Questões Lab 4

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Departamento de Automação e Sistemas – CTC – UFSC 
Engenharia de Controle e Automação Industrial 
DAS 5141 – Sistemas Não-Lineares 
Prof. Daniel J. Pagano e Prof. Edson Roberto de Pieri 
 
 
Alunos: Annelise Guedes Lemes 0513002-6 
 Bruno Leonardo Schneider 0513003-4 
 
PRÁTICA Nº 4 : Método da Função Descritiva (Respostas) 
 
Objetivos: Estudar a existência de ciclos limites em sistemas de controle com saturação. 
 
E1: Considere o seguinte sistema de controle com saturação: 
 
 
 
Considere dois tipos de saturação mostrados abaixo: 
 
 
 
 Relê Saturação 
 
 
A
AN



)(
M4
 
   








 




 aA
a
M
aA
a
M
AN
A
a
A
a
A
a 21 1sin
2
)(

 
 
a) Analise a faixa de variação de K tal que o sistema sem saturação seja estável. 
 
Pela análise do lugar das raízes, figura (1), vemos que para valores de ganho K 
maiores que 30, o sistema passa a ser instável. Isso ocorre pela passagem do par de pólos 
complexos conjugados para o semiplano direito. 
 
 
b) Considere a função relê, com 1M e o ganho do sistema 40K . Usando a função 
descritiva do relê, analise a existência de ciclos limite. Caso ocorra, calcule a freqüência e 
a amplitude limites aproximados. Implemente o esquema de controle no Simulink. Usando 
diferentes condições iniciais, verifique os resultados obtidos. 
 
Para este caso do relê, pode-se encontrar os valores da amplitude e da freqüência de 
duas maneiras: graficamente, a partir da análise do diagrama de Nyquist, ou analiticamente, 
desenvolvendo a equação característica de KG. Para o primeiro modo, plota-se o diagrama 
de Nyquist do sistema KG. 
Analisando-se a equação característica do sistema KG, equação (1), obtém-se: 
 
)2(
)(
1
)1(0)(1
AN
GK
ANGK



 
 
de (2) a comprovação de que o ponto de encontro do lugar geométrico de KG com o lugar 
geométrico de 
1
N(A)
 determina-se valor da freqüência do ciclo limite, lido como o valor do 
lugar geométrico de onde )( wjGK  Cww  , e o valor da amplitude limite, lida do lugar 
geométrico de 
)C(
1
AN

. 
 
Diagrama de Nyquist
Eixo Real
E
ix
o
 I
m
a
g
in
a
ri
o
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
System: untitled1
Real: -1.31
Imag: -8.45e-005
Frequency (rad/sec): 2.27
 
Root Locus
15
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
xi
s
-20 -15 -10 -5 0 5 10
-15
-10
-5
0
5
10 System: G
Gain: 30
Pole: 0.00926 + 2.23i
Damping: -0.00415
Overshoot (%): 101
Frequency (rad/sec): 2.23
 
 Figura 1: Lugar das Raízes - Sistema G Figura 2: Diagrama de Nyquist 
 
Resolvendo temos que: 
 
6679.1
31.14
14
31.1
1
1,
4
)(31.1
)(
1











C
C
C
C
C
C
A
A
A
aM
A
M
ANonde
AN



 
Da análise gráfica do sistema temos: 
 





6679.1
27.2
C
C
A
w
 
 
Analiticamente, parte-se da equação (2) com s  j wC . Após seu desenvolvimento 
chega-se a equação com parte real e complexa. Observando as igualdades abaixo, 
encontram-se os valores referentes à amplitude e freqüências críticas. 
 
2322
3
2322
2
)5()6(
)5(
)5()6(
6)(
CCC
CC
CCC
CC
www
wwKj
www
wK
s
wjKG





 
 













2322
2
2322
3
)5()6(
6
)](Re[
)5()6(
)5(
)](Im[
CCC
C
C
CCC
CC
C
www
wK
wjKG
www
wwK
wjKG
 







)(
1
)](Re[
0)](Im[
AN
wjKG
wjKG
C
C
 
 
Da análise do sistema temos: 
 






6977.1
23.25
C
C
A
w
 
 
Percebe-se que o valor encontrado analiticamente aproxima-se do valor encontrado 
graficamente. 
 
