3 g x x 3            
O domínio mais amplo da função  g x x 3   é dado por x 3 0 x 3     . Logo, 
 gA D 3,    . 
 
 
 
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60) (ITA 1998) Seja f :  a função definida por  
xf x 3a  , onde a é um número 
real, 0 a 1  . Sobre as afirmações: 
(I)      f x y f x f y  , para todo x, y . 
(II) f é bijetora. 
(III) f é crescente e     f 0, 3,0   . 
Podemos concluir que: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
 
RESOLUÇÃO: e 
(I) FALSA 
       x yx y x y f x f y3a 3af (x y) 3a 3a a
3 3
          
 
 
(II) FALSA 
A imagem de f é * e seu contradomínio é , logo a f não é sobrejetora e, portanto, 
não é bijetora. 
(III) 
A função exponencial de base 0 a 1  é decrescente. Multiplicando uma função 
decrescente por 3 , a função resultante é crescente. Logo,  
xf x 3a  é crescente. 
Se 0 a 1  , temos: 
 0 x x x0 x a a 0 1 a 0 3 3a 0 3 f x 0                
Logo,     f 0, 3,0   . 
Isso também pode ser observado esboçando-se o gráfico de f . 
 
 
 
 
 
 
 
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61) (ITA 1998) Seja f :  a função definida por  f x 2sen 2x cos2x  . Então: 
a) f é ímpar e periódica de período  . 
b) f é par e periódica de período 2 . 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período  . 
d) f não é par e é periódica de período 4 
e) f não é ímpar e não é periódica. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
2 1
f x 2sen 2x cos 2x 5 sen 2x cos 2x
5 5
 
    
 
 
Seja  tal que 
2
cos
5
  e 
1
sen
5
  , então 
     f x 5 sen 2x cos sen cos 2x 5 sen 2x     
Análise da paridade: 
 f 5 sen 2 5 sen 2 5 sen 2
2 2
      
             
    
 
 f 5 sen 2 5 sen 0 0
2 2
    
       
   
 
Como 
1 2 4
sen 2 2sen cos 2 0
55 5
         , então f f
2 2
    
    
   
 e 
f f
2 2
    
     
   
. 
Logo, f não é par e nem ímpar. 
Cálculo do período: 
2
P
2

   . 
 
 
62) (ITA 1999) Considere as funções f e g definidas por  
2
f x x
x
  , para x 0 e 
 
x
g x
x 1


, para x 1  . O conjunto de todas as soluções da inequação 
    g f x g x é: 
a)  1, b)  , 2  c)  2, 1  
d)  1,1 e)    2, 1 1,    
 
RESOLUÇÃO: e 
 
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         
 
 
  
       
2 2
2
3 2 3 2
2
x
f x x xxg f x g x g f x g x
2f x 1 x 1 x 1
x 1
x
x 2 x x 2 x
0
x 1 x 2 x 1 x 1x x 2
x x 2x 2 x x 2x 2
0 0
x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1

       
  
 
 
     
    
      
   
     
 
Vamos resolver a equação pelo método dos intervalos. 
 
Portanto, o conjunto solução da inequação é    S 2, 1 1, .     
 
 
63) (ITA 1999) Sejam f ,g,h :  funções tais que a função composta 
h g f :  é a função identidade. 
Considere as afirmações: 
I. A função h é sobrejetora. 
II. Se 0x  é tal que  0f x 0 , então  f x 0 para todo x com 0x x . 
III. A equação  h x 0 tem solução em . 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
RESOLUÇÃO: d 
      h g f x x h g f x x   
I. VERDADEIRA 
Seja y (contradomínio de h ), então existe   x g f y tal que 
     h x h g f y y  . Logo, a função h é sobrejetora. 
II. VERDADEIRA 
Supondo por absurdo que exista 1 0x x tal que    1 0f x f x 0  . Então, 
       1 2g f x g f x g 0  e           1 0h g f x h g f x h g 0  . Mas, como 
 h g f é a função identidade, temos   1 2x x h g 0  , o que é um absurdo. Logo, 
não existe 1 0x x tal que    1 0f x f x 0  , ou seja,  f x 0 , para todo 0x x . 
III. VERDADEIRA 
 
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Como    h g f 0 0 , a solução da equação  h x 0 é   x g f 0 . Outra maneira de 
concluir que a equação  h x 0 tem sempre solução é observar que a função h é 
sobrejetora, ou seja, todo elemento do contradomínio (em particular o 0 ) é imagem de 
algum elemento do domínio (raiz da equação). 
 
 
64) (ITA 1999) Sejam f ,g :  funções definidas por  
x
3
f x
2
 
  
 
 e  
x
1
g x .
3
 
  
 
 
Considere as afirmações: 
I. Os gráficos de f e g não se interceptam. 
II. As funções f e g são crescentes. 
III.        f 2 g 1 f 1 g 2     
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é falsa. 
b) Apenas a afirmação (III) é falsa. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. 
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I. FALSA 
   
x x x
3 1 9
f x g x 1 x 0
2 3 2
     
          
    
 
Portanto, os gráficos de f e g interceptam-se no ponto  0,1 . 
II. FALSA 
As funções exponenciais de base maior do que 1 são crescentes e as de base entre 0 e 1 
são decrescentes. Portanto, f é uma função crescente e g uma função decrescente. 
III. FALSA 
   
   
2 1 2
2
1 2
2
3 1 2 4
f 2 g 1 3
2 3 33
3 1 2
f 1 g 2 3 6
2 3 3
 
 
   
         
   
   
         
   
 
 
 
65) (ITA 2000) Considere f :  definidapor  
x
f x 2sen3x cos .
2
 
   
 
 Sobre 
f podemos afirmar que: 
a) é uma função par. 
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 . 
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4 3. 
d) é uma função periódica de período fundamental 2 . 
e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 
 
RESOLUÇÃO: b 
 
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 
x x x
f x 2sen3x cos 2sen3x cos 2sen3x sen
2 2 2 2
    
         
   
 
Análise da paridade: 
     
x x x
f x 2sen 3x sen 2sen3x sen 2sen3x sen f x
2 2 2
   
               
   
 
Logo, f é uma função ímpar. 
É possível chegar a essa mesma conclusão a partir do fato de f ser uma diferença de duas 
funções ímpares, que também é uma função ímpar. 
Obtenção do período: 
O período de 2sen3x é 
2
3

; e o período de 
x
sen
2
 é 
2
4
1 2

  . Como 
2
6 4 1
3

   e 
 mdc 6,1 1 , então o período de  
x
f x 2sen3x sen
2
  é 4 . 
 
