TCC Idelvan Luis Telles Ramos

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
IDELVAN LUIS TELLES RAMOS 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE UM PÓRTICO PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAXIAS DO SUL 
2013
 
 
IDELVAN LUIS TELLES RAMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE UM PÓRTICO PLANO 
 
 
 
Trabalho de conclusão de curso apresentado a 
disciplina de Estágio 2 (MEC0258A), no curso de 
Engenharia Mecânica da Universidade de Caxias 
do Sul, Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
como requisito parcial para obtenção do título de 
Bacharel em Engenharia Mecânica. Áreas de 
concentração: Mecânica dos Sólidos, Integridade 
Estrutural e Projeto de Sistemas Mecânicos 
 
Orientador: Prof. MSc. Paulo Roberto Linzmaier 
 
 
 
 
 
CAXIAS DO SUL 
2013
 
 
 
 
RESUMO 
 
Este trabalho apresenta o dimensionamento estrutural de um pórtico plano, satisfazendo as 
necessidades exigidas, tais como: segurança, condições construtivas e restrições legais, 
suportando uma carga de 2000 kg. Para desenvolvimento deste trabalho foi de grande 
importância o conhecimento das seguintes disciplinas: Mecânicas dos Sólidos, Integridade 
Estrutural e Projetos de Sistemas Mecânicos. Tópicos importantes dessas disciplinas foram 
trabalhados, são eles: Equações de Equilíbrio, Esforços Internos em Vigas e Flambagem em 
Colunas. Apresenta-se também nesse estágio, o conceito de dois métodos para solucionar 
estruturas hiperestáticas de pórticos planos. Como proposta, foram desenvolvidos os cálculos 
estruturais e apresentado os perfis adequados para viga e colunas. 
Palavras –chaves: Dimensionamento. Estrutural. Pórtico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
This paper introduces the structural design of a plane frame, satisfying the required needs, 
such as security, construction conditions and legal restrictions, supporting a load of 2000 kg. 
To develop this work was of great importance to study the following subjects: Mechanics of 
Solids, Structural Integrity and Projects Mechanical Systems. Important topics such 
disciplines were worked, they are: Equations of Equilibrium Efforts Internal Buckling in 
Beams and Columns. Also presents itself at this stage, the concept of two methods to solve 
statically indeterminate plane frame structures. As proposed, the structural calculations were 
developed and submitted the appropriate profiles for beam and columns. 
Keywords: Scaling, Structural, Frame. 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 – Ponte rolante monoviga Caixão .............................................................................. 14 
Figura 2 – Ponte rolante biviga caixão ..................................................................................... 15 
Figura 3 – Pórtico monoviga caixão ......................................................................................... 16 
Figura 4 – Pórtico rolante biviga / semi – pórtico rolante ........................................................ 16 
Figura 5 – Modelo estrutural (ME) .......................................................................................... 21 
Figura 6 – Diagrama de corpo Livre ........................................................................................ 21 
Figura 7 – Simbologia de vínculo de 1° espécie ...................................................................... 23 
Figura 8 – Simbologia de vínculo de 2° espécie ...................................................................... 23 
Figura 9 – Simbologia de vinculo de 3° espécie ...................................................................... 23 
Figura 10 – Equações de equilíbrio e sistema de referência..................................................... 24 
Figura 11 – Superposição de soluções básicas no método das forças ...................................... 29 
Figura 12 – Parâmetros nodais utilizados na discretização pelo método dos deslocamentos .. 30 
Figura 13 – Dimensões do pórtico ............................................................................................ 33 
Figura 14 – DCL ....................................................................................................................... 34 
Figura 15 – DCL (Seção 1)....................................................................................................... 36 
Figura 16 – DCL (Seção 2)....................................................................................................... 37 
Figura 17 – Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores ......................................... 37 
Figura 18 – Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores ......................................... 40 
Figura 19 – DCL para dimensionamento dos pilares ............................................................... 41 
Figura 20 – Perfil quadrado 140 x 140 x 6,3 ............................................................................ 43 
Figura 21 – Perfil quadrado 120 x 120 x 6,3 ............................................................................ 44 
Figura 22 – Perfil quadrado 100 x 100 x 6,3 ............................................................................ 44 
Figura 23 – Diagrama Ψ x � .................................................................................................... 52 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 – Fator de multiplicação para determinação de comprimento de flambagem ........... 42 
Tabela 2 – Tempos de acelerações ........................................................................................... 46 
 
 
 
 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
 
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas 
NBR Norma Brasileira 
DCL Diagrama de Corpo Livre 
 
 
 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
 
 � Carga distribuída ����� Força equivalente 
�	 Carga total 
�� Reação vertical no ponto A 

� Reação vertical no ponto B 
�� Momento em torno do ponto A �
 Momento em torno do ponto B � Esforço Cortante � Aceleração da gravidade �� Tensão admissível �� Tensão de escoamento �� Tensão ruptura ���� Tensão admissível � Módulo de resistência ���� Módulo de resistência necessário � Fator de comprimento efetivo 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 12 
1.1 JUSTIFICATIVA ................................................................................................... 12 
1.2 OBJETIVOS........................................................................................................... 13 
1.2.1 Objetivo geral ....................................................................................................... 13 
1.2.2 Objetivos específicos ............................................................................................ 13 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................ 14 
2.1 PONTES E PÓRTICOS ROLANTES ................................................................... 14 
2.1.1 Pontes rolantes ...................................................................................................... 14 
2.1.2 Pórticos rolantes ................................................................................................... 15 
2.2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL .................................................... 17 
2.2.1 Breve histórico sobre a engenharia estrutural .................................................. 18 
2.3 ANÁLISE ESTRUTURAL .................................................................................... 19 
2.4 MÉTODOS PARA SOLUÇÕES DO PÓRTICO PLANO .................................... 19 
2.4.1 Revisão de estática dos corpos rígidos ................................................................ 19 
2.4.2 Equações de equilíbrio (EE) ................................................................................24 
2.4.3 Esforços internos em vigas .................................................................................. 24 
2.4.4 Esforços internos em pilares................................................................................ 26 
2.4.5 Método das forças ou método da superposição de efeitos ................................ 28 
2.4.6 Métodos dos deslocamentos ................................................................................. 30 
3 PROPOSTA DE TRABALHO ............................................................................ 31 
3.1 INTRODUÇÃO AO PROJETO EM ENGENHARIA MECÂNICA .................... 31 
3.2 DESCRIÇÃO DETALHADA DO PROJETO DO PÓRTICO PLANO ............... 31 
3.3 SOLUÇÃO PROPOSTA ....................................................................................... 32 
3.4 FORMA DE EXECUÇÃO E CRONOGRAMA ................................................... 32 
4 DESENVOLVIMENTO DOS CÁLCULOS ESTRUTURAIS ........................ 33 
 
 
4.1 REAÇÕES DA VIGA I.......................................................................................... 33 
4.2 ESFORÇOS INTERNOS DA VIGA I ................................................................... 36 
4.2.1 Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores ...................................... 37 
4.2.2 Determinação da tensão admissível .................................................................... 38 
4.3 DIMENSIONAMENTO DA VIGA I .................................................................... 38 
4.4 REAÇÕES DA VIGA I.......................................................................................... 39 
4.5 ESFORÇOS INTERNOS DA VIGA I ................................................................... 39 
4.5.1 Diagramas dos Esforços Cortantes e Momentos Fletores ................................ 40 
4.6 DIMENSIONAMENTO DA VIGA I .................................................................... 40 
4.7 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES .............................................................. 41 
4.7.1 Cálculo da força máxima ..................................................................................... 41 
4.7.2 Fator de comprimento efetivo (K) ...................................................................... 42 
4.7.3 Características estruturais do perfil 140 x 140 x 6,3 ......................................... 43 
4.7.4 Características estruturais do perfil 120 x 120 x 6,3 ......................................... 44 
4.7.5 Características estruturais do perfil 100 x 100 x 6,3 ......................................... 44 
4.8 SOLICITAÇÕES DEVIDO AS ACELERAÇÕES DOS MOVIMENTOS 
HORIZONTAIS ....................................................................................................................... 45 
4.8.1 Massa Equivalente................................................................................................ 45 
4.8.2 Aceleração ou desaceleração média .................................................................... 45 
4.8.3 Duração média de aceleração ou desaceleração ................................................ 46 
4.8.4 Força de inércia média ......................................................................................... 46 
4.8.5 Período de oscilação ............................................................................................. 46 
4.8.6 Coeficientes � ........................................................................................................ 47 
4.8.7 Coeficientes � ....................................................................................................... 47 
4.8.8 Coeficientes Ψ ....................................................................................................... 47 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................. 48 
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 49 
 
 
APÊNDICE A – MÉTODO DE CÁLCULO PARA A TENSÃO ADMISSÍVEL EM 
FLAMBAGEM ....................................................................................................................... 50 
APÊNDICE B – EQUAÇÕES PARA MÉTODOS DAS FORÇAS OU SUPERPOSIÇÃO
 .................................................................................................................................................. 51 
APÊNDICE C – DIAGRAMA Ψ X � ................................................................................... 52 
 
12 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O desenvolvimento de vários ramos da ciência teve origem em atividades práticas, em 
razão de lentas mudanças, em que o conhecimento era passado de mestre a aprendiz, ou seja, 
conhecimento baseado em experiências práticas sem cunho científico. Até então, o desafio 
contra a ação da gravidade, exercida pela massa do Planeta nas formas arquitetônicas, era 
vencido com algumas técnicas construtivas rudimentares, baseada na experimentação e no 
conhecimento sem uma base científica. 
 O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a 
todas as necessidades para as quais ela será construída, satisfazendo questões de segurança, 
condições construtivas e restrições legais. O resultado final do projeto estrutural é a 
especificação de uma estrutura de forma completa, isto é abrangendo todos os aspectos gerais, 
tais como locação e todos os detalhes necessários para a construção. 
 A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a idealização do 
comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos parâmetros, 
tais como: campos de tensões, deformações e deslocamentos na estrutura que está sendo 
projetada. 
 Neste trabalho será apresentado um projeto de um pórtico plano, dimensionando todos 
os componentes e analisando as tensões dos mesmos, buscando uma alternativa satisfatória 
para o equipamento. O local para a realização das tarefas será na empresa Personalmaq 
Máquinas e Equipamentos LTDA, presente no mercado desde 1998, trabalha com 
equipamentos e máquinas especiais, buscando uma melhoria contínua na qualidade dos 
projetos. 
 