Analisou-se a resposta do sistema segundo a configuração de controle proposta no 
experimento, para um degrau de referência de 0,01 e de 0,2. 
 
 
 
Figura 3: Saída do sistema com relé (quadro superior) e atuação teórica e aplicada (quadro inferior, curvas 
rosa e amarela, respectivamente), para um degrau de amplitude 0,01. 
 
 
 
Figura 4: Saída do sistema com relé (quadro superior) e atuação teórica e aplicada (quadro inferior, curvas 
rosa e amarela, respectivamente), para um degrau de amplitude 0,2. 
 
Na figura 3, que corresponde a um degrau de 0,01, notamos a saída do sistema em 
ciclo limite, como foi previsto pela análise feita acima. O valor da freqüência de oscilação, 
para um período de 3,2 segundos, obtido do gráfico, é: 
 
sradTc /96,12,3/2/2   
 
Nota-se uma boa aproximação do resultado obtido em teoria, que era de 2,23. 
A amplitude crítica também tem uma boa aproximação, onde se percebe, da curva 
em rosa no segundo quadro, que ela vale, aproximadamente, 1,7. 
 A figura 4 mostra a condição em que o relé fica sempre ativo, o que seria a 
“saturação” do mesmo. Nota-se a atuação teórica tendendo ao infinito, devido à soma do 
erro de controle, o que pode representar uma situação problemática para controle em casos 
reais. A saída do sistema em regime (0,2) tem a amplitude dada pela máxima amplitude do 
sinal de saturação. 
 
 
c) Repita o item b) para uma saturação mostrada em ii), com 1M , e . 1a 40K
 
Neste caso, fez-se parte da análise via equações e outra parte via verificação gráfica. 
Desenvolveu-se a equação característica até o encontro do valor da freqüência limite, que 
aqui é igual a do item anterior por tratar-se do mesmo sistema. Após este passo foi 
determinado o valor de a partir da equação de . A seguir, traçou-se a 
reta y = no gráfico da função descritiva da saturação. No ponto de intersecção da 
reta e da função descritiva encontra-se o valor da amplitude limite . 
)( CAN )](Re[ CwjKG
CA
)( CAN
 
0 2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Entrada "A"
S
ai
da
 "
N
(A
)"
 
 
Figura 5: Função Descritiva da Saturação Interceptada pela reta N(Ac) 
 





575.1
23.25
C
C
A
w
 
 
Analisou-se a resposta do sistema segundo a configuração de controle proposta no 
experimento, para um degrau de referência de 0,01. 
 
Figura 6: Saída do sistema com saturação (quadro superior) e atuação teórica e aplicada (quadro inferior, 
curvas rosa e amarela, respectivamente), para um degrau de amplitude 0,01. 
 
Na figura 6, que corresponde a um degrau de 0,01, notamos a saída do sistema em 
ciclo limite, como foi previsto pela análise feita acima. O valor da freqüência de oscilação, 
para um período de 2,9 segundos, obtido do gráfico, é: 
 
sradTc /16,29,2/2/2   
 
Nota-se uma boa aproximação do resultado obtido em teoria, que era de 2,23. 
A amplitude crítica também tem uma boa aproximação, onde se percebe, da curva 
em rosa no segundo quadro, que ela vale, aproximadamente, 1,6. 
Os dois casos analisados acima, tanto com não-linearidade do tipo relé como 
saturação, mostram que o método da função descritiva é uma boa forma de se concluir 
sobre a presença de ciclo limite, e também pode fornecer uma aproximação sobre a 
amplitude e freqüência críticos obtidos. O fato de o método simplificar a série de Fourier 
em apenas o harmônico fundamental não mostrou causar grande efeito, já que temos na 
simulação um sistema passa-baixas. O fato de o cruzamento dos lugares geométricos no 
diagrama de Nyquist não ser tão tangente também faz com que a aproximação seja boa. 
 
E2: Aplique o método da função descritiva aos casos estudados no Laboratório Nº 3, 
verificando a existência de ciclos limites. 
 
