questões de matematica -AZ

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a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{4}{3} \) 
 d) \( \frac{2}{5} \) 
 
 **Resposta:** d) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x) - \sin^3(x) \), e aplicando métodos 
de integração, obtemos \( \frac{2}{5} \). 
 
12. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} x e^{-2x} \, dx \)?** 
 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 
 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** Usando integração por partes, obtemos \( \frac{1}{4} \). 
 
13. **Qual é a raiz do polinômio \( x^3 - 3x + 2 = 0 \)?** 
 
 a) 1 
 b) -1 
 c) 2 
 d) -2 
 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Substituindo 1 na equação, temos \( 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \), confirmando 
que 1 é uma raiz. 
 
14. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \)?** 
 
 a) \( \frac{1}{2} e \) 
 b) \( \frac{1}{2} (e - 1) \) 
 c) \( \frac{1}{2} (e^2 - 1) \) 
 d) \( \frac{1}{2} (e - 1) \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e \) 
 **Explicação:** Usando substituição \( u = x^2 \), temos \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx = 
\frac{1}{2} e \). 
 
15. **Qual é o valor de \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \) para a função \( f(x) = e^{x^2} \)?** 
 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( (4x^2 + 2) e^{x^2} \) 
 c) \( 2 e^{x^2} \) 
 d) \( 4x^2 e^{x^2} \) 
 
 **Resposta:** b) \( (4x^2 + 2) e^{x^2} \) 
 **Explicação:** A segunda derivada de \( e^{x^2} \) é calculada aplicando a regra da cadeia 
duas vezes. 
 
16. **Qual é o valor de \( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)?** 
 
 a) -2 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0 
 
 **Resposta:** a) -2 
 **Explicação:** A determinação de uma matriz 2x2 é calculada por \( 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -
2 \). 
 
17. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}} \)?** 
 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida usando a substituição \( x = \sin(\theta) \), 
resultando em \( \frac{\pi}{2} \). 
 
18. **Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} \)?** 
 
 a) \( \frac{3}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{4} \) 
 **Explicação:** A série pode ser simplificada usando decomposição em frações parciais. 
 
19. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)?** 
 
 a) 0 
 b) 1 
 c) -1 
 d) \( \infty \) 
 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este é um limite padrão que resulta em 1, conhecido como a base da 
definição da derivada da função seno.