 
66) (ITA 2000) Sejam f ,g :  definidas por   3f x x e   3cos5xg x 10 . Podemos 
afirmar que 
a) f é injetora e par e g é ímpar. 
b) g é sobrejetora e g f é par. 
c) f é bijetora e g f é ímpar. 
d) g é par e g f é ímpar. 
e) f é ímpar e g f é par. 
 
RESOLUÇÃO: e 
A função f :  dada por  
3f x x é injetora (pois é monótona crescente) e 
sobrejetora (pois para todo real y , existe 3x y tal que  f x y ), o que implica que a 
mesma é bijetora. 
Como a função cosseno é periódica e limitada, a função g :  não é injetora e nem 
sobrejetora. 
Como      
3 3f x x x f x       , então f é uma função ímpar. 
Como  
   3cos5 x 3cos5xg x 10 10 g x    , então g é uma função par. Note que isso 
decorre do fato da função cosseno ser uma função par. 
Vamos analisar a paridade de g f : 
              g f x g f x g f x g f x g f x ,       ou seja, g f é uma função 
par. 
Portanto, a única alternativa correta é a letra (e). 
 
 
 
 
 
 
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67) (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função 
 
   
   
2 2
2 2
x 2m 3 x m 3
f x
x 2m 1 x m 2
   

   
 está definida e é não negativa para todo x real é: 
a)
1 7
,
4 4
 
 
 
 b) 
1
,
4
 
 
 
 c) 
7
0,
4
 
 
 
 d) 
1
,
4
 
 
 
 e) 
1 7
,
4 4
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para que f esteja definida para todo x , devemos ter    2 2x 2m 1 x m 2 0,     
x .  Isso ocorre se, e somente se, 
   2 2 72m 1 4 1 m 2 0 4m 7 0 m
4
             . 
Para que f seja não negativa para todo x , devemos ter 
   2 2x 2m 3 x m 3 0,     x .  Isso ocorre se, e somente se, 
   2 2 12m 3 4 1 m 3 0 12m 3 0 m
4
             . 
Como as duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente, então devemos ter 
1
m
4
 , ou seja, 
1
m ,
4
 
  
 
. 
 
 
68) (ITA 2001) Considere as funções  
x5 7
f x
4

 ,  
x5 7
g x
4

 e h(x) arc tg(x). 
Se a é tal que      h f a h g a
4

  , então    f a g a vale: 
a) 0 b) 1 c) 
7
4
 d) 
7
2
 e) 7 
 
RESOLUÇÃO: d 
       h f a arc tg f a tg f a ,
2 2
  
        
 
 
       h g a arc tg g a tg g a ,
2 2
  
        
 
 
         
tg tg
tg tg 1 1 f a g a 1 f a g a
4 4 1 tg tg
   
            
  
 
a a a a 2a
2a 2
5 7 5 7 5 7 5 7 5 25 7
1 1
4 4 4 4 2 16
7 49 7 a 1
             
                 
         
    
 
       
1 15 7 5 7 1
f a f 1 3 g a g 1
4 4 2
 
         
       
1 7
f a g a f 1 g 1 3
2 2
 
        
 
 
 
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69) (ITA 2001) Se  f : 0,1  é tal que,  x 0,1 ,   
1
f x
2
 e 
 
1 x x 1
f x f f
4 2 2
     
     
    
 então a desigualdade válida para qualquer n 1,2,3, e 
0 x 1  é: 
a)  
n
1 1
f x
22
  b)  
n
1 1
f x
22
  
c)  
n 1
1 1
f x
22 
  d)  
n
1
f x
2
 
e)  
n
1
f x
2
 
 
RESOLUÇÃO: e 
   
 
 *
1
f x , x 0,1
2
1 x x 1 1 x x 1 1 1 1 1
f x f f f f
4 2 2 4 2 2 4 2 2 4
  
             
                    
            
 
No passo  * foi usada a desigualdade triangular. 
   
 
 *
1
f x , x 0,1
4
1 x x 1 1 x x 1 1 1 1 1
f x f f f f
4 2 2 4 2 2 4 4 4 8
  
             
                    
            
 
Vamos provar por indução finita que  
n
1
f x
2
 , n  . 
1°) n 1 :  
1
f x
2
 é dado do enunciado 
2°) Hipótese de indução:  
k
1
f x
2
 ,  x 0,1  
3°) 
   
 
 
k
*
k k k 1
1
f x , x 0,1
2
1 x x 1 1 x x 1 1 1 1 1
f x f f f f
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 
  
             
                    
           
 
Portanto, pelo princípio da indução finita, temos  
n
1
f x
2
 , n  (C.Q.D.). 
Note que essa desigualdade implica que  f x 0 ,  x 0,1 .  
 
 
 
 
 
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70) (ITA 2002) Seja  f : P dada por    f x y ; sen y x   . Se A é tal que 
 f x  , x A  , então 
a)  A 1,1  . b)  A a,  , a 1  . 
c)  A a,  , a 1  . d)  A ,a  , a 1   . 
e)  A ,a  , a 1   . 
Nota: Se X é um conjunto,  P X denota o conjunto de todos os subconjuntos de X . 
 
RESOLUÇÃO: b 
y sen y 1    
   f x , x A sen y x, x A y x 1 A a, , a 1                
 
 
71) (ITA 2002) Sendo par a função dada por  
ax b
f x
x c



, c x c   , então  f x , para 
c x c   , é constante e igual a 
a) a b b) a c c) c d) b e) a 
 
RESOLUÇÃO: e 
Como f é par, então    f x f x  ,  x c,c   . Assim, temos 
   
 
 
   
 
2 2a x b ax bf x f x ax b ac x bc ax b ac x bc
x c x c
b ac b ac b ac 0 b ac
  
             
  
         
 
 
 ax b ax ac a x c
f x a
x c x c x c
  
   
  
 
 
 
72) (ITA 2003) Mostre que toda função  f : \ 0 , satisfazendo 
     f xy f x f y  em todo seu domínio, é par. 
 
RESOLUÇÃO: 
       
            
            
f 1 1 f 1 f 1 f 1 0
0 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 0
f x f 1 x f 1 f x 0 f x f x
    
           
          
 
Logo, f é par. 
 
 
73) (ITA 2003) Considere uma função f :  não constante e tal que 
     f x y f x f y   , x, y  . Das afirmações: 
I.  f x 0 , x  . 
II.     
n
f nx f x , x  , *n  . 
III. f é par. 
é (são) verdadeira(s): 
 
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a) apenas I e II. b) apenas II e III. c) apenas I e III. 
d) todas. e) nenhuma. 
 
