Representação Bidimensional de Elementos Sólidos

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DESCRIÇÃO
Introdução à modelagem de sólidos: conceitos e ambientes de modelagem 3D. Noções de Geometria Descritiva:
Histórico, Projeções e Sistema Mongeano. Vistas ortográficas no 1º e 3º Diedros.
PROPÓSITO
Compreender a importância da modelagem de objetos sólidos, bem como os conceitos da Geometria Descritiva e da
elaboração das vistas ortográficas dos sólidos utilizados pelo engenheiro, independente da sua área de atuação.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos o material para a elaboração do desenho técnico:
Folha de papel liso (tamanho A4)
Lápis com grafite preto
Borracha branca macia
Régua
Par de esquadros
Transferidor
Compasso
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos e os ambientes de modelagem 3D
MÓDULO 2
Aplicar os conceitos da Geometria Descritiva e do Sistema Mongeano
MÓDULO 3
Descrever os métodos de elaboração de vistas ortográficas no 1º Diedro
MÓDULO 4
Descrever os métodos de elaboração de vistas ortográficas no 3º Diedro
APRESENTAÇÃO
Os engenheiros, em seus projetos, se expressam graficamente utilizando técnicas de desenho. No entanto, para projetar
e construir algo, além dos elementos e procedimentos básicos, é necessário que eles saibam como representar objetos
tridimensionais em seus projetos e que sejam capazes de experimentar suas ideias e invenções de alguma forma, antes
mesmo que elas se materializem. É aí que entram a Geometria Descritiva e os protótipos.
Os estudos e publicações de Gaspard Monge, no final do século XVIII, contribuíram positiva e significativamente para o
desenho técnico tal qual conhecemos e praticamos atualmente. A Geometria Descritiva possibilita representar, através
(do Sistema Mongeano) de projeções e vistas de diferentes posições, objetos tridimensionais (uma peça de um
equipamento, por exemplo) em suportes bidimensionais (no papel).
javascript:void(0)
Com o avanço da computação gráfica, a prototipagem foi agilizada e potencializada principalmente pelos ambientes de
modelagem 3D. Modelos virtuais 3D de praticamente tudo (peças, motores, veículos, construções etc.) podem ser
elaborados, experimentados e modificados na tela do computador, o que aumenta as chances de sucesso desses
projetos.
GASPARD MONGE (1746-1818)
Foi um matemático francês, criador da geometria descritiva e pai da geometria diferencial. Sem ela — originalmente
utilizada na engenharia militar — a enorme expansão da maquinaria do século XIX teria, provavelmente, sido
impossível.
REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DE ELEMENTOS
SÓLIDOS
Bem-vindo ao estudo da representação bidimensional de sólidos.
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos e os ambientes de modelagem 3D
INTRODUÇÃO
A construção de protótipos para experimentação é uma prática comum. Desenvolver um produto, passando pela
construção de um modelo físico tangível para testes, fez parte de muitos projetos até algum tempo atrás.
Com a evolução da computação gráfica acaba a necessidade de se criarem modelos físicos tangíveis para
experimentação. A modelagem 3D permite a criação de modelos virtuais intangíveis, que apesar de não existirem
fisicamente, podem ser visualizados em qualquer posição, modificados com facilidade sem gastar material, testados
através de simulações e modelos matemáticos, conferindo agilidade ao processo de desenvolvimento de um produto.
PROTÓTIPO
Modelar, testar, experienciar um produto, antes mesmo da sua existência, de ser produzido e comercializado. O protótipo
permite materializar um produto que está sendo planejado, fazer testes e aprimorar sua versão final para produção. Trata-
se de uma representação de um produto feita antes do produto existir, um primeiro exemplar ou modelo (para testes)
desse objeto.
 EXEMPLO
Partindo-se de uma ideia, constrói-se um protótipo em tamanho real: um veículo, um motor, uma turbina, uma
embarcação, um móvel, um eletrônico.
Em laboratórios especializados, esse modelo físico permite testar a aerodinâmica e a hidrodinâmica, a ergonomia e a
estabilidade, a resistência e a dureza de materiais, encaixes e acabamentos, entre outras coisas.
SEGUNDO O DICIONÁRIO MICHAELIS:
PRO·TÓ·TI·PO
sm
Primeiro tipo; primeiro exemplar; modelo, padrão.
O exemplar mais exato; o modelo mais perfeito (...)
TECN O primeiro exemplar de um produto industrial, feito de maneira artesanal, conforme discriminações de um
projeto, que serve de teste, antes de sua produção em série.
Segundo Grimm (2005), os protótipos podem ser classificados em físicos e analíticos (virtuais).
Protótipos físicos
São produtos tangíveis, como descrito anteriormente.

Protótipos analíticos (virtuais)
Representam o produto de maneira intangível.
Logicamente, protótipos virtuais estão relacionados à utilização de simulação computacional e, por esse motivo,
proporcionam maior facilidade e flexibilidade para ajustes do que os protótipos físicos, ressaltando ainda menores custos
e tempo.
Elaborar um modelo virtual para análise, além de mais rápido e prático, possibilita a testagem por simulações e modelos
matemáticos executados pelo computador.
 VOCÊ SABIA
A prototipagem virtual não necessariamente elimina a prototipagem física em todos os casos, podendo haver
complementaridade entre ambas.
MODELAGEM 3D
Uma ideia inovadora de um produto, para ser levada adiante, começa com um bom projeto, passa por testes e termina na
produção. Mas, como vimos, a prototipagem tem grande importância no desenvolvimento de um produto. Neste ponto,
entra a crescente utilização da modelagem tridimensional (3D) como ferramenta para demonstrar da forma mais realista
possível a ideia desse produto, sem a necessidade de um modelo físico tangível.
Fonte: Gorodenkoff/Shutterstock
Podemos dizer que a modelagem 3D é a representação tridimensional de um produto elaborada utilizando-se programas
de computador específicos.
 RESUMINDO
A modelagem 3D consiste numa representação gráfica computacional que se aproxima do produto real, auxiliando na
visualização antes mesmo deste produto ganhar uma estrutura física.
De acordo com uma das maiores empresas do ramo, AUTODESK, a modelagem 3D:
CITAÇÃO
“É O PROCESSO QUE USA SOFTWARE PARA CRIAR UMA
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DE UM OBJETO OU FORMA
TRIDIMENSIONAL. O OBJETO CRIADO É CHAMADO DE MODELO 3D,
E TAIS MODELOS SÃO USADOS EM VÁRIOS SETORES.
OS SETORES DE CINEMA, TELEVISÃO, VIDEOGAMES,
ARQUITETURA, CONSTRUÇÃO, DESENVOLVIMENTO DE PRODUTOS,
CIÊNCIAS E MEDICINA USAM MODELOS 3D PARA VISUALIZAR,
SIMULAR E RENDERIZAR PROJETOS GRÁFICOS.”
(AUTODESK)
Atualmente, a modelagem tridimensional é muito demandada e permite criar modelos cada vez mais personalizados e
próximos da realidade física do produto que se deseja representar. Com a modelagem 3D, as chances de que o
desenvolvimento de um produto, do projeto à produção, seja bem-sucedido aumentam consideravelmente, o que pode
ser enxergado como uma importante vantagem competitiva no mercado.
A modelagem 3D pode ser dividida em dois tipos, segundo os especialistas no assunto:
Hard Surface
(superfície dura): Modela objetos feitos ou construídos pelo homem, como por exemplo, estruturas arquitetônicas,
veículos, robôs, motores, turbinas, entre outros.