1) Seja o sistema linear com saturação onde G s
` a

s  1
s2
fffffffffffff; k  1; U
MÁX
 0.4; U MIN @ 0.4; 
 
 
 
 Observa-se pelo LR do sistema, sem saturação, que para qualquer ganho K o 
sistema permanece na região de estabilidade. Para ganho igual a 1 o sistema apresenta 
raízes complexas conjugadas com parte real negativa. 
 
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
xi
s
 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Nyquist Diagram
RealAxis
Im
a
g
in
a
ry
 A
xi
s
 
 
Figura 7: Lugar das Raízes Figura 8: Nyquist de KG e de -1/N(A) 
 
 Devido a este fato, de que para qualquer ganho K o sistema permanece na região de 
estabilidade, o lugar geométrico de Nyquist desta função não cruzará com o de 
1
N(A)
, 
como se percebe pela figura (8). Isso significa que não há a presença de ciclo limites neste 
sistema. 
2) Para o sistema G s
` a

s  1
` a2
s3
fffffffffffffffffff; k  2; U
MÁX
 1; U MIN @ 1; 
 
 Como se pode notar na figura 9, este sistema torna-se instável para ganhos entre 0 e 
0,5, quando os dois pólos complexos ultrapassam o eixo imaginário e vão para o semiplano 
direito. O outro pólo tende para um dos zeros. Para ganhos acima de 0,5, os pólos retornam 
para o semiplano esquerdo, tornando o sistema estável. A partir do ganho de 6,75, os pólos 
ficam sem parte imaginária, sendo que um tende ao infinito negativo e o outro ao outro 
zero. 
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
System: f f f
Gain: 0.502
Pole: -0.00243 + 1i
Damping: 0.00242
Overshoot (%): 99.2
Frequency (rad/sec): 1
System: ff f
Gain: 6.75
Pole: -3
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 3
Root Locus
Real A
 
xis
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s
 
Figura 9: Lugar das Raízes 
 
Neste caso, plotando-se o gráfico de Nyquist percebe-se o cruzamento dos lugares 
geométricos de KG e de 
1
N(A)
 em (-1,0), como mostrado na figura 10. Este cruzamento 
caracteriza a presença de ciclo limite. 
Descobre-se a partir dos cálculos a seguir a freqüência limite do ciclo. 
 
6
23
6
4 )1(24
)(
C
CC
C
C
C
w
wwj
w
w
wjKG



 
 











6
4
6
23
4
)](Re[
)1(2
)](Im[
C
C
C
C
CC
C
w
w
wjKG
w
ww
wjKG
 
Im[KG( j wC )]  0
Re[KG( j wC )]
1
N(A)




 
 
Encontra-se para a equação o valor de , a partir do qual plota-
se a reta, em verde, na figura 13. Do encontro desta reta com a função descritiva da 
saturação, em preto, determina-se a amplitude limite. 
)](Re[ CwjKG )( CAN
Como resultado obtém: 





13.3
11
C
C
A
w
. 
 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
xi
s
 
 
 Figura 10: Nyquist de KG e de -1/N(A) 
 
 A simulação do sistema mostra que é difícil encontrar um valor de entrada que 
deixe o sistema em ciclo limite, sendo que, ou ele estabiliza, ou instabiliza. Uma explicação 
para isso pode estar no fato de os lugares geométricos do gráfico de Nyquist cruzarem no 
limite para o lugar geométrico de -1/N(A). 
 
3) Seja o sistema oscilatório com saturação, onde ;5.0;
)12.0(
1
)(
2


 k
sss
sG 
 
-8 -6 -4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
xi
s
 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
 A
xi
s
 
 
Figura 11: Lugar das Raízes do Sistema Figura 12: Nyquist de KG e de -1/N(A) 
 
 Como se pode notar, este sistema torna-se instável para ganhos maiores que 0,2, 
quando os dois pólos complexos ultrapassam o eixo imaginário e vão para o semiplano 
direito. 
 Seu cruzamento na figura 12 caracteriza a presença de um ciclo limite. 
 Assim como feito para o sistema anterior, determina-se o valor da freqüência limite 
do cálculo das equações abaixo e de posse desta resposta, , determina-se , na 
equação . O valor obtido é então plotado no gráfico 13, em azul, indicando, 
no ponto de intersecção com a função descritiva da saturação, o valor da amplitude limite. 
Cw )( CAN
)](Re[ CwjKG
 