1.1 JUSTIFICATIVA 
 
Este estágio é uma necessidade para a empresa Personalmaq Equipamentos Industriais 
LTDA, pois a organização não possui um equipamento que consiga movimentar cargas com 
aproximadamente 2000 kg, tendo sempre que contratar terceiros para fazer a função, isto gera 
um custo elevado. Com esse equipamento a empresa vai reduzir custos e gerar uma melhor 
segurança para todos os trabalhadores que atuam na expedição. 
Este trabalho será desenvolvido com o propósito de poder apresentar conhecimentos 
adquiridos nas disciplinas de Mecânica dos Sólidos, Integridade Estrutural e Projetos de 
Sistemas Mecânicos do Curso de Engenharia Mecânica, pois serão relembrados conceitos 
13 
 
importantes da Mecânica, podendo colocar em prática conhecimentos teóricos da graduação, 
dando ênfase no conhecimento, na busca de um aprendizado melhor e a troca de informações 
com profissionais que atuam na área. 
 
1.2 OBJETIVOS 
 
1.2.1 Objetivo geral 
 
 O objetivo deste trabalho é apresentar um projeto de um pórtico plano, dimensionando 
os componentes da estrutura e analisando as tensões dos mesmos, buscando uma alternativa 
satisfatória para o equipamento que vai suportar uma carga de 2000 kg. 
 
1.2.2 Objetivos específicos 
 
• Apresentar cálculos e os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores, pois a 
carga vai se mover, e no decorrer desse movimento, serão gerados esforços e 
momentos variados na viga. 
 
• Para realizar o dimensionamento dos pilares serão apresentados os cálculos sobre 
flambagem, definindo o tipo de carregamento podendo ser concêntrico ou excêntrico. 
 
• Atender a norma NBR 8400(1984), (Cálculo de Equipamento para Levantamento e 
Movimentação de Carga).14 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
 Esta revisão bibliográfica enfatizou os seguintes assuntos: Pontes e Pórticos Rolantes, 
caracterizando as suas principais funções, os tipos de pontes e pórticos que são mais usados 
no mercado. Outro enfoque foi a introdução de análise estrutural. Este assunto apresentar uma 
idéia inicial sobre o estudo em questão. Após foi mostrado uma revisão de Estática dos 
Corpos Rígidos e alguns métodos utilizados para calcular os esforços mecânicos da estrutura 
de um Pórtico Plano. 
 
2.1 PONTES E PÓRTICOS ROLANTES 
 
 Segundo Ribeiro (2011), as pontes e pórticos são máquinas de elevação e 
movimentação de cargas que contribuem com uma grande variação de aplicações na área 
industrial. Hoje, dispõe-se de várias alternativas para selecionar pontes e pórticos são eles: 
Ponte Rolante Monoviga, Ponte Rolante Biviga, Ponte Rolante Suspensa, Pórtico Rolante 
Mono viga, Pórtico Rolante Biviga e Semi-Pórtico Rolante. 
 
2.1.1 Pontes rolantes 
 
 De acordo com Ribeiro (2011), ponte rolante é uma máquina de elevação móvel, que 
circula numa via, a qual se designa por caminho de rolamento. Pode ser constituídas por uma 
viga, designadas por pontes mono viga figura 1, ou duas vigas, designadas por pontes biviga 
figura 2, sobre as quais se desloca transversalmente um carro guincho. 
 
Figura 1 – Ponte rolante monoviga Caixão 
 
 Fonte: Ribeiro (2011) 
15 
 
Figura 2 – Ponte rolante biviga caixão 
 
 Fonte: Ribeiro (2011) 
 
 Em seguida têm-se os constituintes principais destes tipos de pontes: 
Carro guincho – Este é responsável pela elevação de carga. Possui um conjunto de rodados 
que permitem o movimento de translação sobre a viga principal. 
Carros laterais – Os carros laterais são equipamentos que além de transferirem a carga para o 
caminho de rolamentos, permitem também, o movimento longitudinal da ponte. 
Caminho de rolamento – É constituído por duas vigas, uma em cada extremo da ponte 
rolante. Trata-se de uma viga contínua com vão idêntico ao afastamento entre pórticos. 
No caso de pontes rolantes de carga nominal baixa, apóiam diretamente sobre consolas curtas 
diretamente soldadas aos pilares do pavilhão. No caso de grandes cargas são utilizados pilares 
de baioneta. 
Viga resistente – É o elemento resistente principal, e pode ser formado por um perfil 
laminado ou secção em caixão para vencer vãos maiores e para uma maior capacidade de 
carga, sobre esta se desloca o carro guincho. 
 
2.1.2 Pórticos rolantes 
 
 Sob a observação de Ribeiro (2011), os pórticos são equipamentos geralmente 
utilizados em áreas exteriores a edifícios. Os movimentos de translação do carro e do pórtico 
permitem a colocação da carga com bastante liberdade. O corpo principal é constituído por 
16 
 
pórticos, que dependendo do nível de cargas a movimentar serão construídos por perfis 
laminados ou vigas caixão. Os pórticos assentam sobre uma plataforma móvel sobre carris. 
Tal como no caso das pontes pode-se também distinguir dois tipos de pórticos rolantes: 
pórticos rolantes monoviga e pórticos rolantes biviga. Abaixo seguem as figuras 3 e 4 para 
exemplificar os pórticos descritos acima. 
 
Figura 3 – Pórtico monoviga caixão
 
 Fonte: Ribeiro (2011) 
 
 
Figura 4 – Pórtico rolante biviga / semi – pórtico rolante
 
 Fonte: Ribeiro (2011) 
 
 
 Os constituintes básicos dos pórticos rolantes são os mesmos que os das pontes 
rolantes vistas no tópico anterior. Neste caso o caminho do rolamento é constituído por 
 
17 
 
um sistema de carris ao solo. 
 
2.2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 Segundo Martha (2010), o projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma 
estrutura que atenda as necessidades para as quais ela será construída, satisfazendo as 
questões ambientais, condições construtivas e restrições legais. 
 Portanto o projeto estrutural parte de uma idéia geral da estrutura e termina com a 
documentação que torna viável sua construção. Existem várias etapas de um projeto 
estrutural, entre elas está a previsão do comportamento da estrutura. Nesta fase a estrutura tem 
que satisfazer as condições de segurança e de utilização para as quais ela foi concebida. 
 Conforme Martha (2010), a análise estrutural é a etapa do projeto estrutural em que se 
explica como a estrutura vai se comportar. Esse comportamento pode ser expresso por alguns 
parâmetros, tais como: campos de tensões, deformações, e deslocamentos na estrutura. Em 
geral, a análise estrutural, tem como objetivo determinar os esforços internos e externos 
(cargas e reações de apoio), e das correspondentes tensões, bem como a determinação dos 
deslocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está sendo desenvolvida. Essa 
análise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamentos e solicitações que devem ser 
previamente determinados. 
 Segundo Ruiz e Días (2009), a análise estrutural tem como objetivo determinar a 
resposta de uma estrutura quando esta for submetida a diferentes ações que devem suportar 
durante sua construção e vida útil. Para esta resposta estrutural, se entende basicamente a 
determinação dos estados de tensões e deformações, sabendo que a estrutura está submetida 
por efeitos de diferentes estados de cargas. Para a determinação dos estados de tensão é 
necessário satisfazer os critérios de resistência que estabelecem as correspondentes normas 
para garantir a segurança das estruturas. Por outro lado a determinação dos estados de 
deformação pode ser necessária, para satisfazer os critérios de rigidez. 
 Portanto para a análise de estruturas pretende-se estabelecer as condições de 
resistência e rigidez das estruturas analisadas. 
 Segundo Alva, Debs e Kaminski (2010), as estruturas são dimensionadas com os 
resultados de uma análise elástica – linear. Embora procedimentos e modelos simples sejam 
desejáveis e importantes para a prática do projeto estrutural, é crucial que o projetista tenha 
18 
 
uma postura crítica com relação ao emprego e as limitações de uma análise elástica – linear 
no dimensionamento dos elementos estruturais. Conforme Silva e Souto (1997), a palavra 
estrutura tem significado de considerável amplitude. De modo genérico, significa a maneira 
especial por que estão dispostas, em relação umas às outras, as diferentes partes do corpo. 
 Podemos definir a morfologia das estruturas como estudo das estruturas resistentes sob 
o ponto de vista da forma, tendo como principal objetivo oferecer conhecimentos básicos para 
síntese, análise, análise e concepção de estruturas que respondam aos anseios funcionais, 
técnicos e culturais. 
 