Organic
(orgânica): Modela o que é orgânico, ou seja, o que existe na natureza, como seres humanos, animais, plantas, pedras,
terrenos, personagens de jogos, entre outros.
Como nosso objetivo é apresentar alguns dos ambientes de modelagem 3D e suas aplicações em projetos de
Engenharia, nosso foco será em Hard Surface.
A IMPORTÂNCIA E A EVOLUÇÃO DA MODELAGEM 3D
Entenda mais sobre a modelagem 3D no vídeo abaixo:
AMBIENTES DE MODELAGEM 3D E AS APLICAÇÕES
NAS ENGENHARIAS
O modelo 3D de objetos, peças, componentes e construções se tornou indispensável para o dimensionamento e o
desenvolvimento de projetos de Engenharia. Projetos inteiros são elaborados em ambientes (software) de modelagem
virtual/digital e os modelos 3D testados com o auxílio desse e de outros softwares simuladores.
A MODELAGEM 3D AGILIZAO PROCESSO DA CRIAÇÃO À FABRICAÇÃO. É
POSSÍVEL CRIAR PRODUTOS CADA VEZ MAIS PERSONALIZADOS ATRAVÉS
DESSES AMBIENTES DE MODELAGEM VIRTUAL. O POTENCIAL DE INOVAÇÃO
DESSE TIPO DE MODELAGEM É ENORME, JÁ QUE AS IDEIAS PODEM SER
CONCEBIDAS, ANALISADAS, TESTADAS E MODIFICADAS NA TELA DO
COMPUTADOR. DO ESBOÇO À PRODUÇÃO, TESTANDO E MODIFICANDO
QUANTAS VEZES FOR NECESSÁRIO.
O engenheiro pode modelar o produto (peça, equipamento, motor, construção civil etc.) com bastante precisão e
segurança, criando elemento por elemento, analisando cada detalhe, experimentando materiais, juntando tudo para obter
o resultado final esperado.
 EXEMPLO
É possível prever o funcionamento de um equipamento antes de construí-lo. E com essa modelagem 3D pronta, pode-se
gerar todos os desenhos técnicos do produto, obtendo todos os insumos necessários (medidas, vistas etc.) para a sua
fabricação.
A seguir, faremos uma breve apresentação de alguns dos ambientes de modelagem 3D existentes no mercado, suas
características e principais aplicações nas Engenharias. O intuito não é esgotar o tema e encontrar definitivamente o
melhor, mas sim mostrar as possibilidades de alguns desses ambientes, enfatizando situações de uso de cada um deles.
A maior parte das informações abaixo foram retiradas dos sites das empresas desenvolvedoras dos produtos.
 DICA
Cabe ressaltar que alguns desses ambientes apesar de pagos (uso comercial) possuem versões completas para
utilização pelos estudantes, permitindo que se experimente do que o software é capaz.
 VOCÊ SABIA
Você já ouviu falar em CAD? Mas afinal, o que é CAD?
Computer Aided Design (CAD) — em português: Desenho Assistido por Computador — é o nome genérico dos sistemas
computacionais (software) utilizados para facilitar a elaboração de projetos e desenhos técnicos, seja na Engenharia, na
Arquitetura, no Design, ou em outras áreas. Uma divisão básica entre os softwares (para) CAD é feita com base na
capacidade do programa em desenhar apenas em 2 dimensões (2D) ou em criar modelos tridimensionais (3D). Portanto,
os ambientes de modelagem 3D são softwares (para) CAD.
Veja alguns desses softwares a seguir:
AUTOCAD, DA AUTODESK
Seu nome se confunde com a própria definição de CAD. É um software CAD 2D e 3D utilizado por engenheiros,
arquitetos e profissionais de construção. Inclui recursos específicos da indústria e objetos inteligentes para arquitetura,
engenharia mecânica, projeto elétrico e muito mais.
null
Fonte: Autodesk
Assim, permite: automatizar plantas de piso, elevações e seções; desenhar tubulações, dutos e circuitos utilizando
bibliotecas de peças; gerar automaticamente anotações, camadas, agendamentos, listas e tabelas; utilizar um fluxo de
trabalho controlado por regras para impor normas do setor com precisão.
REVIT, DA AUTODESK
O Revit é um software ideal para planejar, projetar, construir e gerenciar projetos construtivos e de infraestrutura, com
possibilidade de análise e simulação de sistemas e modelos estruturais. Tudo isso integrando de maneira colaborativa os
diversos profissionais envolvidos no projeto, permitindo ajustes das partes do projeto de forma dinâmica.
null
Fonte: Constructorapp/Modelical
Ele vai muito além de uma simples modelagem, permitindo criar um projeto completo em 3D e, a partir dele, extrair
perspectivas, pranchas de documentação, tabelas e todo o tipo de dados e informações que estão associados aos
objetos do projeto como um todo.
Trata-se de um software de BIM (Building Information Modelling) multidisciplinar para projetos coordenados e de maior
qualidade. Os recursos da plataforma BIM permitem quantificar, planejar, coordenar e recuperar informações a qualquer
momento da vida do empreendimento e ainda testar e ensaiar alternativas do comportamento do modelo sob ação de
diversos agentes externos.
CIVIL 3D, DA AUTODESK
Tem foco na elaboração de projetos de infraestrutura civil com os recursos da tecnologia BIM, provendo auxílio na
eficiência dos processos de documentação e do fluxo de trabalho, através da colaboração de equipes e a conexão de
tarefas de desenho, projeto e documentação.
null
Fonte: O autor
INVENTOR, DA AUTODESK
Fornece ferramentas profissionais para projetos mecânicos 3D, documentação e simulação de produtos. Trabalha de
forma eficiente com uma poderosa combinação de recursos de projeto paramétricos, diretos, de forma livre e com base
em regras. Permite criar protótipos virtuais tridimensionais e funcionais. Desse modo, além de modelar as peças de um
motor, permite, por exemplo, que o modelo seja animado de forma que suas peças se desloquem e girem, assim como
no motor real, possibilitando que o seu comportamento mecânico seja avaliado.
null
Fonte: Autodesk
Um módulo de simulação dinâmica (Dynamic Simulation), incorporado ao ambiente de modelagem, permite simular os
efeitos de aceleração da gravidade e de todas as outras forças presentes no sistema, incentivando que se analise o
comportamento do modelo elaborado.
SKETCHUP, DA TRIMBLE
Trata-se de um dos principais programas de modelagem 3D do mercado e pode ser aplicado em diversas funções na
Engenharia. É também conhecido pela versatilidade ao atender engenheiros, arquitetos, desenhistas técnicos, escultores
e outros profissionais que buscam eficiência em suas modelagens, provendo uma interface simples e intuitiva.
O software consegue transportar ideias para um ambiente quase real e em três dimensões. Possui uma biblioteca virtual
3D (Warehouse) com modelos gratuitos, na qual constam diversas peças prontas para serem incluídas, agilizando a
elaboração dos projetos.
null
Fonte: SketchUp Brasil
O ambiente oferece vários recursos mais voltados à construção civil. Também é possível desenvolver desenhos, cálculos,
representações e simulações de planos e elevações.
SOLIDWORKS, DA DASSAULT SYSTÈMES SOLIDWORKS CORP
É conhecido como um dos mais perfeitos ambientes de modelagem 3D já desenvolvidos para projetistas e engenheiros,
especialmente para a criação de modelos mecânicos. Possui interface amigável e muitas funcionalidades apropriadas
para o desenvolvimento de projetos mecânicos. O SOLIDWORKS CAD 3D abrange projeto, simulação, estimativa de
custo, verificações de manufatura, CAM (Computer Aided Manufacturing, em português Manufatura Assistida por
Computador), projetos sustentáveis e gerenciamento de dados.
null
Fonte: Solidworks
Segundo a empresa desenvolvedora, o novo SOLIDWORKS CAD 3D também oferece uma plataforma intuitiva e robusta
de recursos para projeto 3D combinado com gerenciamento de dados e projeto conceitual com modelagem de
subdivisões, chamada de 3DEXPERIENCE WORKS, que possibilita que os engenheiros e projetistas possam criar e
compartilhar projetos de forma rápida e fácil, permitindo que os principais interessados forneçam feedback durante toda a
fase de desenvolvimento do produto com todos os dados de projeto armazenados com segurança na nuvem.
A empresa também oferece o SOLIDWORKS Electrical para o projeto de sistemas elétricos com ferramentas específicas
para engenheiros e interfaces intuitivas para agilizar o projeto do sistema elétrico incorporado.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ANALISE AS SENTENÇAS ABAIXO REFERENTES AOS CONCEITOS DE PROTÓTIPO E
MODELAGEM 3D:
I. O PROTÓTIPO É UMA REPRESENTAÇÃO DE UM PRODUTO FEITA ANTES DO PRODUTO
EXISTIR, UM PRIMEIRO EXEMPLAR OU MODELO (PARA TESTES) DESSE OBJETO;
II. A MODELAGEM 3D CONSISTE NUMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA COMPUTACIONAL QUE
NÃO É TÃO PRÓXIMA DO PRODUTO REAL, SENDO NECESSÁRIO QUE O PRODUTO GANHE
UMA ESTRUTURA FÍSICA PARA SER ANALISADO;
III. PROTÓTIPOS FÍSICOS SÃO PRODUTOS TANGÍVEIS, ENQUANTO OS PROTÓTIPOS
VIRTUAIS REPRESENTAM O PRODUTO DE MANEIRA INTANGÍVEL, ESTANDO ESTES
ÚLTIMOS RELACIONADOS À UTILIZAÇÃO DE SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL;
IV. COM A MODELAGEM 3D, DIMINUEM AS CHANCES DE QUE O DESENVOLVIMENTO DE UM
PRODUTO, DO PROJETO À PRODUÇÃO, SEJA BEM-SUCEDIDO.
ESTÁ(ÃO) CORRETA(S), APENAS:
A) I, II, IV
B) I e III
C) I
D) I, III e IV
2. ANALISEAS SENTENÇAS ABAIXO REFERENTES AOS CONCEITOS E AMBIENTES DE
