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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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{uG}(2) = 
4
3
2
1
1021,0
0
1014,0
0
D
D
D
D
3
3
*
6
*
5
*
4
*
3






⋅
⋅−=






−
−
 
(3.90)
 
A Figura 3-78 mostra graficamente o vetor de deslocamentos nodais {uG} na 
extremidade dos elementos 1 e 2 e a deformada aproximada. 
0,14*10-3
00
21 1
0 0,14*10-3
00
21 1
0 0,14*10-3 0,21*10-3
00
21
2
0,14*10-3 0,21*10-3
00
21
2
(a) (b) 
Figura 3-78 Deslocamentos nodais e deformada aproximada dos elementos 1 (a) e 2 (b). 
Como para o elemento de viga [ℜ] = [I], a equação (3.86) fica: 
{AL} = {FLEP} + [SL] {uG} (3.91)
 Utilizando-se a equação acima para cada elemento, obtém-se então os esforços 
totais, sendo as forças em kN e os momentos em kN.m: 
Elemento 1: {AL}(1) = {FLEP}(1) + [SL](1) {uG}(1) (3.92)
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
143
{ }






×−








−
−−−
−
−
×+






−
=
−3
3
L
1014,0
0
0
0
96484848
48324832
48489648
48324832
10
6
8
6
8
A ∴{ }






−
=
4419
7214
720
281
AL
,
,
,-
,
 
 
Elemento 2 {AL}(2) = {FLEP}(2) + [SL] (2) {uG}(2) (3.93)
{ }






×
×−








−
−−−
−
−
×+






−
=
−
−
3
3
3)2(
L
1021.0
0
1014,0
0
72273627
275,132713,5
36277227
2713,5275,13
10
10
10
10
10
A ∴






=
0
14,8
44,7
86,11
}A{ L 
Os esforços nas extremidades dos elementos 1 e 2 estão ilustrados na Figura 3-79 
abaixo: 
21
16,00
14,721,28
19,440,72
1
21
16,00
14,721,28
19,440,72
1
 
21
20,00
8,1411,86
07,44
2
21
20,00
8,1411,86
07,44
2
 
(a) Elemento 1 (b) Elemento 2 
Figura 3-79: Esforços nos elementos 1 (a) e 2 (b). 
A partir destes esforços nas extremidades e das cargas aplicadas nos elementos 
pode-se traçar os diagramas de esforços internos na viga contínua: 
-14,72
+11,86
-8,14
+1,28
+
-
+
-
-14,72
+11,86
-8,14
+1,28
+
-
+
-
 
 
Figura 3-80: Diagrama de Esforço Cortante (kN) 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
Profª Henriette Lebre La Rovere 
Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
144
+2,64
+16,28
7,44
19,44
+0,72
+
-
+
+2,64
+16,28
7,44
19,44
+0,72
+
-
+
 
Figura 3-81: Diagrama de Momento Fletor (kN.m) 
 
3.15.3. Exemplo 3 – Treliça plana 
Seja a treliça plana mostrada na Figura 3-82, cujas rigidezes à tração das barras são 
(EA)1 = 4, (EA)2 = 3 e (EA)3 = 5. Considere a incidência dos elementos como sendo 
1 : 2 Æ 1 2 : 3 Æ 2 3 : 3 Æ 1 
 
2
3
1
1
23
P = 2
D2
D1
L2 = 3
L1 = 4
 
Figura 3-82: Treliça plana 
1) Calcule: as matrizes de rigidez no sistema local [SL], as matrizes de rotação [ℜ] e 
as matrizes no sistema global [SG] dos elementos da treliça; 
2) Forme a matriz de rigidez da estrutura [S*] usando a regra da correspondência; 
3) Obtenha a matriz de rigidez da estrutura restringida [S] e 
4) Resolva o sistema de equações [S] {D} = {A}, obtendo o vetor de deslocamentos{D}. 
Resolução: 
Matrizes de Rigidez no Sistema Local 
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Profª Henriette Lebre La Rovere 
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PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
145
Para todos os elementos, tem-se que 
( )
1
EA
i
i =
l
. 
Portanto todas as matrizes no sistema local são iguais a 
[ ] [ ] [ ]








−
−
===
0000
0101
0000
0101
SSS )3()2()1( LLL . 
 
