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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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133
 2 0 0 0 0 0 0 
 3 0 0 X+ X+ 0 0 X X 
 4 0 0 X+ X+ 0 0 X X 
[S*]= 5 0 0 0 0 ∆ ∆ 0 0 ∆ ∆ 
 6 0 0 0 0 ∆ ∆ 0 0 ∆ ∆ 
 7 X X 0 0 + X + X 0 0 
 8 X X 0 0 + X + X 0 0 
 9 0 0 0 0 0 0 + ∆ + ∆
 10 0 0 0 0 0 0 + ∆ + ∆
 
 
3.12.8. Exemplo Numérico 
 Seja a viga contínua ilustrada na Figura 3-70, que é o mesmo exemplo calculado 
anteriormente sem dividir a estrutura em elementos.A viga tem seção transversal constante 
com rigidez à flexão EI = 72 × 103kNm2. 
1,5 m 2 m 2 m1,5 m
12 kNm 20 kN16 kN
D2
D1
321
D3
D4
D5
D6
1 2
1,5 m 2 m 2 m1,5 m
12 kNm 20 kN16 kN
D2
D1
321
D3
D4
D5
D6
11 22
 
Figura 3-70: Viga contínua – geometria, carregamento e graus de liberdade da estrutura 
Divide-se a estrutura em dois elementos como mostrado na Figura 3-71:. 
 
uG2
21
uG1 uG3
uG4
1
uG2
21
uG1 uG3
uG4
11
 
uG2
21
uG1 uG3
uG4
2
uG2
21
uG1 uG3
uG4
22
 
Figura 3-71: Graus de liberdade dos elementos 
 
Regra da correspondência 
Tabela 3-6: Regra da correspondência: GL da estrutura correspondente ao GL dos elementos 
Elemento (1) (2) 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
134
KJ → 1Æ2 2Æ3 
2J - 1 1 3 1
2J 2 4 2
2K - 1 3 5 3
2K 4 6 4
 
Matriz de rigidez de cada elemento (sistema local coincide com global): 
 
 
 
Elemento 1 
 
 
 
l1 = 3m [ ]
4
3
2
1
96484848
48324832
48489648
48324832
10S
4321
31








−
−−−
−
−
⋅= 
 
 
 
Elemento 2 
 
 
 
l2 = 4m 
 
[ ]
6
5
4
3
72273627
2713,52713,5
36277227
2713,52713,5
10S
6543
32
G








−
−−−
−
−
⋅= 
 
Matriz de Rigidez da estrutura não-restringida 
[ ]
6
5
4
3
2
1
7227362700
2713,52713,500
3627729627484848
2713,5274813,5324832
0048489648
0048324832
10*S
654321
3












−
−−−
−++−
−+−+−−
−
−
⋅= 
 
[ ]
6
5
4
3
2
1
7227362700
2713,52713,500
3627168214848
2713,52145,54832
0048489648
0048324832
10*S 3












−
−−−
−−
−−−−
−
−
⋅= 
 
 
Vetores de esforços de engastamento perfeito 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
135
 
 
 
Elemento 1 
 
 
 
l1 = 3 m 
l /2l /2
P/2
Pl /8
P
Pl /8
P/2
l /2l /2
P/2
Pl /8
P
Pl /8
P/2 
21
FEP1
1
FEP3
FEP2 FEP4
+
21
FEP1
11
FEP3
FEP2 FEP4
++
 
 
 
 
Elemento 2 
 
 
 
l2 = 4 m 
l /2l /2
P/2
Pl /8
P
Pl /8
P/2
l /2l /2
P/2
Pl /8
P
Pl /8
P/2 
21
FEP1
2
FEP3
FEP2 FEP4
+
21
FEP1
22
FEP3
FEP2 FEP4
++
 
 
{ } { }



→
→
→
→






−
==
4
3
2
1
6
8
6
8
FF 1EP
1
EP LG
 GL da estrutura 
{ } { }



→
→
→
→






−
==
6
5
4
3
10
10
10
10
FF 2EP
2
EP LG
 GL da estrutura 
Vetor de Esforços de engastamento perfeito da estrutura: (não-restringida) 
{ }