MODELAGEM 3D:
I. O MODELO 3D DE OBJETOS, PEÇAS, COMPONENTES E CONSTRUÇÕES É TOTALMENTE
DISPENSÁVEL PARA O DIMENSIONAMENTO E O DESENVOLVIMENTO DE PROJETOS DE
ENGENHARIA;
II. COM O AUXÍLIO DA MODELAGEM 3D É POSSÍVEL, UTILIZANDO SIMULAÇÕES E MODELOS
MATEMÁTICOS, PREVER O FUNCIONAMENTO DE UM EQUIPAMENTO ANTES DE CONSTRUÍ-
LO;
III. A MODELAGEM 3D AGILIZA O PROCESSO DA CRIAÇÃO À FABRICAÇÃO. É POSSÍVEL
CRIAR PRODUTOS CADA VEZ MAIS PERSONALIZADOS ATRAVÉS DESSES AMBIENTES DE
MODELAGEM VIRTUAL;
IV. CAD É O NOME GENÉRICO DOS SISTEMAS COMPUTACIONAIS (SOFTWARE) UTILIZADOS
PARA FACILITAR A ELABORAÇÃO DE PROJETOS E DESENHOS TÉCNICOS. NO ENTANTO,
OS AMBIENTES DE MODELAGEM 3D NÃO SÃO CONSIDERADOS SOFTWARES (PARA) CAD.
ESTÁ(ÃO) CORRETA(S), APENAS:
A) I, II e IV
B) II e IV
C) I, II e III
D) II e III
GABARITO
1. Analise as sentenças abaixo referentes aos conceitos de protótipo e modelagem 3D:
I. O protótipo é uma representação de um produto feita antes do produto existir, um primeiro exemplar ou modelo
(para testes) desse objeto;
II. A modelagem 3D consiste numa representação gráfica computacional que não é tão próxima do produto real,
sendo necessário que o produto ganhe uma estrutura física para ser analisado;
III. Protótipos físicos são produtos tangíveis, enquanto os protótipos virtuais representam o produto de maneira
intangível, estando estes últimos relacionados à utilização de simulação computacional;
IV. Com a modelagem 3D, diminuem as chances de que o desenvolvimento de um produto, do projeto à
produção, seja bem-sucedido.
Está(ão) correta(s), apenas:
A alternativa "B " está correta.
A modelagem 3D consiste numa representação gráfica computacional que se aproxima do produto real, auxiliando na
visualização desse produto antes mesmo deste ganhar uma estrutura física (sentença II); com a modelagem 3D as
chances de que o desenvolvimento de um produto, do projeto à produção, seja bem-sucedido aumentam
consideravelmente (sentença IV).
2. Analise as sentenças abaixo referentes aos conceitos e ambientes de modelagem 3D:
I. O modelo 3D de objetos, peças, componentes e construções é totalmente dispensável para o dimensionamento
e o desenvolvimento de projetos de Engenharia;
II. Com o auxílio da modelagem 3D é possível, utilizando simulações e modelos matemáticos, prever o
funcionamento de um equipamento antes de construí-lo;
III. A modelagem 3D agiliza o processo da criação à fabricação. É possível criar produtos cada vez mais
personalizados através desses ambientes de modelagem virtual;
IV. CAD é o nome genérico dos sistemas computacionais (software) utilizados para facilitar a elaboração de
projetos e desenhos técnicos. No entanto, os ambientes de modelagem 3D não são considerados softwares
(para) CAD.
Está(ão) correta(s), apenas:
A alternativa "D " está correta.
O modelo 3D se tornou indispensável para o dimensionamento e o desenvolvimento de projetos de Engenharia (sentença
I); CAD é o nome genérico dos sistemas computacionais (software) utilizados para facilitar a elaboração de projetos e
desenhos técnicos; os ambientes de modelagem 3D são softwares (para) CAD (sentença IV)
MÓDULO 2
 Aplicar os conceitos da Geometria Descritiva e do Sistema Mongeano
INTRODUÇÃO
Todo engenheiro deve desenvolver a chamada visão espacial, ter a capacidade de olhar as projeções de um objeto em
planos bidimensionais e visualizar tal objeto como ele é de verdade, isto é, no espaço tridimensional. Tal habilidade não
se adquire somente lendo: é preciso treinar bastante, através do olhar cuidadoso e analítico de exercícios, para que
então se acostume com essa nova forma de expressão e linguagem.
A Geometria Descritiva permite a representação de objetos tridimensionais em um plano bidimensional. Os objetivos
principais desse importante campo da geometria são o estudo da forma, das dimensões e da posição de um objeto no
espaço através das suas projeções em planos. A ideia principal é projetar o objeto em planos que dividem o espaço
tridimensional em quatro quadrantes, denominados de diedros.
CONCEITOS
GEOMETRIA DESCRITIVA
Os conceitos da Geometria Descritiva constituem a base do desenho técnico. Pode-se dizer que o desenho técnico, tal
como é entendido atualmente, surgiu como aplicação dos princípios e fundamentos da Geometria Descritiva, no final do
século XVIII, apesar de algumas técnicas já fossem utilizadas intuitivamente desde a antiguidade.
A Geometria Descritiva se deve ao matemático e professor francês Gaspard Monge. Tudo começou quando, ainda na
escola militar de Mézières, ele apresentou um método inovador para solucionar problemas relacionados à construção de
fortificações, que durante anos foi mantido em segredo militar. Em 1795, quando Monge foi autorizado a publicar o
método, este tornou-se o livro La Géométrie Descriptive, que até hoje é considerado o primeiro texto sobre o desenho de
projeções.
Fonte: François Séraphin Delpech, domínio público/Wikimedia Commons
 Gaspard Monge
Fonte: Openlibrary
 Livro Géométrie Descriptive, edição de 1847
Enquanto a geometria é um ramo da Matemática e pode ser definida como a ciência que investiga as formas e as
dimensões das figuras existentes na natureza, a Geometria Descritiva é o ramo da geometria que tem como objetivo
representar com exatidão objetos tridimensionais em suportes bidimensionais (como uma folha de papel). Para isso,
serve-se da projeção, que consiste na passagem de retas projetantes pelo objeto, que irão interseccionar o plano de
projeção, onde se formam a projeção.
PROJEÇÕES
Para compreender o conceito de projeção, vamos à situação ilustrada na Figura 1: um objeto, em forma de
paralelepípedo, é posicionado acima de um plano horizontal , e uma fonte luminosa puntiforme é posicionada sobre o
centro do objeto a uma distância conhecida. O ponto (O) é denominado centro de projeção.
É fácil perceber que a sombra projetada do objeto no plano é definida pela projeção dos raios de luz no contorno do
objeto, designados como linhas projetantes. Essas linhas são concorrentes no centro de projeção (O), que está
posicionado no centro do objeto, sendo projetado no plano por uma linha projetante normal (ortogonal) ao (O).
Percebemos que a projeção do objeto no plano é maior do que o objeto real, pois as linhas projetantes se inclinam e
ampliam as dimensões verdadeiras do objeto. Percebemos ainda que se afastarmos (para cima) ou aproximarmos (para
baixo) o centro de projeção (O) do objeto, a projeção do objeto irá variar de tamanho
α
Fonte: EnsineMe
 Figura 1 – Projeção de um objeto formando superfície cônica
 ATENÇÃO
Quando o centro de projeção (O), de onde saem as linhas projetantes, está a determinada distância do objeto,
designamos como centro de projeção próprio.
Nesse caso, a superfície gerada pelas linhas projetantes é cônica.
Vejamos agora a situação ilustrada na Figura 2: o mesmo objeto, em forma de paralelepípedo, é posicionado acima do
plano horizontal , mas a fonte luminosa puntiforme é posicionada no infinito, também sobre o centro do objeto.
Note que agora as linhas projetantes são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de projeção. O centro de projeção,
nesse exemplo, não é um ponto visualmente identificado, pois está muito longe do objeto. Percebemos que a projeção do
objeto no plano é de mesma dimensão do que o objeto real. Dizemos, então, que a projeção é representada em
verdadeira grandeza.
Fonte: EnsineMe
 Figura 2 – Projeção de um objeto formando superfície cilíndrica ortogonal
 ATENÇÃO
α
Quando o centro de projeção (O) está no infinito do objeto, designamos como centro de projeção impróprio. Assim, a
superfície gerada pelas linhas projetantes perpendiculares ao plano de projeção é cilíndrica ortogonal.
Outro tipo de superfície cilíndrica pode ser gerado caso a fonte luminosa seja posicionada sobre o objeto, porém fora do
seu eixo central. As linhas projetantes são paralelas entresi, porém não são perpendiculares ao plano de projeção.
Percebemos, nesse exemplo, que a projeção do objeto no plano é diferente do objeto real, pois as linhas projetantes se
inclinam, ampliando a projeção do objeto. Entretanto, dependendo do elemento geométrico projetado, a projeção pode ter
verdadeira grandeza.
Fonte: EnsineMe
 Figura 3 – Projeção de um objeto formando superfície cilíndrica oblíqua
Nesse caso, com as linhas projetantes não perpendiculares ao plano de projeção, porém paralelas entre si, a superfície
gerada é cilíndrica oblíqua.
SISTEMA MONGEANO
O Sistema Mongeano foi criado por Gaspar Monge e possibilita compreender a forma, posição e dimensões de objetos
tridimensionais de maneira precisa. Esse sistema (ou método) de projeções constitui a base para a Geometria Descritiva.
O método consiste, inicialmente, em dividir o espaço tridimensional em 4 semiespaços utilizando dois planos,
perpendiculares entre si, denominados ( ) e ( )
É o plano horizontal.

