67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

a força na direção 14, causada 
por uma rotação unitária no GL 21 (existe um único elemento que liga o GL 14 ao GL 12). 
 Verifica-se que S*14,10 é nulo, pois não há nenhum elemento ligando o nó 5 ao qual 
pertence à direção 14. Isto ocorrerá com vários outros coeficientes, o que explica o fato dos 
coeficientes da matriz [S]* se agruparem em uma “banda” (faixa) em torno da diagonal 
principal, os demais coeficientes fora desta banda são nulos. 
 
3.12.3. Regra da correspondência 
 A regra da correspondência relaciona a numeração dos deslocamentos das 
extremidades dos elementos ({uG}), com a numeração dos deslocamentos nodais da 
estrutura ({D}). Em cada elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 a 2 × NGL/nó 
(NGL/nó = número de graus de liberdade por nó): 
 
 
1 Æ NGL/nó NGL/nó+1 Æ 2 × NGL/nó 
elemento i
Nó J1 inicial Nó K1 final
elemento i
Nó J1 inicial Nó K1 final 
Figura 3-62 
Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós, sendo que, em 
cada nó há “NGL/nó”, deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do sistema 
GLOBAL. 
 
3.12.4. Exemplo 1 – Pórtico plano 
Número de graus de liberdade por nó é igual a três 
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Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
128
4
52
1
3J
21
20
19
18
3J - 1
3J - 2
17
16
15
13
14
9 7
8
63
1
4
7
8
6
5
3
2
6
uG1
uG2
uG3
i
uG4
uG6
uG5
Z
Y
X
i
1
2
3 4
5
6
 
NGL/nó4
52
1
3J
21
20
19
18
3J - 1
3J - 2
17
16
15
13
14
9 7
8
63
1
4
7
8
6
5
3
2
6
uG1
uG2
uG3
i
uG4
uG6
uG5
Z
Y
X
i
1
2
3 4
5
6
 
NGL/nó
 
Figura 3-63 
Tomando-se o elemento 7 como exemplo, que liga o nó 5 ao nó 7 (J=5; K=7) 
 
Regra da Correspondência 
Tabela 3-2: Correspondência dos nós 
GL da estrutura GL do elemento i ({uG}) 
({D}*) (ligando J(i) a K(i)). 
3J(i) – 2 = 13 1 
3J(i) – 1 = 14 2 
3J(i) = 15 3 
3K(i) – 2 = 19 4 
3K(i) – 1 = 20 5 
3K(i) = 21 6 
 
3.12.5. Exemplo 2 - Elementos de treliça 
E1.A1/L1 = 10 D2 = ? 
E2.A2/L2 = 30 D3 = ? 
 
L1 L2
P = 60
E2 A2
E1 A1
L1 L2
P = 60
E2 A2
E1 A1
 
 
 
D3D2D1 1 2
1 2 3
D3D2D1 D3D2D1 11 22
1 2 3 
(a) (b) 
Figura 3-64: Elemento de treliça 
 
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129
Os elementos de barra utilizados na modelagem da barra tracionada estão 
mostrados na Figura 3-65a, sendo que cada nó apresenta um grau de liberdade (translação 
horizontal). 
uG1
D1 D2
uG2
(1)
uG1
D1 D2
uG2
(1)
 uG1
D2 D3
uG2
(2)
uG1
D2 D3
uG2
(2)
 
(a) Elemento 1 (b) Elemento 2 
Figura 3-65: Elementos da estrutura tracionada 
Nó J: GL da estrutura = J 
[ ]








−
−
=
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
SL 
 
[ ] [ ] −
−==
1010
1010
SS (l)G
(l)
L 
 
[ ] [ ] −
−==
3030
3030
SS (2)G
(2)
L 
 
Regra da correspondência: 
Tabela 3-3: Regra da correspondência: GL da estrutura correspondente ao GL dos elementos 
Elemento 1 2 
J Æ K 1 Æ 2 2 Æ 3 uG 
J 1 2 1 
K 2 3 2 
 A matriz de rigidez da estrutura não-restringida (sem apoios) é formada levando-se 
em conta a contribuição dos dois elementos, somando-se os coeficientes das matrizes de 
rigidez no sistema global, que correspondem ao mesmo grau de liberdade da estrutura: 
[ ]








−
−+−
−
=
30300
30301010
01010
S* [ ]








−
−−
−
=∴
30300
304010
01010
S* 
 
 
3.12.6. Exemplo 3 – Elementos de viga 
Seja a viga contínua mostrada na Figura 3-66, cujo número de graus de liberdade 
por nó é igual a dois. 
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130
 
