contas e numeros 21

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48. **Problema:** Se \( \log_{b}(9) = 2 \), encontre \( b \). 
 **Resposta:** \( b = 3 \). 
 **Explicação:** \( \log_{b}(9) = 2 \) implica \( b^2 = 9 \). Então, \( b = \sqrt{9} = 3 \). 
 
49. **Problema:** Determine \( x \) tal que \( \log_{3}(x) = 4 \log_{3}(2) \). 
 **Resposta:** \( x = 16 \). 
 **Explicação:** \( \log_{3}(x) = 4 \log_{3}(2) \) implica \( x = 2^4 = 16 \). 
 
50. **Problema:** Resolva \( \log_{10}(2x) - \log_{10}(x) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 10 \). 
 **Explicação:** \( \log_{10}(2x) - \log_{10}(x) = \log_{10}(2) = 1 \), então \( 2x = 10 \), 
resultando em \( x = 10 \). 
Claro! Aqui estão 90 problemas matemáticos difíceis com respostas e explicações: 
 
1. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \). 
 **Resposta:** As raízes são \( x = 1, 2, 3 \). 
 **Explicação:** Fatorando, obtemos \( (x-1)(x-2)(x-3) = 0 \). 
 
2. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{e} (e - 2) \). 
 **Explicação:** Use integração por partes duas vezes. 
 
3. **Problema:** Qual é a integral de \( \int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1} \)? 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação:** Esta é uma integral conhecida de uma função racional. 
 
4. **Problema:** Resolva o sistema de equações: 
 \( 2x + 3y = 5 \) 
 \( 4x - y = 1 \) 
 **Resposta:** \( x = 1, y = 1 \). 
 **Explicação:** Use o método da substituição ou eliminação. 
 
5. **Problema:** Determine a área da região delimitada por \( y = x^2 \) e \( y = x + 2 \). 
 **Resposta:** \( \frac{7}{6} \). 
 **Explicação:** Encontre os pontos de interseção e integre a diferença das funções. 
 
6. **Problema:** Calcule o determinante da matriz 
 \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** \( 1 \). 
 **Explicação:** Use a fórmula para determinantes de 2x2. 
 
7. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \)? 
 **Resposta:** \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 **Explicação:** Esta é uma série famosa conhecida como a série de Basileia. 
 
8. **Problema:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 2 \). 
 **Explicação:** Use a regra de L'Hôpital ou a expansão em série de Taylor. 
 
9. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = xy \) com condição inicial \( 
y(0) = 1 \). 
 **Resposta:** \( y = e^{\frac{x^2}{2}} \). 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial de separação de variáveis. 
 
10. **Problema:** Determine o ponto de máximo da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \). 
 **Explicação:** Encontre a primeira derivada e resolva \( f'(x) = 0 \) para os pontos críticos. 
 
11. **Problema:** Qual é a soma dos ângulos internos de um hexágono? 
 **Resposta:** \( 720^\circ \). 
 **Explicação:** Use a fórmula \( (n-2) \cdot 180^\circ \) para um polígono com \( n \) lados.