É o plano vertical.
Diedros
São os semiespaços formados pela interseção dos planos.
π π′
π
π′

Linha de terra
É a interseção dos planos ( ) e ( )
Nas figuras a seguir, podemos observar os planos horizontal e vertical, a formação dos semiespaços pela interseção dos
planos e a linha de terra. Note que o ponto (P) posicionado em um dos semiespaços é projetado utilizando projeção
cilíndrica ortogonal em dois planos de projeção, usando linhas projetantes paralelas entre si e ortogonais aos semiplanos
( A) e ( S).
Fonte: EnsineMe
 Figura 4 – Representação espacial dos planos
Vamos agora passar da representação espacial para uma representação plana, utilizando a épura para eliminação da
perspectiva.
 ATENÇÃO
Esse procedimento é feito através do rebatimento dos planos ( A) e ( P), até que o plano horizontal anterior coincida
com o plano vertical inferior, e o plano horizontal posterior com o plano vertical superior.
Na épura, a linha de terra é representada por uma linha grossa com duas pequenas linhas paralelas e abaixo dela, sem
representar o contorno dos planos.
π π′
π π′
π π
Fonte: EnsineMe
 Figura 5 – Representação espacial e em épura do ponto
Observe que a nomenclatura do ponto no espaço e em suas projeções foram feitas de formas distintas. Dessa maneira, a
leitura do desenho é facilitada. O quadro a seguir apresenta as informações que caracterizam os elementos presentes na
épura:
Elementos Descrição
Ponto objeto
Projeção do ponto no plano horizontal
Projeção do ponto no plano vertical
e 
Linha projetante
Linha de chamada
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1 – Elementos na Épura
ESTUDO BÁSICO DE UM PONTO
Além da nomenclatura do ponto e de suas projeções, note que foram representadas distâncias que são um conjunto de
medidas necessárias para definir a posição do ponto no espaço: a abscissa, o afastamento e a cota. Para caracterizar um
ponto, devemos indicar sua nomenclatura da seguinte maneira:
(Q)
Q
Q′
(Q)Q′
(Q)Q
QQ'
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Por exemplo: 
A abscissa é a dimensão medida sobre a linha de terra, segundo um ponto de origem arbitrado.
Abscissa positiva
Todo ponto situado à direita do ponto de origem tem abscissa positiva ( + )

Abscissa negativa
Todo ponto situado à esquerda da origem terá abscissa negativa ( - )
Fonte: EnsineMe
 Figura 6 – Convenção de sinais para a abscissa de um ponto
A cota é a medida da linha projetante de um ponto, medida entre o ponto e o plano horizontal de projeção .
Cota positiva
A cota é positiva nos 1º e 2º Diedros, pois a linha projetante fica acima do plano horizontal.

Cota negativa
A cota é negativa nos 3º e 4º Diedros, pois a linha projetante fica abaixo do plano horizontal.
(Q) [ABSCISSA; AFASTAMENTO; COTA]
(A) [20; 25; 50]
π
Fonte: EnsineMe
 Figura 7 – Convenção de sinais para a cota de um ponto
O afastamento é a medida da linha projetante de um ponto, medida entre o ponto e o plano vertical de projeção .
Afastamento positivo
O afastamento é positivo nos 1º e 4º Diedros, pois a linha projetante fica à frente do plano vertical.