Matrizes de Rotação 
 
 
Elemento 1 
 
 
θ = 90° 
 
 
cosθ = 0 
 
 
senθ = 1 [ ℜ
(1)] = 








−
−
0100
1000
0001
0010
 
 
 
Elemento 2 
 
 
θ = 0° 
 
 
cosθ = 1 
 
 
senθ = 0 [ ℜ
 (2)] = [I] = 








1000
0100
0010
0001
 
 
 
Elemento 3 
 
 
θ = 53° 
 
 
cosθ = 0,6 
 
 
senθ = 0,8 [ ℜ
 (3)] = 








−
−
6,08,000
8,06,000
006,08,0
008,06,0
 
 
Matrizes de Rigidez no Sistema Global 
Elemento 1 [ ] [ ] [ ][ ]== ℜℜ )1((1)L)1((1)G ..SS T 
 








−
−=








−
−








−
−=








−
−








−
−








−
−
1010
0000
1010
0000
0100
1000
0001
0010
0101
0000
0101
0000
0100
1000
0001
0010
0000
0101
0000
0101
0100
1000
0001
0010
. 
 
Elemento 2 [ ] [ ] [ ][ ] [ ]SSS (2)L)2((2)L)2((2)G .. == ℜℜ T 
 
[ ]








−
−
=
0000
0101
0000
0101
S(2)G
 
 
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Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
146
Elemento 3 [ ] [ ] [ ][ ]== ℜℜ )3((3)L)3((3)G ..SS T 
 








−−
−−
−−
−−
=








−−
−−








−
−
=








−
−








−
−








−
−
64,048,064,048,0
48,036,048,036,0
64,0048,64,048,0
48,036,048,036,0
0000
8,06,08,06,0
0000
8,06,08,06,0
6,08,000
8,06,000
006,08,0
008,06,0
6,08,000
8,06,000
006,08,0
008,06,0
0000
0101
0000
0101
6,08,000
8,06,000
008,00
008,06,0
 
Matriz de Rigidez da Estrutura 
Regra da Correspondência 
Elemento (1) (2) (3) GL elemento 
J Æ K 2 Æ 1 3Æ2 3Æ1 {uG} 
2J - 1 3 5 5 1 
2J 4 6 6 2 
2K - 1 1 3 1 3 
2K 2 4 2 4 
 
[ ]
















+
++
+
++
+
++
=
SS
SSSSSimétrica
SSSS
SSSSSS
SSSSSS
SSSSSSSS
S
)3(
22G
)2(
22G
)3(
12G
)2(
12G
)3(
11G
)2(
11G
)2(
42G
)2(
41G
)2(
44G
)1(
22G
)2(
32G
)2(
31G
)2(
34G
)1(
12G
)2(
33G
)1(
11G
)3(
42G
)3(
41G
)1(
42G
)1(
41G
)3(
44G
)1(
44G
)3(
32G
)3(
31G
)1(
32G
)1(
31G
)3(
34G
)1(
34G
)3(
33G
)1(
33G
* ,
Portanto, tem-se que 














−
−−−
−−
=
64,0
48,136,1
001Simétrica
0101
64,048,01064,1
48,036,00048,036,0
]S[ * . 
Para se obter a matriz de rigidez da estrutura restringida deve-se eliminar na matriz 
acima as colunas (e as linhas também, devido à simetria) correspondentes às direções 
restringidas (3, 4, 5 e 6 neste exemplo), resultando em: 
ANÁLISE ESTRUTURAL II - ECV5220 
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Profa Poliana Dias de Moraes 
PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO - PET 
 
147



=
64,148,0
48,036,0
]S[ . 
O vetor de ações também deve ser restringido, eliminando-se as linhas 3, 4, 5 e 6: 





=
0
2
}A{ . 
Pode-se então escrever o sistema de equações da estrutura restringida: 





=








=
0
2
D
D
64,148,0
48,036,0
ou}A{}D].{S[
2
1
. 
Resolvendo-se este sistema de equações, obtém-se o vetor de deslocamentos nodais 
da estrutura: 