RESOLUÇÃO: a 
I. VERDADEIRA 
Se existe y tal que  f y 0 , então temos: 
            f 0 f y y f y f y 0 f y 0 f 0 0            
       x , f x 0 f x f 0 f x 0 0 f         é constante, o que contraria o 
enunciado. 
Portanto, não existe y tal que  f y 0 , ou seja,  f x 0 , x  . 
 
2
x x x x x
f x f f f f 0
2 2 2 2 2
        
                     
. 
II. VERDADEIRA 
Pelo Princípio da Indução Finita, temos: 
1°)     
1
n 1: f 1 x f x   
2°) Hipótese de indução:     
n
f nx fx 
3°) Provar para n 1 : 
                n n 1f n 1 x f nx x f nx f x f x f x f x

        . 
Logo,     
n
f nx f x , *n  , como queríamos demonstrar. 
III. FALSA 
           
 
 
f x 0
f x 0 f x f 0 f x f x f 0 f 0 1

        
Supondo que f seja par, então    f x f x  , x  . Portanto, 
               
 
 
2
f x 0
f x x f x f x f 0 f x f x f x 1
f x 1, x

         
   
 
Logo, f é constante, o que contraria o enunciado. Portanto, f não é par. 
 
 
74) (ITA 2004) Sejam as funções f e g definidas em por   2f x x x  e 
   2g x x x   em que  e  são números reais. Considere que estas funções são 
tais que 
f g 
valor 
mínimo 
ponto de 
mínimo 
valor 
máximo 
ponto de 
máximo 
1 0 9 4 0 
Então a soma dos valores de x para os quais   f g x 0 é igual a: 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 
 
RESOLUÇÃO: d 
 
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A tabela do enunciado diz que a função   2f x x x  assume valor mínimo 1 em um 
ponto de abscissa negativa, ou seja, 
MÍNx 0 02 1 2
 
      

. 
Assim, 
 2 2
2
MÍN
4 1 0
y 1 4 2
4 1 4
    
            

. 
Como 0  , então 2  e  
2f x x 2x  . 
Da mesma forma, a função    2g x x x   assume valor máximo 9
4
 em um ponto de 
abscissa positiva, ou seja, 
 
 MÁX
x 0 0
2 1 2
 
      
 
. 
Assim, 
   
 
2
2
MÁX
4 1 0 9
y 9 3
4 1 4
             
 
. 
Como 0  , então 3   e   2g x x 3x   . 
              
2
f g x 0 f g x 0 g x 2 g x 0 g x 0 g x 2            
  2g x 0 x 3x 0 x 0 x 3         
  2 2g x 2 x 3x 2 x 3x 2 0           
Essa última equação possui duas raízes reais distintas     23 4 1 2 17 0 ,         
cuja soma é 
 3
S 3
1

   . 
Então, a soma dos valores de x para os quais   f g x 0 é igual a 0 3 3 6.   
 
 
75) (ITA 2004) Considere a função f :  ,  f x 2cos x 2isen x  . Então, 
x, y  , o valor do produto    f x f y é igual a 
a)  f x y b)  2f x y c)  4i f x y  
d)  f xy e)    2f x 2i f y  
 
RESOLUÇÃO: b 
   f x 2cosx 2isen x 2 cosx isen x 2cisx     
         f x f y 2cis x 2cis y 4cis x y 2 2cis x y 2f x y         
 
 
76) (ITA 2005) Seja  D / 1 e f : D D uma função dada por  
x 1
f x
x 1



. 
Considere as afirmações: 
I  f é injetiva e sobrejetiva. 
II  f é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III   
1
f x f 0
x
 
  
 
, para todo x D , x 0 . 
IV     f x f x 1   , para todo x D . 
 
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Então, são verdadeiras: 
a) apenas I e III b) apenas I e IV c) apenas II e III 
d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV 
 
 
RESOLUÇÃO: a 
1°) 
    1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
x 1 x 1
f x f x x x x x 1 x x x x 1 x x
x 1 x 1
 
            
 
 
Logo, f é injetiva. 
2°) Seja  y D / 1  , então  
x 1 y 1
y f x yx y x 1 x ,
x 1 y 1
 
       
 
 com y 1
. 
Assim,  y D / 1   , x D  tal que  y f x . Logo, f é sobrejetiva. 
3°)  
1
1
1 x 1 x 1 1 xxf x f 0
1x x 1 x 1 1 x
1
x

   
      
    
 
4°)    
 
 
x 1x 1 x 1 x 1
f x f x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
    
      
     
, x 1  . 
Entretanto,  f x não está definida para todo  x D \ 1  , pois para x 1  , tem-se 
   f x f 1  que não está definida. 
Portanto, a análise das afirmativas resulta: I (V); II (F); III (V); IV (F). 
 
 
77) (ITA 2006) Seja  f : 0,1  definida por  
2x, 0 x 1 2
f x
2x 1, 1 2 x 1
 
 
  
. 
Seja  g : 1 2,1 2  dada por  
 
 
f x 1 2 , 1 2 x 0
g x
1 f x 1 2 , 0 x 1 2
    
 
   
, com f definida 
acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
 
RESOLUÇÃO: 
Se  
1 1 1 1 1
x 0 0 x g x f x 2 x 2x 1
2 2 2 2 2
   
                 
   
. 
Se  
1 1 1 1 1
0 x x 1 g x 1 f x 1 2 x 1 2x 1
2 2 2 2 2
    
                         
. 
Se 
1 1
0 x x 0
2 2
      
         g x 2 x 1 2x 1 g x 2x 1 g x g x .                
Se 
1 1
x 0 0 x
2 2
       
         g x 2 x 1 2x 1 g x 2x 1 g x g x .               
 
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Como    g 0 g 0  , então temos que    g x g x  para todo 
1 1
x ,
2 2
 
  
 
, o que 
implica que g é uma função par. 
 
 
78) (ITA 2008) Seja    2f x ln x x 1   , x . Determine as funções h,g :  
tais que      f x g x h x  , x  , sendo h uma função par e g uma função ímpar. 
 
RESOLUÇÃO: 
f (x) g(x) h(x)  , x  
h(x) é par h(x) h( x), x     
g(x) é ímpar g(x) g( x), x .     
Assim, para todo real x, temos: 
     
         
 
   
 
   
f x g x h x
f x g x h x g x h x
f x f x f x f x
h x g x
2 2
  

       
   
   
 
Neste caso, de fato, h é par e g é ímpar. 
Assim, temos: 
      
  
2 2 2 2
2 2 4 2
1 1
h(x) ln x x 1 ln x x 1 ln x x 1 x x 1
2 2
ln x x 1 x x 1 ln x x 1
                 
       
 
   
2 2
2 2
2 2
1 1 x x 1 x x 1
g(x) ln x x 1 ln x x 1 ln ln .
2 2 x x 1 x x 1
               
     
 
 
 
79) (ITA 2008) Um intervalo real D tal que a função f : D definida por 
   2f x ln x x 1   é injetora, é dado por 
a) b) ( ,1] c)  0,1/2 d)  0,1 e) [1/ 2, ) 
 
RESOLUÇÃO: c 
Inicialmente observemos que 2x x 1 0, x     , logo  2ln x x 1  sempre está 
definido. 
 