2.2.1 Breve histórico sobre a engenharia estrutural 
 
 Segundo Martha (2010), Timoshenko (1878-1972), um dos pais da Engenharia 
Moderna, descreve em seu livro a História da Resistência dos Materiais (Timoshenko, 1983), 
um histórico desenvolvimento teórico sobre o comportamento de estruturas. 
 A Engenharia Estrutural vai encontrar raízes, se bem que de uma forma empírica, nos 
grandes monumentos e pirâmides do antigo Egito e nos templos, estradas, pontes e 
fortificações da Grécia e da Roma Antiga. O início da formalização teórica da Engenharia 
Estrutural é atribuído à publicação do livro Duas Ciências, de Galileu em 1638, que deu 
origem a todo desenvolvimento da ciência desde o século XVII até os dias de hoje. Antes 
disso Leonardo da Vinci (1452-1519), já havia escrito algumas notas sobre estática e 
Resistência dos Materiais. Durante esses séculos, vários matemáticos e cientistas ilustres 
deram contribuições para formalizar a Engenharia Estrutural tal como se entende hoje. Até o 
início do século XX pode-se citar: Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Coulomb 
(1936-1806), Navier (1785-1836), Thomas Yong (1873-1829), Saint Venant (1797-1886), 
Kirchhoff (1824-1887), Kelvin (1824-1907), Maxwell (1831-1879) e Mohr(1835-1918). 
 Conforme Martha (2010), a formalização da Engenharia Estrutural através de teorias 
científicas permite que os Engenheiros estabeleçam as forças e solicitações que podem atuar 
com segurança nas estruturas ou em seus componentes. Também permitem que os 
Engenheiros determinem os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e 
seus componentes, sem que estes sofram efeitos prejudiciais para o seu bom funcionamento. 
 A Engenharia Estrutural sofreu um grande avanço no final do século XIX. Com a 
Revolução Industrial, novos materiais passaram a ser empregados nas construções tais como 
concreto armado, ferro fundido e aço. 
19 
 
2.3 ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
 No entendimento de Martha (2010), todas as teorias físicas e matemáticas resultantes 
da formalização da Engenharia Estrutural como ciência, são utilizadas na análise estrutura. O 
diagnóstico estrutural atual contempla quatro etapas de abstração. São elas: Estrutura Real, 
Modelo Estrutural, Modelo Discreto e Modelo Computacional. 
 Conforme Martha (2010), a estrutura real, é o mundo físico, tal como a estrutura é 
construída; o modelo estrutural é o modelo analítico que é representado pelo modelo 
matemático e incorpora todas as teorias e hipóteses. Essas alternativas são baseadas nas leis 
da física, tais como equilíbrio entre forças e entre tensões, as relações de compatibilidade 
entre deslocamentos e deformações e as leis constitutivas dos materiais que compõem a 
estrutura; o modelo discreto é um método que analisa um conjunto de variáveis ou parâmetros 
para representar o comportamento da estrutura. Nessa fase o comportamento analítico 
estrutural é subdividido por um comportamento discreto, em que soluções analíticas contínuas 
são representadas pelos valores discretos dos parâmetros adotados, a passagem do modelo 
matemático para o modelo discreto é denominada discretização. 
 De acordo com Martha (2010), os tipos de parâmetros adotados nos modelos discretos 
dependem do modelo utilizado. No método das forças, os parâmetros adotados são forças ou 
momentos, e no método dos deslocamentos os parâmetros são deslocamentos e rotações. 
 Descreve Martha (2010), o método comumente utilizado na análise estrutural é uma 
formulação em deslocamentos dos métodos dos Elementos Finitos. Nesse método, o modelo 
discreto é obtido pela subdivisão do domínio da estrutura. Essa subdivisão é denominada 
malha de elementos finitos e os parâmetros que representam a solução discreta são valores de 
deslocamentos nos nós dos vértices. 
 
2.4 MÉTODOS PARA SOLUÇÕES DO PÓRTICO PLANO 
 
2.4.1 Revisão de estática dos corpos rígidos 
 
 Segundo Viero (2011), corpo rígido é considerado como conjunto de partículas que 
ocupam posições fixas relativas umas às outras, ou seja, um conjunto de pontos materiais. 
Diz-se que os corpos rígidos são indeformáveis, ou seja, não se deformam sob ações das 
forças externas. O que não é absolutamente verdadeiro, pois os corpos nunca são 
absolutamente rígidos, deformando-se sob a ação de cargas a que são submetidos. Contudo 
20 
 
essas deformações são muito pequenas em relação às dimensões dos corpos, que sequer 
podem ser vistas ou percebidas, e não alteram as condições de movimento global dos corpos 
rígidos, não sendo consideradas na determinação das condições estáticas. São importantes, no 
entanto, no estudo da resistência dos materiais. 
 Conforme Viero (2011), forças que atuam sobre os corpos rígidos são classificadas em 
forças externas e forças internas. 
 Forças externas são forças decorrentes de carregamento externo no corpo rígido, são 
responsáveis pelo comportamento externo do corpo rígido em análise, causando-lhe 
movimento ou mantendo em repouso. Essas forças são divididas em forças ativas e reativas. 
 Segundo Viero (2011), forças externas ativas são cargas que podem ser dinâmica ou 
estática, que a estrutura absorve, e resistem a elas. Essas cargas podem ser geradas através de 
fenômenos físicos impostos pela natureza, (atração gravitacional, ventos, variações térmicas, 
abalos sísmicos e neve, entre outros). 
 Segundo Veiro (2011), forças externas reativas são forças que atuam nos pontos de 
união entre os elementos estruturais e nos pontos de ligação da estrutura com o solo. São 
forças que reagem as forças externas ativas, de modo a manter o equilíbrio dos corpos. Essas 
forças agem sobre os corpos rígidos, impedindo movimentos de translação e de rotação. 
 Segundo Viero (2011), a solução de problemas relacionados a equilíbrio dos corpos 
rígidos passa, pela análise do modelo estrutural. A partir desse diagnóstico é necessário que 
todas as forças que atuem sobre ele sejam representadas. O primeiro passo para a solução de 
problemas é traçar, a partir do modelo estrutural, um Diagrama de Corpo Livre (DCL). 
 Conforme Viero (2011), modelo estrutural é um esquema gráfico que são 
representados os elementos estruturais envolvidos no sistema em processo de análise, 
dispositivos que, porventura, estejam atuando sobre os elementos ou com o solo, todos 
devidamente determinados no espaço. Com o modelo estrutural definido podemos traçar o 
DCL, nele vão estar representados, o contorno do elemento estrutural em estudo, todas as 
forças externas, ativas e reativas, que atuam diretamente sobre o elemento, completamente 
definidas (ponto de aplicação, módulo, direção e sentido) e as dimensões do elemento. O 
primeiro passo para traçar um DCL é colocar em destaque o elemento escolhido para a análise 
de qualquer outro e do solo, representando o contorno do elemento isolado. 
 Seguem abaixo as figuras 5 e 6 representando Modelos Estruturais (ME) e Diagrama 
de Corpo livre. 
 
 Fonte: Viero (2011) 
 
 Fonte: Viero (2011) 
 
 
 Onde F é a força externa ativa vertical; RH é a força reativa horizontal; e RV1 e RV2 são 
forças externas reativas verticais; L é o comprimento da viga.
 
 Segundo Viero (2011), um corpo rígido é considerado como sendo um corpo 
composto por um conjunto de pontos materiais. Portanto, um corpo de seção constante 
apresentará uma atração gravitacional igual em qualquer uma de suas partes. Assim, será 
Figura 5 – Modelo estrutural (ME) 
Figura 6 – Diagrama de corpo Livre 
Onde F é a força externa ativa vertical; RH é a força reativa horizontal; e RV1 e RV2 são 
forças externas reativas verticais; L é o comprimento da viga. 
Segundo Viero (2011), um corpo rígido é considerado como sendo um corpo 
composto por um conjunto de pontos materiais. Portanto, um corpo de seção constante 
apresentará uma atração gravitacional igual em qualquer uma de suas partes. Assim, será 
21 
 
