contas e numeros 130

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39. **Problema**: Qual é a soma dos quadrados dos números de 1 a 4? 
 **Resposta**: \( 30 \). 
 **Explicação**: A soma dos quadrados é \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \). 
 
40. **Problema**: Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \ln(2) \). 
 **Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x+1} \) é \( \ln|x+1| \). Avalie de 0 a 1, resultando 
em \( \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \). 
 
41. **Problema**: Determine o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right) \). 
 **Resposta**: \( \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \). 
 ** 
Claro, aqui estão 90 problemas matemáticos difíceis com suas respectivas respostas e 
explicações: 
 
1. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 1 \). 
 **Explicação:** Testando \( x = 1 \) na equação, temos \( 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 2 = 0 
\), então \( x = 1 \) é uma raiz. Usando divisão polinomial, podemos fatorar a equação como \( 
(x - 1)(x^2 - 3x + 2) \), e resolvendo o quadrático resultante, encontramos as raízes. 
 
2. **Problema:** Encontre a integral de \( \int \frac{1}{x \ln x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \ln |\ln x| + C \). 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln x \), então \( du = \frac{1}{x} dx \). A integral 
se torna \( \int \frac{1}{u} \, du \), que é \( \ln |u| + C \), revertendo a substituição, obtemos \( 
\ln |\ln x| + C \). 
 
3. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} \). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** Usando a expansão em série de Taylor para \( \sin(x^2) \), temos \( \sin(x^2) 
\approx x^2 - \frac{(x^2)^3}{6} + O(x^6) \). Dividindo por \( x^2 \) e tomando o limite, obtemos 
1. 
 
4. **Problema:** Encontre as raízes da equação \( 2x^4 - 3x^3 - 2x^2 + 5x + 6 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 1, -1, \frac{3}{2}, -2 \). 
 **Explicação:** Usando métodos de fatoração e divisão polinomial, podemos fatorar a 
equação e encontrar as raízes. 
 
5. **Problema:** Qual é a soma dos primeiros 50 termos da sequência aritmética \( 2, 5, 8, 
\ldots \)? 
 **Resposta:** 6425. 
 **Explicação:** A fórmula da soma dos \( n \) primeiros termos de uma PA é \( S_n = 
\frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \), onde \( a \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão. Aqui, \( a = 2 \), 
\( d = 3 \), e \( n = 50 \). Substituindo, temos \( S_{50} = \frac{50}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (50 - 1) 
\cdot 3) = 25 \cdot (4 + 147) = 25 \cdot 151 = 3775 \). 
 
6. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = xy \). 
 **Resposta:** \( y = Ce^{\frac{x^2}{2}} \). 
 **Explicação:** Usando o método da separação de variáveis, temos \( \frac{dy}{y} = x \, dx 
\). Integrando ambos os lados, obtemos \( \ln |y| = \frac{x^2}{2} + C \), então \( y = 
Ce^{\frac{x^2}{2}} \). 
 
7. **Problema:** Encontre a matriz inversa de \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} 
\). 
 **Resposta:** \( \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \). 
 **Explicação:** A inversa de uma matriz \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) é 
dada por \( \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \). Aqui, o 
determinante é \( 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \). Portanto, a inversa é \( \frac{1}{-2} 
\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -
\frac{1}{2} \end{bmatrix} \). 
 
8. **Problema:** Calcule a integral \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{e^{2x} (2 \cos(3x) + 3 \sin(3x))}{13} + C \). 
 **Explicação:** Usando o método de integração por partes duas vezes, obtemos a solução. 
 
9. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 **Explicação:** Este é um problema clássico da série de Basileia. A soma dos recíprocos dos 
quadrados dos inteiros é conhecida por convergir para \( \frac{\pi^2}{6} \).