   
   
2 2 2
2 2 2
ln x x 1 , para ln x x 1 0 x x 1 1 x 0 ou x 1
f x
ln x x 1 , para ln x x 1 0 0 x x 1 1 0 x 1
            
 
             
 
1º caso: para x 0 ou x 1 temos    2f x ln x x 1   
Sejam  A ,0  e  B 1,  . Nesses conjuntos, a função   2h x x x 1   é injetiva. 
Logo, f é injetiva dado que ln x também é injetiva. 
Assim, qualquer subconjunto de A ou B faz com que f seja injetiva. 
 
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2º caso: para 0 x 1  temos    2f x ln x x 1    
Dado que 
1
x
2
 é o eixo de simetria de   2h x x x 1   então sejam, agora, 
1
C 0,
2
 
  
 
 
e 
1
D ,1
2
 
  
 
. 
Do mesmo modo que no 1º caso, qualquer subconjunto de C ou D faz com que f seja 
injetiva. 
Como o intervalo da alternativa c é o próprio conjunto C, ele satisfaz às condições 
impostas. 
A seguir, encontra-se o gráfico de    2f x ln x x 1   , onde é possível identificar 
intervalos onde a função é injetiva e também que as opções (a), (b), (d) e (e) estão erradas. 
 
 
 
80) (ITA 2009) Seja  f : \ 1  definida por  
2x 3
f x
x 1



. 
a) Mostre que f é injetora. 
b) Determine     D f x ;x \ 1   e  1f : D \ 1   . 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Sejam  1 2x ,x \ 1  tais que    1 2f x f x . 
         1 21 2 1 2 2 1
1 2
2x 3 2x 3
f x f x 2x 3 x 1 2x 3 x 1
x 1 x 1
 
         
 
 
1 2 1 2 1 2 2 1 1 22x x 2x 3x 3 2x x 2x 3x 3 x x          
Logo, f é injetora. 
b) O enunciado solicita que se identifique D que é a imagem da função f e, 
consequentemente, domínio de 1f  e também a expressão de 1f  . 
Sabe-se que y D se, e somente se, existe x 1  tal que 
 
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   
2x 3 y 3
y f x xy y 2x 3 x 2 y y 3 x
x 1 2 y
 
           
 
, para y 2 . 
Note que x existe se, e somente se, y 2. 
Assim,  D \ 2 , e  1f : D \ 1   é definida por 1
3 y
f (y)
y 2
 

. 
Observe que utilizamos a relação    1f x y f y x   . 
 
 
81) (ITA 2009) Seja  f : \ 0 uma função satisfazendo às condições: 
     f x y f x f y   , para todo x, y e  f x 1 , para todo  x \ 0 . 
Das afirmações: 
I. f pode ser ímpar. 
II.  f 0 1 . 
III. f é injetiva. 
IV. f não é sobrejetiva, pois  f x 0 para todo x . 
é (são) falsa(s) apenas 
a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I. FALSA 
f é ímpar se, e somente se,    f x f x   para todo x pertencente ao domínio de f. 
 
2
x x x x x
f f f f x f 0, x
2 2 2 2 2
        
               
        
 
Logo, f não pode ser ímpar. 
II. VERDADEIRA 
       f x 0 f x f 0 f 0 1     , pois  f x 0 
III. VERDADEIRA 
        
 
1
f y y f y f y 1 f y
f y
         
       
 
 
   
x y x y 0 f x y 1 f x y f x f y 1
1
f x 1 f x f y
f y
            
    
 
Logo, f é injetiva. 
IV. VERDADEIRA 
 
2
x x x x x
f f f f x f 0, x
2 2 2 2 2
        
               
        
 
Dessa forma, a imagem de f está contida em 
*
 sendo, portanto, diferente do seu 
contradomínio. 
Logo, f não é sobrejetiva. 
 
 
 
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82) (ITA 2010) Seja f :  bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa 
1f :  também é ímpar: 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja y , então   1f x y f (y) x   . 
Isso implica que     1 1f f x f y x   . 
A função f é ímpar, logo f ( x) f (x) y     . 
     1 1 1 1f ( y) f f x f f x x f (y)             
Assim, para qualquer y , 1 1f ( y) f (y)    , logo, 1f :  é uma função ímpar. 
(C.Q.D.) 
 
 
83) (ITA 2010) Analise se a função f :  , 
x x3 3
f (x)
2

 é bijetora e, em caso 
afirmativo, determine a função inversa 1f  . 
 
RESOLUÇÃO: 
Para provar que f é bijetora, vamos provar que é injetora e sobrejetora. 
• f é injetora     1 2 f 1 2 1 2x , x D , f x f x x x      
   
      
 
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
x x x x
x x
1 2 x x
2x x x x 2x x 2x x x 2x x x
*
x x x x x x x x x x
x x x x
1 2
3 – 3 3 – 3 1 1
f x f x 3 3
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 0
3 3 3 3 3 0 3 3 3 1 0
3 3 0 3 3 x x
 
   
 
       
         
         
      
 
Note que (*) se justifica, pois 1 2
x x
3 1 0

  , 1 2x , x  . 
Portanto, f é injetora. 
Essa conclusão poderia ser obtida se observarmos que  
x3
g x
2
 e  
x
1
h x
2 3
 

 são 
funções estritamente crescentes, o que implica que      
x x3 3
f x g x h x
2

   
também é estritamente crescente e, portanto, injetora. 
• f é sobrejetora f fy CD , x D    tal que  y f x 
Seja fy CD  , vamos tentar identificar fx D  tal que  y f x . Assim, temos: 
x x
x 2x x
x
2
x 2
3 3 1
y 2y 3 3 2y 3 1 0
2 3
2y 4y 4
3 y y 1
2

        
 
    
 
 
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Observe que na resolução da equação do segundo grau em x3 , o discriminante 
24y 4   é sempre positivo, então a equação sempre possui raízes reais. 
Note, entretanto, que x3 0 para todo x , o que implica que a solução 
x 23 y y 1 0    não é válida. 
Dessa forma, temos:  x 2 233 y y 1 x log y y 1       . 
Portanto, fy CD   ,  23 fx log y y 1 D      , tal que  y f x , o que 
implica que f é sobrejetora. 
Como f é injetora e sobrejetora, então f é bijetora. 
Para determinar a expressão da função inversa, basta lembrar que 
   1 23f y x log y y 1     . 
Trocando a variável na expressão da função inversa, temos:    1 23f x log x x 1 ,    
com x . 
 