Afastamento negativo
O afastamento é negativo nos 2º e 3º Diedros, pois a linha projetante fica atrás do plano vertical.
Fonte: EnsineMe
 Figura 8 – Convenção de sinais para o afastamento de um ponto
PROJEÇÕES DE UM PONTO NOS 4 DIEDROS
Nosso objetivo resume-se em noções básicas e conceituais de projeção, não sendo necessário aprofundamento em
Geometria Descritiva. Portanto, vamos estudar os sinais do afastamento e cotas, assim como a posição das projeções de
um ponto na representação espacial e em épura para cada um dos diedros.
π'
PONTO NO 1º DIEDRO
Todo ponto situado no 1º Diedro tem, em épura, projeção horizontal abaixo da linha de terra (ou seja, afastamento
positivo) e projeção vertical acima da linha de terra (ou seja, cota positiva).
null
Fonte: EnsineMe
 Figura 9 – Representação espacial e em épura de um ponto no 1º Diedro
PONTO NO 2º DIEDRO
Todo ponto situado no 2º Diedro tem, em épura, ambas as projeções acima da linha de terra (ou seja, afastamento
negativo e cota positiva).
null
Fonte: EnsineMe
 Figura 10 – Representação espacial e em épura de um ponto no 2º Diedro
PONTO NO 3º DIEDRO
Todo ponto situado no 3º Diedro tem, em épura, projeção horizontal acima da linha de terra (ou seja, afastamento
negativo) e projeção vertical abaixo da linha de terra (ou seja, cota negativa).
null
Fonte: EnsineMe
 Figura 11 – Representação espacial e em épura de um ponto no 3º Diedro
PONTO NO 4º DIEDRO
Todo ponto situado no 4º Diedro tem, em épura, ambas as projeções abaixo da linha de terra (ou seja, afastamento
positivo e cota negativa).
null
Fonte: EnsineMe
 Figura 12 – Representação espacial e em épura de um ponto no 4º Diedro
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PARA
OBJETOS TRIDIMENSIONAIS
Até o momento, você deve ter percebido que, basicamente, temos duas formas de representação gráfica de um objeto: a
representação espacial e as projeções. Com a representação espacial, que chamaremos a partir de agora de
perspectiva, conseguimos compreender o formato e as dimensões do objeto de forma simples, entretanto, é preciso
elaborar um desenho mais complexo e completo, utilizando técnicas que permitam a visualização clara das
características do objeto em três dimensões.
Fonte: EnsineMe
 Figura 13 – Representação espacial de um objeto em perspectiva
A outra maneira de representar o objeto é através das suas projeções, que chamaremos a partir de agora de vistas
ortográficas, facilitando o desenho propriamente dito, mas tornando menos direta a compreensão do objeto real.
 ATENÇÃO
Olhar as vistas ortográficas e visualizar claramente o objeto e suas características no espaço tridimensional é uma tarefa
simples, mas que demanda prática do aluno para o desenvolvimento de sua visão espacial. Algumas pessoas terão mais
facilidade, outras precisarão praticar mais, mas todos podem utilizar as projeções para representar, compreender e
construir um objeto real de forma eficiente.
Vejamos um exemplo da visualização do objeto através de suas projeções, utilizando o objeto em perspectiva
apresentado anteriormente. Vamos posicionar o objeto no 1º Diedro. Note que um terceiro plano de projeção,
denominado ( ), foi acrescentado ao Diedro, pois sem ele não seria possível compreender todas as suas
características. O terceiro plano de projeção também é chamado de plano de perfil.
Fonte: EnsineMe
π''
 Figura 14 – Representação espacial e projeções do objeto nos planos vertical e horizontal
 DICA
Note que a figura projetada nos planos vertical e horizontal é a figura visualizada por um observador localizado em frente
à face analisada. Na face vermelha, por exemplo, as linhas tracejadas indicam que existem arestas do objeto que não
podem ser vistas pelo observador, estando “por trás” da face.
Analisando a imagem, vemosque a face vermelha do objeto é projetada no plano vertical ( ). As faces em verde são
projetadas no plano de perfil, ( ) , assim como a face inclinada, em amarelo. Por fim, as faces em azul são projetadas
no plano ( ). Note que a face amarela, por ser inclinada, aparece projetada tanto no plano de perfil como no plano ( ).
Abaixo, vemos que após o rebatimento dos planos horizontal e vertical, obtemos três projeções. A visualização
planificada das projeções são as vistas ortográficas do objeto, e serão objeto de estudo dos módulos seguintes.
Fonte: EnsineMe
 Figura 15 – Rebatimento dos planos vertical e horizontal para visualização planificada das projeções
π′
S
π''
πA πA
REPRESENTAÇÃO DE OBJETOS ATRAVÉS DE SUAS
PROJEÇÕES
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ANALISE AS SENTENÇAS ABAIXO REFERENTES AO SISTEMA (OU MÉTODO) MONGEANO:
I. CONSISTE EM DIVIDIR O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL EM APENAS DOIS SEMIESPAÇOS
UTILIZANDO DOIS PLANOS, PERPENDICULARES ENTRE SI, UM PLANO HORIZONTAL E
OUTRO VERTICAL;
II. OS SEMIESPAÇOS FORMADOS PELA INTERSEÇÃO DOS PLANOS SÃO DENOMINADOS
DIEDROS;
III. A INTERSEÇÃO DOS PLANOS HORIZONTAL E VERTICAL É DENOMINADA LINHA DE
AFASTAMENTO;
IV. PARA PASSAR DA REPRESENTAÇÃO ESPACIAL PARA UMA REPRESENTAÇÃO PLANA,
UTILIZA-SE A ÉPURA PARA ELIMINAÇÃO DA PERSPECTIVA.
ESTÃO CORRETAS, APENAS:
A) II e IV
B) I e III
C) I e II
D) II, III e IV
2. SOBRE A PROJEÇÃO DO OBJETO, MOSTRADA NA FIGURA ABAIXO, PODEMOS AFIRMAR,
EXCETO:
FONTE: ENSINEME
A) A fonte luminosa está posicionada sobre o objeto, porém fora do seu eixo central.
B) As linhas projetantes são paralelas entre si, porém não são perpendiculares ao plano de projeção.
C) A projeção do objeto no plano é diferente do objeto real, dependendo do elemento geométrico projetado, pois as linhas
projetantes se inclinam, ampliando a projeção do objeto.
D) Com as linhas projetantes não perpendiculares ao plano de projeção, porém paralelas entre si, a superfície gerada é
cilíndrica ortogonal.
GABARITO
1. Analise as sentenças abaixo referentes ao Sistema (ou método) Mongeano:
I. Consiste em dividir o espaço tridimensional em apenas dois semiespaços utilizando dois planos,
perpendiculares entre si, um plano horizontal e outro vertical;
II. Os semiespaços formados pela interseção dos planos são denominados diedros;
III. A interseção dos planos horizontal e vertical é denominada linha de afastamento;
IV. Para passar da representação espacial para uma representação plana, utiliza-se a épura para eliminação da
perspectiva.
Estão corretas, apenas:
A alternativa "A " está correta.
Consiste em dividir o espaço tridimensional em quatro semiespaços utilizando dois planos (sentença I); a interseção dos
planos horizontal e vertical é denominada linha de terra (sentença III).
2. Sobre a projeção do objeto, mostrada na figura abaixo, podemos afirmar, EXCETO:
Fonte: EnsineMe
A alternativa "D " está correta.
A superfície gerada é cilíndrica oblíqua, já que o ângulo é diferente de 90°.
MÓDULO 3
 Descrever os métodos de elaboração de vistas ortográficas no 1º Diedro
INTRODUÇÃO
Quando você se posiciona em frente a um objeto e faz uma fotografia dele, obtém na foto uma representação planificada
do mundo real. De uma forma simplista, poderíamos dizer que a fotografia funciona semelhantemente à projeção do
objeto em um plano.
 SAIBA MAIS
A representação de um objeto através de suas projeções ortogonais, as chamadas vistas ortográficas, é uma
consequência direta da aplicação da Geometria Descritiva de Gaspar Monge na representação gráfica de objetos
tridimensionais.
Cabe ao leitor do desenho raciocinar espacialmente para compreender as características do objeto em análise. Neste
módulo, utilizaremos o conceito de projeção cilíndrica ortogonal para representar objetos utilizando suas vistas
ortográficas. Veremos a técnica necessária para o desenho das vistas, os critérios para escolha das vistas ortográficas
principais de um objeto e para a escolha de sua vista frontal (a mais importante das vistas ortográficas principais).
Usaremos o método europeu de projeção, que posiciona o objeto a ser representado no 1º Diedro. Contudo, a ABNT
NBR 10067:1995 (Princípios gerais de representação em desenho técnico – Procedimento) apresenta condições gerais
para projeção ortogonal de objetos nos 1º e 3º Diedros. No módulo seguinte conheceremos o outro método de projeção.
CONCEITOS
PROJEÇÕES CILÍNDRICAS EM SEIS PLANOS DE
PROJEÇÃO NO 1º DIEDRO
As projeções têm por objetivo facilitar o processo de representação gráfica e, mesmo não representando o objeto em
perspectiva, devem ser suficientes para a compreensão de todas as suas características. Uma, duas ou três vistas, como
as oriundas da projeção cilíndrica ortogonal de objetos nos planos , e , podem não ser suficientes para a devida
compreensão de detalhes presentes no objeto.
 ATENÇÃO
Em vários casos é necessário projetá-lo em mais planos de projeção.
A ilustração, a seguir, apresenta o Diedro de uma forma diferente, tal como um cubo de faces feitas em material
transparente. Note que agora não existem somente as faces dos planos horizontal e vertical, e sim 6 (seis) faces do cubo
transparente. Um objeto foi posicionado dentro do cubo, com o objetivo de obter suas projeções ortogonais. Os vértices
do cubo foram identificados com letras maiúsculas, para facilitar as análises que vem a seguir.
Fonte: EnsineMe
 Figura 1 – Objeto posicionado dentro do cubo no 1º Diedro
As projeções do objeto nas faces do cubo serão as vistas de um observador posicionado em frente a cada uma das
faces, do lado de fora do cubo, olhando para o objeto. O observador é um ente virtual, que serve para auxiliar o
desenhista a compreender e representar os objetos graficamente.
 DICA
Uma forma interessante de compreender o que é o observador é colocar-se no lugar dele: imagine-se em frente a cada
uma das faces do cubo. Com isso, você será o observador, responsável por ver, analisar e compreender o objeto.
πA π′
S π''
A vista frontal, em nosso exemplo, será projetada no plano BCGF, hachurado. A posição com a qual o objeto foi
posicionado dentro do cubo não é mera coincidência: a vista de maior comprimento e com mais detalhes deve ser a vista
frontal do objeto, sendo o plano BCGF o plano de projeção da vista frontal escolhida.
A figura a seguir apresenta, inicialmente, a projeção de três vistas nas faces do cubo, representado em perspectiva. Com
o rebatimento dos planos ABFE, CDHG, BCGF, ADCB e FGHE, o cubo pode ser representado de forma planificada, onde
são representadas as seis projeções cilíndricas ortogonais. Elas representam as vistas do observador, posicionado do
lado de fora do cubo, olhando para o objeto em seis posições diferentes, ou seja, quando o observador está posicionado
em frente de cada uma das faces do cubo (que são os planos de projeção).
Fonte: EnsineMe
 Figura 2 – Projeção no cubo e representação das seis vistas no cubo planificado
Aqui, estabeleceremos uma ordem a ser seguida para a projeção de objetos no 1º Diedro: observador, objeto e plano de
projeção. Assim, com palavras simples, podemos dizer o seguinte: o observador “vê” o objeto e a imagem “vista” é
projetada no plano paralelo à face observada, posterior ao objeto.
Seguindo a NBR 10067 (1995), fixando-se a vista frontal (VF), as posições relativas das demais vistas são as seguintes:
A) VISTA SUPERIOR - VS, POSICIONADA ABAIXO DA VF.
B) VISTA LATERAL ESQUERDA – VLE, POSICIONADA À DIREITA DA
VF.
C) VISTA LATERAL DIREITA – VLD, POSICIONADA À ESQUERDA DA
VF.
D) VISTA INFERIOR – VI, POSICIONADA ACIMA DA VISTA VF.
E) VISTA POSTERIOR – VP, POSICIONADA À DIREITA DA VLE OU À
ESQUERDA DA VLD. NO EXEMPLO APRESENTADO, A VP FOI
POSICIONADA À DIREITA DA VLE.
As vistas com planos de projeção hachurados são as chamadas vistas ortográficas principais. São elas: a vista frontal,
vista superior e uma das vistas laterais, podendo ser a lateral direita ou esquerda (a depender da posição que o objeto foiestudado no Diedro).
 EXEMPLO
Neste caso, a vista lateral visível na perspectiva é a vista lateral esquerda.
Para finalizar a representação do objeto em suas seis vistas, o contorno dos planos de projeção do objeto deve ser
retirado, restando somente as vistas desenhadas.
 DICA
Note que o nome das vistas também é suprimido.
É desnecessário colocar os nomes, pois sabendo que as projeções estão sendo realizadas no 1º Diedro, a vista frontal é
localizada automaticamente, bastando procurar a vista que possui uma vista acima e uma vista abaixo da vista frontal.
Fonte: EnsineMe
 Figura 3 – Representação das seis vistas ortográficas no 1º Diedro
PROJEÇÕES CILÍNDRICAS EM TRÊS PLANOS DE
PROJEÇÃO NO 1º DIEDRO: VISTAS ORTOGRÁFICAS
PRINCIPAIS
As vistas ortográficas principais são as essenciais para compreender a geometria e as dimensões de um objeto. O
resultado final da projeção do objeto em suas vistas ortográficas principais é representado a seguir:
Fonte: EnsineMe
 Figura 4 – Representação das vistas ortográficas principais no 1º Diedro
O símbolo colocado junto às vistas ortográficas, no canto inferior direito, é a simbologia normatizada que indica que as
projeções foram realizadas no 1º Diedro, de acordo com a NBR 10067 (1995). As linhas tracejadas indicam arestas do
objeto que não podem ser vistas pelo observador.
 ATENÇÃO
Note a presença da linha tracejada vertical na vista lateral esquerda. Essa linha fica atrás da região inclinada da peça e
não pode ser vista por um observador posicionado na posição padrão exigida para projeção da vista lateral esquerda.
VISTAS ORTOGRÁFICAS NO 1º DIEDRO: ONDE É
ADOTADO ESSE PADRÃO?
TÉCNICAS PARA O DESENHO DE VISTAS
ORTOGRÁFICAS À MÃO LIVRE
Antes da elaboração dos desenhos em sistemas computacionais, é natural o estudo e desenhos de objetos à mão livre,
os chamados esboços. É com essa forma de representação gráfica que trabalharemos para o estudo da projeção
ortogonal de objetos.
CITAÇÃO
“A ELABORAÇÃO DOS ESBOÇOS, ALÉM DE FAVORECER A ANÁLISE
GRÁFICA DAS PROJEÇÕES ORTOGONAIS, AJUDA A DESENVOLVER
O SENTIDO DE PROPORCIONALIDADE. APESAR DE SER TENDÊNCIA
ENTRE OS PRINCIPIANTES DEDICAR EXCESSIVA ATENÇÃO À
PERFEIÇÃO DOS TRAÇOS, [...], DEVE-SE LEMBRAR QUE [...] O
RIGOR DAS PROPORÇÕES E A CORRETA APLICAÇÃO DAS NORMAS
E CONVENÇÕES DE REPRESENTAÇÃO É QUE SÃO
IMPRESCINDÍVEIS. ”
Ribeiro et al, 2013.
 DICA
Ao longo do seu estudo, você pode utilizar folhas A4 lisas ou até mesmo folhas quadriculadas (aquelas com marcação
ortogonal em 5 em 5 milímetros). A folha quadriculada é um “atalho” interessante, pois dispensará a utilização de régua
para adequação das proporções do objeto ao seu desenho. Outro recurso para a elaboração de esboços, se disponível, é
utilizar o celular ou tablet e fazer o esboço em programas gratuitos de desenho, como o SketchBook, da AutoDesk.
Para o desenho das vistas ortográficas em esboço, recomenda-se as seguintes etapas:

