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67038284-Analise-Estrutural-ApostilaECV5220

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o que já foi demonstrado anteriormente (Teorema da Reciprocidade de Betti-
Maxwell, SUSSEKIND, 1994a). 
Para uma estrutura com gh = 3, deve-se determinar 6 coeficientes da matriz δ (δ11, 
δ22, δ33, δ12, δ13, δ23) e 3 coeficientes do vetor força δ0 (δ10, δ20, δ30). Resolvendo-se o 
sistema de equações (2.82) obtém-se X. 
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1.1.2.1. Exemplo 1: Pórtico bi-engastado 
 Determinar o diagrama de esforços do pórtico bi-engastado mostrado no Figura 
2-38, desprezando a contribuição do esforço axial. 
10 kN
5 kN
2 m 1 m
1 m
1 m
A B
D
C
10 kN
5 kN
2 m 1 m
1 m
1 m
A B
D
C
 
Figura 2-38: Pórtico bi-engastado 
 
O sistema principal escolhido para a resolução do pórtico (Figura 2-38) é mostrado 
na Figura 2-39. 
10 kN
5 kN
A B
DC
X1 X3
X2
10 kN
5 kN
A B
DC
X1 X3
X2
 
Figura 2-39: Sistema principal e hiperestáticos do pórtico da Figura 2-38 
Para a determinação dos deslocamentos generalizados δij, é necessário a 
determinação das reações e dos esforços internos causados pelo carregamento (sistema 0) e 
pelo hiperestático X1 (sistema I). 
Utilizando-se as equações de equilíbrio, determinam-se as reações e os esforços 
internos do pórtico isostático do sistema principal causadas pelo carregamento (Figura 
2-40) e pelo hiperestático X1 (Figura 2-41), X2 (Figura 2-42) e X3 (Figura 2-43). 
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10 kN
5 kN
3
10
3
5
kN
3
5
3
20
3
5
kN
3
25
5 kN
10 kN.m
5
10
5 kN.m
13,33 kN.m
M0
10 kN
5 kN
3
10
3
5
kN
3
5
3
20
3
5
kN
3
25
5 kN
10 kN
5 kN
3
10
3
5
kN
3
5
3
20
3
5
kN
3
25
5 kN
10 kN.m
5
10
5 kN.m
13,33 kN.m
M0
10 kN.m
5
10
5 kN.m
13,33 kN.m
M0
 
Figura 2-40: Reações e diagrama momentos internos do sistema 0 
 
1
3
1
3
1
-1
-1
nulo
M
1
1
3
1
3
1
11
3
1
3
1
-1
-1
nulo
M
1
-1
-1
nulo
M
1
 
Figura 2-41: Reações e diagrama momentos internos do sistema I 
2 2
22
1
M
2
11
2 2
22
1
M
2
2 2
22
1
M
2
11 11
 
Figura 2-42: Reações e diagrama momentos internos do sistema II 
 
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1
1
nulo
M3
1
3
1
3
1
1
1
nulo
M31
1
nulo
M3
1
3
1
3
1
1
3
1
3
1
 
Figura 2-43: Reações e diagrama momentos internos do sistema III 
Desprezando-se o esforço axial, a expressão para os deslocamentos generalizados é 
dada por 
dx
EI
MM
l
ji
ij ∫=δ . (2.85)
O deslocamento generalizado δ10 é obtido pela combinação apresentada pela Tabela 
2-12 
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )510213
6
1510213
6
11012
2
1
10 +⋅−++⋅−+−=⋅ mmmEI δ , 
45,45,121010 −−−=⋅δEI 
EI
95,26
10 −=δ . (2.86)
 
Tabela 2-12: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ10 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
 
101 
 
 
 
10 
5-1 
2
-1
1
6,67
 
 
Combinaçã
o 
nula 
011101 2
1
1
MMldxMM
l
=∫
 
( ) ( ) 0120012201 161261
2
MMlMMMldxMM BA
l
α+++=∫
 
 
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O deslocamento generalizado δ20 é obtido pela combinação apresentada pela Tabela 
2-13 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 52211
6
167,623
2
151023
2
11022
3
1
20 ⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅ mmmmEI δ , 
6
252045
3
40
20 +++=⋅δEI 
EI
5,82
20 −=δ . (2.87)
 