 
Onde F é a força externa ativa vertical; RH é a força reativa horizontal; e RV1 e RV2 são 
Segundo Viero (2011), um corpo rígido é considerado como sendo um corpo 
composto por um conjunto de pontos materiais. Portanto, um corpo de seção constante 
apresentará uma atração gravitacional igual em qualquer uma de suas partes. Assim, será 
22 
 
importante saber qual é o valor de carga (peso próprio), que atua em cada ponto do corpo 
rígido. Calcular a carga permanente por unidade de medida será de grande utilidade na 
determinação dos esforços externos e internos. 
 O Viero (2011) escreve que vigas são elementos estruturais de massas 
unidimensionais usadas para a delimitação dos espaços horizontais. Sua principal 
característica estrutural é a transmissão de cargas verticais no sentido horizontal, ou seja, 
vigas absorvem todas as cargas verticais que chegam até ela e as transferem em direção 
horizontal, até os pontos de apoio, geralmente pilares. As vigas, normalmente, estão sujeitas a 
cargas permanentes e a cargas acidentais, a atuação dessas cargas pode ser de forma 
distribuída ou concentrada. A carga total de qualquer estrutura é determinada pelo somatório 
das cargas distribuídas mais as cargas concentradas. No Diagrama de Corpo Livre, devem 
aparecertodas as cargas envolvidas no elemento. 
 Segundo Viero (2011), um corpo rígido está parado, em repouso, quando as forças 
externas que atuam sobre o mesmo resultam em um sistema de forças cuja resultante, 
velocidade e aceleração são iguais a zero, de modo a satisfazer a 1° Lei de Newton “Todo 
corpo tende a permanecer como estiver: em repouso ou em movimento uniforme, a menos que 
sobre ele atue uma força resultante”. 
 Conforme Viero (2011), forças externas reativas, geralmente desconhecidas são 
chamadas de vinculares, por meio das quais, o solo e outros dispositivos se opõem aos 
possíveis movimentos dos corpos, obrigando-os a permanecerem em repouso. As forças 
externas ativas tendem a fazer com que os corpos se movimentem em contrapartida, as forças 
externas reativas reagem de forma contrária, de maneira a manter os corpos parados. As 
reações de apoio são exercidas nos pontos onde os corpos são suportados ou vinculados a 
outros corpos. 
 De acordo com Viero (2011), as reações exercidas sobre as estruturas unidimensionais 
estaticamente determinadas podem ser divididas em três grandes grupos associados ao tipo de 
vinculação que apresentam. 
1. Reações exercidas por vínculo de 1° espécie: apoio simples. Esse tipo de 
reação é equivalente a uma força com linha de ação conhecida. Reage apenas 
em um movimento, impede o movimento em apenas uma direção: vertical ou 
horizontal. Esse tipo de reação apresenta apenas uma incógnita. 
2. Reações exercidas por vínculos de 2° espécie: rótulas. Essas reações podem 
restringir os movimentos de translação de um corpo rígido em todas as 
direções, mas não podem restringir a rotação em torno de seu eixo. 
23 
 
3. Reações exercidas por vínculo de 3° espécie: engaste. Essas reações são 
oriundas de apoios fixos que impedem qualquer movimento de um corpo livre. 
Os engastes produzem forças sobre sistema que se resume a uma força e um 
binário de forças. As reações desde grupo envolvem três incógnitas: as duas 
componentes da força, x e y e o momento binário. 
Abaixo seguem as figuras 7, 8 e 9 representativas da simbologia das três espécies 
explicadas nos itens 1, 2 e 3. 
 
Figura 7 – Simbologia de vínculo de 1° espécie 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
 
 
 Onde RV é a reação de apoio vertical e RH é a reação de apoio horizontal 
 
Figura 8 – Simbologia de vínculo de 2° espécie 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
 
Figura 9 – Simbologia de vinculo de 3° espécie 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
 
 Onde Mo é o momento binário. 
 
 
 Nas palavras de Viero (2011), para determinarmos as reações de apoios devemos 
seguir os seguintes passos: 
1. Identificar e destacar do sistema os elementos estruturais que serão analisados. 
Desenhar o modelo 
2. Traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser analisado;
3. Determinar um sistema de referência (SR) para a análise;
4. Estabelecer as Equações de Equilíbrio de Estática (EE);
 
2.4.2 Equações de equilíbrio (EE)
 
 No entendimento de Viero (2
necessário escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de refer
adotado, na figura 10 o ponto 
é conveniente que esse ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural 
onde houver o maior número de incógnitas
 
Figura 10
 Fonte: 
 
 
2.4.3 Esforços internos em v
 
 De acordo com Viero (2011), viga é um elemento estrutural, cuja forma geométrica é a 
de uma barra prismática longa, cuja dimensão e comprimento são bem maiores que as 
dimensões da seção. Sua principal função é 
horizontalmente até os pontos de apoio, geralmente pilares.
 Seguindo o raciocínio de Viero (2011), o projeto de uma viga resume
determinação do material a ser usado e da seção que, apresentará maior
esforços internos, considerando o material escolhido. Essas na maioria das vezes, devido a 
Nas palavras de Viero (2011), para determinarmos as reações de apoios devemos 
 
e destacar do sistema os elementos estruturais que serão analisados. 
Desenhar o modelo estrutural (ME); 
Traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser analisado;
Determinar um sistema de referência (SR) para a análise;
Estabelecer as Equações de Equilíbrio de Estática (EE); 
quilíbrio (EE) 
No entendimento de Viero (2011), para se fazer um somatório de momentos, é 
necessário escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de refer
adotado, na figura 10 o ponto “A” pode ser qualquer ponto da estrutura. Para maior facilidade, 
esse ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural 
er o maior número de incógnitas. 
10 – Equações de equilíbrio e sistema de referência
 
Fonte: Viero (2013) 
Esforços internos em vigas 
De acordo com Viero (2011), viga é um elemento estrutural, cuja forma geométrica é a 
de uma barra prismática longa, cuja dimensão e comprimento são bem maiores que as 
dimensões da seção. Sua principal função é absorver as cargas verticais e transmiti
horizontalmente até os pontos de apoio, geralmente pilares. 
Seguindo o raciocínio de Viero (2011), o projeto de uma viga resume
determinação do material a ser usado e da seção que, apresentará maior
esforços internos, considerando o material escolhido. Essas na maioria das vezes, devido a 
24 
Nas palavras de Viero (2011), para determinarmos as reações de apoios devemos 
e destacar do sistema os elementos estruturais que serão analisados. 
Traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a ser analisado; 
Determinar um sistema de referência (SR) para a análise; 
011), para se fazer um somatório de momentos, é 
necessário escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado dentro do sistema de referência 
. Para maior facilidade, 
esse ponto coincida com um ponto localizado sobre o modelo estrutural 
eferência 
De acordo com Viero (2011), viga é um elemento estrutural, cuja forma geométrica é a 
de uma barra prismática longa, cuja dimensão e comprimento são bem maiores que as 
absorver as cargas verticais e transmiti-las 
Seguindo o raciocínio de Viero (2011), o projeto de uma viga resume-se então, a 
determinação do material a ser usado e da seção que, apresentará maior resistência aos 
esforços internos, considerando o material escolhido. Essas na maioria das vezes, devido a 
25 
 
esforços verticais, desenvolvem somente tensões de flexão e cisalhamento, que dão origem 
aos esforços cortantes e aos momentos fletores. Contudo, podem surgir cargas adicionais e/ ou 
horizontais, que irão submeter a viga a esforços de compressão e/ou tração, que vão originar 
os esforço normais. No entanto, os esforços normais em vigas podem ser desprezados, uma 
vez que a capacidade de resistir aos esforços de corte e principalmente de flexão é muito 
maior. 
 Segundo Hibbeler (2004), a tensão de cisalhamento é obtida pela seguinte equação 1. 
 
� = ��� (1) 
 
onde: � = tensão de cisalhamento média. � = força cortante resultante interna, determinada pelo método das seções e pelas equações de 
equilíbrio. ! = momento de inércia de toda a área da seção transversal, calculado em torno do eixo 
neutro. " = largura da área da seção transversal do elemento, medida no ponto em que � deve ser 
determinado. E a variável $ é determinada conforme equação 2. 
 $ = % &' ()&' = (*′&' (2) 
 
onde &' é a parte superior (ou inferior), da área da seção transversal do elemento, definida 
pela seção onde " é medido, e (*′ é a distância até o centróide de &', medida a partir do eixo 
neutro. 
 De acordo com Hibbeler (2004), a tensão de cisalhamentoem vigas de abas largas que 
consiste em duas abas e uma alma. A distribuição de tensão de cisalhamento varia 
parabolicamente ao longo da atura da viga. Conforme Hibbeler (2004), para projetar uma 
viga com base em resistência, o engenheiro deve impedir que o esforço de flexão e a tensão 
de cisalhamento excedam os esforços de flexão e as tensões de cisalhamento admissíveis para 
o material, como definido nas normas estruturais e mecânicas. Se o vão da viga for 
relativamente grande, fazendo-se com que os momentos internos tornem-se grande, deve-se 
considerar em primeiro lugar, um projeto baseado na flexão e verificar a resistência ao 
26 
 
cisalhamento. Esse tipo de projeto de flexão exige que se determine o módulo de resistência 
da viga. 
 