1ª ETAPA
Analise o objeto a ser representado, escolhendo sua vista frontal como aquela que possui o maior comprimento, o maior
número de detalhes e o menor número de arestas não visíveis. A escolha da vista frontal pode até mudar de desenhista
para desenhista, dependendo da complexidade do objeto. O importante é escolher aquela que melhor avalie o objeto
representado.
2ª ETAPA
Determine as medidas que contornam as arestas mais externas de cada uma das vistas, como um quadrado ou um
retângulo que contornará cada vista ortográfica. Conhecendo o comprimento, a largura e a altura da peça, deve-se
atentar para o fato de que o comprimento das vistas frontal e superior, a largura da vista lateral e da vista superior, e a
altura da vista frontal e da vista lateral são medidas iguais.


3ª ETAPA
Faça um esboço dos contornos de cada uma das vistas principais, com traço contínuo e fino, desenhando as vistas com
distâncias iguais entre si; não se esqueça de manter a proporcionalidade das medidas com o que é observado na
perspectiva.
4ª ETAPA
Sugere-se iniciar o desenho pela vista frontal, que possui mais detalhes, e depois trabalhar nas vistas lateral e superior.
Desenhe sempre com traço fino. Isso permite apagar as linhas com mais facilidade, em caso de erro.


5ª ETAPA
Após analisar e verificar as três vistas desenhadas e verificar a compatibilidade entre as vistas representadas, reforçar o
desenho com traçado grosso contínuo para as arestas visíveis. Arestas invisíveis devem ser desenhadas com linhas
tracejadas, que podem ser representadas com traço fino ou grosso.
6ª ETAPA
Ao terminar o desenho das linhas definitivas, o desenho ainda terá as linhas finas utilizadas para desenhar o contorno
das vistas e para compatibilizar detalhes e medidas entre as vistas. Essas linhas finas são chamadas linhas de
construção. Apague-as cuidadosamente para não apagar as linhas do desenho definitivo.