 
 
Figura 3-66: Viga contínua 
 
D2
D1
(1) (4)(3)(2)
54321
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10D2
D1
(1) (4)(3)(2)
54321
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
 
 
Figura 3-67: Graus de liberdade da estrutura 
Nó J: GL da estrutura = 2J-1 e 2J 
uG2
21
uG1 uG3
uG4
1
uG2
21
uG1 uG3
uG4
11
 
uG2
21
uG1 uG3
uG4
2
uG2
21
uG1 uG3
uG4
22
 
(a) (b) 
Figura 3-68: Elementos de viga utilizados na modelagem – graus de liberdade dos elementos 
 
 Regra da correspondência: 
Tabela 3-4: Regra da correspondência: GL da estrutura correspondente ao GL dos elementos 
Elemento (1) (2) (3) (4) uG 
J Æ K 1 Æ 2 2 Æ 3 3 Æ 4 4 Æ 5 
2J - 1 1 3 5 7 1 
2J 2 4 6 8 2 
2K - 1 3 5 7 9 3 
2K 4 6 8 10 4 
 
 1 2 3 4 
 1 
[SG]1 = 2 
 3 
 4 
 3 4 5 6 
 X X X X 3 
[SG]2 = X X X X 4 
 X X X X 5 
 X X X X 6 
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131
 5 6 7 8 
 5 
[SG]3 = 6 
 7 
 8 
 7 8 9 10 
 ∆ ∆ ∆ ∆ 7 
[SG]4 = ∆ ∆ ∆ ∆ 8 
 ∆ ∆ ∆ ∆ 9 
 ∆ ∆ ∆ ∆ 10 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 0 0 0 0 0 0 1 
 0 0 0 0 0 0 2 
 + X X X X 0 0 0 0 3 
 + X X X X 0 0 0 0 4 
[S*]= 0 0 X X X+ X+ 0 0 5 
 0 0 X X X+ X+ 0 0 6 
 0 0 0 0 + ∆ + ∆ ∆ ∆ 7 
 0 0 0 0 + ∆ + ∆ ∆ ∆ 8 
 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ ∆ 9 
 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ ∆ 10
Os coeficientes da matriz de rigidez da estrutura não restringida são formados a 
partir dos coeficientes das matrizes de rigidez no sistema global de cada elemento, usando-
se a regra da correspondência e somando-se os coeficientes que correspondem ao mesmo 
grau de liberdade da estrutura nos nós onde concorrem os elementos. 
2
11G
1
33G
*
33 SSS += 
2
12G
1
34G
*
34 SSS += 
2
22G
1
44G
*
44 SSS += 
3
11G
2
33G
*
55 SSS += 
3
22G
2
44G
*
66 SSS += 
3
12G
2
34G
*
56 SSS += , etc… 
 
 
3.12.7. Exemplo 4 - Viga contínua 
Repetir o problema anterior mudando a numeração dos nós. 
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132
D2
D1
(1) (4)(3)(2)
35241
D7
D8
D3
D4
D9
D10
D5
D6D2
D1
(1) (4)(3)(2)
35241
D7
D8
D3
D4
D9
D10
D5
D6
 
Figura 3-69: Graus de liberdade da estrutura 
Regra da correspondência: 
Tabela 3-5: Regra da correspondência: GL da estrutura correspondente ao GL dos elementos 
Elemento (1) (2) (3) (4) uG 
KJ → 1Æ4 4Æ2 2Æ5 5Æ3 
2J - 1 1 7 3 9 1 
2J 2 8 4 10 2 
2K - 1 7 3 9 5 3 
2K 8 4 10 6 4 
 
 
 1 2 7 8 
 1 
[SG]1= 2 
 7 
 8 
 7 8 3 4 
 X X X X 7 
[SG]2 = X X X X 8 
 X X X X 3 
 X X X X 4 
 3 4 9 10 
 3 
[SG]3 = 4 
 9 
 10 
 
 9 10 5 6 
 ∆ ∆ ∆ ∆ 9 
[SG]4 = ∆ ∆ ∆ ∆ 10 
 ∆ ∆ ∆ ∆ 5 
 ∆ ∆ ∆ ∆ 6 
 
Matriz de rigidez da estrutura não-restringida 
 
3
11G
2
33G
*
33 SSS += 4 33G*55 SS = 
3
22G
2
44G
*
44 SSS += 4*66 44GSS = , etc… 
2
11G
1
33G
*
77 SSS += 4 11G3 33G*99 SSS += 
2
12G
1
34G
*
78 SSS += 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 1 0 0 0 0 0 0 
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