2.4.4 Esforços internos em pilares 
 
 Sob a observação de Viero (2011), pilar é um elemento estrutural sólido e rígido usado 
predominantemente na vertical. É um elemento estrutural de massa, em que duas dimensões 
(as da seção) são bem menores que a terceira (o comprimento), que é uma barra. A principal 
função estrutural dos pilares é absorver as cargas de um nível e transmiti-las até um nível 
inferior até chegarem ao solo, são também responsáveis pela estabilização lateral da forma 
construída. 
 Na visão de Viero (2011), em uma análise superficial, pode se considerar que um pilar 
é submetido essencialmente a tensões de compressão. Contudo, os pilares devem resistir 
também a esforços horizontais (pressão do vento), o que exige do pilar uma capacidade de 
resistência à flexão a corte. A excentricidade da aplicação da carga nos pilares também pode 
causar momentos fletores, submetendo o pilar a um estado múltiplo de tensão (compressão e 
flexão), provocando a flambagem. 
 Nas palavras de Viero (2011), o projeto de um pilar resume-se à determinação do 
material a ser usado para a sua fabricação e ao dimensionamento da sua seção. Para 
determinar a melhor seção do pilar, é necessário determinar, em primeiro lugar, os esforços 
internos que o mesmo estará submetido. Determinados os esforços internos, a melhor seção 
será obtida pela resistência do material escolhido. A determinação dos esforços internos é um 
problema de estática dos corpos rígidos e a determinação da melhor seção é objeto de estudo 
da resistência dos materiais 
 Descreve Hibbeler (2004), pode-se calcular a tensão máxima na coluna entendendo 
que ela é provocada tanto pela carga axial como pelo momento fletor. O momento fletor 
máximo ocorre no ponto médio da coluna. A tensão máxima na coluna é de compressão e tem 
valor conforme as seguintes equações 3, 4 e 5. 
 ,��� = -.!/01 (3) 
 
��á3 = 45 + 7�� (4) 
 
27 
 
Com a equação 4 se define a equação 5 denominada fórmula da secante: 
 
���3� = ,/& 81 + ���: ;<= > ?1� @ 4A5BC (5) 
 
onde: ���3� = tensão elástica máxima na coluna, que ocorre no lado interno côncavo do ponto 
médio da coluna; essa tensão é de compressão. , = carga vertical aplicada a coluna; , < ,�� a menos que <= 0, então , = ,�� < = excentricidade da carga , medida a partir do eixo neutro da área da seção transversal para 
a linha de ação de , = = distância do eixo neutro até a fibra externa da coluna em que ocorre a tensão de 
compressão máxima ���3� & = área da seção transversal da coluna 0 = comprimento da coluna sem apoio no plano da flexão; para outros apoios que não pinos, 
deve ser usado o comprimento efetivo 0 . = módulo de elasticidade do material 
E = raio de giração, E = @ �5, onde ! é calculado em torno no do eixo neutro ou de flexão. 
 De acordo com Hibbeler (2004), as especificações SSRC (Conselho de Pesquisa sobre 
Estabilidade Estrutural) e AISC (Instituto de Construções em Aço), fornecem duas fórmulas 
para o projeto de coluna, e cada qual informa a tensão admissível máxima na coluna, para 
uma faixa específica de índices de esbeltez. No caso de colunas longas propõe-se a fórmula de 
Euler, conforme equação 6. 
 
���� = (12-1.)/23 JK?� L1
 JK?� L� ≤ K?� ≤ 200 (6) 
 
 Segundo Hibbeler (2004), essa equação aplica-se a índices de esbeltez entre 200 e 
JK?� L�. Obtém-se um valor específico de JK?� L�fazendo com que a fórmula de Euler seja usada 
somente para material com comportamento elástico. Por meio de experimentos, descobriu-se 
que podem existir tensões residuais de compressão nas secções do aço laminado de até a 
metade do limite de escoamento. Conseqüentemente, se a tensão na fórmula de Euler for 
28 
 
maior que JO1L �� , a equação não se aplicará. Portanto, o valor de JK?� L� é determinado 
conforme a equação 7. 
 
JK?� L� = P2-²./�� (7) 
 
 Segundo Hibbeler (2004), as colunas com índices de esbeltez menores que JK?� L�, são 
projetadas a partir da fórmula empírica parabólica, conforme equação 8. 
 ��á3 = R1 − (�0/E)1/2(�0/E)�1T�� (8) 
 
 De acordo com Hibbeler (2004), para colunas mais longas o uso desta fórmula não é 
tão seguro, nesse caso usa-se a equação 9 que contém um aumento no fator de segurança para 
1,92. 
 
UVWXYZO[(\] ^⁄ ):
:J\]̂L:̀ aUb
cJdeLfgJehLJ\]̂LJ\]̂L`i[Z J\]̂Le
hJ\]̂Lèaj
 (9) 
 
 De acordo com Hibbeler (2004), as colunas podem sofrer dois tipos de carregamentos, 
são eles: carregamento excêntrico ou carregamento concêntrico. Para o dimensionamento do 
pórtico será definido qual carregamento será usado. (Ver Apêndice A) 
 Nas seções seguintes serão apresentados dois métodos para cálculos de estruturas 
hiperestáticas. 
 
2.4.5 Método das forças ou método da superposição de efeitos 
 
 Segundo Martha (2010), esse método, os parâmetros adotados para discretizar a 
solução são forças ou momentos redundantes para garantir o equilíbrio estático da estrutura. 
Isto é, são forças e momentos associados a vínculos excedentes de uma estrutura hiperestática. 
Esses parâmetros são denominados hiperestáticos, suas equações estão no Apêndice B. 
 
 Na figura 11 Martha (2010), mostra o método da superposição de soluções básicas 
para o Método das Forças. 
 
Figura 11 – Superposição de 
Fonte: Martha (2010) 
 
 Conforme Martha (2010), 
as reações de apoio MA (reação momento no apoio da esquerda) e 
apoio da direita). A configuração deformada do pórtico, denominada 
linha tracejada na figura e mostrada em escala ampliada), é obtida pela 
soluções básicas dos casos (0), (1) e (2) mostrados na figura. A estrutura
soluções básicas é uma estrutura isostática obtida da estrutura original
vínculos excedentes associados aos hiperestáticos. Cada
efeito ou parâmetro: o efeito da solicitação
efeito do hiperestático MA 
caso (2). A metodologia de
hiperestáticos devem ter para recompor os vín
da esquerda e restrição ao deslocamento horizontal do apoio da direita). Dessa forma, a 
solução do problema fica parametrizada (discretizada) pelos hiperestáticos 
Na figura 11 Martha (2010), mostra o método da superposição de soluções básicas 
 
Superposição de soluções básicas no método das f
Conforme Martha (2010), no exemplo da Figura (11), os hiperestáticos adotados são 
(reação momento no apoio da esquerda) e HB
A configuração deformada do pórtico, denominada elástica
tracejada na figura e mostradaem escala ampliada), é obtida pela 
soluções básicas dos casos (0), (1) e (2) mostrados na figura. A estrutura
soluções básicas é uma estrutura isostática obtida da estrutura original
vínculos excedentes associados aos hiperestáticos. Cada solução básica isola um determinado 
efeito ou parâmetro: o efeito da solicitação externa (carregamento) é isolado no caso (0), o 
 é isolado no caso (1) e o efeito do hiperestático 
caso (2). A metodologia de cálculo do Método das Forças determina os valores
para recompor os vínculos eliminados (restrição à rotação no apoio 
restrição ao deslocamento horizontal do apoio da direita). Dessa forma, a 
do problema fica parametrizada (discretizada) pelos hiperestáticos 
29 
Na figura 11 Martha (2010), mostra o método da superposição de soluções básicas 
soluções básicas no método das forças 
 
, os hiperestáticos adotados são 
B (reação horizontal no 
elástica (indicada pela 
tracejada na figura e mostrada em escala ampliada), é obtida pela superposição de 
soluções básicas dos casos (0), (1) e (2) mostrados na figura. A estrutura utilizada nas 
soluções básicas é uma estrutura isostática obtida da estrutura original pela eliminação dos 
solução básica isola um determinado 
gamento) é isolado no caso (0), o 
no caso (1) e o efeito do hiperestático HB é isolado no 
cálculo do Método das Forças determina os valores que os 
culos eliminados (restrição à rotação no apoio 
restrição ao deslocamento horizontal do apoio da direita). Dessa forma, a 
do problema fica parametrizada (discretizada) pelos hiperestáticos MA e HB. 
 
2.4.6 Métodos dos deslocamentos
 
 De acordo com Martha (2010), a solução discreta é representada por valores de 
deslocamentos e rotações nos nós (pontos de encontro das barras), tal como indicado na 
Figura 12. Esses parâmetros são denominados 
deslocabilidades são os deslocamentos horizontais dos nós superiores, 
deslocamentos verticais desses nós, 
 
Figura 12 – Parâmetros nodais ut
Fonte: Martha (2011) 
 
 Na Figura 12, a configuração deformada da estrutura (elástica mostrada em escala
ampliada) representa a solução contínua do mo
deslocabilidades nodais representam a solução d
metodologia baseada em deslocamentos, a soluç
dos valores discretos dos deslocamentos 
carga distribuída na barra horizontal. Em geral, para 
prismáticas, a solução obtida por interpolação é 
Isto ocorre porque as funções de 
são compatíveis com a idealização matemática do comportamento das ba
Resistência dos Materiais. 
eslocamentos 
De acordo com Martha (2010), a solução discreta é representada por valores de 
deslocamentos e rotações nos nós (pontos de encontro das barras), tal como indicado na 
Figura 12. Esses parâmetros são denominados deslocabilidades. No exemplo dessa figura, as 
eslocabilidades são os deslocamentos horizontais dos nós superiores, 
desses nós, ∆l� e ∆m� , e as rotações dos nós livres ao giro, 
Parâmetros nodais utilizados na discretização pelo método dos d
a configuração deformada da estrutura (elástica mostrada em escala
ampliada) representa a solução contínua do modelo matemático. Os valores das 
nodais representam a solução discreta do problema. Nesse tipo 
metodologia baseada em deslocamentos, a solução contínua pode ser obtida por 
dos valores discretos dos deslocamentos e rotações nodais, considerando 
arra horizontal. Em geral, para estruturas reticuladas com barras 
lução obtida por interpolação é igual à solução analítica do modelo estrutural. 
sto ocorre porque as funções de interpolação que definem a configuração deforma
a idealização matemática do comportamento das ba
 