 
84) (ITA 2010) Sejam f ,g :  tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes 
afirmações: 
 I. f g é ímpar, 
 II. f g é par, 
III. g f é ímpar, 
É (são) verdadeiras(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas 
 
RESOLUÇÃO: d 
f :  é par    x , f x f x    
g :  é ímpar    x , g x g x     
I. VERDADEIRA 
                  f g x f x g x f x g x f x g x f g x                
Logo, f g é ímpar. 
II. VERDADEIRA 
              f g x f g x f g x f g x f g x       
Logo, f g é par. 
III. FALSA 
           g f x g f x g f x g f x     
Logo, g f é par. 
 
 
 
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85) (ITA 2010) Considere conjuntos A,B e  C A B  . Se A B , A C e 
B C são domínios das funções reais definidas por  ln x   , 2x 6x 8   e 
x
5 x


, respectivamente, pode-se afirmar que 
a) C ,5    b)  C 2,  c) C [2,5[ . 
d) C [ ,4]  e) C não é intervalo. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Domínio de  ln x   : x 0 x A B ,          
 
 
Domínio de 
2x 6x 8   :  2x 6x 8 0 2 x 4 A C 2,4          
Domínio de 
x
5 x


:  
x
0 e 5 x 0 x 5 B C ,5
5 x

        

 
     C C (A B) (C A) (C B) 2,4 ,5 2,5           
Note que  C 2,5 A B ,        . 
 
 
86) (ITA 2012) Analise se f :  ,  
2
2
3 x , x 0
f x
3 x , x 0
  
 
 
 é bijetora e, em caso 
afirmativo, encontre 
1f :  . 
 
1ª RESOLUÇÃO: 
Vamos inicialmente provar que f é sobrejetora. 
2y 3 y 3 x x y 3 0        
     
2
f y 3 3 y 3 3 y 3 3 y 3 y            
2y 3 y 3 x x 3 y        
     
2
f 3 y 3 3 y 3 3 y 3 3 y y              
Logo, para todo y , existe x tal que  y f x o que implica que f é sobrejetora. 
Vamos agora provar que f é injetora. 
       2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2x x 0 f x f x 3 x 3 x x x 0           
       2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2x 0 x f x f x 3 x 3 x x x 0           
       2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 10 x x f x f x 3 x 3 x x x 0           
Logo, para quaisquer 1 2 fx , x D ,    1 2 1 2x x f x f x   , o que implica que f é 
injetora. 
Como f é sobrejetora e injetora, então f é bijetora. 
Para a obtenção da expressão de 1f  vamos fazer uso das expressões desenvolvidas na 
demonstração da sobrejetividade. 
 
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   1y 3 f y 3 y f y y 3       
   1y 3 f 3 y y f y 3 y         
Isso também pode ser representado como  1
x 3, se x 3
f x
3 x, se x 3

  
 
  
. 
2ª RESOLUÇÃO: 
Vamos traçar o gráfico de f . 
Se x 0 , a função é dada por  
2f x 3 x  , cujo gráfico é o ramo direito de uma 
parábola com concavidade voltada para cima. 
Se x 0 , a função é dada por  
2f x 3 x  , cujo gráfico é o ramo esquerdo de uma 
parábola com concavidade voltada para baixo. 
Note que as duas parábolas possuem o mesmo vértice  V 0,3 . 
 
 
A análise do gráfico mostra que a imagem da função é que é igual ao contradomínio, 
portanto a função é sobrejetora. 
Da mesma forma, o gráfico mostra que cada elemento do contradomínio é imagem de um 
único elemento do domínio, portanto a função é injetora. 
Como a função é injetora e sobrejetora, então f é bijetora. 
Obtenção da expressão da função inversa: 
 
2
2
3 x , x 0
f x
3 x , x 0
  
 
 
 
 2 2 1x 0 y 3 xx y 3 f y x y 3, y 3            
 2 2 1x 0 y 3 x x 3 y f y x 3 y, y 3             
Isso também pode ser representado como  1
x 3, se x 3
f x
3 x, se x 3

  
 
  
. 
 
 
 
 
 
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87) (ITA 2012) Considere um número real a 1 positivo, fixado, e a equação em x 
2x xa 2 a 0    ,  . 
Das afirmações: 
 I. Se 0  , então existem duas soluções reais distintas; 
 II. Se 1   , então existe apenas uma solução real; 
 III. Se 0  , então não existem soluções reais; 
 IV. Se 0  , então existem duas soluções reais distintas, 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) I, III e IV. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Inicialmente, devemos observar que xa 0 para qualquer x real. 
Fazendo xy a em 2x xa 2 a 0    , obtém-se a equação do 2° grau associada 
2y 2 y 0    , onde y 0 . 
Nessa equação, o discriminante é      22 4 1 4 1          , a soma das raízes é 
2
S 2
1
 
    e o produto das raízes é P
1

   . 
Se 1   , então 0  , S 0 e P 0 . 
Logo, a equação do 2° grau possui duas raízes reais positivas distintas, portanto, há duas 
soluções reais distintas para x . 
Se 1   , então 0  , S 0 e P 0 . 
Logo, a equação do 2° grau possui uma raiz real dupla e positiva, portanto, há uma solução 
real (dupla) para x . 
Se 1 0   , então 0  , S 0 e P 0 . 
Logo, a equação do 2° grau não possui raízes reais, portanto, não há soluções reais para 
x . 
Se 0  , então S P 0    . 
Logo, a equação do 2° grau possui raiz dupla zero, portanto, não há soluções reais para 
x . 
Se 0  , então 0  , S 0 e P 0 . 
Logo, a equação o 2° grau possui duas raízes reais distintas, uma positiva e uma negativa, 
portanto há uma solução real (simples) para x . 
Analisando as afirmativas com base nas considerações acima, concluímos que: 
I. FALSA; II. VERDADEIRA; III. VERDADEIRA; e IV. FALSA. 
 
 
88) (ITA 2013) Determine o maior domínio D  da função 
f : D ,    
x x
4
f x log 4sen x cos x 1 
 
 
  . 
 