−
=














−
+−
+=
10
10
4
18
6
8
10
10
106
108
6
8
6
5
4
3
2
1
*FEP 
Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não-restringida: (6 equações, 6 
incógnitas) 
GL
531 
642 
({D*})
 
Figura 3-72 Vetor de deslocamentos nodais da estrutura não-restringida 
{FEP}* + [S] *.{D}* = {A}* 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
136
O vetor {D}* mostrado na Figura 3-72 inclui os deslocamentos nodais D4 e D6, que 
são as incógnitas do problema e os deslocamentos nodais restringidos por vínculos que são 
conhecidos D1 = D2 = D3 = D5 = 0. 
O vetor {A}* inclui as ações aplicadas nos nós, que são conhecidas, nas direções 
livres. A4 = -12 kN.m e A6 = 0 e também as reações de apoio R1, R2, R3, R5, que são 
incógnitas: 














=
−==














=
=
=
=












−
−−−
−−
−−−−
−
−
⋅+














− 0
12
A
R
A
R
R
R
D
0D
D
0D
0D
0D
.
7227362700
275,13275,1300
3627168214848
275,13215,454832
0048489648
0048324832
10
10
10
4
18
6
8
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
1
1
3 
 
 
3.13. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA A ESTRUTURA 
RESTRINGIDA 
 Para considerar a estrutura restringida, deve-se impor as condições de contorno, ou 
seja, deslocamentos nulos nas direções restringidas por apoios. No sistema de equações de 
equilíbrio para a estrutura não-restringida. 
{FEP}* + [S*].{D*} = {A*}, (3.69)
 
isto equivale a eliminar as colunas de [S*] correspondentes aos GL restringidos por apoios, 
e, conseqüentemente, como [S*] é simétrica, eliminar também as linhas que correspondem 
aos GL restringidos. 
 O sistema de equações resultantes fica 
 
{FEP} + [S].{D} = {A} (3.70)
 Por exemplo, seja a viga da Figura 3-73 que tem um total de 4 graus de liberdade. 
As direções ou graus de liberdade 1 e 2 são restringidas. Neste caso, os esforços de 
engastamento perfeito do elemento ou da estrutura são 
{ } { }






−
==
8/P
2/P
8/P
2/P
FF
LG EPEP
l
l
 
(3.71)
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
137
l /2l /2
MoP
D1
D2
D3
D4 R2
R1
A3
A4
l /2l /2
MoP
l /2l /2
MoP
D1
D2
D3
D4
D1
D2
D3
D4 R2
R1
A3
A4R2
R1
A3
A4
 
Figura 3-73 Viga engastada e livre; vetor de deslocamentos e vetor de ações nodais para a estrutura não-
restringida 
 
Para a estrutura não-restringida tem-se: 
{FEP}* + [S*].{D*} = {A*} (3.72)






−
=






=












+






− Mo
0
R
R
A
A
A
A
D
D
D
D
.
SSSS
SSSS
SSSS
SSSS
8/P
2/P
8/P
2/P
2
1
*
4
3
2
1
*
4
3
2
1
*
44434241
34333231
24232221
14131211
l
l
.
Fazendo-se D1 = 0 e D2 = 0 no sistema (3.72), obtém-se 







−==++++−
==++++
==++++
==++++
)(MoADSDSx0)(Sx0)(S/8P
)(0ADSDSx0)(Sx0)(SP/2
)RADSDSx0)(Sx0)(S/8P
)(RADSDSx0)(Sx0)(SP/2
*
44
*
443
*
43
*
42
*
41
*
34
*
343
*
33
*
32
*
31
2
*
24
*
243
*
23
*
22
*
21
1
*
14
*
143
*
13
*
12
*
11
ivl
iii
(iil
i
.
(3.73)
Observa-se que os coeficientes da coluna 1 e da coluna 2 de [S]* são multiplicados 
por zero, portanto estas colunas podem ser eliminadas. 
 Eliminando-se também as linhas i e ii de [S]*, obtém-se o sistema de equações de 
equilíbrio para a estrutura restringida, em relação apenas às direções ou GL livres (iii e iv): 
)(
)(
Mo
0
D
D
.
SS
SS
/8P
P/2
4
3
*
44
*

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