30 
De acordo com Martha (2010), a solução discreta é representada por valores de 
deslocamentos e rotações nos nós (pontos de encontro das barras), tal como indicado na 
. No exemplo dessa figura, as 
eslocabilidades são os deslocamentos horizontais dos nós superiores, ∆l3 e ∆m3 , os 
, e as rotações dos nós livres ao giro, no, nl e nm. 
étodo dos deslocamentos 
 
a configuração deformada da estrutura (elástica mostrada em escala 
delo matemático. Os valores das 
iscreta do problema. Nesse tipo de 
ão contínua pode ser obtida por interpolação 
e rotações nodais, considerando também o efeito da 
estruturas reticuladas com barras 
igual à solução analítica do modelo estrutural. 
interpolação que definem a configuração deformada contínua 
a idealização matemática do comportamento das barras feita pela 
31 
 
3 PROPOSTA DE TRABALHO 
 
3.1 INTRODUÇÃO AO PROJETO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 Este trabalho tem o foco em projetos, área em que muitos profissionais atuam com 
bastante ênfase no parque industrial mecânico, projeto de máquinas e equipamentos. Para 
engenheiros mecânicos, são muitas vezes, desafios que exigem uma boa comunicação entre 
profissionais, criatividade e conceitos sólidos em algumas disciplinas do curso, pois sem essas 
atribuições o profissional da Engenharia acaba perdendo espaço no mercado de trabalho. 
 Segundo Budynas e Nisbett (2011), projetar é formular um plano para atender a uma 
necessidade específica ou resolver um problema. Se o plano resultar na criação de algo 
concreto, então o produto deverá ser funcional, seguro, confiável, competitivo, e próprio para 
ser usado, fabricado e comercializado. Os engenheiros mecânicos estão associados à produção 
e ao processamento de energias e ao fornecimento dos meios de produção, às ferramentas de 
transporte e às técnicas de automação. A base de conhecimento e habilidades é vasta. Entre 
suas bases disciplinares constam a Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos, transportes de massa 
e momentum, processos de fabricação, bem como teorias da informação e eletricidade. O 
projeto de engenharia mecânica envolve todas as disciplinas da Engenharia Mecânica. 
 De acordo com Budynas e Nisbett (2011), o processo de projeto completo possuem 
etapas de extrema importância são elas: a identificação da necessidade, a definição do 
problema, síntese, análise e otimização, avaliação e apresentação. 
 
3.2 DESCRIÇÃO DETALHADA DO PROJETO DO PÓRTICO PLANO 
 
 Conforme revisão bibliográfica consolidada, o projeto apresentado será de uma 
estrutura hiperestática, conforme os objetivos apresentados anteriormente. 
 Para o dimensionamento das colunas apresentaram-se o processo de cálculos de 
flambagem. Irão ser definidos os tipos de carregamento: excêntrico ou concêntrico. 
 O projeto estrutural será realizado conforme as seguintes etapas: 
 
1. Foram calculados separadamente os componentes que irão sofrer esforços, devido à 
carga aplicada e conforme os resultados dos cálculos foram selecionados os 
componentes satisfatórios para fabricação do pórtico plano, atendendo requisitos da 
NBR 8400 (1984). 
32 
 
2. Foi modelada a montagem e as peças em 3D no Solid Works. 
 
3.3 SOLUÇÃO PROPOSTA 
 
 Foram arbitrado perfis de vigas e aplicada a carga nas mesmas, isso vai gerar um valor 
de momento máximo em cada perfil, calcula-se também a tensão admissível conforme a 
NBR 8400 (1984) . Com esses valores obtidos, tem-se como resposta o módulo de resistência 
necessário para o perfil arbitrado, que será comparado com o módulo de resistência da viga. 
 Para o dimensionamento dos pilares foram arbitrados perfis, e definido qual o tipo de 
carregamento que vai ser aplicado, conforme revisão bibliográfica estudada pode-se usar 
carregamentos concêntricos ou excêntricos. 
 
3.4 FORMA DE EXECUÇÃO E CRONOGRAMA 
 
 Este estágio foi realizado na da empresa Personalmaq Máquinas e Equipamentos 
Industriais LTDA, orientado pelo diretor da empresa. 
 Primeiramente, dimensionaram-se os componentes, viga e pilares de acordo com a 
revisão bibliográfica estudada. Está etapa teve início no mês de agosto de 2013 e fim no mês 
de outubro de 2013. 
 Aprovada a primeira etapa, foram modelados os componentes do pórtico em 3D e feito 
a fabricação e montagem dos mesmos. Está etapa iniciou-se no mês de novembrode 2013 e 
terá por fim o mês de dezembro de 2013. 
 
4 DESENVOLVIMENTO DOS CÁL
 
 Primeiramente foram
foram encontrados valores dos esforços internos (momento fletor máximo e força cortante 
máxima). Com valores predeterminados dos esforços
componentes estruturais do pórtico.
 O desenvolvimento dos cálculos estruturais serão apresentados em 5 etapas:
1. Cálculos das reações na viga I
2. Cálculos dos esforços internos
3. Cálculos para dimensionar a viga I
4. Cálculos para dimensionar os pilares
5. Cálculos das solicitações devido às acelerações dos movimentos horizontais
Abaixo, segue a figura 13
externas. 
 
 Fonte: Autor (2013)
 
4.1 REAÇÕES DA VIGA I
 
 Para realização dos cálculos das reações na viga I, foi utilizado 
livre conforme figura 14, que caracteriza a viga superi
pilares, sofrendo esforços distribuídos e concentrados. Com base nesse diagrama, utilizou
método de integração direta para determinar com certa facilidade as reações da viga.
ENVOLVIMENTO DOS CÁLCULOS ESTRUTURAIS
Primeiramente foram determinadas as reações na viga I. Tendo essas calculadas, 
foram encontrados valores dos esforços internos (momento fletor máximo e força cortante 
Com valores predeterminados dos esforços, conseguiu-se o dimensionamento dos 
componentes estruturais do pórtico. 
O desenvolvimento dos cálculos estruturais serão apresentados em 5 etapas:
Cálculos das reações na viga I 
Cálculos dos esforços internos 
Cálculos para dimensionar a viga I 
ara dimensionar os pilares 
Cálculos das solicitações devido às acelerações dos movimentos horizontais
segue a figura 13 mostrando um esboço do pórtico com suas dimensões 
Figura 13 – Dimensões do pórtico 
Fonte: Autor (2013) 
REAÇÕES DA VIGA I 
Para realização dos cálculos das reações na viga I, foi utilizado 
, que caracteriza a viga superior do pórtico que está soldada nos 
ços distribuídos e concentrados. Com base nesse diagrama, utilizou
método de integração direta para determinar com certa facilidade as reações da viga.
 
33 
CULOS ESTRUTURAIS 
endo essas calculadas, 
foram encontrados valores dos esforços internos (momento fletor máximo e força cortante 
se o dimensionamento dos 
O desenvolvimento dos cálculos estruturais serão apresentados em 5 etapas: 
Cálculos das solicitações devido às acelerações dos movimentos horizontais 
esboço do pórtico com suas dimensões 
 
Para realização dos cálculos das reações na viga I, foi utilizado o diagrama de corpo 
or do pórtico que está soldada nos 
ços distribuídos e concentrados. Com base nesse diagrama, utilizou-se o 
método de integração direta para determinar com certa facilidade as reações da viga. 
34 
 
Figura 14 – DCL 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
 As equações de momentos nas seções S1e S2 são mostradas abaixo, conforme 
equações 10 e 11. 
 
�O(p) = 
��p − �3:
1 + �� 0 ≤ p ≤ 0/2 (10) 
 
�1(p) = 
��p − �3:
1 − �	 Jp − ?1L + �� 0/2 ≤ p ≤ 0 (11) 
 
 Método da Integração Direta, conforme equações 12, 13 e 14. 
 
�:��3: = �O(p)/.! (12) 
 
���3 = J OA�L JqVr3:
1 − �3e
s + ��pL + tO (13) 
 
((p) = J OA�L JqVr3e
s − �3u
1v + 7V3:
1 L + tOp + t1 (14) 
 
em p = 0 ((0) = 0 ���3 = 0 os valores das constantes tO = 0 e t1 = 0 obtém-se as 
seguintes equações 15 e 16. 
 
35 
 
((p) = J OA�L JqVr3e
s − �3u
1v + 7V3:
1 L (15) 
 
���3 = J OA�L JqVr3:
1 − �3e
s + ��pL (16) 
 
 Substituindo as seguintes condições na equação 16 onde p = ?1 e 
���3 = 0 obtém-se a 
equação 17 descrita abaixo: 
 
qVr?:
w − �?e
vw + 7V?1 = 0 (17) 
 
 Segue abaixo a equação de momento em torno do ponto B, equação (18): 
 
−�� − 
��0 + �?:
1 + �o + xy?1 = 0 (18) 
 
 Sendo 
�� = 

� e �� = �
, as equações 13 e 14, podem ser solucionadas através de 
um sistema linear determinado, no qual apresenta as equações das reações descritas conforme 
equações 19 e 20. 
 