A imagem a seguir apresenta as etapas abordadas anteriormente, para o objeto que estamos analisando ao longo deste
módulo.
Fonte: EnsineMe
 Figura 5 – Representação das vistas ortográficas principais no 1º Diedro em esboço
VISTAS ORTOGRÁFICAS PARA OBJETOS DE FACES
NÃO PARALELAS AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
No caso de objetos com faces inclinadas, ou seja, faces que não sejam paralelas aos planos de projeção, pelo menos
uma de suas vistas principais não corresponderá à verdadeira grandeza do objeto. No objeto que utilizamos como estudo
neste módulo, uma superfície inclinada é obliqua ao plano de projeção frontal e superior. Por isso, na vista frontal, vemos
a projeção dessa superfície, porém não em sua verdadeira grandeza. Somente no plano de projeção lateral é que
podemos observar que a linha inclinada permanece com as medidas do objeto original.
Fonte: EnsineMe
 Figura 6 – Vistas ortográficas principais de objeto com plano inclinado
VISTAS DE OBJETOS DE FACES COM SUPERFÍCIES
CURVAS
Observe as vistas ortográficas principais e a perspectiva representada na figura a seguir. O objeto apresenta um furo
cilíndrico e contorno arredondado por um semicírculo com ângulo de abertura de 180º na sua face lateral esquerda. A
projeção das vistas foi feita no 1º Diedro, conforme especificado pela simbologia normativa.
Fonte: EnsineMe
 Figura 7 – Vistas ortográficas principais e perspectiva de objeto com superfícies curvas e furo cilíndrico
AS LINHAS TRAÇO E PONTO REPRESENTADAS NA VISTA FRONTAL E NA VISTA
LATERAL ESQUERDA SÃO CHAMADAS DE LINHAS DE EIXOS, POIS
REPRESENTAM O EIXO LONGITUDINAL DO FURO CILÍNDRICO REPRESENTADO
EM VISTA.
Observe agora a vista superior: as linhas traço e ponto perpendiculares entre si têm como objetivo direto obter o lugar
geométrico do centro das circunferências concêntricas (uma delas é a seção transversal do cilindro, e a outra é o
contorno semicircular do objeto). Essas linhas são denominadas linhas de centro.
Existem algumas regras importantes na representação de linhas de eixo e linhas de centro. São elas
As linhas traço e ponto devem sempre ultrapassar os contornos visíveis dos arcos, círculos e/ou cilindros.
As linhas de centro deverão ser indicadas em arcos sempre que o ângulo do arco for maior ou igual a 180º.
O cruzamento das linhas de centro deve ocorrer no traço da linha traço e ponto, para efetivar o cruzamento das linhas no
centro de arcos e/ou circunferências.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM O CONJUNTO DE VISTAS ORTOGRÁFICAS
PRINCIPAIS (1º DIEDRO) DA PEÇA MOSTRADA ABAIXO:
FONTE: ENSINEME
A) Opção A
B) Opção B
C) Opção C
D) Opção D
2. ANALISE AS SENTENÇAS ABAIXO REFERENTES À ELABORAÇÃO DAS VISTAS
ORTOGRÁFICAS NO 1º DIEDRO:
I. EXISTEM ALGUMAS REGRAS IMPORTANTES NA REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE EIXO E
LINHAS DE CENTRO. UMA DELAS É QUE AS LINHAS TRAÇO E PONTO DEVEM SEMPRE
ULTRAPASSAR OS CONTORNOS VISÍVEIS DOS ARCOS, CÍRCULOS E/OU CILINDROS;
II. SEGUINDO A NBR 10067 (1995), FIXANDO-SE A VISTA FRONTAL (VF), AS POSIÇÕES
RELATIVAS DAS DEMAIS VISTAS SÃO AS SEGUINTES: VI POSICIONADA ABAIXO DA VF;VLE
POSICIONADA À DIREITA DA VF; VLD POSICIONADA À ESQUERDA DA VF; VS POSICIONADA
ACIMA DA VISTA VF; VP POSICIONADA À DIREITA DA VLE OU À ESQUERDA DA VLD;
III. PARA INDICAR QUE AS PROJEÇÕES FORAM REALIZADAS NO 1º DIEDRO, DE ACORDO
COM A NBR 10067 (1995), COLOCA-SE UM SÍMBOLO ESPECÍFICO JUNTO DAS VISTAS
ORTOGRÁFICAS, NO CANTO INFERIOR DIREITO.
ESTÃO CORRETAS, APENAS:
A) I, II e III
B) I e III
C) I e II
D) II e III
GABARITO
1. Assinale a alternativa que contém o conjunto de vistas ortográficas principais (1º Diedro) da peça mostrada
abaixo:
Fonte: EnsineMe
A alternativa "D " está correta.
A letra D é a opção correta, pois na letra A, a VF está com o contorno visível do quadrado mais à frente da peça errado e
falta tracejado na VLE; na letra B, a VF está com o contorno visível do quadrado mais à frente da peça errado; na letra C,
falta contorno visível na VLE.
2. Analise as sentenças abaixo referentes à elaboração das vistas ortográficas no 1º Diedro:
I. Existem algumas regras importantes na representação de linhas de eixo e linhas de centro. Uma delas é que as
linhas traço e ponto devem sempre ultrapassar os contornos visíveis dos arcos, círculos e/ou cilindros;
II. Seguindo a NBR 10067 (1995), fixando-se a vista frontal (VF), as posições relativas das demais vistas são as
seguintes: VI posicionada abaixo da VF; VLE posicionada à direita da VF; VLD posicionada à esquerda da VF; VS
posicionada acima da vista VF; VP posicionada à direita da VLE ou à esquerda da VLD;
III. Para indicar que as projeções foram realizadas no 1º Diedro, de acordo com a NBR 10067 (1995), coloca-se um
símbolo específico junto das vistas ortográficas, no canto inferior direito.
Estão corretas, apenas:
A alternativa "B " está correta.
Seguindo a NBR 10067 (1995), fixando-se a vista frontal (VF), as posições relativas das demais vistas (1º Diedro) são as
seguintes: VS posicionada abaixo da VF e VI posicionada acima da vista VF (sentença II).
MÓDULO 4
 Descrever os métodos de elaboração de vistas ortográficas no 3º Diedro
INTRODUÇÃO
Os métodos de projeção ortogonal utilizados em todo o mundo não seguem os mesmos critérios. O método europeu, com
projeções realizadas no 1º Diedro, é o método mais utilizado no Brasil. Contudo, a ABNT NBR 10067:1995 (Princípios
gerais de representação em desenho técnico – Procedimento) apresenta condições gerais para projeção ortogonal de
objetos nos 1º e 3º Diedros, o que prova a importância de conhecer os dois métodos de projeção.
 ATENÇÃO
A mudança do Diedro não altera a vista do observador: a vista frontal no 1º Diedro será a mesma no 3º Diedro.
O que muda de um método de projeção para o outro são as técnicas utilizadas para a projeção ortogonal do objeto nos
planos e o posicionamento das vistas no Diedro planificado. O conceito de projeção cilíndrica ortogonal continua sendo o
mesmo para representar objetos utilizando suas vistas ortográficas no 3º Diedro, ou seja, usando o método americano de
projeção.
Neste módulo, veremos a técnica necessária para o desenho das vistas e os critérios para escolha das vistas ortográficas
principais de um objeto e para a escolha de sua vista frontal, a mais importante das vistas ortográficas principais.
CONCEITOS
PROJEÇÕES CILÍNDRICAS EM SEIS PLANOS DE
PROJEÇÃO NO 3º DIEDRO
Assim como ocorre no caso das projeções do 1º Diedro, uma, duas ou três vistas podem não ser suficientes para a
devida compreensão de detalhes presentes no objeto. Por isso, também pode ser necessário projetar o objeto em mais
planos de projeção.
A ilustração a seguir apresenta o diedro tal como um cubo de faces feitas em material transparente. Um objeto foi
posicionado dentro do cubo, com o objetivo de obter suas projeções ortogonais. Os vértices do cubo foram identificados
com letras maiúsculas, para facilitar as análises que vem a seguir.
Fonte: EnsineMe
 Figura 1 – Objeto posicionado dentro do cubo no 3º Diedro
As projeções do objeto nas faces do cubo serão as vistas de um observador posicionado em frente a cada uma das
faces, do lado de fora do cubo, olhando para o objeto.
 ATENÇÃO
Aqui, vale a mesma ideia do 1º Diedro: experimente tomar o lugar do observador, posicionando-se em frente às faces do
cubo e do objeto, para facilitar sua análise.
A vista frontal, em nosso exemplo, será projetada no plano ADHE, hachurado. A posição com a qual o objeto foi
posicionado dentro do cubo tem o seguinte objetivo: a vista de maior comprimento e com mais detalhes deve ser a vista
frontal do objeto, sendo o plano ADHE o plano de projeção da vista frontal escolhida.
A figura a seguir apresenta, inicialmente, a projeção de três vistas nas faces do cubo, representado em perspectiva. Com
o rebatimento dos planos ABFE, CDHG, DAEH, ADCB e FGHE, o cubo pode ser representado de forma planificada, onde
são representadas as seis projeções cilíndricas ortogonais. Elas representam as vistas do observador, posicionado do
lado de fora do cubo, olhando para o objeto em seis posições diferentes, ou seja, quando o observador está posicionado
em frente de cada uma das faces do cubo (que são os planos de projeção).
Fonte: EnsineMe
 Figura 2 – Projeção no cubo e representação das seis vistas no cubo planificado
Estabeleceremos, aqui, uma ordem a ser seguida para a projeção de objetos no 3º Diedro: observador, plano de projeção
e objeto. Assim, com palavras simples, podemos dizer o seguinte: o observador “vê” o objeto e a imagem “vista” é
projetada no plano paralelo à face posicionada entre o objeto e o observador.
Seguindo a NBR 10067 (1995), fixando-se a vista frontal (VF), as posições relativas das demais vistas são as seguintes:
a) Vista superior – VS, posicionada acima da VF.
b) Vista lateral esquerda – VLE, posicionada à esquerda da VF.
c) Vista lateral direita – VLD, posicionada à direita da VF.
d) Vista inferior – VI, posicionada abaixo da vista VF.
e) Vista posterior – VP, posicionada à esquerda da VLE ou à direita da VLD. No exemplo apresentado, a VP foi
posicionada à esquerda da VLE.
As vistas com planos de projeção hachurados são as chamadas vistas ortográficas principais no 3º Diedro. Tais vistas
são: a vista frontal, vista superior e uma das vistas laterais, podendo ser a lateral direita ou esquerda (a depender da
posição que o objeto foi estudado no diedro).
 EXEMPLO
No exemplo apresentado, a vista lateral visível na perspectiva é a vista lateral esquerda.
Para finalizar a representação do objeto em suas seis vistas, o contorno dos planos de projeção do objeto deve ser
retirado, restando somente as vistas desenhadas. Note que o nome das vistas também é suprimido. É desnecessário
colocar os nomes, pois sabendo que as projeções estão sendo realizada no 3º Diedro, a vista frontal é localizada
automaticamente bastando procurar a vista que possui uma vista acima e uma vista abaixo dela.
Fonte: EnsineMe
 Figura 3 – Representação das seis vistas ortográficas no 3º Diedro
 SAIBA MAIS
O 3º Diedro de projeção é também chamado de Método Americano, sendo utilizado nos Estados Unidos e no Canadá. É
o método adotado pela ANSI (American National Standards Institute - Instituto Nacional de Padrões Americanos).
PROJEÇÕES CILÍNDRICAS EM TRÊS PLANOS DE
PROJEÇÃO NO 3º DIEDRO (VISTAS ORTOGRÁFICAS
PRINCIPAIS)
As vistas ortográficas principais são as essenciais para compreender a geometria e as dimensões de um objeto. O
resultado final da projeção do objeto em suas vistas ortográficas principais é representado a seguir:
Fonte: EnsineMe
 Figura 4 – Representação das vistas ortográficas principais no 3º Diedro
O símbolo colocado junto das vistas ortográficas, no canto superior esquerdo, é a simbologia normatizada que indica que
as projeções foram realizadas no 3º Diedro, de acordo com a NBR 10067 (1995). As linhas tracejadas indicam arestas do
objeto que não podem ser vistas pelo observador. Note a presença da linha tracejada vertical na vista lateral esquerda.
Essa linha fica atrás da região inclinada da peça enão pode ser vista por um observador na posição padrão exigida para
projeção da vista lateral esquerda.
VISTAS ORTOGRÁFICAS À MÃO LIVRE NO 3º DIEDRO
 RELEMBRANDO
É através da elaboração de esboços (desenho à mão livre) que faremos o estudo das projeções ortogonais dos objetos.
Para o desenho das vistas ortográficas em esboço, recomenda-se seguir as etapas abaixo:

1ª ETAPA
Analise o objeto a ser representado, escolhendo a sua vista frontal como aquela que possui o maior comprimento, o
maior número de detalhes e o menor número de arestas não visíveis. A escolha da vista frontal pode até mudar de
desenhista para desenhista, dependendo da complexidade do objeto. O importante é escolher aquela que melhor avalie o
objeto representado.
2ª ETAPA
Determine as medidas que contornam as arestas mais externas de cada uma das vistas, como um quadrado ou um
retângulo que contornará cada vista ortográfica. Conhecendo o comprimento, a largura e a altura da peça, deve-se
atentar para o fato de que o comprimento das vistas frontal e superior, a largura da vista lateral e da vista superior, e a
altura da vista frontal e da vista lateral são medidas iguais.


3ª ETAPA
Faça um esboço dos contornos de cada uma das vistas principais, com traço contínuo e fino, desenhando as vistas com
distâncias iguais entre si; não esqueça de manter a proporcionalidade das medidas com o que é observado na
perspectiva.
4ª ETAPA
Sugere-se iniciar o desenho pela vista frontal, que possui mais detalhes, e depois trabalhar nas vistas lateral e superior.
Desenhe sempre com traço fino. Isso permite apagar as linhas com mais facilidade, em caso de erro.