234
3
234
2
)(04.0
)(5.0
)(04.0
1.0
)(
CCC
CC
CCC
C
C
www
wwj
www
w
wjKG





 
 













234
2
234
3
)(04.0
1.0
)](Re[
)(04.0
)(5.0
)](Im[
CCC
C
C
CCC
CC
C
www
w
wjKG
www
ww
wjKG
 
Im[KG( j wC )]  0
Re[KG( j wC )]
1
N(A)




 
 Os valores obtidos da freqüência e amplitude limites foram: 





06.5
11
C
C
A
w
. 
0 2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Entrada "A"
S
ai
da
 "
N
(A
)"
 
 
Figura 13: Função Descritiva da Saturação interceptada pelas retas N(Ac2) = 0.25, em verde e N(Ac3) = 0.4, 
em azul. 
 
Anexos 
 
 Código Referente aos Gráficos de Nyquist e da Função Descritiva da Saturação 
 
Experiência 3 
 
% Experiência 3 
 
% Função descritiva -> Saturação 
x = -7:0.001:-1; 
y = 0; 
 
% ---------------------------- Exercício 1 ------------------------------ 
% Sistema 
G1 = tf([1 1],[1 0 0]); 
K1 = 1; 
 
% Nyquist 
figure(1) 
nyquist(K1*G1) 
hold; 
plot(x,y,'m') 
hold; 
 
% ---------------------------- Exercício 2 ------------------------------ 
% Sistema 
G2 = tf([1 2 1],[1 0 0 0]); 
K2 = 0.5; 
 
% Nyquist 
figure(2) 
nyquist(K2*G2) 
hold; 
plot(x,y,'m') 
hold; 
 
% ---------------------------- Exercício 3 ------------------------------ 
% Sistema 
G3 = tf(1,[1 0.2 1 0]); 
K3 = 0.5; 
 
% Nyquist 
figure(3) 
nyquist(K3*G3) 
hold; 
plot(x,y,'m') 
hold; 
 
% ----------------- Função Descritiva da Saturação ---------------------- 
 
% Sistema 1 
% Não haverá cruzamento no gráfico do lugar geométrico de -1/N(A) com o 
% lugar geométrico de KG, pois o sistema é estável para qualquer valor de 
% ganho. Seu gráfico fica localizado antes do ponto (-1, 0) e não cruza o 
% eixo. 
 
% ----------------- Sistema 2 
% Cálculo de N(Ac) 
w2 = roots([-2 0 2 0 0 0]); 
wc2 = w2(5); 
N2 = 4*wc2^4/(wc2^6); 
Nac2 = 1/N2 
 
% ----------------- Sistema 3 
% Cálculo de N(Ac) 
w3 = roots([1 0 -1 0]); 
wc3 = w3(3); 
N3 = 0.1*wc3^2/(0.04*wc3^4 + (wc3 - wc3^3)^2); 
Nac3 = 1/N3 
 
% --------------------------- 
figure(4) 
plot(U,X,'k'),xlabel('Entrada "A"');ylabel('Saida "N(A)"'); 
hold; 
plot(U,Nac2,'g') 
plot(U,Nac3,'b') 
hold; 
 
 
Experiência 4 
 
clear all,close all, clc; 
 
% Condiçoes Iniciais 
a = 1; M = 1; wc1 = sqrt(5); K = 40; 
X = []; U = []; 
 
% Cálculo de N(Ac) 
N1 = 6*K*wc1^2/((6*wc1^2)^2 + (5*wc1 - wc1^3)^2); 
Na1 = 1/N1; 
 
% Simulação 
for A = 0:0.001:10 
 if A < a 
 x = 1; 
 else 
 x = (2*M/(pi*a))*(asin(a/A) + (a/A)*sqrt(1 - (a/A)^2)); 
 end 
 
X = cat(2,x,X); 
U = cat(2,A,U); 
end 
 
% figure(1) 
plot(U,X,'k'),xlabel('Entrada "A"');ylabel('Saida "N(A)"'); 
hold; 
plot(U,Na1,'m') 
hold;