RESOLUÇÃO: fD ,
12 4
  
  
 
 
 
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O domínio da função logarítmica é tal que a base x x
4
 
 
 
 seja positiva e diferente de 
1, e o logaritmando  4sen xcosx 1 seja positivo. Assim, temos: 
1°) x x 0 0 x
4 4
  
     
 
 
2°) 2x x 1 x x 1 0
4 4
  
      
 
 
O discriminante do trinômio do 2° grau é 
2 2
4 1 1 4 0
4 16
  
         
 
. Portanto, o 
mesmo não possui raízes reais, o que implica que não há valores reais de x que façam a 
base ser igual a 1. 
3°) 
1 5
4sen x cos x 1 0 2sen 2x 1 sen 2x 2k 2x 2k , k
2 6 6
 
             
5
k x k , k
12 12
 
       
Fazendo a interseção das soluções obtidas, temos x
12 4
 
  . Portanto, fD , .
12 4
  
  
 
 
 
 
89) (ITA 2013) Considere funções f ,g,f g :  . Das afirmações: 
I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; 
II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora; 
III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora; 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é sobrejetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. 
d) apenas III e IV. e) todas. 
 
RESOLUÇÃO: a 
I. FALSA 
Contra exemplo: As funções  f x x e  g x x  são injetoras, mas a função 
  f g x 0  não é injetora. 
II. FALSA 
Contra exemplo: As funções  f x x e  g x x  são sobrejetoras, mas a função 
  f g x 0  não é sobrejetora. 
III. FALSA 
Contra exemplo: As funções   2f x x x  e   2g x x  não são injetoras, mas a função 
  f g x x  é injetora. 
IV. FALSA 
Contra exemplo: As funções   2f x x x  e   2g x x  não são sobrejetoras, mas a 
função   f g x x  é sobrejetora. 
 
 
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90) (ITA 2013) Considere as funções f e g , da variável real x , definidas, 
respectivamente, por 
 
2x ax bf x e   e  
ax
g x ln
3b
 
  
 
, 
em que a e b são números reais. Se    f 1 1 f 2    , então pode-se afirmar sobre a 
função composta g f que 
a)  g f 1 ln 3 
b)  g f 0 
c) g f nunca se anula. 
d) g f está definida apenas em  x : x 0  
e) g f admite dois zeros reais distintos. 
 
RESOLUÇÃO: e 
  1 a bf 1 1 e 1 1 a b 0 a b 1            
  4 2a bf 2 1 e 1 4 2a b 0 2a b 4            
   2a b a b 4 1 a 3        
a b 1 3 b 1 b 2        
 
2 2x ax b x 3x 2f x e e      e  
ax 3x x
g x ln ln ln ln x ln 2
3b 3 2 2
     
        
     
 
A função 
         
2x 3x 2 2g f x g f x ln f x ln 2 ln e ln 2 x 3x 2 ln 2 
 
          
sempre está definida, pois  
2x 3x 2f x e 0   , x  . 
Logo, g f é uma função quadrática na qual o discriminante é 
 23 4 1 2 ln 2 1 4 ln 2 0          e, portanto, possui dois zeros reais distintos. 
 
 
91) (ITA 2014) Considere as funções f :  ,  
xf x e , em que  é uma constante 
real positiva, e  g : 0,  ,  g x x . Determine o conjunto solução da inequação 
     g f x f g x . 
 
RESOLUÇÃO: 
       
x
x 2g f x g f x f x e e


    
       g x xf g x f g x e e    
     
 
0x
x2g f x f g x e e x x x 2 x 0
2
x x 2 0 x 2 x 4


          
      
 
 S 4,  
 
 
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92) (ITA 2014) Considere as funções f ,g :  ,  f x ax m  ,  g x bx n  , em 
que a , b , m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g , 
respectivamente, então, das afirmações abaixo: 
I. Se A B , então a b e m n ; 
II. Se A  , então a 1 ; 
III. Se a,b,m,n , com a b e m n  , então A B , 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I. FALSO 
Contra exemplo: Sejam  f x x e  g x x 1  , então fA Im  e gB Im ,  mas 
m 0 1 n   . 
II. FALSO 
Contra exemplo: A função  f x x  tem a 1  e sua imagem é fA Im  . 
III. FALSO 
Contra exemplo: Sejam  f x 3x 1  e  g x 3x 1  , então a imagem de f são os 
números inteiros congruentes a 1 módulo 3 e a imagem de g são os números congruentes 
a 1 (ou equivalentemente a 2 ) módulo 3 . Portanto, f gA Im Im B   . 
 
 
93) (ITA 2014) Das afirmações: 
I. Se x, y \ , com y x  , então x y \  ; 
II. Se x e y \ , então xy \ ; 
III. Sejam a,b,c , com a b c  . Se    f : a,c a,b é sobrejetora, então f não é 
injetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I e II. b) apenas I e III. c) apenas II e III. 
d) apenas III. e) nenhuma. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I. FALSO 
Contra exemplo: Sejam x 1 2  e y 1 2  dois números que satisfazem 
x, y \ e x y  , então    x y 1 2 1 2 2       . 
II. FALSO 
Contra exemplo: Sejam x 0  e y \ , então xy 0  . 
III. FALSO 
Contra exemplo: Considere uma função do 1 grau    f : a,c a,b tal que  f a a e 
 f c b , cuja expressão é    
b a
f x x a a
c a

  

. Essa função é sobrejetora e injetora. 
Observe seu gráfico a seguir. 
 
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94) (ITA 2015) Considere as funções 1 2f , f , f : , sendo  1
1
f x x 3,
2
  
 
2
3
f x x 1
2
  e  f x igual ao maior valor entre  1f x e  2f x , para cada x . 
Determine: 
a) Todos os x tais que    1 2f x f x . 
b) O menor valorassumido pela função f. 
c) Todas as soluções da equação  f x 5. 
 
RESOLUÇÃO: a)  S 4,5;1,5  ; b) 3; c)  7S 4;
3
  
a)    1 2
1 3
f x f x x 3 x 1 3 x 1 x 6
2 2
         
   x 1: 3 x 1 x 6 2x 9 x 4,5             
   1 x 0 : 3 x 1 x 6 4x 3 x 0,75 (não convém)           
 x 0 : 3 x 1 x 6 2x 3 x 1,5        
 S 4,5;1,5  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 
 
As interseções de 1f e 2f ocorrem em  4,5; 5,25 e  1,5; 3,75 . 
       