5ª ETAPA
Após analisar e verificar as três vistas desenhadas e verificar a compatibilidade entre as vistas representadas, reforçar o
desenho com traçado grosso contínuo para as arestas visíveis. Arestas invisíveis devem ser desenhadas com linhas
tracejadas, que podem ser representadas com traço fino ou grosso.
6ª ETAPA
Ao terminar o desenho das linhas definitivas, o desenho ainda terá as linhas finas utilizadas para desenhar o contorno
das vistas e para compatibilizar detalhes e medidas entre as vistas. Essas linhas finas são chamadas linhas de
construção. Apague-as cuidadosamente, de forma a não apagar as linhas do desenho definitivo.

Fonte: EnsineMe
 Figura 5 – Representação das vistas ortográficas principais no 3º Diedro em esboço
COMPARAÇÃO DAS TÉCNICAS PARA DESENHO DAS
VISTAS ORTOGRÁFICAS NOS 1º E 3º DIEDROS
Durante nosso estudo referente aos 1º e 3º Diedros, utilizamos uma mesma peça para estudar as projeções em ambos.
Essa escolha não é mera coincidência, e tem o objetivo de estimular você a perceber o que realmente muda nas vistas
projetadas nos diedros diferentes.
Se tivermos uma abordagem descuidada, podemos ser levados a pensar que as projeções mudam ao modificarmos o
diedro de projeção, por conta das diferentes formas de rebatimento e planificação das vistas.
 RELEMBRANDO
No 1º Diedro a ordem é observador, objeto e plano de projeção, e no 3º Diedro a ordem é observador, plano de projeção
e objeto.
 ATENÇÃO
As diferentes posições relativas entre o observador, o plano de projeção e o objeto, entretanto, não modificam as vistas
projetadas.
Um olhar cuidadoso nos conjuntos de vistas ortográficas desenhadas no 1º Diedro e no 3º Diedro, lado a lado, mostra
que isso não ocorre. Observe as figuras a seguir, que apresentam as seis vistas ortográficas do objeto em questão nos
dois diedros de projeção. A indicação da nomenclatura das vistas e o contorno dos planos de projeção foram recolocados
no entorno das vistas somente para facilitar a comparação que estamos realizando.
Como já era esperado, escolhendo-se a mesma vista frontal, as projeções serão sempre iguais. Isso ocorre porque a
projeção é a visão que o observador tem do objeto, e o observador não mudou de lugar com relação ele. O que se altera,
portanto, é tão somente a posição relativa entre as vistas após a o rebatimento dos planos de projeção.
Fonte: EnsineMe
 Figura 6 – Comparação das seis vistas ortográficas nos 1º e 3º Diedros
POR QUE AS VISTAS NÃO SE ALTERAM QUANDO
MUDAMOS DO 1º PARA O 3º DIEDRO?
Veja a resposta dessa pergunta no vídeo abaixo:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUANDO TRABALHAMOS COM A PROJEÇÃO DE OBJETOS NO 3º DIEDRO, SEGUNDO A
NBR 10067 (1995), FIXANDO-SE A VISTA FRONTAL (VF), AS POSIÇÕES RELATIVAS DAS
DEMAIS VISTAS SÃO AS SEGUINTES:
A) VS, posicionada acima da VF; VLE, posicionada à esquerda da VF.
B) VLD, posicionada à esquerda da VF; VI, posicionada abaixo da vista VF.
C) VP, posicionada abaixo da VLE; VS, acima e abaixo da VF.
D) VLE, posicionada à esquerda da VF; VI, posicionada acima da vista VF.
2. PODEMOS SER LEVADOS A PENSAR QUE AS PROJEÇÕES MUDAM AO MODIFICARMOS O
DIEDRO DE PROJEÇÃO, POR CONTA DAS DIFERENTES FORMAS DE REBATIMENTO E
PLANIFICAÇÃO DAS VISTAS. NO 3º DIEDRO, A POSIÇÃO RELATIVA CORRETA ENTRE OS
ELEMENTOS É:
A) Observador, objeto e plano de projeção.
B) Observador, plano de projeção e objeto.
C) Objeto, observador e plano de projeção.
D) Plano de projeção, observador e objeto.
GABARITO
1. Quando trabalhamos com a projeção de objetos no 3º Diedro, segundo a NBR 10067 (1995), fixando-se a vista
frontal (VF), as posições relativas das demais vistas são as seguintes:
A alternativa "A " está correta.
As posições relativas são: VS, posicionada acima da VF; VLE, posicionada à esquerda da VF; VLD, posicionada à direita
da VF; VI, posicionada abaixo da vista VF; VP, posicionada à esquerda da VLE ou à direita da VLD.
2. Podemos ser levados a pensar que as projeções mudam ao modificarmos o diedro de projeção, por conta das
diferentes formas de rebatimento e planificação das vistas. No 3º Diedro, a posição relativa correta entre os
elementos é:
A alternativa "B " está correta.
A letra A corresponde à posição relativa referente ao 1º Diedro e nas letras C e D o observador estaria entre o objeto e
plano de projeção, o que não geraria projeção.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como base para o desenvolvimento do desenho técnico e de todas essas inovações tecnológicas digitais, tivemos as
técnicas apresentadas por Gaspard Monge, no final do século XVIII, que criaram a Geometria Descritiva. O Sistema
Mongeano nos possibilitou compreender a forma, posição e dimensões de objetos tridimensionais. Os diedros e as
projeções em seus planos nos permitiram passar da representação espacial para uma representação plana. Para a
época, muito provavelmente, isso teve tão ou maior importância para os projetos de criação e construção de produtos.
Vimos que os protótipos virtuais, elaborados com o suporte tecnológico dos ambientes de modelagem 3D, são cada vez
mais utilizados em projetos de Engenharia, independente da área. A agilidade conferida a todo o processo da criação à
fabricação de um produto, passando por diversos testes e modificações na tela do computador, aumenta
significativamente as chances de sucesso. Não há mais como imaginar todo esse processo sem o auxílio da computação
gráfica.
E as inovações tecnológicas não param por aí. Realidade virtual, realidade aumentada, holografia, manufatura aditiva
(impressão 3D), são outras tecnologias que surgem para dinamizar ainda mais os projetos de Engenharia.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 10067: Princípios gerais de representação em
desenho técnico - Procedimento. Rio de Janeiro, 1995
ESTEPHANIO, Carlos Alberto do Amaral. Desenho técnico – uma linguagem básica. 4 ed. Rio de Janeiro: Carlos
Estephanio, 1996
MONTENEGRO, Gildo. Geometria descritiva. 2 ed. São Paulo: Blucher, 2015 Vol 1
MUNIZ, César; MANZOLI, Anderson. Desenho técnico. 1 ed. Rio de Janeiro: Lexikon, 2015
RIBEIRO, Antônio Clelio; PERES, Mauro Pedro; IZIDORO, Nacir. Curso de desenho técnico e AutoCAD. 1 ed. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013
SILVA, Arlindo; DIAS, João; RIBEIRO, Carlos Tavares; SOUSA, Luís. Desenho técnicomoderno. 4 ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2006
BARROS, Gutenberg Xavier da Silva. Modelagem digital tridimensional para o desenvolvimento de prototipagem
rápida: um enfoque sobre a modelagem orgânica / Adriana Veras Vasconcelos. Recife: O Autor, 2012.
MULLER, Ana Luiza; SAFFARO, Fernanda Aranha. A prototipagem virtual para o detalhamento de projetos na
construção civil. Ambient. Constr. Porto Alegre, 2011, Vol 11. n 1
LIMA, Fernando; BRAIDA, Frederico; DUQUE, Raiane; MORAIS, Vinicius. Protótipo Virtual a partir da plataforma BIM:
Uma base digital de dados para Estudos simulativos de cenários ambientais e mapeamento de infraestrutura. Minas
Gerais, 2015
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, indicamos as literaturas abaixo, todas elas constam na biblioteca
virtual da Estácio:
Páginas 7 a 27 do livro Geometria descritiva – Volume 1, do autor Gildo Montenegro. 2 ed. São Paulo: Blucher,
2015.
Páginas 57 a 67 do Capítulo III do livro Desenho técnico, dos autores César Muniz e Anderson Manzoli. 1 ed. Rio
de Janeiro: Lexikon, 2015.
Páginas 99 a 101 do Capítulo IV do livro Desenho técnico, dos autores César Muniz e Anderson Manzoli. 1 ed. Rio
de Janeiro: Lexikon, 2015.
Páginas 6 a 17 e das páginas 23 até 28 do livro Curso de desenho técnico e AutoCAD, dos autores Antônio Clélio
Ribeiro, Mauro Pedro Peres e Nacir Izidoro. 1 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
CONTEUDISTA
Luiz di Marcello Senra Santiago
 CURRÍCULO LATTES
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