�� = (�0 + �z)/2 (19) 
 �� = (�01 − 6
��0)/24 (20) 
 
 Os valores dados para o dimensionamento da estrutura estão descritos abaixo: 0 = 3100}} � = 913 �/} ������ = 2830,3 � 
, = 19620 � �	 = ������ + , (21) 
�	 = 22450,3 � 
 As reações e momentos na viga são: 
�� = 12640,3 � e 

� = 12640,3 � 
�� = −9430,6 �} e �
 = −9430,6 �} 
36 
 
4.2 ESFORÇOS INTERNOS DA VIGA I 
 
 No desenvolvimento dos cálculos dos esforços internos utilizou-se o método das 
seções. Serão mostrados os diagramas de corpo Livre (DCL), ilustrando os procedimentos de 
cálculos conforme revisão bibliográfica consultada. 
 Conforme o DCL da figura 15 segue os seguintes dados: 
�� = 12640,3 � 
�� = 9430,6 �} � = −913p + 12640,3 0 ≤ p ≤ 0/2 �	O = −456,5p² + 12640,3p − 9430,6 0 ≤ p ≤ 0/2 (22) 
 
Figura 15 – DCL (Seção 1) 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
 
 Conforme o DCL da figura 16 segue os seguintes dados: 
�� = 12640,3 � 
�� = 9430,6 �} � = −913p − 9810 0/2 ≤ p ≤ 0 �	1 = −456,5p² − 9810p + 25367,365 0/2 ≤ p ≤ 0 (23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Figura 16 – DCL (Seção 2) 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
4.2.1 Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores 
 
 O momento máximo da viga é quando p = ?1 ou seja, p = 1,55}, substituindo esse 
valor nas equações 22 ou 23, encontra-se o momento máximo de 9065,12 �}. Abaixo segue 
a figura 17, mostrando os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores. 
 
Figura 17 – Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores 
 
 Fonte: Autor (2013) 
38 
 
4.2.2 Determinação da tensão admissível 
 
 Conforme a norma NBR 8400(1984), a tensão admissível é atribuída aos cálculos 
conforme a especificação feita pela empresa fabricante do pórtico. Pois conforme a NBR 
8400(1984), existem três casos de solicitações: 
• Caso I – Serviço normal sem vento 
• Caso II – Serviço normal com vento limite de serviço 
• Caso III – Solicitações Excepcionais 
 O pórtico em questão está inserido no caso I. Para este caso pode-se usar a seguinte 
relação para a determinação da tensão admissível: segundo a norma NBR 8400 (1984), se ��/�� < 0, 7, ou seja, a tensão de escoamento dividida pela tensão de ruptura usa-se a 
equação 24, onde �� é a tensão admissível. 
 
 �� = ��/1,5 (24) �� = 250 �,� �� = 400 �,� �� = 167 �,� 
 
4.3 DIMENSIONAMENTO DA VIGA I 
 
 Para dimensionar a viga utiliza-se a seguinte equação 25 conforme Hibbeler (2004): 
 ���� = �/����(25) 
 
 Segundo Hibbeler (2004), os engenheiros escolhem uma viga em particular que 
satisfaça o requisito � > ���� ou seja, o módulo de resistência da viga arbitrada tem que ser 
maior que o módulo de resistência necessário. 
 Conforme Apêndice B do Hibbeler (2004) buscou-se valores tabelados da viga W150 
x 30, que irão ser de extrema importância para o dimensionamento da mesma. 
 Calculando o módulo de resistência necessário ���� pela equação 25. 
M = momento máximo na viga, calculado conforme equações 22 ou 23 ���� = �� é a tensão admissível calculada conforme equação 24 ���� = 54282,1 }}³ 
39 
 
 Conforme o apêndice B do Hibbeler (2004), o módulo de resistência (S), é � = 218 ×10³ }}³, portanto � > ���� satisfazendo a condição para o uso dessa viga no projeto. 
 
4.4 REAÇÕES DA VIGA I 
 
 Os valores dados para o dimensionamento da estrutura estão descritos abaixo: 0 = 3100}} � = 669 �/} ������ = 2073,9 � 
, = 19620 � �	 = 21693,9 � valor calculado conforme equação 21 
 As reações para a viga em questão foram calculadas conforme DCL da figura 14, e as 
equações 19 e 20. 
 As reações e momentos na viga são: 
�� = 11883,9 � e 

� = 11883,9 � 
�� = −8942,1 �} e �
 = −8942,1 �} 
 
4.5 ESFORÇOS INTERNOS DA VIGA I 
 
 Utilizando o DCL da figura 15 obtém-se os seguintes dados: 
�� = 11883,9 � 
�� = 8942,1 �} � = −669p + 11883,9 0 ≤ p ≤ 0/2 �	O = −334,5p² + 11883p − 8942,1 0 ≤ p ≤ 0/2 (26) 
 
 Utilizando o DCL da figura (16) obtém-se os seguintes dados: 
�� = 11883,9 � 
�� = 8942,1 �} � = −669p − 9810 0/2 ≤ p ≤ 0 �	1 = −334,5p² − 9810p + 24683,4 (27) 
 
 
40 
 
4.5.1 Diagramas dos Esforços Cortantes e Momentos Fletores 
 
 O momento máximo da viga é quando p = ?1 ou seja, p = 1,55}, substituindo esse 
valor nas equações 26 ou 27, encontra-se o momento máximo de 8677,3 �}. Abaixo segue a 
figura 18, mostrando os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores. 
 
Figura 18 – Diagramas de esforços cortantes e momentos fletores 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
4.6 DIMENSIONAMENTO DA VIGA I 
 
 Seguindo o mesmo procedimento de cálculo da viga I (W150 x 30) encontra-se o ���� = 51959,8 }}³. Conforme o apêndice B do Hibbeler (2004), o módulo de resistência 
(S), é � = 159 × 10³ }}³ da viga W150 x 22 portanto � > ���� satisfazendo a condição 
para o uso dessa viga no projeto. 
 
41 
 
4.7 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES 
 
 O dimensionamento dos pilares depende do momento da viga, do seu perfil, da tensão 
máxima e da tensão admissível. Essas características serão apresentadas no decorrer deste 
tópico, utilizando dados da norma NBR 8400(1984). 
 Segue abaixo a figura 19, mostrando um DCL, composto da viga I (W150 x30) e 
pilares que serão arbitrados. 
 
Figura 19 – DCL para dimensionamento dos pilares 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
4.7.1 Cálculo da força máxima 
 
 Conforme revisão de estática pode-se aplicar a seguinte equação 28: 
 �
 = � × ) (28) �
 = 9430,6 �} 
42 
 
) = 500 }} �� 0,5} � = 18861,2 � 
 
 A carga máxima (P), é a soma da carga F com a carga de serviço (Cs), conforme 
equação 29: 
 , = � + t	 (29) � = 18861,2 � t	 = 19620 � , = 38481,2 � 
 
4.7.2 Fator de comprimento efetivo (K) 
 
 Para determinar esse fator, foram utilizados dados da norma NBR 8400(1984), 
conforme Tabela 1 abaixo: 
 
Tabela 1 – Fator de multiplicação para determinação de comprimento de flambagem 
 
Fonte: NBR 8400 (1984) 
 
43 
 
 Foram arbitrados os seguintes perfis: tubo quadrado de 140 x 140 x 6,3; tubo quadrado 
120 x 120 x 6,3 e tubo quadrado 100 x 100 x 6,3. Nas seções 4.7.3; 4.7.4 e 4.7.5 serão 
apresentadas as características estruturais de cada perfil. 
 
4.7.3 Características estruturais do perfil 140 x 140 x 6,3 
 
Figura 20 – Perfil quadrado 140 x 140 x 6,3 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
Material: Aço Estrutural A36 ! = 10060202,48 }}v & = 3369,24 }}1 e 0 = 4825}} = = 70 }} 
 Para calcular a tensão máxima desse perfil, foi utilizada a equação 4, admitindo os 
seguintes valores: , = 38481,2 � �
 = 9430,6 �} 
 O valor do ���3 = 77,32 �,� 
 O tipo de fixação selecionada seguiu as seguintes características: sem rotação e com 
translação e a base é engastada (sem rotação e translação), conforme tabela 1, foi utilizado 
para os cálculos de tensão admissível, o valor de � = 1,2 .Essa tensão foi calculada de acordo 
com a equação (9), tendo como resultado o valor de ���� = 85,08 �,� 
 Segundo Hibbeler (2004), para um projeto de coluna com carregamento excêntrico ser 
conservador, o mesmo deve obedecer a seguinte equação 30. 
 ��á3 ≤ ���� (30) 
 Portanto, esse perfil pode ser uma opção para o projeto. 
44 
 
4.7.4 Características estruturais do perfil 120 x 120 x 6,3 
 
Figura 21 – Perfil quadrado 120 x 120 x 6,3 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
Material: Aço Estrutural A36 ! = 6192442,65 }}v & = 2865,24 }}1 e 0 = 4825}} = = 60 }} 
 Seguindo o mesmo procedimento de cálculo do perfil anterior, utilizando um fator � = 1,0. 
 Os resultados foram: ���3 = 105,2 �,� e ���� = 88,25�,� 
 Conforme equação 30, esse perfil não pode ser opção para o projeto. 
 