2 1 2x 4,5 f x f x f x f x      
       
1 2 14,5 x 1,5 f x f x f x f x       
       
2 1 2x 1,5 f x f x f x f x     
 
   
     
1
2
1
f x x 3, se x 4,5;1,5
2
f x
3
f x x 1 , se x ; 4,5 1,5;
2

   
 
       

 
O menor valor assumido por f corresponde ao menor valor assumido por  1
1
f x x 3,
2
  
que é 3. 
c) Se  f x 5, temos dois casos possíveis: 
     1
1
x 4,5;1,5 f x f x x 3 5 x 4 x 4 x 4 (não convém)
2
              
       2
3 10
x ; 4,5 1,5; f x f x x 1 5 x 1
2 3
7 13
x x (não convém)
3 3
            
    
 
 7S 4;
3
  
 
 
 
 
 
 
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95) (ITA 2016) Seja f a função definida por    2x 1f x log x 2x 8 .   Determine: 
a) O domínio fD da função f. 
b) O conjunto de todos os valores de fx D tais que  f x 2. 
c) O conjunto de todos os valores de fx D tais que  f x 1. 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Para que o logaritmo esteja bem definido o logaritmando deve ser positivo e a base 
positiva e diferente de um. 
  2x 2x 8 0 x 4 x 2 0 x 2 x 4            
x 1 0 x 1     
x 1 1 x 0    
O domínio de f é definido pela interseção dos três intervalos. Assim, temos:  fD 4, .  
b) 
     22 2 2 2
x 1f x log x 2x 8 2 x 2x 8 x 1 x 2x 8 x 2x 1                
f
9
4x 9 x D S
4
         
c) Inicialmente, observemos que, como  fD 4, ,  então a base do logaritmo satisfaz 
x 1 5.  
     12 2 2
x 1f x log x 2x 8 1 x 2x 8 x 1 x 3x 9 0
3 3 5 3 3 5
x x
2 2
            
 
   
 
 f
3 3 5 3 3 5
D 4, x S x | x
2 2
  
        
 
 
 
 
96) (ITA 2016) Considere as seguintes afirmações: 
I. A função   10
x 1
f x log
x
 
  
 
 é estritamente crescente no intervalo  1, . 
II. A equação 
x 2 x 12 3  possui uma única solução real. 
III. A equação  
x
x 1 x  admite pelo menos uma solução real positiva. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. 
d) I, II e III. e) apenas III. 
 
RESOLUÇÃO: b 
I. A função   10
x 1
f x log
x
 
  
 
 é estritamente crescente no intervalo  1, . 
(VERDADEIRA) 
   f
x 1
0 x 0 x 1 D ,0 1,
x

          
 
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No intervalo  1, , a função 
1
y
x
 é estritamente decrescente e, consequentemente, a 
função 
x 1 1
y 1
x x

   é estritamente crescente. Como a função  10log é estritamente 
crescente, a composição   10
x 1
f x log
x
 
  
 
 é estritamente crescente. 
Alternativamente, podemos fazer 
2 1
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
10 10
2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
x x 1 1 1 1 1 1 1
x x x x x x
x 1 x 1 x 1 x 1
0 log log
x x x x
                
      
       
   
 
Logo, a função é estritamente crescente. 
Note que, quando aplicamos a função logaritmo na base 10 nos dois lados da 
desigualdade, mantivemos o mesmo sinal, pois log na base 10 é uma função estritamente 
crescente. 
II. A equação 
x 2 x 12 3  possui uma única solução real. (VERDADEIRA) 
xx
x 2 x 1
x 2
2 1 2 1
2 3
3 123 2 3
        
 
 
A função 
x
2
y
3
 
  
 
 é uma função monótona estritamente decrescente, cuja imagem é 
 0, , então a equação 
x
2 1
3 12
 
 
 
 possui uma única solução real. 
Alternativamente, poderíamos fazer 
xx
x 2 x 1
2 3 2 3x 2
2 1 2 1 1
2 3 x log log 12.
3 12 123 2 3
               
  
 
Logo, há uma única solução real. 
III. A equação  
x
x 1 x  admite pelo menos uma solução real positiva. (FALSA) 
     
 
x x
x x x
x x
0 x 1: x 1 x log x 1 log x x log x 1 1
1 x log x 1 x log x x
          
      
 
A última expressão contraria a proposição inicial. Observe que o logaritmo de base entre 
0 e 1 é uma função estritamente decrescente. 
     
 
x x
x x x
x x
x 1: x 1 x log x 1 log x x log x 1 1
1 x log x 1 x log x x
         
      
 
Novamente, a última expressão contraria a proposição inicial. Observe que o logaritmo 
de base maior do que 1 é uma função estritamente crescente. 
Logo, a equação não admite solução real positiva. 
 
 
 
 
 
 
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97) (ITA 2017) Esboce o gráfico da função f :  dada por   x
1
f x 2 .
2
  
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos inicialmente fazer o gráfico de   xg x 2 . Sabemos que 
x, se x 0
x .
x, se x 0

 
 
 Assim, temos:  
x
x
2 , se x 0
g x
2 , se x 0
 
 

 
Vamos representar a função g graficamente. 
 
O gráfico de uma função     x
1 1
h x g x 2
2 2
    é obtido deslocando-se o gráfico de 
g verticalmente para baixo de 
1
.
2
 
 
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O gráfico de     x
1
f x h x 2
2
   é obtido refletindo-se as partes negativas de  h x 
em relação ao eixo Ox. 
 
O gráfico de f é a linha contínua na figura. 
 
 
98) (ITA 2018) Considere as funções f ,g :  dadas por  f x ax b  e 
 g x cx d,  com a,b,c,d , a 0 e c 0. Se 1 1 1 1f g g f ,    então uma 
relação entre as constantes a, b, c e d é dada por 
a) b ad d bc.   b) d ba c db.   
c) a db b cd.   d) b ac d ba.   
e) c da b cd.   
 
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RESOLUÇÃO: a 
Considerando a propriedade da inversa de uma função composta, temos: 
    11 1f g g f    e     11 1g f f g .   
   
1 11 1 1 1f g g f g f f g g f f g
         
         g f x g f x g ax b c ax b d acx bc d          
         f g x f g x f cx d a cx d b acx ad b          
g f f g bc d ad b.     
 
 
99) (ITA 2019) Sabendo que x pertence ao intervalo fechado  1,64 , determine o maior 
valor da função 
     
4 2
2 2 2
8
f x log x 12 log x log .
x
 
    
 
 
 
RESOLUÇÃO: 81 
           
4 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2
8
f x log x 12 log x log log x 12 log x log 8 log x
x
 
        
 
 
           
4 2 4 3 2
2 2 2 2 2 2log x 12 log x 3 log x log x 12 log x 36 log x        
  
2
2
2log x 6log x  
Vamos substituir t2log x t x 2 ,   então 
   0 t 6x 1,64 2 1 2 64 2 t 0,6 .        
Assim, a função será dada por      
2
t 2g t f 2 t 6t ,   com  t 0,6 . 
A expressão 
2t 6t está elevada ao quadrado, então devemos encontrar o maior valor 
em módulo. O ponto de mínimo dessa função quadrática é  3, 9 . Assim, o maior valor 
de f é        
2 23 2g 3 f 2 3 6 3 9 81.       
 