Tabela 2-13: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ20 
Barra 1 Barra 2 Barra 3 
2 22 102 22 10
 
 
2
10
5
2
2 1
6,67
1
52
 
021102 3
1
1
MMldxMM
l
=∫ ( ) 0220022202 2161
2
MMlMMMldxMM BA
l
++=∫ ( ) 0221302 261
3
MMMldxMM BA
l
+=∫
O deslocamento generalizado δ20 é obtido pela combinação apresentada pela Tabela 
2-14 
( ) ( ) ( ) ( ) 511
2
167,61
3
213
6
1521012
6
1
30 ⋅⋅+⋅⋅

 ++⋅+⋅⋅=⋅ mmmEI δ , 
5,256,51030 ++=⋅δEI , 
EI
06,18
30 =δ . (2.88)
 
Tabela 2-14: Combinação dos diagramas de momentos fletores para o cálculo de δ30 
Barra 2a Barra 2b Barra 3 
5 10 
1 
 
11
2 1
6,67
 
5 1 
 
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( )BA
l
MMMldxMM 0032203 26
1
2
+=∫
 
032203 3
21
6
1
2
MMldxMM
l


 +=∫
 
033303 2
1
3
MMldxMM
l
=∫
 
Efetuando o mesmo procedimento, determinam-se os deslocamentos generalizados: 
( ) ( ) 3113
3
111211 =⋅⋅+⋅⋅=⋅ mmEI δ , 
( ) ( ) 33,172232222
3
1
22 =⋅⋅+⋅

 ⋅⋅=⋅ mmEI δ , 
( ) ( ) 3113113
3
1
33 =⋅⋅+⋅⋅=⋅ mmEI δ , 
( ) ( ) 5213
2
1212
2
1
12 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅ mmEI δ , 
( ) 5,0113
6
1
13 =⋅⋅−=⋅ mEI δ , 
( ) ( ) 5122
2
1123
2
1
23 =⋅⋅+⋅⋅=⋅ mmEI δ . (2.89)
De posse dos deslocamentos generalizados, é possível obter o sistema de 
compatibilidade 
006,18355,0
05,82533,175
095,265,053
321
321
321
=+−+
=+++−
=−−−
XXX
XXX
XXX
, 
(2.90)






−
−=






⋅








−
−
−−
06,18
5,82
95,26
355,0
533,175
5,053
3
2
1
X
X
X
. 
Resolvendo o sistema, obtém-se 






−
−
=






89,3
98,5
33,0
3
2
1
X
X
X
. 
(2.91)
Os esforços podem ser obtidos por 
3322110 XNXNXNNN +++= , 
3322110 XVXVXVVV +++= e (2.92)
3322110 XMXMXMMM +++= . 
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Como exercícios didático, devem ser calculadas as reações do pórtico e traçados os 
diagramas de esforços normais, cortantes e momentos fletores, especificando os valores dos 
momentos máximos e os locais onde eles ocorrem. 
 
Figura 2-44: Diagrama de esforços normais 
 
 
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Figura 2-45: Diagrama de esforços cortantes 
 
Figura 2-46: Diagrama de momentos fletores 
 
 
1.5.ESTRUTURAS INTERNAMENTE HIPERESTÁTICAS 
2.1.2. Exemplo 1- Treliça plana 
Seja a treliça mostrada na Figura 2-47, cuja rigidez à tração de suas barras (EA) é 
constante. Esta treliça é internamente hiperestática de grau 1 (gi = 1). Portanto, apresenta 
uma única incógnita hiperestática a ser determina. Esta incógnita é o esforço normal em 
uma das barras. 
20 kN
2 m
2 m
20 kN
2 m
2 m
 
Figura 2-47: Treliça plana internamente hiperestática 
Para a determinação do sistema principal da treliça mostrada na Figura 2-47, corta-
se uma das barras, colocando-se o esforço interno atuante na secção(Figura 2-48). No caso 
de uma treliça, o esforço interno é o normal. A condição de compatibilidade é dada pelo 
deslocamento relativo nulo entre a seção à esquerda e a seção à direita. 
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0=− DE δδ ou (2.93)
DE δδ = (2.94)
X1
X1