4.7.5 Características estruturais do perfil 100 x 100 x 6,3 
 
Figura 22 – Perfil quadrado 100 x 100 x 6,3 
 
 Fonte: Autor (2013) 
 
Material: Aço Estrutural A36 ! = 347077,8 }}v & = 2361,25 }}1 e 0 = 4825}} = = 50 }} 
45 
 
 Seguindo o mesmo procedimento de cálculo do perfil anterior, utilizando um fator � = 1,0. 
 Os resultados foram: ���3 = 152,73 �,� e ���� = 66,89�,� 
 Conforme equação 30, esse perfil não pode ser opção para o projeto. 
 
4.8 SOLICITAÇÕES DEVIDO AS ACELERAÇÕES DOS MOVIMENTOS 
 HORIZONTAIS 
 
 Os cálculos desenvolvidos na seqüência são conforme norma NBR 8400(1984). 
 
4.8.1 Massa Equivalente 
 
 No caso em questão, a massa equivalente apenas será igual à massa do carro guincho 
conforme equação 31, descrita abaixo: 
 } = }� (31) 
onde } = 30 �� 
 
4.8.2 Aceleração ou desaceleração média 
 
 Para a pórtico em estudo foi arbitrado uma força fictícia (�) de 1600 �. Conforme a 
NBR 8400(1984), o cálculo da aceleração é conforme a equação 32, descrita abaixo: 
 
�� = ��f�� (32) 
onde }O = 1970 �� 
 
 Resolvendo a equação 32, obtém-se um aceleração média (��) de 0,081}/;1. Com 
este valor consegue-se obter a velocidade média de 0,27}/; interpolando os valores da 
tabela 2 abaixo. 
 
 
 
 
46 
 
Tabela 2 – Tempos de acelerações 
 
Fonte: NBR 8400 (1984) 
 
 
4.8.3 Duração média de aceleração ou desaceleração 
 
�� = ��X (33) 
 
 Onde � é velocidade média e �� é a aceleração ou desaceleração média, resultando em 
uma duração média (��) de 3,33s 
 
4.8.4 Força de inércia média 
 ��� = }O × ��(34) 
 
 Onde }O = 1970 �� e (��) = 0,081}/;1, resultando em uma força de inércia ��� = 159,57 � 
 
4.8.5 Período de oscilação 
 
 Segundo a NBR 8400 (1984), o período de oscilação é obtido conforme a equação 35. 
 
�O = 2-@ �� (35) 
47 
 
 Onde � é o comprimento de suspensão de carga, quando esta se acha na posição mais 
alta de trabalho. Não devem considerar valores inferiores a 2}, conforme a NBR 8400 
(1984). 
 No projeto do pórtico foi usado o � = 3}, portanto o período de oscilação �O é 3,47;. 
 
4.8.6 Coeficientes � 
 
 Conforme a NBR 8400(1984), esse coeficiente é calculado conforme a equação 36. 
 
� = ��� (36) 
 
 Quando o sistema comandando o movimento controla a aceleração ou desaceleração e 
a mantém com valor constante, torna-se � = 0, sejam quais forem as massas } e }O. 
 Para o projeto do pórtico foi usado o � = 0. 
 
4.8.7 Coeficientes � 
 
 Segundo a NBR 8400 (1984), esse coeficiente é definido conforme a equação 37. 
 
� = �X�� (37) 
 Portanto � calculado é 0,95. 
 
4.8.8 Coeficientes Ψ 
 
 Com os valores � e �, entra-se no diagrama da figura 23 conforme Apêndice C e 
determina-se o valor correspondente a Ψ. No entanto encontra-se um Ψ= 2,0, pois para 
valores de � maiores que 0,5 a tendência da curva � = 0 é permanecer constante. 
 A força de inércia devido à carga é o coeficiente Ψ multiplicado pela força de inércia 
média, calculado na equação 34. Isto resulta em uma força de 319,14 �. 
48 
 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 Portando, foram selecionados junto à empresa, os perfis para o projeto do pórtico, 
escolhendo materiais que a empresa tinha em seu estoque. 
 A viga I selecionada foi a W150 x 30, pois existia esse material na empresa, e o perfil 
quadrado escolhido foi o de 140 x 140 x 6,3, conforme os cálculos foi o único aprovado para 
o uso. 
 Ressaltando, no dimensionamento dos tubos quadrados, foram utilizados diferentes 
fatores de multiplicação, pois mesmo utilizando um fator de 1,0 conforme critérios utilizados 
não aprovaram os tubos 120 x 120 x 6,3 e 100 x 100 x 6,3. Conforme a NBR 8400 (1984) o 
fator de multiplicação utilizado nos projetos que envolvem carregamentos como o pórtico em 
estudo é de 1,2. 
 Na solicitação devido às acelerações dos movimentos horizontais, pode-se dizer que 
foi um exemplo resolvido onde a força de 1600 N foi estimada. Para obter um resultado real 
dessas solicitações, pesquisas além da NBR 8400 (1984) devem ser feitas e, ter um 
conhecimento técnico-científico maior. 
 Sugere-se para a melhoria desse relatório um estudo sobre a NBR 8800 (2008) e uso 
de softwares como o Strap (análise estrutural), para dimensionar estruturas hiperestáticas. 
 Portanto os objetivos foram alcançados, junto com as especificações da NBR 8400 
(1984) Cálculos de equipamentos para levantamento e movimentação de carga. O projeto foi 
apresentado ao diretor da empresa e o mesmo aprovou com êxito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8400: Cálculo de 
Equipamento para Levantamento e Movimentação de Cargas, 1984 
 
ALVA, G. M. S.; DEBS, A. L. H. EL.; JR KAMINSKI, J. Ibracon Structures and 
Materials Journal. Nonlinear analysis of reinforce concrete structures’ in design procedures: 
application of lumped dissipation models.Vol 3. Number 2 (june 2010). 149 – 178p 
 
BUDYNAS G, Richard; NISBETT, J. Keith; Elementos de Máquinas de Shigley:Projeto de 
Engenharia Mecânica. Tradução técnica João Batista de Aguiar; Jose Manoel de Aguiar. 8. 
ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 1084p. :il. color. ; 28cm. 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. Tradução Joaquim Pinheiro Nunes; revisão 
técnica Wilson Carlos da Silva. São Paulo: ed. Pearson Prentice Hall, 2004. 
 
MARTHA, Luis Fernando. Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos. Sindicato 
dos Editores de Livros. Rio de janeiro: ed. Elsevier, 2010. 501p. 
 
RUIZ, Miguel Cervera; DÍAZ, Elena Bianco. Mecánica de Estructuras: Libro 2: Métodos 
de Analisis. Universitat Politécnica de Catalunya. Barcelona (Espanha): 2002. 329p 
 
RIBEIRO, Fernando José Granja. Dimensionamento de um Pórtico Rolante. 2011. 184f. 
Dissertação (Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica) – FEUP – Faculdade de 
Engenharia da Universidade do Porto, Portugal, 2011. 
 
SOUTO, André; SILVA, Daiçon. Estruturas: Uma Abordagem Arquitetônica. 1 ed. Porto 
Alegre.Sagra Luzzatto. 1997. 
 
VIERO, Edison Humberto. Isostática: Passo a Passo: Sistemas Estruturais em Engenharia e 
Arquitetura. 3° edição. Caxias do Sul : ed. Educs, 2011. 224p. 
50 
 
APÊNDICE A – MÉTODO DE CÁLCULO PARA A TENSÃO ADMISSÍVEL EM 
FLAMBAGEM 
 
 O carregamento no pórtico é excêntrico e sua tensão máxima foi calculada conforme 
equação 4. Se o carregamento fosse concêntrico usaria a equação 8. 
 Calculando a tensão máxima de Euler conforme equação abaixo obtém-se valor de 175,81 �,� . 
 Se ��á3 > O1 �� a fórmula de Euler não pode ser aplicada. 
Fórmula da tensão máxima de Euler: 
 
��á3 = �:A
J\]̂L: 
 No perfil escolhido 140 x 140 x 6,3, utilizando os mesmos dados o ��á3 =175,81 �,� consequentemente é maior que 125 �,� que é a metade da tensão de 
escoamento, portanto a tensão admissível é calculada conforme a equação 9. 
51 
 
APÊNDICE B – EQUAÇÕES PARA MÉTODOS DAS FORÇAS OU SUPERPOSIÇÃO 
 �5 = 0 
 
Equações de compatibilidade 
 �5� + �55�5 + �5o�o = 0 �o� + �o5�5 + �oo�o = 0 
 −��5 = �55�5 + �5o�o −�o� = �o5�5 + �oo�o 
 
Equações de compatibilidade de deslocamento 
 
��55 �5o�o5 �oo� ��5�5 � = �−�5�−�o�� 
 
Utilizando conceitos de flexibilidade 
 ��� = vetor de forças desconhecidas R�T��� = ∆ 
 
R�T = ��55 �5o
�o5 �oo� = matriz de flexibilidade 
 
�∆�� = �−�5� , −�o�� = vetor de deslocamentos produzidos pelo carregamento externo. 
52 
 
APÊNDICE C – DIAGRAMA Ψ X � 
 
Figura 23 – Diagrama Ψ x � 
 
Fonte: NBR 8400 (1984)