 
100) (ITA 2020) Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números 
reais k para os quais a reta y kx intersecta a parábola 2y x ax b   é igual a 
   , 2 6, ,   determine os números a e b.RESOLUÇÃO: a 4 e b 1 
A interseção da reta y kx e da parábola 2y x ax b   é dada por 
 2 2kx x ax b x a k x b 0.        
Para que haja interseção o discriminante da equação do 2° grau deve ser não negativo, ou 
seja, 
   2 2 2 2 2a k 4 1 b 0 a 2ak k 4b 0 k 2ak a 4b 0                 
 
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   2 2 2 22a 4a 4 1 a 4b 2a 4a 4 1 a 4b
k k
2 2
         
    
k a 2 b k a 2 b      
Portanto, a 2 b 2  e a 2 b 6,  o que implica a 4 e b 1 b 1.   
 
 
101) (ITA 2021) Seja S o conjunto solução da inequação  
22x x 1
2x x 1 1.
 
   
Podemos afirmar que: 
a)  S 1,1  b) 
1
S 1,
2
 
    
 c)  S 0,1 
d)  
1
S 1, 0,1
2
 
     
 e) S é o conjunto vazio. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Inicialmente, observemos que o discriminante de 2y x x 1   é 21 4 1 1 3 0,        
o que implica que 2y x x 1   é sempre positivo. 
Se 20 x x 1 1,    então  
22x x 1
2 2x x 1 1 2x x 1 0.
 
       
 2x x 1 1 x x 1 0 1 x 0          
  2
1
2x x 1 0 2x 1 x 1 0 x x 1
2
            
Fazendo a interseção das duas condições, temos 1
1
S 1, .
2
 
   
 
 
Se 
2x x 1 1,   então  
22x x 1
2 2x x 1 1 2x x 1 0.
 
       
 2x x 1 1 x x 1 0 x 1 x 0           
  2
1
2x x 1 0 2x 1 x 1 0 x 1
2
          
Fazendo a interseção das duas condições, temos  2S 0,1 . 
Se 2x x 1 1,   então  
22x x 1
2x x 1 1
 
   é sempre verdadeira. 
   2 3x x 1 1 x x 1 0 x 1 x 0 S 1,0              
Fazendo a união dos três conjuntos obtidos, vem  1 2 3
1
S S S S 1, 0,1 .
2
 
        
 
 
 
102) (ITA 2021) Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos 
gráficos das funções   xf x 2 ,   xg x 2 e   2h x log x, com x 0. Para cada 
k 0 seja n o número de interseções da reta y kx com S. Podemos afirmar que: 
a) n 1 para todo k 0. 
b) n 2 para pelo menos três valores distintos de k. 
 
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c) n 2 para exatamente dois valores distintos de k. 
d) n 3 para todo k 0. 
e) O conjunto dos k 0 para os quais n 3 é a união de dois intervalos disjuntos. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos esboçar os gráficos de   xf x 2 ,   xg x 2 e   2h x log x, com x 0. 
A função   xf x 2 é convexa, pois      
2x xf ' x 2 ln 2 f " x 2 ln 2 0,      x .  
A função   2h x log x, com x 0, inversa da função  
xf x 2 , então será côncava. 
Vamos provar que x2 x, x 0.  
x 0 x0 x 1 2 2 1 x 2 x        
Vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de   xf x 2 em x 1. 
     1
y 2
f ' 1 2 ln 2 2 ln 2 y 2 2ln 2 x 1 2 1 x 1
x 1
y x 1

             

  
 
Assim, para x 1,   xf x 2 x 1.   
Portanto,   xf x 2 x,  para todo x 0, o que implica que o gráfico da função 
  xf x 2 não corta a reta y x. 
Consequentemente, o gráfico de   2h x log x, que é a função inversa de  
xf x 2 , 
com x 0, também não corta a reta y x, pois seu gráfico é obtido a partir da reflexão 
do gráfico de   xf x 2 em relação à reta y x. 
Os esboços dos gráficos das três funções estão na figura a seguir. 
As retas da forma y kx, com x 0 e para cada k 0, passam pela origem e “varrem” 
todo o primeiro quadrante. Vamos analisar as interseções dessas retas com os gráficos de 
  xf x 2 ,   xg x 2 e   2h x log x, com x 0. 
 
 
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O ponto A é a interseção dos gráficos das funções h e g. Os pontos B e C correspondem 
aos pontos de tangência de uma reta da forma y kx com os gráficos de h e f, 
respectivamente. 
Sejam 1y k x, 2y k x e 3y k x, com 1 2 3k k k ,  as retas que passam pelos pontos 
A, B e C, respectivamente, então 
Se 10 k k ,  as retas intersectam S em 3 pontos (1 sobre o gráfico de g e 2 sobre o 
gráfico de h, pois h é côncava). 
Se 1k k , a reta intersecta S em 2 pontos (o ponto A e um segundo ponto no gráfico de 
h, pois h é côncava). 
Se 1 2k k k ,  as retas intersectam S em 3 pontos (1 sobre o gráfico de g e 2 sobre o 
gráfico de h, pois h é côncava). 
Se 2k k , a reta intersecta S em 2 pontos (1 sobre o gráfico de g e o ponto de tangência 
ao gráfico de h). 
Se 2 3k k k ,  as retas intersectam S em 1 ponto (sobre o gráfico de g). 
Se 3k k , a reta intersecta S em 2 pontos (1 sobre o gráfico de g e o ponto de tangência 
ao gráfico de f). 
Se 3k k , as retas intersectam S em 3 pontos (1 sobre o gráfico de g e 2 sobre o gráfico 
de f, pois f é convexa). 
Vamos agora analisar as alternativas. 
a) n 1 para todo k 0. (INCORRETA) 
n 1, se 2 3k k k .  
b) n 2 para pelo menos três valores distintos de k. (CORRETA) 
n 2, se  1 2 3k k ,k ,k . 
c) n 2 para exatamente dois valores distintos de k. (INCORRETA) 
Vide alternativa anterior. 
d) n 3 para todo k 0. (INCORRETA) 
n 3, se      1 1 2 3k 0,k k ,k k , .    
e) O conjunto dos k 0 para os quais n 3 é a união de dois intervalos disjuntos. 
(INCORRETA) 
Vide alternativa anterior.